C 1 définition et propriétés des fonctions trigonométriques. Fonctions trigonométriques
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Définitions
Les définitions des fonctions trigonométriques sont données à l'aide du cercle trigonométrique, qui s'entend comme un cercle de rayon unité avec un centre à l'origine.
Considérons deux rayons de ce cercle : stationnaire (là où se trouve le point) et mobile (là où se trouve le point). Laissez le rayon mobile former un angle avec le rayon fixe.
Le nombre égal à l'ordonnée de l'extrémité d'un rayon unité formant un angle de rayon fixe s'appelle sinus de l'angle : .
Le nombre égal à l'abscisse de l'extrémité d'un rayon unité formant un angle de rayon fixe s'appelle cosinus de l'angle : .
Ainsi, le point qui est l'extrémité du rayon mobile formant un angle a des coordonnées.
Tangente de l'angle Le rapport du sinus de cet angle à son cosinus s'appelle : , .
Cotangente de l'angle Le rapport du cosinus de cet angle à son sinus s'appelle : , .
Signification géométrique fonctions trigonométriques
La signification géométrique du sinus et du cosinus sur un cercle trigonométrique ressort clairement de la définition : c'est l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection du rayon mobile, qui fait un angle avec le rayon fixe, et du cercle trigonométrique. C'est, .
Considérons maintenant la signification géométrique de la tangente et de la cotangente. Les triangles sont semblables à trois angles (,), alors la relation est valable. Par contre, donc.
Également similaire à trois angles (,), alors la relation est valable. Par contre, donc.
Compte tenu de la signification géométrique de la tangente et de la cotangente, la notion d'axe tangent et d'axe cotangent est introduite.
Les axes tangents sont des axes dont l'un touche le cercle trigonométrique en un point et est dirigé vers le haut, le second touche le cercle en un point et est dirigé vers le bas.
Les axes cotangents sont des axes dont l'un touche le cercle trigonométrique en un point et est dirigé vers la droite, le second touche le cercle en un point et est dirigé vers la gauche.
Propriétés des fonctions trigonométriques
Examinons quelques propriétés de base des fonctions trigonométriques. D'autres propriétés seront discutées dans la section sur les graphiques des fonctions trigonométriques.
Domaine et plage de valeurs
Comme mentionné précédemment, le sinus et le cosinus existent pour tous les angles, c'est-à-dire le domaine de définition de ces fonctions est l'ensemble des nombres réels. Par définition, la tangente n'existe pas pour les angles, et la cotangente n'existe pas pour les angles.
Puisque le sinus et le cosinus sont l'ordonnée et l'abscisse d'un point sur un cercle trigonométrique, leurs valeurs se situent entre les deux. La plage des valeurs tangentes et cotangentes est l'ensemble des nombres réels (cela est facile à voir en regardant les axes des tangentes et des cotangentes).
Même bizarre
Considérons les fonctions trigonométriques de deux angles (qui correspond au rayon mobile) et (qui correspond au rayon mobile). Parce que cela signifie que le point a des coordonnées. Par conséquent, c'est-à-dire le sinus est une fonction étrange ; , c'est à dire. cosinus - fonction paire ; , c'est à dire. la tangente est étrange ; , c'est à dire. La cotangente est également étrange.
Intervalles de constance des signes
Les signes des fonctions trigonométriques pour différents quartiers de coordonnées découlent de la définition de ces fonctions. Il est à noter que la tangente et la cotangente étant des rapports du sinus et du cosinus, elles sont positives lorsque le sinus et le cosinus de l'angle ont le même signe et négatives lorsqu'ils sont différents.
Périodicité
La périodicité du sinus et du cosinus est basée sur le fait que les angles qui diffèrent d'un nombre entier de tours complets correspondent au même position relative poutres mobiles et fixes. En conséquence, les coordonnées du point d'intersection du faisceau mobile et du cercle trigonométrique seront les mêmes pour les angles qui diffèrent d'un nombre entier de tours complets. Ainsi, la période du sinus et du cosinus est et, où.
Évidemment, c'est aussi la période des tangentes et des cotangentes. Mais existe-t-il une durée plus courte pour ces fonctions ? Montrons que la plus petite période pour la tangente et la cotangente est.
Considérons deux angles et. Opération sens géométrique tangente et cotangente, . Les côtés et les angles adjacents des triangles sont égaux et, par conséquent, leurs côtés sont égaux, ce qui signifie et. De même, vous pouvez prouver où. Ainsi, la période de tangente et de cotangente est.
Fonctions trigonométriques des angles fondamentaux
Formules de trigonométrie
Pour réussir à résoudre des problèmes trigonométriques, vous devez connaître de nombreuses formules trigonométriques. Cependant, il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes les formules. Il suffit de connaître par cœur les plus basiques et de pouvoir dériver le reste des formules si nécessaire.
Identité trigonométrique de base et conséquences qui en découlent
Toutes les fonctions trigonométriques d'un angle arbitraire sont interconnectées, c'est-à-dire Connaissant une fonction, vous pouvez toujours trouver le reste. Cette connexion est donnée par les formules discutées dans cette section.
Théorème 1 (Identité trigonométrique de base). Pour n'importe qui, l'identité est vraie
La preuve consiste à appliquer le théorème de Pythagore à un triangle rectangle ayant des pattes et une hypoténuse.
Un théorème plus général est également vrai.
Théorème 2. Pour que deux nombres soient pris comme cosinus et sinus d'un même angle réel, il faut et suffisant que la somme de leurs carrés soit égale à un :
Considérons les conséquences de l'identité trigonométrique principale.
Exprimons le sinus par le cosinus et le cosinus par le sinus :
Dans cette formule, le signe plus ou moins devant la racine est choisi en fonction du quadrant dans lequel se situe l'angle.
En substituant les formules obtenues ci-dessus aux formules définissant la tangente et la cotangente, on obtient :
En divisant l'identité trigonométrique principale terme par terme par ou on obtient respectivement :
Ces relations peuvent être réécrites comme suit :
Les formules suivantes donnent la relation entre tangente et cotangente. Puisque à, et à, alors l'égalité est vraie :
Formules de réduction
À l'aide de formules de réduction, vous pouvez exprimer les valeurs des fonctions trigonométriques d'angles arbitraires à travers les valeurs des fonctions d'angle aigu. Toutes les formules de réduction peuvent être généralisées en utilisant la règle suivante.
Toute fonction trigonométrique d'un angle, selon valeur absolue est égal à la même fonction de l'angle si le nombre est pair, et à la co-fonction de l'angle si le nombre est impair. De plus, si la fonction angle est positive, lorsqu'il s'agit d'un angle positif aigu, alors les signes des deux fonctions sont les mêmes si elle est négative, alors ils sont différents ;
Formules de somme et différence d'angle
Théorème 3 . Pour tout réel et les formules suivantes sont valables :
La preuve des formules restantes est basée sur les formules de réduction et les fonctions trigonométriques paires/impaires.
Q.E.D.
Théorème 4. Pour tout réel et tel que
1. , les formules suivantes sont valables
2. , les formules suivantes sont valables
Preuve. Par définition de tangente
La dernière transformation est obtenue en divisant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par.
De même pour la cotangente (le numérateur et le dénominateur dans ce cas sont divisés par) :
Q.E.D.
Il convient de prêter attention au fait que les côtés droit et gauche des dernières égalités ont différentes régions valeurs acceptables. Par conséquent, l'application de ces formules sans restrictions sur les valeurs d'angle possibles peut conduire à des résultats incorrects.
Formules double et demi-angle
Formules double angle vous permettent d'exprimer des fonctions trigonométriques d'un angle arbitraire en termes de fonctions d'un angle moitié de celui d'origine. Ces formules sont des conséquences des formules de la somme de deux angles, si on y met les angles égaux entre eux.
La dernière formule peut être transformée en utilisant l'identité trigonométrique de base :
Ainsi, pour le cosinus d'un angle double il existe trois formules :
Il convient de noter que cette formule valable uniquement pour
La dernière formule est valable pour .
Semblables aux fonctions à double angle, des fonctions à triple angle peuvent être obtenues. Ici ces formules sont données sans preuve :
Les formules du demi-angle sont des conséquences des formules du double angle et permettent d'exprimer les fonctions trigonométriques d'un certain angle en termes de fonctions d'un angle deux fois supérieur à l'original.
Informations de référence sur les fonctions trigonométriques sinus (sin x) et cosinus (cos x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des sinus et cosinus, dérivées, intégrales, développements en séries, sécantes, cosécantes. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.
Définition géométrique du sinus et du cosinus
|BD|- longueur de l'arc de cercle dont le centre est en un point UN.
α
- angle exprimé en radians.
Définition
Sinus (sin α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport longueur du côté opposé |BC| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.
Cosinus (cos α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.
Notations acceptées
;
;
.
;
;
.
Graphique de la fonction sinus, y = sin x
Graphique de la fonction cosinus, y = cos x
Propriétés du sinus et du cosinus
Périodicité
Fonctions y = péché x et y = parce que x périodique avec période 2π.
Parité
La fonction sinusoïdale est étrange. La fonction cosinus est paire.
Domaine de définition et valeurs, extrema, augmentation, diminution
Les fonctions sinus et cosinus sont continues dans leur domaine de définition, c'est-à-dire pour tout x (voir preuve de continuité). Leurs principales propriétés sont présentées dans le tableau (n - entier).
| y = péché x | y = parce que x | |
| Portée et continuité | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Plage de valeurs | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| En augmentant | ||
| Descendant | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Des zéros, y = 0 | ||
| Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Formules de base
Somme des carrés du sinus et du cosinus
Formules pour le sinus et le cosinus à partir de la somme et de la différence
;
;
Formules pour le produit des sinus et des cosinus
Formules de somme et de différence
Exprimer le sinus par le cosinus
;
;
;
.
Exprimer le cosinus par le sinus
;
;
;
.
Expression par tangente
; .
Quand nous avons:
;
.
À :
;
.
Tableau des sinus et cosinus, tangentes et cotangentes
Ce tableau montre les valeurs des sinus et des cosinus pour certaines valeurs de l'argument. 
Expressions via des variables complexes
;
La formule d'Euler
{ -∞ < x < +∞ }
Sécant, cosécant
Fonctions inverses
Fonctions inverses au sinus et au cosinus sont respectivement l'arc sinus et l'arc cosinus.
Arc sinus, arc sinus
Arccosinus, arccos
Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
Les relations entre les fonctions trigonométriques de base - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont données formules trigonométriques. Et comme il existe de nombreuses connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - des fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent de réduire le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.
Dans cet article, nous listerons dans l'ordre tous les principaux formules trigonométriques, qui suffisent à résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons par objectif et les saisirons dans des tableaux.
Navigation dans les pages.
Identités trigonométriques de base
Identités trigonométriques de base définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique par rapport à une autre.
Pour une description détaillée de ces formules trigonométriques, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.
Formules de réduction
Formules de réduction découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage par angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.
La justification de ces formules, une règle mnémotechnique pour leur mémorisation et des exemples de leur application peuvent être étudiés dans l'article.
Formules d'addition
Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.
Formules pour double, triple, etc. angle
Formules pour double, triple, etc. L'angle (on les appelle aussi formules d'angles multiples) montre comment les fonctions trigonométriques du double, du triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur calcul est basé sur des formules d'addition.
Des informations plus détaillées sont collectées dans l'article formules pour double, triple, etc. angle
Formules demi-angle
Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en termes de cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.
Leur conclusion et des exemples d'application peuvent être trouvés dans l'article.
Formules de réduction de diplôme
Formules trigonométriques pour réduire les degrés sont conçus pour faciliter la transition des puissances naturelles des fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. Autrement dit, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques au premier.
Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques
L'objectif principal formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier des expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées pour résoudre équations trigonométriques, puisqu'ils vous permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.
Formules pour le produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus
Le passage du produit de fonctions trigonométriques à une somme ou une différence s'effectue à l'aide des formules du produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus.
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Examen d'État unifié pour 4 ? Ne vas-tu pas éclater de bonheur ?
La question, comme on dit, est intéressante... C'est possible, c'est possible de réussir avec un 4 ! Et en même temps ne pas éclater... La condition principale est de faire de l'exercice régulièrement. Voici la préparation de base à l'examen d'État unifié en mathématiques. Avec tous les secrets et mystères de l'examen d'État unifié, que vous ne lirez pas dans les manuels... Étudiez cette section, résolvez plus de tâches de différentes sources- et tout s'arrangera ! On suppose que la section de base « A C vous suffit ! » cela ne vous pose aucun problème. Mais si tout à coup... Suivez les liens, ne soyez pas paresseux !
Et nous commencerons par un sujet formidable et terrible.
Trigonométrie
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Ce sujet pose beaucoup de problèmes aux étudiants. Elle est considérée comme l’une des plus graves. Que sont le sinus et le cosinus ? Que sont la tangente et la cotangente ? Qu'est-ce qu'un cercle numérique ? Dès que l'on pose ces questions anodines, la personne pâlit et tente de détourner la conversation... Mais en vain. Ce sont des concepts simples. Et ce sujet n’est pas plus difficile que d’autres. Il vous suffit de comprendre clairement les réponses à ces mêmes questions dès le début. Il est très important. Si vous comprenez, vous aimerez la trigonométrie. Donc,
Que sont le sinus et le cosinus ? Que sont la tangente et la cotangente ?
Commençons par les temps anciens. Ne vous inquiétez pas, nous allons parcourir les 20 siècles de trigonométrie en 15 minutes environ et, sans nous en rendre compte, nous répéterons un morceau de géométrie de la 8e année.
Dessinons un triangle rectangle avec des côtés une, b, c et angle X. C'est ici.
Permettez-moi de vous rappeler que les côtés qui forment un angle droit sont appelés jambes. un et c- jambes. Il y a deux d'entre eux. Le côté restant s’appelle l’hypoténuse. Avec– l'hypoténuse.
Triangle et triangle, réfléchissez-y ! Que faire de lui ? Mais les anciens savaient quoi faire ! Répétons leurs actions. Mesurons le côté V. Sur la figure, les cellules sont spécialement dessinées, comme dans Travaux d'examen d'État unifiéÇa arrive. Côté Végal à quatre cellules. D'ACCORD. Mesurons le côté UN. Trois cellules.
Maintenant divisons la longueur du côté UN par longueur de côté V. Ou, comme on dit aussi, prenons l’attitude UNÀ V. un V= 3/4.
Au contraire, vous pouvez diviser V sur UN. Nous obtenons 4/3. Peut V diviser par Avec. Hypoténuse Avec Il est impossible de compter par cellules, mais il est égal à 5. On obtient haute qualité= 4/5. En bref, vous pouvez diviser les longueurs des côtés les unes par les autres et obtenir des nombres.
Et alors? Quel est l’intérêt de cette activité intéressante ? Aucun pour l'instant. Un exercice inutile, pour parler franchement.)
Maintenant, faisons ceci. Agrandissons le triangle. Allongons les côtés dans et avec, mais pour que le triangle reste rectangulaire. Coin X, bien sûr, cela ne change pas. Pour voir cela, passez votre souris sur l'image ou touchez-la (si vous avez une tablette). Des soirées a, b et c se transformera en m, n, k, et bien sûr, les longueurs des côtés changeront.
Mais leur relation ne l’est pas !
Attitude un Vétait: un V= 3/4, est devenu m/n= 6/8 = 3/4. Les relations des autres parties concernées sont également ne changera pas . Vous pouvez modifier la longueur des côtés d'un triangle rectangle à votre guise, augmenter, diminuer, sans changer l'angle x – la relation entre les parties concernées ne changera pas . Vous pouvez le vérifier, ou vous pouvez croire les anciens sur parole.
Mais c’est déjà très important ! Les rapports des côtés d'un triangle rectangle ne dépendent en aucun cas de la longueur des côtés (au même angle). C’est si important que la relation entre les parties mérite son propre nom. Vos noms, pour ainsi dire.) Rencontrez-moi.
Quel est le sinus de l'angle x ? C'est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
sinx = climatisation
Quel est le cosinus de l'angle x ? C'est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
Avecosx= haute qualité
Qu'est-ce que la tangente x ? C'est le rapport du côté opposé au côté adjacent :
tgx =un V
Quelle est la cotangente de l'angle x ? C'est le rapport du côté adjacent au côté opposé :
ctgx = v/a
Tout est très simple. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont quelques nombres. Adimensionnelle. Juste des chiffres. Chaque angle a le sien.
Pourquoi est-ce que je répète tout de manière si ennuyeuse ? Alors qu'est-ce que c'est il faut se souvenir. Il est important de s'en souvenir. La mémorisation peut être facilitée. L’expression « Commençons de loin… » vous est-elle familière ? Alors commencez de loin.
Sinus l'angle est un rapport loin de l'angle de la jambe à l'hypoténuse. Cosinus– le rapport du voisin à l'hypoténuse.
Tangente l'angle est un rapport loin de l'angle de la jambe à celui de près. Cotangente- vice versa.
C'est plus facile, non ?
Eh bien, si vous vous souvenez que dans la tangente et la cotangente, il n'y a que des jambes, et que dans le sinus et le cosinus l'hypoténuse apparaît, alors tout deviendra assez simple.
Toute cette glorieuse famille - sinus, cosinus, tangente et cotangente sont aussi appelées fonctions trigonométriques.
Et maintenant une question à considérer.
Pourquoi dit-on sinus, cosinus, tangente et cotangente coin? Nous parlons de la relation entre les parties, comme... Qu'est-ce que cela a à voir avec ça ? coin?
Regardons la deuxième photo. Exactement le même que le premier.
Passez votre souris sur l'image. J'ai changé l'angle X. Je l'ai augmenté de x à x. Toutes les relations ont changé ! Attitude un Vétait de 3/4, et le rapport correspondant la télé est devenu 6/4.
Et toutes les autres relations sont devenues différentes !
Ainsi, les rapports des côtés ne dépendent en aucune façon de leurs longueurs (sous un angle x), mais dépendent fortement de cet angle même ! Et seulement de lui. Par conséquent, les termes sinus, cosinus, tangente et cotangente font référence à coin. L'angle ici est le principal.
Il faut bien comprendre que l'angle est inextricablement lié à ses fonctions trigonométriques. Chaque angle a son propre sinus et cosinus. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente. C'est important. On pense que si on nous donne un angle, alors son sinus, son cosinus, sa tangente et sa cotangente nous savons ! Et vice versa. Étant donné un sinus ou toute autre fonction trigonométrique, cela signifie que nous connaissons l’angle.
Il existe des tableaux spéciaux où pour chaque angle ses fonctions trigonométriques sont décrites. On les appelle tables Bradis. Ils ont été compilés il y a très longtemps. Quand il n’y avait pas encore de calculatrices ni d’ordinateurs…
Bien entendu, il est impossible de mémoriser les fonctions trigonométriques de tous les angles. Vous n’êtes tenu de les connaître que sous quelques angles, nous y reviendrons plus tard. Mais le sort Je connais un angle, ce qui veut dire que je connais ses fonctions trigonométriques » -ça marche toujours !
Nous avons donc répété un morceau de géométrie de la 8e année. En avons-nous besoin pour l'examen d'État unifié ? Nécessaire. Voici un problème typique de l'examen d'État unifié. Pour résoudre ce problème, la 8e année suffit. Photo donnée :
Tous. Il n'y a plus de données. Nous devons trouver la longueur du côté de l’avion.
Les cellules n'aident pas beaucoup, le triangle est en quelque sorte mal positionné... C'est exprès, je suppose... D'après les informations, il y a la longueur de l'hypoténuse. 8 cellules. Pour une raison quelconque, l’angle était donné.
C'est ici que vous devez immédiatement vous souvenir de la trigonométrie. Il existe un angle, ce qui signifie que nous connaissons toutes ses fonctions trigonométriques. Laquelle des quatre fonctions devrions-nous utiliser ? Voyons, que savons-nous ? Nous connaissons l'hypoténuse et l'angle, mais nous devons trouver adjacent cathéter dans ce coin ! C’est clair, le cosinus doit être mis en œuvre ! On y va. On écrit simplement, par la définition du cosinus (le rapport adjacent jambe à l'hypoténuse) :
cosC = BC/8
L'angle C est de 60 degrés, son cosinus est de 1/2. Il faut le savoir, sans aucun tableau ! C'est-à-dire:
1/2 = BC/8
Élémentaire équation linéaire. Inconnu - Soleil. Ceux qui ont oublié comment résoudre des équations, jetez un œil au lien, les autres résolvent :
BC = 4
Lorsque les peuples anciens ont réalisé que chaque angle avait son propre ensemble de fonctions trigonométriques, ils se sont posé une question raisonnable. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont-ils liés d'une manière ou d'une autre ? Pour qu'en connaissant une fonction d'angle, vous puissiez trouver les autres ? Sans calculer l'angle lui-même ?
Ils étaient tellement agités...)
Relation entre les fonctions trigonométriques d'un angle.
Bien entendu, le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un même angle sont liés les uns aux autres. Toute connexion entre expressions est donnée en mathématiques par des formules. En trigonométrie, il existe un nombre colossal de formules. Mais nous examinerons ici les plus élémentaires. Ces formules s'appellent : identités trigonométriques de base. Les voici:
Vous devez bien connaître ces formules. Sans eux, il n’y a généralement rien à faire en trigonométrie. Trois autres identités auxiliaires découlent de ces identités de base :
Je vous préviens tout de suite que les trois dernières formules s'effacent vite de votre mémoire. Pour une raison quelconque.) Vous pouvez, bien sûr, dériver ces formules des trois premières. Mais en Temps dur... Vous comprenez.)
Dans les problèmes standards, comme ceux ci-dessous, il existe un moyen d’éviter ces formules oubliables. ET réduire considérablement les erreursà cause de l'oubli, et dans les calculs aussi. Ce technique pratique- dans la section 555, leçon "Relations entre fonctions trigonométriques d'un angle".
Dans quelles tâches et comment les identités trigonométriques de base sont-elles utilisées ? La tâche la plus courante consiste à trouver une fonction d'angle si une autre est donnée. Dans l'examen d'État unifié, une telle tâche est présente d'année en année.) Par exemple :
Trouvez la valeur de sinx si x est un angle aigu et cosx=0,8.
La tâche est presque élémentaire. Nous recherchons une formule qui contient du sinus et du cosinus. Voici la formule :
péché 2 x + cos 2 x = 1
On substitue ici une valeur connue, à savoir 0,8 au lieu du cosinus :
péché 2 x + 0,8 2 = 1
Bon, on compte comme d'habitude :
péché 2 x + 0,64 = 1
péché 2 x = 1 - 0,64
C'est pratiquement tout. Nous avons calculé le carré du sinus, il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée et la réponse est prête ! La racine de 0,36 est 0,6.
La tâche est presque élémentaire. Mais le mot « presque » est là pour une raison... Le fait est que la réponse sinx= - 0,6 convient également... (-0,6) 2 sera également 0,36.
Il y a deux réponses différentes. Et il vous en faut un. La seconde est incorrecte. Comment être!? Oui, comme d'habitude.) Lisez attentivement le devoir. Pour une raison quelconque, il est écrit :... si x est un angle aigu... Et dans les tâches, chaque mot a un sens, oui... Cette phrase est une information supplémentaire pour la solution.
Un angle aigu est un angle inférieur à 90°. Et dans de tels coins Tous fonctions trigonométriques - sinus, cosinus et tangente avec cotangente - positif. Ceux. Nous écartons simplement ici la réponse négative. Nous avons le droit.
En fait, les élèves de huitième année n’ont pas besoin de telles subtilités. Ils ne fonctionnent qu'avec des triangles rectangles, dont les coins ne peuvent être qu'aigus. Et ils ne savent pas, les heureux, qu'il existe à la fois des angles négatifs et des angles de 1000°... Et tous ces angles terribles ont leurs propres fonctions trigonométriques, plus et moins...
Mais pour les lycéens, sans tenir compte du signe, pas question. Beaucoup de connaissances multiplient les peines, oui...) Et pour la bonne décision La tâche doit contenir des informations supplémentaires (si nécessaire). Par exemple, il peut être donné par l'entrée suivante :
Ou d'une autre manière. Vous le verrez dans les exemples ci-dessous.) Pour résoudre de tels exemples, vous devez savoir Dans quel quartier se situe l'angle x donné et quel signe a la fonction trigonométrique souhaitée dans ce quartier ?
Ces bases de la trigonométrie sont abordées dans les leçons sur ce qu'est un cercle trigonométrique, la mesure des angles sur ce cercle, la mesure en radians d'un angle. Parfois, il faut connaître la table des sinus, des cosinus des tangentes et des cotangentes.
Notons donc le plus important :
1. Rappelez-vous les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Ce sera très utile.
2. Nous comprenons bien : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont étroitement liés aux angles. Nous savons une chose, ce qui signifie que nous en savons une autre.
3. Nous comprenons bien : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle sont liés les uns aux autres par la base identités trigonométriques. Nous connaissons une fonction, ce qui signifie que nous pouvons (si nous disposons des informations supplémentaires nécessaires) calculer toutes les autres.
Décidons maintenant, comme d'habitude. Premièrement, les tâches relevant de la 8e année. Mais les lycéens peuvent le faire aussi...)
1. Calculez la valeur de tgA si ctgA = 0,4.
2. β est un angle dans un triangle rectangle. Trouvez la valeur de tanβ si sinβ = 12/13.
3. Déterminer le sinus de l'angle aigu x si tgх = 4/3.
4. Trouvez le sens de l’expression :
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Trouvez le sens de l’expression :
(1-cosx)(1+cosx), si sinx = 0,3
Réponses (séparées par des points-virgules, en désordre) :
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Arrivé? Super! Les élèves de huitième année peuvent déjà aller chercher leurs A.)
Tout ne s'est pas bien passé ? Les tâches 2 et 3 ne sont pas très bonnes... ? Aucun problème! Il existe une belle technique pour de telles tâches. Tout peut être résolu pratiquement sans aucune formule ! Et donc sans erreurs. Cette technique est décrite dans la leçon : « Relations entre fonctions trigonométriques d'un angle » à la section 555. Toutes les autres tâches y sont également traitées.
Il s'agissait de problèmes similaires à ceux de l'examen d'État unifié, mais dans une version allégée. Examen d'État unifié - léger). Et maintenant presque les mêmes tâches, mais dans un format à part entière. Pour les lycéens chargés de connaissances.)
6. Trouver la valeur de tanβ si sinβ = 12/13, et
7. Déterminez sinх si tgх = 4/3, et x appartient à l'intervalle (- 540° ; - 450°).
8. Trouver la valeur de l'expression sinβ cosβ si ctgβ = 1.
Réponses (en désarroi) :
0,8; 0,5; -2,4.
Ici dans le problème 6 l'angle n'est pas précisé très clairement... Mais dans le problème 8 il n'est pas précisé du tout ! C'est exprès). Informations Complémentaires non seulement tiré de la tâche, mais aussi de la tête.) Mais si vous décidez, une tâche correcte est garantie !
Et si vous n'avez pas décidé ? Hmm... Eh bien, l'article 555 sera utile ici. Là, les solutions à toutes ces tâches sont décrites en détail, il est difficile de ne pas comprendre.
Cette leçon fournit une compréhension très limitée des fonctions trigonométriques. En 8e année. Et les anciens ont encore des questions...
Par exemple, si l'angle X(regardez la deuxième photo sur cette page) - rendez-le stupide !? Le triangle va complètement s'effondrer ! Alors, que devrions-nous faire? Il n'y aura plus de jambe, pas d'hypoténuse... Le sinus a disparu...
Si les peuples anciens n’avaient pas trouvé un moyen de sortir de cette situation, nous n’aurions plus de téléphone portable, de télévision ou d’électricité aujourd’hui. Oui oui! Base théorique toutes ces choses sans fonctions trigonométriques sont nulles sans bâton. Mais les peuples anciens n’ont pas déçu. Comment ils sont sortis est dans la leçon suivante.
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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
1. Fonctions trigonométriques représenter fonctions élémentaires, dont l'argument est coin. À l'aide de fonctions trigonométriques, les relations entre les côtés et coins pointus dans un triangle rectangle. Les domaines d'application des fonctions trigonométriques sont extrêmement divers. Par exemple, tout processus périodique peut être représenté comme une somme de fonctions trigonométriques (série de Fourier). Ces fonctions apparaissent souvent lors de la résolution d'équations différentielles et fonctionnelles.
2. Les fonctions trigonométriques comprennent les 6 fonctions suivantes : sinus, cosinus, tangente,cotangente, sécante Et cosécante. Pour chacune de ces fonctions il existe une fonction trigonométrique inverse.
3. Il est pratique d'introduire la définition géométrique des fonctions trigonométriques en utilisant cercle unitaire. La figure ci-dessous montre un cercle de rayon r=1. Le point M(x,y) est marqué sur le cercle. L'angle entre le rayon vecteur OM et la direction positive de l'axe Ox est égal à α.
4. Sinus l'angle α est le rapport de l'ordonnée y du point M(x,y) au rayon r :
sinα = y/r.
Puisque r=1, alors le sinus est égal à l'ordonnée du point M(x,y).
5. Cosinus l'angle α est le rapport de l'abscisse x du point M(x,y) au rayon r :
cosα=x/r
6. Tangente l'angle α est le rapport de l'ordonnée y d'un point M(x,y) à son abscisse x :
tanα=y/x,x≠0
7. Cotangente l'angle α est le rapport de l'abscisse x d'un point M(x,y) à son ordonnée y :
cotα=x/y,y≠0
8. Sécante l'angle α est le rapport du rayon r à l'abscisse x du point M(x,y) :
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Cosécante l'angle α est le rapport du rayon r à l'ordonnée y du point M(x,y) :
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. Dans le cercle unité, les projections x, y, les points M(x,y) et le rayon r forment un triangle rectangle dans lequel x,y sont les jambes et r est l'hypoténuse. Par conséquent, les définitions ci-dessus des fonctions trigonométriques dans l'annexe à triangle rectangle sont formulés comme suit :
Sinus l'angle α est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse.
Cosinus l'angle α est le rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse.
Tangente L'angle α est appelé la branche opposée à celle adjacente.
Cotangente L'angle α est appelé le côté adjacent au côté opposé.
Sécante l'angle α est le rapport de l'hypoténuse à la jambe adjacente.
Cosécante l'angle α est le rapport de l'hypoténuse à la jambe opposée.
11. Graphique de la fonction sinus
y=sinx, domaine de définition : x∈R, plage de valeurs : −1≤sinx≤1
12. Graphique de la fonction cosinus
y=cosx, domaine : x∈R, plage : −1≤cosx≤1
13. Graphique de la fonction tangente 14. Graphique de la fonction cotangente 15. Graphique de la fonction sécante
y=tanx, domaine : x∈R,x≠(2k+1)π/2, intervalle : −∞ 
y=cotx, domaine : x∈R,x≠kπ, intervalle : −∞ 
y=secx, domaine : x∈R,x≠(2k+1)π/2, plage : secx∈(−∞,−1]∪∪)