Mjerenje površine kruga. Površina kruga: formula. Kolika je površina kruga opisanog i upisanog u kvadrat, pravokutni i jednakokračni trokut, pravokutnik, jednakokračni trapez

Kružni kalkulator je usluga posebno dizajnirana za izračunavanje geometrijske dimenzije figure online. Zahvaljujući ovoj usluzi, možete jednostavno odrediti bilo koji parametar figure na temelju kruga. Na primjer: znate volumen lopte, ali trebate saznati njezinu površinu. Ništa lakše! Odaberite odgovarajuću opciju, unesite brojčanu vrijednost i kliknite gumb Izračunaj. Usluga ne samo da prikazuje rezultate izračuna, već također pruža formule prema kojima su napravljeni. Pomoću našeg servisa možete jednostavno izračunati polumjer, promjer, opseg (opseg kruga), površinu kruga i lopte te volumen lopte.

Izračunajte radijus

Zadatak izračuna vrijednosti radijusa jedan je od najčešćih. Razlog za to je vrlo jednostavan, jer znajući ovaj parametar, lako možete odrediti vrijednost bilo kojeg drugog parametra kruga ili lopte. Naša stranica je izgrađena upravo na ovoj shemi. Bez obzira koji ste početni parametar odabrali, prvo se izračunava vrijednost radijusa i na njoj se temelje svi sljedeći izračuni. Za veću točnost izračuna, stranica koristi Pi, zaokružen na 10. decimalu.

Izračunajte promjer

Izračun promjera je najjednostavniji način izračuna koji naš kalkulator može izvesti. Nije uopće teško ručno dobiti vrijednost promjera; za to uopće ne morate pribjegavati Internetu. Promjer je jednak vrijednosti polumjera pomnoženoj s 2. Promjer – najvažniji parametar krug, koji se izuzetno često koristi u Svakidašnjica. Apsolutno svatko bi ga trebao znati izračunati i pravilno koristiti. Koristeći mogućnosti naše web stranice, izračunat ćete promjer s velikom točnošću u djeliću sekunde.

Saznaj opseg

Ne možete ni zamisliti koliko okruglih predmeta ima oko nas i kakvu važnu ulogu imaju u našim životima. Sposobnost izračunavanja opsega potrebna je svima, od običnog vozača do vodećeg inženjera dizajna. Formula za izračunavanje opsega je vrlo jednostavna: D=2Pr. Izračun se može jednostavno napraviti ili na komadu papira ili pomoću ovaj internet asistent Prednost potonjeg je što sve izračune ilustrira slikama. A povrh svega, druga metoda je mnogo brža.

Izračunajte površinu kruga

Područje kruga - kao i svi parametri navedeni u ovom članku je osnova moderna civilizacija. Biti u stanju izračunati i znati površinu kruga korisno je za sve segmente stanovništva bez iznimke. Teško je zamisliti područje znanosti i tehnologije u kojem ne bi bilo potrebno znati područje kruga. Formula za izračun opet nije teška: S=PR 2. Ova formula i naš online kalkulator pomoći će vam bez dodatni napor Saznajte područje bilo kojeg kruga. Naša stranica jamči visoka točnost proračuni i njihovo munjevito izvođenje.

Izračunajte površinu kugle

Formula za izračunavanje površine lopte uopće nije složenije formule opisano u prethodnim paragrafima. S=4Pr 2 . Ovaj jednostavan skup slova i brojki već mnogo godina omogućuje ljudima prilično precizno izračunavanje površine lopte. Gdje se to može primijeniti? Da posvuda! Na primjer, znate da područje Globus jednako 510 100 000 kvadratnih kilometara. Beskorisno je nabrajati gdje se znanje o ovoj formuli može primijeniti. Opseg formule za izračunavanje površine sfere je preširok.

Izračunaj obujam lopte

Za izračun volumena lopte upotrijebite formulu V = 4/3 (Pr 3). Korišten je za stvaranje našeg online usluga. Web stranica omogućuje izračunavanje volumena lopte u nekoliko sekundi ako znate bilo koji od sljedećih parametara: radijus, promjer, opseg, površina kruga ili površina lopte. Možete ga koristiti i za obrnute izračune, na primjer, da biste saznali volumen lopte i dobili vrijednost njezina polumjera ili promjera. Hvala vam što ste brzo pogledali mogućnosti našeg kružnog kalkulatora. Nadamo se da vam se svidjela naša stranica i da ste je već označili.

Krug je vidljivi skup mnogih točaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od središta. Da biste pronašli njegovu površinu, morate znati što su polumjer, promjer, broj π i opseg.

Količine uključene u izračunavanje površine kruga

Udaljenost ograničena središnjom točkom kružnice i bilo kojom od točaka kružnice naziva se polumjer te geometrijske figure. Duljine svih polumjera jedne kružnice su iste. Isječak između bilo koje dvije točke kruga koji prolazi središnjom točkom naziva se promjer. Duljina promjera jednaka je duljini polumjera pomnoženoj s 2.

Za izračunavanje površine kruga koristi se vrijednost broja π. Ova vrijednost jednaka je omjeru opsega i duljine promjera kruga i ima konstantnu vrijednost. Π = 3,1415926. Opseg se izračunava pomoću formule L=2πR.

Pronađite površinu kruga pomoću radijusa

Dakle, površina kruga jednaka je umnošku broja π i polumjera kruga podignutog na 2. potenciju. Kao primjer, uzmimo da je duljina polumjera kruga 5 cm, tada će površina kruga S biti jednaka 3,14*5^2=78,5 kvadratnih metara. cm.

Površina kruga kroz promjer

Površina kruga također se može izračunati ako se zna promjer kruga. U ovom slučaju, S = (π/4)*d^2, gdje je d promjer kruga. Uzmimo isti primjer, gdje je polumjer 5 cm. Tada će njegov promjer biti 5 * 2 = 10 cm. Rezultat, jednak zbroju izračuna u prvom primjeru, potvrđuje ispravnost izračuna u oba slučaja.

Površina kruga kroz opseg

Ako je polumjer kruga predstavljen u smislu opsega, tada će formula imati sljedeći pogled: R=(L/2)π. Zamijenimo ovaj izraz u formulu za površinu kruga i kao rezultat dobivamo S=(L^2)/4π. Razmotrimo primjer u kojem je opseg 10 cm. Tada je površina kruga S = (10^2)/4*3,14=7,96 kvadratnih metara. cm.

Površina kruga kroz duljinu stranice upisanog kvadrata

Ako je kvadrat upisan u krug, tada je duljina promjera kruga jednaka duljini dijagonale kvadrata. Znajući veličinu stranice kvadrata, lako možete saznati promjer kruga pomoću formule: d^2=2a^2. Drugim riječima, promjer na 2. potenciju jednak je stranici kvadrata na 2. potenciju pomnoženoj s 2.

Nakon što izračunate duljinu promjera kruga, možete saznati njegov polumjer, a zatim upotrijebiti jednu od formula za određivanje površine kruga.

Površina sektora kruga

Sektor je dio kruga ograničen s 2 radijusa i lukom između njih. Da biste saznali njegovu površinu, morate izmjeriti kut sektora. Nakon toga morate stvoriti razlomak, čiji će brojnik biti vrijednost kuta sektora, a nazivnik će biti 360. Da biste izračunali površinu sektora, vrijednost dobivena dijeljenjem razlomka mora pomnožiti s površinom kruga, izračunatom pomoću jedne od gornjih formula.

Kako pronaći područje kruga? Najprije pronađite radijus. Naučite rješavati jednostavne i složene probleme.

Krug je zatvorena krivulja. Bilo koja točka na kružnoj liniji bit će jednako udaljena od središnje točke. Krug je ravna figura, pa je rješavanje problema koji uključuju nalaženje površine jednostavno. U ovom ćemo članku pogledati kako pronaći područje kruga upisanog u trokut, trapez, kvadrat i opisanog oko tih figura.

Da biste pronašli površinu date figure, morate znati koji su radijus, promjer i broj π.

Radijus R je udaljenost ograničena središtem kruga. Duljine svih R-polumjera jedne kružnice bit će jednake.

Promjer D je linija između bilo koje dvije točke na kružnici koja prolazi kroz središnju točku. Duljina ovog segmenta jednaka je duljini R-radijusa pomnoženoj s 2.

Broj π je konstantna vrijednost koja je jednaka 3,1415926. U matematici se ovaj broj obično zaokružuje na 3,14.

Formula za pronalaženje površine kruga pomoću radijusa:

Primjeri rješavanja problema nalaženja S-površine kruga pomoću R-radijusa:

Zadatak: Odredite površinu kruga ako je njegov polumjer 7 cm.

Riješenje: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Odgovor: Površina kruga je 153,86 cm².

Formula za pronalaženje S-površine kruga kroz D-promjer:

Primjeri rješavanja problema za pronalaženje S ako je D poznato:

————————————————————————————————————————-

Zadatak: Odredi S kružnice ako je D 10 cm.

Riješenje: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Odgovor: Površina ravnog kružnog lika je 78,5 cm².

Određivanje S kruga ako je poznat opseg:

Prvo ćemo pronaći što jednak radijusu. Opseg kruga izračunava se formulom: L=2πR, odnosno radijus R će biti jednak L/2π. Sada pronalazimo područje kruga pomoću formule kroz R.

Pogledajmo rješenje pomoću primjera problema:

———————————————————————————————————————-

Zadatak: Odredite površinu kruga ako je poznat opseg L - 12 cm.

Riješenje: Prvo nalazimo radijus: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Sada nalazimo površinu polumjera: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Odgovor: Površina kruga je 11,46 cm².

Lako je pronaći površinu kruga upisanog u kvadrat. Stranica kvadrata je promjer kruga. Da biste pronašli polumjer, morate stranicu podijeliti s 2.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u kvadrat:

Primjeri rješavanja problema pronalaženja površine kruga upisanog u kvadrat:

———————————————————————————————————————

Zadatak #1: Poznata je stranica kvadratnog lika koja iznosi 6 centimetara. Pronađite S-površinu upisane kružnice.

Riješenje: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Odgovor: Površina ravnog kružnog lika je 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Zadatak br. 2: Odredi S kružnice upisane u kvadrat i njen polumjer ako je jedna stranica a=4 cm.

Odlučite se ovako: Prvo nalazimo R=a/2=4/2=2 cm.

Nađimo sada površinu kruga S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

Odgovor: Površina ravnog kružnog lika je 12,56 cm².

Malo je teže pronaći površinu kružne figure opisane oko kvadrata. Ali, znajući formulu, možete brzo izračunati ovu vrijednost.

Formula za pronalaženje S kruga opisanog oko kvadrata:

Primjeri rješavanja problema za pronalaženje površine kruga opisanog oko kvadrata:

Zadatak

Kružnica koja je upisana u trokut je kružnica koja dodiruje sve tri stranice trokuta. Možete uklopiti krug u bilo koju trokutastu figuru, ali samo u jednu. Središte kružnice bit će sjecište simetrala kutova trokuta.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u jednakokračan trokut:

Nakon što je polumjer poznat, površina se može izračunati pomoću formule: S=πR².

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trokut:

Primjeri rješavanja problema:

Zadatak br. 1

Ako u ovom zadatku također trebate pronaći površinu kruga polumjera 4 cm, onda se to može učiniti pomoću formule: S=πR²

Zadatak br. 2

Riješenje:

Sada kada je polumjer poznat, možemo pronaći površinu kruga pomoću polumjera. Vidi formulu iznad u tekstu.

Zadatak br. 3

Područje kruga opisanog oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta: formula, primjeri rješavanja problema

Sve formule za pronalaženje površine kruga svode se na činjenicu da prvo morate pronaći njegov polumjer. Kada je radijus poznat, pronalaženje površine je jednostavno, kao što je gore opisano.

Površina kruga opisanog oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta nalazi se sljedećom formulom:

Primjeri rješavanja problema:

Evo još jednog primjera rješavanja problema korištenjem Heronove formule.

Rješavanje takvih problema je teško, ali oni se mogu svladati ako znate sve formule. Takve zadatke učenici rješavaju u 9. razredu.

Područje kruga upisanog u pravokutni i jednakokračni trapez: formula, primjeri rješavanja problema

Jednakokračni trapez ima dvije jednake stranice. Pravokutni trapez ima jedan kut jednak 90º. Razmotrimo kako pronaći područje kruga upisanog u pravokutnik i jednakokračni trapez na primjeru rješavanja problema.

Na primjer, u jednakokračni trapez upisana je kružnica koja u točki dodira dijeli jednu stranicu na segmente m i n.

Za rješavanje ovog problema potrebno je koristiti sljedeće formule:

Pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trapez vrši se pomoću sljedeće formule:

Ako je bočna stranica poznata, polumjer se može pronaći pomoću ove vrijednosti. Visina stranice trapeza jednaka je promjeru kruga, a polumjer je polovici promjera. Prema tome, radijus je R=d/2.

Primjeri rješavanja problema:

Trapez se može upisati u krug ako je zbroj njegovih nasuprotnih kutova 180º. Prema tome, možete upisati samo jednakokračni trapez. Polumjer za izračunavanje površine kruga opisanog oko pravokutnog ili jednakokračnog trapeza izračunava se pomoću sljedećih formula:

Primjeri rješavanja problema:

Riješenje: Velika baza u u ovom slučaju prolazi kroz središte, jer je jednakokračni trapez upisan u krug. Središte dijeli ovu bazu točno na pola. Ako je baza AB 12, tada se radijus R može pronaći na sljedeći način: R=12/2=6.

Odgovor: Polumjer je 6.

U geometriji je važno znati formule. Ali nemoguće ih je sve zapamtiti, pa je čak i na mnogim ispitima dopušteno koristiti poseban obrazac. Međutim, važno je znati pronaći ispravna formula riješiti određeni problem. Vježbajte rješavanje različite zadatke pronaći radijus i površinu kruga kako bi mogli ispravno zamijeniti formule i dobiti točne odgovore.

Video: Matematika | Izračunavanje površina kruga i njegovih dijelova

U geometriji svuda okolo je skup svih točaka na ravnini koje su udaljene od jedne točke, koja se naziva njezino središte, za udaljenost koja nije veća od zadane, koja se naziva njezin polumjer. U ovom slučaju, vanjska granica kruga je krug, a u slučaju da je duljina polumjera nula, krug degenerira do točke.

Određivanje površine kruga

Ako je potrebno područje kruga može se izračunati pomoću formule:

r- radijus kruga

D- promjer kruga

S- površina kruga

π - 3.14

Ovaj geometrijski lik vrlo često nalazimo i u tehnici i u arhitekturi. Dizajneri strojeva i mehanizama razvijaju različite dijelove, od kojih su dijelovi mnogih točni krug. Na primjer, to su osovine, šipke, šipke, cilindri, osovine, klipovi i tako dalje. U proizvodnji ovih dijelova, praznine iz raznih materijala(metali, drvo, plastika), njihovi presjeci također točno predstavljaju krug. Nije potrebno spominjati da programeri često moraju kalkulirati područje kruga kroz promjer ili polumjer, koristeći jednostavan matematičke formule, otkriven u antičko doba.

Upravo tada okrugli elementi počeo se aktivno i naširoko koristiti u arhitekturi. Jedan od najupečatljivijih primjera toga je cirkus, vrsta građevine namijenjena za održavanje raznih zabavnih događanja. Njihove arene su oblikovane krug, a prvi put su se počeli graditi u antičko doba. Sama riječ" cirkus"prevedeno sa latinski jezik sredstva " krug" Ako su se u davnim vremenima u cirkusima održavale kazališne predstave i borbe gladijatora, sada se u njima gotovo isključivo održavaju cirkuske predstave u kojima sudjeluju dreseri, akrobati, mađioničari, klaunovi itd. Standardni promjer cirkuska arena je 13 metara, i to nije nimalo slučajno: činjenica je da pruža minimum potrebnih geometrijski parametri arena u kojoj cirkuski konji mogu galopirati u krugovima. Ako izračunamo područje kruga kroz promjer, ispada da je za cirkusku arenu ta vrijednost 113,04 četvornih metara.

Arhitektonski elementi koji mogu imati oblik kruga su prozori. Naravno, u većini slučajeva oni su pravokutni ili kvadratni (najviše zbog činjenice da je to lakše i za arhitekte i za graditelje), ali u nekim zgradama možete pronaći i okrugle prozore. Štoviše, u takvim vozila, poput zračnih, morskih i riječnih plovila, najčešće su upravo ovakvi.

Nije neuobičajeno koristiti okrugli elementi za proizvodnju namještaja, kao što su stolovi i stolice. Postoji čak i koncept " Okrugli stol “, što podrazumijeva konstruktivnu raspravu, tijekom koje se svestrano raspravlja o različitim važna pitanja te se razvijaju načini za njihovo rješavanje. Što se tiče same izrade radnih ploča koje imaju okrugli oblik, tada se za njihovu proizvodnju koriste specijalizirani alati i oprema, uz sudjelovanje radnika s prilično visokim kvalifikacijama.

je ravna figura koja predstavlja skup točaka jednako udaljenih od središta. Svi su na istoj udaljenosti i tvore krug.

Isječak koji spaja središte kružnice s točkama na njenom obodu naziva se radius. U svakoj kružnici svi radijusi su međusobno jednaki. Pravac koji spaja dvije točke kružnice i prolazi središtem naziva se promjer. Formula za površinu kruga izračunava se pomoću matematičke konstante - broja π..

Ovo je zanimljivo : Broj π. predstavlja omjer opsega kruga i duljine njegovog promjera i konstantna je vrijednost. Vrijednost π = 3,1415926 korištena je nakon rada L. Eulera 1737. godine.

Površina kruga može se izračunati pomoću konstante π. a polumjer kruga. Formula za površinu kruga u smislu radijusa izgleda ovako:

Pogledajmo primjer izračuna površine kruga pomoću polumjera. Neka nam je dana kružnica polumjera R = 4 cm. Nađimo površinu figure.

Površina našeg kruga bit će 50,24 četvornih metara. cm.

Postoji formula površina kruga kroz promjer. Također se široko koristi za izračunavanje potrebnih parametara. Ove formule se mogu koristiti za pronalaženje.

Razmotrimo primjer izračuna površine kruga kroz njegov promjer, znajući njegov polumjer. Neka nam je dana kružnica polumjera R = 4 cm. Najprije ćemo pronaći promjer, koji je, kao što je poznato, dvostruko veći od polumjera.


Sada koristimo podatke za primjer izračuna površine kruga pomoću gornje formule:

Kao što vidite, rezultat je isti odgovor kao u prvim izračunima.

Poznavanje standardnih formula za izračunavanje površine kruga pomoći će vam da lakše odredite u budućnosti područje sektora i lako pronaći količine koje nedostaju.

Već znamo da se formula za površinu kruga izračunava množenjem konstantne vrijednosti π s kvadratom polumjera kruga. Polumjer se može izraziti u smislu opsega i zamijeniti izraz u formuli za područje kruga u smislu opsega:
Sada zamijenimo ovu jednakost u formulu za izračunavanje površine kruga i dobijemo formulu za pronalaženje površine kruga pomoću opsega

Razmotrimo primjer izračuna površine kruga pomoću opsega. Neka je dana kružnica duljine l = 8 cm. Zamijenite vrijednost u izvedenu formulu:

Ukupna površina kruga bit će 5 četvornih metara. cm.

Površina kruga opisanog oko kvadrata

Vrlo je lako pronaći površinu kruga opisanog oko kvadrata.

Da biste to učinili, potrebna vam je samo strana kvadrata i znanje jednostavne formule. Dijagonala kvadrata bit će jednaka dijagonali opisane kružnice. Poznavajući stranu a, može se pronaći pomoću Pitagorinog teorema: odavde.
Nakon što nađemo dijagonalu, možemo izračunati polumjer: .
A onda ćemo sve zamijeniti u osnovnu formulu za površinu kruga opisanog oko kvadrata: