Est le graphique de la fonction y kx b. Fonction linéaire

Instructions

Si le graphique est une droite passant par l'origine des coordonnées et formant un angle α avec l'axe OX (l'angle d'inclinaison de la droite par rapport au demi-axe positif OX). La fonction décrivant cette ligne aura la forme y = kx. Le coefficient de proportionnalité k est égal à tan α. Si une ligne droite passe par les 2e et 4e quartiers de coordonnées, alors k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 et la fonction est croissante. Soit une droite localisée. de diverses façons par rapport aux axes de coordonnées. Il s'agit d'une fonction linéaire et a la forme y = kx + b, où les variables x et y sont à la première puissance, et k et b peuvent être positifs, négatifs ou égaux à zéro. La droite est parallèle à la droite y = kx et se coupe à l'axe |b| unités. Si la ligne est parallèle à l'axe des abscisses, alors k = 0, si l'axe des ordonnées, alors l'équation a la forme x = const.

Une courbe constituée de deux branches situées dans des quartiers différents et symétriques par rapport à l'origine des coordonnées est une hyperbole. Ce graphique relation inverse variable y à partir de x et est décrite par l'équation y = k/x. Ici k ≠ 0 est le coefficient de proportionnalité. De plus, si k > 0, la fonction diminue ; si k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в angles de coordonnées.

La fonction quadratique a la forme y = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des quantités constantes et a  0. Si la condition b = c = 0 est remplie, l'équation de la fonction ressemble à y = ax2 ( le cas le plus simple), et son graphique est une parabole passant par l'origine. Le graphique de la fonction y = ax2 + bx + c a la même forme que le cas le plus simple de la fonction, mais son sommet (le point d'intersection avec l'axe OY) ne se trouve pas à l'origine.

Une parabole est également le graphique d'une fonction puissance exprimée par l'équation y = xⁿ, si n est un nombre pair. Si n est quelconque nombre impair, le graphique d’une telle fonction puissance ressemblera à une parabole cubique.
Si n est quelconque, l'équation de la fonction prend la forme. Le graphique de la fonction pour n impair sera une hyperbole, et pour n pair leurs branches seront symétriques par rapport à l'axe op.

Même pendant les années scolaires, les fonctions sont étudiées en détail et leurs graphiques sont construits. Mais, malheureusement, ils n'enseignent pratiquement pas comment lire le graphique d'une fonction et trouver son type à partir du dessin présenté. C'est en fait assez simple si vous vous souvenez des types de fonctions de base.

Instructions

Si le graphique présenté est , qui passe par l'origine des coordonnées et avec l'axe OX l'angle α (qui est l'angle d'inclinaison de la droite par rapport au demi-axe positif), alors la fonction décrivant une telle droite sera présenté comme y = kx. Dans ce cas, le coefficient de proportionnalité k égal à la tangente angle α.

Si une ligne donnée passe par les deuxième et quatrième quartiers de coordonnées, alors k est égal à 0 et la fonction augmente. Soit le graphique présenté une ligne droite située de quelque manière que ce soit par rapport aux axes de coordonnées. Alors la fonction d'un tel arts graphiques sera linéaire, qui est représenté par la forme y = kx + b, où les variables y et x sont dans la première, et b et k peuvent prendre des valeurs à la fois négatives et positives ou.

Si la ligne est parallèle à la ligne avec le graphique y = kx et coupe b unités sur l'axe des ordonnées, alors l'équation a la forme x = const, si le graphique est parallèle à l'axe des abscisses, alors k = 0.

Une ligne courbe composée de deux branches symétriques par rapport à l’origine et situées dans des quartiers différents est une hyperbole. Un tel graphique montre la dépendance inverse de la variable y sur la variable x et est décrit par une équation de la forme y = k/x, où k ne doit pas être égal à zéro, puisqu'il s'agit d'un coefficient proportionnalité inverse. De plus, si la valeur de k est supérieure à zéro, la fonction diminue ; si k est inférieur à zéro, il augmente.

Si le graphe proposé est une parabole passant par l'origine, sa fonction, sous la condition que b = c = 0, aura la forme y = ax2. C'est le cas le plus simple fonction quadratique. Le graphe d'une fonction de la forme y = ax2 + bx + c aura la même forme que le cas le plus simple, cependant, le sommet (le point où le graphe coupe l'axe des ordonnées) ne sera pas à l'origine. Dans une fonction quadratique, représentée par la forme y = ax2 + bx + c, les valeurs de a, b et c sont constantes, alors que a n'est pas égal à zéro.

Une parabole peut également être le graphique d'une fonction puissance exprimée par une équation de la forme y = xⁿ uniquement si n est un nombre pair. Si la valeur de n est un nombre impair, un tel graphique d’une fonction puissance sera représenté par une parabole cubique. Dans le cas où la variable n est quelconque nombre négatif, l'équation de la fonction prend la forme .

Vidéo sur le sujet

La coordonnée d'absolument n'importe quel point du plan est déterminée par ses deux quantités : le long de l'axe des abscisses et de l'axe des ordonnées. La collection de plusieurs de ces points représente le graphique de la fonction. À partir de là, vous pouvez voir comment la valeur Y change en fonction de la modification de la valeur X. Vous pouvez également déterminer dans quelle section (intervalle) la fonction augmente et dans laquelle elle diminue.

Instructions

Que peut-on dire d’une fonction si son graphique est une droite ? Vérifiez si cette ligne passe par le point d'origine des coordonnées (c'est-à-dire celui où les valeurs X et Y sont égales à 0). Si cela réussit, alors une telle fonction est décrite par l’équation y = kx. Il est facile de comprendre que plus la valeur de k est grande, plus cette droite sera proche de l'axe des ordonnées. Et l'axe Y lui-même correspond en fait à l'infini d'une grande importance k.

Dans cet article, nous examinerons fonction linéaire, graphique d'une fonction linéaire et de ses propriétés. Et, comme d'habitude, nous résoudrons plusieurs problèmes sur ce sujet.

Fonction linéaire appelée fonction de la forme

Dans une équation de fonction, le nombre par lequel nous multiplions est appelé coefficient de pente.

Par exemple, dans l'équation de fonction ;

dans l'équation de la fonction ;

dans l'équation de la fonction ;

dans l'équation de la fonction.

Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite.

1 . Pour tracer une fonction, nous avons besoin des coordonnées de deux points appartenant au graphe de la fonction. Pour les trouver, vous devez prendre deux valeurs x, les remplacer dans l'équation de la fonction et les utiliser pour calculer les valeurs y correspondantes.

Par exemple, pour tracer un graphique de fonctions, il est pratique de prendre et , alors les ordonnées de ces points seront égales à et .

On obtient les points A(0;2) et B(3;3). Connectons-les et obtenons un graphique de la fonction :

2 . Dans une équation de fonction, le coefficient est responsable de la pente du graphique de fonction :

Titre="k>0">!}

Le coefficient est responsable du déplacement du graphique le long de l'axe :

Titre="b>0">!}

La figure ci-dessous montre des graphiques de fonctions ; ;

Notez que dans toutes ces fonctions le coefficient Au dessus de zéro droite. De plus, que plus de valeur, plus la ligne droite est raide.

Dans toutes les fonctions - et nous voyons que tous les graphiques coupent l'axe OY au point (0;3)

Regardons maintenant les graphiques des fonctions ; ;

Cette fois dans toutes les fonctions le coefficient moins que zéro, et tous les graphiques de fonctions sont inclinés gauche.

Notez que plus |k| est grand, plus la ligne droite est raide. Le coefficient b est le même, b=3, et les graphiques, comme dans le cas précédent, coupent l'axe OY au point (0;3)

Regardons les graphiques des fonctions ; ;

Désormais, les coefficients de toutes les équations fonctionnelles sont égaux. Et nous avons trois lignes parallèles.

Mais les coefficients b sont différents, et ces graphiques coupent l'axe OY en différents points :

Le graphique de la fonction (b=3) coupe l'axe OY au point (0;3)

Le graphique de la fonction (b=0) coupe l'axe OY au point (0;0) - l'origine.

Le graphique de la fonction (b=-2) coupe l'axe OY au point (0;-2)

Ainsi, si nous connaissons les signes des coefficients k et b, alors nous pouvons immédiatement imaginer à quoi ressemble le graphique de la fonction.

Si k<0 и b>0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k>0 et b>0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k>0 et b<0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k<0 и b<0 , alors le graphique de la fonction ressemble à :

Si k=0 , alors la fonction se transforme en fonction et son graphique ressemble à :

Les ordonnées de tous les points sur le graphique de la fonction sont égales

Si b=0, alors le graphe de la fonction passe par l'origine :

Ce graphique de proportionnalité directe.

3. Je voudrais noter séparément le graphique de l'équation. Le graphique de cette équation est une droite parallèle à l'axe dont tous les points ont une abscisse.

Par exemple, le graphique de l’équation ressemble à ceci :

Attention! L'équation n'est pas une fonction, puisque différentes valeurs de l'argument correspondent à la même valeur de la fonction, qui ne correspond pas.

4 . Condition de parallélisme de deux droites :

Graphique d'une fonction parallèle au graphique de la fonction, Si

5. La condition de perpendiculaire de deux droites :

Graphique d'une fonction perpendiculaire au graphique de la fonction, si ou

6. Points d'intersection du graphique d'une fonction avec les axes de coordonnées.

Avec axe OY. L'abscisse de tout point appartenant à l'axe OY est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OY, vous devez remplacer zéro dans l'équation de la fonction au lieu de x. On obtient y=b. C'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe OY a les coordonnées (0 ; b).

Avec axe OX : L'ordonnée de tout point appartenant à l'axe OX est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OX, vous devez remplacer zéro dans l'équation de la fonction au lieu de y. On obtient 0=kx+b. D'ici. Autrement dit, le point d'intersection avec l'axe OX a les coordonnées (;0) :

Examinons la résolution de problèmes.

1 . Construire un graphique de la fonction si l'on sait qu'elle passe par le point A(-3;2) et est parallèle à la droite y=-4x.

L'équation de la fonction a deux paramètres inconnus : k et b. Le texte du problème doit donc contenir deux conditions caractérisant le graphe de la fonction.

a) Du fait que le graphique de la fonction est parallèle à la droite y=-4x, il s'ensuit que k=-4. Autrement dit, l'équation de la fonction a la forme

b) Il suffit de trouver b. On sait que le graphe de la fonction passe par le point A(-3;2). Si un point appartient au graphique d'une fonction, alors en substituant ses coordonnées dans l'équation de la fonction, on obtient l'égalité correcte :

donc b=-10

Il faut donc tracer la fonction

On connaît le point A(-3;2), prenons le point B(0;-10)

Plaçons ces points dans le plan de coordonnées et connectons-les par une ligne droite :

2. Écrire l'équation de la droite passant par les points A(1;1) ; B(2;4).

Si une ligne passe par des points avec des coordonnées données, les coordonnées des points satisfont à l'équation de la ligne. Autrement dit, si nous substituons les coordonnées des points dans l’équation de la droite, nous obtiendrons l’égalité correcte.

Remplacez les coordonnées de chaque point dans l'équation et obtenez le système équations linéaires.

Soustrayez la première de la deuxième équation du système et obtenez . Remplaçons la valeur de k dans la première équation du système et obtenons b=-2.

Donc, l'équation de la droite.

3. Tracer l'équation

Pour trouver à quelles valeurs de l'inconnue le produit de plusieurs facteurs est égal à zéro, vous devez assimiler chaque facteur à zéro et prendre en compte chaque multiplicateur.

Cette équation n'a aucune restriction sur ODZ. Factorisons la deuxième tranche et fixons chaque facteur égal à zéro. On obtient un ensemble d'équations :

Construisons des graphiques de toutes les équations de l'ensemble dans un plan de coordonnées. Voici le graphique de l'équation :

4 . Construire un graphique de la fonction si elle est perpendiculaire à la droite et passe par le point M(-1;2)

Nous ne construirons pas de graphique, nous trouverons seulement l'équation de la droite.

a) Puisque le graphique d'une fonction, si elle est perpendiculaire à une droite, donc donc. Autrement dit, l'équation de la fonction a la forme

b) On sait que le graphe de la fonction passe par le point M(-1;2). Remplaçons ses coordonnées dans l'équation de la fonction. On a:

D'ici.

Notre fonction ressemble donc à : .

5 . Représenter graphiquement la fonction

Simplifions l'expression du côté droit de l'équation de la fonction.

Important! Avant de simplifier l'expression, trouvons son ODZ.

Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul, donc title="x1">, title="x-1">.!}

Notre fonction prend alors la forme :

Titre="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

C'est-à-dire que nous devons construire un graphique de la fonction et y découper deux points : avec les abscisses x=1 et x=-1 :

« Points critiques d'une fonction » - Points critiques. Parmi les points critiques, il y a les points extrêmes. Prérequis extrême. Réponse : 2. Définition. Mais, si f" (x0) = 0, alors il n'est pas nécessaire que le point x0 soit un point extremum. Points extremum (répétition). Points critiques de la fonction. Points extremum.

« Plan de coordonnées 6e année » - Mathématiques 6e année. 1. X. 1. Trouvez et notez les coordonnées points A, B, C,D : -6. Avion coordonné. O.-3. 7. U.

« Fonctions et leurs graphiques » - Continuité. Le plus grand et plus petite valeur les fonctions. Concept fonction inverse. Linéaire. Logarithmique. Monotone. Si k > 0, alors l'angle formé est aigu, si k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

« Fonctions 9e année » - Opérations arithmétiques valides sur les fonctions. [+] – addition, [-] – soustraction, [*] – multiplication, [:] – division. Dans de tels cas, nous parlons de tâche graphique les fonctions. Classe d'éducation fonctions élémentaires. Fonction de puissance y = x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, élève de 9e année de l'école secondaire RMOU Raduzhskaya.

«Leçon Tangente Equation» - 1. Clarifier le concept de tangente au graphique d'une fonction. Leibniz a considéré le problème de tracer une tangente à une courbe arbitraire. ALGORITHME POUR DÉVELOPPER UNE ÉQUATION POUR UNE TANGENTE AU GRAPHE DE LA FONCTION y=f(x). Sujet de cours : Test : trouver la dérivée d'une fonction. Équation tangente. Fluxion. 10 e année. Déchiffrez ce qu'Isaac Newton appelait la fonction dérivée.

"Construire un graphique d'une fonction" - La fonction y=3cosx est donnée. Graphique de la fonction y=m*sin x. Représentez graphiquement la fonction. Contenu : Étant donné la fonction : y=sin (x+?/2). Étirer le graphique y=cosx le long de l'axe y. Pour continuer, cliquez sur l. Bouton de la souris. Étant donné la fonction y=cosx+1. Graphique du déplacement y=sinx verticalement. Étant donné la fonction y=3sinx. Déplacement horizontal du graphique y=cosx.

Il y a un total de 25 présentations dans le sujet

Instructions

Il existe plusieurs façons de résoudre des fonctions linéaires. Citons la plupart d'entre eux. Le plus souvent utilisé méthode étape par étape substitutions. Dans l’une des équations, il est nécessaire d’exprimer une variable en termes d’une autre et de la substituer dans une autre équation. Et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule variable dans l'une des équations. Pour le résoudre, il faut laisser d'un côté une variable du signe égal (cela peut être avec un coefficient), et de l'autre côté du signe égal toutes les données numériques, sans oublier de changer le signe du nombre en l'opposé lors du transfert. Après avoir calculé une variable, remplacez-la par d'autres expressions et continuez les calculs en utilisant le même algorithme.

Par exemple, prenons un système linéaire les fonctions, composé de deux équations :
2x+y-7=0 ;
x-y-2=0.
Il est pratique d’exprimer x à partir de la deuxième équation :
x=y+2.
Comme vous pouvez le voir, lors du transfert d'une partie de l'égalité à une autre, le signe de y et des variables a changé, comme décrit ci-dessus.
Nous substituons l'expression résultante dans la première équation, en excluant ainsi la variable x :
2*(y+2)+y-7=0.
Extension des parenthèses :
2a+4+y-7=0.
Nous rassemblons des variables et des nombres et les additionnons :
3у-3=0.
Déplacez-vous vers la droite de l’équation et changez le signe :
3 ans = 3.
Diviser par coefficient global, on a:
y = 1.
Nous substituons la valeur résultante dans la première expression :
x=y+2.
On obtient x=3.

Une autre façon de résoudre des équations similaires consiste à ajouter deux équations terme par terme pour en obtenir une nouvelle avec une variable. L'équation peut être multipliée par un certain coefficient, l'essentiel est de multiplier chaque membre de l'équation et de ne pas l'oublier, puis d'ajouter ou de soustraire une équation. Cette méthode est très économique pour trouver un linéaire les fonctions.

Prenons le système d’équations déjà familier à deux variables :
2x+y-7=0 ;
x-y-2=0.
Il est facile de remarquer que le coefficient de la variable y est identique dans la première et la deuxième équation et ne diffère que par son signe. Cela signifie que lorsqu’on additionne ces deux équations terme par terme, on en obtient une nouvelle, mais avec une seule variable.
2x+x+y-y-7-2=0 ;
3x-9=0.
Nous transférons les données numériques vers le côté droit de l'équation, en changeant le signe :
3x=9.
Trouver le facteur commun égal au coefficient, debout en x et divisez les deux côtés de l'équation par celui-ci :
x=3.
Le résultat peut être remplacé dans n’importe laquelle des équations du système pour calculer y :
x-y-2=0 ;
3-у-2=0 ;
-y+1=0 ;
-y=-1 ;
y = 1.

Vous pouvez également calculer des données en créant un graphique précis. Pour ce faire, vous devez trouver des zéros les fonctions. Si l'une des variables est égale à zéro, alors une telle fonction est dite homogène. Après avoir résolu de telles équations, vous obtiendrez deux points nécessaires et suffisants pour construire une ligne droite - l'un d'eux sera situé sur l'axe des x, l'autre sur l'axe des y.

Nous prenons n'importe quelle équation du système et y substituons la valeur x=0 :
2*0+y-7=0 ;
On obtient y=7. Ainsi, le premier point, appelons-le A, aura pour coordonnées A(0;7).
Afin de calculer un point situé sur l'axe des x, il convient de substituer la valeur y=0 dans la deuxième équation du système :
x-0-2=0;
x=2.
Le deuxième point (B) aura les coordonnées B (2;0).
Nous marquons les points obtenus sur la grille de coordonnées et traçons une ligne droite à travers eux. Si vous le tracez avec assez de précision, d'autres valeurs de x et y peuvent être calculées directement à partir de celui-ci.