Sans savoir comment réduire une fraction et avoir une compétence stable pour résoudre de tels exemples, il est très difficile d'étudier l'algèbre à l'école. Plus loin, plus notions de base sur la réduction des fractions ordinaires superposées nouvelle information. Il y a d'abord des degrés, puis des facteurs, qui deviennent plus tard des polynômes.

Comment ne pas être confus ici? Consolidez en profondeur les compétences dans les sujets précédents et préparez progressivement les connaissances sur la façon de réduire une fraction, ce qui se complique d'année en année.

Notions de base

Sans eux, il ne sera pas possible de faire face à des tâches de n'importe quel niveau. Pour comprendre, vous devez comprendre deux points simples. Premièrement, vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs. Cette nuance s'avère très importante lorsque des polynômes apparaissent au numérateur ou au dénominateur. Ensuite, vous devez clairement distinguer où se trouve le multiplicateur et où se trouve le terme.

Le deuxième point dit que n'importe quel nombre peut être représenté comme des facteurs. De plus, le résultat de la réduction est une telle fraction dont le numérateur et le dénominateur ne peuvent plus être réduits.

Règles de réduction des fractions communes

La première chose à vérifier est de savoir si le numérateur est divisible par le dénominateur ou vice versa. Ensuite, c'est par ce nombre que vous devez réduire. C'est l'option la plus simple.

La seconde est l'analyse apparence Nombres. Si les deux se terminent par un ou plusieurs zéros, ils peuvent être réduits de 10, 100 ou mille. Ici, vous pouvez voir si les nombres sont pairs. Si tel est le cas, vous pouvez réduire de deux en toute sécurité.

La troisième règle de réduction d'une fraction est l'expansion en facteurs premiers numérateur et dénominateur. À ce stade, vous devez utiliser activement toutes les connaissances sur les signes de la divisibilité des nombres. Après une telle décomposition, il ne reste plus qu'à trouver tous ceux qui se répètent, les multiplier et réduire par le nombre résultant.

Et si la fraction contient une expression algébrique ?

Ici apparaissent les premières difficultés. Car c'est là qu'apparaissent les termes, qui peuvent être identiques à des facteurs. Je veux vraiment les couper, mais je ne peux pas. Avant qu'une fraction algébrique puisse être réduite, elle doit être convertie afin qu'elle ait des facteurs.

Cela nécessitera plusieurs étapes. Vous devrez peut-être tous les parcourir, ou peut-être que le premier vous donnera une option appropriée.

Vérifiez si le numérateur et le dénominateur ou toute expression qu'ils contiennent diffèrent par le signe. Dans ce cas, il vous suffit de retirer les crochets moins un. Il en résulte des multiplicateurs identiques qui peuvent être réduits.

Voyez si le facteur commun peut être encadré du polynôme. Peut-être que cela se révélera être une parenthèse, qui peut également être réduite, ou ce sera un monôme retiré.

Essayez d'effectuer un regroupement de monômes afin d'en retirer ensuite un facteur commun. Après cela, il peut s'avérer qu'il y aura des facteurs qui peuvent être réduits, ou encore mettre entre parenthèses des éléments communs.

Essayez de considérer par écrit la formule de la multiplication abrégée. Avec leur aide, il sera facile de convertir un polynôme en facteurs.

Séquence d'actions avec des fractions avec des puissances

Afin de comprendre facilement la question de savoir comment réduire une fraction avec des degrés, il est nécessaire de se souvenir fermement des actions de base avec eux. Le premier d'entre eux est lié à la multiplication des pouvoirs. Dans ce cas, si les bases sont les mêmes, les indicateurs doivent être additionnés.

La seconde est la division. Encore une fois, pour ceux qui ont la même base, les indicateurs devront être soustraits. De plus, vous devez soustraire du nombre qui est dans le dividende, et non l'inverse.

La troisième est l'exponentiation. Dans cette situation, les indicateurs se multiplient.

Une réduction réussie nécessitera également la capacité d'apporter des diplômes aux mêmes bases. Autrement dit, pour voir que quatre est deux au carré. Ou 27 est le cube de trois. Parce que couper 9 au carré et 3 au cube est difficile. Mais si nous transformons la première expression en (3 2) 2 , alors la réduction réussira.

Fractions

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Les fractions au lycée ne sont pas très gênantes. Pour le moment. Jusqu'à ce que tu tombes sur des degrés avec indicateurs rationnels oui les logarithmes. Et là…. Vous appuyez, vous appuyez sur la calculatrice, et elle affiche tout le tableau de bord complet de certains nombres. Vous devez penser avec votre tête, comme en troisième année.

Passons aux fractions, enfin ! Eh bien, à quel point pouvez-vous vous y perdre ! ? De plus, tout est simple et logique. Alors, qu'est-ce que les fractions ?

Types de fractions. Transformations.

Les fractions se produisent trois sortes.

1. Fractions communes , Par example:

Parfois, au lieu d'une ligne horizontale, ils mettent une barre oblique : 1/2, 3/4, 19/5, eh bien, et ainsi de suite. Ici, nous utiliserons souvent cette orthographe. Le numéro du haut s'appelle numérateur, plus bas - dénominateur. Si vous confondez constamment ces noms (ça arrive...), dites-vous la phrase avec l'expression : " Zzzzz rappelles toi! Zzzzz dénominateur - sortie zzzz u !" Regarde, on se souviendra de tout.)

Un tiret, qui est horizontal, qui est oblique, signifie division nombre du haut (numérateur) au nombre du bas (dénominateur). Et c'est tout! Au lieu d'un tiret, il est tout à fait possible de mettre un signe de division - deux points.

Lorsque la division est entièrement possible, elle doit être faite. Ainsi, au lieu de la fraction "32/8", il est beaucoup plus agréable d'écrire le chiffre "4". Ceux. 32 est simplement divisé par 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Je ne parle pas de la fraction "4/1". Qui est aussi juste "4". Et s'il ne se divise pas complètement, nous le laissons sous forme de fraction. Il faut parfois faire l'inverse. Faire une fraction à partir d'un nombre entier. Mais plus là-dessus plus tard.

2. Décimales , Par example:

C'est sous cette forme qu'il faudra noter les réponses aux tâches "B".

3. nombres mélangés , Par example:

Les nombres mixtes ne sont pratiquement pas utilisés au lycée. Pour travailler avec eux, ils doivent être traduits en fractions communes. Mais il faut absolument savoir comment faire ! Sinon, un tel nombre tombera dans le puzzle et s'accrochera ... Sur lieu vide. Mais nous nous souvenons de cette procédure! Un peu plus bas.

Le plus polyvalent fractions communes. Commençons par eux. Au fait, s'il y a toutes sortes de logarithmes, sinus et autres lettres dans la fraction, cela ne change rien. Dans le sens où tout les actions avec des expressions fractionnaires ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires!

Propriété fondamentale d'une fraction.

Alors allons-y! Tout d'abord, je vais vous surprendre. Toute la variété des transformations de fractions est fournie par une seule propriété ! C'est comme ça qu'on l'appelle propriété de base d'une fraction. Se souvenir: Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre, la fraction ne changera pas. Ceux:

Il est clair que vous pouvez écrire plus loin, jusqu'à ce que vous ayez le visage bleu. Ne laissez pas les sinus et les logarithmes vous confondre, nous les traiterons plus loin. La principale chose à comprendre est que toutes ces différentes expressions sont la même fraction . 2/3.

Et nous en avons besoin, toutes ces transformations ? Et comment! Maintenant, vous verrez par vous-même. D'abord, utilisons la propriété de base d'une fraction pour abréviations des fractions. Il semblerait que la chose soit élémentaire. On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre et c'est tout ! Impossible de se tromper ! Mais... l'homme est un être créateur. Vous pouvez faire des erreurs partout ! Surtout si vous devez réduire non pas une fraction comme 5/10, mais une expression fractionnaire avec toutes sortes de lettres.

Comment réduire les fractions correctement et rapidement sans faire de travail inutile peut être trouvé dans la section spéciale 555.

Un étudiant normal ne prend pas la peine de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (ou expression) ! Il barre juste tout de la même manière d'en haut et d'en bas ! C'est là qu'il se cache erreur typique, bêtisier si tu veux.

Par exemple, vous devez simplifier l'expression :

Il n'y a rien à penser, on barre la lettre "a" d'en haut et le deux d'en bas ! On a:

Tout est correct. Mais vraiment tu as partagé la totalité numérateur et la totalité dénominateur "a". Si vous avez l'habitude de simplement barrer, alors, pressé, vous pouvez barrer le "a" dans l'expression

et obtenir à nouveau

Ce qui serait catégoriquement faux. Parce qu'ici la totalité numérateur sur "a" déjà non partagé! Cette fraction ne peut pas être réduite. Soit dit en passant, une telle abréviation est, euh ... un sérieux défi pour l'enseignant. Ce n'est pas pardonné ! Se souvenir? Lors de la réduction, il est nécessaire de diviser la totalité numérateur et la totalité dénominateur!

Réduire les fractions rend la vie beaucoup plus facile. Vous obtiendrez une fraction quelque part, par exemple 375/1000. Et comment travailler avec elle maintenant ? Sans calculatrice ? Multipliez, disons, additionnez, carré ! ? Et si vous n'êtes pas trop paresseux, mais réduisez soigneusement de cinq, et même de cinq, et même ... pendant qu'il est réduit, en bref. Nous obtenons 3/8 ! Bien plus sympa, non ?

La propriété de base d'une fraction vous permet de convertir des fractions ordinaires en décimales et vice versa sans calculatrice! C'est important pour l'examen, non ?

Comment convertir des fractions d'une forme à une autre.

C'est facile avec les décimaux. Comme on l'entend, ainsi on l'écrit ! Disons 0,25. C'est zéro point, vingt-cinq centièmes. On écrit donc : 25/100. On réduit (divise le numérateur et le dénominateur par 25), on obtient la fraction habituelle : 1/4. Tout. Cela arrive, et rien n'est réduit. Comme 0,3. C'est trois dixièmes, c'est-à-dire 3/10.

Et si les entiers sont non nuls ? C'est bon. Écrivez la fraction entière sans aucune virgule au numérateur et au dénominateur - ce qui est entendu. Par exemple : 3.17. C'est trois entiers dix-sept centièmes. Nous écrivons 317 au numérateur et 100 au dénominateur, nous obtenons 317/100. Rien n'est réduit, cela veut tout dire. C'est la réponse. Watson élémentaire! De tout ce qui précède, une conclusion utile : toute fraction décimale peut être convertie en une fraction commune .

Mais la conversion inverse, ordinaire en décimal, certains ne peuvent pas se passer d'une calculatrice. Mais tu dois! Comment allez-vous écrire la réponse à l'examen ! ? Nous lisons attentivement et maîtrisons ce processus.

Qu'est-ce qu'une fraction décimale ? Elle a au dénominateur toujours vaut 10 ou 100 ou 1000 ou 10000 et ainsi de suite. Si votre fraction habituelle a un tel dénominateur, il n'y a pas de problème. Par exemple, 4/10 = 0,4. Soit 7/100 = 0,07. Soit 12/10 = 1,2. Et si dans la réponse à la tâche de la section "B", il s'est avéré 1/2 ? Qu'allons-nous écrire en réponse ? Les décimales sont obligatoires...

Nous nous souvenons propriété de base d'une fraction ! Les mathématiques vous permettent favorablement de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Pour n'importe qui, d'ailleurs ! Sauf zéro, bien sûr. Utilisons cette fonctionnalité à notre avantage ! Par quoi peut-on multiplier le dénominateur, c'est-à-dire 2 pour qu'il devienne 10, ou 100, ou 1000 (plus petit c'est mieux, bien sûr...) ? 5, évidemment. N'hésitez pas à multiplier le dénominateur (c'est nous nécessaire) par 5. Mais, alors le numérateur doit aussi être multiplié par 5. C'est déjà mathématiques demandes! Nous obtenons 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. C'est tout.

Cependant, toutes sortes de dénominateurs se rencontrent. Par exemple, la fraction 3/16 tombera. Essayez-le, trouvez par quoi multiplier 16 pour obtenir 100 ou 1000... Ça ne marche pas ? Ensuite, vous pouvez simplement diviser 3 par 16. En l'absence de calculatrice, vous devrez diviser dans un coin, sur une feuille de papier, comme on l'enseignait au primaire. Nous obtenons 0,1875.

Et il y a de très mauvais dénominateurs. Par exemple, la fraction 1/3 ne peut pas être transformée en un bon nombre décimal. À la fois sur une calculatrice et sur une feuille de papier, nous obtenons 0,3333333 ... Cela signifie que 1/3 en une fraction décimale exacte ne se traduit pas. Tout comme 1/7, 5/6 et ainsi de suite. Beaucoup d'entre eux sont intraduisibles. D'où une autre conclusion utile. Toutes les fractions communes ne sont pas converties en nombre décimal. !

D'ailleurs, cela information utile pour l'autotest. Dans la section "B" en réponse, vous devez écrire une fraction décimale. Et vous avez, par exemple, 4/3. Cette fraction n'est pas convertie en décimal. Cela signifie que quelque part en cours de route, vous avez fait une erreur ! Revenez, vérifiez la solution.

Donc, avec des fractions ordinaires et décimales triées. Il reste à traiter les nombres mixtes. Pour travailler avec eux, ils doivent tous être convertis en fractions ordinaires. Comment faire? Vous pouvez attraper un élève de sixième et lui demander. Mais pas toujours un élève de sixième sera à portée de main ... Nous devrons le faire nous-mêmes. C'est pas difficile. Multipliez le dénominateur de la partie fractionnaire par la partie entière et ajoutez le numérateur de la partie fractionnaire. Ce sera le numérateur d'une fraction commune. Qu'en est-il du dénominateur ? Le dénominateur restera le même. Cela semble compliqué, mais c'est en fait assez simple. Voyons un exemple.

Laissez dans le problème que vous avez vu avec horreur le numéro :

Calmement, sans panique, on comprend. La partie entière est 1. Un. La partie fractionnaire est 3/7. Par conséquent, le dénominateur de la partie fractionnaire est 7. Ce dénominateur sera le dénominateur d'une fraction ordinaire. Nous comptons le numérateur. 7 fois 1 ( partie entière) et ajoutez 3 (le numérateur de la partie fractionnaire). Nous obtenons 10. Ce sera le numérateur d'une fraction ordinaire. C'est tout. Cela semble encore plus simple en notation mathématique :

Clairement? Alors sécurisez votre succès ! Convertir en fractions communes. Vous devriez obtenir 10/7, 7/2, 23/10 et 21/4.

L'opération inverse - convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire - est rarement requise au lycée. Eh bien, si... Et si vous - pas au lycée - vous pouvez consulter la section spéciale 555. Au même endroit, en passant, vous en apprendrez plus sur les fractions impropres.

Eh bien, presque tout. Vous vous êtes souvenu des types de fractions et avez compris comme les convertir d'un type à un autre. La question demeure : Pourquoi fais-le? Où et quand appliquer ces connaissances approfondies ?

Je réponds. Tout exemple lui-même suggère les actions nécessaires. Si dans l'exemple des fractions ordinaires, des décimales et même nombres mélangés, on convertit tout en fractions ordinaires. Cela peut toujours être fait. Eh bien, si quelque chose comme 0,8 + 0,3 est écrit, alors nous pensons que oui, sans aucune traduction. Pourquoi faisons-nous travail supplémentaire? Nous choisissons la solution qui convient nous !

Si la tâche est entièrement décimales, mais euh... des méchants, allez vers les ordinaires, essayez-le ! Regardez, tout ira bien. Par exemple, vous devez élever au carré le nombre 0,125. Pas si facile si vous n'avez pas perdu l'habitude de la calculatrice ! Non seulement vous devez multiplier les nombres dans une colonne, mais aussi réfléchir à l'endroit où insérer la virgule ! Cela ne fonctionne certainement pas dans mon esprit! Et si vous alliez à une fraction ordinaire ?

0,125 = 125/1000. Nous réduisons de 5 (c'est pour commencer). Nous obtenons 25/200. Encore une fois sur 5. Nous obtenons 5/40. Oh, ça rétrécit ! Retour à 5 ! Nous obtenons 1/8. Carré facilement (dans votre esprit !) et obtenez 1/64. Tout!

Résumons cette leçon.

1. Il existe trois types de fractions. Nombres ordinaires, décimaux et mixtes.

2. Décimaux et nombres fractionnaires toujours peuvent être convertis en fractions communes. Traduction inversée pas toujours disponible.

3. Le choix du type de fractions pour travailler avec la tâche dépend de cette même tâche. En présence de différents types fractions dans une tâche, la chose la plus fiable est de passer aux fractions ordinaires.

Vous pouvez maintenant vous entraîner. Tout d'abord, convertissez ces fractions décimales en fractions ordinaires :

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Vous devriez obtenir des réponses comme celle-ci (en désordre !) :

Là-dessus, nous terminerons. Dans cette leçon, nous nous sommes rafraîchi la mémoire points clés par fractions. Il arrive cependant qu'il n'y ait rien de spécial à rafraichir...) Si quelqu'un l'a complètement oublié, ou ne l'a pas encore maîtrisé... Ceux-ci peuvent aller dans une section spéciale 555. Toutes les bases y sont détaillées. Beaucoup soudainement comprend tout commencent. Et ils résolvent des fractions à la volée).

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)

vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.

Cet article poursuit le sujet de la transformation fractions algébriques: considérons une telle action comme la réduction de fractions algébriques. Définissons le terme lui-même, formulons la règle d'abréviation et analysons des exemples pratiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Signification de l'abréviation de fraction algébrique

Dans les matériaux sur la fraction ordinaire, nous avons considéré sa réduction. Nous avons défini la réduction d'une fraction commune comme la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun.

Réduire une fraction algébrique est une opération similaire.

Définition 1

Réduction de fraction algébrique est la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun. Dans ce cas, contrairement à la réduction d'une fraction ordinaire (seul un nombre peut être un dénominateur commun), un polynôme, en particulier un monôme ou un nombre, peut servir de diviseur commun pour le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique.

Par exemple, la fraction algébrique 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 peut être réduite par le nombre 3, on obtient donc : x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Nous pouvons réduire la même fraction par la variable x, et cela nous donnera l'expression 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Il est également possible de réduire une fraction donnée par un monôme 3x ou l'un des polynômes x + 2 ans, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ou 3 x 2 + 6 x y.

but ultime l'abréviation d'une fraction algébrique est une fraction sur forme simple, au mieux, une fraction irréductible.

Toutes les fractions algébriques sont-elles sujettes à réduction ?

Encore une fois, à partir des matériaux sur les fractions ordinaires, nous savons qu'il existe des fractions réductibles et irréductibles. Irréductible - ce sont des fractions qui n'ont pas de numérateur et de dénominateur communs autres que 1.

Avec les fractions algébriques, tout est pareil : elles peuvent avoir ou non des facteurs communs au numérateur et au dénominateur. La présence de facteurs communs vous permet de simplifier la fraction d'origine par réduction. Lorsqu'il n'y a pas de facteurs communs, il est impossible d'optimiser une fraction donnée par la méthode de réduction.

Dans les cas généraux, pour un type de fraction donné, il est assez difficile de comprendre si elle fait l'objet d'une réduction. Bien sûr, dans certains cas, la présence d'un facteur commun au numérateur et au dénominateur est évidente. Par exemple, dans la fraction algébrique 3 · x 2 3 · y il est tout à fait clair que le facteur commun est le nombre 3 .

Dans une fraction - x · y 5 · x · y · z 3 on comprend aussi immédiatement qu'il est possible de la réduire de x, ou y, ou de x · y. Et pourtant, les exemples de fractions algébriques sont beaucoup plus courants, lorsque le facteur commun du numérateur et du dénominateur n'est pas si facile à voir, et encore plus souvent - il est tout simplement absent.

Par exemple, nous pouvons réduire la fraction x 3 - 1 x 2 - 1 par x - 1, alors que le facteur commun spécifié n'est pas dans l'enregistrement. Mais la fraction x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ne peut pas être réduite, car le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteur commun.

Ainsi, la question de savoir la contractilité d'une fraction algébrique n'est pas si simple, et il est souvent plus facile de travailler avec une fraction d'une forme donnée que d'essayer de savoir si elle est contractile. Dans ce cas, il existe de telles transformations qui, dans des cas particuliers, permettent de déterminer le facteur commun du numérateur et du dénominateur ou de conclure que la fraction est irréductible. Nous analyserons cette question en détail dans le prochain paragraphe de l'article.

Règle de réduction de fraction algébrique

Règle de réduction de fraction algébrique consiste en deux étapes consécutives :

• trouver les facteurs communs du numérateur et du dénominateur ;
• dans le cas d'une telle découverte, la mise en œuvre de l'action directe de réduction de la fraction.

La méthode la plus pratique pour trouver des dénominateurs communs consiste à factoriser les polynômes présents dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique donnée. Cela vous permet de voir immédiatement visuellement la présence ou l'absence de facteurs communs.

L'action même de réduire une fraction algébrique est basée sur la propriété principale d'une fraction algébrique, exprimée par l'égalité undefined , où a , b , c sont des polynômes, et b et c sont non nuls. La première étape consiste à réduire la fraction à la forme a c b c , dans laquelle on remarque immédiatement le facteur commun c . La deuxième étape consiste à effectuer la réduction, c'est-à-dire transition vers une fraction de la forme a b .

Exemples typiques

Malgré quelques évidences, précisons cas particulier lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique sont égaux. Les fractions semblables sont identiquement égales à 1 sur l'ensemble de l'ODZ des variables de cette fraction :

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1 ; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Les fractions ordinaires étant un cas particulier des fractions algébriques, rappelons comment elles se réduisent. Les nombres naturels écrits au numérateur et au dénominateur sont décomposés en facteurs premiers, puis les facteurs communs sont réduits (le cas échéant).

Par exemple, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Le produit de facteurs identiques simples peut être écrit en degrés, et dans le processus de réduction de fraction, utilisez la propriété de diviser les degrés avec les mêmes motifs. Alors la solution ci-dessus serait:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numérateur et dénominateur divisés par un facteur commun 2 2 3). Ou, pour plus de clarté, sur la base des propriétés de la multiplication et de la division, nous donnons la solution sous la forme suivante :

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Par analogie, la réduction des fractions algébriques est effectuée, dans laquelle le numérateur et le dénominateur ont des monômes à coefficients entiers.

Exemple 1

Étant donné une fraction algébrique - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Il doit être réduit.

Décision

Il est possible d'écrire le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée sous la forme d'un produit de facteurs premiers et de variables, puis de réduire :

27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 une une a a une une b b c z 2 3 une une b b c c c c c c c c z = = - 3 3 une a une 2 c c c c c c c = - 9 une 3 2 c 6

Cependant, plus de manière rationnelle la solution s'écrira sous la forme d'une expression avec des puissances :

27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 3 3 une 5 b 2 c z 2 3 une 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 une 5 une 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 une 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 une 3 2 c 6 = - 9 une 3 2 c 6 .

Répondre:- 27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 9 une 3 2 c 6

Lorsqu'il y a des coefficients numériques fractionnaires dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique, il y a deux façons possibles d'autres mesures: soit diviser séparément ces coefficients fractionnaires, soit se débarrasser d'abord des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par quelques entier naturel. La dernière transformation est effectuée en raison de la propriété principale d'une fraction algébrique (vous pouvez lire à ce sujet dans l'article "Réduire une fraction algébrique à un nouveau dénominateur").

Exemple 2

Soit une fraction 2 5 x 0 , 3 x 3 . Il doit être réduit.

Décision

Il est possible de réduire la fraction de cette façon :

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Essayons de résoudre le problème différemment, après nous être débarrassés des coefficients fractionnaires - nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces coefficients, c'est-à-dire par LCM(5, 10) = 10. Alors on obtient :

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Réponse : 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Lorsque nous réduisons des fractions algébriques vue générale, dans lequel les numérateurs et les dénominateurs peuvent être à la fois des monômes et des polynômes, un problème est possible lorsque le facteur commun n'est pas toujours immédiatement visible. Ou plus que cela, il n'existe tout simplement pas. Ensuite, pour déterminer le facteur commun ou fixer le fait de son absence, le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique sont factorisés.

Exemple 3

Soit une fraction rationnelle 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Il doit être raccourci.

Décision

Factorisons les polynômes au numérateur et au dénominateur. Faisons les parenthèses :

2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49)

On voit que l'expression entre parenthèses peut être convertie à l'aide des formules de multiplication abrégées :

2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49) = 2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (une - 7) (une + 7)

On voit clairement qu'il est possible de réduire la fraction par un facteur commun b 2 (a + 7). Faisons une réduction :

2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (une - 7) (une + 7) = 2 (une + 7) b (une - 7) = 2 une + 14 une b - 7 b

Nous écrivons une solution courte sans explication sous la forme d'une chaîne d'égalités :

2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49) = = 2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Répondre: 2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 une + 14 une b - 7 b .

Il arrive que les facteurs communs soient masqués par des coefficients numériques. Ensuite, lors de la réduction de fractions, il est optimal de retirer les facteurs numériques à des puissances plus élevées du numérateur et du dénominateur.

Exemple 4

Soit une fraction algébrique 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Il doit être réduit si possible.

Décision

A première vue, le numérateur et le dénominateur n'existent pas dénominateur commun. Cependant, essayons de convertir la fraction donnée. Retirons le facteur x au numérateur :

1 5 x - 2 7 x 3 ans 5 x 2 ans - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 ans 5 x 2 ans - 3 1 2

Vous pouvez maintenant voir une certaine similitude entre l'expression entre parenthèses et l'expression au dénominateur en raison de x 2 y . Retirons les coefficients numériques aux puissances supérieures de ces polynômes :

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ans 5 x 2 ans - 7 10

Maintenant que le facteur commun devient visible, on effectue la réduction :

2 7 x - 7 10 + x 2 ans 5 x 2 ans - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Répondre: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Soulignons que l'habileté à réduire des fractions rationnelles dépend de la capacité à factoriser des polynômes.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Basé sur leur propriété principale: si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même polynôme non nul, alors une fraction égale à celle-ci sera obtenue.

Vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs !

Les membres des polynômes ne peuvent pas être réduits !

Pour réduire une fraction algébrique, les polynômes du numérateur et du dénominateur doivent d'abord être factorisés.

Prenons des exemples de réduction de fraction.

Le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont des monômes. Ils représentent travail(nombres, variables et leurs degrés), multiplicateurs nous pouvons réduire.

Nous réduisons les nombres par leur plus grand diviseur commun, c'est-à-dire sur le plus grand nombre, par lequel chacun des nombres donnés est divisible. Pour 24 et 36, c'est 12. Après la réduction de 24, il reste 2, de 36 à 3.

Nous réduisons les degrés du degré avec le plus petit indicateur. Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par le même diviseur et soustraire les exposants.

a² et a⁷ sont réduits de a². En même temps, on reste au numérateur de a² (on écrit 1 seulement s'il ne reste plus d'autres facteurs après réduction. 2 reste de 24, donc on n'écrit pas le 1 restant de a²). De a⁷ après réduction reste a⁵.

b et b sont abrégés par b, les unités résultantes ne sont pas écrites.

c³º et c⁵ sont réduits de c⁵. De c³º, c²⁵ reste, de c⁵ - unité (on ne l'écrit pas). Ainsi,

Le numérateur et le dénominateur de cette fraction algébrique sont des polynômes. Il est impossible de réduire les termes des polynômes ! (ne peut pas être réduit, par exemple, 8x² et 2x !). Pour réduire cette fraction, il est nécessaire. Le numérateur a un facteur commun de 4x. Sortons-le des parenthèses :

Le numérateur et le dénominateur ont le même facteur (2x-3). Nous réduisons la fraction par ce facteur. Nous avons 4x au numérateur, 1 au dénominateur. Selon 1 propriété des fractions algébriques, la fraction est 4x.

Vous ne pouvez que réduire des facteurs (il est impossible de réduire une fraction donnée de 25x² !). Par conséquent, les polynômes du numérateur et du dénominateur d'une fraction doivent être factorisés.

Le numérateur est le carré entier de la somme et le dénominateur est la différence des carrés. Après expansion par les formules de multiplication abrégée, on obtient :

Nous réduisons la fraction de (5x + 1) (pour cela, au numérateur nous barrons les deux comme exposant, à partir de (5x + 1)² il restera (5x + 1)):

Le numérateur a un facteur commun de 2, sortons-le des parenthèses. Au dénominateur - la formule de la différence des cubes:

À la suite de l'expansion du numérateur et du dénominateur, nous avons obtenu le même facteur (9 + 3a + a²). Nous réduisons la fraction dessus:

Le polynôme au numérateur est composé de 4 termes. le premier terme avec le second, le troisième avec le quatrième, et on retire le facteur commun x² des premières parenthèses. On décompose le dénominateur selon la formule de la somme des cubes :

Au numérateur, on retire le facteur commun (x + 2) entre parenthèses :

Nous réduisons la fraction de (x + 2):

Les enfants à l'école apprennent les règles de réduction des fractions en 6e année. Dans cet article, nous allons d'abord vous dire ce que signifie cette action, puis nous vous expliquerons comment traduire une fraction réductible en une fraction irréductible. Le prochain élément sera les règles de réduction des fractions, puis nous passerons progressivement aux exemples.

Que signifie "réduire une fraction" ?

Donc nous savons tous que fractions communes sont divisés en deux groupes : réductibles et irréductibles. Déjà par les noms, on peut comprendre que ceux qui sont contractibles sont réduits et ceux qui sont irréductibles ne sont pas réduits.

• Réduire une fraction consiste à diviser son dénominateur et son numérateur par leur (autre qu'un) diviseur positif. Le résultat est bien entendu nouvelle fraction avec un dénominateur et un numérateur plus petits. La fraction résultante sera égale à la fraction d'origine.

Il convient de noter que dans les livres de mathématiques avec la tâche "réduire la fraction", cela signifie que vous devez amener la fraction d'origine à cette forme irréductible. Si parler en mots simples, puis en divisant le dénominateur et le numérateur par leur plus grand diviseur commun, on obtient la réduction.

Comment réduire une fraction. Règles pour réduire les fractions (6e année)

Il n'y a donc que deux règles ici.

1. La première règle pour réduire les fractions est de trouver d'abord le plus grand commun diviseur du dénominateur et du numérateur de votre fraction.
2. La deuxième règle consiste à diviser le dénominateur et le numérateur par le plus grand diviseur commun, et finalement obtenir une fraction irréductible.

Comment réduire une fraction impropre ?

Les règles de réduction des fractions sont identiques aux règles de réduction des fractions impropres.

Afin de raccourcir fraction impropre, vous devrez d'abord peindre le dénominateur et le numérateur en facteurs simples, puis réduire les facteurs communs.

Réduction des fractions mixtes

Les règles de réduction des fractions s'appliquent également à la réduction des fractions mixtes. Il n'y a qu'une petite différence: nous ne pouvons pas toucher à la partie entière, mais réduire la fraction fractionnaire ou mixte en une fraction impropre, puis la réduire et la convertir à nouveau en une fraction propre.

réduire fractions mixtes possible de deux manières.

Premièrement : peindre la partie fractionnaire en facteurs premiers, puis ne pas toucher à la partie entière.

La deuxième façon: traduisez d'abord en une fraction impropre, peignez sur les facteurs habituels, puis réduisez la fraction. Convertissez la fraction impropre reçue en fraction appropriée.

Des exemples peuvent être vus sur la photo ci-dessus.

Nous espérons vraiment que nous pourrions vous aider, vous et vos enfants. Après tout, en classe, ils sont très souvent inattentifs, vous devez donc travailler plus dur à la maison.