Comment trouver manuellement la racine carrée d'un nombre. Extraire des racines : méthodes, exemples, solutions

Si vous avez une calculatrice à portée de main, extraire la racine cubique de n'importe quel nombre ne posera aucun problème. Mais si vous n'avez pas de calculatrice ou si vous voulez simplement impressionner les autres, trouvez la racine cubique à la main. La plupart des gens trouveront le processus décrit ici assez complexe, mais avec de la pratique, racines cubiques cela deviendra beaucoup plus facile. Avant de commencer à lire cet article, rappelez-vous les opérations mathématiques de base et les calculs avec des nombres au cube.

Pas

Partie 1

Notez la tâche. Prendre des racines cubiques à la main est similaire à une longue division, mais avec quelques nuances. Tout d’abord, notez la tâche sous une forme spécifique.

• Notez le nombre à partir duquel vous souhaitez prendre la racine cubique. Divisez le nombre en groupes de trois chiffres, en commençant par le point décimal. Par exemple, vous devez prendre la racine cubique de 10. Écrivez ce nombre comme ceci : 10 000 000. Les zéros supplémentaires sont destinés à augmenter la précision du résultat.
• Dessinez un signe racine à côté et au-dessus du nombre. Considérez-le comme les lignes horizontales et verticales que vous tracez lors de la division. La seule différence réside dans la forme des deux panneaux.
• Placez un point décimal au-dessus de la ligne horizontale. Faites-le directement au-dessus du point décimal du nombre d'origine.

1. Rappelez-vous les résultats des entiers au cube. Ils seront utilisés dans les calculs.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Trouvez le premier chiffre de la réponse. Choisissez le cube de l'entier le plus proche mais plus petit que le premier groupe de trois chiffres.

   • Dans notre exemple, le premier groupe de trois chiffres est le nombre 10. Trouvez le plus grand cube inférieur à 10. Ce cube vaut 8 et la racine cubique de 8 est 2.
   • Au dessus de la ligne horizontale au dessus du chiffre 10, écrivez le chiffre 2. Notez ensuite la valeur de l'opération 2 3 (\style d'affichage 2^(3))= 8 sous 10. Tracez une ligne et soustrayez 8 de 10 (comme pour une division longue régulière). Le résultat est 2 (c'est le premier reste).
   • Ainsi, vous avez trouvé le premier chiffre de la réponse. Pensez à savoir si ce résultat tout à fait exact. Dans la plupart des cas, ce sera une réponse très approximative. Cubez le résultat pour savoir à quel point il est proche du nombre d'origine. Dans notre exemple : 2 3 (\style d'affichage 2^(3))= 8, ce qui n'est pas très proche de 10, il faut donc poursuivre les calculs.

3. Trouvez le chiffre suivant de la réponse. Ajoutez un deuxième groupe de trois chiffres au premier reste et tracez une ligne verticale à gauche du nombre obtenu. En utilisant le nombre obtenu, vous trouverez le deuxième chiffre de la réponse. Dans notre exemple, nous devons ajouter un deuxième groupe de trois chiffres (000) au premier reste (2) pour obtenir le nombre 2000.

   • À gauche de la ligne verticale, vous écrirez trois nombres dont la somme est égale à un certain premier facteur. Laissez des espaces vides pour ces nombres et placez des signes plus entre eux.

4. Trouvez le premier terme (sur trois). Dans le premier espace vide, écrivez le résultat de la multiplication du nombre 300 par le carré du premier chiffre de la réponse (il est écrit au-dessus du signe racine). Dans notre exemple, le premier chiffre de la réponse est 2, donc 300*(2^2) = 300*4 = 1 200. Écrivez 1 200 dans le premier espace vide. Le premier terme est le nombre 1200 (plus deux autres nombres à trouver).

   Trouvez le deuxième chiffre de la réponse. Découvrez par quel nombre vous devez multiplier 1200 pour que le résultat soit proche, mais ne dépasse pas 2000. Ce nombre ne peut être que 1, puisque 2 * 1200 = 2400, ce qui est supérieur à 2000. Écrivez 1 (le deuxième chiffre de la réponse) après 2 et le point décimal au-dessus du signe racine.

   Trouvez les deuxième et troisième termes (sur trois). Le multiplicateur se compose de trois nombres (termes), dont le premier que vous avez déjà trouvé (1200). Nous devons maintenant trouver les deux termes restants.

   • Multipliez 3 par 10 et par chaque chiffre de la réponse (ils sont écrits au dessus du signe racine). Dans notre exemple : 3*10*2*1 = 60. Ajoutez ce résultat à 1200 et obtenez 1260.
   • Enfin, mettez au carré le dernier chiffre de votre réponse. Dans notre exemple, le dernier chiffre de la réponse est 1, donc 1^2 = 1. Ainsi, le premier facteur est égal à la somme des nombres suivants : 1200 + 60 + 1 = 1261. Écrivez ce nombre à gauche de la barre verticale.

5. Multipliez et soustrayez. Multipliez le dernier chiffre de la réponse (dans notre exemple c'est 1) par le facteur trouvé (1261) : 1*1261 = 1261. Écrivez ce nombre sous 2000 et soustrayez-le de 2000. Vous obtiendrez 739 (c'est le deuxième reste ).

6. Déterminez si la réponse que vous recevez est suffisamment précise. Faites cela chaque fois que vous effectuez une autre soustraction. Après la première soustraction, la réponse était 2, ce qui n’est pas un résultat précis. Après la deuxième soustraction, la réponse est 2,1.

   • Pour vérifier l'exactitude de votre réponse, divisez-la : 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Si vous pensez que la réponse est suffisamment précise, vous n’êtes pas obligé de poursuivre les calculs ; sinon, faites une autre soustraction.

7. Trouvez le deuxième facteur. Pour pratiquer vos calculs et obtenir un résultat plus précis, répétez les étapes ci-dessus.

   • Au deuxième reste (739), ajoutez le troisième groupe de trois chiffres (000). Vous obtiendrez le numéro 739000.
   • Multipliez 300 par le carré du nombre écrit au dessus du signe racine (21) : 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Trouvez le troisième chiffre de la réponse. Découvrez par quel nombre vous devez multiplier 132300 pour que le résultat soit proche, mais ne dépasse pas 739000. Ce nombre est 5 : 5 * 132200 = 661500. Écrivez 5 (le troisième chiffre de la réponse) après le 1 au-dessus du signe racine.
   • Multipliez 3 par 10 par 21 et par le dernier chiffre de la réponse (ils sont écrits au-dessus du signe racine). Dans notre exemple : 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Enfin, mettez au carré le dernier chiffre de votre réponse. Dans notre exemple, le dernier chiffre de la réponse est 5, donc 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Ainsi, le deuxième multiplicateur est : 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Multipliez le dernier chiffre de la réponse par le deuxième facteur. Une fois que vous avez trouvé le deuxième facteur et le troisième chiffre de la réponse, procédez comme suit :

   • Multipliez le dernier chiffre de la réponse par le facteur trouvé : 135475*5 = 677375.
   • Soustraire : 739000-677375 = 61625.
   • Déterminez si la réponse que vous recevez est suffisamment précise. Pour ce faire, cubez-le : 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94).

9. Écrivez votre réponse. Le résultat, écrit au-dessus du signe racine, est la réponse précise à deux décimales près. Dans notre exemple, la racine cubique de 10 est 2,15. Vérifiez votre réponse en la coupant au cube : 2,15^3 = 9,94, soit environ 10. Si vous avez besoin de plus de précision, poursuivez le calcul (comme décrit ci-dessus).

   Partie 2

   Extraire la racine cubique à l'aide de la méthode d'estimation

   1. Utilisez des cubes numériques pour déterminer le sommet et limites inférieures. Si vous devez prendre la racine cubique de presque n’importe quel nombre, trouvez les cubes (de certains nombres) proches du nombre donné.

      • Par exemple, vous devez prendre la racine cubique de 600. Puisque 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) Et 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), alors la valeur de la racine cubique de 600 se situe entre 8 et 9. Par conséquent, utilisez les nombres 512 et 729 comme limites supérieure et inférieure de la réponse.

   2. Estimez le deuxième nombre. Vous avez trouvé le premier nombre grâce à votre connaissance des cubes d'entiers. Maintenant, transformons l'entier en décimal, en y ajoutant (après la virgule) un certain nombre de 0 à 9. Il faut trouver une fraction décimale dont le cube sera proche, mais inférieur au nombre d'origine.

      • Dans notre exemple, le nombre 600 se situe entre les nombres 512 et 729. Par exemple, ajoutez le chiffre 5 au premier chiffre trouvé (8). Le nombre obtenu est 8,5.
   3. • Dans notre exemple : 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Comparez le cube du nombre obtenu avec le nombre d'origine. Si le cube du nombre obtenu est plus grand que le nombre d'origine, essayez d'estimer le nombre le plus petit. Si le cube du nombre obtenu est beaucoup plus petit que le nombre d'origine, évaluez les nombres plus grands jusqu'à ce que le cube de l'un d'eux dépasse le nombre d'origine.

      • Dans notre exemple : 8 , 5 3 (\style d'affichage 8,5^(3))> 600. Évaluez donc le plus petit nombre à 8,4. Cubez ce nombre et comparez-le avec le nombre d'origine : 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8,4*8,4*8,4=592,7). Ce résultat est inférieur au nombre d'origine. La racine cubique de 600 est donc comprise entre 8,4 et 8,5.

   5. Taux prochain numéro pour améliorer la précision des réponses. Pour chaque nombre que vous avez estimé en dernier, ajoutez un nombre de 0 à 9 jusqu'à obtenir la réponse exacte. À chaque cycle d’évaluation, vous devez trouver les limites supérieure et inférieure entre lesquelles se situe le nombre d’origine.

      • Dans notre exemple : 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4^(3)=592.7) Et 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8,5^(3)=614,1). Le nombre d'origine 600 est plus proche de 592 que de 614. Par conséquent, au dernier nombre que vous avez estimé, attribuez un chiffre plus proche de 0 que de 9. Par exemple, un tel nombre est 4. Par conséquent, cubez le nombre 8,44.

   6. Si nécessaire, estimez un nombre différent. Comparez le cube du nombre obtenu avec le nombre d'origine. Si le cube du nombre obtenu est plus grand que le nombre d'origine, essayez d'estimer le nombre le plus petit. En bref, vous devez trouver deux nombres dont les cubes sont légèrement plus grands et légèrement plus petits que le nombre d'origine.

      • Dans notre exemple 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2). C'est légèrement plus grand que le nombre d'origine, alors estimez un autre nombre (plus petit), tel que 8,43 : 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07). Ainsi, la racine cubique de 600 se situe entre 8,43 et 8,44.

   7. Suivez le processus décrit jusqu'à ce que vous obteniez une réponse qui vous convient. Estimez le nombre suivant, comparez-le avec l'original, puis, si nécessaire, estimez un autre nombre, et ainsi de suite. Veuillez noter que chaque chiffre supplémentaire après la virgule décimale augmente la précision de la réponse.

      • Dans notre exemple, le cube de 8,43 est inférieur de 1 au nombre d'origine. Si vous avez besoin de plus de précision, obtenez le cube 8,434 : 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), c'est-à-dire que le résultat est inférieur de 0,1 au nombre d'origine.

Nous en avons déjà trié un grand nombre sans calculatrice. Dans cet article, nous verrons comment extraire la racine cubique (racine du troisième degré). Permettez-moi de faire une réserve sur le fait que nous parlons de nombres naturels. Selon vous, combien de temps faut-il pour calculer verbalement des racines telles que :

Beaucoup, et si vous pratiquez deux ou trois fois pendant 20 minutes, vous pouvez alors extraire une telle racine par voie orale en 5 secondes.

*Il est à noter que nous parlons de nombres sous la racine qui sont le résultat de nombres naturels au cube de 0 à 100.

Nous savons que:

Ainsi, le nombre a que nous trouverons est entier naturel de 0 à 100. Regardez le tableau des cubes de ces nombres (résultats de l'augmentation à la puissance trois) :

Vous pouvez facilement extraire la racine cubique de n’importe quel nombre de ce tableau. Qu'avez-vous besoin de savoir?

1. Ce sont des cubes de nombres multiples de dix :

Je dirais même que ce sont de « beaux » chiffres, ils sont faciles à retenir. C'est facile à apprendre.

2. C'est une propriété des nombres lorsqu'ils sont produits.

Son essence réside dans le fait que lorsqu'un certain nombre est élevé à la puissance trois, le résultat aura une particularité. Lequel?

Par exemple, disons les cubes 1, 11, 21, 31, 41, etc. Vous pouvez regarder le tableau.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

Autrement dit, lorsque nous cubons un nombre avec une unité à la fin, le résultat sera toujours un nombre avec une unité à la fin.

Lorsque vous cubez un nombre avec un deux à la fin, le résultat sera toujours un nombre avec un huit à la fin.

Montrons la correspondance dans le tableau pour tous les nombres :

La connaissance des deux points présentés est largement suffisante.

Regardons des exemples :

Prenez la racine cubique de 21952.

Ce nombre est compris entre 8 000 et 27 000. Cela signifie que le résultat de la racine est compris entre 20 et 30. Le nombre 29952 se termine par 2. Cette option n'est possible que lorsqu'un nombre avec un huit à la fin est en cubes. Le résultat de la racine est donc 28.

Trouvez la racine cubique de 54852.

Ce nombre est compris entre 27 000 et 64 000. Cela signifie que le résultat de la racine est compris entre 30 et 40. Le nombre 54852 se termine par 2. Cette option n'est possible que lorsqu'un nombre avec un huit à la fin est en cubes. Le résultat de la racine est donc 38.

Prenez la racine cubique de 571787.

Ce nombre est compris entre 512000 et 729000. Cela signifie que le résultat de la racine est compris entre 80 et 90. Le nombre 571787 se termine par 7. Cette option n'est possible que lorsqu'un nombre avec un trois à la fin est en cubes. Le résultat de la racine est donc 83.

Prenez la racine cubique de 614125.

Ce nombre est compris entre 512000 et 729000. Cela signifie que le résultat de la racine est compris entre 80 et 90. Le nombre 614125 se termine par 5. Cette option n'est possible que lorsqu'un nombre avec un cinq à la fin est en cubes. Le résultat de la racine est donc 85.

Je pense que vous pouvez désormais facilement extraire la racine cubique du nombre 681472.

Bien entendu, extraire de telles racines par voie orale demande un peu de pratique. Mais en restaurant les deux comprimés indiqués sur papier, vous pouvez facilement extraire une telle racine en une minute, dans tous les cas.

Après avoir trouvé le résultat, assurez-vous de le vérifier (élevez-le à la troisième puissance). *Personne n'a annulé la multiplication par colonne 😉

En fait Problèmes liés à l'examen d'État unifié avec des racines aussi «laides», non. Par exemple, vous devez extraire la racine cubique de 1728. Je pense que ce n'est plus un problème pour vous.

Si vous connaissez des méthodes intéressantes de calculs sans calculatrice, envoyez-les, je les publierai en temps voulu.C'est tout. Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Avant les calculatrices, les étudiants et les enseignants calculaient les racines carrées à la main. Il existe plusieurs façons de calculer racine carrée numéros manuellement. Certains d’entre eux n’offrent qu’une solution approximative, d’autres donnent une réponse exacte.

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Factorisation première

Factorisez le nombre radical en facteurs qui sont des nombres carrés. Selon le nombre radical, vous obtiendrez une réponse approximative ou exacte. Les nombres carrés sont des nombres dont la racine carrée entière peut être extraite. Les facteurs sont des nombres qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 8 sont 2 et 4, puisque 2 x 4 = 8, les nombres 25, 36, 49 sont des nombres carrés, puisque √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Facteurs carrés sont des facteurs, qui sont des nombres carrés. Tout d’abord, essayez de factoriser le nombre radical en facteurs carrés.

• Par exemple, calculez la racine carrée de 400 (à la main). Essayez d’abord de factoriser 400 en facteurs carrés. 400 est un multiple de 100, c'est-à-dire divisible par 25 - c'est un nombre carré. Diviser 400 par 25 vous donne 16. Le nombre 16 est aussi un nombre carré. Ainsi, 400 peut être pris en compte dans les facteurs carrés de 25 et 16, soit 25 x 16 = 400.
• Cela peut s'écrire comme suit : √400 = √(25 x 16).

1. La racine carrée du produit de certains termes est égale au produit des racines carrées de chaque terme, c'est-à-dire √(a x b) = √a x √b. Utilisez cette règle pour prendre la racine carrée de chaque facteur carré et multiplier les résultats pour trouver la réponse.

   • Dans notre exemple, prenons la racine de 25 et 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5x4 = 20

2. Si le nombre radical ne se décompose pas en deux facteur carré(et cela arrive dans la plupart des cas), vous ne pourrez pas trouver la réponse exacte sous la forme d'un nombre entier. Mais vous pouvez simplifier le problème en décomposant le nombre radical en un facteur carré et un facteur ordinaire (un nombre à partir duquel la racine carrée entière ne peut pas être extraite). Ensuite, vous prendrez la racine carrée du facteur carré et la racine du facteur commun.

   • Par exemple, calculez la racine carrée du nombre 147. Le nombre 147 ne peut pas être factorisé en deux facteurs carrés, mais il peut être factorisé en facteurs suivants : 49 et 3. Résolvez le problème comme suit :
     • = √(49 x 3)
     • = √49 × √3
     • = 7√3

3. Si nécessaire, estimez la valeur de la racine. Vous pouvez maintenant estimer la valeur de la racine (trouver une valeur approximative) en la comparant avec les valeurs des racines des nombres carrés les plus proches (des deux côtés de la droite numérique) du nombre radical. Vous recevrez la valeur racine sous forme de fraction décimale, qui doit être multipliée par le nombre derrière le signe racine.

   • Revenons à notre exemple. Le nombre radical est 3. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 1 (√1 = 1) et 4 (√4 = 2). Ainsi, la valeur de √3 se situe entre 1 et 2. Puisque la valeur de √3 est probablement plus proche de 2 que de 1, notre estimation est : √3 = 1,7. On multiplie cette valeur par le nombre au signe racine : 7 x 1,7 = 11,9. Si vous faites le calcul avec une calculatrice, vous obtiendrez 12,13, ce qui est assez proche de notre réponse.
     • Cette méthode fonctionne également avec de grands nombres. Par exemple, considérons √35. Le nombre radical est 35. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 25 (√25 = 5) et 36 (√36 = 6). Ainsi, la valeur de √35 se situe entre 5 et 6. Puisque la valeur de √35 est beaucoup plus proche de 6 que de 5 (car 35 n'est que 1 de moins que 36), on peut dire que √35 est légèrement inférieur à 6. . La vérification sur la calculatrice nous donne la réponse 5,92 - nous avions raison.

4. Une autre façon consiste à factoriser le nombre radical en facteurs premiers. Les facteurs premiers sont des nombres divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes. Écrivez les facteurs premiers dans une série et trouvez des paires de facteurs identiques. De tels facteurs peuvent être retirés du signe racine.

   • Par exemple, calculez la racine carrée de 45. Nous factorisons le nombre radical en facteurs premiers : 45 = 9 x 5 et 9 = 3 x 3. Ainsi, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 peut être retiré comme signe racine : √45 = 3√5. Nous pouvons maintenant estimer √5.
   • Regardons un autre exemple : √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Vous avez reçu trois multiplicateurs de 2 ; prenez-en quelques-uns et déplacez-les au-delà du signe racine.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Vous pouvez maintenant évaluer √2 et √11 et trouver une réponse approximative.

   Calculer manuellement la racine carrée

   Utiliser une division longue

   1. Cette méthode implique un processus similaire à une division longue et fournit une réponse précise. Tout d'abord, tracez une ligne verticale divisant la feuille en deux moitiés, puis à droite et légèrement en dessous du bord supérieur de la feuille, tracez une ligne horizontale jusqu'à la ligne verticale. Divisez maintenant le nombre radical en paires de nombres, en commençant par la partie fractionnaire après la virgule décimale. Ainsi, le numéro 79520789182.47897 s'écrit « 7 95 20 78 91 82, 47 89 70 ».

      • Par exemple, calculons la racine carrée du nombre 780,14. Tracez deux lignes (comme indiqué sur l'image) et écrivez le nombre donné sous la forme « 7 80, 14 » en haut à gauche. Il est normal que le premier chiffre en partant de la gauche soit un chiffre non apparié. Vous écrirez la réponse (la racine de ce nombre) en haut à droite.

   2. Pour la première paire de nombres (ou nombre unique) en partant de la gauche, trouvez le plus grand entier n dont le carré est inférieur ou égal à la paire de nombres (ou nombre unique) en question. En d’autres termes, trouvez le nombre carré le plus proche, mais plus petit, de la première paire de nombres (ou nombre unique) en partant de la gauche, et prenez la racine carrée de ce nombre. nombre carré; vous obtiendrez le numéro n. Écrivez le n que vous avez trouvé en haut à droite et écrivez le carré de n en bas à droite.

      • Dans notre cas, le premier chiffre à gauche sera 7. Ensuite, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Soustrayez le carré du nombre n que vous venez de trouver de la première paire de nombres (ou nombre unique) à gauche.Écrivez le résultat du calcul sous le sous-trahend (le carré du nombre n).

      • Dans notre exemple, soustrayez 4 de 7 et obtenez 3.

   4. Notez la deuxième paire de nombres et notez-la à côté de la valeur obtenue à l’étape précédente. Doublez ensuite le nombre en haut à droite et écrivez le résultat en bas à droite en ajoutant "_×_=".

      • Dans notre exemple, la deuxième paire de chiffres est « 80 ». Écrivez « 80 » après le 3. Ensuite, deux fois le chiffre en haut à droite donne 4. Écrivez « 4_×_=" en bas à droite.

   5. Remplissez les espaces à droite.

      • Dans notre cas, si nous mettons le nombre 8 au lieu de tirets, alors 48 x 8 = 384, ce qui est supérieur à 380. Par conséquent, 8 est un nombre trop grand, mais 7 fera l'affaire. Écrivez 7 au lieu de tirets et obtenez : 47 x 7 = 329. Écrivez 7 en haut à droite - c'est le deuxième chiffre de la racine carrée souhaitée du nombre 780,14.

   6. Soustrayez le nombre obtenu du nombre actuel à gauche.Écrivez le résultat de l'étape précédente sous le numéro actuel à gauche, trouvez la différence et écrivez-la sous le sous-trahend.

      • Dans notre exemple, soustrayez 329 de 380, ce qui équivaut à 51.

   7. Répétez l'étape 4. Si la paire de nombres transférés est la partie fractionnaire du nombre d'origine, placez un séparateur (virgule) entre les parties entière et fractionnaire dans la racine carrée requise en haut à droite. Sur la gauche, faites descendre la prochaine paire de chiffres. Doublez le nombre en haut à droite et écrivez le résultat en bas à droite en ajoutant "_×_=".

      • Dans notre exemple, la prochaine paire de nombres à supprimer sera la partie fractionnaire du nombre 780,14, placez donc le séparateur des parties entière et fractionnaire dans la racine carrée souhaitée en haut à droite. Notez 14 et écrivez-le en bas à gauche. Le double du nombre en haut à droite (27) est 54, alors écrivez "54_×_=" en bas à droite.

   8. Répétez les étapes 5 et 6. Trouvez-en un le plus grand nombreà la place des tirets à droite (au lieu des tirets, vous devez remplacer le même nombre) afin que le résultat de la multiplication soit inférieur ou égal au nombre actuel à gauche.

      • Dans notre exemple, 549 x 9 = 4941, ce qui est inférieur au nombre actuel à gauche (5114). Écrivez 9 en haut à droite et soustrayez le résultat de la multiplication du nombre actuel à gauche : 5114 - 4941 = 173.

   9. Si vous avez besoin de trouver plus de décimales pour la racine carrée, écrivez quelques zéros à gauche du nombre actuel et répétez les étapes 4, 5 et 6. Répétez les étapes jusqu'à ce que vous obteniez la précision de la réponse (nombre de décimales) que vous souhaitez. besoin.

   Comprendre le processus

   Pour l'assimilation cette méthode pensez au nombre dont vous voulez trouver la racine carrée comme l'aire du carré S. Dans ce cas, vous chercherez la longueur du côté L d'un tel carré. On calcule la valeur de L telle que L² = S.

   Donnez une lettre pour chaque chiffre de la réponse. Notons A le premier chiffre de la valeur de L (la racine carrée souhaitée). B sera le deuxième chiffre, C le troisième et ainsi de suite.

   Spécifiez une lettre pour chaque paire de premiers chiffres. Notons S a la première paire de chiffres de la valeur de S, par S b la deuxième paire de chiffres, et ainsi de suite.

   Comprenez le lien entre cette méthode et la division longue. Tout comme dans la division, où nous ne nous intéressons qu'au chiffre suivant du nombre que nous divisons à chaque fois, lors du calcul d'une racine carrée, nous travaillons séquentiellement sur une paire de chiffres (pour obtenir le chiffre suivant de la valeur de la racine carrée) .

   1. Considérons la première paire de chiffres Sa du nombre S (Sa = 7 dans notre exemple) et trouvons sa racine carrée. Dans ce cas, le premier chiffre A de la valeur souhaitée de la racine carrée sera un chiffre dont le carré est inférieur ou égal à S a (c'est-à-dire qu'on cherche un A tel que l'inégalité A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Disons que nous devons diviser 88962 par 7 ; ici la première étape sera similaire : nous considérons le premier chiffre du nombre divisible 88962 (8) et sélectionnons le plus grand nombre qui, multiplié par 7, donne une valeur inférieure ou égale à 8. C'est-à-dire que nous recherchons un nombre d pour lequel l'inégalité est vraie : 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imaginez mentalement un carré dont vous devez calculer l’aire. Vous recherchez L, c'est-à-dire la longueur du côté d'un carré dont l'aire est S. A, B, C sont les chiffres du nombre L. Vous pouvez l'écrire différemment : 10A + B = L (pour numéro à deux chiffres) ou 100A + 10V + C = L (pour numéro à trois chiffres) et ainsi de suite.

      • Laisser (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². N'oubliez pas que 10A+B est un nombre dans lequel le chiffre B représente les unités et le chiffre A représente les dizaines. Par exemple, si A=1 et B=2, alors 10A+B est égal au nombre 12. (10A+B)² est l'aire de la place entière, 100A²- superficie du grand carré intérieur, B²- aire du petit carré intérieur, 10A × B- l'aire de chacun des deux rectangles. En additionnant les aires des figures décrites, vous trouverez l'aire du carré d'origine.

Il est temps de faire le tri méthodes d'extraction de racines. Ils reposent sur les propriétés des racines, en particulier sur l'égalité, ce qui est vrai pour tout nombre négatif b.

Ci-dessous, nous examinerons les principales méthodes d'extraction des racines une par une.

Commençons par le cas le plus simple : extraire des racines de nombres naturels à l'aide d'un tableau de carrés, d'un tableau de cubes, etc.

Si des tableaux de carrés, cubes, etc. Si vous ne l’avez pas sous la main, il est logique d’utiliser la méthode d’extraction de la racine, qui consiste à décomposer le nombre radical en facteurs premiers.

Il convient de mentionner spécialement ce qui est possible pour les racines avec des exposants impairs.

Enfin, considérons une méthode qui nous permet de trouver séquentiellement les chiffres de la valeur racine.

Commençons.

Utiliser un tableau de carrés, un tableau de cubes, etc.

Dans les cas les plus simples, des tableaux de carrés, de cubes, etc. permettent d'extraire des racines. Quels sont ces tableaux ?

Le tableau des carrés d'entiers de 0 à 99 inclus (illustré ci-dessous) se compose de deux zones. La première zone du tableau est située sur fond gris ; en sélectionnant une ligne spécifique et une colonne spécifique, elle permet de composer un nombre de 0 à 99. Par exemple, sélectionnons une ligne de 8 dizaines et une colonne de 3 unités, avec cela nous fixons le nombre 83. La deuxième zone occupe le reste du tableau. Chaque cellule est située à l'intersection d'une certaine ligne et d'une certaine colonne et contient le carré du nombre correspondant de 0 à 99. À l’intersection de la ligne de 8 dizaines et de la colonne 3 de unités, nous avons une cellule avec le nombre 6 889, qui est le carré du nombre 83.

Les tables de cubes, les tables de puissances quatrièmes de nombres de 0 à 99, etc. sont similaires aux tables de carrés, sauf qu'elles contiennent des cubes, des puissances quatrièmes, etc. dans la deuxième zone. numéros correspondants.

Tableaux de carrés, cubes, puissances quatrièmes, etc. vous permettent d'extraire des racines carrées, des racines cubiques, des quatrièmes racines, etc. en conséquence à partir des chiffres de ces tableaux. Expliquons le principe de leur utilisation lors de l'extraction des racines.

Disons que nous devons extraire la nième racine du nombre a, alors que le nombre a est contenu dans le tableau des nièmes puissances. En utilisant ce tableau, nous trouvons le nombre b tel que a=b n. Alors , par conséquent, le nombre b sera la racine souhaitée du nième degré.

À titre d'exemple, montrons comment utiliser une table cubique pour extraire la racine cubique de 19 683. On retrouve le nombre 19 683 dans le tableau des cubes, à partir de là on constate que ce nombre est le cube du nombre 27, donc, .

Il est clair que les tables de puissances nièmes sont très pratiques pour extraire des racines. Cependant, ils ne sont souvent pas disponibles et leur compilation nécessite un certain temps. De plus, il est souvent nécessaire d'extraire des racines de nombres qui ne sont pas contenus dans les tableaux correspondants. Dans ces cas, vous devez recourir à d’autres méthodes d’extraction des racines.

Factoriser un nombre radical en facteurs premiers

Assez d'une manière pratique, qui permet d'extraire une racine d'un nombre naturel (si bien sûr on extrait la racine), est la décomposition du nombre radical en facteurs premiers. Son le point est le suivant: après il est assez facile de le représenter comme une puissance avec l'indicateur nécessaire, ce qui permet d'obtenir la valeur de la racine. Précisons ce point.

Supposons que la nième racine d'un nombre naturel a soit prise et que sa valeur soit égale à b. Dans ce cas, l'égalité a=b n est vraie. Le nombre b, comme tout nombre naturel, peut être représenté comme le produit de tous ses facteurs premiers p 1 , p 2 , …, p m sous la forme p 1 ·p 2 ·…·p m , et le nombre radical a dans ce cas est représenté par (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . La décomposition d'un nombre en facteurs premiers étant unique, la décomposition du nombre radical a en facteurs premiers aura la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ce qui permet de calculer la valeur de la racine comme .

Notez que si la décomposition en facteurs premiers d'un nombre radical a ne peut pas être représentée sous la forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, alors la nième racine d'un tel nombre a n'est pas complètement extraite.

Voyons cela en résolvant des exemples.

Exemple.

Prenez la racine carrée de 144.

Solution.

Si vous regardez le tableau des carrés donné dans le paragraphe précédent, vous voyez clairement que 144 = 12 2, d'où il ressort clairement que la racine carrée de 144 est égale à 12.

Mais à la lumière de ce point, nous nous intéressons à la manière dont la racine est extraite en décomposant le nombre radical 144 en facteurs premiers. Regardons cette solution.

Décomposons 144 aux facteurs premiers :

Autrement dit, 144=2·2·2·2·3·3. Sur la base de la décomposition résultante, les transformations suivantes peuvent être effectuées : 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Ainsi, .

En utilisant les propriétés du degré et les propriétés des racines, la solution pourrait être formulée un peu différemment : .

Répondre:

Pour consolider le matériel, considérons les solutions de deux autres exemples.

Exemple.

Calculez la valeur de la racine.

Solution.

La factorisation première du nombre radical 243 a la forme 243=3 5 . Ainsi, .

Répondre:

Exemple.

La valeur racine est-elle un entier ?

Solution.

Pour répondre à cette question, factorisons le nombre radical en facteurs premiers et voyons s'il peut être représenté comme le cube d'un nombre entier.

Nous avons 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Le développement résultant n’est pas représenté comme un cube d’un entier, puisque le degré le premier facteur 7 n'est pas un multiple de trois. Par conséquent, la racine cubique de 285 768 ne peut pas être extraite complètement.

Répondre:

Non.

Extraire les racines des nombres fractionnaires

Il est temps de comprendre comment extraire la racine de nombre fractionnaire. Laissez le nombre radical fractionnaire s’écrire p/q. D’après la propriété de la racine d’un quotient, l’égalité suivante est vraie. De cette égalité il résulte règle pour extraire la racine d'une fraction: La racine d'une fraction est égale au quotient de la racine du numérateur divisé par la racine du dénominateur.

Regardons un exemple d'extraction d'une racine d'une fraction.

Exemple.

Quelle est la racine carrée de fraction commune 25/169 .

Solution.

En utilisant le tableau des carrés, on constate que la racine carrée du numérateur de la fraction originale est égale à 5, et la racine carrée du dénominateur est égale à 13. Alors . Ceci termine l'extraction de la racine de la fraction commune 25/169.

Répondre:

La racine d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire est extraite après avoir remplacé les nombres radicaux par des fractions ordinaires.

Exemple.

Prenez la racine cubique de la fraction décimale 474,552.

Solution.

Imaginons la fraction décimale originale comme une fraction ordinaire : 474,552=474552/1000. Alors . Il reste à extraire les racines cubiques qui sont au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante. Parce que 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 et 1 000 = 10 3, alors Et . Il ne reste plus qu'à terminer les calculs .

Répondre:

.

Prendre la racine d'un nombre négatif

Il vaut la peine de s'attarder sur l'extraction des racines des nombres négatifs. En étudiant les racines, nous avons dit que lorsque l’exposant racine est un nombre impair, alors il peut y avoir un nombre négatif sous le signe racine. Nous avons donné à ces entrées la signification suivante : pour un nombre négatif −a et un exposant impair de la racine 2 n−1, . Cette égalité donne règle pour extraire les racines impaires des nombres négatifs: pour extraire la racine d'un nombre négatif, il faut prendre la racine du nombre positif opposé, et mettre un signe moins devant le résultat.

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouvez la valeur de la racine.

Solution.

Transformons l'expression originale pour qu'il y ait un nombre positif sous le signe racine : . Maintenant nombre mixte remplacez-le par une fraction ordinaire : . On applique la règle d'extraction de la racine d'une fraction ordinaire : . Il reste à calculer les racines au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante : .

Voici un bref résumé de la solution : .

Répondre:

.

Détermination au niveau du bit de la valeur racine

Dans le cas général, sous la racine se trouve un nombre qui, en utilisant les techniques décrites ci-dessus, ne peut pas être représenté comme la nième puissance d'un nombre quelconque. Mais dans ce cas, il est nécessaire de connaître la signification d'une racine donnée, au moins jusqu'à un certain signe. Dans ce cas, pour extraire la racine, vous pouvez utiliser un algorithme qui permet d'obtenir séquentiellement un nombre suffisant de valeurs numériques du nombre souhaité.

La première étape de cet algorithme consiste à déterminer quel est le bit le plus significatif de la valeur racine. Pour ce faire, les nombres 0, 10, 100, ... sont successivement élevés à la puissance n jusqu'à l'obtention du moment où un nombre dépasse le nombre radical. Ensuite, le nombre que nous avons élevé à la puissance n à l'étape précédente indiquera le chiffre le plus significatif correspondant.

Par exemple, considérons cette étape de l’algorithme lors de l’extraction de la racine carrée de cinq. Prenez les nombres 0, 10, 100, ... et mettez-les au carré jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 5. Nous avons 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ce qui signifie que le chiffre le plus significatif sera celui des unités. La valeur de ce bit, ainsi que les valeurs inférieures, seront retrouvées dans les prochaines étapes de l'algorithme d'extraction de racine.

Toutes les étapes suivantes de l'algorithme visent à clarifier séquentiellement la valeur de la racine en trouvant les valeurs des bits suivants de la valeur souhaitée de la racine, en commençant par la plus élevée et en passant aux plus basses. Par exemple, la valeur de la racine au premier pas s'avère être 2, au deuxième – 2,2, au troisième – 2,23, et ainsi de suite 2,236067977…. Décrivons comment sont trouvées les valeurs des bits.

Les chiffres se trouvent en recherchant leurs valeurs possibles 0, 1, 2, ..., 9. Dans ce cas, les nièmes puissances des nombres correspondants sont calculées en parallèle et comparées au nombre radical. Si à un moment donné la valeur du degré dépasse le nombre radical, alors la valeur du chiffre correspondant à la valeur précédente est considérée comme trouvée et la transition vers l'étape suivante de l'algorithme d'extraction de racine est effectuée si cela ne se produit pas ; alors la valeur de ce chiffre est 9.

Expliquons ces points en utilisant le même exemple d'extraction de la racine carrée de cinq.

Nous trouvons d’abord la valeur du chiffre des unités. Nous allons parcourir les valeurs 0, 1, 2, ..., 9, en calculant respectivement 0 2, 1 2, ..., 9 2, jusqu'à obtenir une valeur supérieure au nombre radical 5. Il convient de présenter tous ces calculs sous forme de tableau :

Donc la valeur du chiffre des unités est 2 (puisque 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Passons à la recherche de la valeur des dixièmes de place. Dans ce cas, nous mettrons au carré les nombres 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, en comparant les valeurs obtenues avec le nombre radical 5 :

Depuis 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, alors la valeur de la dixième place est 2. Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur de la centième place :

C'est ainsi qu'a été trouvée la valeur suivante de la racine de cinq, elle est égale à 2,23. Et ainsi vous pouvez continuer à trouver des valeurs : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pour consolider le matériel, nous analyserons l'extraction de la racine avec une précision au centième en utilisant l'algorithme considéré.

Nous déterminons d’abord le chiffre le plus significatif. Pour ce faire, on cube les nombres 0, 10, 100, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre supérieur à 2 151 186. Nous avons 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, donc le chiffre le plus significatif est le chiffre des dizaines.

Déterminons sa valeur.

Depuis 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, alors la valeur de la place des dizaines est 1. Passons aux unités.

Ainsi, la valeur du chiffre des unités est 2. Passons aux dixièmes.

Puisque même 12,9 3 est inférieur au nombre radical 2 151,186, alors la valeur de la dixième place est 9. Il reste à effectuer la dernière étape de l'algorithme ; elle nous donnera la valeur de la racine avec la précision requise.

A ce stade, la valeur de la racine se trouve précise au centième près : .

En conclusion de cet article, je voudrais dire qu’il existe de nombreuses autres façons d’extraire les racines. Mais pour la plupart des tâches, celles que nous avons étudiées ci-dessus suffisent.

Bibliographie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Instructions

Pour élever un nombre à la puissance 1/3, entrez le nombre, puis cliquez sur le bouton d'exponentiation et entrez la valeur approximative de 1/3 - 0,333. Cette précision est tout à fait suffisante pour la plupart des calculs. Cependant, la précision des calculs est très simple à augmenter - il suffit d'ajouter autant de triplets que le permet l'indicateur de la calculatrice (par exemple, 0,3333333333333333). Cliquez ensuite sur le bouton "=".

Pour calculer la troisième racine à l'aide d'un ordinateur, exécutez le programme de calcul Windows. La procédure de calcul de la troisième racine est complètement similaire à celle décrite ci-dessus. La seule différence réside dans la conception du bouton d’exponentiation. Sur le clavier virtuel de la calculatrice, il est indiqué par « x^y ».

La troisième racine peut également être calculée dans MS Excel. Pour ce faire, entrez « = » dans n'importe quelle cellule et sélectionnez l'icône « insérer » (fx). Sélectionnez la fonction « DEGRÉ » dans la fenêtre qui apparaît et cliquez sur le bouton « OK ». Dans la fenêtre qui apparaît, saisissez la valeur du nombre dont vous souhaitez calculer la troisième racine. Dans « Degré », saisissez le chiffre « 1/3 ». Tapez le nombre 1/3 exactement sous cette forme - comme un nombre ordinaire. Après cela, cliquez sur le bouton « Ok ». La racine cubique du nombre donné apparaîtra dans la cellule du tableau où il a été créé.

Si la troisième racine doit être calculée en permanence, améliorez légèrement la méthode décrite ci-dessus. Pour le nombre dont vous souhaitez extraire la racine, indiquez non pas le nombre lui-même, mais une cellule du tableau. Après cela, entrez simplement le numéro d'origine dans cette cellule à chaque fois - sa racine cubique apparaîtra dans la cellule avec la formule.

Vidéo sur le sujet

note

Conclusion. Cet article a examiné diverses méthodes de calcul des valeurs de racine cubique. Il s'est avéré que les valeurs de la racine cubique peuvent être trouvées en utilisant la méthode d'itération, vous pouvez également approximer la racine cubique, augmenter le nombre à la puissance 1/3, rechercher les valeurs de la troisième racine en utilisant Microsoft Office Ecxel, définition de formules dans les cellules.

Conseil utile

Les racines des deuxième et troisième degrés sont particulièrement souvent utilisées et portent donc des noms spéciaux. Racine carrée : Dans ce cas, l'exposant est généralement omis, et le terme « racine » sans préciser l'exposant implique le plus souvent la racine carrée. Calcul pratique des racines Algorithme pour trouver la racine du nième degré. Les racines carrées et cubiques sont généralement fournies dans toutes les calculatrices.

Sources:

• troisième racine
• Comment prendre la racine carrée à la puissance N dans Excel

L'opération de recherche de la racine troisième degrés est communément appelée extraction de la racine « cubique », et elle consiste à trouver un nombre réel dont le cube donnera une valeur égale au nombre radical. L’opération d’extraction de n’importe quelle racine arithmétique degrés n équivaut à l’opération d’élévation à la puissance 1/n. Il existe plusieurs méthodes que vous pouvez utiliser pour calculer pratiquement les racines cubiques.