Kako riješiti razlomljene racionalne jednadžbe. Algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi

Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje bilo kojim drugim brojem osim nule.

Pojam frakcijskog racionalnog izraza

Razlomak je matematički izraz koji osim operacija zbrajanja, oduzimanja i množenja koje se izvode s brojevima i slovnim varijablama, te dijeljenja brojem koji nije jednak nuli, sadrži i dijeljenje na izraze sa slovnim varijablama.

Racionalni izrazi su svi cijeli i razlomački izrazi. Racionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva i desna strana cjelobrojni izrazi, tada se takva racionalna jednadžba naziva cijelim brojem.

Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana razlomački izrazi, tada se takva racionalna jednadžba naziva razlomačkom.

Primjeri razlomačkih racionalnih izraza

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Shema za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe

1. Pronađite zajednički nazivnik sve razlomke koji ulaze u jednadžbu.

2. Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3. Riješite dobivenu cijelu jednadžbu.

4. Provjerite korijene i isključite one kojima zajednički nazivnik nestaje.

Budući da rješavamo razlomljene racionalne jednadžbe, bit će varijable u nazivnicima razlomaka. To znači da će oni biti zajednički nazivnik. A u drugoj točki algoritma množimo zajedničkim nazivnikom, tada se mogu pojaviti strani korijeni. Pri čemu će zajednički nazivnik biti jednak nuli, što znači da će množenje njime biti besmisleno. Stoga je na kraju potrebno provjeriti dobivene korijene.

Pogledajmo primjer:

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Držat ćemo se opća shema: Hajdemo prvo pronaći zajednički nazivnik svih razlomaka. Dobivamo x*(x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite dobivenu cijelu jednadžbu.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Pojednostavimo dobivenu jednadžbu. Dobivamo:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Dobivamo jednostavnu reduciranu kvadratnu jednadžbu. Rješavamo to bilo kojim od poznate metode, dobivamo korijene x=-2 i x=5.

Sada provjeravamo dobivena rješenja:

Zamijenite brojeve -2 i 5 u zajednički nazivnik. Pri x=-2 zajednički nazivnik x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. To znači da će broj -2 biti korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Pri x=5 zajednički nazivnik x*(x-5) postaje nula. Stoga ovaj broj nije korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe, jer će doći do dijeljenja s nulom.

\(\bullet\) Racionalna jednadžba je jednadžba predstavljena u obliku \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] gdje je \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomi (zbroj "X-ova" u različitim potencijama, pomnožen s različitim brojevima).
Izraz na lijevoj strani jednadžbe naziva se racionalni izraz.
ODZ (regija prihvatljive vrijednosti) racionalne jednadžbe su sve vrijednosti \(x\) za koje nazivnik NE nestaje, to jest \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Na primjer, jednadžbe \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] su racionalne jednadžbe.
U prvoj jednadžbi, ODZ su sve \(x\) tako da \(x\ne 3\) (zapišite \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); u drugoj jednadžbi – sve su to \(x\) tako da je \(x\ne -1; x\ne 1\) (napišite \(x\u (-\infty;-1)\šalica(-1;1)\šalica(1;+\infty)\)); a u trećoj jednadžbi nema ograničenja na ODZ, odnosno ODZ je sve \(x\) (pišu \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Teoremi:
1) Umnožak dva faktora jednak je nuli ako i samo ako je jedan od njih jednak nuli, a drugi ne gubi značenje, dakle, jednadžba \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) ekvivalentan je sustavu \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(athered) \desno.\\ \ tekst(ODZ jednadžbe) \kraj(slučajevi)\] 2) Razlomak je jednak nuli ako i samo ako je brojnik jednak nuli, a nazivnik nije jednak nuli, dakle, jednadžba \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) je ekvivalentan sustavu jednadžbi \[\početak(slučajevi) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \kraj(slučajevi)\]\(\bullet\) Pogledajmo nekoliko primjera.

1) Riješite jednadžbu \(x+1=\dfrac 2x\) . Pronađimo ODZ dana jednadžba je \(x\ne 0\) (jer je \(x\) u nazivniku).
To znači da se ODZ može napisati na sljedeći način: .
Stavimo sve pojmove u jedan dio i dovedemo ih pod zajednički nazivnik: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( slučajevi) x^2+x-2=0\\x\ne 0\kraj(slučajevi)\] Rješenje prve jednadžbe sustava bit će \(x=-2, x=1\) . Vidimo da su oba korijena različita od nule. Stoga je odgovor: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Riješite jednadžbu \(\lijevo(\dfrac4x - 2\desno)\cdot (x^2-x)=0\). Nađimo ODZ ove jednadžbe. Vidimo da je jedina vrijednost \(x\) za koju lijeva strana nema smisla \(x=0\) . Dakle, ODZ se može napisati ovako: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Stoga je ova jednadžba ekvivalentna sustavu:

\[\begin(cases) \lijevo[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \desno. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(gathered) \desno.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \desno.\] Doista, unatoč činjenici da je \(x=0\) korijen drugog faktora, ako zamijenite \(x=0\) u izvornu jednadžbu, tada to neće imati smisla, jer izraz \(\dfrac 40\) nije definiran.
Dakle, rješenje ove jednadžbe je \(x\in \(1;2\)\) .

3) Riješite jednadžbu \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] U našoj jednadžbi \(4x^2-1\ne 0\) , iz čega \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , to jest \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Premjestimo sve pojmove na lijeva strana i dovesti ga pod zajednički nazivnik:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( poravnato) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(poravnano)\end(sakupljeno) \desno.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Strelica lijevo desno \quad x=-3\)

Odgovor: \(x\in \(-3\)\) .

Komentar. Ako se odgovor sastoji od konačnog skupa brojeva, tada se oni mogu napisati odvojeni točkom i zarezom u vitičastim zagradama, kao što je prikazano u prethodnim primjerima.

Problemi koji zahtijevaju rješavanje racionalnih jednadžbi susreću se svake godine na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, pa kada se pripremaju za polaganje certifikacijskog testa, maturanti bi svakako trebali sami ponoviti teoriju na ovu temu. Maturanti koji polažu i osnovnu i specijalističku razinu ispita moraju biti sposobni nositi se s takvim zadacima. Nakon što su svladali teoriju i bavili se praktičnim vježbama na temu "Racionalne jednadžbe", studenti će moći rješavati probleme s bilo kojim brojem radnji i računati na dobivanje konkurentskih bodova na Jedinstvenom državnom ispitu.

Kako se pripremiti za ispit pomoću obrazovnog portala Shkolkovo?

Ponekad se pokaže da je prilično teško pronaći izvor koji u potpunosti predstavlja osnovnu teoriju za rješavanje matematičkih problema. Udžbenik možda jednostavno nije pri ruci. I pronaći potrebne formule ponekad može biti prilično teško čak i na internetu.

Obrazovni portal Shkolkovo oslobodit će vas potrebe za pretraživanjem potreban materijal i pomoći će vam da se dobro pripremite za polaganje certifikacijskog testa.

Naši stručnjaci pripremili su i predstavili svu potrebnu teoriju na temu "Racionalne jednadžbe" u najpristupačnijem obliku. Nakon proučavanja prezentiranih informacija, studenti će moći popuniti praznine u znanju.

Za uspješna priprema Za Jedinstveni državni ispit maturanti trebaju ne samo osvježiti pamćenje osnovnog teorijskog materijala o temi "Racionalne jednadžbe", već i vježbati ispunjavanje zadataka na konkretni primjeri. Veliki izbor zadataka predstavljen je u odjeljku "Katalog".

Za svaku vježbu na stranici naši su stručnjaci napisali algoritam rješenja i naveli točan odgovor. Učenici mogu vježbati rješavanje problema različitih stupnjeva težine, ovisno o razini njihove vještine. Popis zadataka u odgovarajućem odjeljku stalno se nadopunjuje i ažurira.

Proučite teoretski materijal i usavršite vještine rješavanja problema na temu “Racionalne jednadžbe”, slične teme koji su uključeni u Testovi jedinstvenog državnog ispita, može se obaviti online. Ako je potrebno, bilo koji od predstavljenih zadataka može se dodati u odjeljak "Favoriti". Nakon što je još jednom ponovio osnovnu teoriju na temu "Racionalne jednadžbe", srednjoškolac će se moći vratiti problemu u budućnosti kako bi razgovarao o napretku njegovog rješenja s nastavnikom na satu algebre.

Već smo naučili rješavati kvadratne jednadžbe. Sada proširimo proučavane metode na racionalne jednadžbe.

Što se dogodilo racionalno izražavanje? Već smo se susreli s ovim konceptom. Racionalni izrazi su izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih potencija i simbola matematičkih operacija.

Prema tome, racionalne jednadžbe su jednadžbe oblika: , gdje je - racionalni izrazi.

Prethodno smo razmatrali samo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na linearne. Sada pogledajmo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe.

Primjer 1

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Razlomak je jednak 0 ako i samo ako mu je brojnik jednak 0, a nazivnik nije jednak 0.

Dobivamo sljedeći sustav:

Prva jednadžba sustava je kvadratna jednadžba. Prije nego ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente s 3. Dobivamo:

Dobivamo dva korijena: ; .

Budući da 2 nikada nije jednako 0, moraju biti ispunjena dva uvjeta: . Budući da se niti jedan od korijena gore dobivene jednadžbe ne podudara s nevažećim vrijednostima varijable koje su dobivene prilikom rješavanja druge nejednadžbe, oba su rješenja ove jednadžbe.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve članove na lijevu stranu tako da desna strana završi s 0.

2. Transformirajte i pojednostavite lijevu stranu, sve razlomke dovedite na zajednički nazivnik.

3. Izjednačite dobiveni razlomak s 0 pomoću sljedećeg algoritma: .

4. Zapišite korijene koji su dobiveni u prvoj jednadžbi i zadovoljite drugu nejednakost u odgovoru.

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer 2

Riješite jednadžbu: .

Riješenje

Na samom početku pomaknemo sve članove ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani. Dobijemo:

Dovedimo sada lijevu stranu jednadžbe na zajednički nazivnik:

Ova jednadžba je ekvivalentna sustavu:

Prva jednadžba sustava je kvadratna jednadžba.

Koeficijenti ove jednadžbe: . Izračunavamo diskriminantu:

Dobivamo dva korijena: ; .

Riješimo sada drugu nejednadžbu: umnožak faktora nije jednak 0 ako i samo ako nijedan od faktora nije jednak 0.

Dva uvjeta moraju biti ispunjena: . Nalazimo da je od dva korijena prve jednadžbe samo jedan prikladan - 3.

Odgovor:.

U ovoj lekciji smo se sjetili što je racionalni izraz, a također smo naučili kako riješiti racionalne jednadžbe, koje se svode na kvadratne jednadžbe.

U sljedećoj lekciji razmotrit ćemo racionalne jednadžbe kao modele stvarnih situacija, a također ćemo pogledati probleme gibanja.

Bibliografija

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra, 8. 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Udžbenik za obrazovne ustanove. - M.: Obrazovanje, 2006.

1. Festival pedagoške ideje "Javni sat" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domaća zadaća

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

• formiranje pojma frakcijske racionalne jednadžbe;
• razmotriti različite načine rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi;
• razmotriti algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli;
• naučiti rješavati razlomačke racionalne jednadžbe pomoću algoritma;
• provjera razine usvojenosti teme provođenjem testa.

Razvojni:

• razvijanje sposobnosti ispravnog rukovanja stečenim znanjem i logičkog razmišljanja;
• razvoj intelektualnih vještina i mentalne operacije- analiza, sinteza, usporedba i sinteza;
• razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka i ne zaustavljanja na tome;
• razvoj kritičko razmišljanje;
• razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

• odgoj spoznajni interes subjektu;
• poticanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
• njegovanje volje i ustrajnosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Na ploči su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koje nisu i zašto?

Jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana razlomački racionalni izrazi nazivaju se razlomačke racionalne jednadžbe. Što mislite što ćemo danas učiti na satu? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.”

2. Obnavljanje znanja. Frontalno ispitivanje, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)
2. Kako se zove jednadžba broj 1? ( Linearno.) Riješenje linearne jednadžbe. (Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednadžbe, sve brojeve na desnu. Navedite slične pojmove. Pronađite nepoznati faktor).
3. Kako se zove jednadžba broj 3? ( Kvadrat.) Rješenja kvadratne jednadžbe. (Izdvajanje potpunog kvadrata pomoću formula koje koriste Vietin teorem i njegove korolare.)
4. Što je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova.)
5. Koja se svojstva koriste pri rješavanju jednadžbi? ( 1. Ako član jednadžbe premjestite iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, dobit ćete jednadžbu ekvivalentnu zadanoj. 2. Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, dobit ćete jednadžbu ekvivalentnu danoj.)
6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula..)

3. Objašnjenje novog gradiva.

Riješite jednadžbu br. 2 u svojim bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koji frakcijska racionalna jednadžba Možete li pokušati riješiti pomoću osnovnog svojstva proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Jednačinu br. 4 riješite u svojim bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovor: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednadžbu broj 7 pomoću jedne od sljedećih metoda.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

Do sada se učenici nisu susreli s konceptom stranog korijena; doista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako nitko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, tada učitelj postavlja sugestivna pitanja.

• Kako se jednadžbe br. 2 i 4 razlikuju od jednadžbi br. 5,6,7? ( U jednadžbama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi s varijablom.)
• Što je korijen jednadžbe? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje istinita.)
• Kako saznati je li broj korijen jednadžbe? ( Provjerite.)

Kod testiranja neki učenici primjećuju da moraju dijeliti s nulom. Zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi koji nam omogućuje da eliminiramo ovu pogrešku? Da, ova se metoda temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ako je x=5, tada je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, tada je x(x-5)≠0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve na lijevu stranu.
2. Svedi razlomke na zajednički nazivnik.
3. Napravite sustav: razlomak je jednak nuli kada je brojnik jednak nuli, a nazivnik nije jednak nuli.
4. Riješite jednadžbu.
5. Provjerite nejednakost da biste isključili nepotrebne korijene.
6. Zapiši odgovor.

Rasprava: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: iz njegovih korijena isključite one koji zajednički nazivnik nestaju).

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici sami biraju kako će riješiti jednadžbu ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c,i); broj 601(a,e,g). Nastavnik prati izvođenje zadatka, odgovara na sva postavljena pitanja i pomaže učenicima s lošijim uspjehom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na ploči.

b) 2 – strani korijen. Odgovor: 3.

c) 2 – strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

1. Pročitati 25. odlomak iz udžbenika, analizirati primjere 1-3.
2. Naučite algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi.
3. Riješite u bilježnicama br.600 (a,d,e); br. 601(g,h).
4. Pokušajte riješiti br. 696(a) (po izboru).

6. Izrada kontrolnog zadatka na obrađenu temu.

Rad se izvodi na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje su od jednadžbi razlomačko racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli ako je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li broj -3 korijen jednadžbe broj 6?

D) Riješite jednadžbu br.7.

Kriteriji ocjenjivanja zadatka:

• “5” se daje ako je učenik točno riješio više od 90% zadatka.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• “2” dobiva student koji je riješio manje od 50% zadatka.
• Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 nije obavezna.

7. Odraz.

Na listovima za samostalan rad upisati:

• 1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
• 2 – zanimljivo, ali nejasno;
• 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo;
• 4 – nezanimljivo, nejasno.

8. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti te jednadžbe različiti putevi, provjerili su svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate samostalnog rada saznat ćete na sljedećem satu, a kod kuće ćete imati priliku učvrstiti svoje znanje.

Koja je metoda rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, što biste trebali zapamtiti? U čemu je "lukavstvo" razlomljenih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.

"Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi"

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

formiranje pojma frakcijske racionalne jednadžbe; razmotriti različite načine rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi; razmotriti algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli; naučiti rješavati razlomačke racionalne jednadžbe pomoću algoritma; provjera razine usvojenosti teme provođenjem testa.

Razvojni:

razvijanje sposobnosti ispravnog rukovanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja; razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, usporedba i generalizacija; razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka i ne zaustavljanja na tome; razvoj kritičkog mišljenja; razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

poticanje kognitivnog interesa za predmet; poticanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema; njegovanje volje i ustrajnosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Na ploči su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koje nisu i zašto?

Jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana razlomački racionalni izrazi nazivaju se razlomačke racionalne jednadžbe. Što mislite što ćemo danas učiti na satu? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.”

2. Obnavljanje znanja. Frontalno ispitivanje, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji će nam trebati za proučavanje nove teme. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)

2. Kako se zove jednadžba br. 1? ( Linearno.) Metoda rješavanja linearnih jednadžbi. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednadžbe, sve brojeve na desnu. Navedite slične pojmove. Pronađite nepoznati faktor).

3. Kako se zove jednadžba br. 3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. ( Izdvajanje potpunog kvadrata pomoću formula koje koriste Vietin teorem i njegove korolare.)

4. Što je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova.)

5. Koja se svojstva koriste pri rješavanju jednadžbi? ( 1. Ako član jednadžbe premjestite iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, dobit ćete jednadžbu ekvivalentnu zadanoj. 2. Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, dobit ćete jednadžbu ekvivalentnu danoj.)

6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula..)

3. Objašnjenje novog gradiva.

Riješite jednadžbu br. 2 u svojim bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Jednačinu br. 4 riješite u svojim bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Odgovor: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednadžbu broj 7 pomoću jedne od sljedećih metoda.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

Do sada se učenici nisu susreli s konceptom stranog korijena; doista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako nitko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, tada učitelj postavlja sugestivna pitanja.

Kako se jednadžbe br. 2 i 4 razlikuju od jednadžbi br. 5,6,7? ( U jednadžbama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi s varijablom.) Što je korijen jednadžbe? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje istinita.) Kako saznati je li broj korijen jednadžbe? ( Provjerite.)

Kod testiranja neki učenici primjećuju da moraju dijeliti s nulom. Zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi koji nam omogućuje da eliminiramo ovu pogrešku? Da, ova se metoda temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ako je x=5, tada je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, tada je x(x-5)≠0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve na lijevu stranu.

2. Svedi razlomke na zajednički nazivnik.

3. Napravite sustav: razlomak je jednak nuli kada je brojnik jednak nuli, a nazivnik nije jednak nuli.

4. Riješite jednadžbu.

5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.

6. Zapišite odgovor.

Rasprava: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: iz njegovih korijena isključite one koji zajednički nazivnik nestaju).

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici sami biraju kako će riješiti jednadžbu ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika “Algebra 8”, 2007.: br. 000 (b, c, i); br. 000(a, d, g). Nastavnik prati izvođenje zadatka, odgovara na sva postavljena pitanja i pomaže učenicima s lošijim uspjehom. Samoprovjera: odgovori su zapisani na ploči.

b) 2 – strani korijen. Odgovor: 3.

c) 2 – strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

2. Naučiti algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.

3. Riješite u bilježnicama br.000 (a,d,e); br. 000 (g, h).

4. Pokušajte riješiti br. 000(a) (nije obavezno).

6. Izrada kontrolnog zadatka na obrađenu temu.

Rad se izvodi na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje su od jednadžbi razlomačko racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli ako je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li broj -3 korijen jednadžbe broj 6?

D) Riješite jednadžbu br.7.

Kriteriji ocjenjivanja zadatka:

“5” se daje ako je učenik točno riješio više od 90% zadatka. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” se daje učeniku koji je završio manje od 50% zadatka. Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 nije obavezna.

7. Odraz.

Na listovima za samostalan rad upisati:

1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva; 2 – zanimljivo, ali nejasno; 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo; 4 – nezanimljivo, nejasno.

8. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se na satu upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama, naučili rješavati te jednadžbe na razne načine te provjerili svoje znanje uz pomoć samostalnog obrazovnog rada. Rezultate samostalnog rada saznat ćete na sljedećem satu, a kod kuće ćete imati priliku učvrstiti svoje znanje.

Koja je metoda rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, što biste trebali zapamtiti? U čemu je "lukavstvo" razlomljenih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.