Le concept de fraction décimale. Fractions. Décimales

17.10.2019

Fractions

Attention!
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matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Les fractions au lycée ne sont pas très gênantes. Pour le moment. Jusqu'à ce que tu tombes sur des degrés avec indicateurs rationnels oui les logarithmes. Et là…. Vous appuyez, vous appuyez sur la calculatrice, et elle affiche tout le tableau de bord complet de certains nombres. Vous devez penser avec votre tête, comme en troisième année.

Passons aux fractions, enfin ! Eh bien, à quel point pouvez-vous vous y perdre ! ? De plus, tout est simple et logique. Alors, qu'est-ce que les fractions ?

Types de fractions. Transformations.

Les fractions se produisent trois sortes.

1. Fractions communes , Par example:

Parfois, au lieu d'une ligne horizontale, ils mettent une barre oblique : 1/2, 3/4, 19/5, eh bien, et ainsi de suite. Ici, nous utiliserons souvent cette orthographe. Le numéro du haut s'appelle numérateur, plus bas - dénominateur. Si vous confondez constamment ces noms (ça arrive...), dites-vous la phrase avec l'expression : " Zzzzz rappelles toi! Zzzzz dénominateur - sortie zzzz u !" Regarde, on se souviendra de tout.)

Un tiret, qui est horizontal, qui est oblique, signifie division nombre du haut (numérateur) au nombre du bas (dénominateur). Et c'est tout! Au lieu d'un tiret, il est tout à fait possible de mettre un signe de division - deux points.

Lorsque la division est entièrement possible, elle doit être faite. Ainsi, au lieu de la fraction "32/8", il est beaucoup plus agréable d'écrire le chiffre "4". Ceux. 32 est simplement divisé par 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Je ne parle pas de la fraction "4/1". Qui est aussi juste "4". Et s'il ne se divise pas complètement, nous le laissons sous forme de fraction. Il faut parfois faire l'inverse. Faire une fraction à partir d'un nombre entier. Mais plus là-dessus plus tard.

2. Décimales , Par example:

C'est sous cette forme qu'il faudra noter les réponses aux tâches "B".

3. nombres mélangés , Par example:

Les nombres mixtes ne sont pratiquement pas utilisés au lycée. Pour travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Mais il faut absolument savoir comment faire ! Sinon, un tel nombre tombera dans le puzzle et s'accrochera ... Sur lieu vide. Mais nous nous souvenons de cette procédure! Un peu plus bas.

Le plus polyvalent fractions communes. Commençons par eux. Au fait, s'il y a toutes sortes de logarithmes, sinus et autres lettres dans la fraction, cela ne change rien. Dans le sens où tout les actions avec des expressions fractionnaires ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires!

Propriété fondamentale d'une fraction.

Alors allons-y! Tout d'abord, je vais vous surprendre. Toute la variété des transformations de fractions est fournie par une seule propriété ! C'est comme ça qu'on l'appelle propriété de base d'une fraction. Se souvenir: Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre, la fraction ne changera pas. Ceux:

Il est clair que vous pouvez écrire plus loin, jusqu'à ce que vous ayez le visage bleu. Ne laissez pas les sinus et les logarithmes vous confondre, nous les traiterons plus loin. La principale chose à comprendre est que toutes ces différentes expressions sont la même fraction . 2/3.

Et nous en avons besoin, toutes ces transformations ? Et comment! Maintenant, vous verrez par vous-même. D'abord, utilisons la propriété de base d'une fraction pour abréviations des fractions. Il semblerait que la chose soit élémentaire. On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre et c'est tout ! Impossible de se tromper ! Mais... l'homme est un être créateur. Vous pouvez faire des erreurs partout ! Surtout si vous devez réduire non pas une fraction comme 5/10, mais une expression fractionnaire avec toutes sortes de lettres.

Comment réduire les fractions correctement et rapidement sans faire de travail inutile peut être trouvé dans la section spéciale 555.

Un étudiant normal ne prend pas la peine de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (ou expression) ! Il barre juste tout de la même manière d'en haut et d'en bas ! C'est là qu'il se cache erreur typique, bêtisier si tu veux.

Par exemple, vous devez simplifier l'expression :

Il n'y a rien à penser, on barre la lettre "a" d'en haut et le deux d'en bas ! On a:

Tout est correct. Mais vraiment tu as partagé la totalité numérateur et la totalité dénominateur "a". Si vous avez l'habitude de simplement barrer, alors, pressé, vous pouvez barrer le "a" dans l'expression

et obtenir à nouveau

Ce qui serait catégoriquement faux. Parce qu'ici la totalité numérateur sur "a" déjà non partagé! Cette fraction ne peut pas être réduite. Soit dit en passant, une telle abréviation est, euh ... un sérieux défi pour l'enseignant. Ce n'est pas pardonné ! Se souvenir? Lors de la réduction, il est nécessaire de diviser la totalité numérateur et la totalité dénominateur!

Réduire les fractions rend la vie beaucoup plus facile. Vous obtiendrez une fraction quelque part, par exemple 375/1000. Et comment travailler avec elle maintenant ? Sans calculatrice ? Multipliez, disons, additionnez, carré ! ? Et si vous n'êtes pas trop paresseux, mais réduisez soigneusement de cinq, et même de cinq, et même ... pendant qu'il est réduit, en bref. Nous obtenons 3/8 ! Bien plus sympa, non ?

La propriété de base d'une fraction vous permet de convertir des fractions ordinaires en décimales et vice versa sans calculatrice! C'est important pour l'examen, non ?

Comment convertir des fractions d'une forme à une autre.

Avec décimales tout est simple. Comme on l'entend, ainsi on l'écrit ! Disons 0,25. C'est zéro point, vingt-cinq centièmes. On écrit donc : 25/100. On réduit (divise le numérateur et le dénominateur par 25), on obtient la fraction habituelle : 1/4. Tout. Cela arrive, et rien n'est réduit. Comme 0,3. C'est trois dixièmes, c'est-à-dire 3/10.

Et si les entiers sont non nuls ? C'est bon. Écrivez la fraction entière sans aucune virgule au numérateur et au dénominateur - ce qui est entendu. Par exemple : 3.17. C'est trois entiers dix-sept centièmes. Nous écrivons 317 au numérateur et 100 au dénominateur, nous obtenons 317/100. Rien n'est réduit, cela veut tout dire. C'est la réponse. Watson élémentaire! De tout ce qui précède, une conclusion utile : toute fraction décimale peut être convertie en une fraction commune .

Mais la conversion inverse, ordinaire en décimal, certains ne peuvent pas se passer d'une calculatrice. Mais tu dois! Comment allez-vous écrire la réponse à l'examen ! ? Nous lisons attentivement et maîtrisons ce processus.

Qu'est-ce qu'une fraction décimale ? Elle a au dénominateur toujours vaut 10 ou 100 ou 1000 ou 10000 et ainsi de suite. Si votre fraction habituelle a un tel dénominateur, il n'y a pas de problème. Par exemple, 4/10 = 0,4. Soit 7/100 = 0,07. Soit 12/10 = 1,2. Et si dans la réponse à la tâche de la section "B", il s'est avéré 1/2 ? Qu'allons-nous écrire en réponse ? Les décimales sont obligatoires...

Nous nous souvenons propriété de base d'une fraction ! Les mathématiques vous permettent favorablement de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Pour n'importe qui, d'ailleurs ! Sauf zéro, bien sûr. Utilisons cette fonctionnalité à notre avantage ! Par quoi peut-on multiplier le dénominateur, c'est-à-dire 2 pour qu'il devienne 10, ou 100, ou 1000 (plus petit c'est mieux, bien sûr...) ? 5, évidemment. N'hésitez pas à multiplier le dénominateur (c'est nous nécessaire) par 5. Mais, alors le numérateur doit aussi être multiplié par 5. C'est déjà mathématiques demandes! Nous obtenons 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. C'est tout.

Cependant, toutes sortes de dénominateurs se rencontrent. Par exemple, la fraction 3/16 tombera. Essayez-le, trouvez par quoi multiplier 16 pour obtenir 100 ou 1000... Ça ne marche pas ? Ensuite, vous pouvez simplement diviser 3 par 16. En l'absence de calculatrice, vous devrez diviser dans un coin, sur une feuille de papier, comme on l'enseignait au primaire. Nous obtenons 0,1875.

Et il y a de très mauvais dénominateurs. Par exemple, la fraction 1/3 ne peut pas être transformée en un bon nombre décimal. À la fois sur une calculatrice et sur une feuille de papier, nous obtenons 0,3333333 ... Cela signifie que 1/3 en une fraction décimale exacte ne se traduit pas. Tout comme 1/7, 5/6 et ainsi de suite. Beaucoup d'entre eux sont intraduisibles. D'où une autre conclusion utile. Toutes les fractions communes ne sont pas converties en nombre décimal. !

D'ailleurs, cela information utile pour l'autotest. Dans la section "B" en réponse, vous devez écrire une fraction décimale. Et vous avez, par exemple, 4/3. Cette fraction n'est pas convertie en décimal. Cela signifie que quelque part en cours de route, vous avez fait une erreur ! Revenez, vérifiez la solution.

Donc, avec des fractions ordinaires et décimales triées. Il reste à traiter les nombres mixtes. Pour travailler avec eux, ils doivent tous être convertis en fractions ordinaires. Comment faire? Vous pouvez attraper un élève de sixième et lui demander. Mais pas toujours un élève de sixième sera à portée de main ... Nous devrons le faire nous-mêmes. C'est pas difficile. Multipliez le dénominateur de la partie fractionnaire par la partie entière et ajoutez le numérateur de la partie fractionnaire. Ce sera le numérateur d'une fraction commune. Qu'en est-il du dénominateur ? Le dénominateur restera le même. Cela semble compliqué, mais c'est en fait assez simple. Voyons un exemple.

Laissez dans le problème que vous avez vu avec horreur le numéro :

Calmement, sans panique, on comprend. La partie entière est 1. Un. La partie fractionnaire est 3/7. Par conséquent, le dénominateur de la partie fractionnaire est 7. Ce dénominateur sera le dénominateur d'une fraction ordinaire. Nous comptons le numérateur. 7 fois 1 ( partie entière) et ajoutez 3 (le numérateur de la partie fractionnaire). Nous obtenons 10. Ce sera le numérateur d'une fraction ordinaire. C'est tout. Cela semble encore plus simple en notation mathématique :

Clairement? Alors sécurisez votre succès ! Convertir en fractions communes. Vous devriez obtenir 10/7, 7/2, 23/10 et 21/4.

L'opération inverse - convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire - est rarement requise au lycée. Eh bien, si... Et si vous - pas au lycée - vous pouvez consulter la section spéciale 555. Au même endroit, soit dit en passant, environ fractions impropres découvrir.

Eh bien, presque tout. Vous vous êtes souvenu des types de fractions et avez compris comme les convertir d'un type à un autre. La question demeure : Pourquoi fais-le? Où et quand appliquer ces connaissances approfondies ?

Je réponds. Tout exemple lui-même suggère les actions nécessaires. Si dans l'exemple des fractions ordinaires, des décimales et même nombres mélangés, on convertit tout en fractions ordinaires. Cela peut toujours être fait. Eh bien, si quelque chose comme 0,8 + 0,3 est écrit, alors nous pensons que oui, sans aucune traduction. Pourquoi faisons-nous travail supplémentaire? Nous choisissons la solution qui convient nous !

Si la tâche est pleine de fractions décimales, mais euh ... des sortes de méchants, passez aux ordinaires, essayez-le! Regardez, tout ira bien. Par exemple, vous devez élever au carré le nombre 0,125. Pas si facile si vous n'avez pas perdu l'habitude de la calculatrice ! Non seulement vous devez multiplier les nombres dans une colonne, mais aussi réfléchir à l'endroit où insérer la virgule ! Cela ne fonctionne certainement pas dans mon esprit! Et si vous alliez à une fraction ordinaire ?

0,125 = 125/1000. Nous réduisons de 5 (c'est pour commencer). Nous obtenons 25/200. Encore une fois sur 5. Nous obtenons 5/40. Oh, ça rétrécit ! Retour à 5 ! Nous obtenons 1/8. Carré facilement (dans votre esprit !) et obtenez 1/64. Tout!

Résumons cette leçon.

1. Il existe trois types de fractions. Nombres ordinaires, décimaux et mixtes.

2. Décimaux et nombres fractionnaires toujours peuvent être convertis en fractions communes. Traduction inversée pas toujours disponible.

3. Le choix du type de fractions pour travailler avec la tâche dépend de cette même tâche. En présence de différents types fractions dans une tâche, la chose la plus fiable est de passer aux fractions ordinaires.

Vous pouvez maintenant vous entraîner. Tout d'abord, convertissez ces fractions décimales en fractions ordinaires :

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Vous devriez obtenir des réponses comme celle-ci (en désordre !) :

Là-dessus, nous terminerons. Dans cette leçon, nous nous sommes rafraîchi la mémoire points clés par fractions. Il arrive cependant qu'il n'y ait rien de spécial à rafraichir...) Si quelqu'un l'a complètement oublié, ou ne l'a pas encore maîtrisé... Ceux-ci peuvent aller dans une section spéciale 555. Toutes les bases y sont détaillées. Beaucoup soudainement comprend tout commencent. Et ils résolvent des fractions à la volée).

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Instruction

Apprendre à traduire les décimaux fractions en ordinaire. Comptez le nombre de caractères séparés par une virgule. Un chiffre à droite de la virgule signifie que le dénominateur est 10, deux chiffres sont 100, trois sont 1000, et ainsi de suite. Par exemple, décimal 6,8 comme "six virgule huit". Lors de la conversion, écrivez d'abord le nombre d'unités entières - 6. Écrivez 10 au dénominateur.Le nombre 8 sera au numérateur.Il s'avère que 6,8 \u003d 6 8/10. Rappelez-vous les règles d'abréviation. Si le numérateur et le dénominateur sont divisibles par le même nombre, alors la fraction peut être réduite de diviseur commun. À ce cas ce nombre est 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Essayez d'ajouter des décimales fractions. Si vous faites cela dans une colonne, soyez prudent. Les chiffres de tous les nombres doivent être strictement les uns sous les autres - sous la virgule. Les règles d'addition sont exactement les mêmes que pour l'opération avec . Ajoutez au même nombre 6,8 une autre fraction décimale - par exemple, 7,3. Écrivez un triple sous un huit, une virgule sous une virgule et un sept sous un six. Commencez à additionner à partir du dernier chiffre. 3 + 8 = 11, c'est-à-dire, écrivez 1, rappelez-vous 1. Ajoutez ensuite 6 + 7, obtenez 13. Ajoutez ce qui vous restait à l'esprit et notez le résultat - 14,1.

La soustraction se fait de la même manière. Écrivez les chiffres les uns sous les autres, une virgule - sous une virgule. Concentrez-vous toujours dessus, surtout si le nombre de chiffres après celui-ci dans le réduit est inférieur à celui dans le soustrait. Soustraire d'un nombre donné, par exemple, 2,139. Écrivez les deux sous le six, celui sous le huit, les deux nombres restants sous les chiffres suivants, qui peuvent être désignés par des zéros. Il s'avère que la diminution de la fin n'est pas 6,8, mais 6,800. Après avoir terminé cette action, vous obtiendrez un total de 4 661.

Les opérations avec les négatifs sont effectuées de la même manière qu'avec les nombres. Lors de l'ajout, le moins est retiré de la parenthèse, les nombres donnés sont entre parenthèses et un plus est placé entre eux. En conséquence, il s'avère. C'est-à-dire que l'ajout de -6,8 et -7,3 vous donnera le même résultat que 14,1, mais avec un "-" devant. Si la soustraction est supérieure à la diminution de la fin, le moins est également retiré de la parenthèse, le plus petit est soustrait du plus grand nombre. Soustrayez -7,3 de 6,8. Transformez l'expression comme suit. 6,8 - 7,3 \u003d - (7,3 - 6,8) \u003d -0,5.

Multiplier des nombres décimaux fractions, oubliez la virgule pendant un moment. Multipliez-les comme ceci, avant d'être des nombres entiers. Après cela, comptez le nombre de chiffres à droite après la virgule décimale dans les deux facteurs. Séparez le même nombre de caractères dans l'œuvre. Multiplier 6,8 et 7,3 vous donne 49,64. Autrement dit, à droite de la virgule, vous aurez 2 chiffres, tandis que dans le multiplicateur et le multiplicateur, il y en avait un chacun.

Divisez la fraction donnée par un nombre entier. Cette action s'effectue de la même manière qu'avec les entiers. L'essentiel est de ne pas oublier la virgule et de mettre 0 au début si le nombre d'unités entières n'est pas divisible par un diviseur. Par exemple, essayez de diviser le même 6,8 par 26. Mettez 0 au début, car 6 est inférieur à 26. Séparez-le par une virgule, les dixièmes et les centièmes iront plus loin. Le résultat sera d'environ 0,26. En fait, dans ce cas, on obtient une fraction non périodique infinie, qui peut être arrondie au degré de précision souhaité.

Lorsque vous divisez deux fractions décimales, utilisez la propriété que lorsque vous multipliez le dividende et le diviseur par le même nombre, le quotient ne change pas. c'est-à-dire transformer les deux fractions en nombres entiers, selon le nombre de décimales. Si vous voulez diviser 6,8 par 7,3, il suffit de multiplier les deux nombres par 10. Il s'avère que vous devez diviser 68 par 73. S'il y a plus de chiffres après la virgule dans l'un des nombres, convertissez-le d'abord en un entier, puis un deuxième nombre. Multipliez-le par le même nombre. Autrement dit, en divisant 6,8 par 4,136, augmentez le dividende et le diviseur non pas de 10, mais de 1000 fois. Diviser 6800 par 1436 donne 4,735.

Comme:

± d m … ré 1 ré 0 , ré -1 ré -2 …

où ± est le signe de la fraction : soit + soit -,

, - point décimal, qui sert de séparateur entre les parties entières et fractionnaires du nombre,

ns- chiffres décimaux.

En même temps, l'ordre des chiffres avant la virgule (à gauche de celle-ci) a une fin (comme min 1-par chiffre), et après la virgule (à droite) il peut être soit fini (en option , il peut n'y avoir aucun chiffre après la virgule) et infini.

Valeur décimale ± d m … ré 1 ré 0 , ré -1 ré -2 … est un nombre réel :

qui est égal à la somme d'un nombre fini ou infini de termes.

La représentation des nombres réels à l'aide de fractions décimales est une généralisation de la notation des nombres entiers dans le système décimal. La représentation décimale d'un entier n'a pas de chiffres après la virgule décimale, et donc, cette représentation ressemble à ceci :

± d m … ré 1 ré 0 ,

Et cela coïncide avec l'enregistrement de notre nombre dans le système de numération décimale.

Décimal- c'est le résultat de la division de 1 en 10, 100, 1000 et ainsi de suite. Ces fractions sont assez pratiques pour les calculs, car ils sont basés sur le même système positionnel sur lequel le comptage et la notation des nombres entiers sont construits. Pour cette raison, la notation et les règles pour les fractions décimales sont presque les mêmes que pour les nombres entiers.

Lors de l'écriture de fractions décimales, vous n'avez pas besoin de marquer le dénominateur, il est déterminé par la place occupée par le chiffre correspondant. D'abord, écrivez la partie entière du nombre, puis mettez un point décimal à droite. Le premier chiffre après la virgule indique le nombre de dixièmes, le second - le nombre de centièmes, le troisième - le nombre de millièmes, etc. Les nombres après la virgule sont décimales.

Par example:

L'un des avantages des fractions décimales est qu'elles peuvent être très facilement converties en fractions ordinaires : le nombre après la virgule (le nôtre est 5047) est numérateur; dénominateuréquivaut à nème degré 10, où n- le nombre de décimales (on a ceci n=4):

Lorsqu'il n'y a pas de partie entière dans la fraction décimale, on met zéro devant la virgule :

Propriétés des fractions décimales.

1. La décimale ne change pas lorsque des zéros sont ajoutés à droite :

13.6 =13.6000.

2. La décimale ne change pas lorsque les zéros qui se trouvent à la fin de la décimale sont supprimés :

0.00123000 = 0.00123.

Attention! Les zéros qui ne sont PAS à la fin d'une décimale ne doivent pas être supprimés !

3. La fraction décimale augmente de 10, 100, 1000, et ainsi de suite lorsque nous déplaçons la virgule décimale vers les positions 1 puits, 2, 2, etc. vers la droite, respectivement :

3,675 → 367,5 (la fraction a été multipliée par cent).

4. La fraction décimale devient inférieure à dix, cent, mille, etc. lorsque nous déplaçons la virgule décimale vers les positions 1 puits, 2, 3, etc. vers la gauche, respectivement :

1536,78 → 1,53678 (la fraction est devenue mille fois plus petite).

Types de décimales.

Les décimales sont divisées par final, sans fin et décimales périodiques.

Fin décimale - c'est une fraction contenant un nombre fini de chiffres après la virgule (ou ils n'y sont pas du tout), c'est-à-dire Ressemble à ça:

Un nombre réel ne peut être représenté comme une fraction décimale finie que si ce nombre est rationnel et lorsqu'il est écrit comme une fraction irréductible p/q dénominateur q n'a pas d'autres diviseurs premiers que 2 et 5.

Décimal infini.

Contient un groupe de chiffres se répétant à l'infini appelé période. La période est écrite entre parenthèses. Par exemple, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

Décimal périodique- il s'agit d'une telle fraction décimale infinie dans laquelle la séquence de chiffres après la virgule décimale, à partir d'un certain endroit, est un groupe de chiffres se répétant périodiquement. En d'autres termes, fraction périodique est un nombre décimal qui ressemble à ceci :

Une telle fraction est généralement écrite brièvement comme ceci :

Groupe de numéros b 1 … b l, qui se répète, est période fractionnaire, le nombre de chiffres dans ce groupe est durée de la période.

Lorsque, dans une fraction périodique, le point vient immédiatement après la virgule décimale, alors la fraction est périodique pur. Lorsqu'il y a des nombres entre la virgule et le 1er point, alors la fraction est périodique mixte, et un groupe de chiffres après la virgule décimale jusqu'au 1er point - fraction prépériode.

par exemple, la fraction 1,(23) = 1,2323… est périodique pure, et la fraction 0,1(23)=0,12323… est périodique mixte.

La propriété principale des fractions périodiques, en raison de laquelle ils se distinguent de l'ensemble des fractions décimales, réside dans le fait que les fractions périodiques et elles seules représentent des nombres rationnels. Plus précisément, il se passe ce qui suit :

Toute décimale récurrente infinie représente un nombre rationnel. Inversement, lorsqu'un nombre rationnel est décomposé en une fraction décimale infinie, alors cette fraction sera périodique.