La somme d’une progression géométrique croissante. Progressions arithmétiques et géométriques

La formule du nième terme d’une progression géométrique est très simple. Tant par sa signification que par son apparence générale. Mais il y a toutes sortes de problèmes sur la formule du nième terme - du plus primitif au plus grave. Et au cours de notre connaissance, nous considérerons certainement les deux. Eh bien, faisons connaissance ?)

Donc, pour commencer, en fait formulen

Elle est là:

bn = b 1 · qn -1

La formule n’est qu’une formule, rien de surnaturel. Cela semble encore plus simple et plus compact qu'une formule similaire. La signification de la formule est aussi simple que celle des bottes en feutre.

Cette formule permet de retrouver N'IMPORTE QUEL membre d'une progression géométrique PAR SON NUMÉRO" n".

Comme vous pouvez le constater, le sens est une analogie complète avec une progression arithmétique. On connaît le nombre n - on peut aussi compter le terme sous ce nombre. Celui que nous voulons. Sans multiplier à plusieurs reprises par « q » plusieurs fois. Exactement.)

Je comprends qu'à ce niveau de travail avec les progressions, toutes les quantités incluses dans la formule devraient déjà être claires pour vous, mais je considère toujours qu'il est de mon devoir de déchiffrer chacune d'elles. Au cas où.

Alors, c'est parti :

b 1 – d'abord terme de progression géométrique;

q – ;

n- numéro de membre;

bn – nième (nème) terme d’une progression géométrique.

Cette formule relie les quatre paramètres principaux de toute progression géométrique - bn, b 1 , q Et n. Et tous les problèmes de progression tournent autour de ces quatre chiffres clés.

« Comment est-il supprimé ? »– J'entends une question curieuse... Élémentaire ! Regarder!

Qu'est-ce qui est égal à deuxième membre de la progression ? Aucun problème! Nous écrivons directement :

b 2 = b 1 ·q

Et qu'en est-il du troisième membre ? Pas de problème non plus ! On multiplie le deuxième terme encore une fois surq.

Comme ça:

B 3 = b 2 q

Rappelons maintenant que le deuxième terme, à son tour, est égal à b 1 ·q et substituons cette expression dans notre égalité :

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

On a:

B 3 = b 1 ·q 2

Lisons maintenant notre entrée en russe : troisième le terme est égal au premier terme multiplié par q dans deuxième degrés. Tu as compris? Pas encore? Bon, encore un pas.

Quel est le quatrième terme ? Tous les mêmes! Multiplier précédent(c'est-à-dire le troisième terme) sur q :

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 ·q 3

Et encore une fois, nous traduisons en russe : quatrième le terme est égal au premier terme multiplié par q dans troisième degrés.

Et ainsi de suite. Alors c'est comment? Avez-vous saisi le modèle ? Oui! Pour tout terme avec n'importe quel nombre, le nombre de facteurs identiques q (c'est-à-dire le degré du dénominateur) sera toujours un de moins que le nombre du membre souhaitén.

Notre formule sera donc, sans options :

b n =b 1 · qn -1

C'est tout.)

Eh bien, résolvons les problèmes, je suppose ?)

Résoudre les problèmes de formulenème terme d’une progression géométrique.

Commençons, comme d'habitude, par l'application directe de la formule. Voici un problème typique :

En progression géométrique, on sait que b 1 = 512 et q = -1/2. Trouvez le dixième terme de la progression.

Bien entendu, ce problème peut être résolu sans aucune formule. Directement dans le sens de progression géométrique. Mais il faut s'échauffer avec la formule du nième mandat, non ? Ici, nous nous échauffons.

Nos données pour appliquer la formule sont les suivantes.

Le premier membre est connu. Il s'agit du 512.

b 1 = 512.

Le dénominateur de la progression est également connu : q = -1/2.

Il ne reste plus qu'à déterminer quel est le nombre de membres n. Aucun problème! Sommes-nous intéressés par le dixième mandat ? Nous remplaçons donc formule générale dix au lieu de n.

Et calculez soigneusement l'arithmétique :

Réponse 1

Comme vous pouvez le constater, le dixième terme de la progression s'est avéré négatif. Rien d'étonnant : notre dénominateur de progression est -1/2, soit négatif nombre. Et cela nous dit que les signes de notre progression alternent, oui.)

Tout est simple ici. Voici un problème similaire, mais un peu plus compliqué au niveau des calculs.

En progression géométrique, on sait que :

b 1 = 3

Trouvez le treizième terme de la progression.

Tout est pareil, seulement cette fois le dénominateur de la progression est irrationnel. Racine de deux. Eh bien, ça va. La formule est universelle ; elle peut gérer n’importe quel nombre.

Nous travaillons directement selon la formule :

La formule, bien sûr, a fonctionné comme elle le devrait, mais... c'est là que certaines personnes restent bloquées. Que faire ensuite de la racine ? Comment élever une racine à la puissance douzième ?

Comment-comment... Vous devez comprendre que toute formule, bien sûr, est une bonne chose, mais la connaissance de toutes les mathématiques précédentes n'est pas annulée ! Comment construire? Oui, rappelez-vous les propriétés des diplômes ! Transformons la racine en degré fractionnaire et – selon la formule pour élever un diplôme à un grade.

Comme ça:

Réponse : 192

Et c'est tout.)

Quelle est la principale difficulté de application directe des formules pour le nième terme ? Oui! La principale difficulté est travailler avec des diplômes !À savoir, l'exponentiation nombres négatifs, fractions, racines, etc. modèles similaires. Alors, à ceux qui ont des problèmes avec cela, s'il vous plaît, répétez les diplômes et leurs propriétés ! Sinon, vous ralentirez aussi ce sujet, oui...)

Résolvons maintenant les problèmes de recherche typiques un des éléments de la formule, si tous les autres sont donnés. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, la recette est uniforme et terriblement simple - écrire la formulenle ème membre dans vue générale! Directement dans le cahier à côté de l'état. Et puis, à partir de la condition, nous déterminons ce qui nous est donné et ce qui manque. Et nous exprimons la valeur souhaitée à partir de la formule. Tous!

Par exemple, un problème aussi inoffensif.

Le cinquième terme d'une progression géométrique de dénominateur 3 est 567. Trouvez le premier terme de cette progression.

Rien de compliqué. Nous travaillons directement selon le sort.

Écrivons la formule du nième terme !

bn = b 1 · qn -1

Qu'est-ce qu'on nous a donné ? Tout d’abord, le dénominateur de la progression est donné : q = 3.

De plus, on nous donne cinquième membre: b 5 = 567 .

Tous? Non! On nous a également donné le numéro n ! Cela fait cinq : n = 5.

J'espère que vous comprenez déjà ce qu'il y a dans l'enregistrement b 5 = 567 deux paramètres sont cachés à la fois - c'est le cinquième terme lui-même (567) et son nombre (5). J'en ai déjà parlé dans une leçon similaire, mais je pense que cela vaut la peine de le mentionner ici aussi.)

Maintenant, nous substituons nos données dans la formule :

567 = b 1 ·3 5-1

Nous faisons l'arithmétique, simplifions et obtenons quelque chose de simple équation linéaire:

81 b 1 = 567

On résout et on obtient :

b 1 = 7

Comme vous pouvez le constater, il n’y a aucun problème pour trouver le premier terme. Mais en cherchant le dénominateur q et des chiffres n Il peut aussi y avoir des surprises. Et il faut aussi s'y préparer (surprises), oui.)

Par exemple, ce problème :

Le cinquième terme d'une progression géométrique avec un dénominateur positif est 162, et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Cette fois, on nous donne les premier et cinquième termes et on nous demande de trouver le dénominateur de la progression. On y va.

Nous écrivons la formulenle membre !

bn = b 1 · qn -1

Nos données initiales seront les suivantes :

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Valeur manquante q. Aucun problème! Trouvons-le maintenant.) Nous substituons tout ce que nous savons dans la formule.

On a:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Une simple équation du quatrième degré. Et maintenant - soigneusement! Sur à ce stade solutions, de nombreux étudiants extraient immédiatement avec joie la racine (du quatrième degré) et obtiennent la réponse q=3 .

Comme ça:

q4 = 81

q = 3

Mais en réalité, c’est une réponse inachevée. Plus précisément, incomplet. Pourquoi? Le fait est que la réponse q = -3 convient également : (-3) 4 sera également 81 !

C'est parce que l'équation de puissance xn = un a toujours deux racines opposéesà mêmen . Avec plus et moins :

Les deux conviennent.

Par exemple, au moment de décider (c.-à-d. deuxième degrés)

x2 = 9

Pour une raison quelconque, vous n'êtes pas surpris par l'apparence deux racines x=±3 ? C'est la même chose ici. Et avec n'importe quel autre même le degré (quatrième, sixième, dixième, etc.) sera le même. Les détails sont dans le sujet sur

C'est pourquoi bonne solution sera comme ceci :

q 4 = 81

q= ±3

D'accord, nous avons trié les signes. Lequel est correct : plus ou moins ? Eh bien, relisons l'énoncé du problème à la recherche de Informations Complémentaires. Bien sûr, cela n'existe peut-être pas, mais dans ce problème, de telles informations disponible. Notre condition indique en clair qu'une progression est donnée avec dénominateur positif.

La réponse est donc évidente :

q = 3

Tout est simple ici. À votre avis, que se passerait-il si l'énoncé du problème ressemblait à ceci :

Le cinquième terme d'une progression géométrique est 162 et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Quelle est la différence? Oui! À la condition Rien aucune mention n'est faite du signe du dénominateur. Ni directement ni indirectement. Et là, le problème aurait déjà deux solutions !

q = 3 Et q = -3

Oui oui! Avec un plus et un moins.) Mathématiquement, ce fait signifierait qu'il y a deux progressions, qui correspondent aux conditions du problème. Et chacun a son propre dénominateur. Juste pour vous amuser, entraînez-vous et écrivez les cinq premiers termes de chacun.)

Entraînons-nous maintenant à trouver le numéro du membre. Ce problème est le plus difficile, oui. Mais aussi plus créatif.)

Étant donné une progression géométrique :

3; 6; 12; 24; …

Quel nombre dans cette progression est le nombre 768 ?

La première étape est toujours la même : écrire la formulenle membre !

bn = b 1 · qn -1

Et maintenant, comme d’habitude, nous y substituons les données que nous connaissons. Hm... ça ne marche pas ! Où est le premier terme, où est le dénominateur, où est tout le reste ?!

Où, où... Pourquoi avons-nous besoin d'yeux ? Battre vos cils ? Cette fois la progression nous est donnée directement sous la forme séquences. Pouvons-nous voir le premier membre ? Nous voyons! C'est un triple (b 1 = 3). Et le dénominateur ? On ne le voit pas encore, mais c’est très facile à compter. Si bien sûr vous comprenez...

Alors on compte. Directement selon le sens d'une progression géométrique : on prend n'importe lequel de ses termes (sauf le premier) et on le divise par le précédent.

Au moins comme ça :

q = 24/12 = 2

Que savons-nous d'autre? On connaît aussi un terme de cette progression, égal à 768. Sous un certain nombre n :

bn = 768

Nous ne connaissons pas son numéro, mais notre tâche est précisément de le retrouver.) Nous cherchons donc. Nous avons déjà téléchargé toutes les données nécessaires à la substitution dans la formule. À votre insu.)

Ici, nous remplaçons :

768 = 3 2n -1

Faisons les élémentaires - divisons les deux côtés par trois et réécrivons l'équation sous la forme habituelle : l'inconnue est à gauche, la connue est à droite.

On a:

2 n -1 = 256

C'est une équation intéressante. Nous devons trouver "n". Quoi, inhabituel ? Oui, je ne discute pas. En fait, c'est la chose la plus simple. On l'appelle ainsi parce que l'inconnu (en dans ce cas Ce nombre n) coûte en indicateur degrés.

Au stade de la connaissance de la progression géométrique (c'est la neuvième année) équations exponentielles On ne vous apprend pas à décider, oui... C'est un sujet pour le lycée. Mais il n'y a rien d'effrayant. Même si vous ne savez pas comment de telles équations sont résolues, essayons de trouver notre n, guidé par une logique simple et du bon sens.

Commençons à parler. A gauche nous avons un deux jusqu'à un certain point. On ne sait pas encore ce qu’est exactement ce diplôme, mais ce n’est pas effrayant. Mais on sait avec certitude que ce degré est égal à 256 ! On se souvient donc dans quelle mesure deux nous donne 256. Vous vous en souvenez ? Oui! DANS huitième degrés!

256 = 2 8

Si vous ne vous souvenez pas ou avez des difficultés à reconnaître les degrés, ce n’est pas grave non plus : il suffit de successivement le carré deux, le cube, le quatrième, le cinquième, et ainsi de suite. La sélection, en fait, mais à ce niveau fonctionnera plutôt bien.

D'une manière ou d'une autre, on obtient :

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Donc 768 est neuvième membre de notre progression. Voilà, problème résolu.)

Réponse : 9

Quoi? Ennuyeux? Fatigué des trucs élémentaires ? Accepter. Et moi aussi. Passons au niveau suivant.)

Tâches plus complexes.

Résolvons maintenant des problèmes plus difficiles. Pas vraiment super cool, mais qui nécessitent un peu de travail pour trouver la réponse.

Par exemple, celui-ci.

Trouvez le deuxième terme d'une progression géométrique si son quatrième terme est -24 et son septième terme est 192.

C'est un classique du genre. On en connaît deux différents membres progression, mais nous devons trouver un autre membre. De plus, tous les membres ne sont PAS voisins. Ce qui est déroutant au début, oui...

Comme dans, pour résoudre de tels problèmes, nous considérerons deux méthodes. La première méthode est universelle. Algébrique. Fonctionne parfaitement avec toutes les données sources. C'est pourquoi nous commencerons par cela.)

Nous décrivons chaque terme selon la formule nle membre !

Tout est exactement comme avec une progression arithmétique. Seulement cette fois, nous travaillons avec un autre formule générale. C'est tout.) Mais l'essence est la même : on prend et un par un Nous substituons nos données initiales dans la formule du nième terme. Pour chaque membre - le sien.

Pour le quatrième terme on écrit :

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Manger. Une équation est prête.

Pour le septième terme on écrit :

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Au total, nous avons deux équations pour la même progression .

Nous en assemblons un système :

Malgré son apparence menaçante, le système est assez simple. La solution la plus évidente est la simple substitution. Nous exprimons b 1 de l'équation du haut et remplacez-la par celle du bas :

Après avoir bidouillé un peu l'équation du bas (en réduisant les puissances et en divisant par -24), on obtient :

q 3 = -8

D’ailleurs, cette même équation peut être obtenue de manière plus simple ! Lequel? Maintenant je vais vous montrer un autre secret, mais très beau, puissant et manière utile solutions pour de tels systèmes. De tels systèmes, dont les équations incluent ne fonctionne que. Au moins dans un. Appelé méthode de division une équation à une autre.

Nous avons donc devant nous un système :

Dans les deux équations de gauche - travail, et à droite se trouve juste un numéro. C'est très bon signe.) Prenons-le et... divisons, disons, l'équation inférieure par l'équation supérieure ! Que signifie, divisons une équation par une autre ? Très simple. Prenons-le côté gauche une équation (inférieure) et diviser elle sur côté gauche une autre équation (en haut). Le côté droit est similaire : côté droit une équation diviser sur côté droit un autre.

L'ensemble du processus de division ressemble à ceci :

Maintenant, en réduisant tout ce qui peut être réduit, on obtient :

q 3 = -8

Qu'est-ce qui est bien avec cette méthode ? Oui, car dans le processus d'une telle division, tout ce qui est mauvais et gênant peut être réduit en toute sécurité et une équation totalement inoffensive subsiste ! C'est pourquoi il est si important d'avoir multiplication seulement dans au moins une des équations du système. Il n'y a pas de multiplication - il n'y a rien à réduire, oui...

En général, cette méthode (comme beaucoup d’autres méthodes non triviales de résolution de systèmes) mérite même une leçon distincte. Je vais certainement l'examiner plus en détail. Un jour…

Cependant, peu importe la manière exacte dont vous résolvez le système, dans tous les cas, nous devons maintenant résoudre l’équation résultante :

q 3 = -8

Pas de problème : extrayez la racine cubique et le tour est joué !

Veuillez noter qu'il n'est pas nécessaire de mettre un plus/moins ici lors de l'extraction. Notre racine est de degré impair (troisième). Et la réponse est également la même, oui.)

Ainsi, le dénominateur de la progression a été trouvé. Moins deux. Super! Le processus est en cours.)

Pour le premier terme (disons, à partir de l’équation supérieure), nous obtenons :

Super! On connaît le premier terme, on connaît le dénominateur. Et maintenant, nous avons la possibilité de retrouver n’importe quel membre de la progression. Y compris le deuxième.)

Pour le deuxième mandat tout est assez simple :

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Réponse : -6

Donc, méthode algébrique Nous avons décomposé les solutions au problème. Difficile? Pas vraiment, je suis d'accord. Long et fastidieux ? Oui définitivement. Mais parfois, vous pouvez réduire considérablement la quantité de travail. Pour cela il y a méthode graphique. Bon vieux et familier pour nous.)

Dessinons un problème !

Oui! Exactement. Encore une fois, nous représentons notre progression sur l’axe des nombres. Il n’est pas nécessaire de suivre une règle, il n’est pas nécessaire de maintenir des intervalles égaux entre les termes (qui d’ailleurs ne seront pas les mêmes puisque la progression est géométrique !), mais simplement schématiquement Dessinons notre séquence.

Je l'ai eu comme ceci :

Maintenant, regardez l'image et comprenez-la. Combien de facteurs identiques "q" séparent quatrième Et septième membres? C'est vrai, trois !

Nous avons donc parfaitement le droit d'écrire :

-24·q 3 = 192

À partir de là, il est maintenant facile de trouver q :

q 3 = -8

q = -2

Ça tombe bien, on a déjà le dénominateur en poche. Regardons maintenant à nouveau le tableau : combien de ces dénominateurs se situent entre deuxième Et quatrième membres? Deux! Par conséquent, pour enregistrer le lien entre ces termes, nous construirons le dénominateur au carré.

Nous écrivons donc :

b 2 · q 2 = -24 , où b 2 = -24/ q 2

Nous substituons notre dénominateur trouvé dans l'expression pour b 2, comptons et obtenons :

Réponse : -6

Comme vous pouvez le constater, tout est beaucoup plus simple et rapide que via le système. De plus, ici, nous n’avons même pas eu besoin de compter le premier terme ! Du tout.)

Voici une méthode si simple et claire : la lumière. Mais cela présente aussi un sérieux inconvénient. L'avez-vous deviné ? Oui! Ce n’est bon que pour des morceaux de progression très courts. Celles où les distances entre les membres qui nous intéressent ne sont pas très grandes. Mais dans tous les autres cas, il est déjà difficile de dresser un tableau, oui... Ensuite, nous résolvons le problème de manière analytique, à travers le système.) Et les systèmes sont des choses universelles. Ils peuvent gérer n’importe quel nombre.

Un autre défi épique :

Le deuxième terme de la progression géométrique est 10 de plus que le premier et le troisième terme est 30 de plus que le deuxième. Trouvez le dénominateur de la progression.

Quoi, cool ? Pas du tout! Tous les mêmes. Encore une fois, nous traduisons l’énoncé du problème en algèbre pure.

1) Nous décrivons chaque terme selon la formule nle membre !

Deuxième terme : b 2 = b 1 q

Troisième terme : b 3 = b 1 q 2

2) Nous notons le lien entre les membres à partir de l'énoncé du problème.

Nous lisons la condition : "Le deuxième terme de la progression géométrique est 10 plus grand que le premier." Arrêtez, c'est précieux !

Nous écrivons donc :

b 2 = b 1 +10

Et nous traduisons cette phrase en mathématiques pures :

b 3 = b 2 +30

Nous avons deux équations. Combinons-les dans un système :

Le système semble simple. Mais il y a trop d’indices différents pour les lettres. Remplaçons les deuxième et troisième termes par leurs expressions par le premier terme et le dénominateur ! Est-ce en vain que nous les avons peints ?

On a:

Mais un tel système n’est plus un cadeau, oui… Comment résoudre ce problème ? Malheureusement, il n'existe pas de sortilège secret universel pour résoudre des problèmes complexes. non linéaire Il n’existe pas de systèmes en mathématiques et il ne peut y en avoir. C'est fantastique! Mais la première chose qui devrait vous venir à l’esprit lorsque vous essayez de résoudre un problème aussi difficile est de comprendre Mais une des équations du système n’est-elle pas réductible à belle vue, permettant par exemple d'exprimer facilement une des variables par rapport à une autre ?

Voyons cela. La première équation du système est nettement plus simple que la seconde. Nous allons le torturer.) Ne devrions-nous pas essayer à partir de la première équation quelque chose exprimer à travers quelque chose? Puisque nous voulons trouver le dénominateur q, alors il serait plus avantageux pour nous d'exprimer b 1 à travers q.

Essayons donc de faire cette procédure avec la première équation, en utilisant les bonnes anciennes :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Tous! Nous avons donc exprimé inutile donnez-nous la variable (b 1) via nécessaire(q). Oui, ce n’est pas l’expression la plus simple que nous ayons. Une sorte de fraction... Mais notre système est d'un niveau décent, oui.)

Typique. Nous savons quoi faire.

Nous écrivons ODZ (Nécessairement!) :

q ≠ 1

On multiplie le tout par le dénominateur (q-1) et on annule toutes les fractions :

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

On divise le tout par dix, on ouvre les parenthèses et on récupère tout par la gauche :

q 2 – 4 q + 3 = 0

Nous résolvons le résultat et obtenons deux racines :

q 1 = 1

q 2 = 3

Il n'y a qu'une seule réponse finale : q = 3 .

Réponse : 3

Comme vous pouvez le constater, le chemin pour résoudre la plupart des problèmes impliquant la formule du nième terme d'une progression géométrique est toujours le même : lire attentivement condition du problème et en utilisant la formule du nième terme on traduit l'intégralité informations utiles en algèbre pure.

À savoir:

1) Nous décrivons séparément chaque terme donné dans le problème selon la formulenème membre.

2) À partir de l'énoncé du problème, nous traduisons la connexion entre les membres en forme mathématique. Nous composons une équation ou un système d'équations.

3) Nous résolvons l'équation ou le système d'équations résultant, trouvons les paramètres inconnus de la progression.

4) En cas de réponse ambiguë, lisez attentivement l'énoncé du problème à la recherche d'informations supplémentaires (le cas échéant). Nous vérifions également la réponse reçue avec les termes du DL (le cas échéant).

Énumérons maintenant les principaux problèmes qui conduisent le plus souvent à des erreurs dans le processus de résolution de problèmes de progression géométrique.

1. Arithmétique élémentaire. Opérations avec des fractions et des nombres négatifs.

2. S'il y a des problèmes sur au moins un de ces trois points, alors vous ferez inévitablement des erreurs sur ce sujet. Malheureusement... Alors ne soyez pas paresseux et répétez ce qui a été mentionné ci-dessus. Et suivez les liens - allez-y. Parfois, ça aide.)

Formules modifiées et récurrentes.

Examinons maintenant quelques problèmes d’examen typiques avec une présentation moins familière de la condition. Oui, oui, vous l'avez deviné ! Ce modifié Et récurrent formules du nième terme. Nous avons déjà rencontré de telles formules et travaillé sur la progression arithmétique. Tout est pareil ici. L'essence est la même.

Par exemple, ce problème de l'OGE :

La progression géométrique est donnée par la formule bn = 3 2 n . Trouvez la somme de ses premier et quatrième termes.

Cette fois, la progression n’est pas tout à fait comme d’habitude pour nous. Sous la forme d'une sorte de formule. Et alors? Cette formule est aussi une formulenle membre ! Vous et moi savons que la formule du nième terme peut s'écrire à la fois sous forme générale, en utilisant des lettres, et pour progression spécifique. AVEC spécifique premier terme et dénominateur.

Dans notre cas, on nous donne en fait une formule générale pour une progression géométrique avec les paramètres suivants :

b 1 = 6

q = 2

Vérifions ?) Écrivons la formule du nième terme sous forme générale et substituons-la par b 1 Et q. On a:

bn = b 1 · qn -1

bn= 6 2n -1

On simplifie en utilisant la factorisation et les propriétés des puissances, et on obtient :

bn= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Comme vous pouvez le constater, tout est juste. Mais notre objectif n’est pas de démontrer la dérivation d’une formule spécifique. C'est vrai, digression lyrique. Uniquement pour comprendre.) Notre objectif est de résoudre le problème selon la formule qui nous est donnée dans la condition. Vous comprenez ?) Nous travaillons donc directement avec la formule modifiée.

On compte le premier terme. Remplaçons n=1 dans la formule générale :

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Comme ça. À propos, je ne serai pas paresseux et j'attirerai encore une fois votre attention sur une erreur typique dans le calcul du premier terme. À NE PAS FAIRE, en regardant la formule bn= 3 2n, dépêchez-vous immédiatement d'écrire que le premier terme est un trois ! C'est une grossière erreur, oui...)

Nous allons continuer. Remplaçons n=4 et comptez le quatrième terme :

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Et enfin, on calcule le montant requis :

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Réponse : 54

Un autre problème.

La progression géométrique est précisée par les conditions :

b 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

Trouvez le quatrième terme de la progression.

Ici la progression est donnée par une formule récurrente. Bien, OK.) Comment travailler avec cette formule – nous le savons aussi.

Alors nous agissons. Pas à pas.

1) Comptez deux consécutif membre de la progression.

Le premier mandat nous a déjà été donné. Moins sept. Mais le deuxième terme suivant peut être facilement calculé à l'aide de la formule de récurrence. Si vous comprenez le principe de son fonctionnement, bien sûr.)

On compte donc le deuxième terme Par connu en premier:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Calculer le dénominateur de la progression

Pas de problème non plus. Tout droit, divisons deuxième bite sur d'abord.

On a:

q = -21/(-7) = 3

3) Écrivez la formulenème membre sous la forme habituelle et calculez le membre requis.

Nous connaissons donc le premier terme, tout comme le dénominateur. Nous écrivons donc :

bn= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Réponse : -189

Comme vous pouvez le constater, travailler avec de telles formules pour une progression géométrique n'est fondamentalement pas différent de celui pour une progression arithmétique. Il est seulement important de comprendre essence générale et la signification de ces formules. Eh bien, vous devez également comprendre le sens de la progression géométrique, oui.) Et puis il n'y aura pas d'erreurs stupides.

Eh bien, décidons nous-mêmes ?)

Tâches très basiques pour l'échauffement :

1. Étant donné une progression géométrique dans laquelle b 1 = 243, une q = -2/3. Trouvez le sixième terme de la progression.

2. Le terme général de la progression géométrique est donné par la formule bn = 5∙2 n +1 . Trouvez le numéro du dernier terme à trois chiffres de cette progression.

3. La progression géométrique est donnée par les conditions :

b 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

Trouvez le cinquième terme de la progression.

Un peu plus compliqué :

4. Étant donné une progression géométrique :

b 1 =2048; q =-0,5

À quoi est égal le sixième terme négatif ?

Qu'est-ce qui semble super difficile ? Pas du tout. La logique et la compréhension du sens de la progression géométrique vous sauveront. Eh bien, la formule du nième terme, bien sûr.

5. Le troisième terme de la progression géométrique est -14 et le huitième terme est 112. Trouvez le dénominateur de la progression.

6. La somme des premier et deuxième termes de la progression géométrique est 75 et la somme des deuxième et troisième termes est 150. Trouvez le sixième terme de la progression.

Réponses (en désarroi) : 6 ; -3888 ; -1; 800 ; -32 ; 448.

C'est presque tout. Tout ce que nous avons à faire c'est apprendre à compter la somme des n premiers termes d'une progression géométrique oui découvrir progression géométrique infiniment décroissante et son montant. Une chose très intéressante et inhabituelle, d'ailleurs ! Nous en parlerons plus dans les prochaines leçons.)

Considérons une certaine série.

7 28 112 448 1792...

Il est absolument clair que la valeur de l’un de ses éléments est exactement quatre fois supérieure à celle du précédent. Cela signifie que cette série est une progression.

Une progression géométrique est une séquence infinie de nombres. caractéristique principale c'est quoi ça prochain numéro est obtenu à partir du précédent en multipliant par un certain nombre. Ceci est exprimé par la formule suivante.

a z +1 =a z ·q, où z est le numéro de l'élément sélectionné.

Par conséquent, z ∈ N.

La période pendant laquelle la progression géométrique est étudiée à l'école est la 9e année. Des exemples vous aideront à comprendre le concept :

0.25 0.125 0.0625...

Sur la base de cette formule, le dénominateur de la progression peut être trouvé comme suit :

Ni q ni b z ne peuvent être nuls. Aussi, chacun des éléments de la progression ne doit pas être égal à zéro.

Par conséquent, pour connaître le nombre suivant d'une série, vous devez multiplier le dernier par q.

Pour définir cette progression, vous devez spécifier son premier élément et son dénominateur. Après cela, il est possible de trouver n’importe lequel des termes suivants et leur somme.

Variétés

En fonction de q et a 1, cette progression se divise en plusieurs types :

• Si a 1 et q sont tous deux supérieurs à un, alors une telle séquence est une progression géométrique augmentant avec chaque élément suivant. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.

Exemple : a 1 =3, q=2 - les deux paramètres sont supérieurs à un.

Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :

3 6 12 24 48 ...

• Si |q| est inférieur à un, c'est-à-dire que la multiplication par lui équivaut à la division, alors une progression avec des conditions similaires est une progression géométrique décroissante. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.

Exemple : a 1 =6, q=1/3 - a 1 est supérieur à un, q est inférieur.

Alors la suite de nombres peut s’écrire comme suit :

6 2 2/3 ... - n'importe quel élément plus d'élément, en le suivant, 3 fois.

• Signe alterné. Si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemple : a 1 = -3, q = -2 - les deux paramètres sont inférieurs à zéro.

Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :

3, 6, -12, 24,...

Formules

Il existe de nombreuses formules pour une utilisation pratique des progressions géométriques :

• Formule du terme Z. Vous permet de calculer un élément sous un nombre spécifique sans calculer les nombres précédents.

Exemple:q = 3, un 1 = 4. Il faut compter le quatrième élément de la progression.

Solution:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• La somme des premiers éléments dont la quantité est égale à z. Permet de calculer la somme de tous les éléments d'une séquence jusqu'àun zcompris.

Depuis (1-q) est au dénominateur, alors (1 - q)≠ 0, donc q n'est pas égal à 1.

Remarque : si q=1, alors la progression serait une série de nombres répétitifs à l'infini.

Somme de progression géométrique, exemples :un 1 = 2, q= -2. Calculez S5.

Solution:S 5 = 22 - calcul à l'aide de la formule.

• Montant si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemple:un 1 = 2 , q= 0,5. Trouvez le montant.

Solution:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Quelques propriétés :

• Propriété caractéristique. Si la condition suivante fonctionne pour n'importe quelz, alors la série de nombres donnée est une progression géométrique :

un z 2 = un z -1 · unz+1

• De plus, le carré de n'importe quel nombre dans une progression géométrique est trouvé en additionnant les carrés de deux autres nombres quelconques dans une série donnée, s'ils sont équidistants de cet élément.

un z 2 = un z - t 2 + un z + t 2 , Oùt- la distance entre ces nombres.

• Élémentsdiffèrent en qune fois.
• Les logarithmes des éléments d'une progression forment également une progression, mais arithmétique, c'est-à-dire que chacun d'eux est supérieur au précédent d'un certain nombre.

Exemples de quelques problèmes classiques

Pour mieux comprendre ce qu'est une progression géométrique, des exemples avec des solutions pour la classe 9 peuvent vous aider.

• Conditions:un 1 = 3, un 3 = 48. Trouverq.

Solution : chaque élément suivant est supérieur au précédent dansq une fois.Il est nécessaire d'exprimer certains éléments par rapport à d'autres à l'aide d'un dénominateur.

Ainsi,un 3 = q 2 · un 1

Lors du remplacementq= 4

• Conditions:un 2 = 6, un 3 = 12. Calculez S 6.

Solution:Pour ce faire, trouvez simplement q, le premier élément et remplacez-le dans la formule.

un 3 = q· un 2 , ainsi,q= 2

une 2 = q · un 1 ,C'est pourquoi un 1 = 3

S6 = 189

• · un 1 = 10, q= -2. Trouvez le quatrième élément de la progression.

Solution : pour ce faire, il suffit d'exprimer le quatrième élément par le premier et par le dénominateur.

une 4 = q 3· un 1 = -80

Exemple d'application :

• Un client de la banque a effectué un dépôt d'un montant de 10 000 roubles, aux termes duquel chaque année, le client verra 6 % de ce montant ajouté au montant principal. Combien d’argent y aura-t-il sur le compte après 4 ans ?

Solution : Le montant initial est de 10 000 roubles. Cela signifie qu'un an après l'investissement, le compte aura un montant égal à 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Ainsi, le montant du compte après une autre année sera exprimé comme suit :

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Autrement dit, chaque année, le montant augmente de 1,06 fois. Cela signifie que pour retrouver le montant des fonds sur le compte après 4 ans, il suffit de trouver le quatrième élément de progression, qui est donné par le premier élément égal à 10 mille et le dénominateur égal à 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625

Exemples de problèmes de calcul de somme :

La progression géométrique est utilisée dans divers problèmes. Un exemple pour trouver la somme peut être donné comme suit :

un 1 = 4, q= 2, calculezS5.

Solution : toutes les données nécessaires au calcul sont connues, il suffit de les substituer dans la formule.

S 5 = 124

• un 2 = 6, un 3 = 18. Calculez la somme des six premiers éléments.

Solution:

En géom. progression, chaque élément suivant est q fois supérieur au précédent, c'est-à-dire que pour calculer la somme, vous devez connaître l'élémentun 1 et le dénominateurq.

un 2 · q = un 3

q = 3

De même, vous devez trouverun 1 , connaissanceun 2 Etq.

un 1 · q = un 2

un 1 =2

S 6 = 728.

>>Mathématiques : progression géométrique

Pour la commodité du lecteur, ce paragraphe est construit exactement selon le même plan que celui que nous avons suivi dans le paragraphe précédent.

1. Concepts de base.

Définition. Une suite numérique dont tous les termes sont différents de 0 et dont chaque terme, à partir du second, est obtenu à partir du terme précédent en le multipliant par le même nombre est appelée progression géométrique. Dans ce cas, le nombre 5 est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Ainsi, une progression géométrique est une suite numérique (b n) définie de manière récurrente par les relations

Est-il possible d’examiner une suite de nombres et de déterminer s’il s’agit d’une progression géométrique ? Peut. Si vous êtes convaincu que le rapport d’un membre de la séquence au membre précédent est constant, alors vous avez une progression géométrique.
Exemple 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Exemple 2.

Il s'agit d'une progression géométrique qui a
Exemple 3.

Il s'agit d'une progression géométrique qui a
Exemple 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 - 8, q = 1.

A noter que cette séquence est aussi une progression arithmétique (voir exemple 3 du § 15).

Exemple 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 = 2, q = -1.

Évidemment, une progression géométrique est une suite croissante si b 1 > 0, q > 1 (voir exemple 1), et une suite décroissante si b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Pour indiquer que la suite (b n) est une progression géométrique, la notation suivante convient parfois :

L'icône remplace l'expression « progression géométrique ».
Notons une propriété curieuse et en même temps assez évidente de la progression géométrique :
Si la séquence est une progression géométrique, alors la séquence de carrés, c'est-à-dire est une progression géométrique.
Dans la deuxième progression géométrique, le premier terme est égal à et égal à q 2.
Si dans une progression géométrique nous écartons tous les termes suivant b n , nous obtenons une progression géométrique finie
Dans les paragraphes suivants de ce paragraphe, nous considérerons les plus propriétés importantes progression géométrique.

2. Formule du nième terme d'une progression géométrique.

Considérons une progression géométrique dénominateur q. Nous avons:

Il n'est pas difficile de deviner que pour tout nombre n l'égalité est vraie

C'est la formule du nième terme d'une progression géométrique.

Commentaire.

Si vous avez lu et compris la remarque importante du paragraphe précédent, essayez de prouver la formule (1) en utilisant la méthode d'induction mathématique, tout comme cela a été fait pour la formule du nième terme d'une progression arithmétique.

Réécrivons la formule du nième terme de la progression géométrique

et introduisons la notation : On obtient y = mq 2, ou, plus en détail,
L'argument x est contenu dans l'exposant, cette fonction est donc appelée fonction exponentielle. Cela signifie qu'une progression géométrique peut être considérée comme une fonction exponentielle définie sur l'ensemble N d'entiers naturels. En figue. 96a montre le graphique de la fonction Fig. 966 - graphique de fonction Dans les deux cas, nous avons des points isolés (avec des abscisses x = 1, x = 2, x = 3, etc.) situés sur une certaine courbe (les deux figures montrent la même courbe, mais située différemment et représentée à des échelles différentes). Cette courbe est appelée courbe exponentielle. Plus de détails sur la fonction exponentielle et son graphique seront abordés dans le cours d'algèbre de 11e année.

Revenons aux exemples 1 à 5 du paragraphe précédent.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle b 1 = 1, q = 3. Créons la formule du nième terme
2) Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle créons une formule pour le nième terme

Il s'agit d'une progression géométrique qui a Créons la formule pour le nième terme
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle b 1 = 8, q = 1. Créons la formule du nième terme
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 = 2, q = -1. Créons la formule pour le nième terme

Exemple 6.

Étant donné une progression géométrique

Dans tous les cas, la solution repose sur la formule du nième terme de la progression géométrique

a) En mettant n = 6 dans la formule du nième terme de la progression géométrique, on obtient

b) Nous avons

Puisque 512 = 2 9, nous obtenons n - 1 = 9, n = 10.

d) Nous avons

Exemple 7.

La différence entre les septième et cinquième termes de la progression géométrique est de 48, la somme des cinquième et sixième termes de la progression est également de 48. Trouvez le douzième terme de cette progression.

Première étape. Elaboration d'un modèle mathématique.

Les conditions du problème peuvent être brièvement écrites comme suit :

En utilisant la formule du nième terme d'une progression géométrique, on obtient :
Alors la deuxième condition du problème (b 7 - b 5 = 48) peut s'écrire

La troisième condition du problème (b 5 + b 6 = 48) peut s'écrire

En conséquence, nous obtenons un système de deux équations à deux variables b 1 et q :

qui, en combinaison avec la condition 1) écrite ci-dessus, représente un modèle mathématique du problème.

Seconde phase.

Travailler avec le modèle compilé. En égalisant les côtés gauches des deux équations du système, on obtient :

(nous avons divisé les deux côtés de l'équation par l'expression non nulle b 1 q 4).

A partir de l'équation q 2 - q - 2 = 0 nous trouvons q 1 = 2, q 2 = -1. En substituant la valeur q = 2 dans la deuxième équation du système, on obtient
En substituant la valeur q = -1 dans la deuxième équation du système, nous obtenons b 1 1 0 = 48 ; cette équation n'a pas de solutions.

Donc, b 1 =1, q = 2 - cette paire est la solution du système d'équations compilé.

Nous pouvons maintenant écrire la progression géométrique dont nous parlons de dans le problème : 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Troisième étape.

Répondez à la question problématique. Vous devez calculer b 12. Nous avons

Réponse : b 12 = 2048.

3. Formule pour la somme des termes d'une progression géométrique finie.

Soit une progression géométrique finie

Notons S n la somme de ses termes, c'est-à-dire

Dérivons une formule pour trouver ce montant.

Commençons par le cas le plus simple, lorsque q = 1. Alors la progression géométrique b 1,b 2, b 3,..., bn est constituée de n nombres égaux à b 1, c'est-à-dire la progression ressemble à b 1, b 2, b 3, ..., b 4. La somme de ces nombres est nb 1.

Soit maintenant q = 1 Pour trouver S n, nous appliquons une technique artificielle : nous effectuons quelques transformations de l'expression S n q. Nous avons:

Lors de la réalisation des transformations, nous avons d'abord utilisé la définition d'une progression géométrique, selon laquelle (voir le troisième raisonnement) ; deuxièmement, ils ont ajouté et soustrait, c'est pourquoi le sens de l'expression, bien entendu, n'a pas changé (voir le quatrième raisonnement) ; troisièmement, nous avons utilisé la formule du nième terme d'une progression géométrique :

De la formule (1) on trouve :

C'est la formule de la somme de n termes d'une progression géométrique (pour le cas où q = 1).

Exemple 8.

Étant donné une progression géométrique finie

a) la somme des termes de la progression ; b) la somme des carrés de ses termes.

b) Ci-dessus (voir p. 132) nous avons déjà noté que si tous les termes d'une progression géométrique sont au carré, alors on obtient une progression géométrique avec le premier terme b 2 et le dénominateur q 2. Alors la somme des six termes de la nouvelle progression sera calculée par

Exemple 9.

Trouver le 8ème terme de la progression géométrique pour lequel

En fait, nous avons prouvé le théorème suivant.

Une suite numérique est une progression géométrique si et seulement si le carré de chacun de ses termes, sauf le premier théorème (et le dernier, dans le cas d'une suite finie), est égal au produit des termes précédents et suivants (un propriété caractéristique d'une progression géométrique).

Les mathématiques, c'est quoiles gens contrôlent la nature et eux-mêmes.

Mathématicien soviétique, académicien A.N. Kolmogorov

Progression géométrique.

Outre les problèmes sur les progressions arithmétiques, les problèmes liés au concept de progression géométrique sont également courants dans les examens d'entrée en mathématiques. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, vous devez connaître les propriétés des progressions géométriques et posséder de bonnes compétences pour les utiliser.

Cet article est consacré à la présentation des propriétés fondamentales de la progression géométrique. Des exemples de résolution de problèmes typiques sont également fournis ici., emprunté aux tâches des examens d'entrée en mathématiques.

Notons d'abord les propriétés fondamentales de la progression géométrique et rappelons les plus formules importantes et déclarations, liés à cette notion.

Définition. Une suite de nombres est appelée progression géométrique si chaque nombre, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Le nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Pour progression géométriqueles formules sont valables

, (1)

Où . La formule (1) est appelée formule du terme général d'une progression géométrique, et la formule (2) représente la propriété principale d'une progression géométrique : chaque terme de la progression coïncide avec la moyenne géométrique de ses termes voisins et .

Note, que c'est précisément à cause de cette propriété que la progression en question est dite « géométrique ».

Les formules (1) et (2) ci-dessus sont généralisées comme suit :

, (3)

Pour calculer le montant d'abord membres d'une progression géométriquela formule s'applique

Si nous notons , alors

Où . Puisque , la formule (6) est une généralisation de la formule (5).

Dans le cas où et progression géométriqueest infiniment décroissant. Pour calculer le montantde tous les termes d'une progression géométrique infiniment décroissante, la formule est utilisée

. (7)

Par exemple , en utilisant la formule (7), nous pouvons montrer, Quoi

Où . Ces égalités sont obtenues à partir de la formule (7) sous la condition que , (première égalité) et , (deuxième égalité).

Théorème. Si donc

Preuve. Si donc

Le théorème a été prouvé.

Passons maintenant à des exemples de résolution de problèmes sur le thème « Progression géométrique ».

Exemple 1.Étant donné : , et . Trouver .

Solution. Si nous appliquons la formule (5), alors

Répondre: .

Exemple 2. Qu'il en soit ainsi. Trouver .

Solution. Puisque et , on utilise les formules (5), (6) et obtenons un système d'équations

Si la deuxième équation du système (9) est divisée par la première, alors ou . Il en résulte que . Considérons deux cas.

1. Si, alors à partir de la première équation du système (9) on a.

2. Si , alors .

Exemple 3. Laissez , et . Trouver .

Solution. De la formule (2), il résulte que ou . Depuis , alors ou .

Par condition. Toutefois donc. Depuis et alors nous avons ici un système d'équations

Si la deuxième équation du système est divisée par la première, alors ou .

Depuis, l’équation a une racine appropriée unique. Dans ce cas, cela découle de la première équation du système.

En tenant compte de la formule (7), on obtient.

Répondre: .

Exemple 4.Étant donné : et . Trouver .

Solution. Depuis lors.

Depuis , alors ou

D'après la formule (2), nous avons . À cet égard, à partir de l’égalité (10) nous obtenons ou .

Mais par condition, donc.

Exemple 5. Il est connu que . Trouver .

Solution. D'après le théorème, nous avons deux égalités

Depuis , alors ou . Parce qu'alors .

Répondre: .

Exemple 6.Étant donné : et . Trouver .

Solution. En tenant compte de la formule (5), on obtient

Depuis lors. Depuis , et , alors .

Exemple 7. Qu'il en soit ainsi. Trouver .

Solution. D'après la formule (1) on peut écrire

Nous avons donc ou . On sait que et , donc et .

Répondre: .

Exemple 8. Trouver le dénominateur d'une progression géométrique décroissante infinie si

Et .

Solution. De la formule (7) il résulte Et . De là et à partir des conditions du problème on obtient un système d'équations

Si la première équation du système est au carré, puis divisez l'équation résultante par la deuxième équation, alors on obtient

Ou .

Répondre: .

Exemple 9. Trouvez toutes les valeurs pour lesquelles la séquence , , est une progression géométrique.

Solution. Laissez , et . D'après la formule (2), qui définit la propriété principale d'une progression géométrique, on peut écrire ou .

De là, nous obtenons l'équation quadratique, dont les racines sont Et .

Vérifions : si, puis , et ; si , alors et .

Dans le premier cas nous avons et , et dans le second – et .

Répondre: , .

Exemple 10.Résous l'équation

, (11)

où et .

Solution. Côté gauche l'équation (11) est la somme d'une progression géométrique décroissante infinie, dans laquelle et , sous réserve de : et .

De la formule (7) il résulte, Quoi . À cet égard, l'équation (11) prend la forme ou . Racine appropriée équation quadratique est

Répondre: .

Exemple 11. P. séquence de nombres positifsforme une progression arithmétique, UN - progression géométrique, qu'est-ce que cela a à voir avec . Trouver .

Solution. Parce que séquence arithmétique, Que (la propriété principale de la progression arithmétique). Parce que le, alors ou . Cela implique , que la progression géométrique a la forme. D'après la formule (2), puis nous l'écrivons .

Depuis et , alors . Dans ce cas, l'expression prend la forme ou . Par condition, donc d'après l'équation.nous obtenons une solution unique au problème considéré, c'est à dire. .

Répondre: .

Exemple 12. Calculer la somme

. (12)

Solution. Multipliez les deux côtés de l'égalité (12) par 5 et obtenez

Si l'on soustrait (12) de l'expression résultante, Que

ou .

Pour calculer, nous substituons les valeurs dans la formule (7) et obtenons . Depuis lors.

Répondre: .

Les exemples de résolution de problèmes donnés ici seront utiles aux candidats pour se préparer à Examens d'entrée. Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution de problèmes, lié à la progression géométrique, peut être utilisé aides à l'enseignement de la liste de la littérature recommandée.

1. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Mir et Education, 2013. – 608 p.

2. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : sections supplémentaires programme scolaire. – M. : Lénand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynski M.M. Cours complet mathématiques élémentaires dans les tâches et les exercices. Livre 2 : Séquences de nombres et progression. – M. : Editus, 2015. – 208 p.

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