Comment trouver manuellement la racine carrée d'un nombre. Trouver des valeurs approximatives de racine carrée

21.09.2019

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Le sujet du calcul approximatif des racines est toujours d'actualité, car il existe des tâches avec des racines carrées dans chaque cours de matières de sciences naturelles. Au cours de la résolution de nombreux problèmes mathématiques, ainsi que de problèmes de géométrie, de physique, de chimie, etc. vous devez gérer les racines carrées. Pour extraire la racine carrée, il existe des tableaux de carrés pour les nombres à deux chiffres, mais cela ne suffit pas. L'extraction de la racine par factorisation n'est pas non plus une tâche facile, qui ne conduit pas toujours au résultat souhaité, et j'ai décidé d'étudier différentes méthodes d'extraction de racines carrées en vue de leur application pratique.

Par conséquent, le but du travail vise à comparer différentes méthodes d'extraction approximative des racines carrées, tandis que les tâches suivantes sont définies : étudier le matériau, identifier la méthode la plus efficace en fonction de la tâche.

Résolvons l'équation graphiquement. Pour ce faire, nous allons construire une parabole et une droite dans le même système de coordonnées. Les abscisses des points A et B sont les racines de l'équation. Résolvons l'équation. Il est clair que cette équation a deux racines et, de plus, ces nombres, comme dans les deux cas précédents, sont égaux en valeur absolue et opposés en signe (). Sur la base du dessin, nous ne pouvons pas indiquer les valeurs exactes des racines. Le nombre x1 qui nous intéresse est situé entre les nombres 1 et 2, mais entre les nombres 1 et 2 il y a un ensemble infini de nombres rationnels, par exemple, etc. Le travail prouve qu’en n’ayant que des nombres rationnels, nous ne pouvons pas résoudre l’équation.

Les mathématiciens ont introduit un nouveau symbole, qu'ils ont appelé la racine carrée, et à l'aide de ce symbole, les racines de l'équation ont été écrites comme suit : et. On y lit : « racine carrée arithmétique de deux ». Maintenant, pour toute équation de la forme où, vous pouvez trouver les racines - ce sont les nombres et.

La racine carrée d'un nombre non négatif est un nombre non négatif dont le carré est égal à. Ce numéro est désigné. Si, alors l’équation n’a pas de racines.

L’opération consistant à trouver la racine carrée d’un nombre non négatif est appelée racine carrée.

Lors de l'étude des méthodes de calcul de la racine carrée, plusieurs méthodes ont été trouvées, telles que : la méthode arithmétique ; méthode d'estimation approximative ; colonne; Voie babylonienne ; Méthode de Heron et méthode de Newton ; méthode géométrique. Cet article n’en aborde que quelques-uns.

Méthode arithmétique

extraction de racine carrée approximative

Pour les carrés de nombres naturels, les égalités suivantes sont vraies :

Autrement dit, pour connaître la partie entière de la racine carrée d'un nombre, vous pouvez en soustraire tous les nombres impairs dans l'ordre jusqu'à ce que le reste soit inférieur au prochain nombre soustrait ou égal à zéro, et compter le nombre d'actions effectuées.

Par exemple, trouvons la racine carrée de 16 comme ceci :

4 étapes ont été effectuées, ce qui signifie que la racine carrée du nombre 16 est 4. De même, on retrouve la racine carrée du nombre 12 :

3 actions sont effectuées, la racine carrée du nombre 12 est égale à 3 nombres entiers.

L'inconvénient de cette méthode est que si la racine extraite n'est pas un nombre entier, alors vous ne pouvez connaître que sa partie entière, mais pas plus précisément. En même temps, cette méthode est tout à fait adaptée pour une estimation approximative, pour les étudiants résolvant des problèmes mathématiques simples nécessitant l'extraction de la racine carrée.

Méthode babylonienne ou première méthode de Héron

Si est un nombre positif et constitue une valeur approximative d’excès, alors est une valeur approximative de carence.

La preuve du théorème est prise en compte dans l'ouvrage. Puisque et sont des valeurs approximatives pour l'excès et le déficit, et est la moyenne géométrique des nombres et, alors il est naturel de choisir la moyenne arithmétique de ces nombres comme la meilleure approximation pour, c'est-à-dire nombre. Et pour obtenir une valeur encore plus précise, vous devez prendre la moyenne arithmétique des nombres et, c'est-à-dire nombre. De cette manière, des valeurs approximatives de plus en plus précises sont calculées les unes après les autres. Les approximations sont poursuivies jusqu'à ce que les deux valeurs obtenues coïncident avec la précision spécifiée. On a alors la formule :

. (1)

Cette formule peut également découler d’un raisonnement légèrement différent.

Supposons, par exemple, que vous deviez extraire la racine carrée du nombre 32. Choisissons d'abord une valeur approximative de cette racine, par exemple . Nous désignons alors l’erreur de cette valeur approximative. Pour trouver la valeur, on met au carré les deux côtés de cette égalité, on obtient :

,

. (2)

Le résultat est donc une équation quadratique. Si c'est résolu, alors. Il s'avère que nous tournons en rond : pour trouver, il faut compter, et pour trouver, il faut calculer. La considération suivante vient à la rescousse. L'erreur sur la valeur approximative est petite, elle est inférieure à l'unité, ce qui signifie que le nombre est encore plus petit, il peut donc être écarté dans l'égalité (2). Dans ce cas, une équation approximative est obtenue pour, ce qui signifie. Ainsi, la valeur approximative de la correction a été trouvée.

Depuis, alors la deuxième approximation pour. Pour trouver une approximation plus précise, nous répétons le processus décrit.

.

Mettons les deux côtés au carré et écartons le petit terme :

,

.

Alors la troisième approximation de s'exprime par la formule :

. Depuis lors.

De la même manière, sur la base de la valeur approximative, l’approximation suivante peut être trouvée. Ensuite, si une valeur approximative est trouvée, alors ce qui suit est exprimé par la formule :

.

De plus, chaque étape ultérieure conduit à des approximations de plus en plus précises. La formule résultante est un cas particulier de la formule (1), dans laquelle il existe un certain nombre réel.

En utilisant la formule (1), vous pouvez trouver une valeur approximative pour, elle est approximativement égale à 1,414213562.

La règle permettant de trouver la valeur approximative de la racine carrée de tout nombre naturel était connue des mathématiciens de l’ancienne Babylone il y a plus de 4 000 ans. Ils ont compilé des tableaux de carrés de nombres et de racines carrées de nombres. En même temps, ils ont pu trouver la valeur approximative de la racine carrée de n’importe quel nombre entier.

La formule utilisée pour calculer les approximations successives selon la méthode babylonienne peut s'écrire comme suit :

.

Dans ce cas, où est pris comme fonction, où est le nombre dont il faut trouver la racine. L'ouvrage révèle l'exactitude de la méthode babylonienne.

Cette méthode était connue dans la Grèce antique et est attribuée à Héron d’Alexandrie. Ensuite, cette méthode a été abandonnée, mais elle est désormais utilisée pour extraire des racines carrées sur des calculatrices et des ordinateurs.

Les travaux sur cette étude ont montré que l'étude des racines carrées est une nécessité objective : dans la vraie vie, il existe des situations dont les modèles mathématiques contiennent l'opération d'extraction d'une racine carrée. Mais nous n’avons pas toujours une calculatrice à portée de main. De plus, il existe des situations dans lesquelles l'utilisation d'une calculatrice est inacceptable, par exemple l'examen d'État unifié.

Je voudrais choisir la méthode la plus rationnelle pour extraire les racines carrées. Bien entendu, la méthode arithmétique, et notamment la méthode d'estimation grossière, est facile à utiliser, mais peu précise, bien qu'elle soit tout à fait adaptée pour une première approximation. De plus, lors de l’application de ces méthodes d’extraction de racines carrées, toute erreur commise à un endroit invalide complètement les calculs ultérieurs. La situation est différente lorsqu’on utilise la méthode babylonienne ou la méthode des approximations successives. Bien que cela demande beaucoup de travail, il est possible de calculer correctement la valeur de la racine avec une précision donnée.

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Lors de la résolution de problèmes impliquant des calculs, on obtient des résultats numériques qui ne sont souvent pas précis, car Des erreurs surviennent lors de la définition du problème et lors des calculs.

Les sources d'erreur sont :

1) erreurs dans les données sources ;

2) erreurs d'arrondi des résultats intermédiaires et finaux ;

3) erreurs dans la méthode approximative de résolution du problème.

Lorsque vous effectuez des opérations sur des nombres approximatifs, vous devez :

1) connaissant l'exactitude des données sources, être capable d'évaluer l'exactitude du résultat ;

2) prendre les données source avec une telle précision qu'elle garantit l'exactitude spécifiée du résultat.

2.1 Erreurs dans les nombres approximatifs

Soit le nombre x une valeur exacte et le nombre a une valeur approximative d'une certaine quantité.

Définition. La différence entre le nombre x et sa valeur approchée a est appelée l'erreur du nombre approché a : Δ = |x-a |.

Soit x=10,5, a=10, alors Δ=10,5-10=0,5.

Soit x=9,5, a=10, alors Δ=9,5-10=-0,5.

Définition. La valeur absolue de la différence entre le nombre x et sa valeur approchée a est appelée l'erreur absolue du nombre approché a : Δa = |x-a|

Soit x=10,5, a=10, alors Δa =|10,5-10|=0,5.

Soit x=9,5, a=10, alors Δa=|9,5-10|=0,5.

Souvent, le nombre exact x est inconnu. Il est alors impossible de trouver Δa = |x-a|, ils utilisent donc une estimation de l'erreur absolue - l'erreur absolue maximale Δa ≥ Δa =x-a|. Dans ce cas, le nombre x est contenu dans les limites :

a - Δ a  x  a + Δ a ou brièvement : x = a ± Δ a.

Lire : x est égal à a à Δ a près.

Afin de déterminer la qualité des calculs effectués, il est nécessaire de déterminer quelle est la proportion de l'erreur absolue de la valeur mesurée. À cette fin, une erreur relative est utilisée.

Définition. L'erreur relative δa du nombre approximatif a est le rapport de l'erreur absolue Δa à la valeur absolue du nombre x :

ou
.

L'évaluation de l'erreur relative ba est l'erreur relative maximale :

Exemple. Le nombre x=0,4287 et sa valeur approximative a=0,4264 sont donnés. Trouvez les erreurs absolues et relatives du nombre a.

Solution. Calculons l'erreur absolue du nombre a :

Δa=|0,4287-0,4264| = 0,0023.

Calculons l'erreur relative du nombre a :

ou 5,4%.

Remarques. 1. Lors de l'enregistrement d'une erreur, il est d'usage de laisser 1 à 2 chiffres significatifs. Les erreurs sont toujours arrondies à la hausse. Dans ce cas, les limites du nombre exact x s'élargissent.

2. Si le nombre x est inconnu, alors le nombre a est utilisé pour trouver l'erreur relative.

3. L'erreur relative est souvent exprimée en pourcentage en la multipliant par 100 %.

2.2. Chiffres significatifs et vrais d'un nombre approximatif

Pour évaluer l'exactitude d'un nombre approximatif a, il est d'usage de l'écrire sous forme de fraction décimale. La précision d'un calcul n'est pas déterminée par le nombre de décimales (chiffres après la virgule), mais par le nombre de chiffres significatifs corrects du résultat.

Définition. Les chiffres significatifs d'un nombre sont tous ses chiffres, à l'exception des zéros écrits avant le premier chiffre autre que zéro, et des zéros à la fin de l'enregistrement s'ils servent à préserver le chiffre ou la précision du nombre.

Exemple. Déterminer les chiffres significatifs de a.

a = 0,02701 => chiffres significatifs : 2,7,0,1.

a = 0,0270 => chiffres significatifs : 2,7.0.

a = 2700 => chiffres significatifs : 2,7,0,0.

Définition. Le chiffre α i du nombre approximatif a est appelé chiffre significatif correct dans dans un sens large(au sens strict), si l'erreur absolue maximale du nombre a ne dépasse pas un (une demi-unité) du chiffre dans lequel le nombre α i est écrit : Δ а 10 i (Δ а 0,5∙10 i ).

Exemple. Déterminez les nombres corrects du nombre approximatif a = 0,7264, si l'erreur absolue est Δ a = 0,0023.

Solution. Erreur absolue Δ a = 0,0023  0,005 = 0,5∙10 -2. Par conséquent, les nombres 7 et 2 sont corrects au sens strict, les nombres 6 et 4 sont incorrects (douteux). Puisque Δ a  = 0,0023< 0,01 = 10 -2 , то цифры 7 и 2 являются верными в широком смысле.

Remarques. 1. Dans les tableaux mathématiques, tous les chiffres significatifs sont vrais au sens strict.

2. Il est d'usage de ne laisser que les nombres corrects dans le résultat final. Ensuite, l'erreur absolue maximale du nombre a est déterminée par l'unité du chiffre le moins significatif. Par exemple, soit a = 127,38, alors Δ a = 0,01 si tous les nombres sont corrects au sens strict, et Δ a = 0,5∙0,01 = 0,005 si tous les nombres sont corrects au sens large.

Exemple. Déterminez quelle égalité est la plus précise : 13/19 = 0,684 ou
=7,21?

Solution. Notons a =0,684, b =7,21. Trouvons les erreurs absolues de ces nombres. Pour ce faire, prenez le 13/19 et
avec un grand nombre de décimales : 13/39=0,68421...,
=7,2111...

Alors Δ a =|0,68421...-0,684|< 0,00022, Δ в = |7,2111...-7,21| < 0,0012.

Trouvons les erreurs relatives :

ou 0,033%.

ou 0,017%.

La deuxième égalité est plus précise, puisque
.

2.3. Chiffres arrondis

Dans les calculs approximatifs, il est souvent nécessaire d'arrondir les nombres, à la fois approximatifs et exacts, c'est-à-dire d'éliminer un ou plusieurs derniers chiffres. Lorsque nous arrondissons un nombre, nous le remplaçons par un nombre approximatif comportant moins de chiffres significatifs, ce qui entraîne une erreur d'arrondi. Pour minimiser cette erreur, vous devez respecter certaines règles d'arrondi.

Règle je. Si le premier en partant de la gauche des chiffres supprimés est supérieur à 5, alors le dernier des chiffres retenus est amplifié, c'est-à-dire augmente de un. Le renforcement est également effectué lorsque le premier chiffre gauche à supprimer est 5, suivi de chiffres différents de zéro.

Exemple. En arrondissant le nombre 73,473 au dixième le plus proche, on obtient 73,5. Le dernier des chiffres restants est renforcé, puisque 7 > 5.

Règle II. Si le premier des chiffres supprimés est inférieur à 5, alors le dernier des chiffres restants n'est pas amplifié, c'est-à-dire reste inchangé.

Exemple. En arrondissant le nombre 73,473 au centième le plus proche, nous obtenons 73,47.

RègleIII. Si le premier chiffre gauche supprimé est 5 et n'est pas suivi de chiffres différents de zéro, alors le dernier chiffre restant est renforcé s'il est impair et laissé inchangé s'il est pair (règle des chiffres pairs).

Exemple. En arrondissant le nombre 5,785 au centième, on obtient 5,78. Nous ne faisons aucun gain, puisque le dernier chiffre enregistré, 8, est pair. En arrondissant le nombre 5,775 à la deuxième décimale, nous obtenons 5,78. Le dernier chiffre stocké, 7, est augmenté de un car il est impair.

Lorsque la règle III est appliquée à l’arrondi d’un seul nombre, nous n’augmentons pas réellement la précision du calcul, mais avec des arrondis multiples, les surnombres sont à peu près aussi courants que les sous-nombres. Une compensation mutuelle des erreurs se produit, le résultat est plus précis.

Ainsi, lors de l'application des règles d'arrondi évoquées ci-dessus, l'erreur d'arrondi absolue ne dépasse pas une demi-unité de chiffre déterminée par le dernier chiffre significatif restant.

Si le nombre exact x est arrondi à n chiffres significatifs, alors le nombre approximatif a résultant a une erreur absolue égale à l'erreur d'arrondi. Dans ce cas, le nombre approximatif a comporte n chiffres significatifs valides au sens étroit.

Exemple. En arrondissant le nombre x = 26,837 à trois chiffres significatifs, on obtient a = 26,8, d'où Δ a = |x-a | = | 26,837-26,8 |=0,037< 0,05, т. е. число а имеет три верные значащие цифры в узком смысле.

En arrondissant le nombre approximatif a, on obtient un nouveau nombre approximatif a 1.

Définition. Le nombre Δ a1 = Δ a + Δ env est appelé erreur d'arrondi.

L'erreur absolue du nombre a 1 se compose de l'erreur absolue du nombre d'origine Δ a et de l'erreur d'arrondi Δ env, c'est-à-dire

Δ a1 = Δ a + Δ env.

Exemple. Arrondissez les chiffres douteux du nombre x=34,124 ± 0,021. Définir erreur absolue résultat.

Solution. Le nombre approximatif a=34,124 a trois chiffres corrects au sens étroit : 3, 4, 1, puisque Δ a =0,021< 0,05. Применяя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив десятые доли: а 1 = 34,1. Погрешность округления Δ окр =|34,124-34,1|=0,024. Тогда абсолютная погрешность числа а 1 равна Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,021+0,024 = 0,045 < 0,05.

Ainsi, tous les chiffres significatifs d’un 2 sont corrects (au sens étroit).

Donc, x=34,1 ±0,045.

Cependant, lors de l'arrondi d'un nombre approximatif a qui a n chiffres significatifs corrects (au sens étroit) à n chiffres significatifs, il peut s'avérer que le nombre arrondi a 1 aura n chiffres significatifs corrects au sens large.

Exemple. Le nombre approximatif a = 15,3654 (± 0,0018) a quatre chiffres significatifs corrects au sens étroit (1, 5, 3, 6), puisque Δ a = 0,0018< 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а 1 = 15,37 и Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,0018+|15,3654-15,37|=0,0064.

Évidemment 0,005< 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 (± 0,0064) comporte quatre chiffres corrects au sens large.

Donc, x=15,37 ±0,0064.

Exemple. Arrondissez les chiffres douteux du nombre a = 26,7245 (± 0,0026), en laissant les signes corrects au sens étroit. Déterminez l’erreur absolue du résultat.

Solution. D'après la condition Δ a = 0,0026< 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив сотые доли:

L'erreur résultante est supérieure à 0,005 (0,005< 0,0071), поэтому уменьшим число цифр в приближенном числе до трех; а 2 = 26,7. On trouve Δ a2 = =Δ a +Δ env =0.0026+|26.7245-26.7|=0.0271< 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле.

Donc, x=26,7 ±0,0271 => x=26,7 ±0,03, arrondissant l'erreur à deux chiffres.

Exemple. Arrondissez les chiffres douteux du nombre a=22,7314 en laissant les signes corrects au sens étroit. Déterminez l'erreur absolue du nombre si δ a = 0,2 %.

Solution.Écrivons δ a sous forme de fraction décimale : δa=0,002 et déterminer l'erreur absolue. Puisque Δ a = =0,0455< 0,05, то верными в этом числе будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а 1 = 22,73. Alors Δ a1 = =Δ a +Δ env =0.0455+|22.7314-22.73|=0.0769>0.05, réduisons donc le nombre de chiffres dans le nombre approximatif à deux : a 2 =23. On trouve Δ a2 = =Δ a +Δ env =0.0455+|22.7314-23|=0.3141< 0,05. Следовательно, оставшиеся две цифры верны в узком смысле.

Donc, x=23 ±0,3141 => x=23 ±0,32.

2.3. Règles pour travailler avec des nombres approximatifs

Règle 1. L'erreur absolue de la somme algébrique de plusieurs nombres approximatifs est égale à la somme des erreurs absolues de ces nombres :

Δ а±в =Δ а + Δ в

Règle 2. L'erreur relative du produit de plusieurs nombres approximatifs est égale à la somme des erreurs relatives de ces nombres :

δ aw = δ a + δ b.

Règle 3. L'erreur relative des nombres approximatifs partiels est égale à la somme des nombres relatifs : δ а/в = δ а + δ в.

Règle 4. L'erreur relative du degré du nombre approximatif a est égale à : δa n = nδ a.

Règle 5. L'erreur relative de la racine du nombre approximatif a est égale à :
.

Règle 6. Lors des calculs, si un calcul strict des erreurs n'est pas effectué, il est recommandé d'utiliser les règles de comptage des nombres. Ces règles indiquent comment les résultats doivent être arrondis pour garantir la précision souhaitée du résultat sans effectuer de calculs avec des chiffres supplémentaires.

Les règles supposent que les nombres manipulés contiennent uniquement des chiffres corrects et que le nombre de manipulations est faible.

I. Lors de l'addition et de la soustraction de nombres approximatifs, le résultat doit conserver autant de décimales qu'il y en a dans le nombre qui a le moins de décimales.

II. Lors de la multiplication et de la division, le résultat doit conserver autant de chiffres significatifs qu'il y en a dans le nombre avec le moins de chiffres significatifs.

III. Lorsqu'on élève un nombre approximatif à une puissance, le résultat doit conserver autant de chiffres significatifs qu'il y en a dans la base de la puissance.

IV. Lors de l’extraction d’une racine à partir d’un nombre approximatif, vous devez conserver autant de chiffres significatifs qu’il y en a dans le nombre radical.

V. Dans les résultats intermédiaires, vous devez enregistrer 1 à 2 chiffres de plus que ce qui est recommandé par les règles I à IV. Dans le résultat final, les « chiffres de rechange » sont supprimés et le nombre est arrondi.

VI. Si certaines données sources comportent plus de décimales (pour l'addition et la soustraction) ou plus de chiffres significatifs (pour d'autres opérations) que d'autres, elles doivent d'abord être arrondies, en ne gardant qu'un seul « chiffre sûr ».

VII. Pour obtenir un résultat avec N chiffres corrects, les données source doivent être prises avec un nombre de chiffres tel que, selon les règles précédentes, fournissent N+1 chiffres dans le résultat.

Exemple. Trouvons s=2,35+11,8 sans prendre en compte les erreurs. En appliquant la règle I, nous obtenons s=14,15. On arrondit le résultat au nombre 11,8 avec le plus petit nombre de décimales. On obtient : s =14,2.

Résolvons le problème en tenant compte des erreurs. Dans le nombre s=14,15, seuls les nombres corrects doivent être laissés. Pour ce faire, nous trouverons l'erreur absolue maximale de la somme s en utilisant la règle 1. En considérant que tous les chiffres des nombres 2,35 et 11,8 sont corrects, nous obtenons : Δ 14,15 = Δ 2,35 + Δ 11,8 = 0,01 +0,1=0,11< 0,5. Последняя верная цифра в числе 14,15 находится в разряде единиц. Поэтому число s=14,15 надо округлить: s=14 и найти абсолютную погрешность округленного числа. Погрешность округления равна: |14,15-14|=0,15. Тогда абсолютная погрешность округленного числа Δ 14 =0,11+0,15=0,26 <0,5. Окончательный результат примет вид: s=14 ± 0,26.

Les problèmes sont résolus de la même manière lors de l’exécution d’autres opérations sur des nombres approximatifs.

Sujet : "Trouver
valeurs approximatives de racine carrée"

Type de cours : ONZ, R

Objectifs de base :

apprendre à trouver des valeurs approximatives de racine carrée,
se familiariser avec les méthodes de calcul des racines.

Pendant les cours

1. Autodétermination pour les activités éducatives

But de l'étape : 1) inclure les étudiants dans les activités éducatives ;

2) déterminer le contenu de la leçon : on continue à travailler sur les racines carrées

Organisation du processus éducatif au stade 1 :

Qu’étudions-nous en cours d’algèbre maintenant ? (Racines carrées)

Que sont les racines carrées ?

- Bien joué! Pour un travail réussi, nous effectuerons les tâches suivantes.

2. Actualisation des connaissances et enregistrement des difficultés dans les activités

But de l'étape : 1) mettre à jour les contenus pédagogiques nécessaires et suffisants à la perception du nouveau matériel : trouver les valeurs de la racine carrée ;

2) mettre à jour les opérations mentales nécessaires et suffisantes à la perception d'un nouveau matériel : comparaison, analyse, généralisation ;

3) enregistrer tous les concepts et algorithmes répétés sous forme de diagrammes et de symboles ;

4) enregistrer une difficulté individuelle dans une activité qui démontre, à un niveau personnellement significatif, l'insuffisance des connaissances existantes : trouver le sens de l'expression.

Organisation du processus éducatif au stade 2 :

1. Calculez : , , , ,

4. Tâche individuelle.

Trouver le sens de l'expression..

3. Identifier la cause de la difficulté et fixer des objectifs pour l'activité

But de l'étape : 1) organiser une interaction communicative, au cours de laquelle la propriété distinctive de la tâche qui a causé des difficultés dans les activités d'apprentissage est identifiée et enregistrée : la capacité de trouver la valeur de la racine carrée ;

2) se mettre d'accord sur le but et le sujet de la leçon.

Organisation du processus éducatif au stade 3 :

– que devais-tu faire ?

- Qu'est-ce que tu as fait? (Les élèves montrent leurs options :)

– Quelle était la difficulté ?

√2 est-il entièrement extrait ?

Non.

Comment allons-nous le trouver ?

Quelles méthodes connaissons-nous pour trouver des racines ?

Les gars, voyez-vous, nous n'avons pas toujours affaire à des nombres qui peuvent être facilement représentés comme le carré d'un nombre, qui sont entièrement extraits de la racine.

– Quel objectif allons-nous nous fixer ?

– Formuler le sujet de la leçon.

– Écrivez le sujet dans votre cahier.

4. Construction d'un projet de sortie d'une difficulté

But de l'étape : 1) organiser l'interaction communicative pour construire une nouvelle méthode d'action qui élimine la cause de la difficulté identifiée ;

2) enregistrer une nouvelle méthode d'action sous une forme symbolique et verbale.

Organisation du processus éducatif au stade 4 :

1 MÉTHODE pour calculer √2 précis à deux décimales prèsNous raisonnerons ainsi.

Le nombre √2 est supérieur à 1, puisque 1 2 2 supérieur à 2. Par conséquent, la notation décimale d'un nombre commencera comme suit : 1,... C'est-à-dire que la racine de deux est un avec quelque chose.

Essayons maintenant de trouver le nombre de dixièmes.

Pour ce faire, nous mettrons au carré les fractions de un à deux jusqu’à obtenir un nombre supérieur à deux.

Prenons le pas de division de 0,1, puisque nous recherchons le nombre de dixièmes.

Autrement dit, nous mettrons au carré les nombres : 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 1,7, 1,8, 1,9.

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Nous avons reçu un nombre supérieur à deux ; les nombres restants n'ont plus besoin d'être mis au carré. Numéro 1.4 2 est inférieur à 2 et 1,5 est 2 est déjà supérieur à deux, alors le nombre √2 doit appartenir à l'intervalle de 1,4 à 1,5. Par conséquent, la notation décimale du nombre √2 à la dixième place doit contenir 4. √2=1,4… .

Autrement dit, 1,4

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Déjà à 1,42, nous constatons que son carré est supérieur à deux ; mettre davantage les nombres au carré n'a aucun sens.

De là on obtient que le nombre √2 appartiendra à l'intervalle de 1,41 à 1,42 (1,41

Puisque nous devons écrire √2 avec une précision à deux décimales près, nous pouvons arrêter et ne pas continuer les calculs.

√2 ≈ 1,41. Ce sera la réponse. S’il fallait calculer une valeur encore plus précise, il faudrait continuer les calculs, en répétant encore et encore l’enchaînement des raisonnements.

Exercice

Calculer à deux décimales

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Conclusion Cette technique vous permet d'extraire la racine avec n'importe quelle précision prédéterminée.

Par exemple, trouvons √16 comme ceci :

16 - 1 = 15
15 - 3 = 12
12 - 5 = 7
7 - 7 =0

4 actions sont effectuées, ce qui signifie √16 = 4

Calculer la tâche

√1 = √6 =

√2 = √7 =

√3 = √8 =

√4 = √9 =

√5 = √10 =

Conclusion Cette technique est pratique lorsque la racine est entièrement supprimée

3 MÉTHODE Les anciens Babyloniens utilisaient la méthode suivante pour trouver la valeur approximative de la racine carrée de leur nombre x. Ils représentaient le nombre x comme la somme d'un 2 +b,

où un 2 - le carré exact de l'entier naturel a le plus proche du nombre x, et utilisé la formule.

En utilisant la formule, on extrait la racine carrée,

Par exemple, à partir du numéro 28 :

Conclusion La méthode babylonienne donne une bonne approximation de la valeur exacte de la racine.

5. Consolidation primaire dans le discours externe

But de l'étape : enregistrer le contenu pédagogique étudié dans le discours externe.

Organisation du processus éducatif au stade 5 :

extrait du manuel : n° 336, 337, 338 339, 343 345

6. Travail indépendant avec auto-test selon la norme.

But de l'étape : testez votre capacité à appliquer l'algorithme d'addition et de soustraction dans des conditions standard en comparant votre solution avec une norme d'auto-test.

Organisation du processus éducatif au stade 6 :

N° 338 (a), 339 (c, d)

Après vérification par rapport à la norme, les erreurs sont analysées et corrigées.

7. Inclusion dans le système de connaissances et répétition

But de l'étape : 1) former des compétences dans l'utilisation de nouveaux contenus avec ceux déjà étudiés ;

Organisation du processus éducatif au stade 7 :

Groupe 1 (moyen) "N° ______________

Groupe 2 (élevé) N° _________________

8. Réflexion sur les activités de la leçon

1) enregistrer le nouveau contenu appris pendant la leçon ;

2) évaluez vos propres activités pendant la leçon ;

3) remercier les camarades de classe qui ont aidé à obtenir le résultat de la leçon ;

4) enregistrer les difficultés non résolues comme orientations pour de futures activités éducatives ;

5) discutez et notez vos devoirs.

Organisation du processus éducatif au stade 8 :

– Qu’avons-nous appris en classe aujourd’hui ?

– Qu’avons-nous appris à faire aujourd’hui ?

– Analysez vos activités en classe et évaluez votre travail.

Devoirs №№ 344 , 346, 351