Comment résoudre l'inégalité de racine carrée. Comment résoudre les inégalités linéaires

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé "inégalité quadratique" ? Pas de question !) Si vous prenez n'importe lequeléquation quadratique et remplacez le signe dedans "=" (égal) à tout signe d'inégalité ( > ≥ < ≤ ≠ ), on obtient une inégalité quadratique. Par exemple:

1. x2-8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Eh bien, vous comprenez...)

Ce n’est pas pour rien que j’ai lié ici équations et inégalités. Le fait est que la première étape pour résoudre n'importe lequel inégalité quadratique - résoudre l’équation à partir de laquelle est faite cette inégalité. Pour cette raison - incapacité à décider équations du second degré conduit automatiquement à un échec complet des inégalités. L'indice est-il clair ?) Si quelque chose se produit, regardez comment résoudre les équations quadratiques. Tout y est décrit en détail. Et dans cette leçon, nous traiterons des inégalités.

L'inégalité prête à être résolue a la forme : gauche - trinôme quadratique hache 2 +bx+c, à droite - zéro. Le signe d'inégalité peut être absolument n'importe quoi. Les deux premiers exemples sont ici sont déjà prêts à prendre une décision. Le troisième exemple reste à préparer.

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Que devez-vous savoir sur les icônes d’inégalité ? Inégalités avec icône plus (> ), ou moins (< ) sont appelés strict. Avec des icônes plus ou égal (≥ ), inférieur ou égal (≤ ) sont appelés pas stricte. Icône inégal (≠ ) se démarque, mais vous devez également résoudre à tout moment des exemples avec cette icône. Et nous déciderons.)

L'icône elle-même n'a pas beaucoup d'influence sur le processus de résolution. Mais à la fin de la décision, au moment de choisir la réponse finale, la signification de l'icône apparaît dans toute sa force ! C’est ce que nous verrons ci-dessous dans des exemples. Il y a des blagues là-bas...

Les inégalités, comme les égalités, existent fidèle et infidèle. Ici, tout est simple, pas d'astuces. Disons 5 > 2 est une véritable inégalité. 5 < 2 - incorrect.

Cette préparation œuvre pour les inégalités toute sorte et simple jusqu'à l'horreur.) Il vous suffit d'effectuer correctement deux (seulement deux !) actions élémentaires. Ces actions sont familières à tout le monde. Mais, de manière caractéristique, les erreurs dans ces actions sont la principale erreur dans la résolution des inégalités, oui... Par conséquent, ces actions doivent être répétées. Ces actions sont appelées comme suit :

Transformations identiques des inégalités.

Les transformations identiques des inégalités sont très similaires aux transformations identiques des équations. En fait, c'est le principal problème. Les différences vous dépassent et... nous y sommes.) Je soulignerai donc particulièrement ces différences. Donc, première transformation identique des inégalités :

1. Le même nombre ou expression peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité. N'importe lequel. Cela ne changera pas le signe de l'inégalité.

En pratique, cette règle est utilisée comme un transfert de termes du côté gauche de l'inégalité vers la droite (et vice versa) avec un changement de signe. Avec un changement de signe du terme, pas l'inégalité ! La règle un-à-un est la même que celle des équations. Mais les transformations identiques suivantes dans les inégalités diffèrent considérablement de celles dans les équations. Je les surligne donc en rouge :

2. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosepositifnombre. Pour toutepositif Ne changera pas.

3. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosenégatif nombre. Pour toutenégatifnombre. Le signe d'inégalité de cecichangera à l’opposé.

Vous vous souvenez (j'espère...) que l'équation peut être multipliée/divisée par n'importe quoi. Et pour n’importe quel nombre, et pour une expression avec un X. Si seulement ce n'était pas zéro. Cela fait de lui, l'équation, ni chaud ni froid.) Cela ne change pas. Mais les inégalités sont plus sensibles à la multiplication/division.

Un bon exemple pour la longue mémoire. Écrivons une inégalité qui ne fait pas de doute :

5 > 2

Multipliez les deux côtés par +3, on a:

15 > 6

Des objections? Il n'y a pas d'objections.) Et si nous multiplions les deux côtés de l'inégalité initiale par -3, on a:

15 > -6

Et c'est un mensonge pur et simple.) Des mensonges complets ! Tromperie du peuple ! Mais dès que l'on change le signe de l'inégalité par le signe opposé, tout se met en place :

15 < -6

Je ne jure pas seulement sur les mensonges et la tromperie.) "J'ai oublié de changer le signe égal..."- Ce maison erreur dans la résolution des inégalités. Cette règle triviale et simple a fait du mal à tant de gens ! Ce qu'ils ont oublié...) Alors je le jure. Peut-être que je m'en souviendrai...)

Les personnes particulièrement attentives remarqueront que les inégalités ne peuvent pas être multipliées par une expression avec un X. Respect à ceux qui sont attentifs !) Pourquoi pas ? La réponse est simple. On ne connaît pas le signe de cette expression avec un X. Cela peut être positif, négatif... On ne sait donc pas quel signe d'inégalité mettre après la multiplication. Dois-je le changer ou pas ? Inconnu. Bien entendu, cette restriction (l’interdiction de multiplier/diviser une inégalité par une expression avec un x) peut être contournée. Si vous en avez vraiment besoin. Mais c'est un sujet pour d'autres leçons.

Ce sont toutes des transformations identiques des inégalités. Permettez-moi de vous rappeler encore une fois qu'ils travaillent pour n'importe lequel inégalités Vous pouvez maintenant passer à des types spécifiques.

Inégalités linéaires. Solution, exemples.

Les inégalités linéaires sont des inégalités dans lesquelles x est à la première puissance et il n'y a pas de division par x. Taper:

x+3 > 5x-5

Comment ces inégalités sont-elles résolues ? Ils sont très faciles à résoudre ! A savoir : avec l'aide de nous réduisons l'inégalité linéaire la plus déroutante directement à la réponse. C'est la solution. Je soulignerai les principaux points de la décision. Pour éviter des erreurs stupides.)

Résolvons cette inégalité :

x+3 > 5x-5

Nous le résolvons exactement de la même manière qu’une équation linéaire. Avec la seule différence :

Nous surveillons attentivement le signe d'inégalité !

La première étape est la plus courante. Avec des X - à gauche, sans X - à droite... C'est la première transformation identique, simple et sans problème.) N'oubliez pas de changer les signes des termes transférés.

Le signe de l'inégalité reste :

x-5x > -5-3

En voici des similaires.

Le signe de l'inégalité reste :

4x > -8

Il reste à appliquer la dernière transformation identique : diviser les deux côtés par -4.

Diviser par négatif nombre.

Le signe de l'inégalité changera à l'opposé :

X < 2

C'est la réponse.

C’est ainsi que toutes les inégalités linéaires sont résolues.

Attention! Le point 2 est dessiné en blanc, c'est-à-dire non peint. Vide à l'intérieur. Cela signifie qu'elle n'est pas incluse dans la réponse ! Je l'ai dessinée exprès en si bonne santé. Un tel point (vide, pas sain !)) en mathématiques s'appelle point percé.

Les nombres restants sur l’axe peuvent être marqués, mais ce n’est pas nécessaire. Les nombres superflus qui ne sont pas liés à nos inégalités peuvent prêter à confusion, oui... Il faut juste se rappeler que les nombres augmentent dans le sens de la flèche, c'est-à-dire numéros 3, 4, 5, etc. sont À droite sont des deux et les nombres sont 1, 0, -1, etc. - À gauche.

Inégalité x < 2 - strict. X est strictement inférieur à deux. En cas de doute, la vérification est simple. Nous substituons le nombre douteux à l'inégalité et pensons : « Deux est inférieur à deux ? Non, bien sûr ! Exactement. Inégalité 2 < 2 Incorrect. Un deux en retour n'est pas approprié.

Est-ce que ça va ? Certainement. Moins... Et zéro est bon, et -17, et 0,34... Oui, tous les nombres inférieurs à deux sont bons ! Et même 1,9999.... Au moins un peu, mais moins !

Marquons donc tous ces nombres sur l’axe des nombres. Comment? Il y a des options ici. Première option - ombrage. Nous déplaçons la souris sur l'image (ou touchons l'image sur la tablette) et voyons que la zone de tous les x qui remplissent la condition x est ombrée < 2 . C'est tout.

Examinons la deuxième option en utilisant le deuxième exemple :

X ≥ -0,5

Dessinez un axe et marquez le nombre -0,5. Comme ça:

Remarquez la différence ?) Eh bien oui, c'est difficile de ne pas le remarquer... Ce point est noir ! Peint. Cela signifie -0,5 est inclus dans la réponse. Soit dit en passant, la vérification peut dérouter quelqu'un. Remplaçons :

-0,5 ≥ -0,5

Comment ça? -0,5 n'est pas plus de -0,5 ! Et il y a plus d'icônes...

C'est bon. Dans une inégalité faible, tout ce qui correspond à l'icône convient. ET équivaut à bon et plus bien. Par conséquent, -0,5 est inclus dans la réponse.

Nous avons donc marqué -0,5 sur l'axe ; il reste à marquer tous les nombres supérieurs à -0,5. Cette fois, je marque la zone valeurs appropriées X arc(du mot arc), plutôt que d’ombrager. Nous passons le curseur sur le dessin et voyons cet arc.

Il n'y a pas de différence particulière entre l'ombrage et les bras. Faites ce que dit le professeur. S'il n'y a pas de professeur, dessinez des arcs. En plus tâches difficiles l'ombrage est moins évident. Vous pouvez être confus.

C'est ainsi que les inégalités linéaires sont tracées sur un axe. Passons à la caractéristique suivante des inégalités.

Écrire la réponse aux inégalités.

Les équations étaient bonnes.) Nous avons trouvé x et noté la réponse, par exemple : x=3. Il existe deux formes d’écriture des réponses sur les inégalités. L’une est sous la forme d’une inégalité finale. Bon pour les cas simples. Par exemple:

X< 2.

C'est une réponse complète.

Parfois, vous devez écrire la même chose, mais sous une forme différente, à intervalles numériques. Ensuite, l’enregistrement commence à paraître très scientifique) :

x ∈ (-∞; 2)

Sous l'icône ∈ le mot est caché "fait parti".

L'entrée se lit comme ceci : x appartient à l'intervalle de moins l'infini à deux non compris. Assez logique. X peut être n’importe quel nombre parmi tous les nombres possibles de moins l’infini à deux. Il ne peut pas y avoir de double X, c'est ce que nous dit le mot "non compris".

Et où dans la réponse est-il clair que "non compris"? Ce fait est noté dans la réponse rond parenthèse immédiatement après les deux. Si les deux étaient inclus, le support serait carré. Comme celui-ci: ]. DANS exemple suivant un tel support est utilisé.

Écrivons la réponse : x ≥ -0,5 à intervalles:

x ∈ [-0,5 ; +∞)

Lit : x appartient à l'intervalle de moins 0,5, y compris,à plus l'infini.

L'infini ne peut jamais être activé. Ce n'est pas un chiffre, c'est un symbole. Par conséquent, dans de telles notations, l’infini est toujours adjacent à une parenthèse.

Cette forme d'enregistrement est pratique pour les réponses complexes composées de plusieurs espaces. Mais juste pour des réponses définitives. Dans les résultats intermédiaires, où une solution supplémentaire est attendue, il est préférable d'utiliser la forme habituelle, sous la forme inégalité simple. Nous en traiterons dans les rubriques correspondantes.

Tâches populaires avec inégalités.

Les inégalités linéaires elles-mêmes sont simples. Les tâches deviennent donc souvent plus difficiles. Il fallait donc réfléchir. Ceci, si on n’y est pas habitué, n’est pas très agréable.) Mais c’est utile. Je vais montrer des exemples de telles tâches. Ce n’est pas à vous de les apprendre, c’est inutile. Et pour ne pas avoir peur face à de tels exemples. Réfléchissez un peu - et c'est simple !)

1. Trouvez deux solutions quelconques à l'inégalité 3x - 3< 0

Si vous ne savez pas vraiment quoi faire, rappelez-vous la règle principale des mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !)

X < 1

Et quoi? Rien de spécial. Que nous demandent-ils ? On nous demande de trouver deux nombres spécifiques qui sont la solution à une inégalité. Ceux. correspond à la réponse. Deux n'importe lequel Nombres. En fait, c'est déroutant.) Quelques valeurs de 0 et 0,5 conviennent. Un couple -3 et -8. Oui ces couples ensemble infini! Quelle réponse est correcte ?!

Je réponds : tout ! Toute paire de nombres dont chacun est inférieur à un, sera la bonne réponse.Écrivez lequel vous voulez. Allons-nous en.

2. Résolvez l’inégalité :

4x-3 ≠ 0

Les tâches sous cette forme sont rares. Mais, en tant qu'inégalités auxiliaires, lors de la recherche d'ODZ, par exemple, ou lors de la recherche du domaine de définition d'une fonction, elles surviennent tout le temps. Une telle inégalité linéaire peut être résolue comme une équation linéaire ordinaire. Uniquement partout sauf le signe "=" ( équivaut à) mettre un signe " ≠ " (inégal). Voici comment aborder la réponse, avec un signe d'inégalité :

X ≠ 0,75

En plus exemples complexes, il vaut mieux faire les choses différemment. Faire de l'égalité l'inégalité. Comme ça:

4x-3 = 0

Résolvez-le calmement comme enseigné et obtenez la réponse :

x = 0,75

L'essentiel est qu'à la toute fin, en écrivant la réponse finale, n'oubliez pas que nous avons trouvé x, ce qui donne égalité. Et nous avons besoin - inégalité. Par conséquent, nous n’avons pas vraiment besoin de ce X.) Et nous devons l’écrire avec le symbole correct :

X ≠ 0,75

Avec cette approche, il s'avère moins d'erreurs. Ceux qui résolvent les équations automatiquement. Et pour ceux qui ne résolvent pas les équations, les inégalités ne servent en fait à rien...) Autre exemple de tâche populaire :

3. Trouvez la plus petite solution entière de l'inégalité :

3(x-1) < 5x + 9

Tout d’abord, nous résolvons simplement l’inégalité. On ouvre les parenthèses, on les déplace, on en amène des similaires... On obtient :

X > - 6

Cela n'a-t-il pas fonctionné comme ça !? Avez-vous suivi les panneaux !? Et derrière les pancartes des adhérents, et derrière les pancartes des inégalités…

Réfléchissons-y à nouveau. Nous devons trouver un numéro spécifique qui correspond à la fois à la réponse et à la condition "le plus petit entier". Si cela ne vous vient pas tout de suite, vous pouvez simplement prendre n’importe quel nombre et le découvrir. Deux sur moins six ? Certainement! Existe-t-il un nombre inférieur approprié ? Bien sûr. Par exemple, zéro est supérieur à -6. Et encore moins ? Nous avons besoin de la plus petite chose possible ! Moins trois, c'est plus que moins six ! Vous pouvez déjà comprendre le schéma et arrêter de parcourir bêtement les chiffres, n'est-ce pas ?)

Prenons un nombre plus proche de -6. Par exemple, -5. La réponse est remplie, -5 > - 6. Est-il possible de trouver un autre nombre inférieur à -5 mais supérieur à -6 ? Vous pouvez par exemple -5,5... Stop ! On nous dit entier solution! Ne lance pas -5,5 ! Et moins six ? Euh-euh ! L'inégalité est stricte, moins 6 n'est en aucun cas inférieur à moins 6 !

La bonne réponse est donc -5.

Espérons qu'avec une sélection de valeurs de solution générale tout est clair. Un autre exemple:

4. Résoudre les inégalités :

7 < 3x+1 < 13

Ouah! Cette expression s'appelle triple inégalité. Il s’agit à proprement parler d’une forme abrégée d’un système d’inégalités. Mais de telles triples inégalités doivent encore être résolues dans certaines tâches... Elles peuvent être résolues sans aucun système. Selon les mêmes transformations identiques.

Il faut simplifier, ramener cette inégalité à X pur. Mais... Que faut-il transférer où ?! C’est là qu’il est temps de se rappeler que se déplacer à gauche et à droite est forme abrégée première transformation identitaire.

Et la forme complète ressemble à ceci : N'importe quel nombre ou expression peut être ajouté/soustrait aux deux côtés de l'équation (inégalité).

Il y a trois parties ici. Nous appliquerons donc des transformations identiques aux trois parties !

Alors, débarrassons-nous de celui qui se trouve au milieu de l’inégalité. Soustrayons un de toute la partie médiane. Pour que l’inégalité ne change pas, on soustrait une des deux parties restantes. Comme ça:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

C'est mieux, non ?) Il ne reste plus qu'à diviser les trois parties en trois :

2 < X < 4

C'est tout. C'est la réponse. X peut être n'importe quel nombre compris entre deux (non compris) et quatre (non compris). Cette réponse est également écrite à intervalles ; ces entrées seront en inégalités quadratiques. Là, c'est la chose la plus courante.

À la fin de la leçon, je répéterai la chose la plus importante. Le succès dans la résolution des inégalités linéaires dépend de la capacité à transformer et à simplifier des équations linéaires. Si en même temps surveillez le signe d'inégalité, il n'y aura aucun problème. C'est ce que je te souhaite. Pas de problème.)

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Tout le monde ne sait pas comment résoudre des inégalités dont la structure et la situation sont similaires. caractéristiques distinctives avec des équations. Une équation est un exercice composé de deux parties, entre lesquelles il y a un signe égal, et entre les parties de l'inégalité il peut y avoir un signe « plus que » ou « moins que ». Ainsi, avant de trouver une solution à une inégalité particulière, il faut comprendre qu'il vaut la peine de considérer le signe du nombre (positif ou négatif) s'il est nécessaire de multiplier les deux côtés par une expression. Le même fait doit être pris en compte si la quadrature est nécessaire pour résoudre une inégalité, puisque la quadrature s'effectue par multiplication.

Comment résoudre un système d'inégalités

Il est beaucoup plus difficile de résoudre les systèmes d’inégalités que les inégalités ordinaires. Comment résoudre les inégalités de 9e année, regardons exemples spécifiques. Il faut comprendre qu'avant de résoudre des inégalités quadratiques (systèmes) ou tout autre système d'inégalités, il est nécessaire de résoudre chaque inégalité séparément, puis de les comparer. La solution à un système d’inégalités sera soit une réponse positive, soit une réponse négative (que le système ait une solution ou non).

La tâche consiste à résoudre un ensemble d’inégalités :

Résolvons chaque inégalité séparément

Nous construisons une droite numérique sur laquelle nous décrivons un ensemble de solutions

Puisqu'un ensemble est une union d'ensembles de solutions, cet ensemble sur la droite numérique doit être souligné par au moins une ligne.

Résoudre les inégalités avec le module

Cet exemple montrera comment résoudre des inégalités avec module. Nous avons donc une définition :

Nous devons résoudre l’inégalité :

Avant de résoudre une telle inégalité, il faut se débarrasser du module (signe)

Écrivons, à partir des données de définition :

Vous devez maintenant résoudre chacun des systèmes séparément.

Construisons une droite numérique sur laquelle nous décrivons les ensembles de solutions.

Nous disposons ainsi d’une collection qui combine de nombreuses solutions.

Résoudre les inégalités quadratiques

À l’aide de la droite numérique, regardons un exemple de résolution d’inégalités quadratiques. On a une inégalité :

Nous savons que le graphique d’un trinôme quadratique est une parabole. On sait aussi que les branches de la parabole sont dirigées vers le haut si a>0.

x2-3x-4< 0

En utilisant le théorème de Vieta, nous trouvons les racines x 1 = - 1 ; x2 = 4

Dessinons une parabole, ou plutôt un croquis de celle-ci.

Ainsi, nous avons découvert que les valeurs du trinôme quadratique seront inférieures à 0 sur l'intervalle de – 1 à 4.

Beaucoup de gens se posent des questions lors de la résolution de doubles inégalités comme g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

En fait, il existe plusieurs méthodes pour résoudre les inégalités, vous pouvez donc utiliser inégalités complexes méthode graphique.

Résoudre les inégalités fractionnaires

Ils nécessitent une approche plus prudente inégalités fractionnaires. Cela est dû au fait que lors du processus de résolution de certaines inégalités fractionnaires, le signe peut changer. Avant de résoudre des inégalités fractionnaires, vous devez savoir que la méthode des intervalles est utilisée pour les résoudre. L'inégalité fractionnaire doit être présentée de telle manière qu'un côté du signe ressemble à une expression rationnelle fractionnaire et l'autre - « - 0 ». En transformant ainsi l’inégalité, on obtient comme résultat f(x)/g(x) > (.

Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles

La technique des intervalles est basée sur la méthode d'induction complète, c'est-à-dire que pour trouver une solution à l'inégalité, il faut parcourir tous options possibles. Cette méthode les élèves de 8e année n'ont peut-être pas besoin de solutions, car ils doivent savoir comment résoudre les inégalités de 8e année, qui sont des exercices simples. Mais pour les classes plus âgées, cette méthode est indispensable, car elle permet de résoudre les inégalités fractionnaires. La résolution des inégalités à l'aide de cette technique repose également sur une propriété d'une fonction continue telle que la préservation du signe entre les valeurs dans lesquelles elle tend vers 0.

Construisons un graphique du polynôme. Il s'agit d'une fonction continue qui prend la valeur 0 3 fois, c'est-à-dire que f(x) sera égal à 0 aux points x 1, x 2 et x 3, racines du polynôme. Dans les intervalles entre ces points, le signe de la fonction est conservé.

Puisque pour résoudre l'inégalité f(x)>0 nous avons besoin du signe de la fonction, nous passons à la ligne de coordonnées en quittant le graphique.

f(x)>0 pour x(x 1 ; x 2) et pour x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) et à x (x 2 ; x 3)

Le graphique montre clairement les solutions des inégalités f(x)f(x)>0 (la solution de la première inégalité est en bleu et la solution de la seconde en rouge). Pour déterminer le signe d'une fonction sur un intervalle, il suffit de connaître le signe de la fonction en l'un des points. Cette technique permet de résoudre rapidement les inégalités dans lesquelles le côté gauche est pris en compte, car dans de telles inégalités, il est assez facile de trouver les racines.

Beaucoup de gens pensent que les inégalités exponentielles sont quelque chose de complexe et d’incompréhensible. Et qu'apprendre à les résoudre est presque un grand art, que seuls les Élus sont capables de comprendre...

Une absurdité totale ! Les inégalités exponentielles sont faciles. Et ils sont toujours résolus simplement. Enfin, presque toujours :)

Aujourd'hui, nous examinerons ce sujet de fond en comble. Cette leçon sera très utile pour ceux qui commencent tout juste à comprendre cette section des mathématiques scolaires. Commençons avec tâches simples et nous irons vers plus problèmes complexes. Il n’y aura pas de travail acharné aujourd’hui, mais ce que vous vous apprêtez à lire sera suffisant pour résoudre la plupart des inégalités sur toutes sortes de tests et de tests. travail indépendant. Et lors de votre examen aussi.

Comme toujours, commençons par la définition. Une inégalité exponentielle est toute inégalité contenant une fonction exponentielle. Autrement dit, elle peut toujours se réduire à une inégalité de la forme

\[((a)^(x)) \gt b\]

Où $b$ peut-il être dans le rôle ? numéro régulier, et peut-être quelque chose de plus difficile. Exemples? Oui s'il vous plait:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\fin (aligner)\]

Je pense que le sens est clair : il existe une fonction exponentielle $((a)^(x))$, elle est comparée à quelque chose, puis on lui demande de trouver $x$. Dans des cas particulièrement cliniques, au lieu de la variable $x$, ils peuvent mettre une fonction $f\left(x \right)$ et ainsi compliquer un peu l'inégalité :)

Bien entendu, dans certains cas, l’inégalité peut paraître plus grave. Par exemple:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ou encore ceci :

En général, la complexité de telles inégalités peut être très différente, mais en fin de compte elles se réduisent toujours à la simple construction $((a)^(x)) \gt b$. Et nous trouverons d'une manière ou d'une autre une telle construction (dans les cas notamment cliniques, quand rien ne nous vient à l'esprit, les logarithmes nous aideront). Par conséquent, nous allons maintenant vous apprendre à résoudre des constructions aussi simples.

Résoudre des inégalités exponentielles simples

Regardons quelque chose de très simple. Par exemple, ceci :

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Évidemment, le nombre de droite peut être réécrit comme une puissance de deux : $4=((2)^(2))$. Ainsi, l’inégalité originale peut être réécrite sous une forme très pratique :

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Et maintenant, j'ai hâte de « rayer » les deux dans les bases des puissances afin d'obtenir la réponse $x \gt 2$. Mais avant de rayer quoi que ce soit, rappelons les puissances de deux :

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Comme vous pouvez le voir, plus le nombre de l’exposant est grand, plus le nombre de sortie est grand. "Merci, Cap!" - s'exclamera l'un des étudiants. Est-ce différent ? Malheureusement, cela arrive. Par exemple:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ droite))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Ici aussi, tout est logique : plus le degré est grand, plus le nombre 0,5 est multiplié par lui-même (c'est-à-dire divisé en deux). Ainsi, la séquence de nombres résultante est décroissante et la différence entre la première et la deuxième séquence n'est que dans la base :

• Si la base du degré $a \gt 1$, alors à mesure que l'exposant $n$ augmente, le nombre $((a)^(n))$ augmentera également ;
• Et vice versa, si $0 \lt a \lt 1$, alors à mesure que l'exposant $n$ augmente, le nombre $((a)^(n))$ diminuera.

En résumant ces faits, nous obtenons la déclaration la plus importante sur laquelle repose toute la décision. inégalités exponentielles:

Si $a \gt 1$, alors l'inégalité $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $x \gt n$. Si $0 \lt a \lt 1$, alors l'inégalité $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $x \lt n$.

En d'autres termes, si la base est supérieure à un, vous pouvez simplement la supprimer - le signe d'inégalité ne changera pas. Et si la base est inférieure à un, alors elle peut également être supprimée, mais vous devrez en même temps changer le signe d'inégalité.

Veuillez noter que nous n'avons pas pris en compte les options $a=1$ et $a\le 0$. Parce que dans ces cas-là, l’incertitude surgit. Disons comment résoudre une inégalité de la forme $((1)^(x)) \gt 3$ ? Un à n'importe quelle puissance en donnera à nouveau un - nous n'en aurons jamais trois ou plus. Ceux. il n'y a pas de solutions.

Avec des raisons négatives, tout est encore plus intéressant. Par exemple, considérons cette inégalité :

\[((\gauche(-2 \droite))^(x)) \gt 4\]

À première vue, tout est simple :

Droite? Mais non! Il suffit de substituer au lieu de $x$ quelques pairs et quelques nombres impairs pour vous assurer que la solution est incorrecte. Regarde:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le constater, les signes alternent. Mais il existe aussi des pouvoirs fractionnaires et d’autres absurdités. Comment, par exemple, ordonneriez-vous de calculer $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (moins deux à la puissance sept) ? Certainement pas!

Par conséquent, pour être précis, nous supposons que dans toutes les inégalités exponentielles (et les équations, d'ailleurs aussi) $1\ne a \gt 0$. Et puis tout se résout très simplement :

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\fin (aligner) \right.\]

En général, rappelez-vous à nouveau la règle principale : si la base d'une équation exponentielle est supérieure à un, vous pouvez simplement la supprimer ; et si la base est inférieure à un, elle peut également être supprimée, mais le signe de l'inégalité changera.

Exemples de solutions

Examinons donc quelques inégalités exponentielles simples :

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01 ; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fin (aligner)\]

La tâche principale dans tous les cas est la même : réduire les inégalités à la forme la plus simple $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. C'est exactement ce que nous allons faire maintenant avec chaque inégalité, et en même temps nous répéterons les propriétés des degrés et des fonctions exponentielles. Alors allons-y!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Que pouvez-vous faire ici? Eh bien, à gauche, nous avons déjà une expression indicative - rien n'a besoin d'être changé. Mais à droite il y a une sorte de connerie : une fraction, et même une racine au dénominateur !

Rappelons cependant les règles pour travailler avec les fractions et les puissances :

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fin (aligner)\]

Qu'est-ce que ça veut dire? Premièrement, nous pouvons facilement nous débarrasser de la fraction en la transformant en une puissance avec un exposant négatif. Et deuxièmement, puisque le dénominateur a une racine, ce serait bien de le transformer en puissance - cette fois avec un exposant fractionnaire.

Appliquons ces actions séquentiellement au côté droit de l'inégalité et voyons ce qui se passe :

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

N'oubliez pas qu'en élevant un degré à une puissance, les exposants de ces degrés s'additionnent. Et en général, lorsque l'on travaille avec équations exponentielles et les inégalités, il est absolument nécessaire de connaître au moins les règles les plus simples pour travailler avec les pouvoirs :

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fin (aligner)\]

En fait, dernière règle nous venons de l'appliquer. Par conséquent, notre inégalité originale sera réécrite comme suit :

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Maintenant on se débarrasse des deux à la base. Puisque 2 > 1, le signe de l’inégalité restera le même :

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

C'est la solution ! La principale difficulté ne réside pas du tout dans la fonction exponentielle, mais dans la transformation compétente de l'expression originale : il faut la ramener soigneusement et rapidement à sa forme la plus simple.

Considérons la deuxième inégalité :

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tellement tellement. Des fractions décimales nous attendent ici. Comme je l'ai dit à plusieurs reprises, dans toutes les expressions avec des puissances, vous devez vous débarrasser des décimales - c'est souvent le seul moyen d'obtenir une solution simple et rapide. Ici, nous allons nous débarrasser de :

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

Là encore nous avons l'inégalité la plus simple, et même avec une base de 1/10, c'est-à-dire moins d'un. Eh bien, on supprime les bases, en changeant simultanément le signe de « moins » à « plus », et on obtient :

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fin (aligner)\]

Nous avons reçu la réponse finale : $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Attention : la réponse est précisément un ensemble, et en aucun cas une construction de la forme $x \lt -1$. Car formellement, une telle construction n'est pas du tout un ensemble, mais une inégalité par rapport à la variable $x$. Oui, c'est très simple, mais ce n'est pas la réponse !

Note importante. Cette inégalité pourrait être résolue d’une autre manière : en réduisant les deux côtés à une puissance dont la base est supérieure à un. Regarde:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Après une telle transformation, nous obtiendrons à nouveau une inégalité exponentielle, mais avec une base de 10 > 1. Cela signifie que nous pouvons simplement rayer les dix - le signe de l'inégalité ne changera pas. On a:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, la réponse était exactement la même. En même temps, nous nous sommes épargnés de la nécessité de changer de panneau et de nous souvenir généralement des règles :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Cependant, ne vous laissez pas effrayer. Quel que soit le contenu des indicateurs, la technologie utilisée pour résoudre les inégalités reste la même. Notons donc d’abord que 16 = 2 4. Réécrivons l'inégalité originale en tenant compte de ce fait :

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hourra! Nous avons l’inégalité quadratique habituelle ! Le signe n'a changé nulle part, puisque la base est deux - un nombre supérieur à un.

Zéros d'une fonction sur la droite numérique

Nous organisons les signes de la fonction $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - évidemment, son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, donc il y aura des « plus » " sur les côtés. Nous nous intéressons à la région où la fonction est inférieure à zéro, c'est-à-dire $x\in \left(2;5 \right)$ est la réponse au problème d'origine.

Enfin, considérons une autre inégalité :

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Encore une fois, nous voyons une fonction exponentielle avec une fraction décimale à la base. Convertissons cette fraction en une fraction commune :

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\gauche(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

DANS dans ce cas Nous avons utilisé la remarque précédente - nous avons réduit la base au nombre 5 > 1 afin de simplifier notre solution ultérieure. Faisons de même avec le côté droit :

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ à droite))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Réécrivons l'inégalité originale en tenant compte des deux transformations :

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Les bases des deux côtés sont les mêmes et dépassent un. Il n'y a pas d'autres termes à droite et à gauche, donc on « raye » simplement les cinq et on obtient une expression très simple :

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

C'est là qu'il faut être plus prudent. De nombreux étudiants aiment simplement prendre la racine carrée des deux côtés de l'inégalité et écrire quelque chose comme $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Cela ne doit en aucun cas être fait , puisque la racine d'un carré exact est un module, et en aucun cas une variable originale :

\[\sqrt(((x)^(2)))=\gauche| x\droite|\]

Cependant, travailler avec des modules n’est pas l’expérience la plus agréable, n’est-ce pas ? Nous ne travaillerons donc pas. Au lieu de cela, nous déplaçons simplement tous les termes vers la gauche et résolvons l'inégalité habituelle en utilisant la méthode des intervalles :

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1 ; \\\fin(aligner)$

Nous marquons à nouveau les points obtenus sur la droite numérique et regardons les signes :

Attention : les points sont ombrés

Puisque nous résolvions une inégalité non stricte, tous les points du graphique sont ombrés. Par conséquent, la réponse sera : $x\in \left[ -1;1 \right]$ n'est pas un intervalle, mais un segment.

De manière générale, je voudrais souligner qu'il n'y a rien de compliqué dans les inégalités exponentielles. La signification de toutes les transformations que nous avons effectuées aujourd'hui se résume à un algorithme simple :

• Trouver la base à laquelle nous réduirons tous les degrés ;
• Effectuez soigneusement les transformations pour obtenir une inégalité de la forme $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Bien sûr, au lieu des variables $x$ et $n$, il peut y avoir bien plus fonctions complexes, mais le sens ne changera pas ;
• Rayez les bases des diplômes. Dans ce cas, le signe de l'inégalité peut changer si la base $a \lt 1$.

En fait, il s’agit d’un algorithme universel permettant de résoudre toutes ces inégalités. Et tout le reste qu'ils vous diront sur ce sujet ne sont que des techniques et astuces spécifiques qui simplifieront et accéléreront la transformation. Nous allons parler d'une de ces techniques maintenant :)

Méthode de rationalisation

Considérons un autre ensemble d'inégalités :

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Alors, qu’ont-ils de si spécial ? Ils sont légers. Mais arrêtez ! Le nombre π est-il élevé à une certaine puissance ? Quelle absurdité?

Comment élever le nombre $2\sqrt(3)-3$ à une puissance ? Ou $3-2\sqrt(2)$ ? Les auteurs du problème ont visiblement bu trop d'aubépine avant de se mettre au travail :)

En fait, ces tâches n’ont rien d’effrayant. Permettez-moi de vous rappeler : une fonction exponentielle est une expression de la forme $((a)^(x))$, où la base $a$ est n'importe quel nombre positif sauf un. Le nombre π est positif – nous le savons déjà. Les nombres $2\sqrt(3)-3$ et $3-2\sqrt(2)$ sont également positifs - c'est facile à voir si vous les comparez à zéro.

Il s'avère que toutes ces inégalités « effrayantes » sont résolues de la même manière que les simples évoquées ci-dessus ? Et sont-ils résolus de la même manière ? Oui, c'est tout à fait vrai. Cependant, en utilisant leur exemple, je voudrais considérer une technique qui permet de gagner beaucoup de temps sur le travail indépendant et les examens. Nous parlerons de la méthode de rationalisation. Alors attention :

Toute inégalité exponentielle de la forme $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ à droite) \gt 0 $.

C'est toute la méthode. :) Pensiez-vous qu'il y aurait une sorte de autre jeu ? Rien de tel ! Mais ce simple fait, écrit littéralement sur une seule ligne, simplifiera grandement notre travail. Regarde:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Il n’y a donc plus de fonctions exponentielles ! Et vous n’avez pas besoin de vous rappeler si le signe change ou non. Mais il se pose nouveau problème: que faire avec le putain de multiplicateur \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] ? Nous ne savons pas de quoi il s'agit valeur exacte nombres π. Cependant, le capitaine semble faire allusion à une évidence :

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

En général, la valeur exacte de π ne nous concerne pas vraiment - il est seulement important pour nous de comprendre que dans tous les cas $\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. c'est une constante positive, et nous pouvons diviser les deux côtés de l'inégalité par elle :

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le constater, à un moment donné, nous avons dû diviser par moins un - et le signe de l'inégalité a changé. À la fin, j'ai développé le trinôme quadratique en utilisant le théorème de Vieta - il est évident que les racines sont égales à $((x)_(1))=5$ et $((x)_(2))=-1$ . Alors tout est décidé méthode classique intervalles :

Résoudre l'inégalité à l'aide de la méthode des intervalles

Tous les points sont supprimés car l'inégalité d'origine est stricte. Nous nous intéressons à la région avec des valeurs négatives, donc la réponse est $x\in \left(-1;5 \right)$. C'est la solution :)

Passons à la tâche suivante :

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tout ici est généralement simple, car il y a une unité à droite. Et nous nous souvenons que un est n’importe quel nombre élevé à la puissance zéro. Même si ce nombre est une expression irrationnelle à la base à gauche :

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\fin (aligner)\]

Eh bien, rationalisons :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Il ne reste plus qu'à comprendre les signes. Le facteur $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne contient pas la variable $x$ - c'est juste une constante, et nous devons connaître son signe. Pour ce faire, notez les points suivants :

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Il s’avère que le deuxième facteur n’est pas seulement une constante, mais une constante négative ! Et en divisant par celui-ci, le signe de l'inégalité d'origine change à l'opposé :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Maintenant, tout devient complètement évident. Racines trinôme quadratique, debout à droite : $((x)_(1))=0$ et $((x)_(2))=2$. Nous les marquons sur la droite numérique et regardons les signes de la fonction $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ :

Le cas où l'on s'intéresse aux intervalles latéraux

Nous nous intéressons aux intervalles marqués d'un signe plus. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse :

Passons à l'exemple suivant :

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ à droite))^(16-x))\]

Eh bien, tout est ici complètement évident : les bases contiennent des puissances du même nombre. Par conséquent, je vais tout écrire brièvement :

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ gauche(16-x \droite))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le constater, au cours du processus de transformation, nous avons dû multiplier par un nombre négatif, donc le signe de l’inégalité a changé. À la toute fin, j'ai de nouveau appliqué le théorème de Vieta pour factoriser le trinôme quadratique. En conséquence, la réponse sera la suivante : $x\in \left(-8;4 \right)$ - n'importe qui peut le vérifier en traçant une droite numérique, en marquant les points et en comptant les signes. En attendant, nous allons passer à la dernière inégalité de notre « ensemble » :

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Comme vous pouvez le voir, à la base il y a encore un nombre irrationnel, et à droite il y a encore une unité. Par conséquent, nous réécrivons notre inégalité exponentielle comme suit :

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ à droite))^(0))\]

Nous appliquons la rationalisation :

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cependant, il est bien évident que $1-\sqrt(2) \lt 0$, puisque $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Par conséquent, le deuxième facteur est à nouveau une constante négative, par laquelle les deux côtés de l’inégalité peuvent être divisés :

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\fin(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Déplacer vers une autre base

Un problème distinct lors de la résolution des inégalités exponentielles est la recherche de la base « correcte ». Malheureusement, il n'est pas toujours évident au premier coup d'œil sur une tâche de savoir quoi prendre comme base et quoi faire en fonction du degré de cette base.

Mais ne vous inquiétez pas : il n’y a pas de technologie magique ou « secrète » ici. En mathématiques, toute compétence qui ne peut pas être algorithmisée peut être facilement développée par la pratique. Mais pour cela, vous devrez résoudre des problèmes de différents niveaux de complexité. Par exemple, comme ceci :

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fin(aligner)\]

Difficile? Effrayant? C'est plus facile que de heurter un poulet sur l'asphalte ! Essayons. Première inégalité :

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Eh bien, je pense que tout est clair ici :

Nous réécrivons l'inégalité d'origine, en réduisant tout à la base deux :

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Oui, oui, vous avez bien entendu : je viens d'appliquer la méthode de rationalisation décrite ci-dessus. Maintenant, nous devons travailler avec précaution : nous avons une inégalité fractionnaire-rationnelle (c'est une inégalité qui a une variable au dénominateur), donc avant d'assimiler quelque chose à zéro, nous devons tout ramener à dénominateur commun et débarrassez-vous du facteur constant.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nous utilisons maintenant la méthode des intervalles standard. Zéros du numérateur : $x=\pm 4$. Le dénominateur ne tend vers zéro que lorsque $x=0$. Il y a trois points au total qui doivent être marqués sur la droite numérique (tous les points sont épinglés car le signe d'inégalité est strict). On a:

Plus cas difficile: trois racines

Comme vous pouvez le deviner, l'ombrage marque les intervalles auxquels l'expression de gauche prend des valeurs négatives. Par conséquent, la réponse finale comprendra deux intervalles à la fois :

Les extrémités des intervalles ne sont pas incluses dans la réponse car l’inégalité initiale était stricte. Aucune vérification supplémentaire de cette réponse n’est requise. À cet égard, les inégalités exponentielles sont bien plus simples que les inégalités logarithmiques : pas d'ODZ, pas de restrictions, etc.

Passons à la tâche suivante :

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Il n'y a pas de problèmes ici non plus, puisque nous savons déjà que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, donc toute l'inégalité peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\gauche(-2 \droite) \droite. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Attention : dans la troisième ligne, j'ai décidé de ne pas perdre de temps en bagatelles et de tout diviser immédiatement par (−2). Minul est entré dans la première tranche (il y a maintenant des avantages partout) et deux ont été réduits avec un facteur constant. C'est exactement ce que vous devez faire lorsque vous préparez de véritables affichages sur des supports indépendants et essais— il n'est pas nécessaire de décrire chaque action et transformation.

Ensuite, la méthode familière des intervalles entre en jeu. Des zéros au numérateur : mais il n’y en a pas. Parce que le discriminant sera négatif. À son tour, le dénominateur n'est réinitialisé que lorsque $x=0$ - comme la dernière fois. Eh bien, il est clair qu'à droite de $x=0$ la fraction prendra des valeurs positives et à gauche - négative. Puisque nous nous intéressons aux valeurs négatives, la réponse finale est : $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Que faire des fractions décimales dans les inégalités exponentielles ? C'est vrai : débarrassez-vous-en et transformez-les en objets ordinaires. Nous traduirons ici :

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ gauche(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\droite))^(x)). \\\fin (aligner)\]

Alors qu’avons-nous trouvé dans les fondements des fonctions exponentielles ? Et nous avons deux nombres mutuellement inverses :

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ droite))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ gauche(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Ainsi, l’inégalité originale peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\fin (aligner)\]

Bien sûr, lorsqu’on multiplie des puissances avec la même base, leurs exposants s’additionnent, ce qui s’est produit dans la deuxième ligne. De plus, nous avons représenté l'unité de droite, également comme puissance en base 4/25. Il ne reste plus qu'à rationaliser :

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Notez que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, c'est-à-dire le deuxième facteur est une constante négative, et lors de la division par celui-ci, le signe d'inégalité changera :

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Enfin, la dernière inégalité de « l’ensemble » actuel :

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

En principe, l'idée de la solution ici est également claire : tout fonctions exponentielles, inclus dans l’inégalité, doit être réduit à la base « 3 ». Mais pour cela il va falloir bricoler un peu les racines et les pouvoirs :

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fin (aligner)\]

Compte tenu de ces faits, l’inégalité originale peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fin (aligner)\]

Faites attention aux 2ème et 3ème lignes de calcul : avant de faire quoi que ce soit avec l'inégalité, assurez-vous de la mettre sous la forme dont nous avons parlé dès le début de la leçon : $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Tant que vous avez des facteurs gauchers, des constantes supplémentaires, etc. à gauche ou à droite, aucune rationalisation ou « rayure » de motifs ne peut être effectuée! D’innombrables tâches ont été mal exécutées en raison d’un manque de compréhension de ce sujet. simple fait. J'observe moi-même constamment ce problème avec mes étudiants alors que l'on commence tout juste à analyser les inégalités exponentielles et logarithmiques.

Mais revenons à notre tâche. Essayons cette fois de nous passer de rationalisation. Rappelons-nous : la base du degré est supérieure à un, donc les triplets peuvent simplement être barrés - le signe d'inégalité ne changera pas. On a:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

C'est tout. Réponse finale : $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isoler une expression stable et remplacer une variable

En conclusion, je propose de résoudre quatre inégalités exponentielles supplémentaires, déjà assez difficiles pour les étudiants non préparés. Pour y faire face, vous devez vous rappeler les règles à suivre pour travailler avec des diplômes. En particulier, mettre entre parenthèses les facteurs communs.

Mais le plus important est d’apprendre à comprendre ce qui peut exactement être retiré des parenthèses. Une telle expression est dite stable - elle peut être désignée par une nouvelle variable et ainsi se débarrasser de la fonction exponentielle. Voyons donc les tâches :

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90 ; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500 ; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Commençons par la toute première ligne. Écrivons séparément cette inégalité :

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Notez que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, donc la main droite le côté peut être réécrit :

Notez qu'il n'y a pas d'autres fonctions exponentielles sauf $((5)^(x+1))$ dans l'inégalité. Et en général, la variable $x$ n'apparaît nulle part ailleurs, introduisons donc une nouvelle variable : $((5)^(x+1))=t$. On obtient la construction suivante :

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6 ; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Nous revenons à la variable d'origine ($t=((5)^(x+1))$), et en même temps rappelons que 1=5 0 . Nous avons:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fin (aligner)\]

C'est la solution ! Réponse : $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Passons à la deuxième inégalité :

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tout est pareil ici. Notez que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Alors côté gauche peut être réécrit :

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90 ; \\ & 10t\ge 90 ; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fin (aligner)\]

C'est à peu près ainsi que vous devez élaborer une solution pour des tests réels et un travail indépendant.

Eh bien, essayons quelque chose de plus compliqué. Par exemple, voici l'inégalité :

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Quel est le problème ici ? Tout d'abord, les bases des fonctions exponentielles de gauche sont différentes : 5 et 25. Cependant, 25 = 5 2, donc le premier terme peut être transformé :

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(aligner )\]

Comme vous pouvez le constater, nous avons d'abord tout amené à même base, puis j'ai remarqué que le premier terme peut facilement être réduit au second - il suffit de développer l'exposant. Vous pouvez maintenant introduire en toute sécurité une nouvelle variable : $((5)^(2x+2))=t$, et toute l'inégalité sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500 ; \\&4t\ge 2500 ; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Et encore une fois, aucune difficulté ! Réponse finale : $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Passons à l'inégalité finale de la leçon d'aujourd'hui :

\[((\gauche(0,5 \droite))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

La première chose à laquelle vous devez faire attention est, bien entendu, décimalà la base du premier degré. Il faut s'en débarrasser, et en même temps ramener toutes les fonctions exponentielles à la même base - le chiffre « 2 » :

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Super, nous avons fait le premier pas : tout a conduit au même fondement. Maintenant, vous devez sélectionner expression stable. Notez que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Si nous introduisons une nouvelle variable $((2)^(4x+6))=t$, alors l'inégalité d'origine peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768 ; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt2 ; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\fin (aligner)\]

Naturellement, la question peut se poser : comment avons-nous découvert que 256 = 2 8 ? Malheureusement, ici, il suffit de connaître les puissances de deux (et en même temps les puissances de trois et cinq). Eh bien, ou divisez 256 par 2 (vous pouvez diviser, puisque 256 est un nombre pair) jusqu'à ce que nous obtenions le résultat. Cela ressemblera à ceci :

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Il en va de même avec trois (les nombres 9, 27, 81 et 243 sont ses degrés) et avec sept (les nombres 49 et 343 seraient également bons à retenir). Eh bien, le cinq a aussi de « beaux » diplômes qu’il faut connaître :

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625 ; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fin (aligner)\]

Bien entendu, si vous le souhaitez, tous ces nombres peuvent être restitués dans votre esprit en les multipliant simplement successivement les uns par les autres. Cependant, lorsque vous devez résoudre plusieurs inégalités exponentielles et que chaque suivante est plus difficile que la précédente, la dernière chose à laquelle vous voulez penser est la puissance de certains nombres. Et en ce sens, ces problèmes sont plus complexes que les inégalités « classiques » résolues par la méthode des intervalles.