Comment connaître la circonférence d'un cercle en connaissant la formule du diamètre. Comment calculer la circonférence d'un cercle si le diamètre et le rayon du cercle ne sont pas précisés

Une règle seule ne suffit pas ; il faut connaître des formules spéciales. La seule chose que nous devons faire est de déterminer le diamètre ou le rayon du cercle. Dans certains problèmes, ces quantités sont indiquées. Mais que se passe-t-il si nous n’avons rien d’autre qu’un dessin ? Aucun problème. Le diamètre et le rayon peuvent être calculés à l'aide d'une règle ordinaire. Passons maintenant à l'essentiel.

Des formules que tout le monde devrait connaître

Il y a près de 4 000 ans, les scientifiques ont découvert une relation étonnante : si la circonférence d'un cercle est divisée par son diamètre, le résultat est le même nombre, soit environ 3,14. Cette signification a été nommée avec cette lettre dans la langue grecque ancienne, les mots « périmètre » et « circonférence » commençaient. Sur la base des découvertes faites par d'anciens scientifiques, vous pouvez calculer la longueur de n'importe quel cercle :

Où P désigne la longueur (périmètre) du cercle,

D - diamètre, P - nombre "Pi".

La circonférence d'un cercle peut également être calculée par son rayon (r), qui est égal à la moitié de la longueur du diamètre. Voici la deuxième formule à retenir :

Comment connaître le diamètre d'un cercle ?

C'est une corde qui passe par le centre de la figure. En même temps, il relie les deux points les plus éloignés du cercle. Sur cette base, vous pouvez dessiner indépendamment le diamètre (rayon) et mesurer sa longueur à l'aide d'une règle.

Méthode 1 : entrez triangle rectangle dans un cercle

Calculer la circonférence d’un cercle sera facile si l’on trouve son diamètre. Il faut tracer un cercle où l'hypoténuse sera égale au diamètre du cercle. Pour ce faire, vous devez avoir une règle et une équerre sous la main, sinon rien ne fonctionnera.

Méthode 2 : ajuster n’importe quel triangle

Sur le côté du cercle, nous marquons trois points quelconques, les connectons - nous obtenons un triangle. Il est important que le centre du cercle se situe dans la zone du triangle ; cela peut être fait à l'œil nu. On trace des médianes de chaque côté du triangle, le point de leur intersection coïncide avec le centre du cercle. Et quand on connaît le centre, on peut facilement tracer le diamètre à l’aide d’une règle.

Cette méthode est très similaire à la première, mais peut être utilisée en l'absence de carré ou dans les cas où il n'est pas possible de dessiner sur une figure, par exemple sur une plaque. Vous devez prendre une feuille de papier à angles droits. Nous appliquons la feuille au cercle de manière à ce qu'un sommet de son coin touche le bord du cercle. Ensuite, nous marquons avec des points les endroits où les côtés du papier se croisent avec la ligne circulaire. Reliez ces points à l’aide d’un crayon et d’une règle. Si vous n’avez rien sous la main, pliez simplement le papier. Cette ligne sera égale à la longueur du diamètre.

Exemple de tâche

1. Nous recherchons le diamètre à l'aide d'une équerre, d'une règle et d'un crayon selon la méthode n°1. Supposons qu'il s'avère être de 5 cm.
2. Connaissant le diamètre, nous pouvons facilement l'insérer dans notre formule : P = d P = 5 * 3,14 = 15,7 Dans notre cas, il s'est avéré être d'environ 15,7. Vous pouvez maintenant facilement expliquer comment calculer la circonférence d’un cercle.

Un cercle est constitué de nombreux points situés à égales distances du centre. C'est plat figure géométrique, et trouver sa longueur n'est pas difficile. Une personne rencontre un cercle et un cercle chaque jour, quel que soit le domaine dans lequel elle travaille. Beaucoup de légumes et de fruits, les appareils et mécanismes, la vaisselle et les meubles ont forme ronde. Un cercle est l’ensemble des points situés à l’intérieur des limites du cercle. La longueur de la figure est donc égale au périmètre du cercle.

Caractéristiques de la figurine

Outre le fait que la description du concept de cercle est assez simple, ses caractéristiques sont également faciles à comprendre. Avec leur aide, vous pouvez calculer sa longueur. Intérieur Le cercle est constitué de nombreux points, parmi lesquels deux - A et B - sont visibles à angle droit. Ce segment s'appelle le diamètre, il est constitué de deux rayons.

Dans le cercle il y a des points X tels que, qui ne change pas et n'est pas égal à l'unité, le rapport AX/BX. Dans un cercle, cette condition doit être remplie ; sinon, cette figure n’a pas la forme d’un cercle. La règle s'applique à chaque point qui compose la figure : la somme des carrés des distances de ces points aux deux autres dépasse toujours la moitié de la longueur du segment qui les sépare.

Termes du cercle de base

Afin de pouvoir déterminer la longueur d’une figure, vous devez connaître les termes de base qui s’y rapportent. Les principaux paramètres de la figure sont le diamètre, le rayon et la corde. Le rayon est le segment reliant le centre du cercle à n'importe quel point de sa courbe. La grandeur d'une corde est égale à la distance entre deux points de la courbe de la figure. Diamètre - distance entre les points, passant par le centre de la figure.

Formules de base pour les calculs

Les paramètres sont utilisés dans les formules de calcul des dimensions d'un cercle :

Diamètre dans les formules de calcul

En économie et en mathématiques, il est souvent nécessaire de trouver la circonférence d’un cercle. Mais aussi dans Vie courante Vous pourriez rencontrer ce besoin, par exemple, lors de la construction d’une clôture autour d’une piscine ronde. Comment calculer la circonférence d'un cercle par diamètre ? Dans ce cas, utilisez la formule C = π*D, où C est la valeur souhaitée, D est le diamètre.

Par exemple, la largeur de la piscine est de 30 mètres et il est prévu que les poteaux de clôture soient placés à une distance de dix mètres de celle-ci. Dans ce cas, la formule de calcul du diamètre est : 30+10*2 = 50 mètres. La valeur requise (dans cet exemple, la longueur de la clôture) : 3,14*50 = 157 mètres. Si les poteaux de clôture sont situés à une distance de trois mètres les uns des autres, il en faudra au total 52.

Calculs de rayon

Comment calculer la circonférence d'un cercle à partir d'un rayon connu ? Pour ce faire, utilisez la formule C = 2*π*r, où C est la longueur, r est le rayon. Le rayon d'un cercle est la moitié du diamètre, et cette règle peut être utile dans la vie de tous les jours. Par exemple, dans le cas de la préparation d'une tarte sous forme coulissante.

Pour éviter que le produit culinaire ne se salit, il est nécessaire d'utiliser un emballage décoratif. Comment découper un cercle de papier de la taille appropriée ?

Ceux qui connaissent un peu les mathématiques comprennent que dans ce cas il faut multiplier le nombre π par deux fois le rayon de la forme utilisée. Par exemple, le diamètre de la forme est respectivement de 20 centimètres et son rayon est de 10 centimètres. Selon ces paramètres il y a taille requise cercle : 2*10*3, 14 = 62,8 centimètres.

Des méthodes de calcul pratiques

S'il n'est pas possible de trouver la circonférence à l'aide de la formule, vous devez alors utiliser les méthodes disponibles pour calculer cette valeur :

• À petites tailles d'un objet rond, sa longueur peut être trouvée à l'aide d'une corde enroulée une fois autour de lui.
• La taille d'un gros objet est mesurée comme suit : une corde est disposée sur une surface plane et un cercle est enroulé une fois le long de celle-ci.
• Les étudiants et écoliers modernes utilisent des calculatrices pour les calculs. En ligne, vous pouvez découvrir des quantités inconnues en utilisant des paramètres connus.

Objets ronds dans l'histoire de la vie humaine

Le premier produit de forme ronde inventé par l’homme était la roue. Les premières structures étaient de petites bûches rondes montées sur un essieu. Viennent ensuite les roues constituées de rayons et de jantes en bois. Progressivement, des pièces métalliques ont été ajoutées au produit pour réduire l'usure. C'est pour connaître la longueur des bandes métalliques destinées au revêtement des roues que les scientifiques des siècles passés cherchaient une formule permettant de calculer cette valeur.

Un tour de potier a la forme d'un tour, la plupart des pièces dans des mécanismes complexes, des conceptions de moulins à eau et des rouets. Les objets ronds se trouvent souvent dans la construction - les cadres de fenêtres rondes en style roman style architectural, hublots dans les navires. Architectes, ingénieurs, scientifiques, mécaniciens et designers au quotidien dans leur domaine activité professionnelle sont confrontés à la nécessité de calculer la taille d’un cercle.

De nombreux objets dans le monde qui nous entoure ont une forme ronde. Ce sont des roues, des ouvertures de fenêtres rondes, des tuyaux, des plats divers et bien plus encore. Calculer à quoi cela équivaut circonférence, vous pouvez, connaissant son diamètre ou son rayon.

Il existe plusieurs définitions de cette figure géométrique.

• Il s'agit d'une courbe fermée constituée de points situés à la même distance d'un point donné.
• Il s'agit d'une courbe composée des points A et B, qui sont les extrémités du segment, et de tous les points à partir desquels A et B sont visibles à angle droit. Dans ce cas, le segment AB est le diamètre.
• Pour un même segment AB, cette courbe inclut tous les points C tels que le rapport AC/BC soit constant et non égal à 1.
• Il s'agit d'une courbe constituée de points pour laquelle ce qui suit est vrai : si l'on additionne les carrés des distances d'un point à deux autres points A et B donnés, on obtient un nombre constant supérieur à la moitié du segment reliant A et B. Cette définition est dérivée du théorème de Pythagore.

Note! Il existe d'autres définitions. Un cercle est une zone à l'intérieur d'un cercle. Le périmètre d'un cercle est sa longueur. Selon différentes définitions, un cercle peut inclure ou non la courbe elle-même, qui en est la limite.

Définition d'un cercle

Formules

Comment calculer la circonférence d'un cercle à l'aide du rayon ? Cela se fait à l'aide d'une formule simple :

où L est la valeur souhaitée,

π est le nombre pi, approximativement égal à 3,1413926.

Habituellement, pour trouver la valeur requise, il suffit d'utiliser π jusqu'au deuxième chiffre, c'est-à-dire 3,14, cela fournira la précision requise. Sur les calculatrices, notamment celles d'ingénierie, il peut y avoir un bouton qui saisit automatiquement la valeur du nombre π.

Désignations

Pour trouver le diamètre il y a la formule suivante :

Si L est déjà connu, le rayon ou le diamètre peut être facilement trouvé. Pour ce faire, L doit être divisé par 2π ou π, respectivement.

Si un cercle a déjà été donné, vous devez comprendre comment trouver la circonférence à partir de ces données. L'aire du cercle est S = πR2. De là on trouve le rayon : R = √(S/π). Alors

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Calculer l’aire en termes de L est également simple : S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

Pour résumer, on peut dire qu'il existe trois formules de base :

• à travers le rayon – L = 2πR ;
• diamètre traversant – L = πD ;
• à travers l'aire du cercle – L = 2√(Sπ).

Pi

Sans le nombre π, il ne sera pas possible de résoudre le problème considéré. Le nombre π a été trouvé pour la première fois comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Cela a été fait par les anciens Babyloniens, Égyptiens et Indiens. Ils l'ont trouvé avec assez de précision - leurs résultats ne différaient pas de plus de 1 % de la valeur actuellement connue de π. La constante a été approximée par des fractions telles que 25/8, 256/81, 339/108.

De plus, la valeur de cette constante a été calculée non seulement du point de vue géométrique, mais aussi du point de vue analyse mathematique par des sommes de séries. La désignation de cette constante par la lettre grecque π a été utilisée pour la première fois par William Jones en 1706, et elle est devenue populaire après les travaux d'Euler.

On sait maintenant que cette constante est une constante infinie et non périodique. décimal, il est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas être représenté comme un rapport de deux nombres entiers. Grâce à des calculs sur ordinateur, le 10 billionième signe de la constante a été découvert en 2011.

C'est intéressant! Diverses règles mnémotechniques ont été inventées pour mémoriser les premiers chiffres du nombre π. Certains permettent de stocker en mémoire grand nombre nombres, par exemple, un poème français vous aidera à mémoriser pi jusqu'au 126ème chiffre.

Si vous avez besoin de la circonférence, un calculateur en ligne vous y aidera. Il existe de nombreux calculateurs de ce type ; il vous suffit de saisir le rayon ou le diamètre. Certains d'entre eux ont ces deux options, d'autres calculent le résultat uniquement via R. Certaines calculatrices peuvent calculer la valeur souhaitée avec une précision différente, vous devez spécifier le nombre de décimales. Vous pouvez également calculer l'aire d'un cercle à l'aide de calculatrices en ligne.

De telles calculatrices sont faciles à trouver avec n’importe quel moteur de recherche. Il y a aussi Applications mobiles, ce qui aidera à résoudre le problème de savoir comment trouver la circonférence d'un cercle.

Vidéo utile : circonférence

Utilisation pratique

Résoudre un tel problème est le plus souvent nécessaire pour les ingénieurs et les architectes, mais dans la vie de tous les jours, la connaissance des formules nécessaires peut également être utile. Par exemple, il faut enrouler une bande de papier autour d'un gâteau cuit dans un moule d'un diamètre de 20 cm. Il ne sera alors pas difficile de trouver la longueur de cette bande :

L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 cm.

Autre exemple : il faut construire une clôture autour d'une piscine ronde à une certaine distance. Si le rayon de la piscine est de 10 m et que la clôture doit être placée à une distance de 3 m, alors R pour le cercle obtenu sera de 13 m. Sa longueur est alors :

L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 m.

Vidéo utile : cercle - rayon, diamètre, circonférence

Conclusion

Le périmètre d'un cercle peut être facilement calculé par formules simples, y compris le diamètre ou le rayon. Vous pouvez également trouver la quantité souhaitée grâce à l'aire d'un cercle. Des calculateurs en ligne ou des applications mobiles, dans lesquels vous devez saisir un seul nombre - diamètre ou rayon, vous aideront à résoudre ce problème.

Et en quoi est-ce différent d’un cercle ? Prenez un stylo ou des couleurs et dessinez un cercle régulier sur une feuille de papier. Peignez tout le milieu de la figure obtenue avec un crayon bleu. Le contour rouge indiquant les limites de la forme est un cercle. Mais le contenu bleu à l’intérieur est le cercle.

Les dimensions d'un cercle et d'un cercle sont déterminées par le diamètre. Sur la ligne rouge indiquant le cercle, marquez deux points pour qu'ils soient image miroir l'un l'autre. Connectez-les avec une ligne. Le segment passera certainement par le point situé au centre du cercle. Ce segment reliant les parties opposées d’un cercle est appelé diamètre en géométrie.

Un segment qui ne passe pas par le centre du cercle, mais le rejoint aux extrémités opposées, est appelé une corde. Par conséquent, la corde passant par le centre du cercle est son diamètre.

Le diamètre est désigné par la lettre latine D. Vous pouvez trouver le diamètre d'un cercle en utilisant des valeurs telles que l'aire, la longueur et le rayon du cercle.

La distance entre le point central et le point tracé sur le cercle est appelée rayon et est désignée par la lettre R. Connaître la valeur du rayon permet de calculer le diamètre du cercle en une seule étape simple :

Par exemple, le rayon est de 7 cm. Nous multiplions 7 cm par 2 et obtenons une valeur égale à 14 cm Réponse : D du chiffre donné est 14 cm.

Parfois, vous devez déterminer le diamètre d'un cercle uniquement par sa longueur. Ici, il est nécessaire d'appliquer une formule spéciale pour aider à déterminer la formule L = 2 Pi * R, où 2 est une valeur constante (constante) et Pi = 3,14. Et comme on sait que R = D * 2, la formule peut être présentée d'une autre manière

Cette expression est également applicable comme formule pour le diamètre d'un cercle. En remplaçant les quantités connues dans le problème, nous résolvons l'équation à une inconnue. Disons que la longueur est de 7 m. Donc :

Réponse : le diamètre est de 21,98 mètres.

Si l’aire est connue, le diamètre du cercle peut également être déterminé. La formule utilisée dans dans ce cas, Ressemble à ça:

D = 2 * (S/Pi) * (1/2)

S - dans ce cas, disons que dans le problème, c'est égal à 30 mètres carrés. m. On obtient :

D = 2 * (30/3, 14) * (1/2) D = 9, 55414

Lorsque la valeur indiquée dans le problème est égale au volume (V) de la balle, la formule suivante pour trouver le diamètre est appliquée : D = (6 V / Pi) * 1 / 3.

Parfois, il faut trouver le diamètre d'un cercle inscrit dans un triangle. Pour ce faire, utilisez la formule pour trouver le rayon du cercle représenté :

R = S/p (S est l'aire du triangle donné et p est le périmètre divisé par 2).

On double le résultat obtenu en tenant compte du fait que D = 2 * R.

Il faut souvent trouver le diamètre d'un cercle dans la vie de tous les jours. Par exemple, pour déterminer ce qui équivaut à son diamètre. Pour ce faire, vous devez envelopper le doigt du propriétaire potentiel de la bague avec du fil. Marquez les points de contact des deux extrémités. Mesurez la longueur d'un point à l'autre avec une règle. Nous multiplions la valeur obtenue par 3,14, en suivant la formule pour déterminer le diamètre avec une longueur connue. Ainsi, l’affirmation selon laquelle la connaissance de la géométrie et de l’algèbre n’est pas utile dans la vie n’est pas toujours vraie. Et c’est une raison sérieuse pour prendre les matières scolaires de manière plus responsable.

Ainsi, la circonférence ( C) peut être calculé en multipliant la constante π par diamètre ( D), ou en multipliant π par deux fois le rayon, puisque le diamètre est égal à deux rayons. Ainsi, formule de circonférence ressemblera à ceci :

C = πD = 2πR

Où C- circonférence, π - constante, D- diamètre du cercle, R.- rayon du cercle.

Puisqu’un cercle est la limite d’un cercle, la circonférence d’un cercle peut également être appelée longueur d’un cercle ou périmètre d’un cercle.

Problèmes de circonférence

Tache 1. Trouvez la circonférence d'un cercle si son diamètre est de 5 cm.

Puisque la circonférence est égale à π multiplié par le diamètre, alors la longueur d'un cercle d'un diamètre de 5 cm sera égale à :

C≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)

Tâche 2. Trouvez la longueur d'un cercle dont le rayon est de 3,5 m.

Tout d’abord, trouvez le diamètre du cercle en multipliant la longueur du rayon par 2 :

D= 3,5 2 = 7 (m)

Trouvons maintenant la circonférence en multipliant π par diamètre :

C≈ 3,14 7 = 21,98 (m)

Tâche 3. Trouvez le rayon d'un cercle dont la longueur est de 7,85 m.

Pour trouver le rayon d'un cercle en fonction de sa longueur, vous devez diviser la circonférence par 2 π

Aire d'un cercle

L'aire d'un cercle est égale au produit du nombre π par rayon carré. Formule pour trouver l'aire d'un cercle:

S = πr 2

Où S est l'aire du cercle, et r- rayon du cercle.

Puisque le diamètre d'un cercle est égal à deux fois le rayon, alors le rayon égal au diamètre, divisé par 2 :

Problèmes impliquant l'aire d'un cercle

Tache 1. Trouvez l'aire d'un cercle si son rayon est de 2 cm.

Puisque l'aire d'un cercle est π multiplié par le rayon au carré, alors l'aire d'un cercle de rayon 2 cm sera égale à :

S≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (cm 2)

Tâche 2. Trouvez l'aire d'un cercle si son diamètre est de 7 cm.

Tout d’abord, trouvez le rayon du cercle en divisant son diamètre par 2 :

7:2=3,5(cm)

Calculons maintenant l'aire du cercle à l'aide de la formule :

S = πr 2 ≈ 3,14 3,5 2 = 3,14 12,25 = 38,465 (cm2)

Cette tâche peut être résolu d’une autre manière. Au lieu de trouver d'abord le rayon, vous pouvez utiliser la formule pour trouver l'aire d'un cercle en utilisant le diamètre :

Tâche 3. Trouvez le rayon du cercle si son aire est de 12,56 m2.

Pour trouver le rayon d'un cercle par son aire, vous devez diviser l'aire du cercle π , puis extraire du résultat obtenu Racine carrée:

r = √S : π

donc le rayon sera égal à :

r≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (m)

Nombre π

La circonférence des objets qui nous entourent peut être mesurée à l'aide d'un ruban à mesurer ou d'une corde (fil), dont la longueur peut ensuite être mesurée séparément. Mais dans certains cas, mesurer la circonférence est difficile, voire presque impossible, par exemple la circonférence intérieure d'une bouteille ou simplement la circonférence d'un cercle dessiné sur papier. Dans de tels cas, vous pouvez calculer la circonférence d’un cercle si vous connaissez la longueur de son diamètre ou de son rayon.

Pour comprendre comment cela peut être fait, prenons plusieurs objets ronds dont la circonférence et le diamètre peuvent être mesurés. Calculons le rapport longueur/diamètre et nous obtenons la série de nombres suivante :

De là, nous pouvons conclure que le rapport entre la longueur d'un cercle et son diamètre est une valeur constante pour chaque cercle individuel et pour tous les cercles dans leur ensemble. Cette relation est désignée par la lettre π .

Grâce à ces connaissances, vous pouvez utiliser le rayon ou le diamètre d’un cercle pour trouver sa longueur. Par exemple, pour calculer la longueur d'un cercle d'un rayon de 3 cm, vous devez multiplier le rayon par 2 (c'est ainsi que nous obtenons le diamètre) et multiplier le diamètre obtenu par π . En conséquence, en utilisant le numéro π Nous avons appris que la longueur d'un cercle de rayon 3 cm est de 18,84 cm.