Područje prihvatljive vrijednosti (ODZ): teorija, primjeri, rješenja. Kako pronaći opseg funkcije? Primjeri rješenja

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikacije.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije poboljšati usluge koje pružamo i dati vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u parnica, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provedbu zakona ili druge javne važnim prilikama.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

Počnimo s pronalaženjem domena definicije zbroja funkcija. Jasno je da takva funkcija ima smisla za sve takve vrijednosti varijable za koje sve funkcije koje čine zbroj imaju smisla. Stoga nema sumnje u valjanost sljedeće izjave:

Ako je funkcija f zbroj n funkcija f 1 , f 2 , …, f n , to jest, funkcija f je dana formulom y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ) , tada je domena funkcije f presjek domena funkcija f 1 , f 2 , …, f n . Zapišimo to kao .

Dogovorimo se da ćemo nastaviti koristiti zapise poput posljednjeg, pod kojim mislimo na napisano unutar vitičaste zagrade, ili istovremeno ispunjavanje bilo kojeg uvjeta. To je zgodno i sasvim prirodno rezonira sa značenjem sustava.

Primjer.

Zadana je funkcija y=x 7 +x+5+tgx , i trebamo pronaći njezinu domenu.

Odluka.

Funkcija f je predstavljena zbrojem četiri funkcije: f 1 je funkcija stepena s eksponentom 7, f 2 je funkcija stepena s eksponentom 1, f 3 je konstantna funkcija i f 4 je tangentna funkcija.

Gledajući tablicu područja definicije glavnog elementarne funkcije, nalazimo da je D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) i domena tangenta je skup svih realnih brojeva osim brojeva .

Područje funkcije f je sjecište domena funkcija f 1 , f 2 , f 3 i f 4 . Sasvim je očito da je to skup svih realnih brojeva, s izuzetkom brojeva .

Odgovor:

skup svih realnih brojeva osim .

Idemo dalje na pronalaženje domene proizvoda funkcija. U ovom slučaju vrijedi slično pravilo:

Ako je funkcija f umnožak n funkcija f 1 , f 2 , …, f n , to jest, funkcija f je dana formulom y=f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), tada je domena funkcije f presjek domena funkcija f 1 , f 2 , …, f n . Dakle, .

Razumljivo je da su u naznačenom području definirane sve funkcije proizvoda, a time i sama funkcija f.

Primjer.

Y=3 arctgx lnx .

Odluka.

Struktura desne strane formule koja definira funkciju može se smatrati f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , gdje je f 1 konstantna funkcija, f 2 je funkcija tangente luka i f 3 je logaritamska funkcija s bazom e.

Znamo da je D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) i D(f 3)=(0, +∞) . Zatim .

Odgovor:

domena funkcije y=3 arctgx lnx je skup svih realnih pozitivnih brojeva.

Zaustavimo se zasebno na pronalaženju domene funkcije zadane formulom y=C·f(x) , gdje je C neki realni broj. Lako je pokazati da se domena ove funkcije i domena funkcije f podudaraju. Doista, funkcija y=C f(x) je proizvod konstantne funkcije i funkcije f. Domena konstantne funkcije je skup svih realnih brojeva, a domena funkcije f je D(f) . Tada je domena funkcije y=C f(x). , koji je trebao biti prikazan.

Dakle, domene funkcija y=f(x) i y=C·f(x) , gdje je S neki realni broj, poklapaju se. Na primjer, ako je domena korijena , postaje jasno da je D(f) skup svih x iz domene funkcije f 2 za koju je f 2 (x) uključeno u domenu funkcije f 1 .

Tako, domena složene funkcije y=f 1 (f 2 (x)) je presjek dvaju skupova: skupa svih x takvih da je x∈D(f 2) i skupa svih takvih x za koje je f 2 (x)∈D(f 1) . To jest, u našoj notaciji (ovo je u biti sustav nejednakosti).

Pogledajmo nekoliko primjera. U tom procesu nećemo detaljno opisivati, jer je to izvan dosega ovog članka.

Primjer.

Pronađite domenu funkcije y=lnx 2 .

Odluka.

Izvorna funkcija se može predstaviti kao y=f 1 (f 2 (x)) , gdje je f 1 logaritam s bazom e, a f 2 je funkcija stepena s eksponentom 2.

Okrenuti se k poznata područja definicije osnovnih elementarnih funkcija, imamo D(f 1)=(0, +∞) i D(f 2)=(−∞, +∞) .

Zatim

Tako smo pronašli domenu definicije funkcije koja nam je potrebna, to je skup svih realnih brojeva osim nule.

Odgovor:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Primjer.

Koji je opseg funkcije ?

Odluka.

Ova funkcija je složena, može se smatrati y = f 1 (f 2 (x)) , gdje je f 1 funkcija stepena s eksponentom, a f 2 je arcsinusna funkcija i moramo pronaći njezinu domenu.

Pogledajmo što znamo: D(f 1)=(0, +∞) i D(f 2)=[−1, 1] . Ostaje pronaći presjek skupova vrijednosti x tako da je x∈D(f 2) i f 2 (x)∈D(f 1) :

Za arcsinx>0, prisjetimo se svojstava funkcije arcsinus. Arksinus raste u cijeloj domeni [−1, 1] i nestaje na x=0 , dakle, arcsinx>0 za bilo koji x iz intervala (0, 1] .

Vratimo se na sustav:

Dakle, željena domena definicije funkcije je poluinterval (0, 1] .

Odgovor:

(0, 1] .

Prijeđimo sada na složene opće funkcije y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Područje funkcije f u ovom slučaju nalazi se kao .

Primjer.

Pronađite opseg funkcije .

Odluka.

Zadana složena funkcija može se napisati kao y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), gdje je f 1 - sin, f 2 - funkcija korijena četvrtog stupnja, f 3 - lg.

Znamo da je D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=- ∞; +∞[ .

Primjer 1. Pronađite opseg funkcije y = 2 .

Odluka. Opseg funkcije nije preciziran, što znači da se, na temelju gornje definicije, misli na prirodnu domenu definicije. Izraz f(x) = 2 definiran je za sve realne vrijednosti x, stoga, zadanu funkciju definiran na cijelom skupu R realni brojevi.

Stoga je na gornjem crtežu brojevna crta zasjenjena sve od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti.

Opseg korijena n stupanj

U slučaju kada je funkcija dana formulom i n- prirodni broj:

Primjer 2. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Kao što slijedi iz definicije, korijen parnog stupnja ima smisla ako je radikalni izraz nenegativan, odnosno ako je - 1 ≤ x≤ 1 . Stoga je opseg ove funkcije [- 1; jedan] .

Zasjenjeno područje brojevne linije na gornjoj slici je područje definicije ove funkcije.

Domena funkcije snage

Domena funkcije stepena s cjelobrojnim eksponentom

ako a- pozitivno, tada je područje definicije funkcije skup svih realnih brojeva, odnosno ]- ∞; + ∞[ ;

ako a- negativan, tada je domena definicije funkcije skup ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , odnosno cijeli brojevni pravac osim nule.

Na odgovarajućem crtežu cijela numerička linija je zasjenjena odozgo, a točka koja odgovara nuli je izbušena (nije uključena u područje definicije funkcije).

Primjer 3. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Prvi član je cjelobrojna snaga x jednaka 3, a potencija x u drugom članu može se predstaviti kao jedinica – također cijeli broj. Stoga je domena ove funkcije cijeli brojevni pravac, odnosno ]- ∞; +∞[ .

Područje potencijske funkcije s razlomkom eksponenta

U slučaju kada je funkcija data formulom:

ako je - pozitivan, tada je domena funkcije skup 0; +∞[ .

Primjer 4. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Oba pojma u izrazu funkcije - funkcije moći s pozitivnim frakcijskim eksponentima. Stoga je domena ove funkcije skup - ∞; +∞[ .

Područje definicije eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Područje eksponencijalne funkcije

U slučaju kada je funkcija data formulom, domena funkcije je cijeli brojevni pravac, odnosno ]- ∞; +∞[ .

Područje logaritamske funkcije

Logaritamska funkcija definirana je pod uvjetom da je njezin argument pozitivan, odnosno da je njezina domena definicije skup ]0; +∞[ .

Pronađite sami opseg funkcije, a zatim pogledajte rješenje

Područje definicije trigonometrijskih funkcija

Opseg funkcije y= cos( x) je također skup R realni brojevi.

Opseg funkcije y= tg( x) - gomila R realni brojevi osim brojeva .

Opseg funkcije y=ctg( x) - gomila R realni brojevi osim brojeva.

Primjer 8. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Vanjska funkcija je decimalni logaritam i njezina domena podliježe uvjetima domene logaritamska funkcija općenito. Odnosno, njegov argument mora biti pozitivan. Argument je ovdje sinus od "x". Okrećući zamišljeni kompas oko kruga, vidimo da je uvjet grijeh x> 0 se krši kada je "x" jednako nuli, "pi", dva, pomnoženo s "pi" i općenito jednako umnošku broja "pi" i bilo kojeg parnog ili neparnog cijelog broja.

Dakle, područje definicije ove funkcije zadano je izrazom

,

gdje k je cijeli broj.

Područje inverznih trigonometrijskih funkcija

Opseg funkcije y= arcsin( x) - postavi [-1; jedan] .

Opseg funkcije y= arccos( x) - također skup [-1; jedan] .

Opseg funkcije y= arktan( x) - gomila R realni brojevi.

Opseg funkcije y= arcctg( x) je također skup R realni brojevi.

Primjer 9. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Riješimo nejednakost:

Tako dobivamo domenu definicije ove funkcije - segment [- 4; 4] .

Primjer 10. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Riješimo dvije nejednakosti:

Rješenje prve nejednakosti:

Rješenje druge nejednadžbe:

Tako dobivamo domenu definicije ove funkcije - segment.

Domena frakcija

Ako je funkcija dana razlomkom u kojem je varijabla u nazivniku razlomka, tada je domena funkcije skup R realni brojevi osim x za koje nazivnik razlomka nestaje.

Primjer 11. Pronađite opseg funkcije .

Odluka. Rješavajući jednakost s nulom nazivnika razlomka, nalazimo područje definicije ove funkcije - skup] - ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .