سطح اول

رابطه معکوس. سطح اول.

اکنون در مورد رابطه معکوس یا به عبارت دیگر - تناسب معکوس به عنوان یک تابع صحبت خواهیم کرد. آیا به یاد دارید که یک تابع نوع خاصی از وابستگی است؟ اگر هنوز موضوع را نخوانده‌اید، اکیداً توصیه می‌کنم همه چیز را رها کنید و آن را بخوانید، زیرا نمی‌توانید هیچ تابع خاصی را بدون درک آن - یک تابع - مطالعه کنید.

همچنین یادگیری دو تابع ساده‌تر قبل از شروع این مبحث بسیار مفید است: و . در آنجا مفهوم تابع را ادغام خواهید کرد و نحوه کار با ضرایب و نمودارها را یاد خواهید گرفت.

بنابراین، آیا به یاد دارید که یک تابع چیست؟
تکرار می کنیم: یک تابع قاعده ای است که طبق آن به هر عنصر از یک مجموعه (آگومان) مقداری ( تنها یکی!) عنصری از مجموعه دیگری (مجموعه ای از مقادیر تابع). یعنی اگر تابعی دارید به این معنی است که برای هر مقدار معتبر متغیر (به نام آرگومان) یک مقدار از متغیر (به نام تابع) وجود دارد. "قابل قبول" به چه معناست؟ اگر نمی توانید به این سوال پاسخ دهید، دوباره به موضوع "" برگردید! همه چیز در مورد مفهوم است "دامنه": برای برخی از توابع، همه آرگومان ها به یک اندازه مفید نیستند را می توان به یک وابستگی جایگزین کرد. به عنوان مثال، برای یک تابع، مقادیر آرگومان منفی نامعتبر است.

تابعی که رابطه معکوس را توصیف می کند

این تابعی از فرم Where است.

به روشی دیگر، تناسب معکوس نامیده می شود: افزایش آرگومان باعث کاهش متناسب در تابع می شود.
بیایید دامنه را تعریف کنیم. چه چیزی می تواند برابر باشد؟ یا به عبارت دیگر با چه چیزی نمی تواند برابر باشد؟

بنابراین تنها عددی که نمی توان بر آن تقسیم کرد این است:

یا که همان است

(چنین علامت گذاری به این معنی است که می تواند هر عددی باشد، به جز: علامت "" مجموعه اعداد واقعی، یعنی همه اعداد ممکن را نشان می دهد؛ علامت "" نشان دهنده حذف چیزی از این مجموعه است (آنالوگ علامت منفی ) و عدد داخل پرانتز فرفری به معنای یک عدد است، معلوم می شود که ما از همه اعداد ممکن حذف می کنیم).

به نظر می رسد مجموعه مقادیر تابع دقیقاً یکسان است: از این گذشته، اگر، مهم نیست که آن را به چه چیزی تقسیم کنیم، کار نخواهد کرد:

برخی از تغییرات فرمول نیز امکان پذیر است. به عنوان مثال، همچنین تابعی است که یک رابطه معکوس را توصیف می کند.
محدوده و دامنه این عملکرد را برای خود تعریف کنید. باید معلوم شود:

بیایید به این تابع نگاه کنیم: . آیا این یک رابطه معکوس است؟

در نگاه اول به سختی می توان گفت: بالاخره با افزایش، مخرج کسر و صورت هر دو افزایش می یابد، بنابراین مشخص نیست که آیا تابع کاهش می یابد یا خیر، و اگر چنین است، آیا به نسبت کاهش می یابد؟ برای درک این موضوع، باید عبارت را طوری تبدیل کنیم که هیچ متغیری در صورتگر وجود نداشته باشد:

در واقع، ما یک رابطه معکوس به دست آورده ایم، اما با یک احتیاط: .

این هم یک مثال دیگر: .

اینجا پیچیده تر است: به هر حال، صورت و مخرج اکنون قطعاً کاهش نمی یابد. اما هنوز هم می توانیم تلاش کنیم:

میفهمی چیکار کردم؟ در صورت حساب، همان عدد () را اضافه و کم کردم، بنابراین به نظر نمی رسید که چیزی را تغییر دهم، اما اکنون صورت بخش دارای قسمتی برابر با مخرج است. حالا من جمله به جمله را تقسیم می کنم، یعنی این کسر را به مجموع دو کسر تقسیم می کنم:

(و درست است، اگر آنچه را که به دست آوردم به یک مخرج مشترک بیاوریم، یک بار دیگر کسر اولیه خود را به دست خواهیم آورد):

وای! دوباره معلوم می شود رابطه معکوس، فقط اکنون یک عدد به آن اضافه شده است.
این روش بعداً هنگام ترسیم نمودارها برای ما بسیار مفید خواهد بود.

و اکنون به طور مستقل عبارات را به شکل یک رابطه معکوس بیاورید:

پاسخ ها:

2. در اینجا شما باید به یاد داشته باشید که چگونه مثلث مربع به عوامل تجزیه می شود (این به طور مفصل در مبحث "" توضیح داده شده است). بگذارید به شما یادآوری کنم که برای این کار باید ریشه های معادله درجه دوم مربوطه را پیدا کنید:. من آنها را به صورت شفاهی با استفاده از قضیه Vieta پیدا خواهم کرد: , . چگونه انجام می شود؟ با مطالعه موضوع می توانید این را یاد بگیرید.
بنابراین، دریافت می کنیم: , بنابراین:

3. آیا قبلاً سعی کرده اید خودتان آن را حل کنید؟ گرفتاری چیست؟ مطمئنا در این واقعیت است که در صورت ما، و در مخرج - فقط. مشکلی نیست. ما باید کاهش دهیم، بنابراین شمارنده باید از پرانتز خارج شود (به طوری که بدون ضریب در پرانتز معلوم شود):

طرح معکوس

مثل همیشه، بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم: .
بیایید یک جدول درست کنیم:

رسم نقاط روی صفحه مختصات:

اکنون آنها باید به راحتی به هم متصل شوند، اما چگونه؟ مشاهده می شود که نقاط سمت راست و چپ خطوط منحنی به ظاهر نامرتبط را تشکیل می دهند. اینطور که هست. نمودار به شکل زیر خواهد بود:

این نمودار نامیده می شود "هذلولی"(در این نام چیزی شبیه به "پارابولا" وجود دارد، درست است؟). مانند سهمی، هذلولی دارای دو شاخه است، فقط آنها به یکدیگر متصل نیستند. هر کدام از آنها تمایل دارند با انتهای خود به محورها نزدیک شوند، اما هرگز به آنها نمی رسند. اگر از دور به همان هذلولی نگاه کنید، تصویر زیر را دریافت خواهید کرد:

قابل درک است: از آنجایی که نمودار نمی تواند از محور عبور کند. اما همچنین، بنابراین نمودار هرگز محور را لمس نمی کند.

خب حالا بیایید ببینیم ضرایب چه تاثیری دارند. این توابع را در نظر بگیرید:
:

وای چه زیبایی
همه نمودارها در رنگ های مختلف ساخته شده اند تا تشخیص آنها از یکدیگر آسان تر باشد.

بنابراین، اول از همه به چه چیزی توجه کنیم؟ به عنوان مثال، اگر تابع قبل از کسر یک منهای داشته باشد، نمودار برگردانده می شود، یعنی به طور متقارن حول محور نمایش داده می شود.

دوم: هر چه عدد در مخرج بزرگتر باشد، نمودار از مبدأ دورتر می شود.

اما اگر عملکرد پیچیده تر به نظر برسد، برای مثال، چه؟

در این حالت ، هذلولی دقیقاً مانند حالت معمول خواهد بود ، فقط کمی جابجا می شود. بیایید فکر کنیم، کجا؟

حالا چه چیزی نمی تواند برابر باشد؟ به درستی، . این به این معنی است که نمودار هرگز به یک خط مستقیم نخواهد رسید. چه چیزی نمی تواند برابر باشد؟ اکنون. این به این معنی است که اکنون نمودار به یک خط مستقیم تمایل دارد، اما هرگز از آن عبور نخواهد کرد. بنابراین، اکنون خطوط مستقیم و همان نقشی را انجام می دهند که محورهای مختصات برای تابع انجام می دهند. چنین خطوطی نامیده می شود مجانبی(خطوطی که نمودار به آنها تمایل دارد اما به آنها نمی رسد):

در مورد نحوه ساخت چنین نمودارهایی در موضوع بیشتر خواهیم آموخت.

و اکنون سعی کنید چند مثال را برای ادغام حل کنید:

1. شکل یک نمودار تابع را نشان می دهد. تعیین کنید.

2. شکل یک نمودار تابع را نشان می دهد. تعیین کنید

3. شکل یک نمودار تابع را نشان می دهد. تعیین کنید.

4. شکل یک نمودار تابع را نشان می دهد. تعیین کنید.

5. شکل نمودار توابع و.

نسبت مناسب را انتخاب کنید:

پاسخ ها:

رابطه معکوس در زندگی

کجا چنین عملکردی را در عمل مشاهده می کنیم؟ نمونه های زیادی وجود دارد. متداول ترین حرکت، حرکت است: هر چه سرعت حرکت ما بیشتر باشد، زمان کمتری برای طی کردن همان مسافت نیاز داریم. در واقع، بیایید فرمول سرعت را به یاد بیاوریم: ، جایی که سرعت است، زمان سفر است، فاصله (راه) است.

از اینجا می توانیم زمان را بیان کنیم:

مثال:

یک نفر با سرعت متوسط ​​کیلومتر در ساعت سر کار می رود و در عرض یک ساعت می رسد. اگر با سرعت کیلومتر در ساعت حرکت کند چند دقیقه در یک جاده می گذرد؟

تصمیم:

به طور کلی، شما قبلاً چنین مشکلاتی را در کلاس های پنجم و ششم حل کرده اید. نسبت رو درست کردی؟

یعنی مفهوم تناسب معکوس قبلاً برای شما کاملاً آشناست. همین را به یاد آوردند. و در حال حاضر همان چیزی است، فقط در راه بزرگسالان: از طریق یک تابع.

تابع (یعنی وابستگی) زمان در دقیقه به سرعت:

معلوم است که پس از آن:

نیاز به پیدا کردن:

اکنون چند مثال از زندگی بیاورید که در آن تناسب معکوس وجود دارد.
اختراع شد؟ آفرین اگر بله. موفق باشید!

وابستگی معکوس. به طور خلاصه در مورد اصلی

1. تعریف

تابعی که رابطه معکوس را توصیف می کندتابعی از فرم Where است.

به عبارت دیگر، این تابع را تناسب معکوس می نامند، زیرا افزایش آرگومان باعث کاهش متناسب در تابع می شود.

یا که همان است

نمودار رابطه معکوس یک هذلولی است.

2. ضرایب، و.

مسئول "شیب" و جهت نمودار: هرچه این ضریب بزرگتر باشد، هذلولی از مبدأ دورتر است، و بنابراین، با شدت کمتری "چرخش" می شود (شکل را ببینید). علامت ضریب بر ربع هایی که نمودار در آن قرار دارد تأثیر می گذارد:

• اگر، آنگاه شاخه های هذلولی در و چهارم قرار دارند.
• اگر، سپس در و.

x=a است مجانب عمودی, یعنی عمودی که نمودار به آن تمایل دارد.

این عدد وظیفه دارد نمودار تابع را با مقدار if به بالا و اگر به پایین تغییر می دهد.

از این رو، آن است مجانب افقی.

امروز به این خواهیم پرداخت که چه کمیت هایی را با نسبت معکوس می نامند، نمودار تناسب معکوس چگونه به نظر می رسد، و چگونه همه اینها می تواند نه تنها در درس های ریاضی، بلکه در خارج از دیوار مدرسه نیز برای شما مفید باشد.

چنین نسبت های متفاوتی

تناسبدو کمیت را نام ببرید که به یکدیگر وابسته هستند.

وابستگی می تواند مستقیم و معکوس باشد. بنابراین، رابطه بین کمیت ها تناسب مستقیم و معکوس را توصیف می کند.

تناسب مستقیم- این چنین رابطه ای بین دو کمیت است که در آن افزایش یا کاهش یکی از آنها منجر به افزایش یا کاهش دیگری می شود. آن ها نگرش آنها تغییر نمی کند

به عنوان مثال، هرچه تلاش بیشتری برای آماده شدن برای امتحانات انجام دهید، نمرات شما بالاتر خواهد بود. یا هر چه چیزهای بیشتری در پیاده روی با خود ببرید، حمل کوله پشتی سخت تر می شود. آن ها مقدار تلاش صرف شده برای آمادگی برای امتحانات به طور مستقیم با نمرات دریافت شده متناسب است. و تعداد وسایل بسته بندی شده در کوله پشتی با وزن آن نسبت مستقیم دارد.

نسبت معکوس- این یک وابستگی تابعی است که در آن کاهش یا افزایش چندین برابر یک مقدار مستقل (به آن آرگومان می گویند) باعث افزایش یا کاهش متناسب (یعنی به همان مقدار) در یک مقدار وابسته می شود (به نام یک مقدار وابسته) عملکرد).

بیایید با یک مثال ساده توضیح دهیم. شما می خواهید سیب را از بازار بخرید. سیب های روی پیشخوان و مقدار پول در کیف شما رابطه معکوس دارند. آن ها هر چه سیب های بیشتری بخرید، پول کمتری برایتان باقی می ماند.

تابع و نمودار آن

تابع تناسب معکوس را می توان به این صورت توصیف کرد y = k/x. که در آن ایکس≠ 0 و ک≠ 0.

این تابع دارای ویژگی های زیر است:

1. دامنه تعریف آن مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی است به جز ایکس = 0. دی(y): (-∞؛ 0) U (0؛ +∞).
2. دامنه همه اعداد واقعی است به جز y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. هیچ مقدار حداکثر یا حداقلی ندارد.
4. فرد است و نمودار آن نسبت به مبدا متقارن است.
5. غیر دوره ای
6. نمودار آن از محورهای مختصات عبور نمی کند.
7. صفر ندارد
8. اگر یک ک> 0 (یعنی آرگومان افزایش می یابد)، تابع در هر یک از بازه های آن به تناسب کاهش می یابد. اگر یک ک< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. با افزایش استدلال ( ک> 0) مقادیر منفی تابع در بازه (-∞؛ 0) و مقادیر مثبت در بازه (0؛ +∞) هستند. وقتی آرگومان در حال کاهش است ( ک< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

نمودار تابع تناسب معکوس هذلولی نامیده می شود. به شرح زیر به تصویر کشیده شده است:

مسائل معکوس نسبت

برای روشن تر شدن آن، اجازه دهید به چند کار نگاه کنیم. آنها خیلی پیچیده نیستند، و راه حل آنها به شما کمک می کند تجسم کنید که نسبت معکوس چیست و چگونه این دانش می تواند در زندگی روزمره شما مفید باشد.

کار شماره 1. این خودرو با سرعت 60 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. 6 ساعت طول کشید تا به مقصد رسید. اگر با سرعت دوبرابر حرکت کند چقدر طول می کشد تا همان مسافت را طی کند؟

می‌توانیم با نوشتن فرمولی که رابطه زمان، مسافت و سرعت را توصیف می‌کند شروع کنیم: t = S/V. موافقم، بسیار ما را به یاد تابع تناسب معکوس می اندازد. و نشان می دهد که مدت زمانی که ماشین در جاده می گذراند و سرعت حرکت آن با هم نسبت عکس دارد.

برای تأیید این موضوع، بیایید V 2 را پیدا کنیم، که طبق شرط، 2 برابر بیشتر است: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 کیلومتر در ساعت. سپس فاصله را با استفاده از فرمول S = V * t = 60 * 6 = 360 کیلومتر محاسبه می کنیم. اکنون یافتن زمان t 2 که با توجه به شرایط مسئله از ما لازم است دشوار نیست: t 2 = 360/120 = 3 ساعت.

همانطور که می بینید، زمان سفر و سرعت در واقع با یکدیگر نسبت معکوس دارند: با سرعت 2 برابر بیشتر از سرعت اصلی، خودرو 2 برابر زمان کمتری را در جاده سپری می کند.

راه حل این مشکل را می توان به صورت نسبت نیز نوشت. چرا نموداری مانند این ایجاد می کنیم:

↓ 60 کیلومتر در ساعت - 6 ساعت

↓120 کیلومتر در ساعت – x h

فلش ها یک رابطه معکوس را نشان می دهند. و همچنین پیشنهاد می کنند که هنگام ترسیم نسبت ، سمت راست رکورد باید برگردانده شود: 60/120 \u003d x / 6. x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 ساعت را از کجا می گیریم.

کار شماره 2. در این کارگاه 6 کارگر مشغول به کار هستند که در مدت 4 ساعت با حجم معینی از کار کنار می آیند. اگر تعداد کارگران نصف شود، چه مدت طول می کشد تا کارگران باقی مانده به همان میزان کار را انجام دهند؟

شرایط مسئله را در قالب یک نمودار تصویری می نویسیم:

↓ 6 کارگر - 4 ساعت

↓ 3 کارگر - x h

بیایید این را به صورت نسبت بنویسیم: 6/3 = x/4. و x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 ساعت بدست می آوریم. اگر تعداد کارگران 2 برابر کمتر باشد ، بقیه 2 برابر زمان بیشتری را برای تکمیل همه کارها صرف می کنند.

کار شماره 3. دو لوله به استخر منتهی می شود. آب از طریق یک لوله با سرعت 2 لیتر در ثانیه وارد استخر می شود و ظرف 45 دقیقه استخر را پر می کند. از طریق لوله دیگری استخر در 75 دقیقه پر می شود. آب با چه سرعتی از طریق این لوله وارد استخر می شود؟

برای شروع، ما تمام کمیت هایی که با توجه به شرایط مسئله به ما داده شده است را به همان واحدهای اندازه گیری می آوریم. برای انجام این کار ، میزان پر شدن استخر را بر حسب لیتر در دقیقه بیان می کنیم: 2 لیتر در ثانیه \u003d 2 * 60 \u003d 120 لیتر در دقیقه.

از آنجایی که از شرط پر شدن کندتر استخر از طریق لوله دوم نتیجه می گیرد، به این معنی است که سرعت ورودی آب کمتر است. در صورت نسبت معکوس. اجازه دهید سرعت ناشناخته را بر حسب x بیان کنیم و طرح زیر را ترسیم کنیم:

↓ 120 لیتر در دقیقه - 45 دقیقه

↓ x لیتر در دقیقه - 75 دقیقه

و سپس نسبتی را ایجاد می کنیم: 120 / x \u003d 75/45، از آنجا x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 لیتر در دقیقه.

در مسئله، سرعت پر شدن استخر بر حسب لیتر در ثانیه بیان می شود، بیایید پاسخ خود را به همین شکل بیاوریم: 72/60 = 1.2 لیتر در ثانیه.

کار شماره 4. کارت ویزیت در یک چاپخانه خصوصی کوچک چاپ می شود. یک کارمند چاپخانه با سرعت 42 کارت ویزیت در ساعت کار می کند و تمام وقت - 8 ساعت کار می کند. اگر سریعتر کار می کرد و 48 کارت ویزیت در ساعت چاپ می کرد، چقدر زودتر می توانست به خانه برود؟

ما به روشی اثبات شده پیش می رویم و با توجه به شرایط مسئله یک طرح ترسیم می کنیم و مقدار مورد نظر را به صورت x نشان می دهیم:

↓ 42 کارت ویزیت در ساعت - 8 ساعت

↓ 48 کارت ویزیت در ساعت – xh

یک رابطه معکوس نسبت معکوس پیش روی ما وجود دارد: یک کارمند چاپخانه چند برابر کارت ویزیت در ساعت چاپ می کند، به همان میزان زمان می برد تا همان کار را انجام دهد. با دانستن این، می توانیم نسبت را تنظیم کنیم:

42/48 \u003d x / 8، x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 ساعت.

بدین ترتیب کارمند چاپخانه پس از اتمام کار در 7 ساعت می توانست یک ساعت زودتر به خانه برود.

نتیجه

به نظر ما این مسائل تناسب معکوس واقعا ساده هستند. امیدواریم اکنون شما نیز آنها را اینگونه در نظر بگیرید. و مهمتر از همه، آگاهی از وابستگی معکوس نسبت کمیت ها واقعاً می تواند بیش از یک بار برای شما مفید باشد.

نه فقط در کلاس ها و امتحانات ریاضی. اما حتی در آن زمان، زمانی که قرار است به سفر بروید، به خرید بروید، تصمیم بگیرید که در تعطیلات کمی پول به دست آورید و غیره.

در نظرات به ما بگویید که چه نمونه هایی از تناسب معکوس و مستقیم را در اطراف خود مشاهده می کنید. بگذار این یک بازی باشد. خواهید دید که چقدر هیجان انگیز است. فراموش نکنید که این مقاله را در شبکه های اجتماعی "به اشتراک بگذارید" تا دوستان و همکلاسی های شما نیز بتوانند بازی کنند.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

1 درس در هر مبحث

انجام:

Telegina L.B.

هدف درس:

1. تمام مطالب مورد مطالعه را بر اساس تابع تکرار کنید.
2. تعریف تناسب معکوس را معرفی کنید و نحوه ساخت نمودار آن را آموزش دهید.
3. توسعه تفکر منطقی
4. پرورش توجه، دقت، دقت.

طرح درس:

1. تکرار.
2. توضیح مطالب جدید
3. Fizkultminutka.
4. تحکیم.

تجهیزات: پوستر.

در طول کلاس ها:

1. درس با تکرار شروع می شود. از دانش آموزان دعوت می شود تا جدول کلمات متقاطع را حل کنند (که از قبل روی یک صفحه کاغذ بزرگ آماده شده است).

سوالات متقاطع:

1. وابستگی بین متغیرها که در آن هر مقدار از متغیر مستقل با یک مقدار واحد از متغیر وابسته مطابقت دارد. [عملکرد].

2. متغیر مستقل. [بحث و جدل].

3. مجموعه نقاط صفحه مختصات ابسیسا که برابر با مقادیر آرگومان است و مختصات - با مقادیر تابع. [برنامه].

4. تابعی که با فرمول y=kx+b داده می شود. [خطی].

5. عددی به نام ضریب چیستک در فرمول y=kx+b؟ [زاویه ای].

6. چه چیزی به عنوان نمودار یک تابع خطی عمل می کند؟ [سر راست].

7. اگر k≠0، نمودار y=kx+b این محور را قطع می کند و اگر k=0 با آن موازی است. حرف این محور چیست؟ [ایکس].

8. کلمه در نام تابع y=kx؟ [تناسب].

9. تابعی که با فرمول y=x داده می شود 2. [ربعی].

10. نام نمودار تابع درجه دوم. [پارابولا].

11. حرفی از الفبای لاتین که اغلب نشان دهنده یک تابع است. [YY].

12. یکی از راه های تنظیم تابع. [فرمول].

معلم : راه های اصلی تعریف تابعی که می شناسیم چیست؟

(یک دانش آموز در تخته سیاه وظیفه ای دریافت می کند: جدول مقادیر تابع 12/x را با توجه به مقادیر داده شده آرگومان آن پر کنید و سپس نقاط مربوطه را در صفحه مختصات بسازید).

بقیه به سوالات معلم پاسخ می دهند: (که از قبل روی تابلو ضبط شده است)

1. نام توابع زیر با فرمول های y=kx، y=kx+b، y=x چیست؟ 2 , y=x 3 ?

2. محدوده توابع زیر را مشخص کنید: y=x 2 +8، y=1/x-7، y=4x-1/5، y=2x، y=7-5x، y=2/x، y=x 3، y=-10/x.

سپس دانش آموزان روی میز کار می کنند و به سؤالات مطرح شده توسط معلم پاسخ می دهند:

1. کدام شکل از جدول نمودارها را نشان می دهد:

الف) تابع خطی؛

ب) تناسب مستقیم؛

ج) تابع درجه دوم؛

د) توابعی به شکل y=kx 3 ?

2. علامت ضریب k در فرمول های شکل y=kx+b که با نمودارهای شکل های 1، 2، 4، 5 جدول مطابقت دارد، چیست؟

3. نمودارهای توابع خطی را در جدول بیابید که ضرایب شیب آنها:

الف) برابر هستند؛

ب) از نظر قدر مطلق مساوی و در علامت مخالف هستند.

(سپس کل کلاس بررسی می کند که آیا دانش آموزی که به تخته فراخوانده شده است جدول را به درستی پر کرده و نقاطی را در صفحه مختصات قرار داده است).

2. توضیح با انگیزه شروع می شود.

معلم: همانطور که می دانید، هر تابع، فرآیندهایی را توصیف می کند که در دنیای اطراف ما اتفاق می افتد.

به عنوان مثال، یک مستطیل با اضلاع را در نظر بگیرید x و y و مساحت 12cm 2 . مشخص است که x*y=12، اما اگر شروع به تغییر یکی از اضلاع مستطیل کنید، چه اتفاقی می افتد، فرض کنید ضلع طولانی است.ایکس؟

طول ضلع y می توان از فرمول y=12/x پیدا کرد. اگر یکایکس 2 برابر افزایش یابد، سپس y=12/2x خواهد داشت، یعنی. سمت y 2 برابر کاهش می یابد. اگر ارزشایکس افزایش 3، 4، 5 ... برابر، سپس مقدار y به همان میزان کاهش خواهد یافت. برعکس، اگرایکس چندین برابر کاهش یابد y به همان میزان افزایش خواهد یافت. (روی میز کار کنید).

بنابراین تابعی به شکل y=12/x را تناسب معکوس می گویند. به طور کلی به صورت y=k/x نوشته می شود که k ثابت است و k≠0.

این موضوع درس امروز است که در دفترچه ها ثبت شده است. من یک تعریف دقیق ارائه می کنم. برای تابع y=12/x که شکل خاصی از تناسب معکوس است، قبلاً تعدادی از مقادیر آرگومان و تابع را در جدول یادداشت کرده‌ایم و نقاط مربوطه را در صفحه مختصات نشان می‌دهیم. نمودار این تابع چگونه است؟ قضاوت در مورد کل نمودار بر اساس نقاط ساخته شده دشوار است، زیرا نقاط را می توان به هر طریقی به هم متصل کرد. بیایید با هم تلاش کنیم تا در مورد نمودار تابع حاصل از در نظر گرفتن جدول و فرمول نتیجه گیری کنیم.

سوالات کلاس:

1. دامنه تابع y=12/x چقدر است؟
2. آیا مقادیر y مثبت یا منفی هستند اگر

تبر

ب) x>0؟

3. چگونه مقدار یک متغیر تغییر می کند y با تغییر ارزشایکس؟

بنابراین،

1. نقطه (0,0) به نمودار تعلق ندارد، یعنی. محورهای OX یا OY را قطع نمی کند.
2. نمودار در ربع مختصات Ι و ΙΙΙ است.
3. هم در ربع مختصات Ι و هم در ΙΙΙ به آرامی به محورهای مختصات نزدیک می شود و تا حد دلخواه به محورها نزدیک می شود.

با این اطلاعات می توانیم نقطه های شکل را به هم وصل کنیم (معلم خودش این کار را روی تخته سیاه انجام می دهد) و نمودار تابع y=12/x را به طور کامل مشاهده کنیم. منحنی به دست آمده هذلولی نامیده می شود که در یونانی به معنای "گذر از چیزی" است. این منحنی توسط ریاضیدانان مکتب یونان باستان در حدود قرن چهارم قبل از میلاد کشف شد. اصطلاح هذلولی توسط آپولونیوس از شهر پرگامون (آسیای صغیر) که در قرن ΙΙΙ-ΙΙ می زیسته معرفی شد. قبل از میلاد مسیح.

حال در کنار نمودار تابع y=12/x، نمودار تابع y=-12/x را رسم می کنیم. (دانش آموزان این کار را در دفترچه و یک دانش آموز در تخته سیاه انجام می دهند).

با مقایسه هر دو نمودار، دانش آموزان متوجه می شوند که نمودار دوم 2 و 4 ربع مختصات را اشغال می کند. علاوه بر این، اگر نمودار تابع y=12/x به صورت متقارن نسبت به محور OS نمایش داده شود، نمودار تابع y=-12/x به دست می آید.

سوال: مکان نمودار هذلولی y=k/x چگونه به علامت و مقدار ضریب k بستگی دارد؟

دانش‌آموزان مطمئن می‌شوند که اگر k>0 باشد، نمودار در I قرار داردو ربع مختصات III، و اگر k

1. تربیت بدنی توسط معلم انجام می شود.

1. تلفیق مطالب مورد مطالعه هنگام اجرای شماره 180، 185 از کتاب درسی صورت می گیرد.

1. درس خلاصه شده است، ارزیابی ها، تکالیف: مورد 8 شماره 179، 184.

2 درس در مورد موضوع

"تابع تناسب معکوس و نمودار آن".

انجام:

Telegina L.B.

هدف درس:

1. مهارت ترسیم نمودار یک تابع تناسب معکوس را تثبیت کنید.
2. ایجاد علاقه به موضوع، تفکر منطقی؛
3. پرورش استقلال، توجه.

طرح درس:

1. بررسی تکالیف
2. کار شفاهی
3. حل مشکل.
4. Fizkultminutka.
5. کار مستقل چند سطحی.
6. جمع بندی، ارزشیابی، تکالیف.

تجهیزات: کارت.

در طول کلاس ها:

1. معلم موضوع درس، اهداف و طرح درس را اعلام می کند.

سپس دو دانش آموز اعداد 179، 184 اختصاص داده شده به خانه روی تخته را تکمیل می کنند.

1. بقیه دانش آموزان به صورت جبهه ای کار می کنند و به سؤالات معلم پاسخ می دهند.

سوالات:

• تابع تناسب معکوس را تعریف کنید.
• نمودار تابع نسبت معکوس چیست؟
• چگونه محل نمودار هذلولی y=k/x به مقدار ضریب k بستگی دارد؟

وظایف:

1. از توابع ارائه شده توسط فرمول ها، توابع تناسب معکوس را نام ببرید:

الف) y=x2 +5، ب) y=1/x، ج) y= 4x-1، د) y=2x، ه) y=7-5x، f) y=-11/x، g) y=x 3، h) y=15/x-2.

2. برای توابع تناسب معکوس، ضریب را نام ببرید و مشخص کنید که نمودار در کدام ربع قرار دارد.

3. دامنه تعریف توابع تناسب معکوس را بیابید.

(سپس دانش آموزان تکالیف یکدیگر را با مداد با توجه به حل اعداد بررسی شده توسط معلم روی تخته چک کرده و نمره می دهند).

کار پیشانی روی کتاب درسی شماره 190، 191، 192، 193 (شفاهی).

1. اجرا در دفتر و روی تخته از کتاب درسی شماره 186 (ب)، 187 (ب)، 182.

4. جلسه تربیت بدنی توسط معلم برگزار می شود.

5. کار مستقل در سه نوع با پیچیدگی های مختلف (توزیع شده بر روی کارت) ارائه شده است.

من ج. (سبک وزن).

تابع تناسب معکوس y=-6/x را با استفاده از جدول رسم کنید:

با استفاده از نمودار، پیدا کنید:

الف) مقدار y، اگر x = - 1.5; 2

ب) مقدار x، که در آن y \u003d - 1؛ 4.

II ج. (سختی متوسط)

ابتدا تابع تناسب معکوس y=16/x را با پر کردن جدول رسم کنید.

با استفاده از نمودار، در چه مقادیری بیابید x y > 0.

III در. (افزایش سختی)

ابتدا با پر کردن جدول، تابع تناسب معکوس y=10/x-2 را رسم کنید.

دامنه تابع داده شده را پیدا کنید.

(دانش آموزان برگه هایی با نمودارهای ساخته شده را برای تایید تحویل می دهند).

6. خلاصه درس، ارزشیابی ها، تکالیف: شماره 186 (الف)، 187 (الف).

بیایید تئوری در مورد توابع را تکرار کنیم. تابع قاعده ای است که طبق آن به هر عنصر از یک مجموعه (آرگمون) مقداری ( تنها یکی!) عنصری از مجموعه دیگری (مجموعه ای از مقادیر تابع). یعنی اگر تابعی باشد \(y = f(x)\)، به این معنی که برای هر مقدار معتبر متغیر \(ایکس\)(که "برهان" نامیده می شود) با یک مقدار از متغیر مطابقت دارد \(y\)(به نام "عملکرد").

تابعی که رابطه معکوس را توصیف می کند

این تابعی از فرم است \(y = \frac(k)(x)\)جایی که \(k \ne 0.\)

به روشی دیگر، تناسب معکوس نامیده می شود: افزایش آرگومان باعث کاهش متناسب در تابع می شود.
بیایید دامنه تعریف را تعریف کنیم. \(x\) با چه چیزی می تواند برابر باشد؟ یا به عبارت دیگر با چه چیزی نمی تواند برابر باشد؟

تنها عددی که نمی توانید بر آن تقسیم کنید 0 است، بنابراین \(x \ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \کاپ (0; + \infty)\)

یا، که همان است:

\(D(y) = R\slash \( 0\) .\)

چنین علامت گذاری به این معنی است که \(x\) می تواند هر عددی باشد به جز 0: علامت "R" نشان دهنده مجموعه اعداد واقعی است، یعنی همه اعداد ممکن. علامت "\" نشان دهنده حذف چیزی از این مجموعه است (آنالوگ علامت "منهای") و عدد 0 در براکت های فرفری به سادگی به معنای عدد 0 است. معلوم می شود که ما 0 را از همه اعداد ممکن حذف می کنیم.

به نظر می رسد مجموعه مقادیر تابع دقیقاً یکسان است: از این گذشته، اگر \(k \ne 0.\) باشد، مهم نیست که آن را بر چه چیزی تقسیم کنیم، 0 کار نخواهد کرد:

\(E(y) = (- \infty ;0) \کاپ (0; + \infty)\)

یا \(E(y) = R\slash \( 0\) .\)

برخی از تغییرات فرمول نیز امکان پذیر است. \(y = \frac(k)(x)\). مثلا، \(y = \frac(k)((x + a))\)- همچنین تابعی است که یک رابطه معکوس را توصیف می کند. دامنه و دامنه این تابع به شرح زیر است:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \ cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \کاپ (0; + \infty).\)

در نظر گرفتن مثال، عبارت را به شکل یک رابطه معکوس می آوریم:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac((((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

ما به طور مصنوعی مقدار 3 را به صورتگر وارد کردیم و اکنون صورت را بر مخرج ترم بر ترم تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

ما یک رابطه معکوس به اضافه عدد 1 دریافت کردیم.

طرح معکوس

بیایید با یک مورد ساده شروع کنیم \(y = \frac(1)(x).\)

بیایید جدولی از مقادیر بسازیم:

رسم نقاط روی صفحه مختصات:

نقاط را به هم وصل کنید، نمودار به شکل زیر خواهد بود:

این نمودار نامیده می شود "هذلولی". مانند سهمی، هذلولی دارای دو شاخه است، فقط آنها به یکدیگر متصل نیستند. هر یک از آنها با انتهای خود تلاش می کنند تا به محورها نزدیک شوند گاو نرو اوهاما هرگز به آنها نمی رسد

بیایید به برخی از ویژگی های تابع توجه کنیم:

1. اگر تابع قبل از کسر منهای داشته باشد، نمودار برگردانده می شود، یعنی به طور متقارن حول محور نمایش داده می شود. گاو نر
2. هر چه عدد در مخرج بزرگتر باشد، نمودار از مبدأ دورتر می شود.

رابطه معکوس در زندگی

کجا چنین عملکردی را در عمل مشاهده می کنیم؟ نمونه های زیادی وجود دارد. متداول ترین حرکت، حرکت است: هر چه سرعت حرکت ما بیشتر باشد، زمان کمتری برای طی کردن همان مسافت نیاز داریم. بیایید فرمول سرعت را به خاطر بسپاریم:

\(v = \frac(S)(t)،\)

جایی که v - سرعت، t - زمان سفر، S - فاصله (مسیر).

از اینجا می توانیم زمان را بیان کنیم: \(t = \frac(S)(v).\)