Conversion d'une fraction en décimal et vice versa, règles, exemples. Comment convertir des fractions et des pourcentages en décimales

Au tout début, vous devez encore savoir ce qu'est une fraction et de quels types elle se compose. Et il en existe trois types. Et le premier d'entre eux est une fraction ordinaire, par exemple ½, 3/7, 3/432, etc. Ces nombres peuvent également être écrits à l'aide d'un tiret horizontal. Le premier et le second seront également vrais. Le nombre en haut s’appelle le chiffre et celui en bas s’appelle le dénominateur. Il existe même un dicton pour ceux qui confondent constamment ces deux noms. Cela ressemble à ceci : « Zzzzz, souviens-toi ! Dénominateur Zzzz - downzzzz ! " Cela vous aidera à éviter de vous tromper. Une fraction commune n’est constituée que de deux nombres divisibles l’un par l’autre. Le tiret qu'ils contiennent indique le signe de division. Il peut être remplacé par deux points. Si la question est « comment convertir une fraction en nombre », alors c'est très simple. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. C'est tout. La fraction a été traduite.

Le deuxième type de fraction est appelé décimal. Il s'agit d'une série de chiffres suivis d'une virgule. Par exemple, 0,5, 3,5, etc. Ils étaient appelés décimaux uniquement parce qu'après le nombre chanté, le premier chiffre signifie « dizaines », le second est dix fois plus que « centaines », et ainsi de suite. Et les premiers chiffres avant la virgule décimale sont appelés nombres entiers. Par exemple, le nombre 2,4 ressemble à ceci : douze virgule deux et deux cent trente-quatre millièmes. De telles fractions apparaissent principalement du fait que la division de deux nombres sans reste ne fonctionne pas. Et la plupart des fractions, une fois converties en nombres, finissent sous forme de décimales. Par exemple, une seconde équivaut à zéro virgule cinq.

Et la troisième vue finale. Ce sont des nombres mixtes. Un exemple de ceci peut être donné comme 2½. Cela ressemble à deux touts et une seconde. Au lycée, ce type de fractions n'est plus utilisé. Il faudra probablement les amener ou aspect commun fractions, ou en décimal. C'est tout aussi simple à faire. Il vous suffit de multiplier l'entier par le dénominateur et d'ajouter la notation résultante au chiffre. Prenons notre exemple 2½. Deux multiplié par deux égale quatre. Quatre plus un égale cinq. Et une fraction de la forme 2½ se transforme en 5/2. Et cinq, divisé par deux, peut être obtenu sous forme de fraction décimale. 2½=5/2=2,5. Il est déjà devenu clair comment convertir des fractions en nombres. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. Si les nombres sont grands, vous pouvez utiliser une calculatrice.

S'il ne produit pas de nombres entiers et qu'il y a beaucoup de chiffres après la virgule, cette valeur peut être arrondie. Tout est résumé très simplement. Vous devez d’abord décider à quel nombre vous devez arrondir. Un exemple devrait être considéré. Une personne doit arrondir le nombre zéro, neuf mille sept cent cinquante-six dix millièmes, ou à la valeur numérique de 0,6. Les arrondis doivent être effectués au centième près. Cela signifie que dans ce moment jusqu'à sept centièmes. Après le chiffre sept dans la fraction, il y a cinq. Nous devons maintenant utiliser les règles d'arrondi. Les nombres supérieurs à cinq sont arrondis grand côté, et les plus petits – dans une moindre mesure. Dans l'exemple, la personne en a cinq, elle est à la frontière, mais on considère que l'arrondi se fait vers le haut. Cela signifie que nous supprimons tous les nombres après sept et y ajoutons un. Il s'avère que 0,8.

Des situations surviennent également lorsqu'une personne a besoin de convertir rapidement une fraction commune en un nombre, mais qu'il n'y a pas de calculatrice à proximité. Pour ce faire, utilisez la division en colonnes. La première étape consiste à écrire le numérateur et le dénominateur l’un à côté de l’autre sur une feuille de papier. Un coin de séparation est placé entre eux ; il ressemble à la lettre « T », seulement couchée sur le côté. Par exemple, vous pouvez prendre la fraction dix sixièmes. Et donc dix doivent être divisés par six. Combien de six peuvent tenir dans un dix, un seul. L'unité est inscrite sous le coin. Dix moins six égale quatre. Combien y aura-t-il de six dans un quatre, plusieurs. Cela signifie que dans la réponse, une virgule est placée après le un et le quatre est multiplié par dix. A quarante-six six. Six est ajouté à la réponse et trente-six est soustrait de quarante. Cela s'avère être encore quatre.

Dans cet exemple, une boucle s'est produite, si vous continuez à tout faire exactement de la même manière, vous obtiendrez la réponse 1,6(6). Le nombre six continue vers l'infini, mais en appliquant la règle d'arrondi, vous pouvez ramener le nombre à 1,7. . Ce qui est bien plus pratique. Nous pouvons en conclure que toutes les fractions ordinaires ne peuvent pas être converties en décimales. Dans certains cas, il existe un cycle. Mais n’importe quelle fraction décimale peut être convertie en fraction simple. Une règle élémentaire aidera ici : comme on l'entend, ainsi c'est écrit. Par exemple, le nombre 1,5 s’entend comme un virgule vingt-cinq centièmes. Vous devez donc l'écrire, un entier, vingt-cinq divisé par cent. Un point vaut cent, ce qui signifie fraction simple sera cent vingt-cinq fois cent (125/100). Tout est également simple et clair.

Ainsi, les règles et transformations les plus fondamentales associées aux fractions ont été discutées. Ils sont tous simples, mais vous devez les connaître. DANS la vie quotidienne Les fractions, en particulier les décimales, sont incluses depuis longtemps. Ceci est clairement visible sur les étiquettes de prix dans les magasins. Cela fait longtemps que personne n’écrit des prix ronds, mais avec des fractions, le prix semble visuellement beaucoup moins cher. En outre, l'une des théories dit que l'humanité s'est détournée des chiffres romains et a adopté les chiffres arabes, uniquement parce que les chiffres romains n'avaient pas de fractions. Et de nombreux scientifiques sont d’accord avec cette hypothèse. Après tout, avec les fractions, vous pouvez effectuer des calculs avec plus de précision. Et à notre époque technologie spatiale, la précision des calculs est plus que jamais nécessaire. L’étude des fractions en mathématiques scolaires est donc vitale pour comprendre de nombreuses sciences et avancées technologiques.

Appuyez ensuite sur les boutons et la tâche est terminée. Le résultat sera soit un nombre entier, soit une fraction décimale. Une fraction décimale peut avoir un reste long après . Dans ce cas, la fraction doit être arrondie au chiffre spécifique dont vous avez besoin, en utilisant l'arrondi (les nombres jusqu'à 5 sont arrondis à l'inférieur, à partir de 5 inclus et plus).

Si vous n'avez pas de calculatrice sous la main, vous devrez le faire. Écrivez le numérateur de la fraction avec le dénominateur, avec un coin entre eux indiquant . Par exemple, convertissez la fraction 10/6 en nombre. Pour commencer, divisez 10 par 6. Vous obtenez 1. Écrivez le résultat dans un coin. Multipliez 1 par 6, vous obtenez 6. Soustrayez 6 de 10. Vous obtenez un reste de 4. Le reste doit être à nouveau divisé par 6. Ajoutez le nombre 0 à 4 et divisez 40 par 6. Vous obtenez 6. Écrivez 6. le résultat, après la virgule. Multipliez 6 par 6. Vous obtenez 36. Soustrayez 36 de 40. Le reste est à nouveau 4. Vous n’avez pas besoin de continuer plus loin, car il devient évident que le résultat sera le nombre 1,66(6). Arrondissez cette fraction au chiffre dont vous avez besoin. Par exemple, 1,67. C'est le résultat final.

Article associé

Sources:

• convertir des fractions avec des nombres entiers

Les fractions sont utilisées pour représenter des nombres constitués d'une ou plusieurs parties d'une unité. Le terme « fraction » vient du latin fractura, qui signifie « écraser, briser ». Il y a des ordinaires et décimales. De plus, dans les fractions ordinaires, une unité peut être divisée en n'importe quel nombre de parties, et dans une fraction décimale, cette quantité doit être un multiple de 10. Toute fraction peut être ordinaire ou décimale.

Tu auras besoin de

• Pour calculer le résultat, vous aurez besoin d’une calculatrice ou d’une feuille de papier et d’un stylo.

Instructions

Alors, prenez d’abord une fraction commune et divisez-la en parties. Par exemple, 2 1\8, dans lequel 2 est une partie entière et 1\8 est une fraction. De là, vous pouvez voir que le nombre a été divisé par 8, mais qu'un seul a été pris. La partie prise est le numérateur et le nombre de parties divisé par est le dénominateur.

note

Il existe souvent des fractions qui ne peuvent pas être complètement converties en décimales. Dans ce cas, l'arrondi vient à la rescousse. Si vous souhaitez arrondir au millier le plus proche, regardez la quatrième décimale. S'il est inférieur à 5, notez la réponse, les trois premiers chiffres après la virgule sans changer, sinon vous devez ajouter un au dernier chiffre des trois. Par exemple, 0,89643123 peut s’écrire 0,896, mais 0,89663123 équivaut à 0,897.

Conseil utile

Si vous calculez le résultat manuellement, avant de diviser la fraction, il est préférable de la réduire autant que possible et d'en séparer également des parties entières.

Sources:

• comment convertir des fractions

Fraction est l'un des éléments des formules à saisir dans le traitement de texte Word il existe un outil Microsoft Equation. En l'utilisant, vous pouvez saisir n'importe quel problème mathématique ou complexe. formules physiques, équations et autres éléments contenant des caractères spéciaux.

Instructions

Pour lancer l'outil Microsoft Equation, vous devez vous rendre dans : « Insérer » -> « Objet », dans la boîte de dialogue qui s'ouvre, sur le premier onglet de la liste, vous devez sélectionner Microsoft Equation et cliquer sur « Ok » ou double- cliquez sur l'élément sélectionné. Après avoir lancé l'éditeur, une barre d'outils s'ouvrira devant vous et un champ de saisie s'affichera : un rectangle en pointillés. La barre d'outils est divisée en sections, chacune contenant un ensemble de symboles d'action ou d'expressions. Lorsque vous cliquez sur l'une des sections, une liste des outils qui s'y trouvent s'étendra. Dans la liste qui s'ouvre, sélectionnez le symbole souhaité et cliquez dessus. Une fois sélectionné, le symbole spécifié apparaîtra dans le rectangle sélectionné dans le document.

La section contenant les éléments pour écrire des fractions est située dans la deuxième ligne de la barre d'outils. Lorsque vous passez votre souris dessus, vous verrez l'info-bulle « Modèles de fractions et de radicaux ». Cliquez une fois sur la section et développez la liste. Le menu déroulant contient des modèles de fractions horizontales et obliques. Parmi les options qui apparaissent, vous pouvez choisir celle qui convient à votre tâche. Cliquer sur l'option souhaitée. Après avoir cliqué, un symbole de fraction et des emplacements de saisie du numérateur et du dénominateur, encadrés par une ligne pointillée, apparaîtront dans le champ de saisie qui s'ouvre dans le document. Le curseur par défaut est automatiquement placé dans le champ de saisie du numérateur. Entrez le numérateur. En plus des chiffres, vous pouvez également saisir des symboles, des lettres ou des signes d'action. Ils peuvent être saisis soit à partir du clavier, soit à partir des sections correspondantes de la barre d'outils Microsoft Equation. Après le numérateur, appuyez sur la touche TAB pour passer au dénominateur. Vous pouvez également y aller en cliquant dans le champ pour saisir le dénominateur. Une fois écrit, cliquez avec le pointeur de la souris n'importe où dans le document, la barre d'outils se fermera et la saisie de la fraction sera terminée. Pour le modifier, double-cliquez dessus avec le bouton gauche de la souris.

Si, lorsque vous ouvrez le menu « Insertion » -> « Objet », vous ne trouvez pas l'outil Microsoft Equation dans la liste, vous devez l'installer. Courir disque d'installation, image disque ou fichier de distribution Word. Dans la fenêtre du programme d'installation qui apparaît, sélectionnez « Ajouter ou supprimer des composants. Ajoutez ou supprimez des composants individuels" et cliquez sur "Suivant". DANS fenêtre suivante Cochez l’option « Paramètres avancés de l’application ». Cliquez sur Suivant. Dans la fenêtre suivante, recherchez l'élément de liste « Outils Office » et cliquez sur le signe plus à gauche. Dans la liste développée, nous nous intéressons à l'élément « Éditeur de formule ». Cliquez sur l'icône à côté des mots « Éditeur de formule » et, dans le menu qui s'ouvre, cliquez sur « Exécuter depuis l'ordinateur ». Après cela, cliquez sur « Mettre à jour » et attendez que le composant requis soit installé.

Il arrive que pour faciliter les calculs, vous deviez convertir une fraction ordinaire en décimale et vice versa. Nous expliquerons comment procéder dans cet article. Examinons les règles de conversion des fractions ordinaires en décimales et vice versa, et donnons également des exemples.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nous envisagerons de convertir des fractions ordinaires en décimales, en suivant une certaine séquence. Voyons d'abord comment les fractions ordinaires dont le dénominateur est un multiple de 10 sont converties en décimales : 10, 100, 1000, etc. Les fractions avec de tels dénominateurs sont, en fait, une notation plus lourde des fractions décimales.

Ensuite, nous verrons comment convertir des fractions ordinaires avec n'importe quel dénominateur, pas seulement un multiple de 10, en fractions décimales. Notez que lors de la conversion de fractions ordinaires en décimales, non seulement des décimales finies sont obtenues, mais également des fractions décimales périodiques infinies.

Commençons!

Traduction de fractions ordinaires avec des dénominateurs 10, 100, 1000, etc. en décimales

Tout d’abord, disons que certaines fractions nécessitent une certaine préparation avant d’être converties sous forme décimale. Qu'est-ce que c'est? Avant le nombre au numérateur, vous devez ajouter autant de zéros pour que le nombre de chiffres au numérateur devienne égal au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, pour la fraction 3100, le chiffre 0 doit être ajouté une fois à gauche du 3 au numérateur. La fraction 610, selon la règle énoncée ci-dessus, n'a pas besoin de modification.

Regardons un autre exemple, après quoi nous formulerons une règle particulièrement pratique à utiliser au début, alors qu'il n'y a pas beaucoup d'expérience dans la conversion de fractions. Ainsi, la fraction 1610000 après avoir ajouté des zéros au numérateur ressemblera à 001510000.

Comment convertir une fraction commune avec un dénominateur de 10, 100, 1000, etc. en décimal ?

Règle pour convertir des fractions propres ordinaires en décimales

1. Notez 0 et mettez une virgule après.
2. Nous notons le nombre du numérateur obtenu après avoir ajouté des zéros.

Passons maintenant aux exemples.

Exemple 1 : Conversion de fractions en décimales

Convertissons la fraction 39 100 en nombre décimal.

Tout d'abord, nous examinons la fraction et voyons qu'il n'est pas nécessaire d'effectuer des actions préparatoires - le nombre de chiffres au numérateur coïncide avec le nombre de zéros au dénominateur.

En suivant la règle, nous écrivons 0, mettons un point décimal après et écrivons le nombre à partir du numérateur. On obtient la fraction décimale 0,39.

Regardons la solution d'un autre exemple sur ce sujet.

Exemple 2. Conversion de fractions en décimales

Écrivons la fraction 105 10000000 sous forme décimale.

Le nombre de zéros au dénominateur est 7 et le numérateur n'a que trois chiffres. Ajoutons 4 zéros supplémentaires avant le nombre au numérateur :

0000105 10000000

Maintenant, nous écrivons 0, mettons un point décimal après et notons le nombre à partir du numérateur. Nous obtenons la fraction décimale 0,0000105.

Les fractions considérées dans tous les exemples sont des fractions propres ordinaires. Mais comment convertir une fraction impropre en nombre décimal ? Disons tout de suite qu'il n'est pas nécessaire de préparer l'ajout de zéros pour de telles fractions. Formulons une règle.

Règle pour convertir des fractions impropres ordinaires en décimales

1. Notez le nombre qui est au numérateur.
2. On utilise un point décimal pour séparer autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de l'original fraction commune.

Vous trouverez ci-dessous un exemple d'utilisation de cette règle.

Exemple 3. Conversion de fractions en décimales

Convertissons la fraction 56888038009 100000 d'une fraction irrégulière ordinaire en une décimale.

Tout d'abord, notons le nombre à partir du numérateur :

Maintenant, à droite, nous séparons cinq chiffres par un point décimal (le nombre de zéros au dénominateur est cinq). On a:

La question suivante qui se pose naturellement est : comment convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale si le dénominateur de sa partie fractionnaire est le nombre 10, 100, 1000, etc. Pour convertir un tel nombre en fraction décimale, vous pouvez utiliser la règle suivante.

Règle pour convertir des nombres fractionnaires en décimales

1. Nous préparons la partie fractionnaire du nombre, si nécessaire.
2. Nous écrivons toute la partie du numéro d'origine et mettons une virgule après.
3. Nous notons le nombre du numérateur de la partie fractionnaire avec les zéros ajoutés.

Regardons un exemple.

Exemple 4 : Conversion de nombres fractionnaires en décimales

Convertissons le nombre fractionnaire 23 17 10000 en fraction décimale.

Dans la partie fractionnaire nous avons l'expression 17 10000. Préparons-le et ajoutons deux zéros supplémentaires à gauche du numérateur. Nous obtenons : 0017 10000.

Maintenant, nous écrivons toute la partie du nombre et mettons une virgule après : 23, . .

Après la virgule, notez le nombre du numérateur avec les zéros. On obtient le résultat :

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversion de fractions ordinaires en fractions périodiques finies et infinies

Bien entendu, vous pouvez convertir en décimales et en fractions ordinaires dont le dénominateur n'est pas égal à 10, 100, 1000, etc.

Souvent, une fraction peut être facilement réduite à un nouveau dénominateur, puis utiliser la règle énoncée dans le premier paragraphe de cet article. Par exemple, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction 25 par 2, et on obtient la fraction 410, qui se convertit facilement sous la forme décimale 0,4.

Cependant, cette méthode de conversion d’une fraction en nombre décimal ne peut pas toujours être utilisée. Ci-dessous, nous verrons quoi faire s'il est impossible d'appliquer la méthode considérée.

Fondamentalement nouvelle façon la conversion d'une fraction ordinaire en décimale se réduit à diviser le numérateur par le dénominateur avec une colonne. Cette opération est très similaire à la division nombres naturels colonne, mais a ses propres caractéristiques.

Lors de la division, le numérateur est représenté sous forme de fraction décimale - une virgule est placée à droite du dernier chiffre du numérateur et des zéros sont ajoutés. Dans le quotient résultant, un point décimal est placé lorsque la division de la partie entière du numérateur se termine. Le fonctionnement exact de cette méthode deviendra clair après avoir examiné les exemples.

Exemple 5. Conversion de fractions en décimales

Convertissons la fraction commune 621 4 sous forme décimale.

Représentons le nombre 621 du numérateur sous forme de fraction décimale, en ajoutant quelques zéros après la virgule décimale. 621 = 621,00

Maintenant, divisons 621,00 par 4 à l'aide d'une colonne. Les trois premières étapes de la division seront les mêmes que lors de la division des nombres naturels, et nous obtiendrons.

Lorsque nous atteignons la virgule décimale du dividende et que le reste est différent de zéro, nous mettons une virgule décimale dans le quotient et continuons à diviser, sans faire attention à la virgule dans le dividende.

En conséquence, nous obtenons la fraction décimale 155, 25, qui est le résultat de l'inversion de la fraction commune 621 4

621 4 = 155 , 25

Regardons un autre exemple pour renforcer le matériau.

Exemple 6. Conversion de fractions en décimales

Inversons la fraction commune 21 800.

Pour ce faire, divisez la fraction 21 000 dans une colonne par 800. La division de la partie entière se terminera à la première étape, donc immédiatement après, nous mettons un point décimal dans le quotient et continuons la division, sans prêter attention à la virgule dans le dividende jusqu'à ce que nous obtenions un reste égal à zéro.

Le résultat est : 21 800 = 0,02625.

Mais que se passe-t-il si, lors de la division, nous n'obtenons toujours pas de reste de 0. Dans de tels cas, la division peut se poursuivre indéfiniment. Cependant, à partir d'une certaine étape, les résidus seront répétés périodiquement. En conséquence, les nombres du quotient seront répétés. Cela signifie qu'une fraction ordinaire est convertie en une fraction périodique infinie décimale. Illustrons cela avec un exemple.

Exemple 7. Conversion de fractions en décimales

Convertissons la fraction commune 19 44 en décimale. Pour ce faire, nous effectuons une division par colonne.

On voit que lors de la division, les résidus 8 et 36 se répètent. Dans ce cas, les nombres 1 et 8 sont répétés dans le quotient. C'est le point en fraction décimale. Lors de l'enregistrement, ces numéros sont placés entre parenthèses.

Ainsi, la fraction ordinaire originale est convertie en une fraction décimale périodique infinie.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Voyons une fraction ordinaire irréductible. Quelle forme cela prendra-t-il ? Quelles fractions ordinaires sont converties en décimales finies, et lesquelles sont converties en fractions périodiques infinies ?

Disons d'abord que si une fraction peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1000..., alors elle aura la forme d'une fraction décimale finale. Pour qu'une fraction se réduise à l'un de ces dénominateurs, il faut que son dénominateur soit un diviseur d'au moins un des nombres 10, 100, 1000, etc. Des règles de décomposition des nombres en facteurs premiers il s'ensuit que le diviseur des nombres 10, 100, 1000, etc. doit, lorsqu'il est pris en compte en facteurs premiers, contenir uniquement les nombres 2 et 5.

Résumons ce qui a été dit :

1. Une fraction commune peut être réduite à une décimale finale si son dénominateur peut être divisé en facteurs premiers de 2 et 5.
2. Si, en plus des nombres 2 et 5, il y a d'autres nombres dans le développement du dénominateur nombres premiers, la fraction est réduite à la forme d'une fraction décimale périodique infinie.

Donnons un exemple.

Exemple 8. Conversion de fractions en décimales

Laquelle de ces fractions 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 est convertie en une fraction décimale finale, et laquelle - uniquement en une fraction périodique. Répondons à cette question sans convertir directement une fraction en décimale.

La fraction 47 20, comme il est facile de le voir, en multipliant le numérateur et le dénominateur par 5, est réduite à un nouveau dénominateur 100.

47 20 = 235 100. Nous en concluons que cette fraction est convertie en une fraction décimale finale.

En factorisant le dénominateur de la fraction 7 12, on obtient 12 = 2 · 2 · 3. Puisque le facteur premier 3 est différent de 2 et 5, cette fraction ne peut pas être représentée comme une fraction décimale finie, mais aura la forme d'une fraction périodique infinie.

La fraction 21 56 doit tout d'abord être réduite. Après réduction par 7, on obtient la fraction irréductible 3 8 dont le dénominateur est factorisé pour donner 8 = 2 · 2 · 2. Il s’agit donc d’une fraction décimale finale.

Dans le cas de la fraction 31 17, la factorisation du dénominateur est le nombre premier 17 lui-même. En conséquence, cette fraction peut être convertie en une fraction décimale périodique infinie.

Une fraction ordinaire ne peut pas être convertie en une fraction décimale infinie et non périodique

Ci-dessus, nous n'avons parlé que de fractions périodiques finies et infinies. Mais n’importe quelle fraction ordinaire peut-elle être convertie en une fraction infinie non périodique ?

Nous répondons : non !

Important!

Lors de la conversion d’une fraction infinie en nombre décimal, le résultat est soit un nombre décimal fini, soit un nombre décimal périodique infini.

Le reste d'une division est toujours inférieur au diviseur. En d'autres termes, selon le théorème de divisibilité, si nous divisons un nombre naturel par le nombre q, alors le reste de la division ne peut en aucun cas être supérieur à q-1. Une fois la division terminée, l'une des situations suivantes est possible :

1. On obtient un reste de 0, et c'est là que se termine la division.
2. Nous obtenons un reste, qui se répète lors des divisions ultérieures, ce qui donne une fraction périodique infinie.

Il ne peut y avoir d’autres options lors de la conversion d’une fraction en nombre décimal. Disons aussi que la longueur de la période (nombre de chiffres) dans une fraction périodique infinie est toujours inférieure au nombre de chiffres du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Conversion de décimales en fractions

Il est maintenant temps d'examiner le processus inverse de conversion d'une fraction décimale en une fraction commune. Formulons une règle de traduction qui comprend trois étapes. Comment convertir une fraction décimale en fraction commune ?

Règle pour convertir des fractions décimales en fractions ordinaires

1. Au numérateur, nous écrivons le nombre à partir de la fraction décimale d'origine, en supprimant la virgule et tous les zéros à gauche, le cas échéant.
2. Au dénominateur, nous écrivons un suivi d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans la fraction décimale d'origine.
3. Si nécessaire, réduisez la fraction ordinaire résultante.

Considérons l'application de cette règle avec des exemples.

Exemple 8. Conversion de fractions décimales en fractions ordinaires

Imaginons le nombre 3,025 comme une fraction ordinaire.

1. Nous écrivons la fraction décimale elle-même dans le numérateur, en supprimant la virgule : 3025.
2. Au dénominateur, nous écrivons un, et après trois zéros - c'est exactement le nombre de chiffres contenus dans la fraction originale après la virgule décimale : 3025 1000.
3. La fraction résultante 3025 1000 peut être réduite de 25, ce qui donne : 3025 1000 = 121 40.

Exemple 9. Conversion de fractions décimales en fractions ordinaires

Convertissons la fraction 0,0017 de décimale en ordinaire.

1. Au numérateur, nous écrivons la fraction 0, 0017, en supprimant la virgule et les zéros à gauche. Il s'avérera qu'il sera 17.
2. Nous écrivons un au dénominateur, et après nous écrivons quatre zéros : 17 10000. Cette fraction est irréductible.

Si une fraction décimale a une partie entière, alors une telle fraction peut être immédiatement convertie en un nombre fractionnaire. Comment faire?

Formulons une autre règle.

Règle pour convertir des nombres décimaux en nombres fractionnaires.

1. Le nombre avant la virgule décimale dans la fraction s’écrit comme la partie entière du nombre fractionnaire.
2. Au numérateur, nous écrivons le nombre après la virgule décimale dans la fraction, en supprimant les zéros à gauche s'il y en a.
3. Au dénominateur de la partie fractionnaire on ajoute un et autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la partie fractionnaire.

Prenons un exemple

Exemple 10. Conversion d'un nombre décimal en nombre fractionnaire

Imaginons la fraction 155, 06005 comme un nombre fractionnaire.

1. On écrit le nombre 155 comme une partie entière.
2. Au numérateur, nous écrivons les nombres après la virgule décimale, en supprimant le zéro.
3. On écrit un et cinq zéros au dénominateur

Apprenons un nombre fractionnaire : 155 6005 100000

La partie fractionnaire peut être réduite de 5. On le raccourcit et on obtient le résultat final :

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversion de décimales périodiques infinies en fractions

Examinons des exemples de conversion de fractions décimales périodiques en fractions ordinaires. Avant de commencer, clarifions : toute fraction décimale périodique peut être convertie en fraction ordinaire.

Le cas le plus simple est celui où la période de la fraction est nulle. Une fraction périodique avec une période nulle est remplacée par une fraction décimale finale, et le processus d'inversion d'une telle fraction est réduit à inverser la fraction décimale finale.

Exemple 11. Conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction commune

Inversons la fraction périodique 3, 75 (0).

En éliminant les zéros à droite, nous obtenons la fraction décimale finale 3,75.

En convertissant cette fraction en fraction ordinaire en utilisant l'algorithme évoqué dans les paragraphes précédents, on obtient :

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Et si la période de la fraction est différente de zéro ? La partie périodique doit être considérée comme la somme des termes d’une progression géométrique qui décroît. Expliquons cela avec un exemple :

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Il existe une formule pour la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante. Si le premier terme de la progression est b et le dénominateur q est tel que 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Regardons quelques exemples utilisant cette formule.

Exemple 12. Conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction commune

Ayons une fraction périodique 0, (8) et nous devons la convertir en une fraction ordinaire.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Nous avons ici une diminution infinie progression géométrique avec le premier terme 0, 8 et le dénominateur 0, 1.

Appliquons la formule :

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

C'est la fraction ordinaire requise.

Pour consolider le matériel, considérons un autre exemple.

Exemple 13. Conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction commune

Inversons la fraction 0, 43 (18).

Nous écrivons d’abord la fraction comme une somme infinie :

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Regardons les termes entre parenthèses. Cette progression géométrique peut être représentée comme suit :

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

On ajoute le résultat à la fraction finale 0, 43 = 43 100 et on obtient le résultat :

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Après avoir additionné ces fractions et réduit, nous obtenons la réponse finale :

0 , 43 (18) = 19 44

Pour conclure cet article, nous dirons que les fractions décimales infinies non périodiques ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

En essayant de résoudre des problèmes mathématiques avec des fractions, un élève se rend compte que le simple désir de résoudre ces problèmes ne lui suffit pas. Connaissance des calculs avec nombres fractionnaires. Dans certains problèmes, toutes les données initiales sont données dans la condition sous forme fractionnaire. Dans d’autres, certains d’entre eux peuvent être des fractions et d’autres des nombres entiers. Afin d'effectuer des calculs avec ces valeurs données, vous devez d'abord les mettre sous une forme unique, c'est-à-dire convertir des nombres entiers en fractions, puis effectuer les calculs. En général, la façon de convertir un nombre entier en fraction est très simple. Pour ce faire, vous devez écrire le nombre donné lui-même au numérateur de la fraction finale et un au dénominateur. Autrement dit, si vous devez convertir le nombre 12 en fraction, la fraction résultante sera 12/1.

De telles modifications aident à réduire les fractions à dénominateur commun. Ceci est nécessaire pour pouvoir soustraire ou additionner des fractions. Lors de leur multiplication et de leur division, un dénominateur commun n'est pas requis. Vous pouvez regarder un exemple de comment convertir un nombre en fraction, puis ajouter deux fractions. Disons que vous devez additionner le nombre 12 et le nombre fractionnaire 3/4. Le premier terme (numéro 12) se réduit à la forme 12/1. Cependant, son dénominateur est égal à 1, tandis que celui du deuxième terme est égal à 4. Pour additionner davantage ces deux fractions, il faut les ramener à un dénominateur commun. Étant donné que l’un des nombres a un dénominateur de 1, cela est généralement facile à faire. Vous devez prendre le dénominateur du deuxième nombre et multiplier par lui le numérateur et le dénominateur du premier.

Le résultat de la multiplication est : 12/1=48/4. Si vous divisez 48 par 4, vous obtenez 12, ce qui signifie que la fraction a été réduite au bon dénominateur. De cette façon, vous pourrez en même temps comprendre comment convertir une fraction en nombre entier. Cela ne s'applique qu'aux fractions impropres car elles ont un numérateur supérieur au dénominateur. Dans ce cas, le numérateur est divisé par le dénominateur et, s'il n'y a pas de reste, il y aura un nombre entier. Avec un reste, la fraction reste une fraction, mais avec un surligné partie entière. Parlons maintenant de la réduction à un dénominateur commun dans l’exemple considéré. Si le premier terme avait un dénominateur égal à un autre nombre autre que 1, le numérateur et le dénominateur du premier nombre devraient être multipliés par le dénominateur du second, et le numérateur et le dénominateur du second par le dénominateur du premier. .

Les deux termes sont réduits à leur dénominateur commun et prêts à être ajoutés. Il s'avère que dans ce problème, vous devez additionner deux nombres : 48/4 et 3/4. Lorsque vous additionnez deux fractions avec le même dénominateur, il vous suffit de sommer leurs parties supérieures, c'est-à-dire les numérateurs. Le dénominateur du montant restera inchangé. Dans cet exemple, cela devrait être 48/4+3/4=(48+3)/4=51/4. Ce sera le résultat de l'ajout. Mais en mathématiques, il est d’usage de convertir des fractions impropres en fractions correctes. Nous avons expliqué ci-dessus comment transformer une fraction en nombre, mais dans cet exemple, vous n'obtiendrez pas un entier à partir de la fraction 51/4, car le nombre 51 n'est pas divisible par le nombre 4 sans reste. Vous devez donc séparer. la partie entière de cette fraction et sa partie fractionnaire. La partie entière sera le nombre obtenu en divisant par un nombre entier le premier nombre inférieur à 51.

C’est-à-dire quelque chose qui peut être divisé par 4 sans reste. Le premier nombre avant le nombre 51, qui est complètement divisible par 4, sera le nombre 48. En divisant 48 par 4, on obtient le nombre 12. Cela signifie que la partie entière de la fraction souhaitée sera 12. Il ne reste plus que. pour trouver la partie fractionnaire d’un nombre. Le dénominateur de la partie fractionnaire reste le même, soit 4 po dans ce cas. Pour trouver le numérateur d'une fraction, vous devez soustraire du numérateur d'origine le nombre qui a été divisé par le dénominateur sans reste. Dans l'exemple considéré, cela nécessite de soustraire le nombre 48 du nombre 51. C'est-à-dire que le numérateur de la partie fractionnaire est égal à 3. Le résultat de l'addition sera 12 entiers et 3/4. La même chose est faite lors de la soustraction de fractions. Disons que vous devez soustraire le nombre fractionnaire 3/4 de l'entier 12. Pour ce faire, l'entier 12 est converti en fractionnaire 12/1, puis ramené à un dénominateur commun avec le deuxième nombre - 48/4.

Lors de la soustraction de la même manière, le dénominateur des deux fractions reste inchangé et la soustraction est effectuée avec leurs numérateurs. Autrement dit, le numérateur de la seconde est soustrait du numérateur de la première fraction. Dans cet exemple, ce serait 48/4-3/4=(48-3)/4=45/4. Et encore une fois, nous obtenons une fraction impropre, qui doit être réduite à une fraction propre. Pour isoler une partie entière, déterminez le premier nombre jusqu'à 45, qui est divisible par 4 sans reste. Ce sera 44. Si le nombre 44 est divisé par 4, vous obtenez 11. Cela signifie que la partie entière de la fraction finale est égale à 11. Dans la partie fractionnaire, le dénominateur reste également inchangé et du numérateur du original fraction impropre soustraire le nombre divisé par le dénominateur sans reste. Autrement dit, vous devez soustraire 44 de 45. Cela signifie que le numérateur dans la partie fractionnaire est égal à 1 et 12-3/4 = 11 et 1/4.

Si vous recevez un nombre entier et un nombre fractionnaire, mais que son dénominateur est 10, il est alors plus facile de convertir le deuxième nombre en fraction décimale et d'effectuer ensuite les calculs. Par exemple, vous devez additionner le nombre entier 12 et le nombre fractionnaire 3/10. Si vous écrivez 3/10 sous forme décimale, vous obtenez 0,3. Désormais, il est beaucoup plus facile d'ajouter 0,3 à 12 et d'obtenir 2,3 que de ramener des fractions à un dénominateur commun, d'effectuer des calculs, puis de séparer les parties entières et fractionnaires d'une fraction impropre. Même les problèmes les plus simples avec les fractions supposent que l'élève (ou l'étudiant) sache convertir un nombre entier en fraction. Ces règles sont trop simples et faciles à retenir. Mais avec leur aide, il est très facile d'effectuer des calculs de nombres fractionnaires.

Dans cet article, nous verrons comment convertir des fractions en décimales, et considérons également le processus inverse : convertir des fractions décimales en fractions ordinaires. Ici, nous allons décrire les règles de conversion des fractions et donner solutions détaillées exemples typiques.

Navigation dans les pages.

Conversion de fractions en décimales

Désignons l'ordre dans lequel nous traiterons convertir des fractions en décimales.

Tout d’abord, nous verrons comment représenter des fractions avec des dénominateurs 10, 100, 1 000,… sous forme de décimales. C'est parce que les décimales sont essentiellement Forme compacteécrire des fractions ordinaires de dénominateurs 10, 100,….

Après cela, nous irons plus loin et montrerons comment écrire n'importe quelle fraction ordinaire (pas seulement celles dont les dénominateurs sont 10, 100, ...) sous forme de fraction décimale. Lorsque les fractions ordinaires sont traitées de cette manière, on obtient à la fois des fractions décimales finies et des fractions décimales périodiques infinies.

Parlons maintenant de tout dans l'ordre.

Conversion de fractions communes avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales

Certaines fractions appropriées nécessitent une « préparation préliminaire » avant d'être converties en décimales. Ceci s'applique aux fractions ordinaires dont le nombre de chiffres au numérateur est inférieur au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, la fraction commune 2/100 doit d'abord être préparée pour être convertie en fraction décimale, mais la fraction 9/10 ne nécessite aucune préparation.

La « préparation préliminaire » des fractions ordinaires appropriées pour la conversion en fractions décimales consiste à ajouter autant de zéros à gauche du numérateur que total les chiffres sont devenus égaux au nombre de zéros dans le dénominateur. Par exemple, une fraction après avoir ajouté des zéros ressemblera à .

Une fois que vous avez préparé une fraction appropriée, vous pouvez commencer à la convertir en décimal.

Donne moi règle pour convertir une fraction commune appropriée avec un dénominateur de 10, ou 100, ou 1 000, ... en une fraction décimale. Il se compose de trois étapes :

• écrivez 0 ;
• après cela, nous mettons un point décimal ;
• Nous notons le nombre à partir du numérateur (avec les zéros ajoutés, si nous les ajoutons).

Considérons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Convertissez la fraction appropriée 37/100 en un nombre décimal.

Solution.

Le dénominateur contient le nombre 100, qui comporte deux zéros. Le numérateur contient le nombre 37, sa notation comporte deux chiffres, cette fraction n'a donc pas besoin d'être préparée pour la conversion en fraction décimale.

Maintenant, nous écrivons 0, mettons un point décimal et écrivons le nombre 37 à partir du numérateur, et nous obtenons la fraction décimale 0,37.

Répondre:

0,37 .

Pour renforcer les compétences de conversion de fractions ordinaires appropriées avec les numérateurs 10, 100, ... en fractions décimales, nous analyserons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction appropriée 107/10 000 000 sous forme décimale.

Solution.

Le nombre de chiffres au numérateur est 3 et le nombre de zéros au dénominateur est 7, cette fraction commune doit donc être préparée pour la conversion en décimal. Nous devons ajouter 7-3=4 zéros à gauche du numérateur pour que le nombre total de chiffres soit égal au nombre de zéros au dénominateur. On a.

Il ne reste plus qu'à créer la fraction décimale requise. Pour ce faire, premièrement, nous écrivons 0, deuxièmement, nous mettons une virgule, troisièmement, nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros 0000107, nous obtenons ainsi une fraction décimale 0,0000107.

Répondre:

0,0000107 .

Les fractions incorrectes ne nécessitent aucune préparation lors de la conversion en décimales. Ce qui suit doit être respecté règles pour convertir des fractions impropres avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales:

• notez le nombre à partir du numérateur ;
• Nous utilisons un point décimal pour séparer autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction originale.

Examinons l'application de cette règle lors de la résolution d'un exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction impropre 56 888 038 009/100 000 en décimale.

Solution.

Premièrement, nous notons le nombre à partir du numérateur 56888038009, et deuxièmement, nous séparons les 5 chiffres de droite par un point décimal, puisque le dénominateur de la fraction originale a 5 zéros. En conséquence, nous avons la fraction décimale 568880,38009.

Répondre:

568 880,38009 .

Pour convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale dont le dénominateur de la partie fractionnaire est le nombre 10, ou 100, ou 1 000, ..., vous pouvez convertir le nombre fractionnaire en une fraction ordinaire impropre, puis convertir le résultat obtenu. fraction en fraction décimale. Mais vous pouvez également utiliser ce qui suit la règle pour convertir les nombres fractionnaires avec un dénominateur fractionnaire de 10, ou 100, ou 1 000, ... en fractions décimales:

• si nécessaire, effectuez " préparation préliminaire» partie fractionnaire du nombre fractionnaire original, en ajoutant quantité requise des zéros à gauche au numérateur ;
• notez la partie entière du nombre mixte original ;
• mettre un point décimal ;
• Nous notons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés.

Regardons un exemple dans lequel nous effectuons toutes les étapes nécessaires pour représenter un nombre fractionnaire sous forme de fraction décimale.

Exemple.

Convertissez le nombre fractionnaire en nombre décimal.

Solution.

Le dénominateur de la partie fractionnaire a 4 zéros et le numérateur contient le nombre 17, composé de 2 chiffres, nous devons donc ajouter deux zéros à gauche dans le numérateur pour que le nombre de chiffres y devienne égal au nombre de des zéros au dénominateur. Ceci fait, le numérateur sera 0017.

Maintenant, nous écrivons la partie entière du nombre d'origine, c'est-à-dire le nombre 23, mettons un point décimal, après quoi nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés, c'est-à-dire 0017, et nous obtenons la décimale souhaitée. fraction 23,0017.

Écrivons brièvement toute la solution : .

Bien entendu, il était possible de représenter d’abord le nombre fractionnaire sous la forme d’une fraction impropre, puis de le convertir en fraction décimale. Avec cette approche, la solution ressemble à ceci : .

Répondre:

23,0017 .

Conversion de fractions en décimales périodiques finies et infinies

Vous pouvez convertir non seulement des fractions ordinaires avec des dénominateurs 10, 100, ... en fraction décimale, mais également des fractions ordinaires avec d'autres dénominateurs. Voyons maintenant comment cela se fait.

Dans certains cas, la fraction ordinaire originale est facilement réduite à l'un des dénominateurs 10, ou 100, ou 1 000, ... (voir amener une fraction ordinaire à un nouveau dénominateur), après quoi il n'est pas difficile de représenter la fraction résultante comme fraction décimale. Par exemple, il est évident que la fraction 2/5 peut être réduite à une fraction de dénominateur 10, pour cela il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donnera la fraction 4/10, qui, selon le règles discutées dans le paragraphe précédent, est facilement convertie en fraction décimale 0, 4 .

Dans d'autres cas, vous devez utiliser une autre méthode de conversion d'une fraction ordinaire en décimal, que nous passons maintenant à l'examen.

Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, le numérateur de la fraction est divisé par le dénominateur, le numérateur est d'abord remplacé par une fraction décimale égale avec n'importe quel nombre de zéros après la virgule décimale (nous en avons parlé dans la section égal et fractions décimales inégales). Dans ce cas, la division s'effectue de la même manière que la division par une colonne de nombres naturels, et dans le quotient une virgule décimale est placée lorsque la division de la partie entière du dividende se termine. Tout cela deviendra clair à partir des solutions aux exemples donnés ci-dessous.

Exemple.

Convertissez la fraction 621/4 en décimal.

Solution.

Représentons le nombre au numérateur 621 sous la forme d'une fraction décimale, en ajoutant un point décimal et plusieurs zéros après. Tout d'abord, ajoutons 2 chiffres 0, plus tard, si nécessaire, nous pouvons toujours ajouter d'autres zéros. Nous avons donc 621,00.

Divisons maintenant le nombre 621 000 par 4 avec une colonne. Les trois premières étapes ne sont pas différentes de la division de nombres naturels par une colonne, après quoi nous arrivons à l'image suivante :

C’est ainsi qu’on arrive à la virgule décimale du dividende, et le reste est différent de zéro. Dans ce cas, on met un point décimal dans le quotient et on continue à diviser en colonne, sans faire attention aux virgules :

Ceci termine la division et nous obtenons ainsi la fraction décimale 155,25, qui correspond à la fraction ordinaire d'origine.

Répondre:

155,25 .

Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction 21/800 en décimal.

Solution.

Pour convertir cette fraction commune en décimale, on divise avec une colonne de la fraction décimale 21 000... par 800. Après la première étape, nous devrons mettre un point décimal dans le quotient, puis continuer la division :

Finalement, nous avons obtenu le reste 0, ceci achève la conversion de la fraction commune 21/400 en fraction décimale, et nous sommes arrivés à la fraction décimale 0,02625.

Répondre:

0,02625 .

Il peut arriver qu'en divisant le numérateur par le dénominateur d'une fraction ordinaire, on n'obtienne toujours pas un reste de 0. Dans ces cas, la division peut être poursuivie indéfiniment. Cependant, à partir d'un certain pas, les restes commencent à se répéter périodiquement et les nombres du quotient se répètent également. Cela signifie que la fraction originale est convertie en une fraction décimale infiniment périodique. Montrons cela avec un exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction 19/44 sous forme décimale.

Solution.

Pour convertir une fraction ordinaire en décimale, effectuez une division par colonne :

Il est déjà clair que lors de la division, les résidus 8 et 36 ont commencé à se répéter, tandis que dans le quotient les nombres 1 et 8 se répètent. Ainsi, la fraction commune originale 19/44 est convertie en une fraction décimale périodique 0,43181818...=0,43(18).

Répondre:

0,43(18) .

Pour conclure ce point, nous déterminerons quelles fractions ordinaires peuvent être converties en fractions décimales finies, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en fractions périodiques.

Ayons devant nous une fraction ordinaire irréductible (si la fraction est réductible, alors nous réduisons d'abord la fraction), et nous devons découvrir en quelle fraction décimale elle peut être convertie - finie ou périodique.

Il est clair que si une fraction ordinaire peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ..., alors la fraction résultante peut être facilement convertie en une fraction décimale finale selon les règles évoquées dans le paragraphe précédent. Mais aux dénominateurs 10, 100, 1 000, etc. Toutes les fractions ordinaires ne sont pas données. Seules les fractions dont les dénominateurs sont au moins un des nombres 10, 100,... peuvent être réduites à de tels dénominateurs. Et quels nombres peuvent être diviseurs de 10, 100,... ? Les nombres 10, 100, ... vont nous permettre de répondre à cette question, et ils sont les suivants : 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Il s'ensuit que les diviseurs sont 10, 100, 1 000, etc. Il ne peut y avoir que des nombres dont les décompositions en facteurs premiers contiennent uniquement les nombres 2 et (ou) 5.

Nous pouvons maintenant tirer une conclusion générale sur la conversion de fractions ordinaires en décimales :

• si dans la décomposition du dénominateur en facteurs premiers seuls les nombres 2 et (ou) 5 sont présents, alors cette fraction peut être convertie en une fraction décimale finale ;
• si, en plus des deux et des cinq, il existe d'autres nombres premiers dans le développement du dénominateur, alors cette fraction est convertie en une fraction périodique décimale infinie.

Exemple.

Sans convertir des fractions ordinaires en décimales, dites-moi laquelle des fractions 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 peut être convertie en une fraction décimale finale, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en une fraction périodique.

Solution.

Le dénominateur de la fraction 47/20 est factorisé en facteurs premiers comme 20=2·2·5. Cette expansion ne contient que deux et cinq, cette fraction peut donc être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ... (dans cet exemple, au dénominateur 100), et peut donc être convertie en une fraction décimale finale.

La décomposition du dénominateur de la fraction 7/12 en facteurs premiers a la forme 12=2·2·3. Puisqu'elle contient un facteur premier de 3, différent de 2 et 5, cette fraction ne peut pas être représentée comme une décimale finie, mais peut être convertie en une décimale périodique.

Fraction 21/56 – contractile, après contraction il prend la forme 3/8. La factorisation du dénominateur en facteurs premiers contient trois facteurs égaux à 2, donc la fraction commune 3/8, et donc la fraction égale 21/56, peut être convertie en une fraction décimale finale.

Enfin, le développement du dénominateur de la fraction 31/17 est lui-même 17, donc cette fraction ne peut pas être convertie en une fraction décimale finie, mais peut être convertie en une fraction périodique infinie.

Répondre:

47/20 et 21/56 peuvent être convertis en fraction décimale finie, mais 7/12 et 31/17 ne peuvent être convertis qu'en fraction périodique.

Les fractions ordinaires ne sont pas converties en décimales infinies non périodiques

Les informations du paragraphe précédent soulèvent la question : « La division du numérateur d’une fraction par le dénominateur peut-elle donner une fraction infinie non périodique ?

Réponse : non. Lors de la conversion d’une fraction commune, le résultat peut être soit une fraction décimale finie, soit une fraction décimale périodique infinie. Expliquons pourquoi il en est ainsi.

D'après le théorème sur la divisibilité avec un reste, il est clair que le reste est toujours inférieur au diviseur, c'est-à-dire que si nous divisons un entier par un entier q, alors le reste ne peut être que l'un des nombres 0, 1, 2 , ..., q−1. Il s'ensuit qu'une fois que la colonne a fini de diviser la partie entière du numérateur d'une fraction ordinaire par le dénominateur q, en pas plus de q étapes, l'une des deux situations suivantes se présentera :

• soit nous obtiendrons un reste de 0, cela mettra fin à la division et nous obtiendrons la fraction décimale finale ;
• ou nous obtiendrons un reste qui est déjà apparu auparavant, après quoi les restes commenceront à se répéter comme dans l'exemple précédent (puisqu'en divisant des nombres égaux par q, on obtient des restes égaux, ce qui découle du théorème de divisibilité déjà mentionné), ce se traduira par une fraction décimale périodique infinie.

Il ne peut y avoir d'autres options, par conséquent, lors de la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale, une fraction décimale non périodique infinie ne peut pas être obtenue.

Du raisonnement donné dans ce paragraphe, il résulte également que la durée de la période d'une fraction décimale est toujours inférieure à la valeur du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Conversion de décimales en fractions

Voyons maintenant comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire. Commençons par convertir les fractions décimales finales en fractions ordinaires. Après cela, nous considérerons une méthode pour inverser des fractions décimales périodiques infinies. En conclusion, disons de l'impossibilité de convertir des fractions décimales infinies non périodiques en fractions ordinaires.

Conversion de décimales finales en fractions

Obtenir une fraction écrite sous forme décimale finale est assez simple. La règle pour convertir une fraction décimale finale en une fraction commune se compose de trois étapes :

• tout d'abord, écrivez la fraction décimale donnée dans le numérateur, après avoir préalablement supprimé le point décimal et tous les zéros à gauche, le cas échéant ;
• deuxièmement, écrivez-en un dans le dénominateur et ajoutez-y autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
• troisièmement, si nécessaire, réduisez la fraction résultante.

Regardons les solutions aux exemples.

Exemple.

Convertissez le nombre décimal 3,025 en fraction.

Solution.

Si nous supprimons le point décimal de la fraction décimale d’origine, nous obtenons le nombre 3 025. Il n’y a pas de zéros à gauche que nous rejetterions. Ainsi, on écrit 3 025 au numérateur de la fraction souhaitée.

Nous écrivons le nombre 1 au dénominateur et ajoutons 3 zéros à sa droite, car dans la fraction décimale originale, il y a 3 chiffres après la virgule décimale.

Nous avons donc obtenu la fraction commune 3 025/1 000. Cette fraction peut être réduite de 25, on obtient .

Répondre:

.

Exemple.

Convertissez la fraction décimale 0,0017 en fraction.

Solution.

Sans point décimal, la fraction décimale originale ressemble à 00017, en ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 17, qui est le numérateur de la fraction ordinaire souhaitée.

Nous écrivons un avec quatre zéros au dénominateur, puisque la fraction décimale originale a 4 chiffres après la virgule décimale.

En conséquence, nous avons une fraction ordinaire de 17/10 000. Cette fraction est irréductible et la conversion d'une fraction décimale en fraction ordinaire est terminée.

Répondre:

.

Lorsque la partie entière de la fraction décimale finale originale est différente de zéro, elle peut être immédiatement convertie en un nombre fractionnaire, en contournant la fraction commune. Donne moi règle pour convertir une fraction décimale finale en un nombre fractionnaire:

• le nombre avant la virgule décimale doit être écrit comme une partie entière du nombre fractionnaire souhaité ;
• au numérateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre obtenu à partir de la partie fractionnaire de la fraction décimale originale après avoir supprimé tous les zéros à gauche ;
• au dénominateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre 1, auquel ajouter autant de zéros à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
• si nécessaire, réduisez la partie fractionnaire du nombre fractionnaire obtenu.

Regardons un exemple de conversion d'une fraction décimale en nombre fractionnaire.

Exemple.

Exprimer la fraction décimale 152,06005 sous forme de nombre fractionnaire