Как известно, существуют уравнения, содержащие две переменные, например, выражения вида:

Помимо числовых значений подобные выражения содержат два одночлена, включающие неизвестные переменные. Мы уже рассматривали в прошлых видео свойства подобных выражений, а также способы нахождения корней.

Любое уравнение с двумя переменными имеет ответ в виде пары чисел, которые являются значениями х и у. Чаще всего ответов бывает бесконечное множество, соответствующее двум множествам чисел х и у. Кроме того, подобные уравнения могут иметь всего лишь один корень либо не иметь ответа вообще. Но, в любом случае, если задано некое значение х, то при наличии действительного равенства найдется соответствующее значение у. Иными словами, ответ на уравнение с двумя переменными всегда представляет собой пару чисел.

Уравнение вида:

можно тождественно преобразовать, получив равносильное выражение:

у = 2,5 - 0,5х

Переместив слагаемые таким образом, чтобы оставить у с левой стороны, а х и все остальные одночлены - с правой, а также поделив обе части выражения на 2, мы получаем равносильное уравнение. Оно, по сути, является некоторой зависимостью между аргументом х и значением у. В данном выражении эта зависимость представлена аналитической линейной формой. Но её можно представить и графически, отобразив математический график в декартовой системе координат. Для этого значения аргумента рассчитывают по оси абсцисс, а значения функции - по оси ординат.

Иначе говоря, в случае уравнений с двумя переменными мы можем тождественно преобразовать их до равносильных удобных формул, после чего использовать пары корней, соответствующих верному решению этого уравнения, как координаты точек в Декартовой системе. Несколько решений уравнений дадут несколько точек, соединяемых в единый график - некую кривую линию.

В тоже время, зависимости, которые прослеживаются между переменными в одном уравнении, не всегда являются функциями в строгом определении этого понятия. К примеру, рассмотрим два уравнения:

С первого взгляда, оба равенства довольно похожи. Построим график зависимости для каждого из них. Как мы можем убедиться на видео, графики этих выражений достаточно сильно отличаются друг от друга. Если для уравнения у + х = 9 графиком является прямая линия, не проходящая через центр координат, то у 2 + х 2 = 9 имеет график в виде правильной окружности, описанной с центром в точке (0, 0). Если мы попытаемся при помощи графика определить значение у при заданном х, то увидим, что каждому аргументу соответствуют два значения у. Любой перпендикуляр, проведенный к оси абсцисс, в пределах круга обязательно пересечет круг в двух точках с одинаковым аргументом, но с противоположными значениями у. Математически это можно пояснить следующим образом:

х 2 + у 2 = а

у 2 = а - х 2

у = корень квадратный (а - х 2)

Любое отрицательное значение не может дать квадратных корней, а любое положительное всегда образует пару чисел в качестве ответа, одинаковых по значению, но противоположных по знаку. Иными словами, каждому значению у при подобной зависимости будет соответствовать два аргумента, что противоречит основному принципу функции.

Выражение вида у + х = 9, тем не менее, является обычной линейной функцией, так как вполне отвечает её требованиям. Любые уравнения с двумя переменными могут быть, а могут и не быть функциями.

Рассмотрим выражение абстрактного вида:

Любое равенство, соответствующее данной формуле, называется линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком, в общем случае, является прямая линия, а корнями, как правило, - множество пар х и у. Исключения возможны при обнулении какого либо коэффициента - а, b, или свободного члена с. Если b = 0, но если а не равно 0, то ответами уравнения будет множество пар значений, у которых х будет всегда равен одному числу, а у - любому значению. Действительно, в уравнении:

х всегда равен 3, а у может быть равным любому числу, так как эта переменная все равно обнуляется.

Если а = 0, b = 0, но свободный член не равен 0, то уравнение не имеет верных решений, так как при любых раскладах нарушается принцип равенства. Графиком этого уравнения будет пустое множество. И, наконец, если все а, b, с = 0, то любое сочетание х и у является правильным решением уравнения, а график охватывает все числовое множество (плоскость Декартовой сети).

Для закрепления материала построим график уравнения:

Преобразуем выражение в линейное уравнение с двумя переменными:

1/3(х) + 0у = 1

0у = 1 - 1/3(х)

Графиком этого выражения будет прямая, перпендикулярная к оси абсцисс в точке (3, 0). При любых у значение аргумента всегда равно 3.

Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с . Здесь x и y есть две переменные, a,b,c - некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у - ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x - 2*y =6;

Положим х=0, тогда - 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Линейная функция 7 класс алгебра Урок № 6 -7. Координатная плоскость. Линейное уравнение с двумя переменными и его график 06.07.2012 1 www.konspekturoka.ru

Цели: 06.07.2012 Напомнить понятие координатной плоскости. Рассмотреть изображение точки на координатной плоскости. Дать понятие об уравнении с двумя переменными, их решение и графике уравнения. Научить строить график линейного уравнения с двумя переменными. Изучить алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными. 2 www.konspekturoka.ru

O x y 1 Две взаимно перпендикулярные числовые оси образуют прямоугольную систему координат 1 - 1 - 1 I II III I V Координатные углы Ординат (ось оу) Абсцисс (ось ох) Вспомним! 06.07.2012 3 www.konspekturoka.ru

O x y 1 х = -3 У = 3 х = -5 у = -2 Х = 4 у = -5 х = 2 У = 5 06.07.2012 www.konspekturoka.ru 4 Вспомним! Алгоритм отыскания координат точки М(a ; b) Провести через точку прямую, параллельную оси у, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью х – это и будет абсцисса точки. 2. Провести через точку прямую, параллельную оси х, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью у - это и будет ордината точки. А В 5 2 С 4 -5 М -2 -5 3 -3 В(2;5); С(4;-5); М(-5;-2); А(-3;3)

A (-4; 6) B (5; -3) C (2; 0) D (0; -5) Вспомним! Алгоритм построения точки М(a ; b) Построить прямую х = а. Построить прямую у = b. Найти точку пересечения построенных прямых – это и будет точка М(а; b) 6 -4 5 -3 -5 2 06.07.2012 5 www.konspekturoka.ru

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 6 Уравнение вида: a х + b = 0 называется линейным уравнением с одной переменной (где х – переменная, а и b некоторые числа). Внимание! х – переменная входит в уравнение обязательно в первой степени. (45 - у) + 18 = 58 линейное уравнением с одной переменной 3х² + 6х + 7 = 0 не линейное уравнением с одной переменной Вспомним!

ах + by + c = 0 Линейное уравнение с двумя переменными 06.07.2012 7 www.konspekturoka.ru Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством. Уравнение вида: называется линейным уравнением с двумя переменными (где х, у - переменные, а, b и с - некоторые числа). (х; y)

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 8 Решить линейное уравнение с одной переменной – это значит найти те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. (х; y)- ? Таких решений бесконечно много.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 9 Линейное уравнение с двумя переменными обладают свойствами, как уравнения с одной переменной Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на число (не равное нулю), то получится равносильное уравнение.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 10 Равносильные уравнения Так как член 4у³ перенесен из левой части в правую Уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 11 O x y 1 Пример 1 Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у – 3 = 0 точками в координатной плоскости. 1. Подберем несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5). 2. Построим в хОу точки: А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2), Е(0; 3), М(-2; 5). 3 Е(0; 3) 1 2 С(1; 2) 1 2 В(2; 1) 3 А(3; 0) -2 5 М(-2; 5) 3. Соединим все точки. Внимание! Все точки лежат на одной прямой. В дальнейшем: для построения прямой достаточно 2 точки m m - график уравнения х + у - 3 = 0 Говорят: т – геометрическая модель уравнения х + у – 3 = 0 -4 7 Р(-4; 7) Р(-4; 7) – пара, которая принадлежит прямой и есть решением уравнения

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 12 Вывод: Если (-4; 7) – пара чисел, удовлетворяет уравнению, то точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т. Если точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т, то пара(-4;7) - есть решением уравнения. Наоборот:

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 13 Теорема: Графиком любого линейного уравнения ах + by + c = 0 есть прямая. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек. Реальная ситуация (словесная модель) Алгебраическая модель Геометрическая модель Сумма двух чисел равна 3. х + у = 3 (линейное уравнение с двумя переменными) прямая т (график линейного уравнения с двумя переменными) х + у – 3 = 0

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 14 x y 1 Пример 2 Построить график уравнения 3 х - 2у + 6 = 0 1. Пусть х = 0, подставим в уравнение 3· 0 - 2у + 6 = 0 - 2у + 6 = 0 - 2у = - 6 у = - 6: (-2) у = 3 (0;3) - пара чисел, есть решением 2. Пусть у = 0, подставим в уравнение 3· х - 2· 0 + 6 = 0 3х + 6 = 0 3х = - 6 х = - 6: 3 х = - 2 (-2;0) - пара чисел, есть решением 3. Построим точки и соединим прямой 0 3 -2 3 х - 2у + 6 = 0

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 15 Алгоритм построения графика уравнения ах + b у + c = 0 Придать переменной х конкретное значение х ₁; найти из уравнения ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₁. Получим (х₁;у₁). 2. Придать переменной х конкретное значение х ₂; найти из уравнения ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₂. Получим (х ₂ ;у ₂). 3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁), (х ₂ ; у₂) и соединим прямой. 4. Прямая – есть график уравнения.

06.07.2012 16 www.konspekturoka.ru Ответить на вопросы: Что называется координатной плоскостью? Какой алгоритм нахождения координат точки на координатной плоскости? Какой алгоритм построения точки на координатной плоскости? Сформулируйте основные свойства уравнений. Какие уравнения называются равносильными? Что является решением линейного уравнения с двумя переменными? 7. Какой алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными?

Нам часто встречались уравнения вида ах + b = 0, где а, b - числа, х - переменная. Например, bх - 8 = 0, х + 4 = О, - 7х - 11 = 0 и т. д. Числа а, Ь (коэффициенты уравнения) могут быть любыми, исключает лишь случай, когда а = 0.

Уравнение ах + b = 0, где а , называют линейным уравнением с одной переменной х (или линейным уравнением с одним неизвестным х). Решить его, т. е. выразить х через а и b, мы с вами умеем:

Ранее мы отмечали, что довольно часто математической моделью реальной ситуации служит линейное уравнение с одной переменной или уравнение, которое после преобразований сводится к линейному. А теперь рассмотрим такую реальную ситуацию.

Из городов A и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч - скорость первого поезда, у км/ч - скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь bх км. Второй поезд был в пути 3 ч, т.е. прошел путь Зу км.

Их встреча произошла в пункте С. На рисунке 31 представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке ее можно описать так:

5х + Зу = 500

или
5х + Зу - 500 = 0.

Эту математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у.
Вообще,

ах + by + с = 0,

где а, b, с - числа, причем , - линейное уравнение с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у).

Вернемся к уравнению 5х + Зу = 500. Замечаем, что если х = 40, у = 100, то 5 40 + 3 100 = 500 - верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел х = 40, у = 100 называют решением уравнения 5х + Зу = 500. Говорят также, что эта пара значений (х; у) удовлетворяет уравнению 5х + Зу = 500.

К сожалению, это решение не единственно (мы ведь все любим определенность, однозначность). В самом деле, возможен и такой вариант: х = 64, у = 60; действительно, 5 64 + 3 60 = 500 - верное равенство. И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 70 + 3 50 = 500 - верное равенство).

А вот, скажем, пара чисел х = 80, у = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается:

Вообще, решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.

Замечание. Вернемся еще раз к уравнению 5х + Зу = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений имеются, например, и такие: х = 100, у = 0 (в самом деле, 5 100 + 3 0 = 500 - верное числовое равенство); х = 118, у = - 30 (так как 5 118 + 3 (-30) = 500 - верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения , эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной (тогда он едет не навстречу другому поезду, как сказано в условии задачи, а в противоположную сторону).

Пример 1. Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у - 3 = 0 точками в координатной плоскости хОу.

Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

«Линейное уравнение с двумя переменными и его график».

Цели урока :

выработать у обучающихся умение строить графики линейного уравнения с двумя переменными, решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные;

развивать познавательные навыки обучающихся, критическое и творческое мышление; воспитание познавательного интереса к математике, настойчивости, целеустремленности в учебе.

Задачи:

ввести понятие линейного уравнения как математическую модель реальной ситуации;

научить по виду определять линейное уравнение и его коэффициенты;

научить по заданному значению х находить соответствующее значение у, и наоборот;

ввести алгоритм построения графика линейного уравнения и научить применять его на практике;

научить составлять линейное уравнение, как математическую модель задачи.

На уроке кроме ИКТ технологий используются проблемное обучение, элементы развивающего обучения, технология группового взаимодействия.

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

I . Организационный этап. Слайд 1.

Проверка готовности учащихся к уроку, сообщение темы урока, целей и задач.

II . Устная работа.

1. Слайд 2. Из предложенных уравнений выбрать линейное уравнение с двумя переменными:

А) 3х – у = 14

Б) 5у + х² = 16

В) 7ху – 5у = 12

Г) 5х + 2у = 16

Ответ: а, г.

Дополнительный вопрос: Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Слайд 3.

Ответ: ах + ву + с = 0.

Слайд 4. Отработка понятия линейного уравнения на примерах (устная работа).

Слайд 5-6. Назвать коэффициенты линейного уравнения.

2. Слайд 7. Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения 2х + 5у = 12

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D (11; -2).

Ответ: D (11; -2).

Дополнительный вопрос: Что является графиком уравнения с двумя переменными? Слайд 8.

Ответ: прямая.

3. Слайд 9. Найдите абсциссу точки М(х; -2), принадлежащей графику уравнения 12х – 9у = 30.

Ответ: х = 1.

Дополнительный вопрос: Что называется решением уравнения с двумя переменными? Слайд 10.

Ответ: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

4. Слайд 11.

1. На каком рисунке у графика линейной функции положительный угловой коэффициент
2. На каком рисунке у графика линейной функции отрицательный угловой коэффициент
3. График какой функции мы не изучали?

5. Слайд 12. Назовите числовой промежуток, соответствующий геометрической модели:

А). (-6 ; 8) Б). (-6 ; 8] В).[- 6; 8) Г).[-6 ;8]

X

-6 8

III . Постановка цели урока.

Сегодня на уроке мы будем закреплять умение строить графики линейного уравнения с двумя переменными, решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные (необходимость составления линейного уравнения для решения задачи с двумя неизвестными).

Постарайтесь быть настойчивыми и целеустремленными при выполнении заданий.

IV . Закрепление. Слайд 13.

Задача. Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов? Составить математическую модель к задаче и найти два решения.

Слайд 14. (Составление математической модели к задаче). Демонстрация составления математической модели.

Что является решением линейного уравнения с двумя переменными?

Учитель ставит вопрос: сколько решений имеет линейное уравнение с двумя переменными? Ответ: бесконечно много.

Учитель: как можно найти решения линейного уравнения с двумя переменными? Ответ: подобрать.

Учитель: как легче подобрать решения уравнения?

Ответ: подобрать одну переменную, например х, и из уравнения найти другую - у.

Слайд 15.

- Проверьте являются ли пары следующих значений решением уравнения.

Задача.

Слайд 16.

Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй 11 дней. Сколько гектаров вспахивал за день каждый тракторист? Составьте линейное уравнения с двумя переменными к задаче и найдите 2 решения.

Слайд 17-18.

Что называют графиком уравнения с двумя переменными? Рассмотреть различные случаи.

Слад 19. Алгоритм построения графика линейной функции.

Слайд 20. (устно) Рассмотреть пример построения графика линейного уравнения с двумя переменными.

V . Работа по учебнику.

Слайд 21. Построить график уравнения:

стр. 269

I вариант № 1206 (б)

II вариант № 1206 (в)

VI . Самостоятельная работа. Слайд 22.

Вариант 1.

1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения 5х – 4у - 1 =0?

2. Постройте график функции 2х + у = 4.

Вариант 2.

Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения 7х – 3у - 1 =0?

Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.

(С последующей проверкой, проверка Слайд 23-25)

VII . Закрепление. Слайд 26.

Постройте правильно. (Задание для всех учащихся класса). Построить с помощью линий цветок, о котором идёт речь:

Известно около 120 видов этих цветов, распространенных, главным образом в Средней, Восточной и Южной Азии и Южной Европе.

Ботаники считают, что эта культура возникла в Турции в ХII столетии Мировую славу растение обрело вдали от своей родины, в Голландии, по праву названной Страной этих цветов.

На различных художественно-оформленных изделиях (и ювелирных) часто встречаются мотивы этих цветов.

Вот легенда об этом цветке .

В золотистом бутоне желтого цветка было заключено счастье. До этого счастья никто не мог добраться, ибо не было такой силы, которая смогла бы открыть его бутон.

Но однажды по лугу шла женщина с ребенком. Мальчик вырвался из рук матери, со звонким смехом подбежал к цветку, и золотистый бутон раскрылся. Беззаботный детский смех совершил то, чего не смогла сделать никакая сила. С тех пор и повелось дарить эти цветы только тем, кто испытывает счастье.

Необходимо построить графики функций и выделить ту ее часть, для точек которой выполняется соответствующее неравенство:

у = х + 6,

4 < х < 6;

у = -х + 6,

6 < х < -4;

у = - 1/3 х + 10,

6 < х < -3;

у = 1/3 х +10,

3 < х < 6;

у = -х + 14,

0 < х < 3;

у = х + 14,

3 < х < 0;

у = 5 х – 10 ,

2 < х < 4;

у = - 5 х – 10 ,

4 < х < -2;

у = 0,

2 < х < 2.

У нас получился рисунок – ТЮЛЬПАН. Слайд 27.

VIII . Рефлексия. Слайд 28.

IX . Домашнеее задание. Слайд 29.

П.43, №1206 (г-е), 1208 (г-е), 1214