Comment résoudre une équation logarithmique avec une base. Équations logarithmiques

Solution équations logarithmiques. Partie 1.

Équation logarithmique est une équation dans laquelle l'inconnue est contenue sous le signe du logarithme (notamment dans la base du logarithme).

Le plus simple équation logarithmique a la forme :

Résoudre n'importe quelle équation logarithmique implique un passage des logarithmes aux expressions sous le signe des logarithmes. Cependant, cette action élargit la portée valeurs acceptableséquation et peut conduire à l’apparition de racines étrangères. Pour éviter l’apparition de racines étrangères, vous pouvez procéder de l'une des trois manières suivantes :

1. Faire une transition équivalente de l'équation originale à un système comprenant

selon quelle inégalité ou plus simple.

Si l'équation contient une inconnue dans la base du logarithme :

puis on passe au système :

2. Trouvez séparément la plage de valeurs acceptables de l'équation, puis résolvez l’équation et vérifiez si les solutions trouvées satisfont à l’équation.

3. Résolvez l'équation, puis vérifier: remplacez les solutions trouvées dans l'équation d'origine et vérifiez si nous obtenons la bonne égalité.

Une équation logarithmique de n’importe quel niveau de complexité se réduit toujours en fin de compte à l’équation logarithmique la plus simple.

Toutes les équations logarithmiques peuvent être divisées en quatre types :

1 . Équations qui contiennent des logarithmes uniquement à la première puissance. A l'aide de transformations et d'utilisations, ils sont amenés à la forme

Exemple. Résolvons l'équation :

Égalisons les expressions sous le signe du logarithme :

Vérifions si notre racine de l'équation satisfait :

Oui, ça satisfait.

Réponse : x=5

2 . Équations qui contiennent des logarithmes à des puissances autres que 1 (notamment au dénominateur d'une fraction). De telles équations peuvent être résolues en utilisant introduire un changement de variable.

Exemple. Résolvons l'équation :

Trouvons l'équation ODZ :

L'équation contient des logarithmes au carré, elle peut donc être résolue en changeant de variable.

Important! Avant d'introduire un remplacement, vous devez « séparer » les logarithmes qui font partie de l'équation en « briques » en utilisant les propriétés des logarithmes.

Lorsque vous « démontez » des logarithmes, il est important d’utiliser les propriétés des logarithmes avec beaucoup de prudence :

De plus, il y a ici encore un point subtil, et afin d'éviter une erreur courante, nous utiliserons une égalité intermédiaire : nous écrirons le degré du logarithme sous cette forme :

De même,

Remplaçons les expressions résultantes dans l'équation d'origine. On a:

Nous voyons maintenant que l'inconnue est contenue dans l'équation dans le cadre de . Présentons le remplacement: . Puisqu’elle peut prendre n’importe quelle valeur réelle, nous n’imposons aucune restriction à la variable.

Aujourd'hui, nous allons apprendre à résoudre les équations logarithmiques les plus simples, pour lesquelles aucune transformation préalable ni sélection de racines n'est requise. Mais si vous apprenez à résoudre de telles équations, ce sera beaucoup plus facile.

L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme log a f (x) = b, où a, b sont des nombres (a > 0, a ≠ 1), f (x) est une certaine fonction.

Une caractéristique distinctive de toutes les équations logarithmiques est la présence de la variable x sous le signe du logarithme. Si telle est l’équation initialement donnée dans le problème, elle est dite la plus simple. Toutes les autres équations logarithmiques sont réduites au plus simple par des transformations spéciales (voir « Propriétés de base des logarithmes »). Cependant, de nombreuses subtilités doivent être prises en compte : des racines supplémentaires peuvent apparaître, c'est pourquoi les équations logarithmiques complexes seront considérées séparément.

Comment résoudre de telles équations ? Il suffit de remplacer le nombre à droite du signe égal par un logarithme dans la même base qu'à gauche. Ensuite, vous pouvez vous débarrasser du signe du logarithme. On a:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Nous avons l'équation habituelle. Ses racines sont les racines de l’équation originale.

Sortir des diplômes

Souvent, les équations logarithmiques, qui semblent complexes et menaçantes, sont résolues littéralement en quelques lignes sans impliquer formules complexes. Aujourd'hui, nous examinerons précisément de tels problèmes, où tout ce qui vous est demandé est de réduire soigneusement la formule à la forme canonique et de ne pas vous tromper lors de la recherche du domaine de définition des logarithmes.

Aujourd'hui, comme vous l'avez probablement deviné d'après le titre, nous allons résoudre des équations logarithmiques en utilisant des formules pour la transition vers la forme canonique. Le principal « truc » de cette leçon vidéo sera de travailler avec des diplômes, ou plutôt de déduire le diplôme à partir de la base et de l'argumentation. Regardons la règle :

De même, vous pouvez déduire le diplôme de la base :

Comme nous pouvons le voir, si lorsque nous supprimons le degré de l'argument du logarithme, nous avons simplement un facteur supplémentaire devant, alors lorsque nous supprimons le degré de la base, nous obtenons non seulement un facteur, mais un facteur inversé. Il faut s'en souvenir.

Enfin, le plus intéressant. Ces formules peuvent être combinées, on obtient alors :

Bien entendu, lors de ces transitions, il existe certains écueils liés à un éventuel élargissement du champ de définition ou, à l'inverse, au rétrécissement du champ de définition. Jugez par vous-même :

journal 3 x 2 = 2 ∙ journal 3 x

Si dans le premier cas x peut être n'importe quel nombre autre que 0, c'est-à-dire l'exigence x ≠ 0, alors dans le second cas nous nous contentons uniquement de x, qui non seulement ne sont pas égaux, mais sont strictement supérieurs à 0, car le domaine de La définition du logarithme est que l'argument soit strictement supérieur à 0. Par conséquent, je vais vous rappeler une merveilleuse formule du cours d'algèbre de 8e à 9e années :

Autrement dit, nous devons écrire notre formule comme suit :

journal 3 x 2 = 2 ∙ journal 3 |x |

Il n’y aura alors aucune réduction du champ de la définition.

Cependant, dans le didacticiel vidéo d'aujourd'hui, il n'y aura pas de carrés. Si vous regardez nos tâches, vous n’en verrez que les racines. Appliquez donc cette règle nous ne le ferons pas, mais il faut quand même le garder à l'esprit pour que bon moment quand tu vois fonction quadratique dans un argument ou une base de logarithme, vous vous souviendrez de cette règle et effectuerez correctement toutes les transformations.

La première équation est donc :

Pour résoudre ce problème, je propose d'examiner attentivement chacun des termes présents dans la formule.

Réécrivons le premier terme comme une puissance avec indicateur rationnel:

Nous regardons le deuxième terme : log 3 (1 − x). Il n’y a rien à faire ici, tout est déjà transformé ici.

Enfin, 0, 5. Comme je l'ai dit dans les leçons précédentes, lors de la résolution d'équations et de formules logarithmiques, je recommande fortement de passer des fractions décimales aux fractions ordinaires. Faisons cela:

0,5 = 5/10 = 1/2

Réécrivons notre formule originale en tenant compte des termes résultants :

journal 3 (1 − x ) = 1

Passons maintenant à la forme canonique :

journal 3 (1 − x ) = journal 3 3

On se débarrasse du signe du logarithme en égalisant les arguments :

1 - X = 3

−x = 2

x = −2

Ça y est, nous avons résolu l'équation. Cependant, jouons toujours la sécurité et trouvons le domaine de définition. Pour ce faire, revenons à la formule originale et voyons :

1 − X > 0

−x > −1

X< 1

Notre racine x = −2 satisfait à cette exigence, donc x = −2 est une solution de l'équation d'origine. Nous avons désormais reçu une justification stricte et claire. Voilà, problème résolu.

Passons à la deuxième tâche :

Examinons chaque terme séparément.

Écrivons le premier :

Nous avons transformé le premier terme. On travaille avec le deuxième terme :

Enfin, le dernier terme, qui se trouve à droite du signe égal :

Nous substituons les expressions résultantes au lieu des termes dans la formule résultante :

journal 3 x = 1

Passons à la forme canonique :

journal 3 x = journal 3 3

On se débarrasse du signe du logarithme, en égalisant les arguments, et on obtient :

x = 3

Encore une fois, par mesure de sécurité, revenons à l’équation originale et jetons un coup d’œil. Dans la formule originale, la variable x n'est présente que dans l'argument, donc

x > 0

Dans le deuxième logarithme, x est sous la racine, mais encore une fois dans l'argument, la racine doit donc être supérieure à 0, c'est-à-dire que l'expression radicale doit être supérieure à 0. Nous regardons notre racine x = 3. Évidemment, elle satisfait à cette exigence. Par conséquent, x = 3 est une solution de l’équation logarithmique originale. Voilà, problème résolu.

Il y a deux points clés dans le didacticiel vidéo d'aujourd'hui :

1) n'ayez pas peur de transformer des logarithmes et, en particulier, n'ayez pas peur de retirer des puissances du signe du logarithme, tout en vous rappelant notre formule de base : lorsqu'on supprime une puissance d'un argument, elle est simplement retirée sans modifications comme multiplicateur, et lorsqu'on retire une puissance de la base, cette puissance est inversée.

2) le deuxième point est lié à la forme canonique elle-même. Nous avons fait le passage à la forme canonique à la toute fin de la transformation de la formule de l'équation logarithmique. Je vous rappelle la formule suivante :

a = journal b b a

Bien entendu, par l'expression « n'importe quel nombre b », j'entends les nombres qui satisfont aux exigences imposées sur la base du logarithme, c'est-à-dire

1 ≠ b > 0

Pour un tel b, et puisque nous connaissons déjà la base, cette condition sera automatiquement remplie. Mais pour un tel b - tous ceux qui satisfont à cette exigence - cette transition peut être effectuée, et nous obtiendrons une forme canonique dans laquelle nous pourrons nous débarrasser du signe du logarithme.

Élargir le domaine de la définition et des racines supplémentaires

Lors du processus de transformation d'équations logarithmiques, une expansion implicite du domaine de définition peut se produire. Souvent, les étudiants ne le remarquent même pas, ce qui entraîne des erreurs et des réponses incorrectes.

Commençons par les conceptions les plus simples. L'équation logarithmique la plus simple est la suivante :

log une f(x) = b

Notez que x n'est présent que dans un seul argument d'un logarithme. Comment résoudre de telles équations ? Nous utilisons la forme canonique. Pour ce faire, imaginez le nombre b = log a a b, et notre équation sera réécrite comme suit :

log a f (x) = log a a b

Cette entrée est appelée la forme canonique. C’est à cela que vous devez réduire toute équation logarithmique que vous rencontrerez non seulement dans la leçon d’aujourd’hui, mais également dans tout travail indépendant et test.

Comment arriver à la forme canonique et quelles techniques utiliser est une question de pratique. La principale chose à comprendre est que dès que vous recevez un tel enregistrement, vous pouvez considérer le problème comme résolu. Parce que la prochaine étape consiste à écrire :

f (x) = un b

En d’autres termes, nous nous débarrassons du signe du logarithme et assimilons simplement les arguments.

Pourquoi tout ce discours ? Le fait est que la forme canonique s’applique non seulement aux problèmes les plus simples, mais aussi à tous les autres. En particulier, ceux que nous déciderons aujourd'hui. Jetons un coup d'oeil.

Première tâche :

Quel est le problème avec cette équation ? Le fait est que la fonction est en deux logarithmes à la fois. Le problème peut être réduit à sa plus simple expression en soustrayant simplement un logarithme à un autre. Mais des problèmes surviennent avec la zone de définition : des racines supplémentaires peuvent apparaître. Déplaçons donc simplement l'un des logarithmes vers la droite :

Cette entrée ressemble beaucoup plus à la forme canonique. Mais il y a encore une nuance : sous la forme canonique, les arguments doivent être les mêmes. Et à gauche nous avons le logarithme en base 3, et à droite en base 1/3. Il sait que ces bases doivent être ramenées au même nombre. Par exemple, rappelons ce que sont les pouvoirs négatifs :

Et puis nous utiliserons l’exposant « -1 » en dehors du journal comme multiplicateur :

Attention : le degré qui était à la base est retourné et se transforme en fraction. Nous avons obtenu une notation presque canonique en supprimant les différentes bases, mais en retour nous avons obtenu le facteur « −1 » à droite. Prenons en compte ce facteur dans l'argumentation en le transformant en puissance :

Bien sûr, après avoir reçu la forme canonique, nous barrons hardiment le signe du logarithme et assimilons les arguments. En même temps, permettez-moi de vous rappeler que lorsqu'elle est élevée à la puissance « −1 », la fraction est simplement retournée - une proportion est obtenue.

Utilisons la propriété de base de proportion et multiplions-la transversalement :

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Ce que nous avons devant nous, c'est équation quadratique, nous le résolvons donc en utilisant les formules de Vieta :

(x − 8)(x − 2) = 0

x1 = 8 ; x2 = 2

C'est tout. Pensez-vous que l'équation est résolue ? Non! Pour une telle solution, nous recevrons 0 point, car l'équation originale contient deux logarithmes avec la variable x. Il est donc nécessaire de prendre en compte le domaine de définition.

Et c'est là que le plaisir commence. La plupart des étudiants sont confus : quel est le domaine de définition d’un logarithme ? Bien entendu, tous les arguments (nous en avons deux) doivent être supérieurs à zéro :

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Chacune de ces inégalités doit être résolue, tracée sur une ligne droite, coupée et ensuite seulement voir quelles racines se trouvent à l'intersection.

Je vais être honnête : cette technique a le droit d'exister, elle est fiable et vous obtiendrez la bonne réponse, mais elle comporte trop d'étapes inutiles. Examinons donc à nouveau notre solution et voyons : où devons-nous exactement appliquer la portée ? En d’autres termes, vous devez comprendre clairement quand exactement des racines supplémentaires apparaissent.

1. Au départ, nous avions deux logarithmes. Ensuite, nous avons déplacé l'un d'eux vers la droite, mais cela n'a pas affecté la zone de définition.
2. Ensuite, nous retirons la puissance de la base, mais il y a toujours deux logarithmes, et dans chacun d'eux il y a une variable x.
3. Enfin, nous barrons les panneaux de journal et obtenons le classique équation rationnelle fractionnaire.

C'est à la dernière étape que le champ de la définition est élargi ! Dès que nous sommes passés à une équation fractionnaire-rationnelle, en supprimant les signes logarithmiques, les exigences pour la variable x ont radicalement changé !

Par conséquent, le domaine de définition peut être considéré non pas au tout début de la solution, mais seulement à l’étape mentionnée – avant d’assimiler directement les arguments.

C’est là que réside l’opportunité d’optimisation. D’une part, nous devons que les deux arguments soient supérieurs à zéro. D’un autre côté, nous assimilons davantage ces arguments. Ainsi, si au moins l’un d’eux est positif, alors le second le sera également !

Il s’avère donc qu’exiger que deux inégalités soient satisfaites à la fois est exagéré. Il suffit de considérer une seule de ces fractions. Lequel? Celui qui est le plus simple. Par exemple, regardons la fraction de droite :

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Il s'agit d'une inégalité rationnelle fractionnaire typique ; nous la résolvons en utilisant la méthode des intervalles :

Comment placer des panneaux ? Prenons un nombre évidemment supérieur à toutes nos racines. Par exemple, 1 milliard et nous substituons sa fraction. Nous obtenons un nombre positif, c'est-à-dire à droite de la racine x = 5, il y aura un signe plus.

Ensuite, les signes alternent, car il n’y a nulle part des racines de même multiplicité. Nous nous intéressons aux intervalles où la fonction est positive. Par conséquent, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Rappelons maintenant les réponses : x = 8 et x = 2. À proprement parler, ce ne sont pas encore des réponses, mais seulement des candidats à la réponse. Lequel appartient à l’ensemble spécifié ? Bien sûr, x = 8. Mais x = 2 ne nous convient pas quant à son domaine de définition.

Au total, la réponse à la première équation logarithmique sera x = 8. Nous avons maintenant une solution compétente et bien fondée, prenant en compte le domaine de définition.

Passons à la deuxième équation :

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Permettez-moi de vous rappeler que s'il y a une fraction décimale dans l'équation, vous devriez vous en débarrasser. En d’autres termes, réécrivons 0,5 sous forme de fraction commune. On remarque immédiatement que le logarithme contenant cette base se calcule facilement :

C'est un moment très important ! Lorsque nous avons des diplômes à la fois dans la base et dans l'argument, nous pouvons dériver les indicateurs de ces diplômes à l'aide de la formule :

Revenons à notre équation logarithmique originale et réécrivons-la :

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Nous avons obtenu un design assez proche de la forme canonique. Cependant, nous sommes confus par les termes et le signe moins à droite du signe égal. Représentons-en un sous la forme d'un logarithme en base 5 :

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Soustrayez les logarithmes de droite (dans ce cas leurs arguments sont divisés) :

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Merveilleux. Nous avons donc la forme canonique ! Nous barrons les signes du journal et assimilons les arguments :

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Il s'agit d'une proportion qui peut être facilement résolue en multipliant transversalement :

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Évidemment, nous avons une équation quadratique réduite. Il peut être facilement résolu en utilisant les formules de Vieta :

(x − 10)(x − 4) = 0

x1 = 10

x2 = 4

Nous avons deux racines. Mais ce ne sont pas des réponses définitives, mais seulement des réponses candidates, car l’équation logarithmique nécessite aussi de vérifier le domaine de définition.

Je vous le rappelle : inutile de chercher quand chaque des arguments sera supérieur à zéro. Il suffit d’exiger qu’un argument – ​​soit x − 9, soit 5/(x − 5) – soit supérieur à zéro. Considérons le premier argument :

x−9 > 0

x > 9

Évidemment, seul x = 10 satisfait à cette exigence. C’est la réponse finale. Tout le problème est résolu.

Encore une fois, les réflexions clés de la leçon d'aujourd'hui :

1. Dès que la variable x apparaît dans plusieurs logarithmes, l'équation cesse d'être élémentaire, et il faudra calculer le domaine de définition pour elle. Sinon, vous pouvez facilement écrire des racines supplémentaires dans la réponse.
2. Travailler avec le domaine lui-même peut être considérablement simplifié si nous écrivons l'inégalité non pas immédiatement, mais exactement au moment où nous nous débarrassons des signes de journal. Après tout, lorsque les arguments sont assimilés les uns aux autres, il suffit d'exiger qu'un seul d'entre eux soit supérieur à zéro.

Bien sûr, nous choisissons nous-mêmes quel argument utiliser pour former une inégalité, il est donc logique de choisir le plus simple. Par exemple, dans la deuxième équation, nous avons choisi l'argument (x − 9) - fonction linéaire, par opposition au deuxième argument rationnel fractionnaire. D’accord, résoudre l’inégalité x − 9 > 0 est beaucoup plus facile que 5/(x − 5) > 0. Bien que le résultat soit le même.

Cette remarque simplifie grandement la recherche de ODZ, mais attention : on ne peut utiliser une inégalité au lieu de deux que si les arguments sont précisément sont égaux les uns aux autres!

Bien sûr, quelqu’un va maintenant se demander : que se passe-t-il différemment ? Oui, parfois. Par exemple, dans l'étape elle-même, lorsque l'on multiplie deux arguments contenant une variable, il existe un risque d'apparition de racines inutiles.

Jugez par vous-même : il faut d'abord que chacun des arguments soit supérieur à zéro, mais après multiplication il suffit que leur produit soit supérieur à zéro. En conséquence, le cas où chacune de ces fractions est négative est manqué.

Par conséquent, si vous commencez tout juste à comprendre des équations logarithmiques complexes, ne multipliez en aucun cas les logarithmes contenant la variable x - cela conduirait trop souvent à l'apparition de racines supplémentaires. Il vaut mieux faire un pas supplémentaire, déplacer un terme de l’autre côté et créer une forme canonique.

Eh bien, que faire si vous ne pouvez pas vous passer de multiplier de tels logarithmes, nous en discuterons dans la prochaine leçon vidéo :)

Encore une fois sur les puissances dans l'équation

Aujourd'hui, nous allons examiner un sujet plutôt glissant concernant les équations logarithmiques, ou plus précisément, la suppression des puissances dans les arguments et les bases des logarithmes.

Je dirais même que nous parlerons de la suppression des puissances paires, car c'est avec des puissances paires que surgissent la plupart des difficultés lors de la résolution d'équations logarithmiques réelles.

Commençons avec Forme canonique. Disons que nous avons une équation de la forme log a f (x) = b. Dans ce cas, nous réécrivons le nombre b en utilisant la formule b = log a a b . Il s'avère ce qui suit :

log a f (x) = log a a b

Ensuite, nous assimilons les arguments :

f (x) = un b

L’avant-dernière formule est appelée forme canonique. C'est à cela qu'ils tentent de réduire toute équation logarithmique, aussi complexe et effrayante qu'elle puisse paraître à première vue.

Alors essayons. Commençons par la première tâche :

Note préliminaire : comme je l'ai dit, tout décimales dans une équation logarithmique, il est préférable de la convertir en équations ordinaires :

0,5 = 5/10 = 1/2

Réécrivons notre équation en tenant compte de ce fait. Notez que 1/1000 et 100 sont des puissances de dix, puis supprimons les puissances où qu'elles se trouvent : à partir d'arguments et même de la base de logarithmes :

Et ici, de nombreux étudiants se posent une question : « D'où vient le module de droite ? En effet, pourquoi ne pas simplement écrire (x − 1) ? Bien sûr, nous allons maintenant écrire (x − 1), mais la prise en compte du domaine de définition nous donne droit à une telle notation. Après tout, un autre logarithme contient déjà (x − 1), et cette expression doit être supérieure à zéro.

Mais quand on enlève le carré de la base du logarithme, il faut laisser exactement le module à la base. Laissez-moi vous expliquer pourquoi.

Le fait est que, d’un point de vue mathématique, obtenir un diplôme équivaut à prendre racine. En particulier, lorsque nous mettons au carré l’expression (x − 1) 2, nous prenons essentiellement la deuxième racine. Mais la racine carrée n’est rien d’autre qu’un module. Exactement module, car même si l'expression x − 1 est négative, une fois au carré, le « moins » s'éteindra toujours. Une extraction plus poussée de la racine nous donnera un nombre positif - sans aucun inconvénient.

De manière générale, afin d'éviter de commettre des erreurs offensantes, rappelez-vous une fois pour toutes :

La racine d'une puissance paire de toute fonction élevée à la même puissance n'est pas égale à la fonction elle-même, mais à son module :

Revenons à notre équation logarithmique. En parlant du module, j'ai soutenu que nous pouvons le supprimer sans douleur. C'est vrai. Maintenant, je vais vous expliquer pourquoi. À proprement parler, nous avons dû envisager deux options :

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x−1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Chacune de ces options devra être examinée. Mais il y a un hic : la formule originale contient déjà la fonction (x − 1) sans aucun module. Et en suivant le domaine de définition des logarithmes, on a le droit d'écrire immédiatement que x − 1 > 0.

Cette exigence doit être satisfaite quels que soient les modules et autres transformations que nous effectuons au cours du processus de solution. Par conséquent, il ne sert à rien d’envisager la deuxième option – elle ne se posera jamais. Même si nous obtenons des chiffres en résolvant cette branche d’inégalité, ils ne seront toujours pas inclus dans la réponse finale.

Nous sommes désormais littéralement à un pas de la forme canonique de l’équation logarithmique. Représentons l'unité comme suit :

1 = journal x − 1 (x − 1) 1

De plus, nous introduisons le facteur −4, qui se trouve à droite, dans l'argument :

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Nous avons devant nous la forme canonique de l'équation logarithmique. On se débarrasse du signe du logarithme :

10 −4 = x − 1

Mais comme la base était une fonction (et non un nombre premier), nous exigeons en plus que cette fonction soit supérieure à zéro et non égale à un. Le système résultant sera :

Puisque l’exigence x − 1 > 0 est automatiquement satisfaite (après tout, x − 1 = 10 −4), l’une des inégalités peut être supprimée de notre système. La deuxième condition peut également être barrée, car x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

C'est la seule racine qui satisfait automatiquement à toutes les exigences du domaine de définition du logarithme (cependant, toutes les exigences ont été éliminées comme étant évidemment remplies dans les conditions de notre problème).

Donc la deuxième équation :

3 journal 3 x x = 2 journal 9 x x 2

En quoi cette équation est-elle fondamentalement différente de la précédente ? Ne serait-ce que parce que les bases des logarithmes - 3x et 9x - ne sont pas des puissances naturelles les unes des autres. Par conséquent, la transition que nous avons utilisée dans la solution précédente n’est pas possible.

Débarrassons-nous au moins des diplômes. Dans notre cas, le seul degré est dans le deuxième argument :

3 journal 3 x x = 2 ∙ 2 journal 9 x |x |

Cependant, le signe du module peut être supprimé, car la variable x est également à la base, c'est-à-dire x > 0 ⇒ |x| = x. Réécrivons notre équation logarithmique :

3 bûches 3 x x = 4 bûches 9 x x

Nous avons obtenu des logarithmes dans lesquels les arguments sont les mêmes, mais des raisons différentes. Que faire ensuite? Il existe de nombreuses options ici, mais nous n'en considérerons que deux, qui sont les plus logiques et, surtout, ce sont des techniques rapides et compréhensibles pour la plupart des étudiants.

Nous avons déjà envisagé la première option : dans toute situation peu claire, convertir les logarithmes à base variable en base constante. Par exemple, à deux. La formule de transition est simple :

Bien entendu, le rôle de la variable c devrait être un nombre normal : 1 ≠ c > 0. Soit dans notre cas c = 2. Nous avons maintenant devant nous une équation rationnelle fractionnaire ordinaire. On rassemble tous les éléments de gauche :

Évidemment, il est préférable de supprimer le facteur log 2 x, puisqu'il est présent à la fois dans la première et dans la deuxième fraction.

journal 2 x = 0 ;

3 bûches 2 9x = 4 bûches 2 3x

Nous divisons chaque journal en deux termes :

journal 2 9x = journal 2 9 + journal 2 x = 2 journal 2 3 + journal 2 x ;

journal 2 3x = journal 2 3 + journal 2 x

Réécrivons les deux côtés de l'égalité en tenant compte de ces faits :

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 bûche 2 3 + 3 bûche 2 x = 4 bûche 2 3 + 4 bûche 2 x

2 bûche 2 3 = bûche 2 x

Il ne reste plus qu'à saisir un deux sous le signe du logarithme (il se transformera en puissance : 3 2 = 9) :

journal 2 9 = journal 2 x

Nous avons devant nous la forme canonique classique, on se débarrasse du signe du logarithme et on obtient :

Comme prévu, cette racine s’est avérée supérieure à zéro. Reste à vérifier le domaine de définition. Voyons les raisons :

Mais la racine x = 9 satisfait à ces exigences. C’est donc la décision finale.

Conclusion de cette décision simple : ne vous laissez pas intimider par les longues mises en page ! C'est juste qu'au tout début, nous avons choisi une nouvelle base au hasard - et cela a considérablement compliqué le processus.

Mais alors la question se pose : quelle est la base optimale? J'en parlerai dans la deuxième méthode.

Revenons à notre équation originale :

3 bûches 3x x = 2 bûches 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| =x

3 bûches 3 x x = 4 bûches 9 x x

Réfléchissons maintenant un peu : quel nombre ou quelle fonction serait la base optimale ? Il est évident que la meilleure option il y aura c = x - ce qui est déjà dans les arguments. Dans ce cas, la formule log a b = log c b /log c a prendra la forme :

Autrement dit, l’expression est simplement inversée. Dans ce cas, l’argument et le fondement changent de place.

Cette formule est très utile et est très souvent utilisée pour résoudre des équations logarithmiques complexes. Cependant, l’utilisation de cette formule présente un écueil très sérieux. Si nous substituons la variable x à la place de la base, alors des restrictions lui sont imposées qui n'étaient pas observées auparavant :

Il n’y avait pas une telle limitation dans l’équation originale. Par conséquent, nous devrions vérifier séparément le cas où x = 1. Remplacez cette valeur dans notre équation :

3 bûches 3 1 = 4 bûches 9 1

Nous obtenons l'égalité numérique correcte. Donc x = 1 est une racine. Nous avons trouvé exactement la même racine dans la méthode précédente au tout début de la solution.

Mais maintenant que nous avons examiné cela séparément cas particulier, nous supposons en toute sécurité que x ≠ 1. Alors notre équation logarithmique sera réécrite sous la forme suivante :

3 bûches x 9x = 4 bûches x 3x

Nous développons les deux logarithmes en utilisant la même formule que précédemment. Notez que log x x = 1 :

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 bûches x 9 + 3 = 4 bûches x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 bûches x 3 = 1

Nous sommes donc arrivés à la forme canonique :

journal x 9 = journal x x 1

x=9

Nous avons la deuxième racine. Il satisfait à l’exigence x ≠ 1. Par conséquent, x = 9 avec x = 1 est la réponse finale.

Comme vous pouvez le constater, le volume des calculs a légèrement diminué. Mais lors de la résolution d’une équation logarithmique réelle, le nombre d’étapes sera également bien moindre car vous n’êtes pas obligé de décrire chaque étape avec autant de détails.

La règle clé de la leçon d'aujourd'hui est la suivante : si le problème contient un degré pair, à partir duquel la racine du même degré est extraite, alors le résultat sera un module. Cependant, ce module peut être supprimé si vous faites attention au domaine de définition des logarithmes.

Mais attention : après ce cours, la plupart des élèves pensent avoir tout compris. Mais lorsqu’ils résolvent des problèmes réels, ils ne peuvent pas tout reproduire. chaîne logique. En conséquence, l'équation acquiert des racines inutiles et la réponse s'avère incorrecte.

Avec cette vidéo, je commence une longue série de leçons sur les équations logarithmiques. Vous avez maintenant devant vous trois exemples, sur la base desquels nous apprendrons à résoudre le plus tâches simples, qui sont appelés ainsi - protozoaires.

log 0,5 (3x − 1) = −3

journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5

Permettez-moi de vous rappeler que l'équation logarithmique la plus simple est la suivante :

log une f (x) = b

Dans ce cas, il est important que la variable x soit présente uniquement à l'intérieur de l'argument, c'est-à-dire uniquement dans la fonction f (x). Et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas des fonctions contenant la variable x.

Méthodes de résolution de base

Il existe de nombreuses façons de résoudre de telles structures. Par exemple, la plupart des enseignants de l'école proposent cette méthode : Exprimer immédiatement la fonction f (x) à l'aide de la formule F ( x) = un B . Autrement dit, lorsque vous rencontrez la construction la plus simple, vous pouvez immédiatement passer à la solution sans actions ni constructions supplémentaires.

Oui, bien sûr, la décision sera la bonne. Cependant, le problème de cette formule est que la plupart des étudiants ne comprennent pas, d'où il vient et pourquoi on élève la lettre a à la lettre b.

En conséquence, je constate souvent des erreurs très gênantes lorsque, par exemple, ces lettres sont échangées. Cette formule il faut soit comprendre, soit bachoter, et la deuxième méthode conduit à des erreurs aux moments les plus inopportuns et les plus cruciaux : lors des examens, des tests, etc.

C'est pourquoi je suggère à tous mes élèves d'abandonner la formule scolaire standard et d'utiliser la deuxième approche pour résoudre des équations logarithmiques, qui, comme vous l'avez probablement deviné d'après son nom, s'appelle Forme canonique.

L'idée de la forme canonique est simple. Regardons à nouveau notre problème : à gauche nous avons log a, et par la lettre a nous entendons un nombre, et en aucun cas une fonction contenant la variable x. Par conséquent, cette lettre est soumise à toutes les restrictions imposées sur la base du logarithme. à savoir:

1 ≠ une > 0

D'autre part, à partir de la même équation, nous voyons que le logarithme doit être égal au nombre b, et aucune restriction n'est imposée à cette lettre, car elle peut prendre n'importe quelle valeur - positive ou négative. Tout dépend des valeurs que prend la fonction f(x).

Et ici, nous nous souvenons de notre merveilleuse règle selon laquelle tout nombre b peut être représenté comme un logarithme à la base a de a à la puissance b :

b = journal a a b

Comment retenir cette formule ? Oui, très simple. Écrivons la construction suivante :

b = b 1 = b journal a a

Bien entendu, dans ce cas, toutes les restrictions que nous avons notées au début surviennent. Utilisons maintenant la propriété de base du logarithme et introduisons le multiplicateur b comme puissance de a. On a:

b = b 1 = b journal a a = journal a a b

En conséquence, l’équation originale sera réécrite comme suit :

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

C'est tout. La nouvelle fonction ne contient plus de logarithme et peut être résolue à l'aide de techniques algébriques standards.

Bien sûr, quelqu'un objectera maintenant : pourquoi était-il nécessaire de proposer une sorte de formule canonique, pourquoi effectuer deux étapes supplémentaires inutiles s'il était possible de passer immédiatement de la conception originale à la formule finale ? Oui, ne serait-ce que parce que la plupart des étudiants ne comprennent pas d’où vient cette formule et, de ce fait, commettent régulièrement des erreurs en l’appliquant.

Mais cette séquence d'actions, composée de trois étapes, permet de résoudre l'équation logarithmique originale, même si vous ne comprenez pas d'où vient la formule finale. D'ailleurs, cette entrée s'appelle la formule canonique :

log a f (x) = log a a b

La commodité de la forme canonique réside également dans le fait qu'elle peut être utilisée pour résoudre une très large classe d'équations logarithmiques, et pas seulement les plus simples que nous considérons aujourd'hui.

Exemples de solutions

Maintenant, jetons un coup d'oeil exemples réels. Alors décidons :

log 0,5 (3x − 1) = −3

Réécrivons-le comme ceci :

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

De nombreux étudiants sont pressés et tentent d'élever immédiatement le nombre 0,5 à la puissance qui nous est venue du problème initial. En effet, lorsque vous êtes déjà bien formé à la résolution de tels problèmes, vous pouvez immédiatement effectuer cette étape.

Cependant, si vous commencez tout juste à étudier ce sujet, il est préférable de ne vous précipiter nulle part afin d'éviter de commettre des erreurs offensantes. Nous avons donc la forme canonique. Nous avons:

3x − 1 = 0,5 −3

Il ne s'agit plus d'une équation logarithmique, mais linéaire par rapport à la variable x. Pour le résoudre, regardons d’abord le nombre 0,5 à la puissance −3. Notez que 0,5 est 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertissez toutes les fractions décimales en fractions communes lors de la résolution d'une équation logarithmique.

On réécrit et on obtient :

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Ça y est, nous avons la réponse. Le premier problème a été résolu.

Deuxième tâche

Passons à la deuxième tâche :

Comme on le voit, cette équation n’est plus la plus simple. Ne serait-ce que parce qu'il y a une différence à gauche, et pas un seul logarithme par base.

Par conséquent, nous devons d’une manière ou d’une autre éliminer cette différence. DANS dans ce cas tout est très simple. Regardons de plus près les bases : à gauche se trouve le nombre sous la racine :

Recommandation générale : dans toutes les équations logarithmiques, essayez de vous débarrasser des radicaux, c'est-à-dire des entrées avec des racines et passez à fonctions de puissance, tout simplement parce que les exposants de ces puissances sont facilement retirés du signe du logarithme et, en fin de compte, une telle notation simplifie et accélère considérablement les calculs. Écrivons-le ainsi :

Rappelons maintenant la propriété remarquable du logarithme : les puissances peuvent être dérivées de l'argument, aussi bien que de la base. En cas de motif, il se passe ce qui suit :

log a k b = 1/k loga b

En d’autres termes, le nombre qui était dans la puissance de base est à la fois avancé et inversé, c’est-à-dire qu’il devient un nombre réciproque. Dans notre cas, le diplôme de base était de 1/2. Par conséquent, nous pouvons le retirer à 2/1. On a:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Attention : vous ne devez en aucun cas vous débarrasser des logarithmes à cette étape. N'oubliez pas les mathématiques de 4e à 5e années et l'ordre des opérations : la multiplication est effectuée en premier, et ensuite seulement l'addition et la soustraction. Dans ce cas, on soustrait un des mêmes éléments de 10 éléments :

9 journal 5 x = 18
journal 5 x = 2

Notre équation se présente maintenant comme elle le devrait. Ce conception la plus simple, et nous le résolvons en utilisant la forme canonique :

journal 5 x = journal 5 5 2
x = 5 2
x = 25

C'est tout. Le deuxième problème a été résolu.

Troisième exemple

Passons à la troisième tâche :

journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5

Je vous rappelle la formule suivante :

journal b = journal 10 b

Si, pour une raison quelconque, vous êtes confus par la notation log b , alors lorsque vous effectuez tous les calculs, vous pouvez simplement écrire log 10 b . Vous pouvez travailler avec des logarithmes décimaux de la même manière qu'avec les autres : prendre des puissances, additionner et représenter n'importe quel nombre sous la forme lg 10.

Ce sont ces propriétés que nous allons maintenant utiliser pour résoudre le problème, puisque ce n'est pas le plus simple que nous ayons noté au tout début de notre leçon.

Tout d'abord, notons que le facteur 2 devant lg 5 peut être introduit et devient une puissance de base 5. De plus, le terme libre 3 est également représentable sous forme de logarithme - ceci est très facile à observer à partir de notre notation.

Jugez par vous-même : n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de log en base 10 :

3 = journal 10 10 3 = journal 10 3

Réécrivons le problème d'origine en tenant compte des changements obtenus :

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
journal (x − 3) = journal 25 000

Nous avons à nouveau la forme canonique devant nous, et nous l'avons obtenue sans passer par l'étape de transformation, c'est-à-dire l'équation logarithmique la plus simple n'est apparue nulle part.

C'est exactement ce dont j'ai parlé au tout début de la leçon. La forme canonique vous permet de résoudre une classe de problèmes plus large que la formule scolaire standard proposée par la plupart des enseignants.

Bon, ça y est, on se débarrasse du signe du logarithme décimal, et on obtient une construction linéaire simple :

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Tous! Le problème est résolu.

Une note sur la portée

Je voudrais ici faire une remarque importante concernant la portée de la définition. Il y aura sûrement maintenant des étudiants et des enseignants qui diront : « Lorsque nous résolvons des expressions avec des logarithmes, nous devons nous rappeler que l'argument f (x) doit être supérieur à zéro ! À cet égard, une question logique se pose : pourquoi n’avons-nous pas exigé que cette inégalité soit satisfaite dans aucun des problèmes considérés ?

Ne t'inquiète pas. Dans ces cas, aucune racine supplémentaire n’apparaîtra. Et c'est une autre astuce intéressante qui vous permet d'accélérer la solution. Sachez simplement que si dans le problème la variable x n'apparaît qu'à un seul endroit (ou plutôt dans un seul argument d'un seul logarithme), et nulle part ailleurs dans notre cas la variable x n'apparaît, alors notez le domaine de définition pas besoin, car il sera exécuté automatiquement.

Jugez par vous-même : dans la première équation, nous avons obtenu que 3x − 1, c'est-à-dire que l'argument doit être égal à 8. Cela signifie automatiquement que 3x − 1 sera supérieur à zéro.

Avec le même succès, on peut écrire que dans le second cas x doit être égal à 5 ​​2, c'est-à-dire qu'il est certainement supérieur à zéro. Et dans le troisième cas, où x + 3 = 25 000, c'est-à-dire encore une fois évidemment supérieur à zéro. En d’autres termes, la portée est automatiquement satisfaite, mais seulement si x n’apparaît que dans l’argument d’un seul logarithme.

C'est tout ce que vous devez savoir pour résoudre les problèmes les plus simples. Cette règle à elle seule, ainsi que les règles de transformation, vous permettront de résoudre une très large classe de problèmes.

Mais soyons honnêtes : pour enfin comprendre cette technique, pour apprendre à appliquer la forme canonique de l'équation logarithmique, il ne suffit pas de regarder une seule leçon vidéo. Alors téléchargez les options dès maintenant pour décision indépendante, qui sont joints à cette leçon vidéo et commencent à résoudre au moins un de ces deux travaux indépendants.

Cela vous prendra littéralement quelques minutes. Mais l'effet d'une telle formation sera bien plus important que si vous regardiez simplement cette leçon vidéo.

J'espère que cette leçon vous aidera à comprendre les équations logarithmiques. Utilisez la forme canonique, simplifiez les expressions en utilisant les règles de travail avec les logarithmes - et vous n'aurez peur d'aucun problème. C'est tout ce que j'ai pour aujourd'hui.

Prise en compte du domaine de définition

Parlons maintenant du domaine de définition de la fonction logarithmique et de la manière dont cela affecte la solution des équations logarithmiques. Considérons une construction de la forme

log une f(x) = b

Une telle expression est appelée la plus simple - elle ne contient qu'une seule fonction, et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas une fonction qui dépend de la variable x. Cela peut être résolu très simplement. Il vous suffit d'utiliser la formule :

b = journal a a b

Cette formule est l'une des propriétés clés du logarithme, et en la remplaçant par notre expression originale, nous obtenons ce qui suit :

log a f (x) = log a a b

f (x) = un b

Il s’agit d’une formule familière des manuels scolaires. De nombreux étudiants se poseront probablement une question : puisque dans l'expression originale la fonction f (x) est sous le signe log, les restrictions suivantes lui sont imposées :

f(x) > 0

Cette limitation s'applique car le logarithme de nombres négatifs n'existe pas. Alors, peut-être qu’en raison de cette limitation, un contrôle des réponses devrait être introduit ? Peut-être faut-il les insérer dans la source ?

Non, dans les équations logarithmiques les plus simples, une vérification supplémentaire n'est pas nécessaire. Et c'est pourquoi. Jetez un œil à notre formule finale:

f (x) = un b

Le fait est que le nombre a est de toute façon supérieur à 0 - cette exigence est également imposée par le logarithme. Le nombre a est la base. Dans ce cas, aucune restriction n'est imposée sur le nombre b. Mais cela n’a pas d’importance, car quelle que soit la puissance à laquelle nous élevons un nombre positif, nous obtiendrons toujours un nombre positif en sortie. Ainsi, l'exigence f (x) > 0 est automatiquement satisfaite.

Ce qui vaut vraiment la peine d'être vérifié, c'est le domaine de la fonction sous le signe du journal. Il peut y avoir des structures assez complexes et vous devez absolument les surveiller pendant le processus de résolution. Jetons un coup d'oeil.

Première tâche :

Première étape : convertir la fraction de droite. On a:

On se débarrasse du signe du logarithme et on obtient l'équation irrationnelle habituelle :

Parmi les racines obtenues, seule la première nous convient, puisque la seconde racine est inférieure à zéro. La seule réponse sera le chiffre 9. Ça y est, le problème est résolu. Aucun contrôle supplémentaire n'est requis pour s'assurer que l'expression sous le signe du logarithme est supérieure à 0, car elle n'est pas seulement supérieure à 0, mais selon la condition de l'équation elle est égale à 2. Par conséquent, l'exigence « supérieur à zéro » » est satisfait automatiquement.

Passons à la deuxième tâche :

Tout est pareil ici. On réécrit la construction en remplaçant le triple :

On se débarrasse des signes du logarithme et on obtient une équation irrationnelle :

Nous mettons au carré les deux côtés en tenant compte des restrictions et obtenons :

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x2 = x2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​​​6x + x 2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

On résout l'équation résultante par le discriminant :

ré = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x2 = −6

Mais x = −6 ne nous convient pas, car si l'on substitue ce nombre dans notre inégalité, on obtient :

−6 + 4 = −2 < 0

Dans notre cas, il faut qu'il soit supérieur à 0 ou, dans les cas extrêmes, égal. Mais x = −1 nous convient :

−1 + 4 = 3 > 0

La seule réponse dans notre cas sera x = −1. C'est la solution. Revenons au tout début de nos calculs.

Le principal point à retenir de cette leçon est que vous n'avez pas besoin de vérifier les contraintes sur une fonction dans des équations logarithmiques simples. Parce que pendant le processus de résolution, toutes les contraintes sont automatiquement satisfaites.

Cependant, cela ne signifie en aucun cas que vous pouvez oublier complètement la vérification. En travaillant sur une équation logarithmique, celle-ci pourrait très bien devenir irrationnelle, qui aura ses propres restrictions et exigences pour le côté droit, comme nous l'avons vu aujourd'hui dans deux exemples différents.

N'hésitez pas à résoudre de tels problèmes et soyez particulièrement prudent s'il y a une racine dans le différend.

Équations logarithmiques avec différentes bases

Nous continuons à étudier les équations logarithmiques et examinons deux autres techniques très intéressantes avec lesquelles il est à la mode de résoudre davantage conceptions complexes. Mais rappelons d’abord comment les problèmes les plus simples sont résolus :

log une f(x) = b

Dans cette entrée, a et b sont des nombres, et dans la fonction f (x) la variable x doit être présente, et seulement là, c'est-à-dire que x ne doit être que dans l'argument. Nous transformerons ces équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Pour ce faire, notez que

b = journal a a b

De plus, a b est précisément un argument. Réécrivons cette expression comme suit :

log a f (x) = log a a b

C’est exactement ce que nous essayons de réaliser, afin qu’il y ait un logarithme pour baser a à la fois à gauche et à droite. Dans ce cas, on peut, au sens figuré, rayer les signes du journal, et d'un point de vue mathématique on peut dire que l'on égalise simplement les arguments :

f (x) = un b

En conséquence, nous obtiendrons une nouvelle expression qui sera beaucoup plus facile à résoudre. Appliquons cette règle à nos problèmes d'aujourd'hui.

Donc, la première conception :

Tout d’abord, je remarque qu’à droite se trouve une fraction dont le dénominateur est log. Lorsque vous voyez une expression comme celle-ci, c’est une bonne idée de vous rappeler une merveilleuse propriété des logarithmes :

Traduit en russe, cela signifie que tout logarithme peut être représenté comme le quotient de deux logarithmes de n'importe quelle base c. Bien sûr 0< с ≠ 1.

Donc : cette formule a un merveilleux cas particulier, lorsque la variable c est égale à la variable b. Dans ce cas on obtient une construction comme :

C’est exactement la construction que nous voyons grâce au signe de droite dans notre équation. Remplaçons cette construction par log a b , nous obtenons :

En d’autres termes, par rapport à la tâche initiale, nous avons interverti l’argument et la base du logarithme. Au lieu de cela, nous avons dû inverser la fraction.

Rappelons que tout diplôme peut être dérivé de la base selon la règle suivante :

Autrement dit, le coefficient k, qui est la puissance de la base, est exprimé sous forme de fraction inversée. Rendons-le sous forme de fraction inversée :

Le facteur fractionnaire ne peut pas être laissé devant, car dans ce cas nous ne pourrons pas représenter cette notation comme une forme canonique (après tout, sous la forme canonique il n'y a pas de facteur supplémentaire avant le deuxième logarithme). Par conséquent, ajoutons la fraction 1/4 à l'argument sous forme de puissance :

Maintenant, nous assimilons les arguments dont les bases sont les mêmes (et nos bases sont réellement les mêmes), et écrivons :

x + 5 = 1

x = −4

C'est tout. Nous avons obtenu la réponse à la première équation logarithmique. Attention : dans le problème d'origine, la variable x n'apparaît que dans un seul journal, et elle apparaît dans son argument. Par conséquent, il n’est pas nécessaire de vérifier le domaine, et notre nombre x = −4 est bien la réponse.

Passons maintenant à la deuxième expression :

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Ici, en plus des logarithmes habituels, nous devrons travailler avec log f (x). Comment résoudre une telle équation ? Pour un étudiant non préparé, cela peut sembler une tâche difficile, mais en réalité, tout peut être résolu de manière élémentaire.

Examinez attentivement le terme lg 2 log 2 7. Que pouvons-nous en dire ? Les bases et arguments de log et lg sont les mêmes, et cela devrait donner quelques idées. Rappelons encore une fois comment les puissances sont extraites sous le signe du logarithme :

log a b n = nlog a b

En d’autres termes, ce qui était une puissance de b dans l’argumentation devient un facteur devant log lui-même. Appliquons cette formule à l'expression lg 2 log 2 7. N'ayez pas peur de lg 2 - c'est l'expression la plus courante. Vous pouvez le réécrire comme suit :

Toutes les règles qui s'appliquent à tout autre logarithme lui sont valables. En particulier, le facteur précédent peut être ajouté au degré de l'argumentation. Écrivons-le :

Très souvent, les étudiants ne voient pas directement cette action, car il n'est pas bon d'inscrire un journal sous le signe d'un autre. En fait, cela n’a rien de criminel. De plus, nous obtenons une formule facile à calculer si l'on se souvient d'une règle importante :

Cette formule peut être considérée à la fois comme une définition et comme l'une de ses propriétés. Dans tous les cas, si vous convertissez une équation logarithmique, vous devez connaître cette formule tout comme vous connaîtriez la représentation logarithmique de n'importe quel nombre.

Revenons à notre tâche. On le réécrit en tenant compte du fait que le premier terme à droite du signe égal sera simplement égal à lg 7. On a :

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Déplaçons LG 7 vers la gauche, nous obtenons :

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

On soustrait les expressions de gauche car elles ont la même base :

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Examinons maintenant de plus près l'équation que nous avons obtenue. C'est pratiquement la forme canonique, mais il y a un facteur −3 à droite. Ajoutons-le à l'argument lg de droite :

journal 8 = journal (x + 4) −3

Devant nous se trouve la forme canonique de l'équation logarithmique, nous biffons donc les signes lg et assimilons les arguments :

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

C'est tout! Nous avons résolu la deuxième équation logarithmique. Dans ce cas, aucune vérification supplémentaire n’est requise, car dans le problème initial, x n’était présent que dans un seul argument.

Je vais le lister à nouveau points clés Cette leçon.

La formule principale enseignée dans toutes les leçons de cette page dédiées à la résolution d'équations logarithmiques est la forme canonique. Et ne soyez pas effrayé par le fait que la plupart des manuels scolaires vous apprennent à résoudre ces problèmes différemment. Cet outil fonctionne très efficacement et vous permet de résoudre une classe de problèmes beaucoup plus large que les plus simples que nous avons étudiés au tout début de notre leçon.

De plus, pour résoudre des équations logarithmiques, il sera utile d’en connaître les propriétés de base. À savoir:

1. La formule pour passer à une base et le cas particulier où l'on inverse le log (cela nous a été très utile dans le premier problème) ;
2. Formule pour ajouter et soustraire des puissances au signe du logarithme. Ici, de nombreux étudiants restent bloqués et ne voient pas que le diplôme retiré et introduit peut lui-même contenir log f (x). Aucun problème avec cela. On peut introduire un log selon le signe de l'autre et en même temps simplifier considérablement la solution du problème, ce que l'on observe dans le second cas.

En conclusion, je voudrais ajouter qu'il n'est pas nécessaire de vérifier le domaine de définition dans chacun de ces cas, car partout la variable x est présente dans un seul signe de log, et en même temps dans son argument. En conséquence, toutes les exigences du champ d’application sont automatiquement remplies.

Problèmes avec la base variable

Aujourd'hui, nous examinerons les équations logarithmiques qui, pour de nombreux étudiants, semblent non standard, voire totalement insolubles. Il s'agit de sur les expressions basées non pas sur des nombres, mais sur des variables et même des fonctions. Nous résoudrons de telles constructions en utilisant notre réception standard, notamment à travers la forme canonique.

Pour commencer, rappelons comment sont résolus les problèmes les plus simples, à partir de numéros réguliers. La construction la plus simple s’appelle donc

log une f(x) = b

Pour résoudre de tels problèmes, nous pouvons utiliser la formule suivante :

b = journal a a b

Nous réécrivons notre expression originale et obtenons :

log a f (x) = log a a b

Ensuite, nous égalisons les arguments, c'est-à-dire que nous écrivons :

f (x) = un b

Ainsi, nous nous débarrassons du panneau de journal et résolvons le problème habituel. Dans ce cas, les racines obtenues à partir de la solution seront les racines de l’équation logarithmique originale. De plus, un enregistrement où la gauche et la droite sont dans le même logarithme avec la même base est précisément appelé forme canonique. C'est à un tel record que nous tenterons de réduire les conceptions d'aujourd'hui. Alors allons-y.

Première tâche :

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Remplacez 1 par log x − 2 (x − 2) 1 . Le degré que nous observons dans l’argumentation est en fait le nombre b qui se trouve à droite du signe égal. Réécrivons donc notre expression. On a:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Que voit-on ? Nous avons devant nous la forme canonique de l'équation logarithmique, nous pouvons donc assimiler les arguments en toute sécurité. On a:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Mais la solution ne s'arrête pas là, car équation donnée pas équivalent à celui d'origine. Après tout, la construction résultante est constituée de fonctions définies sur toute la droite numérique, et nos logarithmes originaux ne sont pas définis partout ni toujours.

Par conséquent, nous devons écrire le domaine de définition séparément. Ne coupons pas les cheveux en quatre et notons d'abord toutes les exigences :

Premièrement, l'argument de chacun des logarithmes doit être supérieur à 0 :

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Deuxièmement, la base doit non seulement être supérieure à 0, mais également différente de 1 :

X − 2 ≠ 1

En conséquence, nous obtenons le système :

Mais ne vous inquiétez pas : lors du traitement d’équations logarithmiques, un tel système peut être considérablement simplifié.

Jugez par vous-même : d'une part, on exige que la fonction quadratique soit supérieure à zéro, et d'autre part, cette fonction quadratique est assimilée à une certaine expression linéaire, qui doit également être supérieure à zéro.

Dans ce cas, si nous exigeons que x − 2 > 0, alors l'exigence 2x 2 − 13x + 18 > 0 sera automatiquement satisfaite. Par conséquent, nous pouvons rayer en toute sécurité l'inégalité contenant la fonction quadratique. Ainsi, le nombre d'expressions contenues dans notre système sera réduit à trois.

Bien sûr, on pourrait tout aussi bien rayer inégalité linéaire, c'est-à-dire rayer x − 2 > 0 et exiger que 2x 2 − 13x + 18 > 0. Mais vous devez convenir que la résolution de l'inégalité linéaire la plus simple est beaucoup plus rapide et plus facile que l'inégalité quadratique, même si en résolvant l'intégralité ce système nous aurons les mêmes racines.

En général, essayez d’optimiser les calculs autant que possible. Et dans le cas des équations logarithmiques, rayez les inégalités les plus difficiles.

Réécrivons notre système :

Voici un système de trois expressions, dont deux d'ailleurs nous avons déjà traité. Écrivons l'équation quadratique séparément et résolvons-la :

2x 2 − 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Donné devant nous trinôme quadratique et, par conséquent, nous pouvons utiliser les formules de Vieta. On a:

(x − 5)(x − 2) = 0

x1 = 5

x2 = 2

Revenons maintenant à notre système et constatons que x = 2 ne nous convient pas, car on nous impose que x soit strictement supérieur à 2.

Mais x = 5 nous convient parfaitement : le nombre 5 est supérieur à 2, et en même temps 5 n'est pas égal à 3. Par conséquent, la seule solution à ce système sera x = 5.

Ça y est, le problème est résolu, y compris en tenant compte de l'ODZ. Passons à la deuxième équation. Des calculs plus intéressants et informatifs nous attendent ici :

Première étape : comme la dernière fois, nous mettons toute cette affaire sous forme canonique. Pour ce faire, on peut écrire le nombre 9 ainsi :

Il n’est pas nécessaire de toucher la base avec la racine, mais il vaut mieux transformer l’argument. Passons de la racine à la puissance avec un exposant rationnel. Écrivons :

Permettez-moi de ne pas réécrire toute notre grande équation logarithmique, mais simplement d'assimiler immédiatement les arguments :

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x2 + 4x + 3 = 0

Nous avons devant nous un trinôme quadratique nouvellement réduit, utilisons les formules de Vieta et écrivons :

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x2 = −1

Nous avons donc obtenu les racines, mais personne ne nous a garanti qu'elles correspondraient à l'équation logarithmique originale. Après tout, les panneaux de journal imposent des restrictions supplémentaires (ici, nous aurions dû écrire le système, mais en raison de la lourdeur de l'ensemble de la structure, j'ai décidé de calculer le domaine de définition séparément).

Tout d'abord, rappelez-vous que les arguments doivent être supérieurs à 0, à savoir :

Ce sont les exigences imposées par le champ d’application de la définition.

Notons immédiatement que puisque l'on assimile les deux premières expressions du système, on peut rayer n'importe laquelle d'entre elles. Rayons le premier car il semble plus menaçant que le second.

De plus, notons que la solution des deuxième et troisième inégalités sera les mêmes ensembles (le cube d'un certain nombre est supérieur à zéro, si ce nombre lui-même est supérieur à zéro ; de même, avec une racine du troisième degré - ces inégalités sont tout à fait analogues, nous pouvons donc le rayer).

Mais avec la troisième inégalité, cela ne fonctionnera pas. Débarrassons-nous du signe radical de gauche en élevant les deux parties en cube. On a:

Nous obtenons donc les exigences suivantes:

−2 ≠x > −3

Laquelle de nos racines : x 1 = −3 ou x 2 = −1 répond à ces exigences ? Évidemment, seul x = −1, car x = −3 ne satisfait pas la première inégalité (puisque notre inégalité est stricte). Donc, en revenant à notre problème, nous obtenons une racine : x = −1. Voilà, problème résolu.

Encore une fois, les points clés de cette tâche :

1. N'hésitez pas à appliquer et à résoudre des équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Les étudiants qui écrivent de cette façon, plutôt que de passer directement du problème initial à une construction comme log a f (x) = b, permettent beaucoup moins d'erreurs que ceux qui sont pressés quelque part, sautant les étapes intermédiaires des calculs ;
2. Dès qu'une base variable apparaît dans un logarithme, le problème cesse d'être le plus simple. Par conséquent, lors de sa résolution, il est nécessaire de prendre en compte le domaine de définition : les arguments doivent être supérieurs à zéro, et les bases doivent non seulement être supérieures à 0, mais elles ne doivent pas être égales à 1.

Les exigences finales peuvent être appliquées aux réponses finales de différentes manières. Par exemple, vous pouvez résoudre un système entier contenant toutes les exigences du domaine de définition. D'un autre côté, vous pouvez d'abord résoudre le problème lui-même, puis mémoriser le domaine de définition, le développer séparément sous la forme d'un système et l'appliquer aux racines résultantes.

La méthode à choisir pour résoudre une équation logarithmique particulière dépend de vous. Dans tous les cas, la réponse sera la même.

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