Problemas con un parámetro (método gráfico de solución) Introducción. Plan para resolver problemas con un parámetro por un método gráfico. Ecuaciones lineales con un parámetro

Las ecuaciones con parámetros se consideran entre las más tareas desafiantes en matemáticas de secundaria. Son precisamente estas tareas las que acaban año tras año en la lista de tareas de tipo B y C en un único examen de Estado USAR. Sin embargo, entre la gran cantidad de ecuaciones con parámetros, existen aquellas que pueden resolverse fácilmente de forma gráfica. Consideremos este método en el ejemplo de resolver varios problemas.

Encuentra la suma de los valores enteros de a para los cuales la ecuación |x 2 – 2x – 3| = a tiene cuatro raíces.

Decisión.

Para responder a la pregunta del problema, construimos gráficas de funciones en un plano de coordenadas

y = |x 2 – 2x – 3| y y = a.

Gráfica de la primera función y = |x 2 – 2x – 3| se obtendrá de la gráfica de la parábola y = x 2 - 2x - 3 mostrando simétricamente sobre el eje de abscisas la parte de la gráfica que está debajo del eje Ox. La parte del gráfico sobre el eje x permanecerá sin cambios.

Hagámoslo paso a paso. El gráfico de la función y \u003d x 2 - 2x - 3 es una parábola, cuyas ramas están dirigidas hacia arriba. Para construir su gráfico, encontramos las coordenadas del vértice. Esto se puede hacer usando la fórmula x 0 = -b / 2a. Por lo tanto, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Para encontrar la coordenada del vértice de la parábola a lo largo del eje y, sustituimos el valor obtenido para x 0 en la ecuación de la función en consideración. Obtenemos que y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Por tanto, el vértice de la parábola tiene coordenadas (1; -4).

A continuación, debe encontrar los puntos de intersección de las ramas de la parábola con los ejes de coordenadas. En los puntos de intersección de las ramas de la parábola con el eje de abscisas, el valor de la función es cero. Por lo tanto, resolvemos la ecuación cuadrática x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Sus raíces serán los puntos deseados. Por el teorema de Vieta, tenemos x 1 = -1, x 2 = 3.

En los puntos de intersección de las ramas de la parábola con el eje y, el valor del argumento es cero. Así, el punto y = -3 es el punto de intersección de las ramas de la parábola con el eje y. El gráfico resultante se muestra en la Figura 1.

Para obtener una gráfica de la función y = |x 2 - 2x - 3|, mostraremos la parte de la gráfica que está debajo del eje x simétricamente con respecto al eje x. El gráfico resultante se muestra en la Figura 2.

La gráfica de la función y = a es una línea recta paralela al eje x. Se muestra en la Figura 3. Usando la figura y encontramos que las gráficas tienen cuatro puntos en común (y la ecuación tiene cuatro raíces) si a pertenece al intervalo (0; 4).

Valores enteros del número a del intervalo recibido: 1; 2; 3. Para responder la pregunta del problema, encontremos la suma de estos números: 1 + 2 + 3 = 6.

Respuesta: 6.

Encuentre la media aritmética de los valores enteros del número a, para los cuales la ecuación |x 2 – 4|x| – 1| = a tiene seis raíces.

Empecemos trazando la función y = |x 2 – 4|x| – 1|. Para hacer esto, usamos la igualdad a 2 = |a| 2 y seleccione el cuadrado completo en la expresión del submódulo escrita en el lado derecho de la función:

x2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Entonces la función original se verá como y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Para construir una gráfica de esta función, construimos sucesivamente gráficas de funciones:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - una parábola con un vértice en un punto con coordenadas (2; -5); (Figura 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - la parte de la parábola construida en el párrafo 1, que se encuentra a la derecha del eje de ordenadas, se muestra simétricamente a la izquierda del eje Oy; (Figura 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - la parte del gráfico construida en el párrafo 2, que está debajo del eje x, se muestra simétricamente con respecto al eje de abscisas hacia arriba. (Fig. 3).

Considere los dibujos resultantes:

La gráfica de la función y = a es una línea recta paralela al eje x.

Usando la figura, concluimos que las gráficas de funciones tienen seis puntos comunes (la ecuación tiene seis raíces) si a pertenece al intervalo (1; 5).

Esto se puede ver en la siguiente figura:

Encuentre la media aritmética de los valores enteros del parámetro a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Respuesta: 3.

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Para revelar completamente las posibilidades de este método, consideraremos los principales tipos de problemas.

Ejemplos de tareas para desarrollar conocimientos y habilidades en la resolución de problemas con parámetros método gráfico (Plano coordinado)

Ejercicio 1.

¿A qué valoresunecuación = tiene dos raíces?

Decisión.

Pasamos al sistema equivalente:

Este sistema define una curva en el plano de coordenadas (;). Está claro que todos los puntos de este arco de la parábola (y sólo ellos) tienen coordenadas que satisfacen la ecuación original. Por lo tanto, el número de soluciones a la ecuación para cada valor fijo del parámetro, es igual al número de puntos de intersección de la curva con la línea horizontal correspondiente al valor de este parámetro.

Obviamente, las rectas indicadas intersecan la gráfica en dos puntos, lo que equivale a que la ecuación original tuviera dos raíces.

Responder: en.

Tarea 2.

Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema tiene una solución única.

Decisión.

Reescribamos el sistema original de esta forma:

Todas las soluciones de este sistema (pares de vista) forman el área que se muestra en la figura sombreada. El requisito de unicidad de la solución de este sistema se traduce a un lenguaje gráfico de la siguiente manera: las líneas horizontales deben tener un solo punto común con el área resultante. Es fácil ver que sólo las líneas rectasy cumplir con el requisito establecido.

Responder: o.

Los dos problemas que acabamos de analizar nos permiten dar recomendaciones más específicas en comparación con las anteriores:

intente expresar el parámetro a través de una variable, es decir, obtenga igualdades de la forma, luego

graficar una función en un plano.

Tarea 3.

¿A qué valoresun ¿La ecuación tiene exactamente tres raíces?

Decisión.

Tenemos

La gráfica de este conjunto es la unión de la “esquina” y la parábola. Obviamente, solo la línea corta la unión resultante en tres puntos.

Responder: .

Comentario: El parámetro generalmente se considera como un número fijo pero desconocido. Por su parte, desde un punto de vista formal, un parámetro es una variable, además, “igual” a otras presentes en la tarea. Con esta vista del parámetro de formulario, las funciones se definen no con una, sino con dos variables.

Tarea 4.

Buscar todos los valores de los parámetros, para la cual la ecuación tiene una solución.

Decisión.

Una fracción es cero si y solo si el numerador de la fracción es cero y el denominador es distinto de cero.

Encontrando raíces trinomio cuadrado:

Usando el sistema resultante, es fácil trazar la ecuación original. Es la presencia de "punciones" en este gráfico lo que permite que y = tenga una solución única para la ecuación. Este es el factor determinante en la decisión.

Responder: y.

Tarea 5.

¿A qué valores del parámetro,un la ecuación tiene solución única.

Decisión.

Escribamos un sistema equivalente a la ecuación original

De aquí obtenemos

Construimos un gráfico y dibujaremos rectas perpendiculares al eje.un .

Las dos primeras desigualdades del sistema definen un conjunto de puntos que se muestran sombreados, y este conjunto no incluye hipérbolas y.

Luego, un segmento y un rayo, un segmento y un rayo, que se encuentran respectivamente en las líneas y , son la gráfica de la ecuación original. Una solución será si 2< < или < или = .

Responder : 2 < < или < или = .

Tarea 6.

Buscar todos los valores de los parámetrosun , para lo cual la ecuación

tiene exactamente dos varias soluciones

Decisión.

Considere el conjunto de dos sistemas

si un , entonces.

si un < , entonces.

De aquí

o

Las parábolas y la recta tienen dos puntos en común:PERO (-2; - 2), EN(-1; -1), además, EN es el vértice de la primera parábola,D - parte superior del segundo. Entonces, la gráfica de la ecuación original se muestra en la figura.

Debe haber exactamente dos soluciones diferentes. Esto se hace con o.

Responder: o.

Tarea 7.

Encuentre el conjunto de todos los números, para cada uno de los cuales la ecuación

tiene sólo dos raíces distintas.

Decisión.

Reescribamos esta ecuación en la forma

Las raíces de la ecuación, siempre que.

Construimos una gráfica de esta ecuación. EN este caso Es conveniente construir un gráfico asignando a la variable el eje y. Aquí "leemos" la respuesta con líneas verticales, obtenemos que esta ecuación tiene solo dos raíces diferentes en = -1 o o.

Las líneas punteadas dicen eso.

Responder: en = -1 o o.

Tarea 8.

Para lo cual el conjunto de soluciones de la desigualdad contiene un hueco.

Decisión.

Escribamos el conjunto de dos sistemas, que es equivalente a la ecuación original:

o

Como en la solución del primer sistema niun segmento no se puede incluir, entonces haremos los estudios necesarios para el segundo sistema.

Tenemos

Denotar . Entonces la segunda desigualdad del sistema toma la forma< - y define el conjunto que se muestra en la figura en el plano de coordenadas.

Con la ayuda de la figura, establecemos que para que el conjunto resultante contenga todos los puntos, las abscisas en las que recorren todos los valores del intervalo

Entonces, desde aquí.

Responder : .

Tarea 9.

Encuentre todos los números no negativos para los cuales hay un solo número que satisface el sistema

Decisión.

Tenemos

La primera ecuación en el plano de coordenadas define una familia de líneas verticales. Las líneas rectas y los planos dividen en cuatro regiones. Algunas de ellas son soluciones a la desigualdad del sistema. En concreto, cuáles se pueden establecer tomando un punto de prueba de cada zona. El área cuyo punto satisface la desigualdad es su solución (esta técnica está asociada al método de los intervalos cuando se resuelven desigualdades de una variable). Construimos líneas rectas

Por ejemplo, tomamos un punto y lo sustituimos en Las coordenadas del punto satisfacen la desigualdad.

Obtenemos dos áreas (yo) y ( II), pero, dado que por condición, tomamos solo el área (yo). Construimos líneas rectas , k .

Entonces, el sistema original se satisface con todos los puntos (y solo ellos) que se encuentran en los rayos y resaltados en el dibujo con líneas en negrita (es decir, construimos puntos en un área determinada).

Ahora tenemos que encontrar el único para fijo. Dibuja líneas paralelas que se cruzan con el eje. y encuentre dónde habrá un punto de intersección con la línea.

Encontramos a partir de la figura que el requisito de unicidad de la solución se logra si (para ya 2 puntos),

donde es la ordenada del punto de intersección de las rectas y,

donde es la ordenada del punto de intersección de las rectas y.

Entonces obtenemos< .

Responder: < .

Tarea 10.

¿A qué valores del parámetro a tiene soluciones el sistema?

Decisión.

factoricemos lado izquierdo desigualdades del sistema, tenemos

Construimos líneas rectas y Mostramos en la figura sombreando el conjunto de puntos del plano que satisface la desigualdad del sistema.

Construimos una hipérbola = .

Entonces las abscisas de los arcos distinguidos de la hipérbola son soluciones del sistema original.METRO , PAG , norte , q - puntos nodales. Encontremos sus abscisas.

por puntos PAG , q tenemos

Queda por escribir la respuesta: o.

Responder: o.

Tarea 11.

Encuentre todos los valores para los cuales cualquier solución a la desigualdad no exceda de dos en valor absoluto ().

Decisión .

Reescribamos esta desigualdad de esta forma. Construimos gráficos de ecuaciones y =.

Usando el “método del intervalo”, establecemos que las áreas sombreadas serán la solución a la desigualdad original.

Ahora construimos el área. y ver qué parte cae en el área sombreada.

Aquellas. ahora, si para algún valor fijo, la línea en la intersección con el área resultante da solo puntos cuyas abscisas satisfacen la condición < 2, entonces es uno de los valores requeridos del parámetro.

Entonces vemos eso.

Responder: .

Tarea 12.

¿Para qué valores del parámetro el conjunto de soluciones de la desigualdad contiene como máximo cuatro valores enteros?

Decisión.

Transformemos esta desigualdad a la forma Esta desigualdad es equivalente a la combinación de dos sistemas

o

Usando este conjunto, representamos la solución de la desigualdad original.

Dibujemos líneas rectas, donde. Entonces el valor por el cual la línea se cruza con las líneas en no más de cuatro puntos del conjunto marcado será el deseado. Entonces vemos que o bien.

Responder: o o.

Tarea 13.

¿A qué valores del parámetroun tiene un sistema de solución

Decisión.

Las raíces del trinomio cuadrado i.

Entonces

Construimos líneas rectas y

Usando el método de "intervalos", encontramos la solución a la desigualdad del sistema (área sombreada).

Esa parte del círculo con el centro en el origen y radio 2, que cae en el área sombreada y será la solución de este sistema. .

Valores y encontrar del sistema

Valores y - del sistema.

Responder:

Tarea 14.

Según los valores de los parámetrosun resolver la desigualdad > .

Decisión.

Reescribamos esta desigualdad en la forma y consideremos la función, que, ampliando los módulos, escribimos de la siguiente manera:

Construimos un gráfico. El gráfico divide el plano de coordenadas en dos regiones. Tomando m (0; 0) y sustituyendo y en la desigualdad original, obtenemos que 0 > 1 y, por lo tanto, la desigualdad original se satisface en el área situada encima de la gráfica.

Directamente de la figura obtenemos:

sin soluciones;

en ;

en.

Responder: sin soluciones;

en ;

en.

Tarea 15.

Encuentre todos los valores del parámetro para el cual el sistema de desigualdades

solo uno está satisfecho.

Decisión.

reescribamos este sistema ene sta forma:

Construyamos el área especificada por este sistema.

1), es el vértice de la parábola.

2) es una recta que pasa por los puntos y.

El requisito de unicidad de la solución se traduce a un lenguaje gráfico de la siguiente manera: las líneas horizontales con el área resultante deben tener solo un punto común. El requisito anterior se cumple con las rectas y, donde es la ordenada del punto de intersección de la parábola y la recta.

Encontremos el valor:

= (no apto para significado de la tarea),

Encontramos la ordenada:

Responder: ,

Tarea 16.

Buscar todos los valores de los parámetrosun, bajo el cual el sistema de desigualdades

satisface sólo para una x.

Decisión .

Construyamos parábolas y mostremos la solución del último sistema sombreando.

1) , .

2) , .

Se puede ver en la figura que la condición del problema se cumple para o.

Responder: o.

Tarea 17.

¿Para qué valores la ecuación tiene exactamente tres raíces?

Decisión.

Esta ecuación es equivalente al conjunto

La gráfica de población es la unión de las gráficas de parábola y ángulo.

Las líneas cortan la unión resultante en tres puntos.

Responder: en.

Tarea 18.

¿Para qué valores la ecuación tiene exactamente tres soluciones?

Decisión.

Transformemos el lado izquierdo de esta ecuación. Obtenemos una ecuación cuadrática para.

Obtenemos la ecuación

que es equivalente al agregado

La unión de las gráficas de parábolas es la solución del conjunto.

Encuentra la ordenada de los puntos de intersección de las parábolas:

Leemos la información necesaria de la figura: esta ecuación tiene tres soluciones para o

Responder: en o

Tarea 19.

Dependiendo del parámetro, determine el número de raíces de la ecuación

Decisión .

Considere esta ecuación como cuadrática con respecto a a.

,

.

Obtenemos el conjunto

Construimos gráficas de las ecuaciones del conjunto y respondemos la pregunta del problema.

Responder:: sin soluciones;

: una solución;

: dos soluciones;

o: tres soluciones;

o: cuatro soluciones.

Tarea 20.

Cuantas soluciones tiene el sistema

Decisión.

Está claro que el número de raíces de la segunda ecuación del sistema es igual al número de soluciones del propio sistema.

Tenemos .

Considerando esta ecuación como cuadrática, obtenemos el conjunto.

Ahora referirse al plano de coordenadas simplifica la tarea. Encontramos las coordenadas de los puntos de intersección resolviendo la ecuación

De aquí

Vértices de parábolas y.

Respuesta: : cuatro soluciones;

: dos soluciones;

: una solución;

: sin soluciones.

Tarea 21.

Encuentre todos los valores reales del parámetro para el cual la ecuación tiene solo dos raíces distintas. Escribe estas raíces.

Decisión .

Encontremos las raíces del trinomio cuadrado entre paréntesis:

Representamos el conjunto de soluciones de esta ecuación en el plano de coordenadas trazando gráficos siempre que

Leemos la información necesaria de la imagen. Entonces, esta ecuación tiene dos raíces diferentes en (u) y en (u)

Respuesta: con (y) y

en (y).

Tarea 2 2 .

Resolver el sistema de desigualdades:

Decisión.

Construimos en el plano las gráficas de una parábola y una recta.

Todos los puntos del área sombreada son la solución del sistema. Dividamos el área construida en dos partes.

Si y, entonces no hay soluciones.

Si, entonces las abscisas de los puntos del área sombreada serán mayores que las abscisas de los puntos de la línea recta, pero menores que las abscisas (raíz mayor de la ecuación) de la parábola.

Expresamos a través de la ecuación de una línea recta:

Encontremos las raíces de la ecuación:

Entonces.

Si, entonces.

Responder: para y 1 no hay soluciones;

en;

en.

Tarea 23.

Resolver el sistema de desigualdades

Decisión.

– parte superior de la parábola.

Parte superior de la parábola.

Encuentra las abscisas de los puntos de intersección de las parábolas:

El área sombreada es la solución del sistema. Vamos a dividirlo en dos partes.

En las ecuaciones de las parábolas, expresamos mediante:

escribimos responder:

si y, entonces no hay soluciones;

si, entonces< ;

si, entonces.

Tarea 24.

¿A qué valores y la ecuación no tiene soluciones?

Decisión.

La ecuación es equivalente al sistema.

Construyamos un conjunto de soluciones para el sistema.

Tres piezas de una parábola son la solución a esta ecuación.

Busquemos bajo cuál y excluyámoslo.

Entonces, porque no hay soluciones;

cuando no hay soluciones;

(nota: para el restounhay una o dos soluciones).

Responder: ; .

Tarea 25.

Para qué valores reales del parámetro existe al menos uno que cumple las condiciones:

Decisión.

Resolvamos gráficamente la desigualdad usando el "método de intervalo" y construyamos un gráfico. Veamos qué parte del gráfico cae en la región construida para resolver la desigualdad, y busquemos los valores correspondientes.un.

Construimos gráficas de rectas y

Dividen el plano de coordenadas en 4 regiones.

Resolvamos gráficamente la última desigualdad usando el "método del intervalo".

El área sombreada es su solución. Parte del gráfico de parábola cae en esta área. En el intervalo; (por condición la desigualdad del sistema es estricta) existen que satisfacen las condiciones del sistema dado.

Responder:

Tarea 26.

Encuentre todos los valores del parámetro para cada uno de los cuales el conjunto de soluciones a la desigualdad no contiene ninguna solución a la desigualdad.

Decisión.

Construyamos un conjunto de soluciones a la desigualdad ("por el método de los intervalos"). Luego construiremos una "banda" Los valores deseados del parámetroq aquellos para los que ninguno de los puntos de las áreas indicadas pertenece a la "franja"

Responder: o.

Tarea 27.

Para qué valores del parámetro, la ecuación tiene una solución única.

Decisión.

Factoricemos el numerador de la fracción.

Esta ecuación es equivalente al sistema:

Construyamos un gráfico de población en el plano de coordenadas.

o

– punto de intersección de las rectas y. Un gráfico de población es una unión de líneas.

“Extraemos” los puntos del gráfico con abscisas.

Dibujamos líneas rectas y vemos dónde hay un punto de intersección con el gráfico.

Es obvio que solo para o esta ecuación tiene solución única.

Responder: o.

Tarea 28.

Para qué valores reales del parámetro el sistema de desigualdades no tiene soluciones.

Decisión.

El conjunto de puntos en el plano del área sombreada satisface el sistema de desigualdades dado.

Construimos líneas rectas. A partir de la figura, determinamos que para (- la abscisa del punto de intersección de la hipérbola y la línea), las líneas no intersecan el área sombreada.

Responder: en.

Tarea 29.

¿A qué valores del parámetroun el sistema tiene solución única.

Decisión.

Pasemos a un sistema equivalente al dado.

En el plano de coordenadas, trazamos las gráficas de las parábolas y Vértices de las parábolas, respectivamente, los puntos y.

Calculamos las abscisas de los puntos de intersección de las parábolas resolviendo la ecuación

El área sombreada es la solución del sistema de desigualdades. directo y

tiene un punto en común con el área sombreada.

Responder: en yo

Tarea 30.

Resuelve la desigualdad:

Decisión.

Dependiendo del parámetro, encontramos el valor.

Resolveremos la desigualdad usando el “método del intervalo”.

Construyamos parábolas

: .

Calcula las coordenadas del punto de intersección de las parábolas:

Los puntos del área sombreada satisfacen esta desigualdad. Al dibujar una línea recta, dividimos esta área en tres partes.

1) Si, entonces no hay soluciones.

2) Si, entonces en la ecuación expresamos a través de:

Así, en la zonayo tenemos.

Si, entonces mira:

Una region II .

Expresamos en la ecuación a través de.

raíz más pequeña,

Raíz más grande.

Entonces, en la zona II tenemos.

b) área tercero : .

Responder: cuando no hay soluciones;

en

en, .

Literatura:

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