« Fractions décimales. Actions sur les fractions décimales »(leçon-généralisation). Décimales, exemples et définitions

nombre fractionnaire.

Notation décimale d'un nombre fractionnaire est un ensemble de deux chiffres ou plus de $0$ à $9$, entre lesquels se trouve le soi-disant \textit (point décimal).

Exemple 1

Par exemple, 35,02 $ ; 100,7 $ ; 123 $ \ 456,5 $ ; 54,89 $.

Le chiffre le plus à gauche dans la représentation décimale d'un nombre ne peut pas être zéro, sauf lorsque le point décimal est immédiatement après le premier chiffre $0$.

Exemple 2

Par exemple, 0,357 $ ; 0,064 $.

Souvent, le point décimal est remplacé par un point décimal. Par exemple, 35,02 $ ; 100,7 $ ; 123 $ \ 456,5 $ ; 54,89 $.

Définition décimale

Définition 1

Décimales sont des nombres fractionnaires représentés en notation décimale.

Par exemple, 121,05 $ ; 67,9 $ ; 345,6700 $.

Les décimales sont utilisées pour une représentation plus compacte des fractions régulières dont les dénominateurs sont les nombres $10$, $100$, $1\000$, etc. et les nombres mixtes dont les dénominateurs sont $10$, $100$, $1\000$, etc.

Par exemple, la fraction commune $\frac(8)(10)$ peut être écrite sous la forme décimale $0,8$ et le nombre fractionnaire $405\frac(8)(100)$ sous la forme décimale $405,08$.

Lire des nombres décimaux

Les décimales qui correspondent aux fractions régulières sont lues de la même manière que les fractions ordinaires, seule la phrase "zéro entier" est ajoutée devant. Par example, fraction commune$\frac(25)(100)$ (prononcé "vingt-cinq centièmes") correspond à la fraction décimale $0,25$ (prononcé "zéro virgule vingt-cinq centièmes").

Les décimales qui correspondent à des nombres mixtes sont lues de la même manière que les nombres mixtes. Par exemple, le nombre mixte $43\frac(15)(1000)$ correspond à la fraction décimale $43,015$ (lire "quarante-trois virgule quinze millièmes").

Places en décimales

En notation décimale, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position. Ceux. en fractions décimales, le concept a également lieu décharge.

Les chiffres des fractions décimales jusqu'à la virgule sont appelés de la même manière que les chiffres des nombres naturels. Les chiffres des fractions décimales après la virgule sont répertoriés dans le tableau :

Image 1.

Exemple 3

Par exemple, dans la fraction décimale $56,328$, $5$ est à la position des dizaines, $6$ est à la place des unités, $3$ est à la dixième place, $2$ est à la centième place, $8$ est à la millième place.

Les chiffres des fractions décimales se distinguent par leur ancienneté. Lors de la lecture d'une fraction décimale, ils se déplacent de gauche à droite - de Sénior décharge à junior.

Exemple 4

Par exemple, en décimal $56,328$, le chiffre le plus significatif (le plus élevé) est le chiffre des dizaines et le chiffre le moins significatif (le plus bas) est le chiffre des millièmes.

Une fraction décimale peut être développée en chiffres de la même manière que l'expansion en chiffres d'un nombre naturel.

Exemple 5

Par exemple, développons la fraction décimale $37,851$ en chiffres :

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Décimales finales

Définition 2

Décimales finales sont appelées fractions décimales, dont les enregistrements contiennent un nombre fini de caractères (chiffres).

Par exemple, 0,138 $ ; 5,34 $ ; 56,123456 $ ; 350 972,54 $.

Toute fraction décimale finale peut être convertie en une fraction commune ou en un nombre fractionnaire.

Exemple 6

Par exemple, la dernière décimale de 7,39 $ correspond à nombre fractionnaire$7\frac(39)(100)$, et la dernière décimale $0.5$ correspond à la fraction appropriée $\frac(5)(10)$ (ou toute fraction qui l'égale, par exemple $\frac(1) (2) $ ou $\frac(10)(20)$.

Conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale

Convertir des fractions communes avec des dénominateurs $10, 100, \dots$ en décimales

Avant de convertir certaines fractions ordinaires appropriées en nombres décimaux, elles doivent d'abord être « préparées ». Le résultat de cette préparation devrait être le même nombre de chiffres au numérateur et le même nombre de zéros au dénominateur.

L'essence de " pré-formation» corriger les fractions ordinaires pour les convertir en fractions décimales - en ajoutant à gauche du numérateur un nombre de zéros tel que total chiffres sont devenus égaux au nombre de zéros dans le dénominateur.

Exemple 7

Par exemple, préparons la fraction commune $\frac(43)(1000)$ pour la conversion en décimal et obtenons $\frac(043)(1000)$. Et la fraction ordinaire $\frac(83)(100)$ n'a pas besoin d'être préparée.

formulons règle pour convertir une fraction commune propre avec le dénominateur $10$, ou $100$, ou $1\000$, $\dots$ en une fraction décimale:

écrire $0$ ;

mettre un point décimal après;

notez le nombre du numérateur (ainsi que des zéros ajoutés après préparation, si nécessaire).

Exemple 8

Convertit la fraction propre $\frac(23)(100)$ en décimal.

Décision.

Le dénominateur est le nombre $100$, qui contient $2$ deux zéros. Le numérateur contient le nombre $23$, qui contient $2$.chiffres. cela signifie que la préparation de cette fraction pour la conversion en décimal n'est pas nécessaire.

Écrivons $0$, mettons un point décimal et écrivons le nombre $23$ à partir du numérateur. Nous obtenons la fraction décimale $0.23$.

Répondre: $0,23$.

Exemple 9

Écrivez la fraction appropriée $\frac(351)(100000)$ sous forme décimale.

Décision.

Le numérateur de cette fraction a $3$ chiffres, et le nombre de zéros dans le dénominateur est $5$, donc cette fraction ordinaire doit être préparée pour être convertie en décimal. Pour ce faire, ajoutez $5-3=2$ zéros à gauche du numérateur : $\frac(00351)(100000)$.

Nous pouvons maintenant former la fraction décimale souhaitée. Pour ce faire, écrivez $0$, puis mettez une virgule et écrivez le nombre à partir du numérateur. Nous obtenons la fraction décimale $0.00351$.

Répondre: $0,00351$.

formulons règle pour convertir des fractions communes impropres avec des dénominateurs $10$, $100$, $\dots$ en décimales:

écrire un nombre à partir du numérateur ;

séparer par un point décimal autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction originale.

Exemple 10

Convertit la fraction commune incorrecte $\frac(12756)(100)$ en décimal.

Décision.

Écrivons le nombre à partir du numérateur $12756$, puis séparons les chiffres de droite par un point décimal $2$, car le dénominateur de la fraction originale $2$ est zéro. Nous obtenons la fraction décimale $127.56$.

Il y avait 5 couleurs de ruban dans l'atelier de couture. Il y avait plus de ruban rouge que de ruban bleu sur 2,4 mètres, mais moins de ruban vert sur 3,8 mètres. Le ruban blanc mesurait 1,5 mètre de plus que le noir, mais 1,9 mètre de moins que le vert. Combien y avait-il de mètres de ruban dans l'atelier si le ruban blanc faisait 7,3 mètres ?

Décision
• 1) 7,3 + 1,9 = 9,2 (m) de ruban vert était dans l'atelier ;
• 2) 7,3 - 1,5 = 5,8 (m) de ruban noir ;
• 3) 9,2 - 3,8 = 5,4 (m) ruban rouge ;
• 4) 5,4 - 2,4 = 3 (m) ruban bleu ;
• 5) 7,3 + 9,2 + 5,8 + 5,4 + 3 = 30,7 (m).
• Réponse : au total, il y avait 30,7 mètres de ruban dans l'atelier.

Tâche 2

La longueur de la section rectangulaire est de 19,4 mètres et la largeur de 2,8 mètres de moins. Calculer le périmètre de la zone.

Décision
• 1) 19,4 - 2,8 = 16,6 (m) largeur de parcelle ;
• 2) 16,6 * 2 + 19,4 * 2 = 33,2 + 38,8 = 72 (m).
• Réponse : Le périmètre de la parcelle est de 72 mètres.

Tâche 3

La longueur d'un saut de kangourou peut atteindre 13,5 mètres de long. Le record du monde pour un humain est de 8,95 mètres. Jusqu'où un kangourou peut-il sauter ?

Décision
• 1) 13,5 - 8,95 = 4,55 (m).
• 2) Réponse : le kangourou saute 4,55 mètres plus loin.

Tâche 4

Le plus basse température sur la planète a été enregistrée à la station Vostok en Antarctique, à l'été du 21 juillet 1983, et était de -89,2°C, et la plus chaude dans la ville d'El Azizia, le 13 septembre 1922, était de +57,8°C. la différence entre les températures.

Décision
• 1) 89,2 + 57,8 = 147°C.
• Réponse : La différence entre les températures est de 147 °C.

Tâche 5

La capacité de charge du fourgon Gazelle est de 1,5 tonne et le camion-benne minier BelAZ est 24 fois plus grand. Calculez la capacité de charge du camion benne BelAZ.

Décision
• 1) 1,5 * 24 = 36 (tonnes).
• Réponse : la capacité de charge de BelAZ est de 36 tonnes.

Tâche 6

La vitesse maximale de la Terre sur son orbite est de 30,27 km/s, et la vitesse de Mercure est de 17,73 km de plus. Quelle est la vitesse de Mercure sur son orbite ?

Décision
• 1) 30,27 + 17,73 = 48 (km/s).
• Réponse : La vitesse orbitale de Mercure est de 48 km/s.

Tâche 7

Profondeur Tranchée des Mariannes est de 11,023 km, et la hauteur de la plus haute montagne du monde - Chomolungma est de 8,848 km d'altitude. Calculez la différence entre ces deux points.

Décision
• 1) 11,023 + 8,848 = 19,871(km).
• Réponse : 19,871 km.

Tâche 8

Pour Kolya, comme pour toute personne en bonne santé, température normale corps 36,6 ° C, et pour son ami à quatre pattes Sharik 2,2 ° C de plus. Quelle température est considérée comme normale pour Sharik ?

Décision
• 1) 36,6 + 2,2 = 38,8°C.
• Réponse : La température corporelle normale de Sharik est de 38,8 °C.

Tâche 9

Le peintre a peint 18,6 m² de clôture en 1 jour, et son assistant a peint 4,4 m² de moins. Combien de m2 de clôture seront peints par le peintre et son assistant pour Semaine de travail s'il est égal à cinq jours ?

Décision
• 1) 18,6 - 4,4 \u003d 14,2 (m²) seront peints en 1 jour par l'assistant peintre;
• 2) 14,2 + 18,6 = 32,8 (m²) seront peints en 1 jour ensemble ;
• 3) 32,8 * 5 = 164 (m²).
• Réponse : Pendant la semaine de travail, le peintre et son assistant peindront ensemble 164 m² de clôture.

Tâche 10

Deux bateaux sont partis de deux quais vers l'autre en même temps. La vitesse d'un bateau est de 42,2 km/h et la seconde de 6 km/h de plus. Quelle sera la distance entre les bateaux après 2h30 si la distance entre les quais est de 140,5 km ?

Décision
• 1) 42,2 + 6 = 48,2 (km/h) vitesse du deuxième bateau ;
• 2) 42,2 * 2,5 = 105,5 (km) surmontera le premier bateau en 2,5 heures;
• 3) 48,2 * 2,5 = 120,5 (km) surmontera le deuxième bateau en 2,5 heures;
• 4) 140,5 - 105,5 = 35 (km) distance du premier bateau à l'embarcadère opposé ;
• 5) 140,5 - 120, 5 = 20 (km) distance du deuxième bateau à l'embarcadère opposé ;
• 6) 35 + 20 = 55 (km) ;
• 7) 140 - 55 = 85 (km).
• Réponse : il y aura 85 km entre les bateaux.

Tâche 11

Chaque jour, un cycliste surmonte 30,2 km. Un motocycliste, s'il passait le même temps, parcourrait une distance 2,5 fois plus grande qu'un cycliste. Quelle distance un motard peut-il parcourir en 4 jours ?

Décision
• 1) 30,2 * 2,5 = 75,5 (km) qu'un motocycliste surmontera en 1 jour;
• 2) 75,5 * 4 = 302 (km).
• Réponse : Un motocycliste peut parcourir 302 km en 4 jours.

Tâche 12

Le magasin a vendu 18,3 kg de biscuits en 1 jour et 2,4 kg de sucreries en moins. Combien de bonbons et de biscuits ont été vendus ensemble dans le magasin ce jour-là ?

Décision
• 1) 18,3 - 2, 4 = 15,9 (kg) de bonbons ont été vendus dans le magasin ;
• 2) 15,9 + 18,3 = 34,2 (kg).
• Réponse : 34,2 kg de bonbons et biscuits ont été vendus.

Dans cet article, nous allons comprendre ce qu'est une fraction décimale, quelles sont ses caractéristiques et ses propriétés. Aller! 🙂

La fraction décimale est un cas particulier des fractions ordinaires (dont le dénominateur est un multiple de 10).

Définition

Les décimales sont des fractions dont les dénominateurs sont des nombres composés d'un et d'un certain nombre de zéros qui le suivent. Autrement dit, ce sont des fractions avec un dénominateur de 10, 100, 1000, etc. Sinon, une fraction décimale peut être caractérisée comme une fraction avec un dénominateur de 10 ou l'une des puissances de dix.

Exemples de fractions :

, ,

Une fraction décimale s'écrit différemment d'une fraction commune. Les opérations avec ces fractions sont également différentes des opérations avec les fractions ordinaires. Les règles pour les opérations sur eux sont dans une large mesure proches des règles pour les opérations sur les nombres entiers. Ceci, en particulier, détermine leur pertinence dans la résolution de problèmes pratiques.

Représentation d'une fraction en notation décimale

Il n'y a pas de dénominateur dans la notation décimale, il affiche le numéro du numérateur. À vue générale La fraction décimale s'écrit comme suit :

où X est partie entière fractions, Y - sa partie fractionnaire, "," - point décimal.

Pour la représentation correcte d'une fraction ordinaire sous forme décimale, il faut qu'elle soit correcte, c'est-à-dire avec une partie entière en surbrillance (si possible) et un numérateur qui inférieur au dénominateur. Ensuite, en notation décimale, la partie entière est écrite avant le point décimal (X), et le numérateur de la fraction ordinaire est écrit après le point décimal (Y).

Si le numérateur représente un nombre avec un nombre de chiffres inférieur au nombre de zéros dans le dénominateur, alors dans la partie Y, le nombre de chiffres manquants dans la notation décimale est rempli de zéros devant les chiffres du numérateur.

Exemple:

Si la fraction ordinaire est inférieure à 1, c'est-à-dire n'a pas de partie entière, alors 0 s'écrit sous forme décimale pour X.

Dans la partie fractionnaire (Y), après le dernier chiffre significatif (autre que zéro), un nombre arbitraire de zéros peut être saisi. Cela n'affecte pas la valeur de la fraction. Et vice versa : tous les zéros à la fin de la partie fractionnaire de la fraction décimale peuvent être omis.

Lire des nombres décimaux

La partie X se lit dans le cas général comme suit : « X entiers ».

La partie Y est lue en fonction du nombre au dénominateur. Pour le dénominateur 10, il faut lire : "Y dixièmes", pour le dénominateur 100 : "Y centièmes", pour le dénominateur 1000 : "Y millièmes" et ainsi de suite... 😉

Une autre approche de la lecture est considérée comme plus correcte, basée sur le comptage du nombre de chiffres de la partie fractionnaire. Pour ce faire, vous devez comprendre que les chiffres fractionnaires sont situés dans image miroir par rapport aux chiffres de la partie entière de la fraction.

Les noms pour une lecture correcte sont donnés dans le tableau :

Sur cette base, la lecture doit être basée sur la correspondance avec le nom de la catégorie du dernier chiffre de la partie fractionnaire.

• 3.5 se lit "trois virgule cinq"
• 0,016 se lit comme "zéro virgule seize millièmes"

Conversion d'une fraction ordinaire arbitraire en nombre décimal

Si le dénominateur d'une fraction ordinaire est 10 ou une puissance de dix, alors la fraction est convertie comme décrit ci-dessus. Dans d'autres situations, des transformations supplémentaires sont nécessaires.

Il y a 2 façons de traduire.

La première voie de traduction

Le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés par un nombre entier tel que le dénominateur soit 10 ou l'une des puissances de dix. Et puis la fraction est représentée en notation décimale.

Cette méthode est applicable pour des fractions dont le dénominateur se décompose uniquement en 2 et 5. Ainsi, dans l'exemple précédent . Si la décomposition contient d'autres facteurs premiers(par exemple,), alors vous devrez recourir à la 2ème méthode.

La deuxième voie de traduction

La 2ème méthode consiste à diviser le numérateur par le dénominateur dans une colonne ou sur une calculatrice. La partie entière, le cas échéant, n'est pas impliquée dans la transformation.

La règle de division longue qui donne une fraction décimale est décrite ci-dessous (voir Diviser des nombres décimaux).

Convertir décimal en ordinaire

Pour ce faire, sa partie fractionnaire (à droite de la virgule) doit être écrite sous forme de numérateur et le résultat de la lecture de la partie fractionnaire doit être écrit sous la forme du nombre correspondant au dénominateur. De plus, si possible, vous devez réduire la fraction résultante.

Fin et décimal infini

La fraction décimale est dite finale, dont la partie fractionnaire est constituée d'un nombre fini de chiffres.

Tous les exemples ci-dessus contiennent exactement les fractions décimales finales. Cependant, toutes les fractions ordinaires ne peuvent pas être représentées comme un nombre décimal final. Si la 1ère méthode de traduction pour une fraction donnée n'est pas applicable, et que la 2ème méthode démontre que la division ne peut pas être complétée, alors seule une fraction décimale infinie peut être obtenue.

Il est impossible d'écrire une fraction infinie sous sa forme complète. Sous une forme incomplète, de telles fractions peuvent être représentées :

1. à la suite d'une réduction au nombre de décimales souhaité ;
2. sous la forme d'une fraction périodique.

Une fraction est appelée périodique, dans laquelle, après la virgule décimale, une séquence de chiffres se répétant à l'infini peut être distinguée.

Les fractions restantes sont dites non périodiques. Pour les fractions non périodiques, seule la 1ère méthode de représentation (arrondi) est autorisée.

Un exemple de fraction périodique: 0,8888888 ... Il y a ici un chiffre 8 répétitif, qui, évidemment, sera répété indéfiniment, car il n'y a aucune raison de supposer le contraire. Ce numéro s'appelle période fractionnaire.

Les fractions périodiques sont pures et mélangées. Une fraction décimale est pure, dans laquelle la période commence immédiatement après la virgule décimale. À fraction mixte il y a 1 ou plusieurs chiffres avant le point après la virgule décimale.

54.33333 ... - fraction décimale pure périodique

2.5621212121 ... - fraction mixte périodique

Exemples d'écriture de nombres décimaux infinis :

Le 2ème exemple montre comment former correctement une période dans une fraction périodique.

Conversion de décimales périodiques en décimales ordinaires

Pour convertir une fraction périodique pure en une période ordinaire, écrivez-la au numérateur et écrivez au dénominateur un nombre composé de neuf en quantité égale au nombre de chiffres de la période.

Une décimale récurrente mixte se traduit comme suit :

1. vous devez former un nombre composé du nombre après la virgule avant le point et du premier point ;
2. du nombre résultant, soustrayez le nombre après la virgule avant le point. Le résultat sera le numérateur d'une fraction ordinaire ;
3. dans le dénominateur, vous devez entrer un nombre composé du nombre de neuf égal au nombre de chiffres de la période, suivi de zéros, dont le nombre est égal au nombre de chiffres du nombre après la virgule avant le 1ère période.

Comparaison décimale

Les fractions décimales sont comparées initialement par leurs parties entières. La plus grande est la fraction qui a la plus grande partie entière.

Si les parties entières sont les mêmes, alors les chiffres des chiffres correspondants de la partie fractionnaire sont comparés, en commençant par le premier (à partir des dixièmes). Le même principe s'applique ici : la plus grande des fractions, qui a un plus grand rang de dixièmes ; si les chiffres des dixièmes sont égaux, les chiffres des centièmes sont comparés, et ainsi de suite.

Dans la mesure où

, car avec des parties entières égales et des dixièmes égaux dans la partie fractionnaire, la 2ème fraction a plus de centièmes.

Additionner et soustraire des nombres décimaux

Les décimales s'additionnent et se soustraient de la même manière que les nombres entiers, en écrivant les chiffres correspondants les uns sous les autres. Pour ce faire, vous devez avoir des points décimaux les uns sous les autres. Ensuite, les unités (dizaines, etc.) de la partie entière, ainsi que les dixièmes (centièmes, etc.) de la partie fractionnaire correspondront. Les chiffres manquants de la partie fractionnaire sont remplis de zéros. Directement Le processus d'addition et de soustraction s'effectue de la même manière que pour les nombres entiers.

Multiplication décimale

Pour multiplier les fractions décimales, vous devez les écrire les unes sous les autres, alignées sur le dernier chiffre et sans faire attention à l'emplacement des décimales. Ensuite, vous devez multiplier les nombres de la même manière que lors de la multiplication d'entiers. Après avoir reçu le résultat, vous devez recalculer le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions et séparer le nombre total de chiffres fractionnaires dans le nombre résultant par une virgule. S'il n'y a pas assez de chiffres, ils sont remplacés par des zéros.

Multiplier et diviser des nombres décimaux par 10 n

Ces actions sont simples et se résument à déplacer la virgule décimale. P Lors de la multiplication, la virgule est déplacée vers la droite (la fraction augmente) du nombre de chiffres égal au nombre de zéros dans 10 n, où n est une puissance entière arbitraire. C'est-à-dire qu'un certain nombre de chiffres sont transférés de la partie fractionnaire à l'entier. Lors de la division, respectivement, la virgule est transférée vers la gauche (le nombre diminue) et certains des chiffres sont transférés de la partie entière à la partie fractionnaire. S'il n'y a pas assez de chiffres à transférer, les chiffres manquants sont remplis de zéros.

Diviser un nombre décimal et un nombre entier par un nombre entier et un nombre décimal

Diviser un nombre décimal par un nombre entier revient à diviser deux nombres entiers. De plus, seule la position de la virgule doit être prise en compte : lors de la démolition du chiffre du chiffre suivi d'une virgule, il faut mettre une virgule après le chiffre courant de la réponse générée. Ensuite, vous devez continuer à diviser jusqu'à ce que vous obteniez zéro. S'il n'y a pas assez de signes dans le dividende pour une division complète, des zéros doivent être utilisés comme eux.

De même, 2 entiers sont divisés en une colonne si tous les chiffres du dividende ont été démolis et que la division complète n'est pas encore terminée. Dans ce cas, après la démolition du dernier chiffre du dividende, un point décimal est placé dans la réponse résultante et des zéros sont utilisés comme chiffres démolis. Ceux. le dividende ici, en fait, est représenté comme une fraction décimale avec une partie décimale nulle.

Pour diviser une fraction décimale (ou un entier) par un nombre décimal, il faut multiplier le dividende et le diviseur par le nombre 10 n, dans lequel le nombre de zéros est égal au nombre de chiffres après la virgule dans le diviseur. De cette façon, ils se débarrassent de la virgule décimale dans la fraction par laquelle vous voulez diviser. En outre, le processus de division est le même que celui décrit ci-dessus.

Représentation graphique des décimales

Graphiquement, les fractions décimales sont représentées au moyen d'une ligne de coordonnées. Pour cela, les segments individuels sont en outre divisés en 10 parties égales, tout comme les centimètres et les millimètres sont déposés sur une règle en même temps. Cela garantit que les décimales sont affichées avec précision et peuvent être comparées objectivement.

Pour que les divisions longitudinales sur des segments uniques soient les mêmes, il faut soigneusement considérer la longueur du segment unique lui-même. Il devrait être tel que la commodité d'une division supplémentaire puisse être assurée.

La fraction décimale est utilisée lorsque vous devez effectuer des opérations sur des nombres non entiers. Cela peut sembler irrationnel. Mais ce type de nombres facilite grandement les opérations mathématiques qui doivent être effectuées avec eux. Cette compréhension vient avec le temps, lorsque leur écriture devient familière, que la lecture ne pose pas de difficultés et que les règles des fractions décimales sont maîtrisées. De plus, toutes les actions sont répétées déjà connues, qui sont apprises avec des nombres naturels. Vous avez juste besoin de vous souvenir de certaines fonctionnalités.

Définition décimale

Un nombre décimal est une représentation spéciale d'un nombre non entier avec un dénominateur divisible par 10 et la réponse est un et éventuellement des zéros. En d'autres termes, si le dénominateur est 10, 100, 1000, etc., il est plus pratique de réécrire le nombre à l'aide d'une virgule. Ensuite, la partie entière sera située avant, puis la partie fractionnaire. De plus, l'enregistrement de la seconde moitié du nombre dépendra du dénominateur. Le nombre de chiffres qui sont dans la partie fractionnaire doit être égal au dénominateur.

Ce qui précède peut être illustré par ces chiffres :

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Raisons d'utiliser des décimales

Les mathématiciens avaient besoin de nombres décimaux pour plusieurs raisons :

Simplifiez l'enregistrement. Une telle fraction est située le long d'une ligne sans tiret entre le dénominateur et le numérateur, alors que la clarté n'en souffre pas.

Simplicité en comparaison. Il suffit juste de corréler les nombres qui sont dans les mêmes positions, alors qu'avec des fractions ordinaires il faudrait les ramener à un dénominateur commun.

Simplification des calculs.

Les calculatrices ne sont pas conçues pour l'introduction de fractions ordinaires, elles les utilisent pour toutes les opérations notation décimale Nombres.

Comment lire correctement ces chiffres ?

La réponse est simple : tout comme un nombre fractionnaire ordinaire avec un dénominateur qui est un multiple de 10. Les seules exceptions sont les fractions sans valeur entière, alors lors de la lecture, vous devez dire "zéro entier".

Par exemple, 45/1000 doit être prononcé comme quarante cinq millièmes, tandis que 0,045 sonnera comme zéro virgule quarante-cinq millièmes.

Un nombre mixte avec une partie entière égale à 7 et une fraction de 17/100, qui s'écrira 7,17, dans les deux cas se lira comme sept virgule dix-sept centièmes.

Le rôle des chiffres dans la notation des fractions

Il est vrai de noter la décharge - c'est ce que les mathématiques exigent. Les décimales et leur signification peuvent changer considérablement si vous écrivez un chiffre au mauvais endroit. Cependant, cela a été vrai auparavant.

Pour lire les chiffres de la partie entière d'une fraction décimale, il suffit d'utiliser les règles connues pour nombres naturels. Et sur le côté droit, ils sont mis en miroir et lus différemment. Si "dizaines" retentit dans toute la partie, alors après la virgule décimale, ce sera déjà "dixièmes".

Cela se voit clairement dans ce tableau.

Comment écrire un nombre fractionnaire sous forme décimale ?

Si le dénominateur contient un nombre égal à 10 ou 100, et d'autres, alors la question de savoir comment convertir une fraction en nombre décimal est simple. Pour ce faire, il suffit de réécrire toutes ses parties constituantes d'une manière différente. Les points suivants vous y aideront :

écrivez le numérateur de la fraction un peu à l'écart, à ce moment la virgule décimale est située à droite, après le dernier chiffre;

déplacez la virgule vers la gauche, la chose la plus importante ici est de compter correctement les nombres - vous devez la déplacer d'autant de positions qu'il y a de zéros dans le dénominateur ;

s'il n'y en a pas assez, des zéros doivent apparaître dans des positions vides ;

les zéros qui étaient à la fin du numérateur ne sont plus nécessaires et peuvent être barrés ;

ajoutez une partie entière avant la virgule, si elle n'y était pas, alors zéro apparaîtra également ici.

Attention. Vous ne pouvez pas barrer les zéros entourés d'autres nombres.

Sur la façon d'être dans une situation où le dénominateur contient un nombre non seulement de un et de zéros, comment convertir une fraction en décimal, vous pouvez lire un peu plus bas. C'est une information important qui vaut vraiment le détour.

Comment convertir une fraction en nombre décimal si le dénominateur est un nombre arbitraire ?

Il y a deux options ici:

Lorsque le dénominateur peut être représenté par un nombre égal à dix à n'importe quelle puissance.

Si une telle opération ne peut être effectuée.

Comment le vérifier ? Il faut factoriser le dénominateur. Si seuls 2 et 5 sont présents dans le produit, alors tout va bien et la fraction est facilement convertie en une décimale finale. Sinon, si 3, 7 et d'autres nombres premiers apparaissent, le résultat sera infini. Il est d'usage d'arrondir une telle fraction décimale pour en faciliter l'utilisation dans les opérations mathématiques. Cela sera discuté un peu plus bas.

Étudier comment ces fractions décimales sont obtenues, 5e année. Des exemples seront très utiles ici.

Soit les dénominateurs contiennent des nombres : 40, 24 et 75. La décomposition en facteurs premiers pour eux sera la suivante :

• 40=2 2 2 5 ;
• 24=2 2 2 3 ;
• 75=5 5 3.

Dans ces exemples, seule la première fraction peut être représentée comme une fraction finale.

Algorithme pour convertir une fraction ordinaire en un nombre décimal final

Vérifiez la factorisation du dénominateur en facteurs premiers et assurez-vous qu'il sera composé de 2 et 5.

Ajoutez à ces nombres autant de 2 et 5 qu'ils deviennent un nombre égal. Ils donneront la valeur du multiplicateur supplémentaire.

Multipliez le dénominateur et le numérateur par ce nombre. Le résultat est une fraction ordinaire, sous la ligne de laquelle il y a 10 dans une certaine mesure.

Si, dans la tâche, ces actions sont effectuées avec un nombre mixte, elles doivent d'abord être représentées sous la forme d'une fraction impropre. Et alors seulement, agissez selon le scénario décrit.

Représentation d'une fraction commune sous la forme d'un nombre décimal arrondi

Cette façon de convertir une fraction en nombre décimal semblera encore plus facile à quelqu'un. Parce qu'il n'a pas un grand nombre Actions. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Tout nombre avec une partie décimale à droite de la virgule décimale peut se voir attribuer un nombre infini de zéros. Cette propriété doit être utilisée.

Tout d'abord, écrivez toute la partie et mettez une virgule après. Si la fraction est correcte, écrivez zéro.

Ensuite, il faut effectuer la division du numérateur par le dénominateur. Pour qu'ils aient le même nombre de chiffres. C'est-à-dire, affecter à la droite du numérateur La bonne quantité des zéros.

Effectuez une division dans une colonne jusqu'à ce que le nombre de chiffres requis soit composé. Par exemple, si vous devez arrondir au centième supérieur, la réponse devrait en contenir 3. En général, il devrait y avoir un chiffre de plus que ce que vous devez obtenir à la fin.

Enregistrez la réponse intermédiaire après la virgule et arrondissez selon les règles. Si le dernier chiffre est compris entre 0 et 4, il vous suffit de le supprimer. Et quand il est égal à 5-9, alors celui qui le précède doit être augmenté de un, en écartant le dernier.

Retour du décimal à l'ordinaire

En mathématiques, il y a des problèmes lorsqu'il est plus pratique de représenter des fractions décimales sous la forme de fractions ordinaires, dans lesquelles il y a un numérateur avec un dénominateur. Vous pouvez pousser un soupir de soulagement : cette opération est toujours possible.

Pour cette procédure, vous devez effectuer les opérations suivantes :

écrivez la partie entière, si elle est égale à zéro, alors rien n'a besoin d'être écrit ;

tracez une ligne fractionnaire ;

au-dessus, écrivez les chiffres du côté droit, si les premiers sont des zéros, alors ils doivent être barrés;

sous la ligne, écrivez une unité avec autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans la fraction originale.

C'est tout ce que vous devez faire pour convertir un nombre décimal en une fraction commune.

Que pouvez-vous faire avec des nombres décimaux ?

En mathématiques, il s'agira de certaines actions avec des fractions décimales qui étaient auparavant effectuées pour d'autres nombres.

Ils sont:

comparaison;

addition et soustraction;

Multiplication et division.

La première action, la comparaison, est similaire à la façon dont cela a été fait pour les nombres naturels. Pour déterminer lequel est le plus grand, vous devez comparer les chiffres de la partie entière. S'ils s'avèrent égaux, ils passent au fractionnaire et les comparent de la même manière par chiffres. Le nombre avec le plus grand chiffre dans l'ordre le plus élevé sera la réponse.

Additionner et soustraire des nombres décimaux

C'est peut-être le plus étapes simples. Parce qu'ils sont exécutés selon les règles des nombres naturels.



Ainsi, pour ajouter des fractions décimales, elles doivent être écrites les unes sous les autres, en plaçant des virgules dans une colonne. Avec un tel enregistrement, les parties entières apparaissent à gauche des virgules et les parties fractionnaires à droite. Et maintenant, vous devez ajouter les nombres petit à petit, comme on le fait avec les nombres naturels, en déplaçant la virgule vers le bas. Vous devez commencer à additionner à partir du plus petit chiffre de la partie fractionnaire du nombre. S'il n'y a pas assez de nombres dans la moitié droite, ajoutez des zéros.

La soustraction fonctionne de la même manière. Et ici, la règle s'applique, qui décrit la possibilité de prendre une unité à partir du chiffre le plus élevé. Si la fraction réduite a moins de chiffres après la virgule décimale que le sous-traitant, des zéros lui sont simplement attribués.

La situation est un peu plus compliquée avec les tâches où vous devez effectuer la multiplication et la division de fractions décimales.

Comment multiplier décimal dans différents exemples?

La règle de multiplication des fractions décimales par un nombre naturel est la suivante :

écrivez-les dans une colonne, en ignorant la virgule ;

multiplier comme s'ils étaient naturels ;

séparer par une virgule autant de chiffres qu'il y avait dans la partie fractionnaire du nombre original.

Un cas particulier est un exemple dans lequel un nombre naturel est égal à 10 à n'importe quelle puissance. Ensuite, pour obtenir une réponse, il suffit de déplacer la virgule vers la droite d'autant de positions qu'il y a de zéros dans un autre facteur. En d'autres termes, lors de la multiplication par 10, la virgule se décale d'un chiffre, de 100 - il y en aura deux, et ainsi de suite. S'il n'y a pas assez de chiffres dans la partie fractionnaire, vous devez écrire des zéros dans des positions vides.

La règle utilisée lorsque, dans la tâche, vous devez multiplier des fractions décimales par une autre du même nombre :

écrivez-les l'un sous l'autre en ignorant les virgules ;

multiplier comme s'il s'agissait de nombres naturels;

séparer par une virgule autant de chiffres qu'il y avait dans les parties fractionnaires des deux fractions originales ensemble.

A titre de cas particulier, on distingue des exemples dans lesquels l'un des facteurs est égal à 0,1 ou 0,01 et ainsi de suite. Dans ceux-ci, vous devez déplacer la virgule vers la gauche du nombre de chiffres dans les facteurs présentés. Autrement dit, si elle est multipliée par 0,1, la virgule est décalée d'une position.

Comment diviser une fraction décimale en différentes tâches ?

La division des fractions décimales par un nombre naturel s'effectue selon la règle suivante :

écrivez-les pour les diviser dans une colonne, comme s'ils étaient naturels;

diviser selon la règle habituelle jusqu'à ce que toute la partie se termine;

mettre une virgule dans la réponse;

continuer à diviser la composante fractionnaire jusqu'à ce que le reste soit égal à zéro ;

si nécessaire, vous pouvez attribuer le nombre requis de zéros.

Si la partie entière est égale à zéro, elle ne figurera pas non plus dans la réponse.

Séparément, il y a une division en nombres égaux à dix, cent, etc. Dans de tels problèmes, vous devez déplacer la virgule vers la gauche du nombre de zéros dans le diviseur. Il arrive qu'il n'y ait pas assez de chiffres dans la partie entière, alors des zéros sont utilisés à la place. On peut voir que cette opération est similaire à la multiplication par 0,1 et des nombres similaires.

Pour effectuer une division de nombres décimaux, vous devez utiliser cette règle :

transformez le diviseur en un nombre naturel et, pour ce faire, déplacez la virgule vers la droite jusqu'à la fin;

déplacer la virgule et dans le divisible par le même nombre de chiffres ;

suivre le scénario précédent.

La division par 0,1 est mise en surbrillance ; 0.01 et autres numéros similaires. Dans de tels exemples, la virgule est décalée vers la droite du nombre de chiffres de la partie fractionnaire. S'ils sont terminés, vous devez attribuer le nombre manquant de zéros. Il convient de noter que cette action répète la division par 10 et des nombres similaires.



Conclusion : tout est une question de pratique

Rien dans l'apprentissage n'est facile ou sans effort. Il faut du temps et de la pratique pour maîtriser un nouveau matériel de manière fiable. Les mathématiques ne font pas exception.

Pour que le sujet des fractions décimales ne pose pas de difficultés, vous devez résoudre autant d'exemples que possible avec eux. Après tout, il fut un temps où l'addition des nombres naturels prêtait à confusion. Et maintenant tout va bien.

Par conséquent, en paraphrasant expression célèbre: décider, décider et décider encore. Ensuite, les tâches avec de tels nombres seront effectuées facilement et naturellement, comme un autre puzzle.

Soit dit en passant, les énigmes sont difficiles à résoudre au début, puis vous devez effectuer les mouvements habituels. Il en va de même dans les exemples mathématiques : après avoir parcouru plusieurs fois le même chemin, vous ne penserez plus vers où vous tourner.

Comme:

± d m … ré 1 ré 0 , ré -1 ré -2 …

où ± est le signe de la fraction : soit + soit -,

, - point décimal, qui sert de séparateur entre les parties entières et fractionnaires du nombre,

ns- chiffres décimaux.

En même temps, l'ordre des chiffres avant la virgule (à gauche de celle-ci) a une fin (comme min 1-par chiffre), et après la virgule (à droite) il peut être soit fini (en option , il peut n'y avoir aucun chiffre après la virgule) et infini.

Valeur décimale ± d m … ré 1 ré 0 , ré -1 ré -2 … est un nombre réel :

qui est égal à la somme d'un nombre fini ou infini de termes.

La représentation des nombres réels à l'aide de fractions décimales est une généralisation de la notation des nombres entiers dans le système décimal. La représentation décimale d'un entier n'a pas de chiffres après la virgule décimale, et donc, cette représentation ressemble à ceci :

± d m … ré 1 ré 0 ,

Et cela coïncide avec l'enregistrement de notre nombre dans le système de numération décimale.

Décimal- c'est le résultat de la division de 1 en 10, 100, 1000 et ainsi de suite. Ces fractions sont assez pratiques pour les calculs, car ils sont basés sur le même système positionnel sur lequel le comptage et la notation des nombres entiers sont construits. Pour cette raison, la notation et les règles pour les fractions décimales sont presque les mêmes que pour les nombres entiers.

Lors de l'écriture de fractions décimales, vous n'avez pas besoin de marquer le dénominateur, il est déterminé par la place occupée par le chiffre correspondant. D'abord, écrivez la partie entière du nombre, puis mettez un point décimal à droite. Le premier chiffre après la virgule indique le nombre de dixièmes, le second - le nombre de centièmes, le troisième - le nombre de millièmes, etc. Les nombres après la virgule sont décimales.

Par example:

L'un des avantages des fractions décimales est qu'elles peuvent être très facilement converties en fractions ordinaires : le nombre après la virgule (le nôtre est 5047) est numérateur; dénominateuréquivaut à nème degré 10, où n- le nombre de décimales (on a ceci n=4):

Lorsqu'il n'y a pas de partie entière dans la fraction décimale, on met zéro devant la virgule :

Propriétés des fractions décimales.

1. La décimale ne change pas lorsque des zéros sont ajoutés à droite :

13.6 =13.6000.

2. La décimale ne change pas lorsque les zéros qui se trouvent à la fin de la décimale sont supprimés :

0.00123000 = 0.00123.

Attention! Les zéros qui ne sont PAS à la fin d'une décimale ne doivent pas être supprimés !

3. La fraction décimale augmente de 10, 100, 1000, et ainsi de suite lorsque nous déplaçons la virgule décimale vers les positions 1 puits, 2, 2, etc. vers la droite, respectivement :

3,675 → 367,5 (la fraction a été multipliée par cent).

4. La fraction décimale devient inférieure à dix, cent, mille, etc. lorsque nous déplaçons la virgule décimale vers les positions 1 puits, 2, 3, etc. vers la gauche, respectivement :

1536,78 → 1,53678 (la fraction est devenue mille fois plus petite).

Types de décimales.

Les décimales sont divisées par final, sans fin et décimales périodiques.

Fin décimale - c'est une fraction contenant un nombre fini de chiffres après la virgule (ou ils n'y sont pas du tout), c'est-à-dire Ressemble à ça:

Un nombre réel ne peut être représenté comme une fraction décimale finie que si ce nombre est rationnel et lorsqu'il est écrit comme une fraction irréductible p/q dénominateur q n'a pas d'autres diviseurs premiers que 2 et 5.

Décimal infini.

Contient un groupe de chiffres se répétant à l'infini appelé période. La période est écrite entre parenthèses. Par exemple, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

Décimal périodique- il s'agit d'une telle fraction décimale infinie dans laquelle la séquence de chiffres après la virgule décimale, à partir d'un certain endroit, est un groupe de chiffres se répétant périodiquement. En d'autres termes, fraction périodique est un nombre décimal qui ressemble à ceci :

Une telle fraction est généralement écrite brièvement comme ceci :

Groupe de numéros b 1 … b l, qui se répète, est période fractionnaire, le nombre de chiffres dans ce groupe est durée de la période.

Lorsque, dans une fraction périodique, le point vient immédiatement après la virgule décimale, alors la fraction est périodique pur. Lorsqu'il y a des nombres entre la virgule et le 1er point, alors la fraction est périodique mixte, et un groupe de chiffres après la virgule décimale jusqu'au 1er point - fraction prépériode.

par exemple, la fraction 1,(23) = 1,2323… est périodique pure, et la fraction 0,1(23)=0,12323… est périodique mixte.

La propriété principale des fractions périodiques, en raison de laquelle ils se distinguent de l'ensemble des fractions décimales, réside dans le fait que les fractions périodiques et elles seules représentent des nombres rationnels. Plus précisément, il se passe ce qui suit :

Toute fraction décimale périodique infinie représente nombre rationnel. Inversement, lorsqu'un nombre rationnel est décomposé en une fraction décimale infinie, alors cette fraction sera périodique.