Comment élever un nombre à une puissance décimale. Élever une fraction algébrique à une puissance

La leçon examinera une version plus généralisée de la multiplication de fractions : l'élévation à une puissance. Tout d’abord, nous parlerons des puissances naturelles des fractions et d’exemples démontrant des opérations similaires avec des fractions. Au début de la leçon, nous examinerons également l’élévation d’expressions entières aux puissances naturelles et verrons comment cela sera utile pour résoudre d’autres exemples.

Sujet : Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Leçon : Construction fraction algébrique au degré

1. Règles pour élever des fractions et des expressions entières aux puissances naturelles avec des exemples élémentaires

La règle pour élever les fractions ordinaires et algébriques à une puissance naturelle :

Vous pouvez faire une analogie avec le degré d’une expression entière et vous rappeler ce que signifie l’élever à une puissance :

Exemple 1. .

Comme le montre l'exemple, élever une fraction à une puissance est cas particulier multiplier des fractions, qui a été étudié dans la leçon précédente.

Exemple 2. a) , b) - le moins disparaît, car nous avons élevé l'expression à une puissance paire.

Pour faciliter le travail avec les diplômes, rappelons les règles de base pour passer à un diplôme naturel :

- produit de puissances ;

- division des diplômes ;

Élever un diplôme à un diplôme ;

Degré de produit.

Exemple 3. - nous le savons grâce au sujet « Exponentiation d'expressions entières », sauf pour un cas : il n'existe pas.

2. Les exemples les plus simples d'élévation de fractions algébriques à des puissances naturelles

Exemple 4. Élever une fraction à une puissance.

Solution. Lorsqu'il est élevé à une puissance paire, le moins disparaît :

Exemple 5. Élever une fraction à une puissance.

Solution. Nous utilisons maintenant les règles pour élever un degré à une puissance immédiatement sans calendrier séparé :

.

Examinons maintenant des problèmes combinés dans lesquels nous devrons élever des fractions en puissances, les multiplier et les diviser.

Exemple 6. Effectuer des actions.

Solution. . Ensuite, vous devez faire une réduction. Décrivons une fois en détail comment nous allons procéder, puis nous indiquerons immédiatement le résultat par analogie : . De même (ou selon la règle de partage des pouvoirs). Nous avons: .

Exemple 7. Effectuer des actions.

Solution. . La réduction a été réalisée par analogie avec l'exemple évoqué précédemment.

Exemple 8. Effectuer des actions.

Solution. . Dans cet exemple, nous avons encore une fois décrit plus en détail le processus de réduction des puissances en fractions afin de consolider cette méthode.

3. Exemples plus complexes pour élever des fractions algébriques aux puissances naturelles (en tenant compte des signes et avec des termes entre parenthèses)

Exemple 9 : Effectuer des actions .

Solution. Dans cet exemple, nous allons déjà ignorer la multiplication séparée des fractions, utiliser immédiatement la règle pour les multiplier et les écrire sous un dénominateur. En même temps, nous suivons les signes - dans ce cas, les fractions sont élevées à des puissances paires, donc les moins disparaissent. À la fin, nous effectuerons la réduction.

Exemple 10 : Effectuer des actions .

Solution. Dans cet exemple, il y a division de fractions ; rappelez-vous que dans ce cas la première fraction est multipliée par la seconde, mais inversée.

Il est temps de faire connaissance élever une fraction algébrique à une puissance. Cette opération avec des fractions algébriques au sens de degré se réduit à multiplier des fractions identiques. Dans cet article, nous donnerons la règle correspondante et examinerons des exemples d'élévation de fractions algébriques à une puissance naturelle.

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La règle pour élever une fraction algébrique à une puissance, sa preuve

Avant de parler d'élever une fraction algébrique à une puissance, il ne fait pas de mal de rappeler ce qu'est le produit de facteurs identiques à la base de la puissance, et leur nombre est déterminé par l'exposant. Par exemple, 2 3 =2·2·2=8.

Rappelons maintenant la règle de l'exponentiation fraction commune– pour ce faire, vous devez augmenter séparément le numérateur à la puissance indiquée, et séparément – ​​le dénominateur. Par exemple, . Cette règle s’applique à l’élévation d’une fraction algébrique à une puissance naturelle.

Élever une fraction algébrique à une puissance naturelle donne une nouvelle fraction dont le numérateur contient le degré indiqué du numérateur de la fraction d'origine et le dénominateur - le degré du dénominateur. Sous forme littérale, cette règle correspond à l'égalité , où a et b sont des polynômes arbitraires (dans des cas particuliers, des monômes ou des nombres), et b est un polynôme non nul et n est .

La preuve de la règle énoncée pour élever une fraction algébrique à une puissance est basée sur la définition d'une puissance avec un exposant naturel et sur la façon dont nous avons défini la multiplication des fractions algébriques : .

Exemples, solutions

La règle obtenue au paragraphe précédent réduit l'élévation d'une fraction algébrique à une puissance à l'élévation du numérateur et du dénominateur de la fraction originale à cette puissance. Et puisque le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique originale sont des polynômes (dans un cas particulier, des monômes ou des nombres), alors la tâche initiale se résume à élever les polynômes à une puissance. Après avoir effectué cette action, une nouvelle fraction algébrique sera obtenue, identiquement égale au degré spécifié de la fraction algébrique d'origine.

Examinons les solutions de plusieurs exemples.

Exemple.

Mettez au carré une fraction algébrique.

Solution.

Écrivons le diplôme. Passons maintenant à la règle pour élever une fraction algébrique à une puissance, elle nous donne l'égalité . Il reste à transformer la fraction résultante sous la forme d'une fraction algébrique en élevant les monômes à une puissance. Donc .

Habituellement, lorsqu'on élève une fraction algébrique à une puissance, la solution n'est pas expliquée, mais la solution est écrite brièvement. Notre exemple correspond à l'entrée .

Répondre:

.

Lorsque le numérateur et/ou le dénominateur d'une fraction algébrique contiennent des polynômes, notamment des binômes, il est conseillé, lors de son élévation à une puissance, d'utiliser les formules de multiplication abrégées appropriées.

Exemple.

Construire une fraction algébrique au deuxième degré.

Solution.

D’après la règle pour élever une fraction à une puissance, on a .

Pour transformer l'expression résultante en numérateur, nous utilisons formule de différence au carré, et au dénominateur - la formule du carré de la somme de trois termes :

Répondre:

En conclusion, notons que si l’on élève une fraction algébrique irréductible à une puissance naturelle, alors le résultat sera également une fraction irréductible. Si la fraction d'origine est réductible, alors avant de l'élever à une puissance, il convient d'effectuer une réduction de la fraction algébrique afin de ne pas effectuer la réduction après l'avoir élevée à une puissance.

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. À 14h00 Partie 1. Manuel pour les étudiants les établissements d'enseignement/ A.G. Mordkovitch. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

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Poursuivant la conversation sur la puissance d'un nombre, il est logique de comprendre comment trouver la valeur de la puissance. Ce processus est appelé exponentiation. Dans cet article, nous étudierons comment l'exponentiation est effectuée, tout en abordant tous les exposants possibles - naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Et selon la tradition, nous examinerons en détail les solutions à des exemples d'augmentation du nombre à divers pouvoirs.

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Que signifie « exponentiation » ?

Commençons par expliquer ce qu'on appelle l'exponentiation. Voici la définition pertinente.

Définition.

Exponentiation- c'est trouver la valeur de la puissance d'un nombre.

Ainsi, trouver la valeur de la puissance d’un nombre a d’exposant r et élever le nombre a à la puissance r sont la même chose. Par exemple, si la tâche est « calculer la valeur de la puissance (0,5) 5 », alors elle peut être reformulée comme suit : « Élever le nombre 0,5 à la puissance 5 ».

Vous pouvez maintenant accéder directement aux règles selon lesquelles l'exponentiation est effectuée.

Élever un nombre à une puissance naturelle

Dans la pratique, l'égalité basée sur est généralement appliquée sous la forme . Autrement dit, lorsqu'on élève un nombre a à une puissance fractionnaire m/n, on prend d'abord la nième racine du nombre a, après quoi le résultat résultant est élevé à une puissance entière m.

Examinons des solutions à des exemples d'élévation à une puissance fractionnaire.

Exemple.

Calculez la valeur du diplôme.

Solution.

Nous allons montrer deux solutions.

Première façon. Par définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. Nous calculons la valeur du degré sous le signe racine, puis extrayons racine cubique: .

Deuxième façon. Par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et basée sur les propriétés des racines, les égalités suivantes sont vraies : . Maintenant, nous extrayons la racine , enfin, on l'élève à une puissance entière .

Évidemment, les résultats obtenus en élevant à une puissance fractionnaire coïncident.

Répondre:

Notez que l’exposant fractionnaire peut s’écrire décimal ou nombre mixte, dans ces cas, elle doit être remplacée par la fraction ordinaire correspondante, puis élevée à une puissance.

Exemple.

Calculez (44,89) 2,5.

Solution.

Écrivons l'exposant sous la forme d'une fraction ordinaire (si nécessaire, voir l'article) : . Maintenant, nous effectuons l'élévation à une puissance fractionnaire :

Répondre:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Il faut également dire que l'élévation des nombres à des puissances rationnelles est un processus plutôt laborieux (surtout lorsque le numérateur et le dénominateur de l'exposant fractionnaire contiennent des nombres suffisamment grands), qui est généralement effectué à l'aide de la technologie informatique.

Pour conclure ce point, attardons-nous sur l’élévation du nombre zéro à une puissance fractionnaire. Nous avons donné la signification suivante à la puissance fractionnaire de zéro de la forme : quand on a , et à zéro à la puissance m/n n'est pas défini. Donc zéro dans la fraction degré positifégal à zéro, par exemple, . Et zéro dans une puissance fractionnaire négative n'a pas de sens, par exemple, les expressions 0 -4,3 n'ont pas de sens.

S'élever à une puissance irrationnelle

Parfois, il devient nécessaire de connaître la valeur de la puissance d'un nombre avec un exposant irrationnel. Dans ce cas, pour des raisons pratiques, il suffit généralement d'obtenir la valeur du degré avec une précision d'un certain signe. Notons tout de suite que cette valeur est en pratique calculée à l'aide de calculateurs électroniques, puisqu'en élevant à ir degré rationnel manuellement nécessite de nombreux calculs fastidieux. Mais nous décrirons quand même dans Plan général l'essence de l'action.

Pour obtenir une valeur approximative de la puissance d'un nombre a avec un exposant irrationnel, une approximation décimale de l'exposant est prise et la valeur de la puissance est calculée. Cette valeur est une valeur approximative de la puissance du nombre a avec un exposant irrationnel. Plus l'approximation décimale d'un nombre est initialement prise avec précision, plus valeur exacte le diplôme sera finalement obtenu.

A titre d'exemple, calculons la valeur approximative de la puissance de 2 1,174367... . Prenons l'approximation décimale suivante de l'exposant irrationnel : . Maintenant, nous élevons 2 à la puissance rationnelle 1,17 (nous avons décrit l'essence de ce processus dans le paragraphe précédent), nous obtenons 2 1,17 ≈2,250116. Ainsi, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si nous prenons par exemple une approximation décimale plus précise de l’exposant irrationnel, nous obtenons une valeur plus précise de l’exposant d’origine : 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manuel de mathématiques pour la 5ème année. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 7e année. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 9e année. les établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Une fraction est le rapport du numérateur au dénominateur, et le dénominateur ne doit pas être égal à zéro, et le numérateur peut être n'importe quoi.

Lorsqu'on élève une fraction à une puissance arbitraire, il faut élever séparément le numérateur et le dénominateur de la fraction à cette puissance, après quoi il faut compter ces puissances et ainsi obtenir la fraction élevée à la puissance.

Par exemple:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3) ^ 3 = (2 / 3) · (2 ​​​​​​/ 3) · (2 ​​​​​​/ 3) = 2 ^ 3 / 3 ^ 3

Degré négatif

Si nous avons affaire à un degré négatif, alors nous devons d'abord « inverser la fraction », et ensuite seulement l'élever à un degré selon la règle écrite ci-dessus.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Diplôme de lettre

Lorsque vous travaillez avec des valeurs littérales telles que « x » et « y », l'exponentiation suit la même règle que précédemment.

Nous pouvons également nous tester en élevant la fraction ½ à la puissance 3, ce qui nous donne ½ * ½ * ½ = 1/8, ce qui est essentiellement le même que

Exponentiation littérale x^y

Multiplier et diviser des fractions avec des puissances

Si nous multiplions des puissances avec les mêmes bases, alors la base elle-même reste la même et nous ajoutons les exposants. Si nous partageons des diplômes avec pour les mêmes raisons, alors la base du degré reste également la même et les exposants sont soustraits.

Cela peut être démontré très facilement avec un exemple :

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Nous pourrions obtenir la même chose si nous élevions simplement le dénominateur et le numérateur à la puissance 3 et 4 séparément, respectivement.

Élever une fraction avec une puissance à une autre puissance

Lorsqu'on élève à nouveau une fraction qui est déjà à une puissance, il faut d'abord faire l'exponentiation interne puis passer à la partie externe de l'exponentiation. En d’autres termes, on peut simplement multiplier ces puissances et élever la fraction à la puissance résultante.

Par exemple:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Élevé à un, racine carrée

Nous ne devons pas non plus oublier qu'élever absolument n'importe quelle fraction à la puissance zéro nous donnera 1, comme tout autre nombre, lorsqu'il est élevé à une puissance égale à zéro, nous obtiendrons 1.

La racine carrée ordinaire peut également être exprimée comme une puissance de fraction

Racine carrée 3 = 3^(1/2)

Si nous avons affaire à racine carrée sous laquelle se situe la fraction, alors on peut imaginer cette fraction au numérateur de laquelle il y aura une racine carrée du 2ème degré (puisque c'est une racine carrée)

Et le dénominateur contiendra également la racine carrée, c'est-à-dire en d’autres termes, nous verrons la relation entre deux racines, cela peut être utile pour résoudre certains problèmes et exemples.

Si nous élevons la fraction qui se trouve sous la racine carrée à la puissance deux, nous obtenons la même fraction.

Le produit de deux fractions sous la même puissance sera égal au produit de ces deux fractions, dont chacune séparément sera sous sa propre puissance.

N'oubliez pas : vous ne pouvez pas diviser par zéro !

N'oubliez pas non plus une remarque très importante car une fraction telle que le dénominateur ne doit pas être égal à zéro. À l'avenir, dans de nombreuses équations, nous utiliserons cette limitation, appelée ODZ - la plage de valeurs admissibles.

Lorsqu'on compare deux fractions avec la même base mais des puissances différentes, la plus grande sera la fraction dont la puissance est la plus grande, et la plus petite sera celle avec la plus petite puissance si non seulement les bases, mais aussi les puissances sont égales ; la fraction est considérée comme la même.