Podjela prirodni brojevi, osobito polisemantičke, zgodne su za izvođenje posebna metoda, koji je dobio ime dijeljenje stupcem (u stupcu). Također možete pronaći ime kutna podjela. Odmah napomenimo da se stupcem mogu dijeliti prirodni brojevi bez ostatka i prirodni brojevi s ostatkom.

U ovom ćemo članku pogledati koliko se dugo provodi dijeljenje. Ovdje ćemo govoriti o pravilima snimanja i svim međuizračunima. Najprije se usredotočimo na dijeljenje višeznamenkastog prirodnog broja stupcem jednoznamenkasti broj. Nakon ovoga ćemo se usredotočiti na slučajeve kada su i dividenda i djelitelj višeznačni prirodni brojevi. Cjelokupna teorija ovog članka opskrbljena je tipičnim primjerima dijeljenja stupcem prirodnih brojeva s detaljnim objašnjenjima rješenja i ilustracijama.

Navigacija po stranici.

Pravila za snimanje kod dijeljenja stupcem

Počnimo s proučavanjem pravila za pisanje dividende, djelitelja, svih srednjih izračuna i rezultata pri dijeljenju prirodnih brojeva stupcem. Recimo odmah da je podjelu stupaca najprikladnije obaviti pismeno na papiru kariranom linijom - tako je manja vjerojatnost odstupanja od željenog retka i stupca.

Najprije se u jednom redu s lijeva na desno ispisuju djelitelj i djelitelj, nakon čega se između napisanih brojeva ucrtava simbol oblika. Na primjer, ako je dividenda broj 6 105, a djelitelj 5 5, tada će njihovo ispravno bilježenje prilikom dijeljenja u stupac biti sljedeće:

Pogledajte sljedeći dijagram kako biste ilustrirali gdje napisati dividendu, djelitelj, kvocijent, ostatak i međuizračune u dugom dijeljenju.

Iz gornjeg dijagrama jasno je da će traženi kvocijent (ili nepotpuni kvocijent kod dijeljenja s ostatkom) biti upisan ispod djelitelja ispod vodoravne crte. Međuizračuni će se provesti ispod dividende, a morate unaprijed voditi računa o dostupnosti prostora na stranici. U ovom slučaju, trebate se voditi pravilom: što je veća razlika u broju znakova u unosima dividende i djelitelja, to će biti potrebno više prostora. Na primjer, pri dijeljenju prirodnog broja 614.808 s 51.234 stupcem (614.808 je šesteroznamenkasti broj, 51.234 je peteroznamenkasti broj, razlika u broju znakova u zapisima je 6−5 = 1), među izračuni će zahtijevati manje prostora nego kod dijeljenja brojeva 8 058 i 4 (ovdje je razlika u broju znamenki 4−1=3). Da bismo potvrdili naše riječi, donosimo potpune zapise dijeljenja stupcem ovih prirodnih brojeva:

Sada možete izravno nastaviti s postupkom dijeljenja prirodnih brojeva stupcem.

Dijeljenje prirodnog broja u stupac jednoznamenkastim prirodnim brojem, algoritam dijeljenja u stupac

Jasno je da je dijeljenje jednog jednoznamenkastog prirodnog broja drugim sasvim jednostavno i nema razloga dijeliti te brojeve u stupac. Međutim, bit će korisno uvježbati svoje početne vještine dugog dijeljenja pomoću ovih jednostavnih primjera.

Primjer.

Neka trebamo podijeliti stupcem 8 sa 2.

Riješenje.

Naravno, možemo izvršiti dijeljenje pomoću tablice množenja i odmah zapisati odgovor 8:2=4.

Ali nas zanima kako te brojeve podijeliti stupcem.

Najprije zapisujemo dividendu 8 i djelitelj 2 kako zahtijeva metoda:

Sada počinjemo otkrivati ​​koliko je puta djelitelj sadržan u dividendi. Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s brojevima 0, 1, 2, 3, ... sve dok rezultat ne bude broj jednak djelitelju (ili broj veći od djelitelja, ako postoji dijeljenje s ostatkom ). Ako dobijemo broj jednak djelitelju, tada ga odmah upišemo ispod djelitelja, a na mjesto količnika upišemo broj kojim smo pomnožili djelitelj. Ako dobijemo broj veći od djelitelja, tada ispod djelitelja upišemo broj izračunat na pretposljednjem koraku, a na mjesto nepotpunog količnika upišemo broj s kojim je djelitelj pomnožen na pretposljednjem koraku.

Idemo: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Dobili smo broj jednak dividendi, pa ga upisujemo ispod dividende, a umjesto količnika upisujemo broj 4. U ovom slučaju, unos će biti prihvaćen sljedeći pogled:

Preostaje završna faza dijeljenja jednoznamenkastih prirodnih brojeva stupcem. Ispod broja koji je napisan ispod dividende potrebno je povući vodoravnu crtu, a brojeve iznad te crte oduzeti na isti način kao što se to radi kod oduzimanja prirodnih brojeva u stupcu. Broj dobiven oduzimanjem bit će ostatak dijeljenja. Ako je jednak nuli, tada se izvorni brojevi dijele bez ostatka.

U našem primjeru dobivamo

Sada je pred nama završena snimka dijeljenja broja 8 sa 2 u stupcu. Vidimo da je kvocijent 8:2 4 (a ostatak je 0).

Odgovor:

8:2=4 .

Pogledajmo sada kako stupac dijeli jednoznamenkaste prirodne brojeve s ostatkom.

Primjer.

Podijelite stupcem 7 sa 3.

Riješenje.

Na početno stanje unos izgleda ovako:

Počinjemo otkrivati ​​koliko puta dividenda sadrži djelitelj. Pomnožit ćemo 3 s 0, 1, 2, 3 itd. dok ne dobijemo broj jednak ili veći od dividende 7. Dobivamo 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (po potrebi pogledati članak usporedba prirodnih brojeva). Ispod dividende upisujemo broj 6 (dobiven je u pretposljednjem koraku), a umjesto nepotpunog količnika upisujemo broj 2 (njome je izvršeno množenje u pretposljednjem koraku).

Preostaje još izvršiti oduzimanje i dijeljenje stupcem jednoznamenkastih prirodnih brojeva 7 i 3 bit će završeno.

Dakle, djelomični kvocijent je 2, a ostatak je 1.

Odgovor:

7:3=2 (odmor. 1) .

Sada možete prijeći na dijeljenje višeznamenkastih prirodnih brojeva po stupcima na jednoznamenkaste prirodne brojeve.

Sada ćemo to shvatiti algoritam dugog dijeljenja. U svakoj fazi prikazat ćemo rezultate dobivene dijeljenjem višeznamenkastog prirodnog broja 140 288 s jednoznamenkastim prirodnim brojem 4. Ovaj primjer nije slučajno odabran jer ćemo se pri njegovom rješavanju susresti sa svim mogućim nijansama i moći ćemo ih detaljno analizirati.

Prvo gledamo prvu znamenku s lijeve strane u zapisu dividende. Ako je broj definiran ovim brojem veći od djelitelja, tada u sljedećem odlomku moramo raditi s tim brojem. Ako je taj broj manji od djelitelja, tada u razmatranje trebamo dodati sljedeću znamenku lijevo u zapisu dividende i nastaviti raditi s brojem koji je određen dvjema znamenkama koje razmatramo. Radi praktičnosti, u našoj notaciji ističemo broj s kojim ćemo raditi.

Prva znamenka slijeva u oznaci dividende 140288 je znamenka 1. Broj 1 manji je od djelitelja 4, pa gledamo i sljedeću znamenku lijevo u oznaci djelitelja. U isto vrijeme vidimo broj 14, s kojim moramo dalje raditi. Taj broj ističemo u oznaci dividende.

Sljedeći koraci od drugog do četvrtog ponavljaju se ciklički dok se ne završi dijeljenje prirodnih brojeva stupcem.

Sada moramo odrediti koliko je puta djelitelj sadržan u broju s kojim radimo (radi praktičnosti, označimo ovaj broj kao x). Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj x ili broj veći od x. Kad dobijemo broj x, upisujemo ga ispod označenog broja prema pravilima zapisivanja po kojima se prirodni brojevi oduzimaju u stupcu. Broj kojim je izvršeno množenje zapisuje se umjesto kvocijenta tijekom prvog prolaza algoritma (u sljedećim prolazima 2-4 točke algoritma, ovaj broj se piše desno od brojeva koji se već nalaze). Kada se dobije broj koji je veći od broja x, tada ispod označenog broja upisujemo broj dobiven u pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika (ili desno od brojeva koji već postoje) upisujemo broj tako pri čemu je množenje izvršeno u pretposljednjem koraku. (Izveli smo slične akcije u dva gore razmotrena primjera).

Množimo djelitelj 4 brojevima 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj jednak 14 ili veći od 14. Imamo 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Kako smo u zadnjem koraku dobili broj 16, koji je veći od 14, tada ispod istaknutog broja upisujemo broj 12, koji smo dobili u pretposljednjem koraku, a umjesto količnika upisujemo broj 3, jer u pretposljednja točka množenje je izvršeno upravo njime.


U ovoj fazi od odabranog broja pomoću stupca oduzmite broj ispod njega. Ispod vodoravne crte upisuje se rezultat oduzimanja. Međutim, ako je rezultat oduzimanja jednak nuli, tada ga ne treba zapisivati ​​(osim ako je oduzimanje u tom trenutku posljednja radnja koja u potpunosti dovršava proces dugog dijeljenja). Ovdje za vlastitu kontrolu ne bi bilo naodmet usporediti rezultat oduzimanja s djeliteljem i uvjeriti se da je manji od djelitelja. Inače je negdje napravljena greška.

Od broja 14 trebamo stupcem oduzeti broj 12 (za ispravnost zapisa ne zaboravimo staviti znak minus lijevo od brojeva koji se oduzimaju). Nakon završetka ove radnje ispod vodoravne crte pojavio se broj 2. Sada provjeravamo naše izračune uspoređujući dobiveni broj s djeliteljem. Budući da je broj 2 manji od djelitelja 4, možete sigurno prijeći na sljedeću točku.


Sada ispod vodoravne crte desno od brojeva koji se tamo nalaze (ili desno od mjesta gdje nismo upisali nulu) upisujemo broj koji se nalazi u istom stupcu u oznaci dividende. Ako u zapisu dividende u ovom stupcu nema brojeva, tada dijeljenje po stupcima tu završava. Nakon toga odabiremo broj formiran ispod vodoravne crte, prihvaćamo ga kao radni broj i s njim ponavljamo točke 2 do 4 algoritma.

Ispod vodoravne crte desno od broja 2 koji već postoji, upisujemo broj 0, budući da se upravo broj 0 nalazi u zapisu dividende 140.288 u ovom stupcu. Tako se ispod vodoravne crte formira broj 20.


Odaberemo ovaj broj 20, uzmemo ga kao radni broj i s njim ponovimo radnje druge, treće i četvrte točke algoritma.

Množimo djelitelj 4 s 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj 20 ili broj veći od 20. Imamo 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Oduzimanje izvodimo u stupcu. Budući da oduzimamo jednake prirodne brojeve, tada je na temelju svojstva oduzimanja jednakih prirodnih brojeva rezultat nula. Ne zapisujemo nulu (budući da ovo nije posljednja faza dijeljenja sa stupcem), ali se sjećamo mjesta gdje bismo je mogli napisati (radi praktičnosti, to ćemo mjesto označiti crnim pravokutnikom).


Ispod vodoravne crte desno od zapamćenog mjesta upisujemo broj 2, budući da se upravo on nalazi u zapisu dividende 140.288 u ovom stupcu. Dakle, ispod vodoravne crte imamo broj 2.


Uzimamo broj 2 kao radni broj, označavamo ga i još jednom ćemo morati izvršiti radnje 2-4 točke algoritma.

Množimo djelitelj s 0, 1, 2 i tako dalje te dobivene brojeve uspoređujemo s označenim brojem 2. Imamo 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Dakle, ispod označenog broja upisujemo broj 0 (dobili smo ga u pretposljednjem koraku), a na mjesto kvocijenta desno od broja koji već postoji upisujemo broj 0 (pomnožili smo s 0 u pretposljednjem koraku ).


Oduzimanje izvodimo u stupcu, ispod vodoravne crte dobivamo broj 2. Provjeravamo se uspoređujući dobiveni broj s djeliteljem 4. Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Ispod vodoravne crte desno od broja 2 dodajte broj 8 (jer je u ovom stupcu u unosu za dividendu 140 288). Tako se broj 28 pojavljuje ispod vodoravne crte.


Ovaj broj uzimamo kao radni broj, označavamo ga i ponavljamo korake 2-4.

Ovdje ne bi trebalo biti problema ako ste do sada bili oprezni. Nakon izvršenja svih potrebnih koraka dobiva se sljedeći rezultat.

Ostaje još samo posljednji put provesti korake iz točaka 2, 3, 4 (ovo prepuštamo vama) nakon čega ćete dobiti kompletnu sliku dijeljenja prirodnih brojeva 140,288 i 4 u stupac:

Imajte na umu da je broj 0 napisan u samom donjem redu. Da ovo nije zadnji korak dijeljenja po stupcu (odnosno da su u zapisu o dividendi ostali brojevi u stupcima s desne strane), tu nulu ne bismo pisali.

Dakle, gledajući završeni zapis dijeljenja višeznamenkastog prirodnog broja 140,288 jednoznamenkastim prirodnim brojem 4, vidimo da je kvocijent broj 35,072 (a ostatak dijeljenja je nula, nalazi se na samom dnu crta).

Naravno, kada prirodne brojeve dijelite stupcem, nećete tako detaljno opisati sve svoje radnje. Vaša će rješenja izgledati otprilike poput sljedećih primjera.

Primjer.

Izvršite dugo dijeljenje ako je dividenda 7 136, a djelitelj jednoznamenkasti prirodni broj 9.

Riješenje.

Na prvom koraku algoritma dijeljenja prirodnih brojeva po stupcima dobivamo zapis oblika

Nakon izvršenja radnji iz druge, treće i četvrte točke algoritma, zapis podjele stupca poprimit će oblik

Ponavljajući ciklus, imat ćemo

Još jedan prolaz će nam dati potpunu sliku dijeljenja stupaca prirodnih brojeva 7,136 i 9

Dakle, djelomični kvocijent je 792, a ostatak je 8.

Odgovor:

7 136:9=792 (ostatak. 8) .

A ovaj primjer pokazuje kako bi trebalo izgledati dugo dijeljenje.

Primjer.

Prirodni broj 7 042 035 podijelimo s jednoznamenkastim prirodnim brojem 7.

Riješenje.

Najprikladniji način dijeljenja je po stupcima.

Odgovor:

7 042 035:7=1 006 005 .

Dijeljenje višeznamenkastih prirodnih brojeva u stupac

Žurimo vas zadovoljiti: ako ste temeljito savladali algoritam podjele stupaca iz prethodnog odlomka ovog članka, tada gotovo već znate kako to izvesti stupčasto dijeljenje višeznamenkastih prirodnih brojeva. To je istina, budući da faze 2 do 4 algoritma ostaju nepromijenjene, au prvoj točki pojavljuju se samo manje promjene.

U prvoj fazi dijeljenja višeznamenkastih prirodnih brojeva u stupac, ne morate gledati prvu znamenku s lijeve strane u zapisu dividende, već njihov broj jednak broju znamenki sadržanih u zapisu djelitelja. Ako je broj definiran ovim brojevima veći od djelitelja, tada u sljedećem odlomku moramo raditi s tim brojem. Ako je taj broj manji od djelitelja, tada razmatranju trebamo dodati sljedeću znamenku s lijeve strane u oznaci dividende. Nakon toga se izvode radnje navedene u paragrafima 2, 3 i 4 algoritma dok se ne dobije konačni rezultat.

Ostaje još samo vidjeti primjenu algoritma dijeljenja stupcem za višeznačne prirodne brojeve u praksi pri rješavanju primjera.

Primjer.

Izvršimo dijeljenje u stupce višeznamenkastih prirodnih brojeva 5,562 i 206.

Riješenje.

Budući da djelitelj 206 sadrži 3 znamenke, gledamo prve 3 znamenke s lijeve strane u djelitelju 5,562. Ovi brojevi odgovaraju broju 556. Budući da je 556 veći od djelitelja 206, uzimamo broj 556 kao radni broj, odabiremo ga i prelazimo na sljedeću fazu algoritma.

Sada množimo djelitelj 206 s brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj koji je ili jednak 556 ili veći od 556. Imamo (ako je množenje teško, onda je bolje množiti prirodne brojeve u stupcu): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Budući da smo dobili broj koji je veći od broja 556, tada ispod označenog broja upisujemo broj 412 (dobiven je u pretposljednjem koraku), a umjesto količnika upisujemo broj 2 (jer smo njime množili na pretposljednjem koraku). Unos podjele stupaca ima sljedeći oblik:

Izvodimo oduzimanje stupca. Dobivamo razliku 144, ovaj broj je manji od djelitelja, tako da možete sigurno nastaviti s izvođenjem potrebnih radnji.

Ispod vodoravne crte desno od broja upisujemo broj 2, jer se nalazi u zapisu dividende 5562 u ovom stupcu:

Sada radimo s brojem 1442, odabiremo ga i ponovno prolazimo kroz korake od dva do četiri.

Množite djelitelj 206 s 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijete broj 1442 ili broj veći od 1442. Idemo: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Oduzimanje vršimo u stupcu, dobijemo nulu, ali je ne zapisujemo odmah, već samo zapamtimo njen položaj, jer ne znamo da li dijeljenje ovdje završava ili ćemo morati ponavljati ponovno korake algoritma:

Sada vidimo da ispod vodoravne crte desno od zapamćene pozicije ne možemo napisati nijedan broj, jer u zapisu dividende u ovom stupcu nema znamenki. Dakle, ovime je podjela po stupcima dovršena i dovršavamo unos:

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Matematika. Bilo koji udžbenik za 5. razred općeobrazovnih ustanova.

Kako podijeliti decimale prirodnim brojevima? Pogledajmo pravilo i njegovu primjenu na primjerima.

Da biste podijelili decimalni razlomak prirodnim brojem, potrebno je:

1) podijelite decimalni ulomak s brojem, zanemarujući zarez;

2) kada je dijeljenje cijelog dijela završeno, u kvocijent staviti zarez.

Primjeri.

Podijeli decimale:

Da biste podijelili decimalni razlomak prirodnim brojem, dijelite bez obraćanja pozornosti na zarez. 5 nije djeljivo sa 6, pa u kvocijent stavljamo nulu. Dijeljenje cijelog dijela je završeno, u kvocijent stavljamo zarez. Skidamo nulu. Podijelite 50 sa 6. Uzmite 8. 6∙8=48. Od 50 oduzmemo 48, ostatak je 2. Oduzmemo 4. Podijelimo 24 sa 6. Dobijemo 4. Ostatak je nula, što znači da je dijeljenje gotovo: 5,04 : 6 = 0,84.

2) 19,26: 18

Podijelite decimalni razlomak prirodnim brojem, zanemarujući zarez. Podijelite 19 sa 18. Uzmite 1 od cijelog dijela, stavite zarez u kvocijent. Od 19 oduzimamo 18. Ostatak je 1. Oduzimamo 2. 12 nije djeljivo s 18, au kvocijent upisujemo nulu. Skinemo 6. Podijelimo 126 sa 18, dobijemo 7. Podjela je gotova: 19,26: 18 = 1,07.

Podijelite 86 s 25. Uzmite 3 svaki 25∙3=75. Od 86 oduzimamo 75. Ostatak je 11. Dijeljenje cijelog dijela je završeno, u kvocijentu stavljamo zarez. Skidamo 5. Uzimamo po 4 25∙4=100. Od 115 oduzimamo 100. Ostatak je 15. Uklanjamo nulu. 150 podijelimo s 25. Dobijemo 6. Dijeljenje je gotovo: 86,5 : 25 = 3,46.

4) 0,1547: 17

Nula nije djeljiva sa 17; u kvocijent upisujemo nulu. Dijeljenje cijelog dijela je završeno, u kvocijent stavljamo zarez. Skinemo 1. 1 nije djeljiv sa 17, u kvocijent upišemo nulu. Skinemo 5. 15 nije djeljivo sa 17, u kvocijent upišemo nulu. Oduzimamo 4. Dijelimo 154 sa 17. Uzimamo 9 svaki 17∙9=153. Od 154 oduzimamo 153. Ostatak je 1. Oduzimamo 7. 17 dijelimo sa 17. Dobivamo 1. Dijeljenje je gotovo: 0,1547 : 17 = 0,0091.

5) Decimalni razlomak se može dobiti i dijeljenjem dva prirodna broja.

Kada dijelimo 17 sa 4, uzimamo 4 cijeli dio je završen, u kvocijentu stavljamo zarez. 4∙4=16. Od 17 oduzimamo 16. Ostatak je 1. Uklanjamo nulu. Podijelite 10 s 4. Uzmite 2. 4∙2=8. Od 10 oduzimamo 8. Ostatak je 2. Uklanjamo nulu. Podijelite 20 s 4. Uzmite po 5. Dijeljenje je završeno: 17: 4 = 4,25.

I još par primjera dijeljenja decimala prirodnim brojevima:

S ovim matematičkim programom možete podijeliti polinome po stupcima.
Program za dijeljenje polinoma polinomom ne daje samo odgovor na problem, on daje detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje postupak rješavanja za provjeru znanja iz matematike i/ili algebre.

Ovaj program može biti koristan za učenike srednjih škola u općim školama kada se pripremaju za testove i ispite, kada testiraju znanje prije Jedinstvenog državnog ispita, a roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.

Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina edukacije u području rješavanja problema povećava.

Ako trebate ili pojednostaviti polinom ili množenje polinoma, onda za to imamo poseban program Pojednostavljenje (množenje) polinoma

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Dijeljenje polinoma u polinom (binom) stupcem (kutom)

U algebri dijeljenje polinoma stupcem (kutom)- algoritam za dijeljenje polinoma f(x) polinomom (binomom) g(x), čiji je stupanj manji ili jednak stupnju polinoma f(x).

Algoritam dijeljenja polinom po polinom je generalizirani oblik dijeljenja brojeva u stupcu koji se lako može implementirati ručno.

Za sve polinome \(f(x) \) i \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), postoje jedinstveni polinomi \(q(x) \) i \(r( x ) \), tako da
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
i \(r(x)\) ima niži stupanj od \(g(x)\).

Cilj algoritma za dijeljenje polinoma u stupac (kut) je pronaći kvocijent \(q(x) \) i ostatak \(r(x) \) za zadanu dividendu \(f(x) \) i djelitelj različit od nule \(g(x) \)

Primjer

Podijelimo jedan polinom drugim polinomom (binomom) pomoću stupca (kuta):
\(\veliki \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Kvocijent i ostatak ovih polinoma mogu se pronaći izvođenjem sljedećih koraka:
1. Prvi element djelitelja podijelite s najvećim elementom djelitelja, rezultat stavite ispod crte \((x^3/x = x^2)\)

3. Polinom dobiven množenjem oduzmite od dividende, rezultat upišite ispod crte \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

4. Ponovite prethodna 3 koraka, koristeći polinom napisan ispod crte kao dividendu.

5. Ponovite korak 4.

6. Kraj algoritma.
Dakle, polinom \(q(x)=x^2-9x-27\) je kvocijent dijeljenja polinoma, a \(r(x)=-123\) je ostatak dijeljenja polinoma.

Rezultat dijeljenja polinoma može se napisati u obliku dvije jednakosti:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
ili
\(\veliki(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \veliki(\frac(-123)(x-3)) \)

Višeznamenkaste brojeve najlakše dijelimo stupcem. Podjela stupaca također se naziva kutna podjela.

Prije nego počnemo izvoditi dijeljenje stupcem, detaljno ćemo razmotriti sam oblik bilježenja dijeljenja stupcem. Prvo zapišite dividendu i stavite okomitu crtu desno od nje:

Iza okomite crte, nasuprot dividendi, upišite djelitelj i ispod njega povucite vodoravnu crtu:

Ispod vodoravne crte dobiveni kvocijent bit će zapisan korak po korak:

Međuizračuni bit će napisani ispod dividende:

Potpuni oblik pisanja podjele po stupcima je sljedeći:

Kako podijeliti po stupcima

Recimo da trebamo podijeliti 780 sa 12, napisati akciju u stupac i nastaviti s dijeljenjem:

Podjela stupaca izvodi se u fazama. Prvo što trebamo učiniti je odrediti nepotpunu dividendu. Gledamo prvu znamenku dividende:

ovaj broj je 7, budući da je manji od djelitelja, od njega ne možemo krenuti u dijeljenje, što znači da treba uzeti drugu znamenku od djelitelja, broj 78 je veći od djelitelja, pa od njega krećemo u dijeljenje:

U našem slučaju to će biti broj 78 nepotpuno djeljiv, naziva se nepotpunim jer je samo dio djeljivog.

Nakon što smo odredili nepotpunu dividendu, možemo saznati koliko će znamenki biti u količniku, za to moramo izračunati koliko je znamenki ostalo u dividendi nakon nepotpune dividende, u našem slučaju postoji samo jedna znamenka - 0, ovo znači da će se kvocijent sastojati od 2 znamenke.

Nakon što ste saznali broj znamenki koje bi trebale biti u kvocijentu, možete staviti točke na njegovo mjesto. Ako se pri dovršetku dijeljenja pokaže da je broj znamenki veći ili manji od navedenih točaka, negdje je napravljena pogreška:

Počnimo dijeliti. Trebamo odrediti koliko je puta 12 sadržano u broju 78. Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s prirodnim brojevima 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj što bliži nepotpunom djelitelju ili mu je jednak, ali ga ne prelazi. Tako dobivamo broj 6, upisujemo ga ispod djelitelja, a od 78 (prema pravilima oduzimanja stupca) oduzimamo 72 (12 · 6 = 72). Nakon što oduzmemo 72 od 78, ostatak je 6:

Imajte na umu da nam ostatak dijeljenja pokazuje jesmo li broj ispravno odabrali. Ako je ostatak jednak ili veći od djelitelja, tada nismo dobro odabrali broj i trebamo uzeti veći broj.

Dobivenom ostatku - 6, dodajte sljedeću znamenku dividende - 0. Kao rezultat toga, dobivamo nepotpunu dividendu - 60. Odredite koliko je puta 12 sadržano u broju 60. Dobivamo broj 5, zapišite ga u kvocijent iza broja 6, a od 60 oduzmite 60 ( 12 5 = 60). Ostatak je nula:

Budući da više nema preostalih znamenki u dividendi, to znači da je 780 potpuno podijeljeno s 12. Kao rezultat izvođenja dugog dijeljenja, pronašli smo kvocijent - zapisan je ispod djelitelja:

Razmotrimo primjer kada kvocijent rezultira nulama. Recimo da trebamo podijeliti 9027 s 9.

Određujemo nepotpunu dividendu - to je broj 9. Upisujemo 1 u kvocijent i oduzimamo 9 od 9. Ostatak je nula. Obično, ako je u međuizračunima ostatak nula, on se ne zapisuje:

Skidamo sljedeću znamenku dividende - 0. Zapamtimo da će pri dijeljenju nule bilo kojim brojem biti nula. Upisujemo nulu u kvocijent (0: 9 = 0) i oduzimamo 0 od 0 u međuizračunima. Obično se, kako ne bi zatrpali međuizračunima, ne zapisuju izračuni s nulom:

Skidamo sljedeću znamenku dividende - 2. U međuizračunima se pokazalo da je nepotpuna dividenda (2) manja od djelitelja (9). U ovom slučaju upišite nulu u kvocijent i uklonite sljedeću znamenku dividende:

Određujemo koliko je puta 9 sadržano u broju 27. Dobivamo broj 3, zapisujemo ga kao kvocijent i od 27 oduzimamo 27. Ostatak je nula:

Budući da u dividendi nema više znamenki, to znači da je broj 9027 potpuno podijeljen s 9:

Razmotrimo primjer kada dividenda završava nulama. Recimo da trebamo podijeliti 3000 sa 6.

Odredimo nepotpunu dividendu - to je broj 30. U kvocijent upišemo 5 i od 30 oduzmemo 30. Ostatak je nula. Kao što je već spomenuto, nije potrebno pisati nulu u ostatku u međuizračunima:

Skidamo sljedeću znamenku dividende - 0. Budući da će dijeljenje nule bilo kojim brojem rezultirati nulom, upisujemo nulu u kvocijent i oduzimamo 0 od 0 u međuizračunima:

Upisujemo sljedeću znamenku dividende - 0. Upisujemo još jednu nulu u kvocijent i oduzimamo 0 od 0 u međuizračunima Budući da se u međuizračunima obično ne zapisuju izračuni s nulom, unos se može skratiti, ostavljajući samo. ostatak - 0. Nula u ostatku na samom kraju izračuna obično se piše da pokaže da je dijeljenje završeno:

Budući da više nema preostalih znamenki u dividendi, to znači da je 3000 potpuno podijeljeno sa 6:

Dijeljenje u stupac s ostatkom

Recimo da trebamo podijeliti 1340 sa 23.

Odredimo nepotpunu dividendu - to je broj 134. U kvocijent upišemo 5 i od 134 oduzmemo 115. Ostatak je 19:

Skidamo sljedeću znamenku dividende - 0. Određujemo koliko je puta 23 sadržano u broju 190. Dobivamo broj 8, upisujemo ga u kvocijent i od 190 oduzimamo 184. Dobivamo ostatak 6:

Budući da u dividendi nema više znamenki, dijeljenje je gotovo. Rezultat je nepotpuni kvocijent 58 i ostatak 6:

1340: 23 = 58 (ostatak 6)

Ostaje razmotriti primjer dijeljenja s ostatkom, kada je dividenda manja od djelitelja. Trebamo podijeliti 3 s 10. Vidimo da 10 nikada nije sadržano u broju 3, pa pišemo 0 kao kvocijent i oduzimamo 0 od 3 (10 · 0 = 0). Nacrtajte vodoravnu liniju i zapišite ostatak - 3:

3: 10 = 0 (ostatak 3)

Kalkulator dugih dijeljenja

Ovaj kalkulator pomoći će vam u dugom dijeljenju. Jednostavno unesite dividendu i djelitelj i kliknite gumb Izračunaj.

Podjela višeznamenkaste ili višeznamenkaste brojeve prikladno je proizvesti u pisanom obliku u koloni. Smislimo kako to učiniti. Počnimo s dijeljenjem višeznamenkastog broja s jednoznamenkastim brojem i postupno povećavajmo znamenku dividende.

Pa da se podijelimo 354 na 2 . Prvo postavimo ove brojeve kao što je prikazano na slici:

Dividendu stavljamo lijevo, djelitelj desno, a ispod djelitelja ćemo napisati količnik.

Sada počinjemo dijeliti dividendu djeliteljem po bitovima s lijeva na desno. Pronašli smo prva nepotpuna dividenda, za ovo uzmemo prvu znamenku s lijeve strane, u našem slučaju 3, i usporedimo je s djeliteljem.

3 više 2 , Sredstva 3 a postoji i nepotpuna dividenda. U kvocijent stavimo točku i odredimo koliko će još znamenki biti u količniku - onoliko koliko je ostalo u dividendu nakon odabira nepotpunog dividenda. U našem slučaju kvocijent ima isti broj znamenki kao i dividenda, odnosno najznačajnija znamenka bit će stotine:

Da bi 3 podijeliti po 2 zapamtite tablicu množenja s 2 i pronađite broj, kada pomnožite s 2 dobivate najveći umnožak, koji je manji od 3.

2 × 1 = 2 (2< 3)

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 manje 3 , A 4 više, što znači da uzimamo prvi primjer i množitelj 1 .

Snimanje 1 kvocijentu na mjestu prve točke (na mjestu stotica), a pronađeni umnožak upišite ispod dividende:

Sada nalazimo razliku između prve nepotpune dividende i umnoška pronađenog količnika i djelitelja:

Dobivena vrijednost se uspoređuje s djeliteljem. 15 više 2 , što znači da smo pronašli drugu nepotpunu dividendu. Da bismo pronašli rezultat dijeljenja 15 na 2 ponovno se prisjetite tablice množenja 2 i pronaći najveći proizvod koji je manji 15 :

2 × 7 = 14 (14< 15)

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Potreban množitelj 7 , zapisujemo ga kao kvocijent na mjestu druge točke (u deseticama). Nalazimo razliku između druge nepotpune dividende i umnoška pronađenog količnika i djelitelja:

Nastavljamo podjelu, zašto nalazimo treća nepotpuna dividenda. Spuštamo sljedeću znamenku dividende:

Nepotpunu dividendu dijelimo s 2 i dobivenu vrijednost stavljamo u kategoriju jedinica kvocijenta. Provjerimo ispravnost podjele:

2 × 7 = 14

Rezultat dijeljenja treće nepotpune dividende djeliteljem zapisujemo u kvocijent i nalazimo razliku:

Dobili smo razliku jednaku nuli, što znači da je dijeljenje obavljeno Pravo.

Komplicirajmo zadatak i dajmo još jedan primjer:

1020 ÷ 5

Zapišimo naš primjer u stupac i definirajmo prvi nepotpuni kvocijent:

Tisućito mjesto dividende je 1 , usporedite s djeliteljem:

1 < 5

Dodajemo mjesto stotica nepotpunoj dividendi i uspoređujemo:

10 > 5 – pronašli smo nepotpunu dividendu.

Mi dijelimo 10 na 5 , dobivamo 2 , upišite rezultat u kvocijent. Razlika između nepotpune dividende i rezultata množenja djelitelja i pronađenog količnika.

10 – 10 = 0

0 ne pišemo, izostavljamo sljedeću znamenku dividende – znamenku desetica:

Uspoređujemo drugu nepotpunu dividendu s djeliteljem.

2 < 5

Trebamo dodati još jednu znamenku nepotpunoj dividendi; za to stavljamo kvocijent, na znamenku desetica 0 :

20 ÷ 5 = 4

Odgovor upisujemo u kategoriju jedinica količnika i provjeravamo: umnožak upisujemo ispod druge nepotpune dividende i izračunavamo razliku. Dobivamo 0 , Sredstva primjer točno riješen.

I još 2 pravila za podjelu u stupac:

1. Ako dividenda i djelitelj imaju nule u nižim znamenkama, tada se prije dijeljenja mogu smanjiti, na primjer:

Koliko god nula u nižoj znamenki dividende uklonimo, isti broj nula uklonimo u nižoj znamenki djelitelja.

2. Ako u dividendi nakon dijeljenja ostanu nule, onda ih treba prenijeti u količnik:

Dakle, formulirajmo redoslijed radnji prilikom dijeljenja u stupac.

1. Postavite dividendu s lijeve strane, a djelitelj s desne strane. Sjećamo se da dividendu dijelimo izdvajanjem nepotpunih dividenda malo po malo i dijeleći ih uzastopno djeliteljem. Znamenke u nepotpunoj dividendi raspoređuju se s lijeva na desno od visokog prema niskom.
2. Ako dividenda i djelitelj imaju nule u nižim znamenkama, tada se mogu smanjiti prije dijeljenja.
3. Određujemo prvi nepotpuni djelitelj:

A) odabrati najvišu znamenku dividende u nepuni djelitelj;

b) usporedite nepotpunu dividendu s djeliteljem, ako je djelitelj veći, prijeđite na točku (V), ako je manji, onda smo pronašli nepotpunu dividendu i možemo prijeći na točku 4 ;

V) dodajte sljedeću znamenku nepotpunoj dividendi i prijeđite na točku (b).

1. Odredimo koliko će znamenaka biti u količniku, a na mjesto količnika (ispod djelitelja) stavimo onoliko točaka koliko će u njemu biti znamenaka. Jedan bod (jedna znamenka) za cijelu prvu nepotpunu dividendu, a preostali bodovi (znamenke) jednaki su broju preostalih znamenki u dividendi nakon odabira nepotpune dividende.
2. Podijelimo nepotpunu dividendu s djeliteljem; učinimo to, nalazimo broj koji bi, kada se pomnoži s djeliteljem, dao broj jednak ili manji od nepotpune dividende.
3. Pronađeni broj upisujemo umjesto sljedeće znamenke kvocijenta (točke), a rezultat množenja s djeliteljem upisujemo ispod nepunog djelitelja i nalazimo njihovu razliku.
4. Ako je pronađena razlika manja ili jednaka nepotpunoj dividendi, tada smo nepotpunu dividendu ispravno podijelili djeliteljem.
5. Ako su u dividendi ostale znamenke, nastavljamo s dijeljenjem, inače idemo na točku 10 .
6. Sljedeću znamenku dividende spuštamo na razliku i dobivamo sljedeću nepotpunu dividendu:

a) usporedimo nepotpunu dividendu s djeliteljem, ako je djelitelj veći, onda idemo na točku (b), ako je manji, tada smo pronašli nepotpunu dividendu i možemo prijeći na točku 4;

b) nepunoj dividendi dodajte sljedeću znamenku dividende, a na mjesto sljedeće znamenke (točke) u količniku upišite 0;

c) prijeđite na točku (a).

10. Ako smo izvršili dijeljenje bez ostatka i zadnja pronađena razlika je jednaka 0 , onda mi ispravno izvršio podjelu.

Razgovarali smo o dijeljenju višeznamenkastog broja jednoznamenkastim brojem. U slučaju da je razdjelnik veći, dijeljenje se izvodi na isti način: