که بر روی آن ساده ترین مشتقات را تجزیه و تحلیل کردیم و همچنین با قوانین تمایز و چند تکنیک برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیست، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً با حال و هوای جدی هماهنگ شوید - مطالب آسان نیست، اما من همچنان سعی خواهم کرد آن را ساده و واضح ارائه دهم.

در عمل با مشتق تابع پیچیدهشما باید اغلب، حتی می‌توانم بگویم، تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می‌شود، روبرو شوید.

ما در جدول به قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

متوجه هستیم. اول از همه، بیایید نگاهی به نماد بیاندازیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به طور مجازی، در تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطلب را برای شما آسانتر کنم.

برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:

مثال 1

مشتق تابع را بیابید

در زیر سینوس، ما نه فقط حرف "x"، بلکه کل عبارت را داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. ما همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که "پاره کردن" سینوس غیرممکن است:

در این مثال، قبلاً از توضیحات من، به طور شهودی مشخص است که تابع یک تابع پیچیده است و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.

گام اول، که باید هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط انجام شود درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.

در مورد مثال‌های ساده، واضح است که یک چند جمله‌ای زیر سینوس تودرتو شده است. اما اگر واضح نباشد چه؟ چگونه مشخص کنیم که دقیقا کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای انجام این کار، من پیشنهاد می کنم از تکنیک زیر استفاده کنید، که می تواند به صورت ذهنی یا بر روی پیش نویس انجام شود.

بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت را با یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).

اول چی حساب کنیم؟ در درجه اولشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود:

دوماشما باید پیدا کنید، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما فهمیدنبا توابع درونی و بیرونی، زمان اعمال قانون تمایز تابع مرکب فرا رسیده است .

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم. از درس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل هر مشتقی همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک ضربه را در بالا سمت راست قرار می دهیم:

در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . همه فرمول های جدولی قابل اجرا هستند حتی اگر "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، که در این مورد:

توجه داشته باشید که عملکرد درونی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.

خب این کاملا واضحه

نتیجه اعمال فرمول تمیز شبیه این است:

عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:

در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، تصمیم را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.

مثال 2

مشتق تابع را بیابید

مثال 3

مشتق تابع را بیابید

مثل همیشه می نویسیم:

ما متوجه می شویم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا پیش نویس) مقدار عبارت را برای . ابتدا چه کاری باید انجام شود؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است با:، به این معنی که چند جمله ای تابع داخلی است:

و تنها پس از آن توان انجام می شود، بنابراین، تابع توانیک تابع خارجی است:

طبق فرمول ، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. ما به دنبال فرمول مورد نظر در جدول هستیم:. باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "x"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد:

باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع بیرونی را می گیریم، تابع درونی تغییر نمی کند:

اکنون باقی مانده است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنیم و نتیجه را کمی "شانه" کنیم:

مثال 4

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای راه حل مستقل(پاسخ در پایان درس).

برای تثبیت درک مشتق یک تابع پیچیده، بدون نظر مثالی می زنم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل، تابع خارجی کجا و تابع داخلی کجاست، چرا کارها به این ترتیب حل می شوند؟

مثال 5

الف) مشتق تابع را بیابید

ب) مشتق تابع را بیابید

مثال 6

مشتق تابع را بیابید

در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به صورت درجه نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:

با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله یک تابع درونی و توان یک تابع خارجی است. ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم :

درجه دوباره به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان داده می شود، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده را برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:

آماده. همچنین می توانید عبارت را در پرانتز قرار دهید مخرج مشترکو همه را به صورت کسری یادداشت کنید. البته زیباست، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آورید، بهتر است این کار را انجام ندهید (اعتراف کردن، گیج شدن آسان است اشتباه غیر ضروری، و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).

مثال 7

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).

جالب است بدانید که گاهی اوقات به جای قاعده افتراق یک تابع مختلط، می توان از قانون افتراق یک ضریب استفاده کرد. ، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف غیر معمول به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:

مثال 8

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قانون تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - علامت منهای مشتق را بیرون می آوریم و کسینوس را به صورت شمارش می کنیم:

کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم :

ما مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم، کسینوس را به عقب برگردانیم:

آماده. در مثال مورد بررسی، مهم است که در علائم سردرگم نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.

مثال 9

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).

تا اینجا مواردی را در نظر گرفتیم که در یک تابع پیچیده فقط یک تودرتو داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تو در تو قرار می گیرند.

مثال 10

مشتق تابع را بیابید

ما پیوست های این تابع را درک می کنیم. ما سعی می کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی ارزیابی کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین لانه است:

سپس این کمان وحدت باید مجذور شود:

و در نهایت، ما هفت را به قدرت بالا می بریم:

یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تودرتو داریم، در حالی که درونی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم

طبق قاعده ابتدا باید مشتق تابع بیرونی را بگیرید. به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق تابع نمایی را می یابیم: تنها تفاوت این است که به جای "x" داریم. بیان پیچیده، که اعتبار این فرمول را بی اعتبار نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد.

نمونه هایی از محاسبه مشتقات با استفاده از فرمول مشتق یک تابع مختلط آورده شده است.

در اینجا مثال هایی از محاسبه مشتقات توابع زیر ارائه می کنیم:
; ; ; ; .

اگر یک تابع را بتوان به عنوان یک تابع پیچیده در فرم زیر:
,
سپس مشتق آن با فرمول تعیین می شود:
.
در مثال های زیر این فرمول را به شکل زیر می نویسیم:
.
جایی که .
در اینجا، زیرمجموعه ها یا زیر علامت مشتق، متغیری را نشان می دهند که با توجه به آن تمایز انجام می شود.

معمولاً در جداول مشتقات مشتقات توابع از متغیر x آورده شده است. با این حال، x یک پارامتر رسمی است. متغیر x را می توان با هر متغیر دیگری جایگزین کرد. بنابراین، زمانی که یک تابع را از یک متغیر متمایز می کنیم، به سادگی، در جدول مشتقات، متغیر x را به متغیر u تغییر می دهیم.

مثال های ساده

مثال 1

مشتق تابع مختلط را بیابید
.

تصمیم گیری

بیایید بنویسیم عملکرد داده شدهبه شکل معادل:
.
در جدول مشتقات می بینیم:
;
.

با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:
.
اینجا .

پاسخ

مثال 2

مشتق را پیدا کنید
.

تصمیم گیری

ثابت 5 را از علامت مشتق خارج می کنیم و از جدول مشتقات می یابیم:
.

.
اینجا .

پاسخ

مثال 3

مشتق را بیابید
.

تصمیم گیری

ثابت را خارج می کنیم -1 برای علامت مشتق و از جدول مشتقات می یابیم:
;
از جدول مشتقات در می یابیم:
.

ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم:
.
اینجا .

پاسخ

نمونه های پیچیده تر

در بیشتر نمونه های دشوارقانون تمایز یک تابع پیچیده را چندین بار اعمال می کنیم. با انجام این کار، مشتق را از انتها محاسبه می کنیم. یعنی تابع را به اجزای آن تقسیم می کنیم و مشتقات ساده ترین قطعات را با استفاده از آن پیدا می کنیم جدول مشتق. ما هم درخواست می کنیم قوانین تمایز جمع, محصولات و کسری . سپس جایگزین هایی می کنیم و فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.

مثال 4

مشتق را بیابید
.

تصمیم گیری

بیایید بیشتر را از هم جدا کنیم بخش سادهفرمول و مشتق آن را پیدا کنید. .

.
در اینجا ما از علامت گذاری استفاده کرده ایم
.

ما مشتق قسمت بعدی تابع اصلی را با استفاده از نتایج بدست آمده پیدا می کنیم. ما قانون تمایز جمع را اعمال می کنیم:
.

یک بار دیگر، قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم.

.
اینجا .

پاسخ

مثال 5

مشتق تابع را بیابید
.

تصمیم گیری

ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب می کنیم و مشتق آن را از جدول مشتقات پیدا می کنیم. .

ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم.
.
اینجا
.

تعریف.اجازه دهید تابع \(y = f(x) \) در بازه‌ای حاوی نقطه \(x_0 \) در داخل تعریف شود. اجازه دهید \(\Delta x\) را به آرگومان افزایش دهیم تا از این فاصله خارج نشویم. افزایش مربوط به تابع \(\Delta y \) (هنگام عبور از نقطه \(x_0 \) به نقطه \(x_0 + \Delta x\)) را پیدا کنید و رابطه \(\frac(\Delta y را بسازید. )(\Delta x) \). اگر حدی از این رابطه در \(\Delta x \right arrow 0\) وجود داشته باشد، حد مشخص شده فراخوانی می شود. تابع مشتق\(y=f(x) \) در نقطه \(x_0 \) و نشان دهنده \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

نماد y اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود. توجه داشته باشید که y" = f(x) یک تابع جدید است، اما به طور طبیعی با تابع y = f(x) مرتبط است، که در تمام نقاط x تعریف شده است که در آن حد بالا وجود دارد. این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y \u003d f (x).

معنای هندسی مشتقاز موارد زیر تشکیل شده است. اگر یک مماس که با محور y موازی نیست را بتوان به نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه ای با آبسیسا x \u003d a رسم کرد، آنگاه f (a) شیب مماس را بیان می کند:
\(k = f"(a)\)

از آنجایی که \(k = tg(a) \)، برابری \(f"(a) = tg(a) \) صادق است.

و اینک تعریف مشتق را بر حسب برابری های تقریبی تفسیر می کنیم. اجازه دهید تابع \(y = f(x) \) در یک نقطه خاص \(x\) مشتق داشته باشد:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
این بدان معنی است که در نزدیکی نقطه x، برابری تقریبی \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \)، یعنی \(\Delta y \حدود f"(x) \cdot \Deltax\). معنی معنی دار برابری تقریبی به دست آمده به این صورت است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب مقدار مشتق در نقطه داده شدهایکس. برای مثال، برای تابع \(y = x^2 \) برابری تقریبی \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x\) درست است. اگر تعریف مشتق را به دقت تجزیه و تحلیل کنیم، متوجه خواهیم شد که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.

بیایید آن را فرمول بندی کنیم.

چگونه مشتق تابع y \u003d f (x) را پیدا کنیم؟

1. مقدار \(x\) را ثابت کنید، \(f(x) \) را پیدا کنید
2. آرگومان \(x \) \(\Delta x\) را افزایش دهید، به آن بروید نکته جدید\(x+ \Delta x\)، پیدا کردن \(f(x+ \Delta x) \)
3. افزایش تابع را پیدا کنید: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. رابطه \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) را بنویسید.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ را محاسبه کنید
این حد مشتق تابع x است.

اگر تابع y = f(x) در نقطه x مشتق داشته باشد، در نقطه x به آن متمایز می گویند. روش یافتن مشتق تابع y \u003d f (x) نامیده می شود تفکیکتوابع y = f(x).

اجازه دهید در مورد سوال زیر بحث کنیم: پیوستگی و تمایز یک تابع در یک نقطه چگونه به هم مرتبط هستند؟

اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x قابل تفکیک باشد. سپس می توان یک مماس به نمودار تابع در نقطه M رسم کرد (x; f (x)) و به یاد بیاورید که شیب مماس برابر با f "(x) است. چنین نموداری نمی تواند در نقطه "شکست" نقطه M، یعنی تابع باید در x پیوسته باشد.

این استدلال "روی انگشتان" بود. اجازه دهید استدلال دقیق تری ارائه کنیم. اگر تابع y = f(x) در نقطه x قابل تمایز باشد، آنگاه برابری تقریبی \(\Delta y \تقریبا f"(x) \cdot \Delta x \) برقرار است. صفر و سپس \(\Delta y \) ) نیز به سمت صفر میل خواهد کرد و این شرط تداوم تابع در یک نقطه است.

بنابراین، اگر تابعی در نقطه x قابل تمایز باشد، در آن نقطه نیز پیوسته است.

این صحبت درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = |x| در همه جا پیوسته است، به ویژه در نقطه x = 0، اما مماس بر نمودار تابع در "نقطه مشترک" (0؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای نتوان مماس بر نمودار تابع رسم کرد، در این نقطه مشتقی وجود ندارد.

یک مثال دیگر تابع \(y=\sqrt(x) \) در کل خط عددی، از جمله در نقطه x = 0، پیوسته است. و مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد، از جمله در نقطه x = 0 اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است ، یعنی بر محور آبسیسا عمود است ، معادله آن به شکل x \u003d 0 است. شیبچنین خطی وجود ندارد، به این معنی که \(f"(0) \) نیز وجود ندارد

بنابراین، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع - تفاوت پذیری آشنا شدیم. چگونه می توان تشخیص داد که یک تابع از نمودار یک تابع قابل تمایز است؟

پاسخ در واقع در بالا داده شده است. اگر در نقطه‌ای بتوان بر نمودار تابعی که بر محور x عمود نیست مماس رسم کرد، در این نقطه تابع قابل تمایز است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار تابع وجود نداشته باشد یا بر محور x عمود باشد، در این نقطه تابع قابل تمایز نیست.

قوانین تمایز

عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک. هنگام انجام این عملیات، اغلب باید با ضریب، مجموع، حاصلضرب توابع و همچنین با "توابع توابع" یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق، می‌توانیم قوانین تمایز را استخراج کنیم که این کار را تسهیل می‌کند. اگر C یک عدد ثابت است و f=f(x)، g=g(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند، آنگاه موارد زیر درست هستند. قوانین تمایز:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ مشتق تابع مرکب:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

جدول مشتقات برخی از توابع

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \راست) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$$$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

از زمانی که به اینجا آمدید، احتمالاً قبلاً موفق شده اید این فرمول را در کتاب درسی ببینید

و چهره ای مانند این بسازید:

دوست، نگران نباش! در واقع، همه چیز به سادگی قابل رسوایی است. قطعا همه چیز را خواهید فهمید. فقط یک درخواست - مقاله را بخوانید به آرامیسعی کن هر مرحله رو بفهمی من تا حد امکان ساده و واضح نوشتم، اما شما هنوز باید در این ایده عمیق شوید. و حتماً وظایف را از مقاله حل کنید.

تابع پیچیده چیست؟

تصور کنید که به آپارتمان دیگری نقل مکان می کنید و به همین دلیل وسایل را در جعبه های بزرگ بسته بندی می کنید. کمی جمع کنیم اقلام کوچکمانند لوازم التحریر مدرسه اگر آنها را فقط در یک جعبه بزرگ بیندازید، در میان چیزهای دیگر گم می شوند. برای جلوگیری از این کار، ابتدا آنها را مثلاً در یک کیسه قرار می دهید، سپس در یک جعبه بزرگ قرار می دهید و بعد آن را می بندید. این "سخت ترین" فرآیند در نمودار زیر نشان داده شده است:

به نظر می رسد، ریاضیات کجاست؟ و علاوه بر این، یک تابع پیچیده دقیقاً به همان روش تشکیل می شود! فقط ما نه نوت بوک و خودکار، بلکه \ (x\) "بسته بندی" می کنیم، در حالی که "بسته ها" و "جعبه" های مختلف خدمت می کنند.

به عنوان مثال، اجازه دهید x را گرفته و آن را در یک تابع "بسته" کنیم:

در نتیجه، مطمئناً \(\cos⁡x\) را دریافت می کنیم. این "کیف چیزهای" ماست. و اکنون آن را در یک "جعبه" قرار می دهیم - مثلاً آن را در یک تابع مکعبی بسته بندی می کنیم.

در نهایت چه اتفاقی خواهد افتاد؟ بله، درست است، یک "بسته با چیزهایی در یک جعبه" وجود خواهد داشت، یعنی "کسینوس x مکعب".

ساختار حاصل یک تابع پیچیده است. از این جهت با ساده تفاوت دارد چندین "تاثیر" (بسته) روی یک X در یک ردیف اعمال می شودو معلوم می شود، همانطور که بود، "یک تابع از یک تابع" - "یک بسته در یک بسته".

AT دوره مدرسهانواع بسیار کمی از همین "بسته ها" وجود دارد، فقط چهار نوع:

بیایید ابتدا x را "بسته" کنیم تابع نماییبا پایه 7، و سپس به یک تابع مثلثاتی. ما گرفتیم:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

و حالا بیایید x را دو بار داخل "بسته بندی" کنیم توابع مثلثاتیابتدا در و سپس در:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

ساده است، درست است؟

حالا توابع را خودتان بنویسید، جایی که x:
- ابتدا در یک کسینوس و سپس در یک تابع نمایی با پایه \(3\) "بسته بندی" می شود.
- ابتدا به توان پنجم و سپس به مماس.
- ابتدا به لگاریتم پایه \(4\) ، سپس به توان \(-2\).

پاسخ این سوال را در انتهای مقاله ببینید.

اما آیا می توانیم x را نه دو، بلکه سه بار «بسته» کنیم؟ مشکلی نیست! و چهار و پنج و بیست و پنج بار. در اینجا، برای مثال، تابعی است که در آن x \(4\) بار "بسته" شده است:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

اما چنین فرمول هایی در تمرین مدرسه یافت نمی شوند (دانش آموزان خوش شانس تر هستند - آنها می توانند دشوارتر باشند☺).

"باز کردن بسته بندی" یک عملکرد پیچیده

دوباره به عملکرد قبلی نگاه کنید. آیا می توانید دنباله "بسته بندی" را بفهمید؟ ابتدا X در چه چیزی قرار گرفت، سپس چه چیزی، و همینطور تا آخر. یعنی کدام تابع در کدام تودرتو است؟ یک تکه کاغذ بردارید و آنچه را که فکر می کنید بنویسید. همانطور که در بالا نوشتیم می توانید این کار را با زنجیره ای از فلش ها یا هر روش دیگری انجام دهید.

حال پاسخ صحیح این است: ابتدا x به توان \(4\)ام بسته شد، سپس نتیجه به سینوس بسته شد، به نوبه خود در پایه لگاریتم \(2\) قرار گرفت و در در پایان کل ساخت و ساز به پنج قدرت رانده شد.

یعنی باید دنباله را به ترتیب معکوس باز کرد. و در اینجا یک راهنمایی است که چگونه این کار را آسان تر انجام دهید: فقط به X نگاه کنید - باید از روی آن برقصید. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

برای مثال، در اینجا یک تابع وجود دارد: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). ما به X نگاه می کنیم - ابتدا چه اتفاقی برای او می افتد؟ از او گرفته شده است. و سپس؟ مماس حاصل گرفته می شود. و دنباله یکسان خواهد بود:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

مثال دیگر: \(y=\cos⁡((x^3))\). ما تجزیه و تحلیل می کنیم - ابتدا x مکعب شد و سپس کسینوس از نتیجه گرفته شد. بنابراین دنباله به این صورت خواهد بود: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). توجه کنید، عملکرد به نظر می رسد شبیه به اولین (جایی که با تصاویر). اما این یک تابع کاملاً متفاوت است: اینجا در مکعب x (یعنی \(\cos⁡((x x x)))\)، و در آنجا در مکعب کسینوس \(x\) (یعنی \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). این تفاوت از توالی های مختلف "بسته بندی" ناشی می شود.

آخرین مثال (با اطلاعات مهمدر آن): \(y=\sin⁡((2x+5))\). واضح است که در اینجا ابتدا عملیات حسابی را با x انجام دادیم، سپس سینوس از نتیجه گرفته شد: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). و این نکته مهم: علیرغم اینکه عملیات حسابی به خودی خود توابع نیستند، در اینجا به عنوان یک روش "بسته بندی" نیز عمل می کنند. بیایید کمی عمیق تر به این ظرافت بپردازیم.

همانطور که در بالا گفتم، در توابع ساده x یک بار و در توابع پیچیده - دو یا بیشتر "بسته بندی" می شود. علاوه بر این، هر ترکیبی از توابع ساده (یعنی مجموع، تفاوت، ضرب یا تقسیم آنها) نیز عملکرد ساده. به عنوان مثال، \(x^7\) یک تابع ساده است و همچنین \(ctg x\). بنابراین، تمام ترکیبات آنها توابع ساده ای هستند:

\(x^7+ ctg x\) - ساده،
\(x^7 ctg x\) ساده است،
\(\frac(x^7)(ctg x)\) ساده است و غیره.

با این حال، اگر یک تابع دیگر برای چنین ترکیبی اعمال شود، از قبل یک تابع پیچیده خواهد بود، زیرا دو "بسته" وجود خواهد داشت. نمودار را ببینید:

خوب، بیایید با آن ادامه دهیم. دنباله توابع "پیچیدن" را بنویسید:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
پاسخ ها دوباره در انتهای مقاله آمده است.

عملکردهای داخلی و خارجی

چرا باید تودرتوی تابع را درک کنیم؟ این چه چیزی به ما می دهد؟ نکته این است که بدون چنین تحلیلی، نمی‌توانیم مشتقات توابع مورد بحث در بالا را به طور قابل اعتماد پیدا کنیم.

و برای ادامه، به دو مفهوم دیگر نیاز داریم: عملکردهای داخلی و خارجی. این خیلی چیز ساده، علاوه بر این، در واقع، قبلاً آنها را در بالا تجزیه و تحلیل کرده ایم: اگر قیاس خود را در همان ابتدا به یاد بیاوریم، تابع درونی "بسته" و خارجی "جعبه" است. آن ها چیزی که X ابتدا در آن "پیچیده شده" یک تابع داخلی است، و آنچه درونی در آن "پیچیده شده" در حال حاضر خارجی است. خوب، قابل درک است که چرا - بیرون است، به معنای خارجی است.

در این مثال: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\)، تابع \(\log_2⁡x\) داخلی است، و
- خارجی

و در این یکی: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\)، \(x^3+2x+1\) داخلی است، و
- خارجی

آخرین تمرین تجزیه و تحلیل توابع پیچیده را انجام دهید، و در نهایت، اجازه دهید به نقطه ای که همه چیز برای آن شروع شده است برویم - مشتقاتی از توابع پیچیده را خواهیم یافت:

جاهای خالی جدول را پر کنید:

مشتق تابع مختلط

آفرین به ما، ما هنوز به "رئیس" این موضوع رسیدیم - در واقع، مشتق یک تابع پیچیده، و به طور خاص، به آن فرمول بسیار وحشتناک از ابتدای مقاله.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

این فرمول به شرح زیر است:

مشتق یک تابع مختلط برابر است با حاصلضرب مشتق تابع خارجی نسبت به تابع داخلی ثابت و مشتق تابع داخلی.

و بلافاصله با توجه به کلمات به طرح تجزیه نگاه کنید تا بفهمید به چه چیزی مربوط می شود:

امیدوارم عبارات «مشتق» و «محصول» مشکلی ایجاد نکند. "عملکرد پیچیده" - ما قبلاً برچیده شده ایم. گرفتن در "مشتق تابع خارجی با توجه به درونی ثابت" است. چیست؟

پاسخ: این مشتق معمول تابع بیرونی است که در آن فقط تابع بیرونی تغییر می کند در حالی که تابع درونی ثابت می ماند. هنوز مشخص نیست؟ خوب، بیایید یک مثال بزنیم.

فرض کنید یک تابع \(y=\sin⁡(x^3)\) داریم. واضح است که تابع درونی در اینجا \(x^3\) و تابع خارجی است
. اکنون مشتق بیرونی را نسبت به درونی ثابت پیدا می کنیم.

مشتقات پیچیده مشتق لگاریتمی
مشتق تابع نمایی

ما همچنان به بهبود تکنیک تمایز خود ادامه می دهیم. در این درس مطالب پوشش داده شده را ادغام می کنیم، مشتقات پیچیده تری را در نظر می گیریم و همچنین با ترفندها و ترفندهای جدید برای یافتن مشتق، به ویژه با مشتق لگاریتمی آشنا می شویم.

برای آن دسته از خوانندگانی که سطح پایینآماده سازی، به مقاله مراجعه کنید چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه های راه حلکه به شما این امکان را می دهد تا مهارت های خود را تقریباً از ابتدا بالا ببرید. در مرحله بعد، باید صفحه را به دقت مطالعه کنید مشتق تابع مختلط، درک کنید و حل کنید همهمثال هایی که زدم این درس از نظر منطقی سومین درس متوالی است و پس از تسلط بر آن، با اطمینان توابع نسبتاً پیچیده را متمایز خواهید کرد. این نامطلوب است که به موقعیت "کجای دیگر؟" و بس است!"، زیرا همه مثال ها و راه حل ها از واقعی گرفته شده اند کنترل کار می کندو اغلب در عمل با آن مواجه می شوند.

بیایید با تکرار شروع کنیم. روی درس مشتق تابع مختلطما تعدادی مثال را با نظرات دقیق در نظر گرفته ایم. در طول مطالعه حساب دیفرانسیل و بخش های دیگر تجزیه و تحلیل ریاضی- شما باید اغلب متمایز شوید، و همیشه راحت نیست (و همیشه لازم نیست) نمونه هایی را با جزئیات زیاد نقاشی کنید. بنابراین در یافتن شفاهی مشتقات تمرین خواهیم کرد. مناسب ترین "نامزدها" برای این، مشتقاتی از ساده ترین توابع پیچیده هستند، به عنوان مثال:

طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده :

هنگام مطالعه سایر موضوعات ماتان در آینده، چنین رکورد دقیقی اغلب مورد نیاز نیست، فرض بر این است که دانش آموز می تواند مشتقات مشابهی را در خلبان خودکار پیدا کند. بیایید تصور کنیم که در ساعت 3 صبح وجود دارد تماس تلفنیو صدای دلنشینی پرسید: مشتق مماس دو x چیست؟ این باید با یک پاسخ تقریباً آنی و مودبانه دنبال شود: .

اولین مثال بلافاصله برای یک راه حل مستقل در نظر گرفته می شود.

مثال 1

مشتقات زیر را به صورت شفاهی در یک مرحله بیابید، به عنوان مثال: . برای تکمیل کار، فقط باید از آن استفاده کنید جدول مشتقات توابع ابتدایی(اگر قبلاً به خاطر نیاورده باشد). اگر مشکلی دارید، توصیه می کنم درس را دوباره بخوانید مشتق تابع مختلط.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

پاسخ در پایان درس

مشتقات پیچیده

پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با ضمیمه های 3-4-5 عملکرد کمتر ترسناک خواهند بود. شاید دو مثال زیر برای برخی پیچیده به نظر برسد، اما اگر درک شوند (کسی رنج خواهد برد)، تقریباً همه چیز دیگر است. حساب دیفرانسیلبه نظر شوخی کودکانه خواهد بود

مثال 2

مشتق تابع را بیابید

همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستسرمایه گذاری ها را درک کنید. در مواردی که شبهه وجود دارد یادآور می شوم تکنیک مفید: برای مثال مقدار آزمایشی "x" را می گیریم و سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا روی پیش نویس) این مقدار را با "عبارت وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، بنابراین مجموع عمیق ترین تودرتو است.

2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:

4) سپس کسینوس را مکعب کنید:

5) در مرحله پنجم، تفاوت:

6) و در نهایت بیرونی ترین تابع جذر است:

فرمول تمایز تابع پیچیده به ترتیب معکوس، از بیرونی ترین تابع به درونی ترین اعمال می شوند. ما تصمیم گرفتیم:

به نظر خطایی نیست...

(1) مشتق جذر را می گیریم.

(2) ما مشتق تفاوت را با استفاده از قانون می گیریم

(3) مشتق ثلاث برابر با صفر است. در ترم دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.

(4) مشتق کسینوس را می گیریم.

(5) مشتق لگاریتم را می گیریم.

(6) در نهایت، مشتق عمیق ترین تودرتو را می گیریم.

شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این وحشیانه ترین مثال نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از تمام جذابیت و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز می داند چگونه مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کند یا نمی فهمد.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل است.

مثال 3

مشتق تابع را بیابید

نکته: ابتدا قواعد خطی بودن و قاعده تمایز محصول را اعمال می کنیم

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

زمان آن فرا رسیده است که به سراغ چیزهایی جمع و جورتر و زیباتر بروید.
غیرمعمول نیست که مثالی یک محصول نه دو، بلکه را ارائه دهد سه عملکرد. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟

مثال 4

مشتق تابع را بیابید

ابتدا نگاه می کنیم، اما آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر دو چند جمله ای در حاصلضرب داشتیم، می توانیم براکت ها را باز کنیم. اما در این مثال، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.

در چنین مواقعی لازم است به طور متوالیقانون تمایز محصول را اعمال کنید دو برابر

ترفند این است که برای "y" حاصل ضرب دو تابع را نشان می دهیم: و برای "ve" - ​​لگاریتم:. چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا آن است - این حاصل دو عامل نیست و قاعده کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون باقی مانده است که قانون را برای بار دوم اعمال کنیم به پرانتز:

شما هنوز هم می توانید منحرف کنید و چیزی را از پرانتز خارج کنید، اما در این مورد بهتر است پاسخ را به این شکل بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.

مثال بالا به روش دوم قابل حل است:

هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.

مثال 5

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، در نمونه به روش اول حل می شود.

مثال های مشابه را با کسری در نظر بگیرید.

مثال 6

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید به چندین روش بروید:

یا مثل این:

اما اگر اول از همه از قانون تمایز ضریب استفاده کنیم، می توان راه حل را فشرده تر نوشت. ، گرفتن برای تمام شمارنده:

در اصل مثال حل می شود و اگر به این شکل رها شود اشتباه نمی شود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می شود پیش نویس را بررسی کنید، اما آیا می توان پاسخ را ساده کرد؟ ما عبارت صورت را به یک مخرج مشترک می آوریم و از شر کسری سه طبقه خلاص شوید:

عیب ساده‌سازی‌های اضافی این است که نه هنگام یافتن مشتق، بلکه در هنگام تغییرات پیش پا افتاده مدرسه، خطر اشتباه وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می‌کنند و می‌خواهند مشتق را «به ذهن بیاورند».

یک مثال ساده تر برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 7

مشتق تابع را بیابید

ما به تسلط بر تکنیک های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر می گیریم که یک لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد می شود.

مثال 8

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده، راه طولانی را طی کنید:

اما اولین قدم بلافاصله شما را در ناامیدی فرو می برد - باید مشتق ناخوشایندی از درجه کسری و سپس از کسری بگیرید.

بنابراین قبل ازچگونه مشتق لگاریتم "فانتزی" را بگیریم، قبلاً با استفاده از ویژگی های مدرسه شناخته شده ساده شده است:

! اگر یک نوت بوک تمرینی دارید، این فرمول ها را همانجا کپی کنید. اگر دفتری ندارید، آنها را روی یک کاغذ بکشید، زیرا بقیه مثال های درس حول این فرمول ها می چرخند.

خود راه حل را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

بیایید تابع را تبدیل کنیم:

مشتق را پیدا می کنیم:

تبدیل اولیه تابع خود راه حل را بسیار ساده کرد. بنابراین، هنگامی که یک لگاریتم مشابه برای تمایز پیشنهاد می شود، همیشه توصیه می شود که آن را تجزیه کنید.

و اکنون چند مثال ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 9

مشتق تابع را بیابید

مثال 10

مشتق تابع را بیابید

تمام تحولات و پاسخ ها در پایان درس.

مشتق لگاریتمی

اگر مشتق لگاریتم ها به این موسیقی شیرین باشد، این سوال پیش می آید که آیا در برخی موارد می توان لگاریتم را به صورت مصنوعی سامان داد؟ می توان! و حتی ضروری است.

مثال 11

مشتق تابع را بیابید

نمونه های مشابهی که اخیراً در نظر گرفته ایم. چه باید کرد؟ می توان قاعده تمایز ضریب و سپس قاعده تمایز محصول را به طور متوالی اعمال کرد. عیب این روش این است که شما یک کسری بزرگ سه طبقه به دست می آورید که اصلاً نمی خواهید با آن مقابله کنید.

اما در تئوری و عمل چیز شگفت انگیزی به عنوان مشتق لگاریتمی وجود دارد. لگاریتم ها را می توان با آویزان کردن آنها در هر دو طرف به طور مصنوعی سازماندهی کرد:

اکنون باید لگاریتم سمت راست را تا آنجا که ممکن است (فرمول های جلوی چشمان خود) "شکن" کنید. من این فرآیند را با جزئیات کامل شرح خواهم داد:

بیایید با تمایز شروع کنیم.
هر دو بخش را با یک ضربه به پایان می‌رسانیم:

مشتق سمت راست کاملاً ساده است، من در مورد آن نظر نمی دهم، زیرا اگر در حال خواندن این متن هستید، باید بتوانید با اطمینان از آن استفاده کنید.

سمت چپ چطور؟

در سمت چپ ما داریم تابع پیچیده. من این سوال را پیش بینی می کنم: "چرا، یک حرف "y" زیر لگاریتم وجود دارد؟".

واقعیت این است که این "یک حرف y" - یک تابع به خودی خود است(اگر خیلی واضح نیست به مقاله مشتق تابعی که بطور ضمنی مشخص شده مراجعه کنید). بنابراین، لگاریتم یک تابع خارجی و "y" یک تابع داخلی است. و از قانون تمایز تابع مرکب استفاده می کنیم :

در سمت چپ، مثل یک موج عصای جادوییما یک مشتق داریم. علاوه بر این، طبق قانون تناسب، "y" را از مخرج سمت چپ به بالای سمت راست می اندازیم:

و اکنون به یاد می آوریم که هنگام تمایز در مورد چه نوع عملکرد "بازی" صحبت کردیم؟ بیایید شرایط را بررسی کنیم:

جواب نهایی:

مثال 12

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای خودتان است. الگوی طراحی نمونه از این نوعدر پایان درس

با کمک مشتق لگاریتمی، می‌توان هر یک از مثال‌های شماره 4-7 را حل کرد، نکته دیگر این است که توابع در آنجا ساده‌تر هستند و شاید استفاده از مشتق لگاریتمی چندان موجه نباشد.

مشتق تابع نمایی

ما هنوز این تابع را در نظر نگرفته ایم. تابع نمایی تابعی است که دارد و درجه و پایه به "x" بستگی دارد. نمونه کلاسیک، که در هر کتاب درسی یا در هر سخنرانی به شما داده می شود:

چگونه مشتق تابع نمایی را پیدا کنیم؟

لازم است از تکنیکی که به تازگی در نظر گرفته شده استفاده شود - مشتق لگاریتمی. لگاریتم ها را در دو طرف آویزان می کنیم:

به عنوان یک قاعده، درجه از زیر لگاریتم در سمت راست خارج می شود:

در نتیجه، در سمت راست، حاصلضرب دو تابع داریم که طبق فرمول استاندارد متمایز خواهند شد. .

ما مشتق را پیدا می کنیم، برای این ما هر دو قسمت را در زیر ضربه ها قرار می دهیم:

مراحل بعدی آسان است:

سرانجام:

اگر برخی از تغییرات کاملاً واضح نیستند، لطفاً توضیحات مثال شماره 11 را با دقت دوباره بخوانید.

در کارهای عملی، تابع نمایی همیشه پیچیده تر از مثال سخنرانی در نظر گرفته شده خواهد بود.

مثال 13

مشتق تابع را بیابید

ما از مشتق لگاریتمی استفاده می کنیم.

در سمت راست ما یک ثابت و حاصلضرب دو عامل داریم - "x" و "لگاریتم لگاریتم x" (لگاریتم دیگری زیر لگاریتم تودرتو است). هنگام افتراق یک ثابت، همانطور که به یاد داریم، بهتر است فوراً آن را از علامت مشتق خارج کنیم تا مانع از آن نشود. و البته قانون آشنا را اعمال کنید :

همانطور که می بینید، الگوریتم اعمال مشتق لگاریتمی حاوی هیچ ترفند یا ترفند خاصی نیست و یافتن مشتق تابع نمایی معمولاً با "عذاب" همراه نیست.