Exemples et tâches pour toutes les actions avec des fractions décimales. Décimales : définitions, notation, exemples, actions avec des décimales

CHAPITRE III.

FRACTIONS DÉCIMALES.

§ 31. Tâches et exemples pour toutes les actions avec décimales.

Effectuez les étapes suivantes :

767. Trouver le quotient de division :

Exécutez des actions :

772. Calculer:

Trouver X , si:

776. Le nombre inconnu a été multiplié par la différence entre les nombres 1 et 0,57 et dans le produit nous avons obtenu 3,44. Trouver un numéro inconnu.

777. La somme du nombre inconnu et de 0,9 a été multipliée par la différence entre 1 et 0,4 et dans le produit nous avons obtenu 2,412. Trouver un numéro inconnu.

778. Selon le schéma sur la fusion du fer dans la RSFSR (Fig. 36), créez un problème pour la solution duquel il est nécessaire d'appliquer les actions d'addition, de soustraction et de division.

779. 1) Longueur Canal de Suez 165,8 km, la longueur du canal de Panama est inférieure de 84,7 km à celle du canal de Suez et la longueur du canal mer Blanche-Baltique est supérieure de 145,9 km à la longueur du canal de Panama. Quelle est la longueur du canal Mer Blanche-Baltique ?

2) Le métro de Moscou (en 1959) a été construit en 5 phases. La longueur de la première ligne du métro est de 11,6 km, la seconde de 14,9 km, la longueur de la troisième est de 1,1 km inférieure à la longueur de la deuxième ligne, la longueur de la quatrième ligne est de 9,6 km de plus que la troisième ligne , et la longueur de la cinquième ligne est de 11,5 km moins la quatrième. Quelle est la longueur du métro de Moscou au début de 1959 ?

780. 1) La plus grande profondeur de l'océan Atlantique est de 8,5 km, la plus grande profondeur de l'océan Pacifique est de 2,3 km de plus que la profondeur de l'océan Atlantique et la plus grande profondeur de l'océan Arctique est 2 fois inférieure à la plus grande profondeur océan Pacifique. Quelle est la plus grande profondeur de l'océan Arctique ?

2) La voiture Moskvich consomme 9 litres d'essence aux 100 km, la voiture Pobeda consomme 4,5 litres de plus que la Moskvich et la Volga 1,1 fois plus que la Pobeda. Combien d'essence une voiture Volga utilise-t-elle pour 1 km? (Arrondir la réponse au 0,01 litre le plus proche.)

781. 1) L'élève est allé chez son grand-père pendant les vacances. En train, il a parcouru 8,5 heures et depuis la gare à cheval 1,5 heure. Au total, il a parcouru 440 km. À quelle vitesse l'élève a-t-il roulé sur le chemin de fer s'il montait à cheval à une vitesse de 10 km/h ?

2) Le kolkhozien devait se trouver en un point situé à une distance de 134,7 km de sa maison. Pendant 2,4 heures, il a voyagé en bus à une vitesse moyenne de 55 km/h, et il a marché le reste du trajet à une vitesse de 4,5 km/h. Combien de temps a-t-il marché ?

782. 1) Au cours de l'été, un gopher détruit environ 0,12 centième de pain. Les pionniers ont exterminé 1 250 spermophiles sur 37,5 hectares au printemps. Quelle quantité de pain les écoliers ont-ils économisée pour la ferme collective ? Combien de pain est économisé pour 1 ha ?

2) La ferme collective a calculé qu'en détruisant les spermophiles sur une superficie de 15 hectares de terres arables, les écoliers ont économisé 3,6 tonnes de céréales. Combien d'écureuils terrestres sont détruits en moyenne pour 1 ha de terre si un écureuil terrestre détruit 0,012 tonne de céréales pendant l'été ?

783. 1) Lors de la mouture du blé en farine, 0,1 de son poids est perdu, et lors de la cuisson, une cuisson est obtenue égale à 0,4 du poids de la farine. Quelle quantité de pain cuit sera obtenue à partir de 2,5 tonnes de blé ?

2) La ferme collective a récolté 560 tonnes de graines de tournesol. Quelle quantité d'huile de tournesol sera fabriquée à partir du grain récolté si le poids du grain est de 0,7 du poids des graines de tournesol et le poids de l'huile obtenue est de 0,25 du poids du grain ?

784. 1) Le rendement en crème du lait est de 0,16 poids de lait et le rendement en beurre de la crème est de 0,25 poids de crème. Combien de lait (en poids) faut-il pour obtenir 1 quintal de beurre ?

2) Combien de kilogrammes de cèpes doivent être collectés pour obtenir 1 kg de champignons séchés, s'il reste 0,5 poids pendant la préparation pour le séchage et 0,1 poids du champignon transformé pendant le séchage?

785. 1) La terre attribuée à la ferme collective est utilisée comme suit : 55 % de celle-ci est occupée par des terres arables, 35 % par des prairies, et le reste de la terre d'un montant de 330,2 hectares est attribué pour le jardin de la ferme collective et pour les domaines des agriculteurs collectifs. Quelle est la superficie de la ferme collective?

2) La ferme collective a semé 75% de la superficie totale ensemencée en céréales, 20% en légumes et le reste graminées fourragères. Quelle surface ensemencée avait la ferme collective si elle semait 60 hectares d'herbes fourragères ?

786. 1) Combien de centièmes de graines faudra-t-il pour semer un champ ayant la forme d'un rectangle de 875 m de long et 640 m de large, si 1,5 centième de graines sont semés pour 1 hectare ?

2) Combien de centièmes de graines faudra-t-il pour semer un champ qui a la forme d'un rectangle si son périmètre est de 1,6 km ? La largeur du champ est de 300 m.Pour semer 1 hectare, il faut 1,5 q de graines.

787. Combien d'enregistrements forme carree de 0,2 dm de côté tiendra dans un rectangle de 0,4 dm x 10 dm ?

788. La salle de lecture a des dimensions de 9,6 m x 5 m x 4,5 m. m d'air ?

789. 1) Quelle surface de la prairie sera fauchée par un tracteur avec une remorque de quatre faucheuses en 8 heures, si la largeur de travail de chaque faucheuse est de 1,56 m et la vitesse du tracteur est de 4,5 km/h ? (Le temps des arrêts n'est pas pris en compte.) (Réponse arrondie au 0,1 ha le plus proche.)

2) La largeur de travail du semoir à légumes du tracteur est de 2,8 m. Quelle surface peut être semée avec ce semoir en 8 heures. travailler à une vitesse de 5 km/h ?

790. 1) Trouver le rendement d'une charrue de tracteur à trois corps en 10 heures. travail, si la vitesse du tracteur est de 5 km par heure, la capture d'un corps est de 35 cm et la perte de temps était de 0,1 du temps total passé. (Arrondissez la réponse au 0,1 ha le plus proche.)

2) Trouver le rendement d'une charrue de tracteur à cinq sillons en 6 heures. travail, si la vitesse du tracteur est de 4,5 km par heure, la capture d'un corps est de 30 cm et la perte de temps était de 0,1 du temps total passé. (Arrondissez la réponse au 0,1 ha le plus proche.)

791. Consommation d'eau par 5 km parcourus pour une locomotive à vapeur train de voyageurséquivaut à 0,75 tonne Le réservoir d'eau du tender contient 16,5 tonnes d'eau. Combien de kilomètres le train aura-t-il assez d'eau si le réservoir était rempli à 0,9 de sa capacité ?

792. Seuls 120 wagons de fret peuvent tenir sur une voie d'évitement, avec une longueur moyenne de wagon de 7,6 m. Combien de wagons de passagers à quatre essieux, chacun mesurant 19,2 m de long, pourront tenir sur cette voie si 24 wagons de fret supplémentaires sont placés sur cette voie ?

793. Pour la solidité du remblai ferroviaire, il est recommandé de renforcer les talus en semant herbes des champs. Pour chaque mètre carré de remblai, 2,8 g de graines d'une valeur de 0,25 roubles sont nécessaires. pour 1 kg. Combien coûtera l'ensemencement de 1,02 hectare de talus si le coût des travaux est de 0,4 du coût des semences ? (Arrondis la réponse au 1 rub le plus proche.)

794. Briqueterie amené à la gare chemin de fer briques. 25 chevaux et 10 camions travaillaient au transport des briques. Chaque cheval transportait 0,7 tonne par voyage et effectuait 4 voyages par jour. Chaque wagon transportait 2,5 tonnes par voyage et effectuait 15 voyages par jour. Le voyage a duré 4 jours. Combien de briques ont été livrées à la station si le poids moyen d'une brique est de 3,75 kg ? (Arrondis la réponse au millier de pièces près.)

795. Le stock de farine a été réparti entre trois boulangeries : la première a reçu 0,4 du stock total, la seconde 0,4 du reste et la troisième boulangerie a reçu 1,6 tonne de farine de moins que la première. Quelle quantité de farine a été distribuée au total ?

796. Il y a 176 étudiants en deuxième année de l'institut, 0,875 de ce nombre en troisième année, et une fois et demie en première En outre c'était la troisième année. Le nombre d'étudiants en première, deuxième et troisième années était de 0,75 du nombre total d'étudiants de cet institut. Combien y avait-il d'étudiants à l'institut ?

797. Trouvez la moyenne arithmétique :

1) deux nombres : 56,8 et 53,4 ; 705.3 et 707.5 ;

2) trois nombres: 46,5 ; 37,8 et 36 ; 0,84 ; 0,69 et 0,81 ;

3) quatre nombres : 5,48 ; 1,36 ; 3.24 et 2.04.

798. 1) Le matin la température était de 13,6°, à midi de 25,5° et le soir de 15,2°. Calculez la température moyenne de ce jour.

2) Qu'est-ce que température moyenne par semaine, si pendant la semaine le thermomètre indiquait : 21° ; 20,3° ; 22,2° ; 23,5° ; 21,1° ; 22,1° ; 20,8° ?

799. 1) L'équipe de l'école a désherbé 4,2 hectares de betteraves le premier jour, 3,9 hectares le deuxième jour et 4,5 hectares le troisième. Déterminez la production moyenne de la brigade par jour.

2) Établir la norme de temps pour la fabrication nouvelle partie 3 retourneurs ont été fournis. Le premier a fait la partie en 3,2 minutes, le deuxième en 3,8 minutes et le troisième en 4,1 minutes. Calculez le temps standard qui a été défini pour la fabrication de la pièce.

800. 1) La moyenne arithmétique de deux nombres est 36,4. L'un de ces nombres est 36,8. Trouve un autre.

2) La température de l'air a été mesurée trois fois par jour : le matin, le midi et le soir. Trouvez la température de l'air le matin, si à midi elle était de 28,4°C, le soir de 18,2°C, et la température moyenne de la journée est de 20,4°C.

801. 1) La voiture a parcouru 98,5 km au cours des deux premières heures et 138 km au cours des trois heures suivantes. Combien de kilomètres la voiture a-t-elle parcourus en moyenne par heure ?

2) Les essais de capture et de pesée des yearlings ont montré que sur 10 carpes 4 pesaient 0,6 kg, 3 pesaient 0,65 kg, 2 pesaient 0,7 kg et 1 pesait 0,8 kg. Quel est le poids moyen d'une carpe d'un an ?

802. 1) À 2 litres de sirop d'une valeur de 1,05 roubles. pour 1 litre ajouté 8 litres d'eau. Combien coûte 1 litre d'eau au sirop ?

2) L'hôtesse a acheté une boîte de 0,5 litre de bortsch en conserve pour 36 kopecks. et bouillir avec 1,5 litre d'eau. Combien coûte une assiette de bortsch si son volume est de 0,5 litre ?

803. Travail de laboratoire"Mesurer la distance entre deux points",

1ère réception. Mesure avec un ruban à mesurer (ruban à mesurer). La classe est divisée en unités de trois personnes chacune. Accessoires : 5-6 jalons et 8-10 balises.

Avancement du travail : 1) les points A et B sont marqués et une ligne droite est tracée entre eux (voir tâche 178) ; 2) poser le mètre ruban le long de la ligne droite fixe et marquer à chaque fois l'extrémité du mètre ruban avec une étiquette. 2ème réception. Mesure, étapes. La classe est divisée en unités de trois personnes chacune. Chaque élève parcourt la distance de A à B en comptant le nombre de pas qu'il fait. En multipliant la longueur moyenne de votre pas par le nombre de pas résultant, trouvez la distance de A à B.

3ème réception. Mesurer à l'oeil. Chaque élève dessine main gauche avec un pouce levé (Fig. 37) et dirige pouce sur un jalon jusqu'au point B (sur la figure - un arbre) de sorte que l'œil gauche (point A), le pouce et le point B soient sur la même ligne droite. Sans changer de position, fermez l'œil gauche et regardez à droite le pouce. Le déplacement résultant est mesuré à l'œil nu et augmenté d'un facteur 10. C'est la distance de A à B.

804. 1) Selon le recensement de 1959, la population de l'URSS était de 208,8 millions d'habitants, et population ruraleétait de 9,2 millions de personnes de plus que la population urbaine. Combien de citadins et combien de ruraux en URSS en 1959 ?

2) Selon le recensement de 1913, la population de la Russie était de 159,2 millions d'habitants et la population urbaine était de 103,0 millions d'habitants de moins que la population rurale. Quelle était la population urbaine et rurale de la Russie en 1913 ?

805. 1) La longueur du fil est de 24,5 m. Ce fil a été coupé en deux parties de sorte que la première partie s'est avérée être 6,8 m plus longue que la seconde. Combien de mètres de long mesure chaque pièce ?

2) La somme de deux nombres est 100,05. Un nombre vaut 97,06 de plus qu'un autre. Trouvez ces chiffres.

806. 1) Il y a 8656,2 tonnes de charbon dans trois entrepôts de charbon, dans le deuxième entrepôt il y a 247,3 tonnes de charbon de plus que dans le premier, et dans le troisième c'est 50,8 tonnes de plus que dans le second. Combien y a-t-il de tonnes de charbon dans chaque entrepôt ?

2) La somme de trois nombres est 446,73. Premier numéro moins d'une seconde par 73,17 et plus que le troisième par 32,22. Trouvez ces chiffres.

807. 1) Le bateau se déplaçait le long de la rivière à une vitesse de 14,5 km/h, et à contre-courant à une vitesse de 9,5 km/h. Quelle est la vitesse du bateau en eau calme et quelle est la vitesse de la rivière ?

2) Le bateau à vapeur a parcouru 85,6 km le long du fleuve en 4 heures, et 46,2 km à contre-courant en 3 heures. Quelle est la vitesse du bateau en eau calme et quelle est la vitesse de la rivière ?

808. 1) Deux navires ont livré 3 500 tonnes de fret et un navire a livré 1,5 fois plus de fret que l'autre. Quelle quantité de fret chaque navire a-t-il livré ?

2) La superficie de deux pièces est de 37,2 m². m. La superficie d'une pièce est 2 fois plus grande que l'autre. Quelle est la superficie de chaque pièce ?

809. 1) De deux localités, distantes de 32,4 km, un motocycliste et un cycliste sont partis simultanément l'un vers l'autre. Combien de kilomètres parcourront chacun d'eux avant de se rencontrer si la vitesse du motocycliste est 4 fois celle du cycliste ?

2) Trouvez deux nombres dont la somme est 26,35 et le quotient de la division d'un nombre par un autre est 7,5.

810. 1) L'usine a envoyé trois types de cargaisons d'un poids total de 19,2 tonnes. Le poids du premier type de cargaison était trois fois supérieur à celui du deuxième type de cargaison et le poids du troisième type de cargaison était la moitié du poids de les premier et deuxième types de fret ensemble. Quel est le poids de chaque type de cargaison ?

2) Pendant trois mois, une équipe de mineurs a produit 52,5 mille tonnes minerai de fer. En mars, il a été exploité 1,3 fois, en février 1,2 fois plus qu'en janvier. Quelle quantité de minerai la brigade a-t-elle extraite chaque mois ?

811. 1) Le gazoduc Saratov-Moscou est plus long de 672 km que le canal de Moscou. Trouvez la longueur des deux structures si la longueur du gazoduc est 6,25 fois la longueur du canal de Moscou.

2) La longueur de la rivière Don est 3,934 fois la longueur de la rivière Moscou. Trouvez la longueur de chaque rivière si la longueur de la rivière Don est supérieure de 1467 km à la longueur de la rivière Moscou.

812. 1) La différence de deux nombres est de 5,2 et le quotient obtenu en divisant un nombre par un autre est de 5. Trouvez ces nombres.

2) La différence de deux nombres est de 0,96 et leur quotient est de 1,2. Trouvez ces chiffres.

813. 1) Un nombre est inférieur de 0,3 à l'autre et égal à 0,75. Trouvez ces chiffres.

2) Un nombre vaut 3,9 de plus qu'un autre nombre. Si le plus petit nombre est doublé, alors ce sera 0,5 du plus grand. Trouvez ces chiffres.

814. 1) La ferme collective a semé 2 600 hectares de terres en blé et en seigle. Combien d'hectares de terres ont été ensemencées en blé et combien en seigle, si 0,8 de la superficie ensemencée en blé est égale à 0,5 de la superficie ensemencée en seigle ?

2) La collection de deux garçons ensemble est de 660 timbres. Combien de timbres compte la collection de chaque garçon si 0,5 du nombre de timbres du premier garçon est égal à 0,6 du nombre de timbres de la collection du deuxième garçon ?

815. Deux étudiants avaient ensemble 5,4 roubles. Après que le premier ait dépensé 0,75 de son argent et le second 0,8 de son argent, il leur reste autant d'argent. De combien d'argent disposait chaque élève ?

816. 1) Deux navires partis l'un vers l'autre depuis deux ports distants de 501,9 km. Combien de temps leur faudra-t-il pour se rencontrer si la vitesse du premier vapeur est de 25,5 km/h et celle du second de 22,3 km/h ?

2) Deux trains partis l'un vers l'autre à partir de deux points distants de 382,2 km. Au bout de quelle heure se retrouveront-ils si la vitesse moyenne du premier train était de 52,8 km/h, et du second de 56,4 km/h ?

817. 1) De deux villes distantes de 462 km, deux voitures sont parties en même temps et se sont rencontrées après 3,5 heures. Trouvez la vitesse de chaque voiture si la vitesse de la première voiture était supérieure de 12 km/h à la vitesse de la deuxième voiture.

2) Des deux colonies, dont la distance est de 63 km, un motocycliste et un cycliste sont partis simultanément l'un vers l'autre et se sont rencontrés après 1,2 heure. Trouvez la vitesse du motocycliste si le cycliste roulait à une vitesse inférieure de 27,5 km/h à la vitesse du motocycliste.

818. L'étudiant a remarqué qu'un train composé d'une locomotive et de 40 wagons l'a dépassé pendant 35 secondes. Déterminez la vitesse du train par heure si la longueur de la locomotive est de 18,5 m et la longueur de la voiture est de 6,2 m. (Donnez la réponse avec une précision de 1 km par heure.)

819. 1) Un cycliste a quitté A pour B à une vitesse moyenne de 12,4 km/h. Après 3 heures 15 minutes. Un autre cycliste a laissé B vers lui à une vitesse moyenne de 10,8 km/h. Après combien d'heures et à quelle distance de A se rencontreront-ils si 0,32 la distance entre A et B est de 76 km ?

2) Depuis les villes A et B, distantes de 164,7 km, un camion de la ville A et une voiture de tourisme de la ville B se sont dirigés l'un vers l'autre. un camion 36 km, et celui du passager est 1,25 fois plus. La voiture de tourisme est partie 1,2 heure plus tard que le camion. Au bout de combien de temps et à quelle distance de la ville B voiture de voyageurs rencontrer la cargaison?

820. Deux navires ont quitté le même port au même moment et se dirigent dans la même direction. Le premier paquebot parcourt 37,5 km toutes les 1,5 heures, et le second parcourt 45 km toutes les 2 heures. Combien de temps faudra-t-il pour que le premier navire soit à une distance de 10 km du second ?

821. D'un point, un piéton est parti le premier, et 1h30 après sa sortie, un cycliste est parti dans la même direction. À quelle distance du point le cycliste a-t-il rattrapé le piéton si le piéton marchait à une vitesse de 4,25 km/h, et le cycliste roulait à une vitesse de 17 km/h ?

822. Le train a quitté Moscou pour Leningrad à 6 heures. 10 minutes. le matin et marchait à une vitesse moyenne de 50 km/h. Plus tard, un avion de passagers a décollé de Moscou pour Leningrad et est arrivé à Leningrad en même temps que le train est arrivé. vitesse moyenne l'avion était à 325 km par heure et la distance entre Moscou et Leningrad était de 650 km. Quand l'avion a-t-il décollé de Moscou ?

823. Le bateau à vapeur est descendu pendant 5 heures, et à contre-courant pendant 3 heures et n'a parcouru que 165 km. Combien de kilomètres a-t-il parcouru en aval et combien en amont, si la vitesse du fleuve est de 2,5 km/h ?

824. Le train est parti de A et devrait arriver en B à certaine heure; ayant parcouru la moitié du chemin et parcouru 0,8 km en 1 min., le train s'est arrêté pendant 0,25 heure; augmentant encore la vitesse de 100 m à 1 million, le train est arrivé à l'heure à B. Trouver la distance entre A et B.

825. De la ferme collective à la ville 23 km. Un facteur a fait du vélo de la ville à la ferme collective à une vitesse de 12,5 km/h. En 0,4 heure après cette IW de la ferme collective, un fermier collectif est monté dans la ville sur un cheval à une vitesse précoce de 0,6 de la vitesse du facteur. Combien de temps après son départ le kolkhozien rencontrera-t-il le facteur ?

826. Une voiture est allée de la ville A à la ville B, à 234 km de A, à une vitesse de 32 km/h. 1h75 plus tard, une deuxième voiture quitte la ville B vers la première dont la vitesse est 1,225 fois la vitesse de la première. Dans combien d'heures après son départ la seconde voiture rencontrera-t-elle la première ?

827. 1) Un dactylographe peut retaper un manuscrit en 1,6 heure et un autre en 2,5 heures. Combien de temps faudra-t-il aux deux dactylographes pour retaper ce manuscrit, en travaillant ensemble ? (Arrondir la réponse à la 0,1 heure la plus proche.)

2) La piscine est remplie de deux pompes de puissance différente. La première pompe, fonctionnant seule, peut remplir la piscine en 3,2 heures, et la seconde en 4 heures. Combien de temps faut-il pour remplir la piscine avec le fonctionnement simultané de ces pompes ? (Arrondir la réponse au 0,1 le plus proche.)

828. 1) Une équipe peut terminer une commande en 8 jours. L'autre a besoin de 0,5 fois le premier pour terminer cette commande. La troisième brigade peut terminer cette commande en 5 jours. Combien de jours l'ensemble de la commande sera-t-il complété avec un joint travail de trois brigades ? (Arrondir la réponse au 0,1 jour le plus proche.)

2) Le premier travailleur peut terminer la commande en 4 heures, le second 1,25 fois plus vite et le troisième en 5 heures. Combien d'heures faudra-t-il pour terminer une commande travail conjoint trois ouvriers ? (Arrondir la réponse à la 0,1 heure la plus proche.)

829. Deux voitures travaillent au nettoyage des rues. Le premier d'entre eux peut nettoyer toute la rue en 40 minutes, le second nécessite 75% du temps du premier. Les deux machines ont démarré en même temps. Après un travail conjoint de 0,25 heure, la deuxième machine a cessé de fonctionner. Combien de temps après cela la première voiture a-t-elle fini de nettoyer la rue ?

830. 1) L'un des côtés du triangle mesure 2,25 cm, le second mesure 3,5 cm de plus que le premier et le troisième mesure 1,25 cm moins d'une seconde. Trouver le périmètre du triangle.

2) L'un des côtés du triangle mesure 4,5 cm, le second mesure 1,4 cm de moins que le premier et le troisième côté mesure la moitié de la somme des deux premiers côtés. Quel est le périmètre du triangle ?

831 . 1) La base du triangle mesure 4,5 cm et sa hauteur est inférieure de 1,5 cm. Trouver l'aire d'un triangle.

2) La hauteur du triangle est de 4,25 cm et sa base est 3 fois plus grande. Trouver l'aire d'un triangle. (Arrondir la réponse au 0,1 le plus proche.)

832. Trouvez les zones des figures ombrées (Fig. 38).

833. Quelle aire est la plus grande : un rectangle de 5 cm et 4 cm de côté, un carré de 4,5 cm de côté ou un triangle dont la base et la hauteur mesurent 6 cm chacun ?

834. La pièce a une longueur de 8,5 m, une largeur de 5,6 m et une hauteur de 2,75 m.La surface des fenêtres, des portes et des poêles est de 0,1 superficie totale les murs de la chambre. Combien de pièces de papier peint faudra-t-il pour recouvrir cette pièce si la pièce de papier peint mesure 7 m de long et 0,75 m de large ? (Arrondissez la réponse à la pièce la plus proche.)

835. L'extérieur doit être enduit et blanchi à la chaux. Cottage, dont les dimensions sont : longueur 12 m, largeur 8 m et hauteur 4,5 m.La maison a 7 fenêtres de 0,75 m x 1,2 m chacune et 2 portes de 0,75 m x 2,5 m chacune.coût de l'ensemble des travaux, si badigeonnage et enduit 1 m² m coûte 24 kopecks.? (Arrondis la réponse au 1 rub le plus proche.)

836. Calculez la surface et le volume de votre pièce. Trouvez les dimensions de la pièce en mesurant.

837. Le jardin a la forme d'un rectangle dont la longueur est de 32 m, la largeur est de 10 m.0,05 de toute la surface du jardin est semé de carottes et le reste du jardin est planté de pommes de terre et d'oignons , et la superficie est plantée de pommes de terre 7 fois plus grandes que d'oignons. Combien de terres sont plantées individuellement avec des pommes de terre, des oignons et des carottes ?

838. Le jardin a la forme d'un rectangle dont la longueur est de 30 m et la largeur de 12 m. m plus de carottes. Combien de terres séparément sous les pommes de terre, les betteraves et les carottes ?

839. 1) Une boîte en forme de cube était gainée de tous côtés avec du contreplaqué. Quelle quantité de contreplaqué est utilisée si le bord du cube est de 8,2 dm ? (Arrondissez la réponse au 0,1 mètre carré le plus proche.)

2) Quelle quantité de peinture est nécessaire pour peindre un cube avec un bord de 28 cm, si par 1 m². cm sera dépensé 0,4 g de peinture? (Répondre, arrondir au 0,1 kg le plus proche.)

840. La longueur d'une billette en fonte ayant une forme cuboïde, est égal à 24,5 cm, largeur 4,2 cm et hauteur 3,8 cm Combien pèsent 200 billettes de fonte si 1 cu. la fonte dm pèse 7,8 kg ? (Arrondir la réponse au 1 kg le plus proche.)

841. 1) La longueur de la boîte (avec couvercle) ayant la forme d'un parallélépipède rectangle est de 62,4 cm, largeur 40,5 cm, hauteur 30 cm. mètres carrés de planches sont entrées dans la fabrication de la caisse, si le gaspillage de planches est de 0,2 de la surface à gainer de planches ? (Arrondissez la réponse au 0,1 m² le plus proche.)

2) Bas et parois latérales les fosses, ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, doivent être gainées de planches. La longueur de la fosse est de 72,5 m, la largeur de 4,6 m et la hauteur de 2,2 m. Combien de mètres carrés de planches ont été utilisés pour le revêtement si le gaspillage de planches est de 0,2 de la surface à recouvrir de planches? (Arrondir la réponse au mètre carré le plus proche)

842. 1) La longueur du sous-sol, qui a la forme d'un parallélépipède rectangle, est de 20,5 m, la largeur est de 0,6 de sa longueur et la hauteur est de 3,2 m.Le sous-sol était rempli de pommes de terre de 0,8 de son volume. Combien de tonnes de pommes de terre tiennent dans le sous-sol si 1 mètre cube de pommes de terre pèse 1,5 tonne ? (Arrondissez la réponse à la tonne la plus proche.)

2) La longueur du réservoir, qui a la forme d'un parallélépipède rectangle, est de 2,5 m, la largeur est de 0,4 de sa longueur et la hauteur de 1,4 m. Le réservoir est rempli de 0,6 de son volume avec du kérosène. Combien de tonnes de kérosène sont versées dans le réservoir, si le poids du kérosène dans un volume de 1 mètre cube. m est égal à 0,9 t ? (Arrondir la réponse au 0,1 tonne le plus proche.)

843. 1) A quelle heure peut-on renouveler l'air dans une pièce de 8,5 m de long, 6 m de large et 3,2 m de haut, si par la fenêtre en 1 sec. passe 0,1 cu. m d'air ?

2) Calculez le temps nécessaire pour renouveler l'air de votre pièce.

844. Dimensions bloc de béton pour la construction des murs sont les suivants : 2,7 m x 1,4 m x 0,5 m Le vide représente 30 % du volume du bloc. Combien de mètres cubes de béton faudra-t-il pour fabriquer 100 blocs de ce type ?

845. Niveleuse-élévatrice (machine à creuser des fossés) en 8 heures. les travaux forment un fossé de 30 cm de large, 34 cm de profondeur et 15 km de long. Combien de pelleteuses une telle machine remplace-t-elle si une pelleteuse peut extraire 0,8 mètre cube. m par heure? (Arrondis le résultat.)

846. La poubelle en forme de parallélépipède rectangle mesure 12 mètres de long et 8 mètres de large. Dans ce casier, le grain est versé jusqu'à une hauteur de 1,5 m. Afin de savoir combien pèse le grain entier, ils ont pris une boîte de 0,5 m de long, 0,5 m de large et 0,4 m de haut, l'ont rempli de grain et l'ont pesé. Combien pesait le grain dans la cellule si le grain dans la caisse pesait 80 kg ?

848. 1) Utilisation du schéma "Fusion de l'acier dans la RSFSR" (Fig. 39). répondre aux questions suivantes:

a) De combien de millions de tonnes la production d'acier a-t-elle augmenté en 1959 par rapport à 1945 ?

b) Combien de fois la production d'acier en 1959 a-t-elle été supérieure à celle de 1913 ? (À 0,1 près.)

2) À l'aide du schéma "Zones de vaches dans la RSFSR" (Fig. 40), répondez aux questions suivantes :

a) De combien de millions d'hectares la superficie ensemencée a-t-elle augmenté en 1959 par rapport à 1945 ?

b) Combien de fois la superficie ensemencée en 1959 a-t-elle été supérieure à la superficie ensemencée en 1913 ?

849. Construire un diagramme linéaire de la croissance de la population urbaine en URSS, si en 1913 la population urbaine était de 28,1 millions de personnes, en 1926 - 24,7 millions, en 1939 - 56,1 millions et en 1959 - 99, 8 millions de personnes.

850. 1) Faites un devis pour la rénovation de votre salle de classe, si vous avez besoin de badigeonner les murs et le plafond, ainsi que de peindre le sol. Découvrez les données pour établir un devis (taille de la classe, coût du blanchiment à la chaux 1 m², coût de la peinture du sol 1 m²) auprès du responsable de l'approvisionnement de l'école.

2) Pour planter dans le jardin, l'école a acheté des plants : 30 pommiers à 0,65 roubles. par pièce, 50 cerises pour 0,4 roubles. par pièce, 40 buissons de groseilles pour 0,2 roubles. et 100 framboisiers pour 0,03 roubles. pour un buisson Rédigez une facture pour cet achat selon le modèle :

Il y avait 5 couleurs de ruban dans l'atelier de couture. Il y avait plus de ruban rouge que de ruban bleu sur 2,4 mètres, mais moins de ruban vert sur 3,8 mètres. Le ruban blanc mesurait 1,5 mètre de plus que le noir, mais 1,9 mètre de moins que le vert. Combien y avait-il de mètres de ruban dans l'atelier si le ruban blanc faisait 7,3 mètres ?

La solution
• 1) 7,3 + 1,9 = 9,2 (m) de ruban vert était dans l'atelier ;
• 2) 7,3 - 1,5 = 5,8 (m) de ruban noir ;
• 3) 9,2 - 3,8 = 5,4 (m) ruban rouge ;
• 4) 5,4 - 2,4 = 3 (m) ruban bleu ;
• 5) 7,3 + 9,2 + 5,8 + 5,4 + 3 = 30,7 (m).
• Réponse : au total, il y avait 30,7 mètres de ruban dans l'atelier.

Tâche 2

La longueur de la section rectangulaire est de 19,4 mètres et la largeur de 2,8 mètres de moins. Calculer le périmètre de la zone.

La solution
• 1) 19,4 - 2,8 = 16,6 (m) largeur de parcelle ;
• 2) 16,6 * 2 + 19,4 * 2 = 33,2 + 38,8 = 72 (m).
• Réponse : Le périmètre de la parcelle est de 72 mètres.

Tâche 3

La longueur d'un saut de kangourou peut atteindre 13,5 mètres de long. Le record du monde pour un humain est de 8,95 mètres. Jusqu'où un kangourou peut-il sauter ?

La solution
• 1) 13,5 - 8,95 = 4,55 (m).
• 2) Réponse : le kangourou saute 4,55 mètres plus loin.

Tâche 4

Le plus basse température sur la planète a été enregistrée à la station Vostok en Antarctique, à l'été du 21 juillet 1983, et était de -89,2°C, et la plus chaude dans la ville d'El Azizia, le 13 septembre 1922, était de +57,8°C. la différence entre les températures.

La solution
• 1) 89,2 + 57,8 = 147°C.
• Réponse : La différence entre les températures est de 147 °C.



Tâche 5

La capacité de charge du fourgon Gazelle est de 1,5 tonne et le camion-benne minier BelAZ est 24 fois plus grand. Calculez la capacité de charge du camion benne BelAZ.

La solution
• 1) 1,5 * 24 = 36 (tonnes).
• Réponse : la capacité de charge de BelAZ est de 36 tonnes.

Tâche 6

La vitesse maximale de la Terre sur son orbite est de 30,27 km/s, et la vitesse de Mercure est de 17,73 km de plus. Quelle est la vitesse de Mercure sur son orbite ?

La solution
• 1) 30,27 + 17,73 = 48 (km/s).
• Réponse : La vitesse orbitale de Mercure est de 48 km/s.

Tâche 7

Profondeur Tranchée des Mariannes est de 11,023 km, et la hauteur de la plus haute montagne du monde - Chomolungma est de 8,848 km d'altitude. Calculez la différence entre ces deux points.

La solution
• 1) 11,023 + 8,848 = 19,871(km).
• Réponse : 19,871 km.

Tâche 8

Pour Kolya, comme pour toute personne en bonne santé, température normale corps 36,6 ° C, et pour son ami à quatre pattes Sharik 2,2 ° C de plus. Quelle température est considérée comme normale pour Sharik ?

La solution
• 1) 36,6 + 2,2 = 38,8°C.
• Réponse : La température corporelle normale de Sharik est de 38,8 °C.

Tâche 9

Le peintre a peint 18,6 m² de clôture en 1 jour, et son assistant a peint 4,4 m² de moins. Combien de m2 de clôture seront peints par le peintre et son assistant pour Semaine de travail s'il est égal à cinq jours ?

La solution
• 1) 18,6 - 4,4 \u003d 14,2 (m²) seront peints en 1 jour par l'assistant peintre;
• 2) 14,2 + 18,6 = 32,8 (m²) seront peints en 1 jour ensemble ;
• 3) 32,8 * 5 = 164 (m²).
• Réponse : Pendant la semaine de travail, le peintre et son assistant peindront ensemble 164 m² de clôture.

Tâche 10

Deux bateaux sont partis de deux quais vers l'autre en même temps. La vitesse d'un bateau est de 42,2 km/h et la seconde de 6 km/h de plus. Quelle sera la distance entre les bateaux après 2h30 si la distance entre les quais est de 140,5 km ?

La solution
• 1) 42,2 + 6 = 48,2 (km/h) vitesse du deuxième bateau ;
• 2) 42,2 * 2,5 = 105,5 (km) surmontera le premier bateau en 2,5 heures;
• 3) 48,2 * 2,5 = 120,5 (km) surmontera le deuxième bateau en 2,5 heures;
• 4) 140,5 - 105,5 = 35 (km) distance du premier bateau à l'embarcadère opposé ;
• 5) 140,5 - 120, 5 = 20 (km) distance du deuxième bateau à l'embarcadère opposé ;
• 6) 35 + 20 = 55 (km) ;
• 7) 140 - 55 = 85 (km).
• Réponse : il y aura 85 km entre les bateaux.

Tâche 11

Chaque jour, un cycliste surmonte 30,2 km. Un motocycliste, s'il passait le même temps, parcourrait une distance 2,5 fois plus grande qu'un cycliste. Quelle distance un motard peut-il parcourir en 4 jours ?

La solution
• 1) 30,2 * 2,5 = 75,5 (km) qu'un motocycliste surmontera en 1 jour;
• 2) 75,5 * 4 = 302 (km).
• Réponse : Un motocycliste peut parcourir 302 km en 4 jours.

Tâche 12

Le magasin a vendu 18,3 kg de biscuits en 1 jour et 2,4 kg de sucreries en moins. Combien de bonbons et de biscuits ont été vendus ensemble dans le magasin ce jour-là ?

La solution
• 1) 18,3 - 2, 4 = 15,9 (kg) de bonbons ont été vendus dans le magasin ;
• 2) 15,9 + 18,3 = 34,2 (kg).
• Réponse : 34,2 kg de bonbons et biscuits ont été vendus.



Parmi les nombreuses fractions trouvées en arithmétique, celles avec 10, 100, 1000 au dénominateur méritent une attention particulière - en général, toute puissance de dix. Ces fractions ont un nom et une notation spéciaux.

Un nombre décimal est un nombre dont le dénominateur est une puissance de dix.

Exemples décimaux :

Pourquoi était-il nécessaire d'isoler de telles fractions ? Pourquoi ont-ils besoin propre forme enregistrements ? Il y a au moins trois raisons à cela :

1. Les nombres décimaux sont beaucoup plus faciles à comparer. Rappelez-vous : pour comparer des fractions ordinaires, vous devez les soustraire les unes des autres et, en particulier, réduire les fractions à dénominateur commun. Dans les fractions décimales, rien de tout cela n'est requis ;
2. Réduction des calculs. Les décimales sont additionnées et multipliées par propres règles, et après un peu de pratique, vous travaillerez avec eux beaucoup plus rapidement qu'avec les ordinaires;
3. Facilité d'enregistrement. Contrairement aux fractions ordinaires, les décimales sont écrites sur une seule ligne sans perte de clarté.

La plupart des calculatrices donnent également des réponses en décimales. Dans certains cas, un format d'enregistrement différent peut causer des problèmes. Par exemple, que se passe-t-il si vous demandez un changement d'un montant de 2/3 de roubles dans un magasin :)

Règles d'écriture des fractions décimales

Le principal avantage des fractions décimales est une notation pratique et visuelle. À savoir:

La notation décimale est une forme de notation décimale où partie entière est séparé du fractionnaire par un point régulier ou une virgule. Dans ce cas, le séparateur lui-même (point ou virgule) est appelé le point décimal.

Par exemple, 0,3 (lire : "zéro entier, 3 dixièmes") ; 7,25 (7 entiers, 25 centièmes) ; 3,049 (3 entiers, 49 millièmes). Tous les exemples sont tirés de la définition précédente.

En écriture, une virgule est généralement utilisée comme point décimal. Ici et ci-dessous, la virgule sera également utilisée dans tout le site.

Pour écrire une fraction décimale arbitraire sous la forme spécifiée, vous devez suivre trois étapes simples :

1. Écrivez le numérateur séparément;
2. Décaler la virgule vers la gauche d'autant de positions qu'il y a de zéros au dénominateur. Supposons qu'initialement la virgule décimale se trouve à droite de tous les chiffres ;
3. Si la virgule décimale s'est déplacée et qu'il y a ensuite des zéros à la fin de l'enregistrement, ils doivent être barrés.

Il arrive qu'à la deuxième étape, le numérateur n'ait pas assez de chiffres pour terminer le décalage. Dans ce cas, les positions manquantes sont remplies de zéros. Et en général, n'importe quel nombre de zéros peut être attribué à gauche de n'importe quel nombre sans nuire à la santé. C'est moche, mais parfois utile.

À première vue, cet algorithme peut sembler assez compliqué. En fait, tout est très, très simple - il suffit de s'entraîner un peu. Jetez un œil aux exemples :

Une tâche. Pour chaque fraction, indiquez sa notation décimale :

Le numérateur de la première fraction : 73. Nous décalons la virgule décimale d'un signe (car le dénominateur est 10) - nous obtenons 7,3.

Le numérateur de la deuxième fraction : 9. Nous décalons la virgule décimale de deux chiffres (car le dénominateur est 100) - nous obtenons 0,09. J'ai dû ajouter un zéro après la virgule et un de plus avant, pour ne pas laisser une notation étrange comme ".09".

Le numérateur de la troisième fraction : 10029. Nous décalons la virgule décimale de trois chiffres (car le dénominateur est 1000) - nous obtenons 10,029.

Le numérateur de la dernière fraction : 10500. Encore une fois, nous décalons le point de trois chiffres - nous obtenons 10,500. Il y a des zéros supplémentaires à la fin du nombre. Nous les barrons - nous obtenons 10,5.

Faites attention aux deux derniers exemples : les nombres 10.029 et 10.5. Selon les règles, les zéros à droite doivent être barrés, comme c'est le cas dans le dernier exemple. Cependant, vous ne devez en aucun cas le faire avec des zéros à l'intérieur du nombre (qui sont entourés d'autres chiffres). C'est pourquoi nous avons obtenu 10,029 et 10,5, et non 1,29 et 1,5.

Nous avons donc compris la définition et la forme d'enregistrement des fractions décimales. Découvrons maintenant comment convertir des fractions ordinaires en décimales - et vice versa.

Passer des fractions aux décimales

Considérons une simple fraction numérique de la forme a / b . Vous pouvez utiliser la propriété de base d'une fraction et multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre tel que vous obtenez une puissance de dix ci-dessous. Mais avant cela, veuillez lire ce qui suit :

Il y a des dénominateurs qui ne se réduisent pas à la puissance dix. Apprenez à reconnaître ces fractions, car elles ne peuvent pas être travaillées selon l'algorithme décrit ci-dessous.

C'est ça. Eh bien, comment comprendre si le dénominateur est réduit à la puissance dix ou non ?

La réponse est simple : factorisez le dénominateur dans facteurs premiers. Si seuls les facteurs 2 et 5 sont présents dans le développement, ce nombre peut être réduit à la puissance dix. S'il y a d'autres nombres (3, 7, 11 - peu importe), vous pouvez oublier le degré de dix.

Une tâche. Vérifiez si les fractions spécifiées peuvent être représentées sous forme de décimales :

Nous écrivons et factorisons les dénominateurs de ces fractions :

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - seuls les nombres 2 et 5 sont présents.Par conséquent, la fraction peut être représentée sous forme décimale.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - il existe un facteur "interdit" 3. La fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Tout est en ordre : il n'y a rien sauf les chiffres 2 et 5. Une fraction est représentée sous forme décimale.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Le facteur 3 a "refait surface" à nouveau, il ne peut pas être représenté comme une fraction décimale.

Nous avons donc compris le dénominateur - nous allons maintenant considérer l'ensemble de l'algorithme de passage aux fractions décimales :

1. Factorisez le dénominateur de la fraction d'origine et assurez-vous qu'il est généralement représentable sous forme décimale. Ceux. vérifier que seuls les facteurs 2 et 5 sont présents dans le développement, sinon l'algorithme ne fonctionne pas ;
2. Comptez combien de deux et de cinq sont présents dans la décomposition (il n'y aura pas d'autres nombres là-bas, souvenez-vous ?). Choisissez un tel multiplicateur supplémentaire pour que le nombre de deux et de cinq soit égal.
3. En fait, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction d'origine par ce facteur - nous obtenons la représentation souhaitée, c'est-à-dire le dénominateur sera une puissance de dix.

Bien sûr, le facteur supplémentaire sera également décomposé uniquement en deux et en cinq. Dans le même temps, afin de ne pas vous compliquer la vie, vous devez choisir le plus petit facteur de ce type parmi tous les facteurs possibles.

Et encore une chose: s'il y a une partie entière dans la fraction d'origine, assurez-vous de convertir cette fraction en une fraction impropre - et ensuite seulement appliquez l'algorithme décrit.

Une tâche. Traduire les données fractions en décimal :

Factorisons le dénominateur de la première fraction : 4 = 2 · 2 = 2 2 . Par conséquent, une fraction peut être représentée sous la forme d'un nombre décimal. Il y a deux deux et pas de cinq dans le développement, donc le facteur supplémentaire est 5 2 = 25. Le nombre de deux et de cinq lui sera égal. Nous avons:

Passons maintenant à la deuxième fraction. Pour ce faire, notez que 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - il y a un triple dans l'expansion, donc la fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale.

Les deux dernières fractions ont pour dénominateurs 5 (un nombre premier) et 20 = 4 5 = 2 2 5 respectivement - seuls deux et cinq sont présents partout. En même temps, dans le premier cas, "pour un bonheur complet", il n'y a pas assez de multiplicateur 2, et dans le second - 5. On obtient :

Passer des décimaux à l'ordinaire

La conversion inverse - de la notation décimale à la normale - est beaucoup plus facile. Il n'y a pas de restrictions ni de contrôles spéciaux, vous pouvez donc toujours convertir une fraction décimale en une fraction classique "à deux étages".

L'algorithme de traduction est le suivant :

1. Barrez tous les zéros à gauche de la virgule, ainsi que la virgule. Ce sera le numérateur de la fraction souhaitée. L'essentiel - n'en faites pas trop et ne rayez pas les zéros internes entourés d'autres nombres;
2. Calculez le nombre de chiffres dans la fraction décimale d'origine après la virgule décimale. Prenez le chiffre 1 et ajoutez autant de zéros à droite que vous avez compté les caractères. Ce sera le dénominateur;
3. En fait, écrivez la fraction dont nous venons de trouver le numérateur et le dénominateur. Réduire si possible. S'il y avait une partie entière dans la fraction d'origine, nous obtenons maintenant une fraction impropre, ce qui est très pratique pour les calculs ultérieurs.

Une tâche. Convertir les décimaux en ordinaires : 0,008 ; 3.107 ; 2,25 ; 7,2008.

Barrez les zéros à gauche et les virgules - nous obtenons numéros suivants(ce seront des numérateurs) : 8 ; 3107 ; 225 ; 72008.

Dans les première et deuxième fractions après la virgule, il y a 3 décimales, dans la deuxième - 2 et dans la troisième - jusqu'à 4 décimales. On obtient les dénominateurs : 1000 ; 1000 ; 100 ; 10000.

Enfin, combinons les numérateurs et les dénominateurs en fractions ordinaires :

Comme on peut le voir dans les exemples, la fraction résultante peut très souvent être réduite. Encore une fois, je note que toute fraction décimale peut être représentée comme une fraction ordinaire. La transformation inverse n'est pas toujours possible.

Nous consacrerons ce matériel à un sujet aussi important que les fractions décimales. Tout d'abord, définissons les définitions de base, donnons des exemples et attardons-nous sur les règles de la notation décimale, ainsi que sur les chiffres des fractions décimales. Ensuite, nous mettons en évidence les principaux types: fractions finies et infinies, périodiques et non périodiques. Dans la dernière partie, nous montrerons comment les points correspondant aux nombres fractionnaires sont situés sur l'axe des coordonnées.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Qu'est-ce que la notation décimale pour les nombres fractionnaires

La notation dite décimale pour les nombres fractionnaires peut être utilisée pour les nombres naturels et fractionnaires. Cela ressemble à un ensemble de deux nombres ou plus avec une virgule entre eux.

La virgule décimale est utilisée pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire. En règle générale, le dernier chiffre d'une décimale n'est jamais un zéro, à moins que le point décimal ne soit immédiatement après le premier zéro.

Quels sont quelques exemples de nombres fractionnaires en notation décimale ? Cela peut être 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 etc.

Dans certains manuels, vous pouvez trouver l'utilisation d'un point au lieu d'une virgule (5. 67, 6789. 1011, etc.) Cette option est considérée comme équivalente, mais elle est plus typique pour les sources de langue anglaise.

Définition des décimaux

Sur la base du concept ci-dessus de notation décimale, nous pouvons formuler la définition suivante des fractions décimales :

Définition 1

Les décimales représentent nombres fractionnaires en notation décimale.

Pourquoi avons-nous besoin d'écrire des fractions sous cette forme ? Cela nous donne certains avantages par rapport aux notations ordinaires, par exemple une notation plus compacte, en particulier dans les cas où le dénominateur est 1000, 100, 10, etc. ou nombre mixte. Par exemple, au lieu de 6 10 nous pouvons spécifier 0 , 6 , au lieu de 25 10000 - 0 , 0023 , au lieu de 512 3 100 - 512 , 03 .

Comment représenter correctement des fractions ordinaires avec des dizaines, des centaines, des milliers au dénominateur sous forme décimale sera décrit dans un document séparé.

Comment lire correctement les décimaux

Il existe certaines règles pour lire les enregistrements de décimales. Ainsi, les fractions décimales qui correspondent à leurs équivalents ordinaires corrects sont lues presque de la même manière, mais avec l'ajout des mots "zéro dixième" au début. Ainsi, l'entrée 0 , 14 , qui correspond à 14 100 , se lit comme "zéro virgule quatorze centièmes".

Si une fraction décimale peut être associée à un nombre fractionnaire, alors elle se lit de la même manière que ce nombre. Donc, si nous avons une fraction 56 002, qui correspond à 56 2 1000, nous lisons une entrée telle que "cinquante-six virgule deux millièmes".

La valeur d'un chiffre dans une notation décimale dépend de l'endroit où il se trouve (comme dans le cas des nombres naturels). Ainsi, dans la fraction décimale 0, 7, sept correspond à des dixièmes, dans 0, 0007, à dix millièmes, et dans la fraction 70 000, 345, cela signifie sept dizaines de milliers d'unités entières. Ainsi, dans les fractions décimales, il y a aussi le concept de chiffre numérique.

Les noms des chiffres situés avant la virgule sont similaires à ceux qui existent dans les nombres naturels. Les noms de ceux qui se trouvent après sont clairement présentés dans le tableau :

Prenons un exemple.

Exemple 1

Nous avons la décimale 43 098. Elle a un quatre à la position des dizaines, un trois à la place des unités, un zéro à la dixième place, un 9 à la centième place et un 8 à la millième place.

Il est d'usage de distinguer les chiffres des fractions décimales par ancienneté. Si nous parcourons les chiffres de gauche à droite, nous passerons des chiffres les plus élevés aux chiffres les plus bas. Il s'avère que les centaines sont plus anciennes que les dizaines et que les millionièmes sont plus jeunes que les centièmes. Si nous prenons cette fraction décimale finale, que nous avons citée comme exemple ci-dessus, alors le plus ancien, ou le plus élevé, sera le chiffre des centaines, et le plus bas, ou le plus bas, sera le chiffre de 10 millièmes.

Toute fraction décimale peut être décomposée en chiffres séparés, c'est-à-dire représentés comme une somme. Cette action s'effectue de la même manière que pour nombres naturels.

Exemple 2

Essayons de développer la fraction 56, 0455 en chiffres.

Nous serons en mesure de:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Si nous nous souvenons des propriétés de l'addition, nous pouvons représenter cette fraction sous d'autres formes, par exemple, comme la somme 56 + 0, 0455, ou 56, 0055 + 0, 4, etc.

Que sont les décimales de fin

Toutes les fractions dont nous avons parlé ci-dessus sont des décimales de fin. Cela signifie que le nombre de chiffres après la virgule est fini. Prenons la définition :

Définition 1

Les décimales de fin sont un type de décimal qui a un nombre fini de chiffres après la virgule.

Des exemples de telles fractions peuvent être 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49, etc.

Chacune de ces fractions peut être convertie soit en un nombre fractionnaire (si la valeur de leur partie fractionnaire est différente de zéro), soit en fraction commune(avec une partie entière nulle). Comment c'est fait, nous avons dédié matériel séparé. Donnons juste quelques exemples ici : par exemple, nous pouvons mettre la fraction décimale finale 5 , 63 sous la forme 5 63 100 , et 0 , 2 correspond à 2 10 (ou toute autre fraction égale à celle-ci, par exemple, 4 20 ou 1 5 .)

Mais le processus inverse, c'est-à-dire l'écriture d'une fraction ordinaire sous forme décimale n'est pas toujours effectuée. Donc, 5 13 ne peut pas être remplacé par fraction égale avec le dénominateur 100, 10, etc., ce qui signifie que la fraction décimale finale ne fonctionnera pas.

Les principaux types de fractions décimales infinies : fractions périodiques et non périodiques

Nous avons souligné ci-dessus que les fractions finies sont appelées ainsi parce qu'elles ont un nombre fini de chiffres après la virgule. Cependant, il peut très bien être infini, auquel cas les fractions elles-mêmes seront également appelées infinies.

Définition 2

Les décimales infinies sont celles qui ont un nombre infini de chiffres après la virgule.

De toute évidence, de tels nombres ne peuvent tout simplement pas être écrits complètement, nous n'en indiquons donc qu'une partie, puis nous mettons des points de suspension. Ce signe indique une continuation infinie de la séquence de décimales. Des exemples de décimales infinies seraient 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... . etc.

Dans la "queue" d'une telle fraction, il peut y avoir non seulement des séquences de nombres apparemment aléatoires, mais une répétition constante du même caractère ou groupe de caractères. Les fractions avec alternance après la virgule sont appelées périodiques.

Définition 3

Les fractions décimales périodiques sont de telles fractions décimales infinies dans lesquelles un chiffre ou un groupe de plusieurs chiffres est répété après la virgule décimale. La partie répétitive s'appelle la période de la fraction.

Par exemple, pour la fraction 3, 444444 ... . la période sera le chiffre 4, et pour 76, 134134134134... - le groupe 134.

Quoi montant minimal Est-il permis de laisser des signes dans l'enregistrement d'une fraction périodique ? Pour les fractions périodiques, il suffira d'écrire une fois la période entière entre parenthèses. Ainsi, la fraction est 3, 444444 ... . il sera correct d'écrire comme 3, (4) , et 76, 134134134134 ... - comme 76, (134) .

En général, les entrées avec plusieurs périodes entre parenthèses auront exactement la même signification : par exemple, la fraction périodique 0,677777 est la même que 0,6 (7) et 0,6 (77), etc. Les entrées telles que 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) et autres sont également autorisées.

Afin d'éviter les erreurs, nous introduisons l'uniformité de notation. Convenons d'écrire un seul point (la séquence de chiffres la plus courte possible), qui est le plus proche de la virgule décimale, et de le mettre entre parenthèses.

Autrement dit, pour la fraction ci-dessus, nous considérerons l'entrée 0, 6 (7) comme la principale, et, par exemple, dans le cas de la fraction 8, 9134343434, nous écrirons 8, 91 (34) .

Si le dénominateur d'une fraction ordinaire contient des facteurs premiers qui ne sont pas égaux à 5 et 2, alors une fois convertis en notation décimale, des fractions infinies seront obtenues à partir d'eux.

En principe, nous pouvons écrire n'importe quelle fraction finie comme une fraction périodique. Pour ce faire, il suffit d'ajouter un nombre infini de zéros à droite. Comment cela se présente-t-il dans le dossier ? Disons que nous avons une fraction finale 45, 32. Sous forme périodique, cela ressemblera à 45 , 32 (0) . Cette action est possible car l'ajout de zéros à droite de toute fraction décimale nous donne une fraction égale à celle-ci.

Séparément, il faut s'attarder sur les fractions périodiques avec une période de 9, par exemple, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ils sont une notation alternative pour des fractions similaires avec une période de 0, ils sont donc souvent remplacés lors de l'écriture avec des fractions avec une période nulle. En même temps, un est ajouté à la valeur du chiffre suivant et (0) est indiqué entre parenthèses. L'égalité des nombres résultants est facile à vérifier en les présentant comme des fractions ordinaires.

Par exemple, la fraction 8, 31 (9) peut être remplacée par la fraction correspondante 8, 32 (0) . Ou 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Les fractions périodiques décimales infinies font référence à nombres rationnels. En d'autres termes, toute fraction périodique peut être représentée comme une fraction ordinaire, et vice versa.

Il existe également des fractions dans lesquelles il n'y a pas de séquence se répétant à l'infini après la virgule décimale. Dans ce cas, elles sont appelées fractions non périodiques.

Définition 4

Les fractions décimales non périodiques incluent les fractions décimales infinies qui ne contiennent pas de point après la virgule décimale, c'est-à-dire groupe répétitif de nombres.

Parfois, les fractions non périodiques ressemblent beaucoup aux fractions périodiques. Par exemple, 9 , 03003000300003 ... à première vue, il semble avoir une période, cependant analyse détaillée décimales confirme qu'il s'agit toujours d'une fraction non périodique. Il faut être très prudent avec des chiffres comme celui-ci.

Les fractions non périodiques sont des nombres irrationnels. Ils ne sont pas convertis en fractions ordinaires.

Opérations de base avec les décimaux

Les opérations suivantes peuvent être effectuées avec des fractions décimales : comparaison, soustraction, addition, division et multiplication. Analysons chacun d'eux séparément.

Comparer des décimales peut être réduit à comparer des fractions ordinaires qui correspondent aux décimales d'origine. Mais les fractions non périodiques infinies ne peuvent pas être réduites à cette forme, et la conversion des fractions décimales en fractions ordinaires est souvent une tâche laborieuse. Comment effectuer rapidement une action de comparaison si nous devons le faire dans le cadre de la résolution du problème ? Il est commode de comparer des fractions décimales par des chiffres de la même manière que nous comparons des nombres naturels. Nous consacrerons un article séparé à cette méthode.

Pour additionner une fraction décimale à une autre, il est pratique d'utiliser la méthode d'addition de colonnes, comme pour les nombres naturels. Pour ajouter des fractions décimales périodiques, vous devez d'abord les remplacer par des fractions ordinaires et compter selon schéma standard. Si, selon les conditions du problème, nous devons ajouter des fractions non périodiques infinies, nous devons d'abord les arrondir à un certain chiffre, puis les additionner. Plus le chiffre auquel nous arrondissons est petit, plus la précision du calcul sera élevée. Pour la soustraction, la multiplication et la division de fractions infinies, un arrondi préliminaire est également nécessaire.

Trouver la différence de fractions décimales est le contraire de l'addition. En fait, à l'aide de la soustraction, nous pouvons trouver un nombre dont la somme avec la fraction soustraite nous donnera la fraction réduite. Nous en parlerons plus en détail dans un article séparé.

La multiplication des fractions décimales se fait de la même manière que pour les nombres naturels. La méthode de calcul par une colonne convient également pour cela. Nous réduisons encore cette action avec des fractions périodiques à la multiplication de fractions ordinaires selon les règles déjà étudiées. Les fractions infinies, on s'en souvient, doivent être arrondies avant de compter.

Le processus de division des nombres décimaux est l'inverse du processus de multiplication. Lors de la résolution de problèmes, nous utilisons également le nombre de colonnes.

Vous pouvez définir une correspondance exacte entre la décimale finale et un point sur l'axe des coordonnées. Voyons comment marquer un point sur l'axe qui correspondra exactement à la fraction décimale requise.

Nous avons déjà étudié comment construire des points correspondant à des fractions ordinaires, et les fractions décimales peuvent être réduites à cette forme. Par exemple, la fraction commune 14 10 est la même que 1 , 4 , donc le point qui lui correspond sera exactement à la même distance de l'origine dans le sens positif :

Vous pouvez vous passer de remplacer la fraction décimale par une fraction ordinaire et prendre la méthode d'expansion des chiffres comme base. Ainsi, si nous avons besoin de marquer un point dont la coordonnée sera égale à 15 , 4008 , alors nous allons d'abord représenter ce nombre comme une somme 15 + 0 , 4 + , 0008 . Pour commencer, on réserve 15 segments unitaires entiers dans le sens positif de l'origine, puis 4 dixièmes d'un segment, puis 8 dix-millièmes d'un segment. En conséquence, nous obtiendrons un point de coordonnées, qui correspond à la fraction 15, 4008.

Pour une fraction décimale infinie, il est préférable d'utiliser cette méthode particulière, car elle vous permet de vous approcher du point souhaité aussi près que vous le souhaitez. Dans certains cas, il est possible de construire une correspondance exacte d'une fraction infinie sur l'axe des coordonnées : par exemple, 2 = 1, 41421. . . , et cette fraction pourra être associée à un point du rayon de coordonnées, éloigné de 0 de la longueur de la diagonale du carré, dont le côté sera égal à un segment unité.

Si nous ne trouvons pas un point sur l'axe, mais une fraction décimale qui lui correspond, alors cette action s'appelle la mesure décimale du segment. Voyons comment le faire correctement.

Supposons que nous devions aller de zéro à un point donné sur l'axe des coordonnées (ou s'en approcher le plus possible dans le cas d'une fraction infinie). Pour ce faire, on écarte progressivement les segments unitaires depuis l'origine jusqu'à arriver à point désiré. Après des segments entiers, si nécessaire, nous mesurons des dixièmes, des centièmes et des parties plus petites afin que la correspondance soit la plus précise possible. En conséquence, nous avons obtenu une fraction décimale, qui correspond à point donné sur l'axe des coordonnées.

Ci-dessus nous avons donné une image avec un point M. Regardez à nouveau: pour arriver à ce point, vous devez mesurer un segment unitaire à partir de zéro et quatre dixièmes de celui-ci, car ce point correspond à la fraction décimale 1, 4.

Si nous ne pouvons pas atteindre un point dans le processus de mesure décimale, cela signifie qu'une fraction décimale infinie lui correspond.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Les fractions décimales sont les mêmes fractions ordinaires, mais dans la soi-disant notation décimale. La notation décimale est utilisée pour les fractions avec les dénominateurs 10, 100, 1000, etc. Dans ce cas, au lieu des fractions 1/10 ; 1/100 ; 1/1000 ; ... écrire 0.1 ; 0,01 ; 0,001 ;... .

Par exemple, 0,7 ( zéro virgule sept) est une fraction 7/10 ; 5.43 ( cinq virgule quarante-trois centièmes) est une fraction mixte 5 43/100 (ou de manière équivalente, fraction impropre 543/100).

Il peut arriver qu'il y ait un ou plusieurs zéros juste après la virgule : 1,03 est la fraction 1 3/100 ; 17,0087 est la fraction 1787/10000. Règle générale est-ce: il doit y avoir autant de zéros au dénominateur d'une fraction ordinaire qu'il y a de chiffres après la virgule dans la notation décimale.

Un nombre décimal peut se terminer par un ou plusieurs zéros. Il s'avère que ces zéros sont "supplémentaires" - ils peuvent simplement être supprimés : 1,30 = 1,3 ; 5,4600 = 5,46 ; 3 000 = 3. Pouvez-vous comprendre pourquoi il en est ainsi ?

Les décimales apparaissent naturellement lors de la division par des nombres "ronds" - 10, 100, 1000, ... Assurez-vous de comprendre les exemples suivants :

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Remarquez-vous un modèle ici? Essayez de le formuler. Que se passe-t-il si vous multipliez un nombre décimal par 10, 100, 1000 ?

Pour convertir une fraction ordinaire en nombre décimal, vous devez l'amener à une sorte de dénominateur "rond":

2/5 = 4/10 = 0,4 ; 11/20 = 55/100 = 0,55 ; 9/2 = 45/10 = 4,5 etc.

L'ajout de fractions décimales est beaucoup plus pratique que les fractions ordinaires. L'addition est effectuée de la même manière qu'avec les nombres ordinaires - en fonction des chiffres correspondants. Lors de l'ajout dans une colonne, les termes doivent être écrits de manière à ce que leurs virgules soient sur la même verticale. La virgule de somme apparaîtra également sur la même verticale. La soustraction de fractions décimales s'effectue exactement de la même manière.

Si, lors de l'addition ou de la soustraction dans l'une des fractions, le nombre de chiffres après la virgule décimale est inférieur à celui de l'autre, alors à la fin de cette fraction, le nombre requis de zéros doit être ajouté. Vous ne pouvez pas ajouter ces zéros, mais imaginez-les simplement dans votre esprit.

Lors de la multiplication des fractions décimales, elles doivent à nouveau être multipliées comme nombres ordinaires(il n'est plus nécessaire d'écrire une virgule sous une virgule). Dans le résultat obtenu, vous devez séparer par une virgule le nombre de caractères égal au nombre total de décimales dans les deux facteurs.

Lors de la division de fractions décimales, vous pouvez simultanément déplacer la virgule vers la droite du même nombre de chiffres dans le dividende et le diviseur : le quotient ne changera pas :

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Expliquez pourquoi il en est ainsi?

1. Dessinez un carré 10x10. Peignez-en une partie égale à : a) 0,02 ; b) 0,7 ; c) 0,57 ; d) 0,91 ; e) 0,135 de l'aire de tout le carré.
2. Qu'est-ce que 2,43 carrés ? Dessinez dans l'image.
3. Divisez 37 par 10 ; 795 ; quatre ; 2.3 ; 65,27 ; 0,48 et écrivez le résultat sous forme de fraction décimale. Divisez ces nombres par 100 et 1000.
4. Multipliez par 10 les nombres 4,6 ; 6,52 ; 23,095 ; 0,01999. Multipliez ces nombres par 100 et 1000.
5. Exprimez le nombre décimal sous forme de fraction et réduisez-le :
   a) 0,5 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ;
   b) 0,25 ; 0,75 ; 0,05 ; 0,35 ; 0,025 ;
   c) 0,125 ; 0,375 ; 0,625 ; 0,875 ;
   d) 0,44 ; 0,26 ; 0,92 ; 0,78 ; 0,666 ; 0,848.
6. Imaginez sous la forme fraction mixte: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. Écrivez une fraction commune sous forme décimale :
   a) 1/2 ; 3/2 ; 7/2 ; 15/2 ; 1/5 ; 3/5 ; 4/5 ; 18/5 ;
   b) 1/4 ; 3/4 ; 5/4 ; 19/4 ; 1/20 ; 7/20 ; 49/20 ; 1/25 ; 13/25 ; 77/25 ; 1/50 ; 17/50 ; 137/50 ;
   c) 1/8 ; 3/8 ; 5/8 ; 7/8 ; 11/8 ; 125/8 ; 1/16 ; 5/16 ; 9/16 ; 23/16 ;
   d) 1/500 ; 3/250 ; 71/200 ; 9/125 ; 27/2500 ; 1999/2000.
8. Trouvez la somme : a) 7,3 + 12,8 ; b) 65,14+49,76 ; c) 3,762+12,85 ; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
9. Considérez une unité comme la somme de deux décimales. Trouvez vingt autres façons de le faire.
10. Trouvez la différence : a) 13,4–8,7 ; b) 74.52–27.04 ; c) 49,736–43,45 ; d) 127.24–93.883 ; e) 67-52.07 ; f) 35.24–34.9975.
11. Trouvez le produit : a) 7,6 3,8 ; b) 4,8 12,5 ; c) 2,39 7,4 ; d) 3,74 9,65.