« Décimales. Opérations sur les fractions décimales" (leçon de synthèse). Décimales, exemples et définitions

nombre fractionnaire.

Notation décimale d'un nombre fractionnaire est un ensemble de deux chiffres ou plus de 0$ à 9$, entre lesquels se trouve ce qu'on appelle un \textit (point décimal).

Exemple 1

Par exemple, 35,02 $ ; 100,7 $ ; 123 $ 456,5 $ ; 54,89$.

Le chiffre le plus à gauche de la notation décimale d'un nombre ne peut pas être zéro, la seule exception étant lorsque le point décimal est immédiatement après le premier chiffre $0$.

Exemple 2

Par exemple, 0,357 $ ; 0,064$.

Souvent, le point décimal est remplacé par un point décimal. Par exemple, 35,02 $ ; 100,7 $ ; 123 $ 456,5 $ ; 54,89$.

Définition décimale

Définition 1

Décimales-- ce sont des nombres fractionnaires représentés en notation décimale.

Par exemple, 121,05 $ ; 67,9 $ ; 345,6700$.

Les décimales sont utilisées pour écrire de manière plus compacte des fractions propres dont les dénominateurs sont les nombres $10$, $100$, $1\000$, etc. et les nombres mixtes dont les dénominateurs de la partie fractionnaire sont les nombres $10$, $100$, $1\000$, etc.

Par exemple, la fraction commune $\frac(8)(10)$ peut être écrite sous forme décimale $0,8$, et le nombre mixte $405\frac(8)(100)$ peut être écrit sous forme décimale $405,08$.

Lire des décimales

Les décimales, qui correspondent aux fractions régulières, se lisent de la même manière que les fractions ordinaires, seule la phrase « zéro entier » est ajoutée devant. Par exemple, fraction commune$\frac(25)(100)$ (lire « vingt-cinq centièmes ») correspond à la fraction décimale $0,25$ (lire « zéro virgule vingt-cinq centièmes »).

Les fractions décimales qui correspondent aux nombres fractionnaires se lisent de la même manière que les nombres fractionnaires. Par exemple, le nombre mixte $43\frac(15)(1000)$ correspond à la fraction décimale $43,015$ (lire « quarante-trois virgule quinze millièmes »).

Places en décimales

En écrivant une fraction décimale, la signification de chaque chiffre dépend de sa position. Ceux. en fractions décimales, le concept s'applique également catégorie.

Les places dans les fractions décimales jusqu'à la virgule décimale sont appelées de la même manière que les places dans les nombres naturels. Les décimales après la virgule sont répertoriées dans le tableau :

Image 1.

Exemple 3

Par exemple, dans la fraction décimale $56,328$, le chiffre $5$ est à la place des dizaines, $6$ est à la place des unités, $3$ est à la place des dixièmes, $2$ est à la place des centièmes, $8$ est à la place des millièmes. lieu.

Les places dans les fractions décimales sont distinguées par priorité. Lors de la lecture d'une fraction décimale, déplacez-vous de gauche à droite - de senior rang à plus jeune.

Exemple 4

Par exemple, dans la fraction décimale $56,328$, le chiffre le plus significatif (le plus élevé) est le chiffre des dizaines et le chiffre le plus bas (le plus bas) est le chiffre des millièmes.

Une fraction décimale peut être développée en chiffres similaires à la décomposition en chiffres d'un nombre naturel.

Exemple 5

Par exemple, décomposons la fraction décimale $37,851$ en chiffres :

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Fin des décimales

Définition 2

Fin des décimales sont appelées fractions décimales dont les enregistrements contiennent un nombre fini de caractères (chiffres).

Par exemple, 0,138 $ ; 5,34 $ ; 56,123456 $ ; 350 972,54 $.

Toute fraction décimale finie peut être convertie en fraction ou en nombre fractionnaire.

Exemple 6

Par exemple, la fraction décimale finale $7,39$ répond un nombre fractionnaire$7\frac(39)(100)$, et la fraction décimale finale $0,5$ correspond à la fraction commune appropriée $\frac(5)(10)$ (ou toute fraction qui lui est égale, par exemple, $\frac (1) (2)$ ou $\frac(10)(20)$.

Conversion d'une fraction en nombre décimal

Conversion de fractions avec des dénominateurs $10, 100, \dots$ en décimales

Avant de convertir certaines fractions propres en décimales, elles doivent d’abord être « préparées ». Le résultat d’une telle préparation doit être le même nombre de chiffres au numérateur et le même nombre de zéros au dénominateur.

L'essence de " préparation préliminaire» fractions régulières pour la conversion en fractions décimales - en ajoutant un tel nombre de zéros à gauche dans le numérateur que total les chiffres sont devenus égaux au nombre de zéros dans le dénominateur.

Exemple 7

Par exemple, préparons la fraction $\frac(43)(1000)$ pour la conversion en décimal et obtenons $\frac(043)(1000)$. Et la fraction ordinaire $\frac(83)(100)$ ne nécessite aucune préparation.

Formulons règle pour convertir une fraction commune appropriée avec un dénominateur de 10$, ou 100$, ou 1\000$, $\dots$ en une fraction décimale:

écrivez $0$ ;

après, mettez un point décimal ;

notez le nombre du numérateur (avec des zéros ajoutés après préparation, si nécessaire).

Exemple 8

Convertissez la fraction appropriée $\frac(23)(100)$ en décimal.

Solution.

Le dénominateur contient le nombre $100$, qui contient $2$ et deux zéros. Le numérateur contient le nombre $23$, qui s'écrit avec $2$.digits. Cela signifie qu’il n’est pas nécessaire de préparer cette fraction pour la convertir en décimal.

Écrivons $0$, mettons un point décimal et notons le nombre $23$ à partir du numérateur. Nous obtenons la fraction décimale $0,23$.

Répondre: $0,23$.

Exemple 9

Écrivez la fraction appropriée $\frac(351)(100000)$ sous forme décimale.

Solution.

Le numérateur de cette fraction contient des chiffres de 3$ et le nombre de zéros au dénominateur est de 5$, cette fraction ordinaire doit donc être préparée pour être convertie en décimal. Pour ce faire, vous devez ajouter $5-3=2$ zéros à gauche du numérateur : $\frac(00351)(100000)$.

Nous pouvons maintenant former la fraction décimale souhaitée. Pour ce faire, notez $0$, puis ajoutez une virgule et notez le nombre du numérateur. Nous obtenons la fraction décimale $0,00351$.

Répondre: $0,00351$.

Formulons règle pour convertir des fractions impropres avec des dénominateurs $10$, $100$, $\dots$ en fractions décimales:

notez le nombre à partir du numérateur ;

Utilisez un point décimal pour séparer autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction d'origine.

Exemple 10

Convertissez la fraction impropre $\frac(12756)(100)$ en décimale.

Solution.

Écrivons le nombre à partir du numérateur $12756$, puis séparons les chiffres $2$ à droite par un point décimal, car le dénominateur de la fraction originale $2$ est zéro. Nous obtenons la fraction décimale 127,56$.

L'atelier de couture disposait de 5 couleurs de ruban. Il y avait plus de bureaucratie rouge que de bleu de 2,4 mètres, mais moins de ruban vert de 3,8 mètres. Il y avait plus de ruban blanc que de ruban noir sur 1,5 mètre, mais moins de ruban vert sur 1,9 mètre. Combien de mètres de ruban y avait-il au total dans l'atelier si le blanc mesurait 7,3 mètres ?

Solution
• 1) 7,3 + 1,9 = 9,2 (m) de ruban vert se trouvaient dans l'atelier ;
• 2) 7,3 – 1,5 = 5,8 (m) de ruban noir ;
• 3) 9,2 – 3,8 = 5,4 (m) de ruban rouge ;
• 4) 5,4 - 2,4 = 3 (m) ruban bleu ;
• 5) 7,3 + 9,2 + 5,8 + 5,4 + 3 = 30,7 (m).
• Réponse : il y avait au total 30,7 mètres de ruban adhésif dans l'atelier.

Problème 2

La longueur de la section rectangulaire est de 19,4 mètres et la largeur est inférieure de 2,8 mètres. Calculez le périmètre du site.

Solution
• 1) 19,4 – 2,8 = 16,6 (m) de largeur de la zone ;
• 2) 16,6 * 2 + 19,4 * 2 = 33,2 + 38,8 = 72(m).
• Réponse : le périmètre du site est de 72 mètres.

Problème 3

La longueur du saut d'un kangourou peut atteindre 13,5 mètres. Le record du monde pour une personne est de 8,95 mètres. Jusqu’où un kangourou peut-il sauter ?

Solution
• 1) 13,5 – 8,95 = 4,55 (m).
• 2) Réponse : le kangourou saute 4,55 mètres plus loin.

Problème 4

Le plus basse température sur la planète a été enregistré à la station Vostok en Antarctique, à l'été du 21 juillet 1983 et était de -89,2°C, et le plus chaud dans la ville d'Al-Azizia, le 13 septembre 1922 était de +57,8°C. la différence entre les températures.

Solution
• 1) 89,2 + 57,8 = 147°C.
• Réponse : La différence entre les températures est de 147°C.

Problème 5

La capacité de charge du fourgon Gazelle est de 1,5 tonne et celle du camion-benne minier BelAZ est 24 fois supérieure. Calculez la capacité de charge du camion-benne BelAZ.

Solution
• 1) 1,5 * 24 = 36 (tonnes).
• Réponse : La capacité de charge de BelAZ est de 36 tonnes.

Problème 6

La vitesse maximale de la Terre sur son orbite est de 30,27 km/sec et la vitesse de Mercure est 17,73 km plus élevée. À quelle vitesse Mercure se déplace-t-elle sur son orbite ?

Solution
• 1) 30,27 + 17,73 = 48 (km/s).
• Réponse : La vitesse orbitale de Mercure est de 48 km/s.

Problème 7

Profondeur Tranchée des Mariannes est de 11,023 km et la hauteur de la plus haute montagne du monde - Chomolungma est de 8,848 km au-dessus du niveau de la mer. Calculez la différence entre ces deux points.

Solution
• 1) 11,023 + 8,848 = 19,871(km).
• Réponse : 19 871 km.

Problème 8

Pour Kolya, comme pour toute personne en bonne santé, température normale corps 36,6°C, et pour son ami à quatre pattes Sharik 2,2°C de plus. Quelle température est considérée comme normale pour Sharik ?

Solution
• 1) 36,6 + 2,2 = 38,8°C.
• Réponse : La température corporelle normale de Sharik est de 38,8°C.

Problème 9

Le peintre a peint 18,6 m² de clôture en 1 jour, et son assistant a peint 4,4 m² de moins. Combien de m2 de clôture un peintre et son assistant peuvent-ils peindre au total ? Semaine de travail, s'il est égal à cinq jours ?

Solution
• 1) 18,6 – 4,4 = 14,2 (m²) sera peint par un assistant peintre en 1 jour ;
• 2) 14,2 + 18,6 = 32,8 (m²) seront peints en 1 jour ensemble ;
• 3) 32,8 *5 = 164 (m²).
• Réponse : dans une semaine de travail, le peintre et son assistant peindront ensemble 164 m² de clôture.

Problème 10

Deux bateaux sont partis simultanément de deux quais l'un vers l'autre. La vitesse d'un bateau est de 42,2 km/h, celle du second est de 6 km/h de plus. Quelle sera la distance entre les bateaux après 2h30 si la distance entre les quais est de 140,5 km ?

Solution
• 1) 42,2 + 6 = 48,2 (km/h) vitesse du deuxième bateau ;
• 2) 42,2 * 2,5 = 105,5 (km) seront parcourus par le premier bateau en 2,5 heures ;
• 3) 48,2 * 2,5 = 120,5 (km) seront parcourus par le deuxième bateau en 2,5 heures ;
• 4) 140,5 – 105,5 = 35 (km) de distance entre le premier bateau et le quai opposé ;
• 5) 140,5 – 120,5 = 20 (km) de distance entre le deuxième bateau et le quai opposé ;
• 6) 35 + 20 = 55 (km) ;
• 7) 140 – 55 = 85 (km).
• Réponse : il y aura 85 km entre les bateaux.

Problème 11

Chaque jour, un cycliste parcourt 30,2 km. Un motocycliste, s'il passait le même temps, parcourrait une distance 2,5 fois plus grande qu'un cycliste. Quelle distance un motocycliste peut-il parcourir en 4 jours ?

Solution
• 1) 30,2 * 2,5 = 75,5 (km) qu'un motocycliste parcourra en 1 jour ;
• 2) 75,5 * 4 = 302 (km).
• Réponse : un motocycliste peut parcourir 302 km en 4 jours.

Problème 12

En 1 jour, le magasin a vendu 18,3 kg de biscuits et 2,4 kg de bonbons en moins. Combien de bonbons et de biscuits ont été vendus dans le magasin ce jour-là ?

Solution
• 1) 18,3 – 2,4 = 15,9 (kg) de bonbons ont été vendus dans le magasin ;
• 2) 15,9 + 18,3 = 34,2 (kg).
• Réponse : au total, 34,2 kg de friandises et de biscuits ont été vendus.

Dans cet article, nous comprendrons ce qu'est une fraction décimale, quelles sont ses caractéristiques et ses propriétés. Aller! 🙂

Une fraction décimale est un cas particulier de fractions ordinaires (où le dénominateur est un multiple de 10).

Définition

Les décimales sont des fractions dont les dénominateurs sont des nombres composés d'un et d'un nombre de zéros qui le suivent. Autrement dit, ce sont des fractions avec un dénominateur de 10, 100, 1000, etc. Sinon, une fraction décimale peut être caractérisée comme une fraction avec un dénominateur de 10 ou l'une des puissances de dix.

Exemples de fractions :

, ,

Les fractions décimales s’écrivent différemment des fractions ordinaires. Les opérations avec ces fractions sont également différentes des opérations avec les fractions ordinaires. Les règles pour les opérations avec eux sont à bien des égards similaires aux règles pour les opérations avec des nombres entiers. Ceci explique notamment leur exigence de résoudre des problèmes pratiques.

Représentation des fractions en notation décimale

La fraction décimale n'a pas de dénominateur ; elle affiche le numéro du numérateur. DANS vue générale La fraction décimale s'écrit selon le schéma suivant :

où X – partie entière fractions, Y est sa partie fractionnaire, « », est le point décimal.

Pour représenter correctement une fraction sous forme décimale, il doit s'agir d'une fraction régulière, c'est-à-dire avec la partie entière en surbrillance (si possible) et un numérateur qui inférieur au dénominateur. Ensuite, en notation décimale, la partie entière est écrite avant la virgule décimale (X) et le numérateur de la fraction commune est écrit après la virgule décimale (Y).

Si le numérateur contient un nombre avec moins de chiffres que le nombre de zéros au dénominateur, alors dans la partie Y, le nombre de chiffres manquant dans la notation décimale est rempli de zéros devant les chiffres du numérateur.

Exemple:

Si une fraction commune est inférieure à 1, c'est-à-dire n'a pas de partie entière, alors pour X sous forme décimale, écrivez 0.

Dans la partie fractionnaire (Y), après le dernier chiffre significatif (non nul), un nombre arbitraire de zéros peut être saisi. Cela n'affecte pas la valeur de la fraction. À l’inverse, tous les zéros à la fin de la partie fractionnaire de la décimale peuvent être omis.

Lire des décimales

La partie X se lit généralement comme suit : « X entiers ».

La partie Y est lue en fonction du nombre au dénominateur. Pour le dénominateur 10 il faut lire : « Y dixièmes », pour le dénominateur 100 : « Y centièmes », pour le dénominateur 1000 : « Y millièmes » et ainsi de suite... 😉

Une autre approche de la lecture, basée sur le comptage du nombre de chiffres de la partie fractionnaire, est considérée comme plus correcte. Pour ce faire, vous devez comprendre que les chiffres fractionnaires sont situés dans image miroir par rapport aux chiffres de la partie entière de la fraction.

Les noms pour une lecture correcte sont donnés dans le tableau :

Sur cette base, la lecture doit être basée sur le respect du nom du chiffre du dernier chiffre de la partie fractionnaire.

• 3,5 lit "trois virgule cinq"
• 0,016 lit "zéro virgule seize millièmes"

Conversion d'une fraction arbitraire en décimale

Si le dénominateur d'une fraction commune est 10 ou une puissance de dix, alors la conversion de la fraction est effectuée comme décrit ci-dessus. Dans d'autres situations, des transformations supplémentaires sont nécessaires.

Il existe 2 méthodes de traduction.

Première méthode de transfert

Le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés par un nombre entier tel que le dénominateur produise le nombre 10 ou l'une des puissances de dix. Et puis la fraction est représentée en notation décimale.

Cette méthode est applicable aux fractions dont le dénominateur ne peut être développé qu'en 2 et 5. Ainsi, dans l'exemple précédent . Si la décomposition contient d'autres facteurs premiers(par exemple, ), vous devrez alors recourir à la 2ème méthode.

Deuxième méthode de traduction

La 2ème méthode consiste à diviser le numérateur par le dénominateur dans une colonne ou sur une calculatrice. La pièce entière, le cas échéant, ne participe pas à la transformation.

La règle pour une division longue qui aboutit à une fraction décimale est décrite ci-dessous (voir Division des décimales).

Conversion d'une fraction décimale en une fraction commune

Pour ce faire, vous devez écrire sa partie fractionnaire (à droite de la virgule décimale) comme numérateur et le résultat de la lecture de la partie fractionnaire comme nombre correspondant au dénominateur. Ensuite, si possible, vous devez réduire la fraction résultante.

Fraction décimale finie et infinie

Une fraction décimale est appelée fraction finale dont la partie fractionnaire est constituée d'un nombre fini de chiffres.

Tous les exemples ci-dessus contiennent des fractions décimales finales. Cependant, toutes les fractions ordinaires ne peuvent pas être représentées sous forme décimale finale. Si la 1ère méthode de conversion n'est pas applicable pour une fraction donnée et que la 2ème méthode démontre que la division ne peut pas être complétée, alors seule une fraction décimale infinie peut être obtenue.

Il est impossible d’écrire une fraction infinie sous sa forme complète. Sous forme incomplète, ces fractions peuvent être représentées :

1. suite à une réduction au nombre souhaité de décimales ;
2. comme fraction périodique.

Une fraction est dite périodique si, après la virgule décimale, il est possible de distinguer une séquence de chiffres se répétant à l'infini.

Les fractions restantes sont dites non périodiques. Pour les fractions non périodiques, seule la 1ère méthode de représentation (arrondi) est autorisée.

Un exemple de fraction périodique : 0,8888888... Ici, il y a un nombre répétitif 8, qui, évidemment, sera répété à l'infini, car il n'y a aucune raison de supposer le contraire. Ce chiffre est appelé période de la fraction.

Les fractions périodiques peuvent être pures ou mélangées. Une fraction décimale pure est une fraction dont le point commence immédiatement après la virgule. U fraction mixte il y a 1 ou plusieurs chiffres avant la virgule décimale.

54.33333… – fraction décimale pure périodique

2,5621212121… – fraction mixte périodique

Exemples d'écriture de fractions décimales infinies :

Le 2ème exemple montre comment formater correctement un point en écrivant une fraction périodique.

Conversion de fractions décimales périodiques en fractions ordinaires

Pour convertir une fraction périodique pure en une période ordinaire, écrivez-la au numérateur et écrivez un nombre composé de neuf d'un montant égal au nombre de chiffres de la période au dénominateur.

La fraction décimale périodique mixte se traduit comme suit :

1. vous devez former un nombre composé du nombre après la virgule avant le point et le premier point ;
2. Du nombre obtenu, soustrayez le nombre après la virgule avant le point. Le résultat sera le numérateur de la fraction commune ;
3. au dénominateur, vous devez saisir un nombre composé d'un nombre de neuf égal au nombre de chiffres du point, suivi de zéros dont le nombre est égal au nombre de chiffres du nombre après la virgule avant le 1er période.

Comparaison des décimales

Les fractions décimales sont d'abord comparées par leurs parties entières. La fraction dont la partie entière est la plus grande est la plus grande.

Si les parties entières sont identiques, comparez les chiffres des chiffres correspondants de la partie fractionnaire, en commençant par le premier (à partir des dixièmes). Le même principe s’applique ici : la fraction la plus grande est celle qui contient le plus de dixièmes ; si les chiffres des dixièmes sont égaux, les chiffres des centièmes sont comparés, et ainsi de suite.

Parce que le

, car avec des parties entières égales et des dixièmes égaux dans la partie fractionnaire, la 2ème fraction a un chiffre en centièmes plus grand.

Additionner et soustraire des décimales

Les décimales sont ajoutées et soustraites de la même manière que les nombres entiers en écrivant les chiffres correspondants les uns en dessous des autres. Pour ce faire, vous devez avoir des points décimaux les uns en dessous des autres. Alors les unités (dizaines, etc.) de la partie entière, ainsi que les dixièmes (centièmes, etc.) de la partie fractionnaire, seront concordantes. Les chiffres manquants de la partie fractionnaire sont remplis de zéros. Directement Le processus d'addition et de soustraction s'effectue de la même manière que pour les nombres entiers.

Multiplier des décimales

Pour multiplier des décimales, vous devez les écrire les unes en dessous des autres, en les alignant sur le dernier chiffre et sans prêter attention à l'emplacement des points décimaux. Ensuite, vous devez multiplier les nombres de la même manière que lorsque vous multipliez des nombres entiers. Après avoir reçu le résultat, vous devez recalculer le nombre de chiffres après la virgule décimale dans les deux fractions et séparer le nombre total de chiffres fractionnaires dans le nombre obtenu par une virgule. S'il n'y a pas assez de chiffres, ils sont remplacés par des zéros.

Multiplier et diviser des décimales par 10n

Ces actions sont simples et se résument à déplacer la virgule décimale. P. Lors de la multiplication, la virgule décimale est déplacée vers la droite (la fraction est augmentée) d'un nombre de chiffres égal au nombre de zéros dans 10n, où n est une puissance entière arbitraire. C'est-à-dire qu'un certain nombre de chiffres sont transférés de la partie fractionnaire à la partie entière. Lors de la division, en conséquence, la virgule est déplacée vers la gauche (le nombre diminue) et certains chiffres sont transférés de la partie entière à la partie fractionnaire. S'il n'y a pas assez de nombres à transférer, les bits manquants sont remplis de zéros.

Diviser un nombre décimal et un nombre entier par un nombre entier et un nombre décimal

Diviser un nombre décimal par un nombre entier est similaire à diviser deux nombres entiers. De plus, il vous suffit de prendre en compte la position de la virgule décimale : lors de la suppression du chiffre d'un lieu suivi d'une virgule, vous devez placer une virgule après le chiffre actuel de la réponse générée. Ensuite, vous devez continuer à diviser jusqu'à obtenir zéro. S'il n'y a pas suffisamment de signes dans le dividende pour une division complète, des zéros doivent être utilisés.

De même, 2 nombres entiers sont divisés en colonne si tous les chiffres du dividende sont supprimés et que la division complète n'est pas encore terminée. Dans ce cas, après avoir supprimé le dernier chiffre du dividende, un point décimal est placé dans la réponse résultante et des zéros sont utilisés comme chiffres supprimés. Ceux. le dividende ici est essentiellement représenté comme une fraction décimale avec une partie fractionnaire nulle.

Pour diviser une fraction décimale (ou un nombre entier) par un nombre décimal, vous devez multiplier le dividende et le diviseur par le nombre 10 n, dans lequel le nombre de zéros est égal au nombre de chiffres après la virgule décimale du diviseur. De cette façon, vous supprimez le point décimal dans la fraction par laquelle vous souhaitez diviser. De plus, le processus de division coïncide avec celui décrit ci-dessus.

Représentation graphique des fractions décimales

Les fractions décimales sont représentées graphiquement à l'aide d'une ligne de coordonnées. Pour ce faire, les segments individuels sont ensuite divisés en 10 parties égales, tout comme les centimètres et les millimètres sont marqués simultanément sur une règle. Cela garantit que les décimales sont affichées avec précision et peuvent être comparées objectivement.

Pour que les divisions en segments individuels soient identiques, vous devez soigneusement considérer la longueur du segment lui-même. Il doit être tel que la commodité d'une division supplémentaire puisse être assurée.

La décimale est utilisée lorsque vous devez effectuer des opérations avec des nombres non entiers. Cela peut paraître irrationnel. Mais ce type de nombres simplifie grandement les opérations mathématiques qui doivent être effectuées avec eux. Cette compréhension vient avec le temps, lorsque leur écriture devient familière, que leur lecture ne pose pas de difficultés et que les règles des fractions décimales sont maîtrisées. De plus, toutes les actions répètent celles déjà connues, qui ont été apprises avec des nombres naturels. Vous avez juste besoin de vous rappeler certaines fonctionnalités.

Définition décimale

Un nombre décimal est une représentation spéciale d'un nombre non entier avec un dénominateur divisible par 10, donnant la réponse comme un et éventuellement des zéros. En d’autres termes, si le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc., il est alors plus pratique de réécrire le nombre à l’aide d’une virgule. Ensuite, la partie entière sera située devant elle, puis la partie fractionnaire. De plus, l'enregistrement de la seconde moitié du nombre dépendra du dénominateur. Le nombre de chiffres de la partie fractionnaire doit être égal au chiffre du dénominateur.

Ce qui précède peut être illustré par ces chiffres :

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Raisons d'utiliser les décimales

Les mathématiciens avaient besoin de décimales pour plusieurs raisons :

Simplification de l'enregistrement. Une telle fraction est située le long d'une ligne sans tiret entre le dénominateur et le numérateur, alors que la clarté n'en souffre pas.

La simplicité en comparaison. Il suffit simplement de corréler les nombres qui se trouvent dans les mêmes positions, alors qu'avec des fractions ordinaires, il faudrait les réduire à un dénominateur commun.

Simplifiez les calculs.

Les calculatrices ne sont pas conçues pour accepter les fractions ; elles utilisent des fractions pour toutes les opérations. notation décimale Nombres.

Comment lire correctement de tels chiffres ?

La réponse est simple : tout comme un nombre fractionnaire ordinaire avec un dénominateur multiple de 10. La seule exception concerne les fractions sans valeur entière, alors lors de la lecture, vous devez prononcer « zéro entier ».

Par exemple, 45/1000 doit être prononcé comme quarante-cinq millièmes, en même temps 0,045 ressemblera à zéro virgule quarante-cinq millièmes.

Un nombre fractionnaire avec une partie entière de 7 et une fraction de 17/100, qui s'écrirait 7,17, se lirait dans les deux cas comme sept virgule dix-sept.

Le rôle des chiffres dans l'écriture des fractions

Marquer correctement le rang est ce qu'exigent les mathématiques. Les décimales et leur signification peuvent changer considérablement si vous écrivez le chiffre au mauvais endroit. Cependant, c'était vrai auparavant.

Pour lire les chiffres de la partie entière d'une fraction décimale, il suffit d'utiliser les règles connues pour nombres naturels. Et sur le côté droit, ils sont reflétés et lus différemment. Si la partie entière sonnait « dizaines », alors après la virgule décimale, ce serait déjà « dixièmes ».

Cela se voit clairement dans ce tableau.

Comment écrire correctement un nombre fractionnaire sous forme décimale ?

Si le dénominateur contient un nombre égal à 10 ou 100, et autres, alors la question de savoir comment convertir une fraction en nombre décimal n'est pas difficile. Pour ce faire, il suffit de réécrire différemment tous ses composants. Les points suivants vous y aideront :

écrivez le numérateur de la fraction un peu à côté, à ce moment le point décimal est situé à droite, après le dernier chiffre ;

déplacez la virgule vers la gauche, le plus important ici est de compter les nombres correctement - vous devez la déplacer d'autant de positions qu'il y a de zéros dans le dénominateur ;

s'il n'y en a pas assez, alors il devrait y avoir des zéros dans les positions vides ;

les zéros qui se trouvaient à la fin du numérateur ne sont désormais plus nécessaires et peuvent être barrés ;

Avant la virgule, ajoutez la partie entière ; si elle n'était pas là, alors il y aura également zéro ici.

Attention. Vous ne pouvez pas rayer les zéros entourés d’autres nombres.

Vous pouvez lire ci-dessous ce qu'il faut faire dans une situation où le dénominateur a un nombre non seulement composé de uns et de zéros, et comment convertir une fraction en nombre décimal. Ce une information important, ce qui vaut vraiment le détour.

Comment convertir une fraction en nombre décimal si le dénominateur est un nombre arbitraire ?

Il y a deux options ici:

Lorsque le dénominateur peut être représenté par un nombre égal à dix à n’importe quelle puissance.

Si une telle opération ne peut être effectuée.

Comment puis-je vérifier cela ? Vous devez prendre en compte le dénominateur. Si seulement 2 et 5 sont présents dans le produit, alors tout va bien et la fraction est facilement convertie en décimale finale. Sinon, si 3, 7 et d'autres nombres premiers apparaissent, le résultat sera infini. Il est d'usage d'arrondir une telle fraction décimale pour faciliter son utilisation dans les opérations mathématiques. Ceci sera discuté un peu plus bas.

Explore comment les décimales sont faites, 5e année. Les exemples ici seront très utiles.

Laissez les dénominateurs contenir les nombres : 40, 24 et 75. La décomposition en facteurs premiers pour eux sera la suivante :

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

Dans ces exemples, seule la première fraction peut être représentée comme fraction finale.

Algorithme pour convertir une fraction commune en une décimale finale

Vérifiez la factorisation du dénominateur en facteurs premiers et assurez-vous qu'il sera composé de 2 et 5.

Ajoutez autant de 2 et de 5 à ces nombres pour qu'il y en ait un nombre égal. Ils donneront la valeur du multiplicateur supplémentaire.

Multipliez le dénominateur et le numérateur par ce nombre. Le résultat sera une fraction ordinaire, sous la ligne de laquelle il y a 10 dans une certaine mesure.

Si dans le problème ces actions sont effectuées avec un nombre fractionnaire, celui-ci doit d'abord être représenté comme une fraction impropre. Et alors seulement, agissez selon le scénario décrit.

Représenter une fraction sous forme de décimale arrondie

Cette méthode de conversion d’une fraction en nombre décimal peut sembler encore plus simple à certains. Parce qu'il n'y en a pas grande quantité Actions. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Tout nombre avec une partie décimale à droite du point décimal peut se voir attribuer un nombre infini de zéros. Cette propriété est ce dont vous devez profiter.

Tout d’abord, écrivez toute la partie et mettez une virgule après. Si la fraction est correcte, écrivez zéro.

Ensuite, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Pour qu'ils aient le même nombre de chiffres. Autrement dit, ajoutez à droite du numérateur quantité requise des zéros.

Effectuez une division longue jusqu'à ce que le nombre de chiffres requis soit atteint. Par exemple, si vous devez arrondir aux centièmes, la réponse devrait être 3. En général, il devrait y avoir un nombre de plus que ce dont vous avez besoin à la fin.

Notez la réponse intermédiaire après la virgule et arrondissez selon les règles. Si le dernier chiffre est compris entre 0 et 4, il vous suffit de le supprimer. Et lorsqu'il est égal à 5-9, alors celui qui le précède doit être augmenté de un, en écartant le dernier.

Retour d'une fraction décimale à une fraction commune

En mathématiques, il existe des problèmes lorsqu'il est plus pratique de représenter des fractions décimales sous la forme de fractions ordinaires, dans lesquelles se trouve un numérateur avec un dénominateur. Vous pouvez pousser un soupir de soulagement : cette opération est toujours possible.

Pour cette procédure, vous devez procéder comme suit :

notez la partie entière, si elle est égale à zéro, alors il n'est pas nécessaire d'écrire quoi que ce soit ;

tracez une ligne de fraction ;

au-dessus, notez les chiffres du côté droit, si les zéros viennent en premier, alors ils doivent être barrés ;

sous la ligne, écrivez-en un avec autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans la fraction originale.

C'est tout ce que vous devez faire pour convertir un nombre décimal en fraction.

Que peut-on faire avec les décimales ?

En mathématiques, il s'agira de certaines opérations avec des décimales qui étaient auparavant effectuées pour d'autres nombres.

Ils sont:

comparaison;

addition et soustraction;

Multiplication et division.

La première action, la comparaison, est similaire à celle utilisée pour les nombres naturels. Pour déterminer lequel est le plus grand, vous devez comparer les chiffres de la pièce entière. S'ils s'avèrent égaux, ils passent alors au fractionnaire et les comparent également par chiffres. Le nombre avec le chiffre le plus grand dans le chiffre le plus significatif sera la réponse.

Additionner et soustraire des décimales

Ce sont peut-être les plus étapes simples. Parce qu'ils sont réalisés selon les règles des nombres naturels.



Ainsi, pour additionner des fractions décimales, elles doivent être écrites les unes en dessous des autres, en plaçant des virgules dans une colonne. Avec cette notation, les parties entières apparaissent à gauche des virgules et les parties fractionnaires à droite. Et maintenant, vous devez additionner les nombres petit à petit, comme c'est le cas avec les nombres naturels, en déplaçant la virgule vers le bas. Vous devez commencer à additionner à partir du plus petit chiffre de la partie fractionnaire du nombre. S'il n'y a pas assez de chiffres dans la moitié droite, des zéros sont ajoutés.

La même chose s'applique à la soustraction. Et ici, il y a une règle qui décrit la possibilité de prendre une unité du rang le plus élevé. Si la fraction à réduire a moins de chiffres après la virgule que la fraction à soustraire, alors des zéros y sont simplement ajoutés.

La situation est un peu plus compliquée avec les tâches où vous devez multiplier et diviser des fractions décimales.

Comment multiplier une fraction décimale dans différents exemples ?

La règle pour multiplier des fractions décimales par un nombre naturel est :

écrivez-les dans une colonne, en ignorant la virgule ;

multipliez-vous comme s'ils étaient naturels;

Séparez par une virgule autant de chiffres qu'il y avait dans la partie fractionnaire du nombre d'origine.

Un cas particulier est l’exemple dans lequel un nombre naturel est égal à 10 à n’importe quelle puissance. Ensuite, pour obtenir la réponse, il vous suffit de déplacer la virgule décimale vers la droite d’autant de positions qu’il y a de zéros dans l’autre facteur. En d'autres termes, multiplié par 10, la virgule décimale se déplace d'un chiffre, de 100 - il y en aura deux, et ainsi de suite. S'il n'y a pas assez de nombres dans la partie fractionnaire, vous devez alors écrire des zéros dans les positions vides.

La règle utilisée lorsqu'une tâche nécessite de multiplier des fractions décimales par un autre même nombre :

écrivez-les l'un après l'autre, sans faire attention aux virgules ;

multipliez-les comme s'ils étaient naturels;

Séparez par une virgule autant de chiffres qu’il y avait dans les parties fractionnaires des deux fractions originales ensemble.

Un cas particulier sont les exemples dans lesquels l'un des multiplicateurs est égal à 0,1 ou 0,01 et ainsi de suite. Dans ceux-ci, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche du nombre de chiffres dans les facteurs présentés. Autrement dit, s'il est multiplié par 0,1, le point décimal est décalé d'une position.

Comment diviser une fraction décimale en différentes tâches ?

La division de fractions décimales par un nombre naturel s'effectue selon la règle suivante :

notez-les pour les diviser dans une colonne comme s'ils étaient naturels ;

diviser selon la règle habituelle jusqu'à ce que toute la partie soit terminée ;

mettez une virgule dans la réponse ;

continuez à diviser la composante fractionnaire jusqu'à ce que le reste soit nul ;

si nécessaire, vous pouvez ajouter le nombre de zéros requis.

Si la partie entière est égale à zéro, elle ne figurera pas non plus dans la réponse.

Séparément, il existe une division en nombres égaux à dix, cent, etc. Dans de tels problèmes, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche du nombre de zéros dans le diviseur. Il arrive qu'il n'y ait pas assez de nombres dans une partie entière, alors des zéros sont utilisés à la place. Vous pouvez voir que cette opération est similaire à la multiplication par 0,1 et par des nombres similaires.

Pour diviser des décimales, vous devez utiliser cette règle :

transformez le diviseur en un nombre naturel, et pour ce faire, déplacez la virgule vers la droite jusqu'à la fin ;

déplacer la virgule décimale du dividende du même nombre de chiffres ;

agir selon le scénario précédent.

La division par 0,1 est mise en évidence ; 0,01 et autres numéros similaires. Dans de tels exemples, le point décimal est décalé vers la droite du nombre de chiffres de la partie fractionnaire. S'ils sont épuisés, vous devez alors ajouter le nombre de zéros manquant. Il convient de noter que cette action répète la division par 10 et des nombres similaires.



Conclusion : tout est une question de pratique

Rien dans l’apprentissage n’est facile ou sans effort. Maîtriser de manière fiable un nouveau matériel demande du temps et de la pratique. Les mathématiques ne font pas exception.

Pour vous assurer que le sujet sur les fractions décimales ne pose pas de difficultés, vous devez résoudre autant d'exemples que possible avec elles. Après tout, il fut un temps où l’addition de nombres naturels était une impasse. Et maintenant tout va bien.

Ainsi, pour paraphraser phrase célèbre: décider, décider et décider encore. Ensuite, les tâches avec de tels nombres seront complétées facilement et naturellement, comme un autre puzzle.

À propos, les énigmes sont difficiles à résoudre au début, et vous devez ensuite effectuer les mouvements habituels. C'est pareil dans les exemples mathématiques : après avoir parcouru plusieurs fois le même chemin, alors vous ne penserez plus où donner de la tête.

Comme:

± ré m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

où ± est le signe de la fraction : soit +, soit -,

, est un point décimal qui sert de séparateur entre les parties entières et fractionnaires d'un nombre,

n'importe quoi- Nombres décimaux.

Dans ce cas, l'ordre des nombres avant le point décimal (à sa gauche) a une fin (au minimum 1 par chiffre), et après le point décimal (à droite), il peut être à la fois fini (en option, il peut n'y avoir aucun chiffre après la virgule) et infini.

Valeur décimale ± ré m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … est un nombre réel :

qui est égal à la somme d’un nombre fini ou infini de termes.

Représenter des nombres réels à l'aide de fractions décimales est une généralisation de l'écriture d'entiers dans le système de nombres décimaux. La représentation décimale d'un entier n'a pas de chiffres après la virgule, donc la représentation ressemble à ceci :

± ré m … d 1 d 0 ,

Et cela coïncide avec l’écriture de notre numéro dans le système numérique décimal.

Décimal- c'est le résultat de la division de 1 en 10, 100, 1000 et ainsi de suite. Ces fractions sont très pratiques pour les calculs, car ils sont basés sur le même système de position sur lequel reposent le comptage et l’enregistrement des nombres entiers. Grâce à cela, la notation et les règles pour travailler avec des fractions décimales sont presque les mêmes que pour les nombres entiers.

Lors de l'écriture de fractions décimales, vous n'avez pas besoin de marquer le dénominateur ; il est déterminé par la place occupée par le chiffre correspondant. On écrit d’abord la partie entière du nombre, puis on met un point décimal à droite. Le premier chiffre après la virgule décimale indique le nombre de dixièmes, le deuxième - le nombre de centièmes, le troisième - le nombre de millièmes, et ainsi de suite. Les nombres situés après la virgule décimale sont décimales.

Par exemple:

L'un des avantages des fractions décimales est qu'elles peuvent très facilement être réduites en fractions ordinaires : le nombre après la virgule (pour nous c'est 5047) est numérateur; dénominateuréquivaut à n-ème puissance de 10, où n- le nombre de décimales (pour nous c'est n=4):

Lorsqu’il n’y a pas de partie entière dans une fraction décimale, on met un zéro avant la virgule décimale :

Propriétés des fractions décimales.

1. La décimale ne change pas lorsque des zéros sont ajoutés à droite :

13.6 =13.6000.

2. La décimale ne change pas lorsque les zéros à la fin de la décimale sont supprimés :

0.00123000 = 0.00123.

Attention! Vous ne pouvez pas supprimer les zéros qui ne sont PAS situés à la fin de la fraction décimale !

3. La fraction décimale augmente de 10, 100, 1000 et ainsi de suite lorsque nous déplaçons la virgule décimale vers 1, 2, 2 et ainsi de suite vers la droite, respectivement :

3,675 → 367,5 (fraction augmentée cent fois).

4. La fraction décimale devient dix, cent, mille, etc. fois plus petite lorsque nous déplaçons la virgule décimale vers 1, 2, 3, et ainsi de suite vers la gauche, respectivement :

1536,78 → 1,53678 (la fraction est devenue mille fois plus petite).

Types de fractions décimales.

Les fractions décimales sont divisées en final, sans fin Et décimales périodiques.

La fraction décimale finale est il s'agit d'une fraction contenant un nombre fini de chiffres après la virgule (ou il n'y en a pas du tout), c'est-à-dire Ressemble à ça:

Un nombre réel ne peut être représenté comme une fraction décimale finie que si ce nombre est rationnel et lorsqu'il est écrit comme une fraction irréductible p/q dénominateur q n'a pas de facteurs premiers autres que 2 et 5.

Décimal infini.

Contient un groupe de nombres infiniment répétitifs appelé période. Le point est écrit entre parenthèses. Par exemple, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

Décimal périodique- il s'agit d'une fraction décimale infinie dans laquelle la séquence de chiffres après la virgule décimale, à partir d'un certain endroit, est un groupe de chiffres se répétant périodiquement. Autrement dit, fraction périodique- une fraction décimale qui ressemble à ceci :

Une telle fraction s’écrit généralement brièvement comme suit :

Groupe de nombres b 1 … b l, qui se répète, est période de la fraction, le nombre de chiffres dans ce groupe est durée de la période.

Lorsque dans une fraction périodique le point vient immédiatement après la virgule, cela signifie que la fraction est périodique pur. Lorsqu'il y a des nombres entre la virgule décimale et le 1er point, alors la fraction est périodique mixte, et le groupe de chiffres après la virgule jusqu'au 1er chiffre du point est fraction prépériode.

Par exemple, la fraction 1,(23) = 1,2323... est périodique pure, et la fraction 0,1(23) = 0,12323... est périodique mixte.

La propriété principale des fractions périodiques, grâce à quoi elles se distinguent de l'ensemble des fractions décimales, réside dans le fait que les fractions périodiques et elles seules représentent des nombres rationnels. Plus précisément, il se produit ce qui suit :

Toute fraction décimale infiniment périodique représente nombre rationnel. À l’inverse, lorsqu’un nombre rationnel est développé en une fraction décimale infinie, cela signifie que cette fraction sera périodique.