Le théorème de Vieta est souvent utilisé pour vérifier les racines déjà trouvées. Si vous avez trouvé les racines, vous pouvez utiliser les formules \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) pour calculer les valeurs de \(p \) et \(q\ ). Et s’ils s’avèrent être les mêmes que dans l’équation originale, alors les racines sont trouvées correctement.

Par exemple, en utilisant , résolvons l'équation \(x^2+x-56=0\) et obtenons les racines : \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Vérifions si nous avons commis une erreur dans le processus de résolution. Dans notre cas, \(p=1\), et \(q=-56\). D'après le théorème de Vieta, nous avons :

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Les deux affirmations ont convergé, ce qui signifie que nous avons résolu l’équation correctement.

Cette vérification peut être effectuée oralement. Cela prendra 5 secondes et vous évitera des erreurs stupides.

Théorème inverse de Vieta

Si \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), alors \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de l'équation quadratique \ (x^ 2+px+q=0\).

Ou de manière simple : si vous avez une équation de la forme \(x^2+px+q=0\), alors résoudre le système \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) vous trouverez ses racines.

Grâce à ce théorème, on peut trouver rapidement les racines équation quadratique, surtout si ces racines le sont . Cette compétence est importante car elle permet de gagner beaucoup de temps.

Exemple . Résolvez l'équation \(x^2-5x+6=0\).

Solution : En utilisant le théorème inverse de Vieta, nous constatons que les racines satisfont aux conditions : \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Regardez la deuxième équation du système \(x_1 \cdot x_2=6\). En quels deux le nombre \(6\) peut-il être décomposé ? Sur \(2\) et \(3\), \(6\) et \(1\) ou \(-2\) et \(-3\), et \(-6\) et \(- 1\). La première équation du système vous indiquera quelle paire choisir : \(x_1+x_2=5\). \(2\) et \(3\) sont similaires, puisque \(2+3=5\).
Répondre : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exemples . En utilisant l'inverse du théorème de Vieta, trouvez les racines de l'équation quadratique :
une) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Solution :
a) \(x^2-15x+14=0\) – en quels facteurs \(14\) se décompose-t-il ? \(2\) et \(7\), \(-2\) et \(-7\), \(-1\) et \(-14\), \(1\) et \(14\ ). Quelles paires de nombres totalisent \(15\) ? Réponse : \(1\) et \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – en quels facteurs \(-4\) se décompose-t-il ? \(-2\) et \(2\), \(4\) et \(-1\), \(1\) et \(-4\). Quelles paires de nombres totalisent \(-3\) ? Réponse : \(1\) et \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – en quels facteurs \(20\) se décompose-t-il ? \(4\) et \(5\), \(-4\) et \(-5\), \(2\) et \(10\), \(-2\) et \(-10\ ), \(-20\) et \(-1\), \(20\) et \(1\). Quelles paires de nombres totalisent \(-9\) ? Réponse : \(-4\) et \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – en quels facteurs \(780\) se décompose-t-il ? \(390\) et \(2\). Vont-ils totaliser \(88\) ? Non. Quels autres multiplicateurs possède \(780\) ? \(78\) et \(10\). Vont-ils totaliser \(88\) ? Oui. Réponse : \(78\) et \(10\).

Il n’est pas nécessaire d’étendre le dernier terme à tous les facteurs possibles (comme dans le dernier exemple). Vous pouvez immédiatement vérifier si leur somme donne \(-p\).

Important! Le théorème de Vieta et le théorème inverse ne fonctionnent qu'avec , c'est-à-dire celui pour lequel le coefficient de \(x^2\) est égal à un. Si on nous donnait initialement une équation non réduite, alors nous pouvons la réduire en divisant simplement par le coefficient devant \(x^2\).

Par exemple, donnons l’équation \(2x^2-4x-6=0\) et nous voulons utiliser l’un des théorèmes de Vieta. Mais nous ne pouvons pas, puisque le coefficient de \(x^2\) est égal à \(2\). Débarrassons-nous-en en divisant l'équation entière par \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Prêt. Vous pouvez maintenant utiliser les deux théorèmes.

Réponses aux questions fréquemment posées

Question: En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez résoudre n'importe quel ?
Répondre: Malheureusement non. Si l’équation ne contient pas d’entiers ou si l’équation n’a aucune racine, alors le théorème de Vieta ne sera d’aucune aide. Dans ce cas, vous devez utiliser discriminant . Heureusement, 80 % des équations de cours scolaire les mathématiques ont des solutions entières.

Toute équation quadratique complète hache 2 + bx + c = 0 peut être rappelé x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, si vous divisez d'abord chaque terme par le coefficient a avant x2. Et si on introduit de nouvelles notations (b/a) = p Et (c/a) = q, alors nous aurons l'équation x 2 + px + q = 0, qui en mathématiques s'appelle équation quadratique donnée.

Racines de l'équation quadratique réduite et coefficients p Et q connectés les uns aux autres. C'est confirmé Théorème de Vieta, du nom du mathématicien français François Vieta, qui vivait à fin XVIe siècle.

Théorème. Somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0égal au deuxième coefficient p, pris à partir de signe opposé, et le produit des racines est le terme libre q.

Écrivons ces relations sous la forme suivante :

Laisser x1 Et x2 différentes racines de l'équation donnée x 2 + px + q = 0. D'après le théorème de Vieta x1 + x2 = -p Et x 1 x 2 = q.

Pour le prouver, substituons chacune des racines x 1 et x 2 dans l'équation. On obtient deux vraies égalités :

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Soustrayons la seconde de la première égalité. On a:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Nous développons les deux premiers termes en utilisant la formule de la différence des carrés :

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Par condition, les racines x 1 et x 2 sont différentes. Par conséquent, nous pouvons réduire l’égalité à (x 1 – x 2) ≠ 0 et exprimer p.

(x 1 + x 2) + p = 0 ;

(x 1 + x 2) = -p.

La première égalité est prouvée.

Pour prouver la deuxième égalité, on substitue dans la première équation

x 1 2 + px 1 + q = 0 au lieu du coefficient p, un nombre égal est (x 1 + x 2) :

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Transformer côté gaucheéquations, on obtient :

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0 ;

x 1 x 2 = q, c'est ce qu'il fallait prouver.

Le théorème de Vieta est bon parce que Même sans connaître les racines d'une équation quadratique, on peut calculer leur somme et leur produit .

Le théorème de Vieta aide à déterminer les racines entières d'une équation quadratique donnée. Mais pour de nombreux étudiants, cela pose des difficultés du fait qu'ils ne connaissent pas un algorithme d'action clair, surtout si les racines de l'équation ont des signes différents.

Ainsi, l'équation quadratique ci-dessus a la forme x 2 + px + q = 0, où x 1 et x 2 sont ses racines. D'après le théorème de Vieta, x 1 + x 2 = -p et x 1 · x 2 = q.

On peut tirer la conclusion suivante.

Si le dernier terme de l'équation est précédé d'un signe moins, alors les racines x 1 et x 2 ont des signes différents. De plus, le signe de la racine la plus petite coïncide avec le signe du deuxième coefficient de l’équation.

Basé sur le fait que lors de l'addition de nombres avec différents signes leurs modules sont soustraits, et le signe de la plus grande valeur absolue du nombre est placé devant le résultat obtenu, il faut procéder comme suit :

1. déterminer les facteurs du nombre q tels que leur différence soit égale au nombre p ;
2. placez le signe du deuxième coefficient de l'équation devant le plus petit des nombres résultants ; la deuxième racine aura le signe opposé.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1.

Résolvez l'équation x 2 – 2x – 15 = 0.

Solution.

Essayons de résoudre cette équation en utilisant les règles proposées ci-dessus. On peut alors dire avec certitude que cette équation aura deux racines différentes, car D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Maintenant, parmi tous les facteurs du nombre 15 (1 et 15, 3 et 5), on sélectionne ceux dont la différence est 2. Ce seront les nombres 3 et 5. On met un signe moins devant le plus petit nombre, c'est-à-dire signe du deuxième coefficient de l'équation. Ainsi, on obtient les racines de l'équation x 1 = -3 et x 2 = 5.

Répondre. x 1 = -3 et x 2 = 5.

Exemple 2.

Résolvez l'équation x 2 + 5x – 6 = 0.

Solution.

Vérifions si cette équation a des racines. Pour ce faire, on trouve un discriminant :

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. L'équation a deux racines différentes.

Les facteurs possibles du nombre 6 sont 2 et 3, 6 et 1. La différence est de 5 pour la paire 6 et 1. Dans cet exemple, le coefficient du deuxième terme a un signe plus, donc le plus petit nombre aura le même signe . Mais avant le deuxième chiffre, il y aura un signe moins.

Réponse : x 1 = -6 et x 2 = 1.

Le théorème de Vieta peut également être écrit pour une équation quadratique complète. Donc, si l'équation quadratique hache 2 + bx + c = 0 a des racines x 1 et x 2, alors les égalités sont valables pour eux

x 1 + x 2 = -(b/a) Et x 1 x 2 = (c/a). Cependant, l’application de ce théorème dans une équation quadratique complète est assez problématique, car s’il y a des racines, au moins l’une d’elles est un nombre fractionnaire. Et travailler avec la sélection de fractions est assez difficile. Mais il existe encore une issue.

Considérons l'équation quadratique complète ax 2 + bx + c = 0. Multipliez ses côtés gauche et droit par le coefficient a. L'équation prendra la forme (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Introduisons maintenant une nouvelle variable, par exemple t = ax.

Dans ce cas, l'équation résultante se transformera en une équation quadratique réduite de la forme t 2 + bt + ac = 0, dont les racines t 1 et t 2 (le cas échéant) peuvent être déterminées par le théorème de Vieta.

Dans ce cas, les racines de l’équation quadratique originale seront

x 1 = (t 1 / a) et x 2 = (t 2 / a).

Exemple 3.

Résolvez l'équation 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Solution.

Créons une équation auxiliaire. Multiplions chaque terme de l'équation par 15 :

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

On fait le remplacement t = 15x. Nous avons:

t2 – 11t + 30 = 0.

Selon le théorème de Vieta, les racines de cette équation seront t 1 = 5 et t 2 = 6.

On revient au remplacement t = 15x :

5 = 15x ou 6 = 15x. Donc x 1 = 5/15 et x 2 = 6/15. On réduit et obtenons la réponse finale : x 1 = 1/3 et x 2 = 2/5.

Répondre. x1 = 1/3 et x2 = 2/5.

Pour maîtriser la résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta, les étudiants doivent s'entraîner autant que possible. C’est précisément le secret du succès.

site Web, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source originale est requis.

L'une des méthodes pour résoudre une équation quadratique consiste à utiliser Les formules VIET, qui porte le nom de FRANCOIS VIETTE.

C'était un célèbre avocat qui fut au service du roi de France au XVIe siècle. DANS temps libreétudié l'astronomie et les mathématiques. Il a établi un lien entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique.

Avantages de la formule :

1 . En appliquant la formule, vous pouvez rapidement trouver une solution. Parce qu'il n'est pas nécessaire d'entrer le deuxième coefficient dans le carré, puis d'en soustraire 4ac, de trouver le discriminant et de substituer sa valeur dans la formule pour trouver les racines.

2 . Sans solution, vous pouvez déterminer les signes des racines et sélectionner les valeurs des racines.

3 . Après avoir résolu un système à deux enregistrements, il n'est pas difficile de trouver les racines elles-mêmes. Dans l’équation quadratique ci-dessus, la somme des racines est égale à la valeur du deuxième coefficient avec un signe moins. Le produit des racines dans l’équation quadratique ci-dessus est égal à la valeur du troisième coefficient.

4 . À l'aide de ces racines, écrivez une équation quadratique, c'est-à-dire résolvez le problème inverse. Par exemple, cette méthode est utilisée pour résoudre des problèmes de mécanique théorique.

5 . Il est pratique d'utiliser la formule lorsque le coefficient dominant est égal à un.

Défauts:

1 . La formule n'est pas universelle.

Théorème de Vieta 8e année

Formule
Si x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0, alors :

Exemples
x1 = -1 ; x 2 = 3 - racines de l'équation x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Théorème inverse

Formule
Si les nombres x 1, x 2, p, q sont liés par les conditions :

Alors x 1 et x 2 sont les racines de l'équation x 2 + px + q = 0.

Exemple
Créons une équation quadratique en utilisant ses racines :

X1 = 2 - ? 3 et x 2 = 2 + ? 3.

P = x1 + x2 = 4 ; p = -4 ; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

L'équation recherchée a la forme : x 2 - 4x + 1 = 0.

Avec ce programme de mathématiques, vous pouvez résoudre une équation quadratique.

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de solution de deux manières :
- utiliser un discriminant
- en utilisant le théorème de Vieta (si possible).

De plus, la réponse est affichée comme étant exacte et non approximative.
Par exemple, pour l'équation \(81x^2-16x-1=0\), la réponse s'affiche sous la forme suivante :

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ et pas comme ça : \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ce programme peut être utile pour les lycéens écoles secondaires en préparation pour essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou votre propre formation. frères plus jeunes ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie d'un polynôme quadratique, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme quadratique

N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.
Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.
De plus, nombres fractionnaires peut être saisi non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.

Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

En entrant fraction numérique Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Partie entière est séparé de la fraction par une esperluette : &
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Lors de la saisie d'une expression tu peux utiliser des parenthèses. Dans ce cas, lors de la résolution d'une équation quadratique, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2(a-1)(a+1)-(5a-10&1/2)

=0

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Un peu de théorie.

Équation quadratique et ses racines. Équations quadratiques incomplètes

Chacune des équations
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ressemble à
\(ax^2+bx+c=0, \)
où x est une variable, a, b et c sont des nombres.
Dans la première équation a = -1, b = 6 et c = 1,4, dans la seconde a = 8, b = -7 et c = 0, dans la troisième a = 1, b = 0 et c = 4/9. De telles équations sont appelées équations du second degré.

Définition.
Équation quadratique est appelée une équation de la forme ax 2 +bx+c=0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \).

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique. Le nombre a est appelé premier coefficient, le nombre b est le deuxième coefficient et le nombre c est le terme libre.

Dans chacune des équations de la forme ax 2 +bx+c=0, où \(a \neq 0 \), la plus grande puissance de la variable x est un carré. D'où le nom : équation quadratique.

Notez qu'une équation quadratique est aussi appelée équation du deuxième degré, puisque son côté gauche est un polynôme du deuxième degré.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient de x 2 est égal à 1 est appelée équation quadratique donnée. Par exemple, les équations quadratiques données sont les équations
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Si dans une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 au moins un des coefficients b ou c est égal à zéro, alors une telle équation est appelée équation quadratique incomplète. Ainsi, les équations -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sont des équations quadratiques incomplètes. Dans le premier d’entre eux b=0, dans le deuxième c=0, dans le troisième b=0 et c=0.

Il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes :
1) ax 2 +c=0, où \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, où \(b \neq 0 \);
3) hache 2 =0.

Considérons la résolution d'équations de chacun de ces types.

Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +c=0 pour \(c \neq 0 \), déplacez son terme libre vers la droite et divisez les deux côtés de l'équation par a :
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Puisque \(c \neq 0 \), alors \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Si \(-\frac(c)(a)>0\), alors l'équation a deux racines.

Si \(-\frac(c)(a) Résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 avec \(b \neq 0 \) factoriser son côté gauche et obtenir l'équation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Cela signifie qu'une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 pour \(b \neq 0 \) a toujours deux racines.

Une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0 et a donc une seule racine 0.

Formule pour les racines d'une équation quadratique

Voyons maintenant comment résoudre des équations quadratiques dans lesquelles les coefficients des inconnues et le terme libre sont non nuls.

Résolvons l'équation quadratique dans vue générale et nous obtenons ainsi la formule des racines. Cette formule peut ensuite être utilisée pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.

Résoudre l'équation quadratique axe 2 +bx+c=0

En divisant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation quadratique réduite équivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformons cette équation en sélectionnant le carré du binôme :
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

L'expression radicale s'appelle discriminant d'une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 (« discriminant » en latin - discriminateur). Il est désigné par la lettre D, c'est-à-dire
\(D = b^2-4ac\)

Maintenant, en utilisant la notation discriminante, nous réécrivons la formule des racines de l'équation quadratique :
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), où \(D= b^2-4ac \)

Il est évident que:
1) Si D>0, alors l'équation quadratique a deux racines.
2) Si D=0, alors l'équation quadratique a une racine \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Ainsi, selon la valeur du discriminant, une équation quadratique peut avoir deux racines (pour D > 0), une racine (pour D = 0) ou n'avoir aucune racine (pour D). Lors de la résolution d'une équation quadratique en utilisant ce formule, il est conseillé de procéder de la manière suivante :
1) calculer le discriminant et le comparer à zéro ;
2) si le discriminant est positif ou égal à zéro, alors utilisez la formule racine si le discriminant est négatif, notez qu'il n'y a pas de racines ;

Théorème de Vieta

L'équation quadratique donnée ax 2 -7x+10=0 a les racines 2 et 5. La somme des racines est 7 et le produit est 10. On voit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient pris avec l'opposé signe, et le produit des racines est égal au terme libre. Toute équation quadratique réduite ayant des racines possède cette propriété.

La somme des racines de l'équation quadratique réduite est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Ceux. Le théorème de Vieta stipule que les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 ont la propriété :
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec les curieuses relations entre les racines d'une équation quadratique et ses coefficients. Ces relations ont été découvertes pour la première fois par le mathématicien français François Viète (1540-1603).

Par exemple, pour l'équation 3x 2 - 8x - 6 = 0, sans trouver ses racines, on peut, en utilisant le théorème de Vieta, dire immédiatement que la somme des racines est égale à , et le produit des racines est égal à
c'est-à-dire - 2. Et pour l'équation x 2 - 6x + 8 = 0 nous concluons : la somme des racines est 6, le produit des racines est 8 ; À propos, il n'est pas difficile de deviner à quoi sont égales les racines : 4 et 2.
Preuve du théorème de Vieta. Les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0 sont trouvées par les formules

Où D = b 2 - 4ac est le discriminant de l'équation. Après avoir mis ces racines ensemble,
on a

Calculons maintenant le produit des racines x 1 et x 2. Nous avons

La deuxième relation a été prouvée :
Commentaire. Le théorème de Vieta est également valable dans le cas où l'équation quadratique a une racine (c'est-à-dire lorsque D = 0), on suppose simplement dans ce cas que l'équation a deux racines identiques, auxquelles s'appliquent les relations ci-dessus.
Les relations prouvées pour l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0 prennent une forme particulièrement simple. Dans ce cas, on obtient :

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
ceux. la somme des racines de l'équation quadratique réduite est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.
En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez obtenir d'autres relations entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique. Soit, par exemple, x 1 et x 2 les racines de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0. Alors

Cependant, l'objectif principal du théorème de Vieta n'est pas d'exprimer certaines relations entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique. Ce qui est bien plus important, c’est qu’en utilisant le théorème de Vieta, la formule de décomposition est dérivée trinôme quadratique en facteurs dont nous ne pourrons plus nous passer à l'avenir.

Preuve. Nous avons

Exemple 1. Factorisez le trinôme quadratique 3x 2 - 10x + 3.
Solution. Après avoir résolu l'équation 3x 2 - 10x + 3 = 0, nous trouvons les racines du trinôme carré 3x 2 - 10x + 3 : x 1 = 3, x2 = .
En utilisant le théorème 2, on obtient

Il est logique d'écrire 3x - 1 à la place. Nous obtenons finalement 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Notez qu'un trinôme quadratique donné peut être factorisé sans appliquer le théorème 2, en utilisant la méthode de regroupement :

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Mais comme vous pouvez le constater, avec cette méthode, le succès dépend de notre capacité à trouver ou non un groupement réussi, alors qu'avec la première méthode, le succès est garanti.
Exemple 1. Réduire la fraction

Solution. A partir de l'équation 2x 2 + 5x + 2 = 0 on trouve x 1 = - 2,

A partir de l'équation x2 - 4x - 12 = 0 nous trouvons x 1 = 6, x 2 = -2. C'est pourquoi
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Réduisons maintenant la fraction donnée :

Exemple 3. Factorisez les expressions :
une)x4 + 5x 2 +6 ; b)2x+-3
Solution. a) Introduisons une nouvelle variable y = x2. Cela vous permettra de réécrire l'expression donnée sous la forme d'un trinôme quadratique par rapport à la variable y, à savoir sous la forme y 2 + bу + 6.
Après avoir résolu l'équation y 2 + bу + 6 = 0, nous trouvons les racines du trinôme quadratique y 2 + 5у + 6 : y 1 = - 2, y 2 = -3. Utilisons maintenant le théorème 2 ; on a

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Il reste à rappeler que y = x 2, c'est-à-dire revenir à l'expression donnée. Donc,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Introduisons une nouvelle variable y = . Cela vous permettra de réécrire l'expression donnée sous la forme d'un trinôme quadratique par rapport à la variable y, à savoir sous la forme 2y 2 + y - 3. Après avoir résolu l'équation
2y 2 + y - 3 = 0, trouvez les racines du trinôme carré 2y 2 + y - 3 :
oui 1 = 1, oui 2 = . Ensuite, en utilisant le théorème 2, on obtient :

Il reste à rappeler que y = , c'est-à-dire revenir à l'expression donnée. Donc,

À la fin de la section - un raisonnement, encore une fois lié au théorème de Vieta, ou plutôt à l'énoncé inverse :
si les nombres x 1, x 2 sont tels que x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, alors ces nombres sont les racines de l'équation
En utilisant cette instruction, vous pouvez résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques, sans utiliser de formules de racines fastidieuses, et également composer des équations quadratiques avec des racines données. Donnons des exemples.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Ici x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Il est facile de deviner que x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Ici x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Il est facile de deviner que x 1 = -5, x 2 = -6.
Notez que si le terme fictif de l’équation est un nombre positif, alors les deux racines sont soit positives, soit négatives ; Ceci est important à considérer lors de la sélection des racines.

3) x 2 + x - 12 = 0. Ici x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Il est facile de deviner que x 1 = 3, x2 = -4.
Attention : si le terme libre de l'équation est un nombre négatif, alors les racines ont des signes différents ; Ceci est important à considérer lors de la sélection des racines.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Il est facile de voir que x = 1 satisfait l'équation, c'est-à-dire x 1 = 1 est la racine de l'équation. Puisque x 1 x 2 = -, et x 1 = 1, on obtient que x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Ici x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Si vous faites attention au fait que 2830 = 283. 10 et 293 = 283 + 10, alors il devient clair que x 1 = 283, x 2 = 10 (imaginez maintenant quels calculs devraient être effectués pour résoudre cette équation quadratique à l'aide de formules standard).

6) Composons une équation quadratique de sorte que ses racines soient les nombres x 1 = 8, x 2 = - 4. Habituellement, dans de tels cas, nous composons l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0.
Nous avons x 1 + x 2 = -p, donc 8 - 4 = -p, c'est-à-dire p = -4. De plus, x 1 x 2 = q, c'est-à-dire 8 «(-4) = q, d'où on obtient q = -32. Donc, p = -4, q = -32, ce qui signifie que l'équation quadratique requise a la forme x 2 -4x-32 = 0.