Calcul du diamètre connaissant la circonférence. Calculer le rayon : comment trouver la circonférence d'un cercle connaissant le diamètre

Calcul du diamètre connaissant la circonférence. Calculer le rayon : comment trouver la circonférence d'un cercle connaissant le diamètre
11.10.2019

De nombreux objets dans le monde qui nous entoure ont une forme ronde. Ce sont des roues, des ouvertures de fenêtres rondes, des tuyaux, des plats divers et bien plus encore. Vous pouvez calculer la longueur d'un cercle en connaissant son diamètre ou son rayon.

Il existe plusieurs définitions de cette figure géométrique.

  • Il s'agit d'une courbe fermée constituée de points situés à la même distance d'un point donné.
  • Il s'agit d'une courbe composée des points A et B, qui sont les extrémités du segment, et de tous les points à partir desquels A et B sont visibles à angle droit. Dans ce cas, le segment AB est le diamètre.
  • Pour un même segment AB, cette courbe inclut tous les points C tels que le rapport AC/BC soit constant et non égal à 1.
  • Il s'agit d'une courbe constituée de points pour laquelle ce qui suit est vrai : si l'on additionne les carrés des distances d'un point à deux autres points A et B donnés, on obtient un nombre constant supérieur à la moitié du segment reliant A et B. Cette définition est dérivée du théorème de Pythagore.

Note! Il existe d'autres définitions. Un cercle est une zone à l'intérieur d'un cercle. Le périmètre d'un cercle est sa longueur. Selon différentes définitions, un cercle peut inclure ou non la courbe elle-même, qui en est la limite.

Définition d'un cercle

Formules

Comment calculer la circonférence d'un cercle à l'aide du rayon ? Cela se fait à l'aide d'une formule simple :

où L est la valeur souhaitée,

π est le nombre pi, approximativement égal à 3,1413926.

Habituellement, pour trouver la valeur requise, il suffit d'utiliser π jusqu'au deuxième chiffre, c'est-à-dire 3,14, cela fournira la précision requise. Sur les calculatrices, notamment celles d'ingénierie, il peut y avoir un bouton qui saisit automatiquement la valeur du nombre π.

Désignations

Pour trouver le diamètre il y a la formule suivante :

Si L est déjà connu, le rayon ou le diamètre peut être facilement trouvé. Pour ce faire, L doit être divisé respectivement par 2π ou π.

Si un cercle a déjà été donné, vous devez comprendre comment trouver la circonférence à partir de ces données. L'aire du cercle est S = πR2. De là on trouve le rayon : R = √(S/π). Alors

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Calculer l’aire en termes de L est également simple : S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

Pour résumer, on peut dire qu'il existe trois formules de base :

  • à travers le rayon – L = 2πR ;
  • diamètre traversant – L = πD ;
  • à travers l'aire du cercle – L = 2√(Sπ).

Pi

Sans le nombre π, il ne sera pas possible de résoudre le problème considéré. Le nombre π a été trouvé pour la première fois comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Cela a été fait par les anciens Babyloniens, Égyptiens et Indiens. Ils l'ont trouvé avec assez de précision - leurs résultats ne différaient pas de plus de 1 % de la valeur actuellement connue de π. La constante a été approximée par des fractions telles que 25/8, 256/81, 339/108.

De plus, la valeur de cette constante a été calculée non seulement du point de vue géométrique, mais aussi du point de vue analyse mathematique par des sommes de séries. La désignation de cette constante par la lettre grecque π a été utilisée pour la première fois par William Jones en 1706, et elle est devenue populaire après les travaux d'Euler.

On sait maintenant que cette constante est une constante infinie et non périodique. décimal, il est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas être représenté comme un rapport de deux nombres entiers. Grâce à des calculs sur ordinateur, le 10 billionième signe de la constante a été découvert en 2011.

C'est intéressant! Diverses règles mnémotechniques ont été inventées pour mémoriser les premiers chiffres du nombre π. Certains permettent de stocker en mémoire grand nombre nombres, par exemple, un poème français vous aidera à mémoriser pi jusqu'au 126ème chiffre.

Si vous avez besoin de la circonférence, un calculateur en ligne vous y aidera. Il existe de nombreux calculateurs de ce type ; il vous suffit de saisir le rayon ou le diamètre. Certains d'entre eux ont ces deux options, d'autres calculent le résultat uniquement via R. Certaines calculatrices peuvent calculer la valeur souhaitée avec une précision différente, vous devez spécifier le nombre de décimales. Vous pouvez également calculer l'aire d'un cercle à l'aide de calculatrices en ligne.

De telles calculatrices sont faciles à trouver avec n’importe quel moteur de recherche. Il y a aussi Applications mobiles, ce qui aidera à résoudre le problème de savoir comment trouver la circonférence d'un cercle.

Vidéo utile : circonférence

Utilisation pratique

Résoudre un tel problème est le plus souvent nécessaire pour les ingénieurs et les architectes, mais dans la vie de tous les jours, la connaissance des formules nécessaires peut également être utile. Par exemple, il faut enrouler une bande de papier autour d'un gâteau cuit dans un moule d'un diamètre de 20 cm. Il ne sera alors pas difficile de trouver la longueur de cette bande :

L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 cm.

Autre exemple : il faut construire une clôture autour d'une piscine ronde à une certaine distance. Si le rayon de la piscine est de 10 m et que la clôture doit être placée à une distance de 3 m, alors R pour le cercle obtenu sera de 13 m. Sa longueur est alors :

L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 m.

Vidéo utile : cercle - rayon, diamètre, circonférence

Conclusion

Le périmètre d'un cercle peut être facilement calculé par formules simples, y compris le diamètre ou le rayon. Vous pouvez également trouver la quantité souhaitée grâce à l'aire d'un cercle. Des calculateurs en ligne ou des applications mobiles, dans lesquels vous devez saisir un seul nombre - diamètre ou rayon, vous aideront à résoudre ce problème.

Son diamètre. Pour ce faire, il suffit d’appliquer la formule de la circonférence L = n D Ici : L –. circonférence, n– nombre Pi, égal à 3,14, D – diamètre du cercle Réorganisez la valeur requise dans la formule pour la circonférence du cercle. côté gauche et on obtient : D = L/n

Examinons un problème pratique. Supposons que vous ayez besoin de faire une couverture pour un tour pays bien, accès auquel dans ce moment Non. Non, et inapproprié météo. Mais avez-vous des données sur longueur sa circonférence. Supposons qu'il s'agisse de 600 cm. Nous substituons les valeurs dans la formule indiquée : D = 600/3,14 = 191,08 cm. Ainsi, le diamètre de votre est de 191 cm. Augmentez le diamètre à 2, en tenant compte de la tolérance. bords. Réglez la boussole sur un rayon de 1 m (100 cm) et tracez un cercle.

Conseil utile

Il est pratique de dessiner à la maison avec une boussole des cercles de diamètres relativement grands, qui peuvent être réalisés rapidement. C'est fait comme ça. Deux clous sont enfoncés dans la latte à une distance l'un de l'autre égale au rayon du cercle. Enfoncez un clou légèrement dans la pièce. Et utilisez l’autre, en faisant tourner la portée, comme marqueur.

Un cercle est une figure géométrique sur un plan constitué de tous les points de ce plan qui sont à la même distance d'un point donné. Point de consigne dans ce cas, on l'appelle le centre cercle, et la distance à laquelle les points cercle sont à partir de son centre - rayon cercle. L'aire du plan délimitée par un cercle est appelée cercle. Il existe plusieurs méthodes de calcul. diamètre cercle, le choix d'un spécifique dépend des données initiales disponibles.

Instructions

Dans le cas le plus simple, si le cercle est de rayon R, alors il sera égal à
D = 2 * R
Si rayon cercle n'est pas connu, mais il est connu, alors le diamètre peut être calculé à l'aide de la formule de longueur cercle
D = L/P, où L est la longueur cercle, P-P.
Même diamètre cercle peut être calculé en connaissant la zone limitée par celui-ci
D = 2 * v(S/P), où S est l'aire du cercle, P est le nombre P.

Sources:

  • calcul du diamètre d'un cercle

Au cours de la planimétrie lycée, concept cercle est défini comme une figure géométrique constituée de tous les points du plan situés à un rayon d'un point appelé son centre. Vous pouvez dessiner plusieurs segments à l'intérieur d'un cercle, de diverses façons reliant ses points. En fonction de la construction de ces segments, cercle peut être divisé en plusieurs parties différentes façons.

Instructions

Enfin, cercle peut être divisé en construisant des segments. Un segment est une partie d'un cercle composé d'une corde et d'un arc de cercle. Dans ce cas, une corde est un segment reliant deux points quelconques d’un cercle. Utiliser des segments cercle Peut être divisé en ensemble infini pièces avec ou sans formation en son centre.

Vidéo sur le sujet

note

Les figures obtenues par les méthodes ci-dessus - polygones, segments et secteurs - peuvent également être divisées à l'aide de méthodes appropriées, par exemple des diagonales de polygones ou des bissectrices d'angles.

Une figure géométrique plate est appelée un cercle et la ligne qui la délimite est généralement appelée un cercle. La propriété principale est que chaque point de cette droite est à la même distance du centre de la figure. Un segment commençant au centre du cercle et se terminant en n'importe quel point du cercle est appelé rayon, et un segment reliant deux points du cercle et passant par le centre est appelé diamètre.

Instructions

Utilisez Pi pour trouver la longueur d’un diamètre étant donné la circonférence connue. Cette constante exprime une relation constante entre ces deux paramètres du cercle – quelle que soit la taille du cercle, diviser sa circonférence par la longueur de son diamètre donne toujours le même nombre. Il s'ensuit que pour trouver la longueur du diamètre, il faut diviser la circonférence par le nombre Pi. En règle générale, pour les calculs pratiques de la longueur d'un diamètre, une précision au centième d'unité, c'est-à-dire à deux décimales, est suffisante, de sorte que le nombre Pi peut être considéré comme égal à 3,14. Mais comme cette constante est un nombre irrationnel, elle possède un nombre infini de décimales. S'il en faut plus définition précise, alors le nombre requis de signes pour pi peut être trouvé, par exemple, sur ce lien - http://www.math.com/tables/constants/pi.htm.

Étant donné les longueurs connues des côtés (a et b) d'un rectangle inscrit dans un cercle, la longueur du diamètre (d) peut être calculée en trouvant la longueur de la diagonale de ce rectangle. Puisque la diagonale est ici l'hypoténuse dans triangle rectangle, dont les pattes forment des côtés de longueur connue, alors, selon le théorème de Pythagore, la longueur de la diagonale, et avec elle la longueur du diamètre du cercle circonscrit, peut être calculée en trouvant à partir de la somme des carrés de les longueurs fêtes connues: d=√(a² + b²).

Division en plusieurs parts égales- une tâche commune. C'est ainsi que vous pouvez construire polygone régulier, dessinez une étoile ou préparez la base d'un diagramme. Il existe plusieurs façons de résoudre ce problème intéressant.

Tu auras besoin de

  • - un cercle avec un centre désigné (si le centre n'est pas marqué, vous devrez le retrouver de quelque manière que ce soit) ;
  • - rapporteur ;
  • - boussole avec stylet ;
  • - crayon;
  • - règle.

Instructions

La façon la plus simple de diviser cercle en parties égales - à l'aide d'un rapporteur. En divisant 360° en nombre de parties requis, vous obtenez l'angle. Commencez à partir de n'importe quel point du cercle - le rayon correspondant sera le repère zéro. À partir de là, faites des repères sur le rapporteur correspondant à l'angle calculé. Cette méthode est recommandée si vous devez diviser. cercleà cinq, sept, neuf, etc. les pièces. Par exemple, pour construire un pentagone régulier, ses sommets doivent être situés tous les 360/5 = 72°, soit à 0°, 72°, 144°, 216°, 288°.

Partager cercle en six parties, vous pouvez utiliser la propriété d'une diagonale régulière - sa diagonale la plus longue est égale à deux fois le côté. Un hexagone régulier est, pour ainsi dire, composé de six triangles équilatéraux. Définissez la solution de la boussole, égal au rayon cercles et faites des encoches avec eux, en partant de n'importe quel point arbitraire. Les empattements forment un hexagone régulier dont l'un des sommets sera à ce point. En reliant les sommets par un, vous construirez un triangle régulier inscrit dans. cercle, c'est-à-dire qu'il est divisé en trois parties égales.

Partager cercle en quatre parties, commencez par un diamètre arbitraire. Ses extrémités donneront deux des quatre points requis. Pour trouver le reste, installez une solution boussole, égal à un cercle. Placez l'aiguille de la boussole à une extrémité du diamètre et faites des encoches à l'extérieur du cercle et en dessous. Répétez la même chose avec l'autre extrémité du diamètre. Tracez une ligne auxiliaire entre les points d'intersection des empattements. Cela vous donnera un deuxième diamètre, strictement perpendiculaire à celui d'origine. Ses extrémités deviendront les deux sommets restants du carré inscrit dans cercle.

En utilisant la méthode décrite ci-dessus, vous pouvez trouver le milieu de n'importe quel segment. En conséquence, avec cette méthode, vous pouvez doubler le nombre de parties égales dans lesquelles vous cercle. Après avoir trouvé le milieu de chaque côté du n- correct inscrit dans cercle, vous pouvez leur tracer des perpendiculaires, trouver le point de leur intersection avec cercle yu et construisons ainsi les sommets d'un 2n-gon régulier. Cette procédure peut être répétée autant de fois que vous le souhaitez. Ainsi, le carré se transforme en, cela - en, etc. En commençant par un carré, vous pouvez par exemple diviser cercle en 256 parties égales.

note

Pour diviser un cercle en parties égales, on utilise généralement des têtes de division ou des tables de division, qui permettent de diviser le cercle en parties égales avec haute précision. Lorsqu'il est nécessaire de diviser un cercle en parties égales, utilisez le tableau ci-dessous. Pour ce faire, il faut multiplier le diamètre du cercle divisé par le coefficient donné dans le tableau : K x D.

Conseil utile

Diviser un cercle en trois, six et douze parties égales. Deux axes perpendiculaires sont tracés qui, coupant le cercle aux points 1,2,3,4, le divisent en quatre parties égales ; Utiliser la technique de division bien connue angle droitÀ l'aide d'un compas ou d'une équerre, les bissectrices des angles droits sont construites en deux parties égales qui, coupant le cercle aux points 5, 6, 7 et 8, divisent chaque quart du cercle en deux.

Lors de la réalisation de constructions de divers formes géométriques il est parfois nécessaire de déterminer leurs caractéristiques : longueur, largeur, hauteur, etc. Si nous parlons de autour d'un cercle ou d'un cercle, il faut souvent déterminer son diamètre. Un diamètre est un segment de droite qui relie les deux points les plus éloignés situés sur un cercle.

Tu auras besoin de

  • - l'indicateur;
  • - boussole;
  • - calculatrice.

Quelle que soit la sphère de l'économie dans laquelle une personne travaille, elle utilise, volontairement ou involontairement, les connaissances mathématiques accumulées au cours de plusieurs siècles. Nous rencontrons chaque jour des appareils et des mécanismes contenant des cercles. Forme ronde contient une roue, une pizza, de nombreux légumes et fruits coupés en cercle, ainsi que des assiettes, des tasses et bien plus encore. Cependant, tout le monde ne sait pas comment calculer correctement la circonférence.

Pour calculer la circonférence d’un cercle, vous devez d’abord vous rappeler ce qu’est un cercle. C'est l'ensemble de tous les points du plan équidistants de celui-ci. Un cercle est un lieu géométrique de points sur un plan situé à l'intérieur d'un cercle. De ce qui précède, il s’ensuit que le périmètre d’un cercle et la circonférence ne font qu’un.

Méthodes pour trouver la circonférence d'un cercle

En plus de la méthode mathématique pour trouver le périmètre d'un cercle, il existe également des méthodes pratiques.

  • Prenez une corde ou un cordon et enroulez-le une fois.
  • Mesurez ensuite la corde, le nombre obtenu sera la circonférence.
  • Faites rouler l'objet rond une fois et comptez la longueur du chemin. Si l'article est très petit, vous pouvez l'enrouler plusieurs fois avec de la ficelle, puis dérouler le fil, mesurer et diviser par le nombre de tours.
  • Trouvez la valeur requise à l'aide de la formule :

L = 2πr = πD ,

où L est la longueur requise ;

π – constante, approximativement égale à 3,14 r – rayon du cercle, la distance de son centre à n'importe quel point ;

D est le diamètre, il est égal à deux rayons.

Appliquer la formule pour trouver la circonférence d'un cercle

  • Exemple 1. Tapis roulant fait le tour d'un cercle d'un rayon de 47,8 mètres. Trouvez la longueur de ce tapis roulant en prenant π = 3,14.

L = 2πr =2*3,14*47,8 ≈ 300(m)

Réponse : 300 mètres

  • Exemple 2. Une roue de vélo, après avoir tourné 10 fois, a parcouru 18,85 mètres. Trouvez le rayon de la roue.

18,85 : 10 =1,885 (m) est le périmètre de la roue.

1,885 : π = 1,885 : 3,1416 ≈ 0,6(m) – diamètre requis

Réponse : diamètre de roue 0,6 mètres

L'incroyable nombre pi

Malgré l'apparente simplicité de la formule, pour une raison quelconque, il est difficile pour beaucoup de s'en souvenir. Apparemment, cela est dû au fait que la formule contient un nombre irrationnel π, qui n'est pas présent dans les formules pour l'aire d'​​autres figures, par exemple un carré, un triangle ou un losange. Il faut juste se rappeler qu'il s'agit d'une constante, c'est-à-dire une constante signifiant le rapport entre la circonférence et le diamètre. Il y a environ 4 000 ans, les gens ont remarqué que le rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon (ou diamètre) était le même pour tous les cercles.

Les anciens Grecs approximaient le nombre π avec la fraction 22/7. Pendant longtempsπ a été calculé comme la moyenne entre les longueurs des polygones inscrits et circonscrits dans un cercle. Au troisième siècle après JC, un mathématicien chinois a effectué un calcul pour un 3072-gon et a obtenu une valeur approximative de π = 3,1416. Il faut se rappeler que π est toujours constant pour tout cercle. Sa désignation par la lettre grecque π apparaît au XVIIIe siècle. C'est la première lettre des mots grecs περιφέρεια - cercle et περίμετρος - périmètre. Au XVIIIe siècle, il a été prouvé que cette quantité est irrationnelle, c’est-à-dire qu’elle ne peut pas être représentée sous la forme m/n, où m est un nombre entier et n est un nombre naturel.

Le cercle se produit à Vie courante pas moins souvent qu'un rectangle. Et pour beaucoup de gens, le problème du calcul de la circonférence est difficile. Et tout cela parce qu'il n'a pas de coins. S’ils étaient disponibles, tout deviendrait beaucoup plus simple.

Qu'est-ce qu'un cercle et où se produit-il ?

Cette figure plate représente un certain nombre de points situés à la même distance d'un autre, qui est le centre. Cette distance s'appelle le rayon.

Dans la vie de tous les jours, il n’est pas souvent nécessaire de calculer la circonférence d’un cercle, sauf pour les ingénieurs et les designers. Ils créent des conceptions pour des mécanismes utilisant, par exemple, des engrenages, des hublots et des roues. Les architectes créent des maisons avec des fenêtres rondes ou cintrées.

Chacun de ces cas et d’autres nécessitent sa propre précision. De plus, il s'avère impossible de calculer la circonférence avec une précision absolue. Cela est dû à l'infinité du nombre principal dans la formule. "Pi" est encore en cours de perfectionnement. Et la valeur arrondie est le plus souvent utilisée. Le degré de précision est choisi pour donner la réponse la plus correcte.

Désignations des grandeurs et formules

Il est maintenant facile de répondre à la question de savoir comment calculer la circonférence d'un cercle par rayon ; pour cela, vous aurez besoin de la formule suivante :

Puisque le rayon et le diamètre sont liés l’un à l’autre, il existe une autre formule de calcul. Le rayon étant deux fois plus petit, l'expression changera légèrement. Et la formule pour calculer la circonférence d'un cercle, connaissant le diamètre, sera la suivante :

l = π * ré.

Et si vous deviez calculer le périmètre d’un cercle ?

N'oubliez pas qu'un cercle comprend tous les points à l'intérieur du cercle. Cela signifie que son périmètre coïncide avec sa longueur. Et après avoir calculé la circonférence, mettez un signe égal au périmètre du cercle.

D'ailleurs, leurs désignations sont les mêmes. Cela s'applique au rayon et au diamètre, et le périmètre est la lettre latine P.

Exemples de tâches

Première tâche

Condition. Découvrez la longueur d'un cercle dont le rayon est de 5 cm.

Solution. Ici, il n'est pas difficile de comprendre comment calculer la circonférence. Il vous suffit d'utiliser la première formule. Puisque le rayon est connu, il vous suffit de substituer les valeurs et de calculer. 2 multiplié par un rayon de 5 cm donne 10. Il ne reste plus qu'à le multiplier par la valeur de π. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

Répondre: l = 31,4 cm.

Tâche deux

Condition. Il existe une roue dont la circonférence est connue et égale à 1256 mm. Il faut calculer son rayon.

Solution. Dans cette tâche, vous devrez utiliser la même formule. Mais seule la longueur connue devra être divisée par le produit de 2 et π. Il s'avère que le produit donnera le résultat : 6,28. Après division, le nombre restant est : 200. C'est la valeur souhaitée.

Répondre: r = 200 mm.

Troisième tâche

Condition. Calculez le diamètre si la circonférence du cercle est connue, qui est de 56,52 cm.

Solution. Semblable au problème précédent, vous devrez diviser la longueur connue par la valeur de π, arrondie au centième le plus proche. À la suite de cette action, le nombre 18 est obtenu.

Répondre: d = 18 cm.

Problème quatre

Condition. Les aiguilles de l'horloge mesurent 3 et 5 cm de long. Vous devez calculer les longueurs des cercles qui décrivent leurs extrémités.

Solution. Puisque les flèches coïncident avec les rayons des cercles, la première formule est requise. Vous devez l'utiliser deux fois.

Pour la première longueur, le produit sera composé de facteurs : 2 ; 3,14 et 3. Le résultat sera de 18,84 cm.

Pour la deuxième réponse, vous devez multiplier 2, π et 5. Le produit donnera le nombre : 31,4 cm.

Répondre: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Tâche cinq

Condition. Un écureuil court dans une roue d'un diamètre de 2 m. Quelle distance parcourt-il en un tour complet de roue ?

Solution. Cette distance est égale à la circonférence. Il faut donc utiliser une formule adaptée. A savoir, multipliez la valeur de π par 2 m. Les calculs donnent le résultat : 6,28 m.

Répondre: L'écureuil court 6,28 m.

§ 117. Circonférence et aire d'un cercle.

1. Circonférence. Un cercle est une ligne courbe plate fermée dont tous les points sont à égales distances d'un point (O), appelé centre du cercle (Fig. 27).

Le cercle est tracé à l'aide d'un compas. Pour ce faire, la branche pointue de la boussole est placée au centre et l'autre (avec un crayon) est tournée autour de la première jusqu'à ce que l'extrémité du crayon dessine un cercle complet. La distance entre le centre et n'importe quel point du cercle est appelée sa rayon. De la définition, il s'ensuit que tous les rayons d'un cercle sont égaux les uns aux autres.

Un segment de droite (AB) reliant deux points quelconques d'un cercle et passant par son centre est appelé diamètre. Tous les diamètres d'un cercle sont égaux les uns aux autres ; le diamètre est égal à deux rayons.

Comment trouver la circonférence d'un cercle ? Dans presque certains cas, la circonférence peut être déterminée par mesure directe. Cela peut être fait, par exemple, en mesurant un cercle comparativement petits objets(seau, verre, etc.). Pour ce faire, vous pouvez utiliser un mètre ruban, une tresse ou un cordon.

En mathématiques, la technique de détermination indirecte de la circonférence est utilisée. Elle consiste à calculer à l'aide d'une formule toute faite, que nous allons maintenant dériver.

Si nous prenons plusieurs objets ronds, grands et petits (pièce de monnaie, verre, seau, tonneau, etc.) et mesurons la circonférence et le diamètre de chacun d'eux, nous obtiendrons deux nombres pour chaque objet (un mesurant la circonférence et un autre le longueur du diamètre). Naturellement, pour les petits objets, ces chiffres seront petits et pour les grands, grands.

Cependant, si dans chacun de ces cas nous prenons le rapport des deux nombres obtenus (circonférence et diamètre), alors avec une mesure minutieuse, nous trouverons presque le même nombre. Notons la circonférence du cercle par la lettre AVEC, longueur du diamètre lettre D, alors leur rapport ressemblera à C : D. Les mesures réelles sont toujours accompagnées d'inexactitudes inévitables. Mais, après avoir terminé l'expérience indiquée et effectué les calculs nécessaires, nous obtenons pour le rapport C : D environ les numéros suivants: 3.13; 3.14 ; 3.15. Ces chiffres diffèrent très peu les uns des autres.

En mathématiques, grâce à des considérations théoriques, il a été établi que le rapport souhaité C : D ne change jamais et il est égal à une fraction infinie non périodique dont la valeur approximative, précise au dix millième, est égale à 3,1416 . Cela signifie que chaque cercle est autant de fois plus long que son diamètre. Ce nombre est généralement désigné par la lettre grecque π (pi). Alors le rapport de la circonférence au diamètre s’écrira comme suit : C : D = π . Nous limiterons ce nombre aux centièmes seulement, c'est-à-dire prenons π = 3,14.

Écrivons une formule pour déterminer la circonférence.

Parce que C : D= π , Que

C = πD

c'est-à-dire que la circonférence est égale au produit du nombre π par diamètre.

Tache 1. Trouvez la circonférence ( AVEC) d'une pièce ronde si son diamètre est D= 5,5 m.

En tenant compte de ce qui précède, nous devons augmenter le diamètre de 3,14 fois pour résoudre ce problème :

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Tâche 2. Trouvez le rayon d'une roue dont la circonférence est de 125,6 cm.

Cette tâche est l’inverse de la précédente. Trouvons le diamètre de la roue :

125,6 : 3,14 = 40 (cm).

Trouvons maintenant le rayon de la roue :

40 : 2 = 20 (cm).

2. Aire d'un cercle. Pour déterminer l'aire d'un cercle, on pourrait tracer un cercle d'un rayon donné sur du papier, le recouvrir de papier quadrillé transparent, puis compter les cellules à l'intérieur du cercle (Fig. 28).

Mais cette méthode n’est pas pratique pour plusieurs raisons. Premièrement, près du contour du cercle, on obtient un certain nombre de cellules incomplètes dont la taille est difficile à juger. Deuxièmement, vous ne pouvez pas recouvrir un grand objet (un parterre de fleurs rond, une piscine, une fontaine, etc.) avec une feuille de papier. Troisièmement, après avoir compté les cellules, nous ne recevons toujours aucune règle nous permettant de résoudre un autre problème similaire. Pour cette raison, nous agirons différemment. Comparons le cercle avec une figure qui nous est familière et procédons comme suit : découpez un cercle dans du papier, coupez-le d'abord en deux le long du diamètre, puis coupez à nouveau chaque moitié en deux, chaque quart en deux à nouveau, etc., jusqu'à ce que nous découpons le cercle, par exemple, en 32 parties en forme de dents (Fig. 29).

Ensuite, nous les plions comme le montre la figure 30, c'est-à-dire que nous disposons d'abord 16 dents en forme de scie, puis nous mettons 15 dents dans les trous résultants et, enfin, nous coupons la dernière dent restante en deux le long du rayon et attachez une partie à gauche, l'autre à droite. Vous obtiendrez alors une figure ressemblant à un rectangle.

La longueur de cette figure (base) est approximativement égale à la longueur du demi-cercle et la hauteur est approximativement égale au rayon. Ensuite, l'aire d'une telle figure peut être trouvée en multipliant les nombres exprimant la longueur du demi-cercle et la longueur du rayon. Si on note l'aire d'un cercle par la lettre S, la circonférence d'une lettre AVEC, lettre de rayon r, alors on peut écrire la formule pour déterminer l'aire d'un cercle :

qui se lit comme ceci : L'aire d'un cercle est égale à la longueur du demi-cercle multipliée par le rayon.

Tâche. Trouvez l'aire d'un cercle dont le rayon est de 4 cm. Trouvez d'abord la longueur du cercle, puis la longueur du demi-cercle, puis multipliez-la par le rayon.

1) Circonférence AVEC = π D= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Longueur du demi-cercle C / 2 = 25,12 : 2= 12,56 (cm).

3) Aire du cercle S = C / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (cm²).

§ 118. Surface et volume d'un cylindre.

Tache 1. Trouvez la surface totale d'un cylindre dont le diamètre de base est de 20,6 cm et la hauteur de 30,5 cm.

Les éléments suivants ont une forme cylindrique (Fig. 31) : un seau, un verre (non facetté), une casserole et bien d'autres objets.

Pleine surface cylindre (ainsi que toute la surface parallélépipède rectangle) se compose de la surface latérale et des zones de deux bases (Fig. 32).

Pour imaginer clairement de quoi nous parlons, vous devez réaliser soigneusement un modèle de cylindre en papier. Si nous soustrayons de ce modèle deux bases, c'est-à-dire deux cercles, et coupons la surface latérale dans le sens de la longueur et la déplions, alors il sera tout à fait clair comment calculer la surface totale du cylindre. Surface latérale se dépliera en un rectangle dont la base est égale à la circonférence. Par conséquent, la solution au problème ressemblera à :

1) Circonférence : 20,6 3,14 = 64,684 (cm).

2) Surface latérale : 64,684 30,5 = 1972,862 (cm2).

3) Superficie d'une base : 32,342 10,3 = 333,1226 (cm²).

4) Surface complète du cylindre :

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (cm²) ≈ 2639 (cm²).

Tâche 2. Trouver du volume baril de fer, ayant la forme d'un cylindre de dimensions : diamètre de base 60 cm et hauteur 110 cm.

Pour calculer le volume d'un cylindre, il faut se rappeler comment on a calculé le volume d'un parallélépipède rectangle (il est utile de lire le § 61).

Notre unité de mesure de volume sera le centimètre cube. Vous devez d'abord savoir combien de centimètres cubes peuvent être placés sur la surface de base, puis multiplier le nombre trouvé par la hauteur.

Pour savoir combien de centimètres cubes peuvent être posés sur la surface de base, vous devez calculer la surface de base du cylindre. Puisque la base est un cercle, vous devez trouver l’aire du cercle. Ensuite, pour déterminer le volume, multipliez-le par la hauteur. La solution au problème a la forme :

1) Circonférence : 60 3,14 = 188,4 (cm).

2) Aire du cercle : 94,2 30 = 2826 (cm²).

3) Volume du cylindre : 2 826 110 = 310 860 (cc. cm).

Répondre. Volume du baril 310,86 mètres cubes. dm.

Si l'on note le volume d'un cylindre par la lettre V, surface de base S, hauteur du cylindre H, alors vous pouvez écrire une formule pour déterminer le volume d'un cylindre :

V = SH

qui se lit comme ceci : Le volume d'un cylindre est égal à l'aire de la base multipliée par la hauteur.

§ 119. Tableaux de calcul de la circonférence d'un cercle par diamètre.

Lors de la résolution de divers problèmes de production, il est souvent nécessaire de calculer la circonférence. Imaginons un ouvrier qui réalise des pièces rondes selon les diamètres qui lui sont spécifiés. Chaque fois qu’il connaît le diamètre, il doit calculer la circonférence. Pour gagner du temps et s'assurer contre les erreurs, il se tourne vers des tableaux tout faits qui indiquent les diamètres et les longueurs de circonférence correspondantes.

Nous présenterons une petite partie de ces tableaux et vous expliquerons comment les utiliser.

Sachez que le diamètre du cercle est de 5 m. On regarde dans le tableau dans la colonne verticale sous la lettre. D numéro 5. C’est la longueur du diamètre. À côté de ce numéro (à droite, dans la colonne intitulée « Circonférence ») nous verrons le numéro 15.708 (m). Exactement de la même manière, nous constatons que si D= 10 cm, alors la circonférence est de 31,416 cm.

En utilisant les mêmes tableaux, vous pouvez également effectuer des calculs inverses. Si la circonférence d'un cercle est connue, alors le diamètre correspondant peut être trouvé dans le tableau. Soit la circonférence soit d'environ 34,56 cm. Trouvons dans le tableau le nombre le plus proche. Ce sera 34,558 (différence 0,002). Le diamètre correspondant à cette circonférence est d'environ 11 cm.

Les tableaux mentionnés ici sont disponibles dans divers ouvrages de référence. On les retrouve notamment dans le livre « Tableaux mathématiques à quatre chiffres » de V. M. Bradis. et dans le livre sur les problèmes arithmétiques de S. A. Ponomarev et N. I. Sirneva.