Comment résoudre une équation irrationnelle à deux variables. Équation irrationnelle : apprendre à résoudre en utilisant la méthode d'isolation des racines

Une équation irrationnelle est toute équation contenant une fonction sous le signe racine. Par exemple:

De telles équations sont toujours résolues en 3 étapes :

1. Isolez la racine. En d'autres termes, si à gauche du signe égal, en plus de la racine, il y a d'autres nombres ou fonctions, tout cela doit être déplacé vers la droite, en changeant le signe. Dans ce cas, seul le radical doit rester à gauche – sans aucun coefficient.
2. 2. Mettez au carré les deux côtés de l’équation. Dans le même temps, nous rappelons que la plage de valeurs de la racine est constituée de nombres non négatifs. Par conséquent, la fonction de droite ir équation rationnelle doit également être non négatif : g(x) ≥ 0.
3. La troisième étape découle logiquement de la seconde : vous devez effectuer une vérification. Le fait est que dans un deuxième temps, nous pourrions avoir des racines supplémentaires. Et pour les supprimer, vous devez substituer les nombres candidats résultants dans l'équation d'origine et vérifier : l'égalité numérique correcte est-elle vraiment obtenue ?

Résoudre une équation irrationnelle

Regardons notre équation irrationnelle donnée au tout début de la leçon. Ici la racine est déjà isolée : à gauche du signe égal il n'y a que la racine. Carrer les deux côtés :

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Nous résolvons l'équation quadratique résultante par le discriminant :

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6 ; x 2 = −2

Il ne reste plus qu'à substituer ces nombres dans l'équation d'origine, c'est-à-dire effectuer le contrôle. Mais même ici, vous pouvez faire ce qu'il faut pour simplifier la décision finale.

Comment simplifier la solution

Réfléchissons : pourquoi effectuons-nous même une vérification à la fin de la résolution d'une équation irrationnelle ? Nous voulons nous assurer que lorsque nous substituons nos racines, il y aura un nombre non négatif à droite du signe égal. Après tout, nous savons déjà avec certitude qu'il y a un nombre non négatif à gauche, car la racine carrée arithmétique (c'est pourquoi notre équation est appelée irrationnelle) par définition ne peut pas être inférieure à zéro.

Il suffit donc de vérifier que la fonction g (x) = 5 − x, qui se trouve à droite du signe égal, est non négative :

g(x) ≥ 0

On substitue nos racines dans cette fonction et on obtient :

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Des valeurs obtenues, il s'ensuit que la racine x 1 = 6 ne nous convient pas, car en la substituant par le côté droit de l'équation originale, nous obtenons un nombre négatif. Mais la racine x 2 = −2 nous convient tout à fait, car :

1. Cette racine est la solution équation quadratique, obtenu grâce à la construction des deux côtés équation irrationnelle dans un carré.
2. Lors du remplacement de la racine x 2 = −2, le côté droit de l'équation irrationnelle originale se transforme en un nombre positif, c'est-à-dire la plage de valeurs de la racine arithmétique n'est pas violée.

C'est tout l'algorithme ! Comme vous pouvez le constater, résoudre des équations avec des radicaux n’est pas si difficile. L'essentiel est de ne pas oublier de vérifier les racines reçues, sinon il y a une très forte probabilité de recevoir des réponses inutiles.

Résoudre des équations irrationnelles.

Dans cet article, nous parlerons des solutions les équations irrationnelles les plus simples.

Équation irrationnelle est une équation qui contient une inconnue sous le signe racine.

Regardons deux types équations irrationnelles, qui sont très similaires à première vue, mais qui sont essentiellement très différents les uns des autres.

(1)

(2)

Dans la première équation on voit que l'inconnu est sous le signe de la racine du troisième degré. Nous pouvons prendre l'étrange racine de nombre négatif, par conséquent, dans cette équation, il n'y a aucune restriction ni sur l'expression sous le signe racine ni sur l'expression du côté droit de l'équation. Nous pouvons élever les deux côtés de l’équation à la puissance trois pour nous débarrasser de la racine. On obtient une équation équivalente :

En élevant les côtés droit et gauche de l'équation à une puissance étrange, nous ne pouvons pas avoir peur d'obtenir des racines superflues.

Exemple 1. Résolvons l'équation

Élevons les deux côtés de l'équation à la puissance trois. On obtient une équation équivalente :

Mettons tous les termes de côté et mettons x entre parenthèses :

En assimilant chaque facteur à zéro, on obtient :

Réponse : (0 ; 1 ; 2)

Regardons attentivement la deuxième équation : . Sur le côté gauche de l’équation se trouve la racine carrée, qui ne prend que des valeurs non négatives. Par conséquent, pour que l’équation ait des solutions, le membre de droite doit également être non négatif. Par conséquent, la condition est imposée au côté droit de l’équation :

Titre="g(x)>=0"> - это !} condition d'existence des racines.

Pour résoudre une équation de ce type, vous devez mettre au carré les deux côtés de l’équation :

(3)

La mise au carré peut conduire à l'apparition de racines étrangères, nous avons donc besoin des équations :

Titre="f(x)>=0"> (4)!}

Cependant, l'inégalité (4) découle de la condition (3) : si à droite de l'égalité il y a un carré d'une expression et que le carré de toute expression ne peut prendre que des valeurs non négatives, donc côté gauche doit également être non négatif. Par conséquent, la condition (4) découle automatiquement de la condition (3) et notre l'équation est équivalent au système :

Titre="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Exemple 2. Résolvons l'équation :

.

Passons à un système équivalent :

Titre="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Résolvons la première équation du système et vérifions quelles racines satisfont à l'inégalité.

Inégalité title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Réponse : x=1

Attention! Si, au cours du processus de résolution, nous mettons au carré les deux côtés de l'équation, nous devons alors nous rappeler que des racines superflues peuvent apparaître. Par conséquent, vous devez soit passer à un système équivalent, soit à la fin de la solution, FAIRE UNE VÉRIFICATION : trouver les racines et les remplacer dans l'équation d'origine.

Exemple 3. Résolvons l'équation :

Pour résoudre cette équation, nous devons également mettre les deux côtés au carré. Ne nous occupons pas de l'ODZ et de la condition d'existence des racines dans cette équation, mais faisons simplement une vérification à la fin de la solution.

Mettons au carré les deux côtés de l'équation :

Déplaçons le terme contenant la racine vers la gauche, et tous les autres termes vers la droite :

Mettons à nouveau au carré les deux côtés de l'équation :

Selon le thème de Vieta :

Faisons une vérification. Pour ce faire, nous substituons les racines trouvées dans l'équation originale. Évidemment, en , le membre de droite de l’équation d’origine est négatif et le membre de gauche est positif.

À nous obtenons l’égalité correcte.

Les équations dans lesquelles une variable est contenue sous le signe racine sont dites irrationnelles.

Les méthodes de résolution d'équations irrationnelles reposent généralement sur la possibilité de remplacer (à l'aide de certaines transformations) une équation irrationnelle par une équation rationnelle qui est soit équivalente à l'équation irrationnelle d'origine, soit en est une conséquence. Le plus souvent, les deux membres de l’équation sont élevés à la même puissance. Cela produit une équation qui est une conséquence de l’équation originale.

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, les éléments suivants doivent être pris en compte :

1) si l'exposant racine est un nombre pair, alors l'expression radicale doit être non négative ; dans ce cas, la valeur de la racine est également non négative (définition d'une racine avec un exposant pair) ;

2) si l'indicateur racine est nombre impair, alors l'expression radicale peut être n'importe quel nombre réel ; dans ce cas, le signe de la racine coïncide avec le signe de l'expression radicale.

Exemple 1. Résous l'équation

Mettons au carré les deux côtés de l’équation.
x 2 - 3 = 1 ;
Déplaçons -3 du côté gauche de l'équation vers la droite et effectuons une réduction de termes similaires.
x2 = 4 ;
L’équation quadratique incomplète qui en résulte a deux racines -2 et 2.

Vérifions les racines obtenues en substituant les valeurs de la variable x dans l'équation d'origine.
Examen.
Quand x 1 = -2 - vrai :
Quand x 2 = -2- vrai.
Il s’ensuit que l’équation irrationnelle originale a deux racines -2 et 2.

Exemple 2. Résous l'équation .

Cette équation peut être résolue en utilisant la même méthode que dans le premier exemple, mais nous le ferons différemment.

Trouvons l'ODZ de cette équation. De la définition racine carrée il s'ensuit que dans cette équation deux conditions doivent être simultanément satisfaites :

ODZ de cet uranium : x.

Réponse : pas de racines.

Exemple 3. Résous l'équation =+ 2.

Trouver l'ODZ dans cette équation est une tâche assez difficile. Mettons au carré les deux côtés de l'équation :
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x ;
=0;
x1 =1 ; x2 =0.
Après vérification, on établit que x 2 =0 est une racine supplémentaire.
Réponse : x1 =1.

Exemple 4. Résolvez l'équation x =.

En cela exemple d'ODZ facile à trouver. ODZ de cette équation : x[-1;).

Mettons au carré les deux côtés de cette équation et nous obtenons l'équation x 2 = x + 1. Les racines de cette équation sont :

Il est difficile de vérifier les racines trouvées. Mais, malgré le fait que les deux racines appartiennent à l'ODZ, il est impossible d'affirmer que les deux racines sont les racines de l'équation originale. Cela entraînera une erreur. DANS dans ce cas Une équation irrationnelle équivaut à une combinaison de deux inégalités et d’une équation :

x+10 Et x0 Et x 2 = x + 1, d'où il résulte que la racine négative de l'équation irrationnelle est étrangère et doit être écartée.

Exemple 5. Résolvez l'équation += 7.

Mettons au carré les deux côtés de l'équation et effectuons la réduction des termes similaires, transférons les termes d'un côté de l'équation à l'autre et multiplions les deux côtés par 0,5. En conséquence, nous obtenons l'équation
= 12, (*) qui est une conséquence de celui d'origine. Mettons à nouveau au carré les deux côtés de l’équation. On obtient l'équation (x + 5)(20 - x) = 144, qui est une conséquence de l'équation originale. L'équation résultante se réduit à la forme x 2 - 15x + 44 =0.

Cette équation (également une conséquence de l'équation d'origine) a des racines x 1 = 4, x 2 = 11. Les deux racines, comme le montre la vérification, satisfont l'équation d'origine.

représentant x1 = 4, x2 = 11.

Commentaire. Lorsqu'ils mettent au carré des équations, les élèves multiplient souvent les expressions radicales dans des équations telles que (*), c'est-à-dire qu'au lieu d'équation = 12, ils écrivent l'équation = 12. Cela ne conduit pas à des erreurs, puisque les équations sont des conséquences des équations. Il faut cependant garder à l'esprit que dans le cas général, une telle multiplication d'expressions radicales donne des équations inégales.

Dans les exemples discutés ci-dessus, on pourrait d’abord déplacer l’un des radicaux vers la droite de l’équation. Ensuite, il restera un radical sur le côté gauche de l’équation, et après avoir mis au carré les deux côtés de l’équation, une fonction rationnelle sera obtenue sur le côté gauche de l’équation. Cette technique (isolement du radical) est assez souvent utilisée lors de la résolution d'équations irrationnelles.

Exemple 6. Résoudre l'équation-= 3.

En isolant le premier radical, on obtient l'équation
=+ 3, équivalent à celui d'origine.

En mettant au carré les deux côtés de cette équation, on obtient l'équation

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, équivalent à l'équation

4x - 5 = 3(*). Cette équation est une conséquence de l'équation originale. En mettant au carré les deux côtés de l’équation, on arrive à l’équation
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), ou

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Cette équation est une conséquence de l'équation (*) (et donc de l'équation d'origine) et a des racines. La première racine x 1 = 2 satisfait l’équation d’origine, mais pas la deuxième racine x 2 =.

Réponse : x = 2.

Notez que si nous mettions immédiatement au carré les deux côtés de l’équation d’origine, sans isoler l’un des radicaux, nous serions obligés d’effectuer des transformations assez lourdes.

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, en plus de l'isolement des radicaux, d'autres méthodes sont utilisées. Considérons un exemple d'utilisation de la méthode de remplacement de l'inconnue (méthode d'introduction d'une variable auxiliaire).

Méthodes de résolution d'équations irrationnelles.

Préparation préliminaireà la leçon : Les élèves devraient être capables de résoudre des équations irrationnelles de diverses manières.

Trois semaines avant ce cours, les élèves reçoivent le devoir numéro 1 : résoudre diverses équations irrationnelles. (Les élèves trouvent indépendamment 6 équations irrationnelles différentes et les résolvent par paires.)

Une semaine avant ce cours, les élèves reçoivent le devoir n°2, qu'ils réalisent individuellement.

1. Résolvez l'équationdifférentes façons.

2. Évaluez les avantages et les inconvénients de chaque méthode.

3. Enregistrez les résultats sous forme de tableau.

Objectifs de la leçon:

Éducatif:généralisation des connaissances des étudiants sur ce sujet, démonstration diverses méthodes résolution d’équations irrationnelles, capacité des étudiants à aborder la résolution d’équations dans une perspective de recherche.

Éducatif:favoriser l'indépendance, la capacité d'écouter les autres et de communiquer en groupe, accroître l'intérêt pour le sujet.

Du développement:développement pensée logique, culture algorithmique, compétences d'auto-éducation, auto-organisation, travail en binôme lors des devoirs, compétences pour analyser, comparer, généraliser et tirer des conclusions.

Équipement: ordinateur, projecteur, écran, tableau « Règles pour résoudre des équations irrationnelles », affiche avec une citation de M.V. Lomonosov "Les mathématiques ne devraient être enseignées qu'à ce moment-là, car elles mettent de l'ordre dans l'esprit", cartes.

Règles pour résoudre des équations irrationnelles.

Type de cours : cours-séminaire (travail en groupes de 5-6 personnes, chaque groupe doit avoir des étudiants forts).

Pendant les cours

je . Organisation du temps

(Communication du sujet et des objectifs de la leçon)

II . Présentation travail de recherche"Méthodes de résolution d'équations irrationnelles"

(Le travail est présenté par l'élève qui l'a réalisé.)

III . Analyse des méthodes de résolution des devoirs

(Un élève de chaque groupe écrit au tableau les méthodes de solution proposées. Chaque groupe analyse l'une des méthodes de solution, évalue les avantages et les inconvénients et tire des conclusions. Les élèves des groupes ajoutent si nécessaire. L'analyse et les conclusions du groupe sont évaluées. Les réponses doivent être claires et complètes.)

La première méthode : élever les deux côtés de l’équation à la même puissance puis vérifier.

Solution.

Mettons à nouveau au carré les deux côtés de l'équation :

D'ici

Examen:

1. Six=42 alors, ce qui signifie le nombre42 n'est pas la racine de l'équation.

2. Six=2, alors, ce qui signifie le nombre2 est la racine de l’équation.

Répondre:2.

Conclusion. Lors de la résolution d'équations irrationnelles en élevant les deux côtés de l'équation à la même puissance, il est nécessaire de conserver un enregistrement verbal qui rend la solution compréhensible et accessible. Toutefois, la vérification obligatoire est parfois complexe et prend du temps. Cette méthode peut être utilisée pour résoudre des équations irrationnelles simples contenant 1 à 2 radicaux.

La deuxième méthode : les transformations équivalentes.

Solution:Mettons au carré les deux côtés de l'équation :

Répondre:2.

Conclusion. Lors de la résolution d'équations irrationnelles à l'aide de la méthode des transitions équivalentes, vous devez savoir clairement quand mettre le signe du système et quand mettre le signe de l'agrégat. La lourdeur de l'enregistrement et les diverses combinaisons de symboles système et de combinaison conduisent souvent à des erreurs. Cependant, l'enchaînement de transitions équivalentes, une notation logique claire sans description verbale, qui ne nécessite pas de vérification, sont les avantages incontestables de cette méthode.

La troisième méthode : fonctionnelle-graphique.

Solution.

Regardons les fonctionsEt.

1. Fonctioncalme; est en augmentation, parce que l'exposant est un nombre positif (et non entier).

D(F).

Créons une table de valeursXEtF( X).

2. Fonctioncalme; décroît.

Trouvons le domaine de définition de la fonctionD( g).

Créons une table de valeursXEtg( X).

Construisons ces graphiques de fonctions dans un seul système de coordonnées.

Les graphiques de fonctions se croisent au point abscisseParce que fonctionF( X) augmente et la fonctiong( X) diminue, alors il n’y aura qu’une seule solution à l’équation.

Répondre: 2.

Conclusion. La méthode fonctionnelle-graphique est visuelle et permet de trouver le nombre de solutions, mais il est préférable de l'utiliser lorsque vous pouvez facilement construire des graphiques des fonctions considérées et obtenir une réponse précise. Si la réponse est approximative, il est préférable d'utiliser une autre méthode.

Quatrième méthode : introduire une nouvelle variable.

Solution.Introduisons de nouvelles variables, désignantOn obtient la première équation du système

Créons la deuxième équation du système.

Pour une variable:

Pour une variable

C'est pourquoi

On obtient un système de deux équations rationnelles, par rapport àEt

Revenir à la variable, on a

Simplification - obtenir un système d'équations ne contenant pas de radicaux

1. La nécessité de suivre le DID des nouvelles variables

2. La nécessité de revenir à la variable d'origine

Conclusion. Cette méthode est mieux utilisée pour les équations irrationnelles contenant des radicaux de différents degrés, ou des polynômes identiques sous le signe racine et derrière le signe racine, ou des expressions réciproques sous le signe racine.

- Alors les gars, pour chaque équation irrationnelle, vous devez choisir la plus moyen pratique solutions : claires. Accessible, conçu de manière logique et compétente. Levez la main, lequel d'entre vous préfèrerait :

1) la méthode pour élever les deux côtés de l'équation à la même puissance avec vérification ;

2) la méthode des transformations équivalentes ;

3) méthode graphique fonctionnelle ;

4) la méthode d'introduction d'une nouvelle variable.

IV . Partie pratique

(Travail en groupes. Chaque groupe d'élèves reçoit une carte avec une équation et la résout dans son cahier. A ce moment, un représentant du groupe résout un exemple au tableau. Les élèves de chaque groupe résolvent le même exemple en tant que membre de leur groupe et surveiller la bonne exécution des tâches au tableau. Si la personne qui répond au tableau fait des erreurs, alors celui qui les remarque lève la main et aide à les corriger. Pendant la leçon, chaque élève, en plus de l'exemple résolu. par son groupe, doit en noter d'autres proposées aux groupes dans un cahier et les résoudre à la maison.)

Groupe 1.

Groupe 2.

Groupe 3.

V . Travail indépendant

(En groupes, il y a d’abord une discussion, puis les élèves commencent à accomplir la tâche. Bonne solution préparé par l’enseignant s’affiche à l’écran.)

VI . Résumer la leçon

Vous savez maintenant que la résolution d’équations irrationnelles nécessite de bonnes connaissances théoriques, la capacité de les appliquer dans la pratique, de l’attention, un travail acharné et de l’intelligence.

Devoirs

Résolvez les équations données aux groupes pendant la leçon.

Établissement d'enseignement municipal

"École secondaire Kuedino n°2"

Méthodes de résolution d'équations irrationnelles

Complété par : Olga Egorova,

Superviseur:

Professeur

mathématiques,

Plus Haute Qualification

Introduction....……………………………………………………………………………………… 3

Section 1. Méthodes de résolution d'équations irrationnelles…………………………………6

1.1 Résolution des équations irrationnelles de la partie C……….….….…………………21

Section 2. Tâches individuelles…………………………………………….....………...24

Réponses………………………………………………………………………………………….25

Bibliographie…….…………………………………………………………………….26

Introduction

Enseignement mathématique reçu en lycée, est le composant le plus important enseignement général et culture générale l'homme moderne. Presque tout ce qui entoure l’homme moderne est lié d’une manière ou d’une autre aux mathématiques. Et les progrès récents dans les domaines de la physique, de l’ingénierie et des technologies de l’information ne laissent aucun doute sur le fait qu’à l’avenir, la situation restera la même. Par conséquent, résoudre de nombreux problèmes pratiques revient à résoudre divers types des équations que vous devez apprendre à résoudre. L'un de ces types est celui des équations irrationnelles.

Équations irrationnelles

Une équation contenant une inconnue (ou une expression algébrique rationnelle pour une inconnue) sous le signe radical est appelée équation irrationnelle. DANS mathématiques élémentaires les solutions aux équations irrationnelles se trouvent dans l’ensemble des nombres réels.

Toute équation irrationnelle peut être réduite à une équation algébrique rationnelle à l'aide d'opérations algébriques élémentaires (multiplication, division, élévation des deux côtés de l'équation à une puissance entière). Il convient de garder à l'esprit que l'équation algébrique rationnelle résultante peut s'avérer non équivalente à l'équation irrationnelle d'origine, c'est-à-dire qu'elle peut contenir des racines « supplémentaires » qui ne seront pas les racines de l'équation irrationnelle d'origine. Par conséquent, après avoir trouvé les racines du rationnel résultant équation algébrique, il faut vérifier si toutes les racines de l’équation rationnelle sont des racines de l’équation irrationnelle.

En général, il est difficile d'indiquer quoi que ce soit méthode universelle solutions à toute équation irrationnelle, car il est souhaitable qu'à la suite des transformations de l'équation irrationnelle d'origine, le résultat ne soit pas simplement une équation algébrique rationnelle, parmi les racines de laquelle se trouveront les racines de l'équation irrationnelle donnée, mais une équation algébrique rationnelle formée de polynômes du plus petit degré possible. Le désir d'obtenir cette équation algébrique rationnelle formée de polynômes du plus petit degré possible est tout à fait naturel, car trouver toutes les racines d'une équation algébrique rationnelle en elle-même peut s'avérer être une tâche assez difficile, que nous ne pouvons résoudre complètement que dans un nombre très limité de cas.

Types d'équations irrationnelles

La résolution d’équations irrationnelles de degré pair provoque toujours plus de problèmes que de résoudre des équations irrationnelles de degré impair. Lors de la résolution d’équations irrationnelles de degré impair, la DO ne change pas. Par conséquent, nous considérerons ci-dessous des équations irrationnelles dont le degré est pair. Il existe deux types d'équations irrationnelles :

2..

Considérons le premier d'entre eux.

Équations ODZ : f(x)≥ 0. Dans ODZ, le côté gauche de l'équation est toujours non négatif - par conséquent, une solution ne peut exister que lorsque g(X)≥ 0. Dans ce cas, les deux côtés de l'équation sont non négatifs et l'exponentiation 2 n donne une équation équivalente. Nous obtenons cela

Faisons attention au fait que dans ce cas ODZ est effectué automatiquement et vous n'avez pas besoin de l'écrire, mais la conditiong(x) ≥ 0 doit être vérifié.

Note: C'est très condition importanteéquivalence. Premièrement, cela libère l'étudiant de la nécessité d'enquêter et, après avoir trouvé des solutions, de vérifier la condition f(x) ≥ 0 – la non-négativité de l'expression radicale. Deuxièmement, il se concentre sur la vérification de l'étatg(x) ≥ 0 – non-négativité du côté droit. Après tout, après la mise au carré, l'équation est résolue c'est-à-dire que deux équations sont résolues à la fois (mais sur des intervalles différents de l'axe numérique !) :

1. - où g(X)≥ 0 et

2. - où g(x) ≤ 0.

Pendant ce temps, beaucoup, par habitude scolaire de trouver ODZ, agissent exactement à l'opposé lorsqu'ils résolvent de telles équations :

a) après avoir trouvé des solutions, ils vérifient la condition f(x) ≥ 0 (qui est automatiquement satisfaite), en commettant des erreurs arithmétiques et en obtenant un résultat incorrect ;

b) ignorer la conditiong(x) ≥ 0 - et encore une fois, la réponse peut s'avérer incorrecte.

Note: La condition d'équivalence est particulièrement utile lors de la résolution d'équations trigonométriques, dans lesquelles trouver l'ODZ implique de résoudre des inégalités trigonométriques, ce qui est beaucoup plus difficile que de résoudre des équations trigonométriques. Enregistrement équations trigonométriques même les conditions g(X)≥ 0 n’est pas toujours facile à faire.

Considérons le deuxième type d'équations irrationnelles.

. Soit l'équation . Son ODZ :

Dans ODZ, les deux côtés sont non négatifs et la mise au carré donne l'équation équivalente F(x) =g(X). Par conséquent, dans ODZ ou

Avec cette méthode de solution, il suffit de vérifier la non-négativité de l'une des fonctions - vous pouvez en choisir une plus simple.

Section 1. Méthodes de résolution d'équations irrationnelles

1 méthode. Se débarrasser des radicaux en élevant successivement les deux côtés de l'équation à la puissance naturelle correspondante

La méthode la plus couramment utilisée pour résoudre des équations irrationnelles est la méthode d’élimination des radicaux en élevant successivement les deux côtés de l’équation à la puissance naturelle appropriée. Il convient de garder à l’esprit que lorsque les deux côtés de l’équation sont élevés à une puissance impaire, l’équation résultante est équivalente à celle d’origine, et que lorsque les deux côtés de l’équation sont élevés à une puissance paire, l’équation résultante sera généralement parlant, ne soit pas équivalent à l’équation originale. Cela peut être facilement vérifié en élevant les deux côtés de l’équation à n’importe quelle puissance paire. Le résultat de cette opération est l'équation , dont l'ensemble de solutions est une union d'ensembles de solutions : https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Cependant , malgré cet inconvénient, c'est la procédure consistant à élever les deux côtés de l'équation à une certaine puissance (souvent même) qui est la procédure la plus courante pour réduire une équation irrationnelle à une équation rationnelle.

Résous l'équation:

Où - quelques polynômes. En raison de la définition de l'opération d'extraction de racine dans l'ensemble des nombres réels, les valeurs admissibles de l'inconnu sont https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Puisque les deux côtés de l’équation 1 étaient au carré, il se peut que toutes les racines de l’équation 2 ne soient pas des solutions à l’équation d’origine ;

Résous l'équation:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Cubes des deux côtés de l'équation, on obtient

Considérant que https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(La dernière équation peut avoir des racines qui, d'une manière générale, ne sont pas les racines de l'équation ).

On cube les deux côtés de cette équation : . Nous réécrivons l'équation sous la forme x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. En vérifiant, nous établissons que x1 = 0 est une racine étrangère à l'équation (-2 ≠ 1), et x2 = 1 satisfait l'équation d'origine. équation.

Répondre: x = 1.

Méthode 2. Remplacement d'un système de conditions adjacent

Lors de la résolution d'équations irrationnelles contenant des radicaux d'ordre pair, des racines superflues peuvent apparaître dans les réponses, qui ne sont pas toujours faciles à identifier. Pour faciliter l'identification et l'élimination des racines superflues, lors de la résolution d'équations irrationnelles, elles sont immédiatement remplacées par un système de conditions adjacent. Les inégalités supplémentaires dans le système prennent en fait en compte l'ODZ de l'équation à résoudre. Vous pouvez retrouver l'ODZ séparément et en tenir compte plus tard, mais il est préférable d'utiliser des systèmes de conditions mixtes : il y a moins de risque d'oublier quelque chose ou de ne pas en tenir compte dans le processus de résolution de l'équation. Par conséquent, dans certains cas, il est plus rationnel d’utiliser la méthode de transition vers des systèmes mixtes.

Résous l'équation:

Répondre: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Cette équationéquivalent au système

Répondre: l'équation n'a pas de solutions.

Méthode 3. Utilisation des nièmes propriétés racine

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, les propriétés de la nième racine sont utilisées. Racine arithmétique n-ème diplômes parmi UN appeler un numéro non négatif n- je dont la puissance est égale à UN. Si n – même( 2n), alors a ≥ 0, sinon la racine n'existe pas. Si n – impair( 2 n+1), alors a est quelconque et = - ..gif" width="45" height="19"> Alors :

2.

3.

4.

5.

Lors de l'application formelle de l'une de ces formules (sans tenir compte des restrictions spécifiées), il convient de garder à l'esprit que la VA des parties gauche et droite de chacune d'elles peut être différente. Par exemple, l'expression est définie avec f ≥ 0 Et g ≥ 0, et l'expression est comme si f ≥ 0 Et g ≥ 0, et avec f ≤ 0 Et g ≤ 0.

Pour chacune des formules 1 à 5 (sans tenir compte des restrictions spécifiées), l'ODZ de son côté droit peut être plus large que l'ODZ de gauche. Il s'ensuit que les transformations de l'équation avec l'utilisation formelle des formules 1 à 5 « de gauche à droite » (comme elles sont écrites) conduisent à une équation qui est une conséquence de l'équation d'origine. Dans ce cas, des racines étrangères à l'équation originale peuvent apparaître, donc étape obligatoire dans la résolution de l’équation originale, il y a une vérification.

Les transformations d'équations avec l'utilisation formelle des formules 1 à 5 « de droite à gauche » sont inacceptables, car il est possible de juger de la DO de l'équation originale, et par conséquent, de la perte de racines.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

ce qui est une conséquence de celui d'origine. Résoudre cette équation se réduit à résoudre un ensemble d'équations .

A partir de la première équation de cet ensemble, nous trouvons https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> d'où nous trouvons. Ainsi, les racines de cette équation ne peut être composée que de nombres (-1) et (-2). La vérification montre que les deux racines trouvées satisfont à cette équation.

Répondre: -1,-2.

Résous l'équation: .

Solution : en fonction des identités, remplacez le premier terme par . Notez que c'est la somme de deux nombres non négatifs sur le côté gauche. "Supprimez" le module et, après avoir apporté des termes similaires, résolvez l'équation. Depuis, on obtient l'équation. Depuis , puis https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Répondre: x = 4,25.

Méthode 4 Introduction de nouvelles variables

Un autre exemple de résolution d'équations irrationnelles est la méthode d'introduction de nouvelles variables, par rapport auxquelles une équation irrationnelle plus simple ou une équation rationnelle est obtenue.

La résolution d'équations irrationnelles en remplaçant l'équation par sa conséquence (suivi de la vérification des racines) peut être effectuée comme suit :

1. Trouvez l'ODZ de l'équation d'origine.

2. Passer de l'équation à sa conséquence.

3. Trouvez les racines de l'équation résultante.

4. Vérifiez si les racines trouvées sont les racines de l'équation d'origine.

Le contrôle est le suivant :

A) l'appartenance de chaque racine trouvée à l'équation d'origine est vérifiée. Les racines qui n'appartiennent pas à l'ODZ sont étrangères à l'équation d'origine.

B) pour chaque racine incluse dans l'ODZ de l'équation d'origine, il est vérifié si les côtés gauche et droit de chacune des équations résultant du processus de résolution de l'équation d'origine et élevées à une puissance paire ont les mêmes signes. Les racines pour lesquelles les parties d'une équation élevée à une puissance paire ont différents signes, sont étrangers à l’équation d’origine.

C) seules les racines qui appartiennent à l'ODZ de l'équation d'origine et pour lesquelles les deux côtés de chacune des équations résultant du processus de résolution de l'équation d'origine et élevées à une puissance paire ont les mêmes signes sont vérifiées par substitution directe dans le équation originale.

Cette méthode de résolution avec la méthode de vérification spécifiée permet d'éviter des calculs fastidieux dans le cas de la substitution directe de chacune des racines trouvées de la dernière équation par celle d'origine.

Résolvez l’équation irrationnelle :

.

L'ensemble des valeurs valides pour cette équation est :

En mettant , après substitution on obtient l'équation

ou équation équivalente

qui peut être considérée comme une équation quadratique par rapport à. En résolvant cette équation, on obtient

.

Par conséquent, l’ensemble de solutions de l’équation irrationnelle originale est l’union des ensembles de solutions des deux équations suivantes :

, .

En élevant les deux côtés de chacune de ces équations à un cube, nous obtenons deux équations algébriques rationnelles :

, .

En résolvant ces équations, nous constatons que cette équation irrationnelle a une seule racine x = 2 (aucune vérification n'est requise, puisque toutes les transformations sont équivalentes).

Répondre: x = 2.

Résolvez l’équation irrationnelle :

Notons 2x2 + 5x – 2 = t. L’équation originale prendra alors la forme . En mettant au carré les deux côtés de l'équation résultante et en rapprochant des termes similaires, nous obtenons une équation qui est une conséquence de la précédente. De là, nous trouvons t=16.

En revenant à l'inconnu x, on obtient l'équation 2x2 + 5x – 2 = 16, qui est une conséquence de l'équation originale. En vérifiant on est convaincu que ses racines x1 = 2 et x2 = - 9/2 sont les racines de l'équation originale.

Répondre: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 méthode. Transformation identique de l'équation

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, vous ne devez pas commencer à résoudre l'équation en élevant les deux côtés des équations à une puissance naturelle, en essayant de réduire la solution de l'équation irrationnelle à la solution d'une équation algébrique rationnelle. Nous devons d’abord voir s’il est possible d’effectuer une transformation identique de l’équation qui puisse simplifier considérablement sa solution.

Résous l'équation:

L'ensemble des valeurs acceptables pour cette équation : https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Divisons cette équation par .

.

On a:

Quand a = 0 l'équation n'aura pas de solutions ; quand l’équation peut s’écrire

car cette équation n'a pas de solutions, puisque pour tout X, appartenant à l'ensemble des valeurs admissibles de l'équation, l'expression du côté gauche de l'équation est positive ;

quand l'équation a une solution

En tenant compte du fait que l'ensemble des solutions admissibles à l'équation est déterminé par la condition , on obtient finalement :

Lors de la résolution de cette équation irrationnelle, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> la solution de l'équation sera. Pour toutes les autres valeurs X l'équation n'a pas de solutions.

EXEMPLE 10 :

Résolvez l’équation irrationnelle : https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

La résolution de l'équation quadratique du système donne deux racines : x1 = 1 et x2 = 4. La première des racines résultantes ne satisfait pas l'inégalité du système, donc x = 4.

Remarques

1) Réaliser des transformations identiques permet de se passer de vérification.

2) L'inégalité x – 3 ≥0 fait référence aux transformations identitaires, et non au domaine de définition de l'équation.

3) Du côté gauche de l’équation se trouve une fonction décroissante et du côté droit de cette équation une fonction croissante. Les graphiques de fonctions décroissantes et croissantes à l'intersection de leurs domaines de définition ne peuvent en avoir plus d'un point commun. Evidemment, dans notre cas x = 4 est l'abscisse du point d'intersection des graphiques.

Répondre: x = 4.

6 méthode. Utiliser le domaine des fonctions pour résoudre des équations

Cette méthode est plus efficace pour résoudre des équations qui incluent des fonctions https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> et trouver ses définitions de zone (F)..gif" largeur="53" hauteur="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, alors vous devez vérifier si l'équation est correcte aux extrémités de l'intervalle, et si< 0, а b >0, alors une vérification à intervalles réguliers est nécessaire (une;0) Et . Le plus petit entier de E(y) est 3.