Funktsiya juft yoki toq bo'ladimi. Juft va toq funksiyalar

y o'zgaruvchining x o'zgaruvchiga bog'liqligi, bunda x ning har bir qiymati y ning yagona qiymatiga mos keladi. Belgilash uchun y=f(x) belgisidan foydalaning. Har bir funktsiya bir qator asosiy xususiyatlarga ega, masalan, monotonlik, paritet, davriylik va boshqalar.

Paritet xususiyatini batafsil ko'rib chiqing.

y=f(x) funksiya quyidagi ikkita shartni qondirsa ham chaqiriladi:

2. Funksiyaning aniqlanish sohasiga mansub x nuqtadagi funksiya qiymati -x nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo lishi kerak. Ya'ni, har qanday x nuqta uchun funksiyaning aniqlanish sohasidan quyidagi tenglik qanoatlantirilishi kerak: f(x) = f(-x).

Juft funksiya grafigi

Agar juft funksiyaning grafigini tuzsangiz, u Oy o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

Masalan, y=x^2 funksiya juft. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Ta'rif sohasi butun sonli o'qdir, ya'ni u O nuqtaga nisbatan simmetrikdir.

Ixtiyoriy x=3 ni olaylik. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Shuning uchun f(x) = f(-x). Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, bu funktsiyaning juftligini bildiradi. Quyida y=x^2 funksiyaning grafigi keltirilgan.

Rasmda grafikning Oy o'qiga nisbatan simmetrik ekanligi ko'rsatilgan.

Toq funksiya grafigi

y=f(x) funksiya quyidagi ikkita shartni qondirsa, toq funksiya deyiladi:

1. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi O nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lishi kerak. Ya’ni, biror a nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lsa, mos keladigan -a nuqta ham aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lishi kerak. berilgan funktsiyadan.

2. Har qanday x nuqta uchun funksiyaning aniqlanish sohasidan quyidagi tenglik bajarilishi kerak: f(x) = -f(x).

Toq funksiya grafigi koordinatalarning boshi O nuqtaga nisbatan simmetrikdir. Masalan, y=x^3 funksiya toq. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Ta'rif sohasi butun raqamli o'qdir, ya'ni u O nuqtaga nisbatan simmetrikdir.

Ixtiyoriy x=2 ni olaylik. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Shuning uchun f(x) = -f(x). Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funktsiya g'alati. Quyida y=x^3 funksiyaning grafigi keltirilgan.

Rasmda y=x^3 toq funksiya koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekanligini aniq ko‘rsatib turibdi.

hatto, agar barcha \(x\) ta'rif sohasi uchun quyidagi to'g'ri bo'lsa: \(f(-x)=f(x)\) .

Juft funksiya grafigi \(y\) o‘qiga nisbatan simmetrikdir:

Misol: \(f(x)=x^2+\cos x\) funksiyasi juft, chunki \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktrianglerright\) \(f(x)\) funksiyasi chaqiriladi g'alati, agar barcha \(x\) taʼrif sohasi uchun quyidagi toʻgʻri boʻlsa: \(f(-x)=-f(x)\) .

Toq funksiyaning grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir:

Misol: \(f(x)=x^3+x\) funktsiyasi g'alati, chunki \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktrianglerright\) Juft va toq bo lmagan funksiyalar funksiyalar deyiladi umumiy ko'rinish. Bunday funktsiya har doim yagona va toq funksiyalarning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

Masalan, \(f(x)=x^2-x\) funksiya juft funksiya \(f_1=x^2\) va toq \(f_2=-x\) ning yig'indisidir.

\(\blacktrianglerright\) Ba'zi xususiyatlar:

1) Bir xil paritetli ikkita funktsiyaning ko'paytmasi va qismi juft funktsiyadir.

2) Har xil paritetli ikkita funktsiyaning ko'paytmasi va qismi toq funktsiyadir.

3) Juft funksiyalar yig‘indisi va ayirmasi - juft funksiya.

4) Toq funksiyalar yig‘indisi va ayirmasi - toq funksiya.

5) Agar \(f(x)\) juft funksiya boʻlsa, u holda \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) tenglama yagona ildizga ega boʻladi, agar faqat \( x =0\).

6) Agar \(f(x)\) juft yoki toq funksiya boʻlsa va \(f(x)=0\) tenglamaning ildizi \(x=b\) boʻlsa, bu tenglama albatta sekundga ega boʻladi. ildiz \(x =-b\) .

\(\blacktrianglerright\) \(f(x)\) funksiyasi \(X\) da davriy deyiladi, agar ba'zi bir son \(T\ne 0\) uchun quyidagi amal bajarsa: \(f(x)=f( x+T) \) , bu yerda \(x, x+T\da X\) . Bu tenglik bajariladigan eng kichik \(T\) funksiyaning asosiy (asosiy) davri deyiladi.

U davriy funktsiya shaklining istalgan soni \(nT\) , bu erda \(n\in \mathbb(Z)\) ham nuqta bo'ladi.

Misol: har qanday trigonometrik funktsiya davriy;
\(f(x)=\sin x\) va \(f(x)=\cos x\) funktsiyalari uchun asosiy davr\(2\pi\) ga teng, \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) va \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) funksiyalari asosiy davr \ (\ pi\) ga teng.

Davriy funktsiyaning grafigini qurish uchun uning grafigini uzunligi \(T\) (asosiy davr) bo'lgan istalgan segmentga chizish mumkin; keyin butun funktsiyaning grafigi tuzilgan qismni butun sonli davrlarga o'ngga va chapga siljitish orqali to'ldiriladi:

\(\blacktrianglerright\) \(f(x)\) funksiyasining \(D(f)\) domeni \(x\) argumentining barcha qiymatlaridan tashkil topgan toʻplam boʻlib, ular uchun funktsiya mantiqiy boʻladi. (aniqlangan).

Misol: \(f(x)=\sqrt x+1\) funksiyasi aniqlanish sohasiga ega: \(x\in)

1-topshiriq №6364

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(a\) parametrining qaysi qiymatlarida tenglama bajariladi

bitta yechim bormi?

E'tibor bering, \(x^2\) va \(\cos x\) juft funksiyalar bo'lganligi sababli, tenglamaning ildizi \(x_0\) bo'lsa, u ham \(-x_0\) ildiziga ega bo'ladi.
Darhaqiqat, \(x_0\) ildiz, ya'ni tenglik bo'lsin \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) to'g'ri. \(-x_0\) ni almashtiramiz: \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Shunday qilib, agar \(x_0\ne 0\) bo'lsa, tenglama allaqachon kamida ikkita ildizga ega bo'ladi. Shuning uchun, \(x_0=0\) . Keyin:

Biz parametr uchun ikkita qiymat oldik \(a\) . E'tibor bering, biz \(x=0\) asl tenglamaning aynan ildizi ekanligidan foydalandik. Ammo biz uning yagona ekanligidan hech qachon foydalanmadik. Shuning uchun, siz \(a\) parametrining natijaviy qiymatlarini asl tenglamaga almashtirishingiz va qaysi aniq \(a\) ildiz \(x=0\) haqiqatan ham noyob bo'lishini tekshirishingiz kerak.

1) Agar \(a=0\) boʻlsa, tenglama \(2x^2=0\) koʻrinishini oladi. Shubhasiz, bu tenglama faqat bitta ildizga ega \(x=0\) . Shuning uchun \(a=0\) qiymati bizga mos keladi.

2) Agar \(a=-\mathrm(tg)\,1\) boʻlsa, tenglama koʻrinishga ega boʻladi. \ Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz \ Chunki \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Bu \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Shunday qilib, tenglamaning o'ng tomonining qiymatlari (*) segmentga tegishli \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Chunki \(x^2\geqslant 0\) , keyin chap tomoni(*) tenglama \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) dan katta yoki teng.

Shunday qilib, tenglik (*) tenglamaning ikkala tomoni \(\mathrm(tg)^2\,1\) ga teng bo'lgandagina to'g'ri bo'lishi mumkin. Va bu shuni anglatadiki \[\begin(holatlar) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(holatlar) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(holatlar) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(holatlar)\to'rtta\Chapga o'q\to'rtlik x=0\] Shuning uchun \(a=-\mathrm(tg)\,1\) qiymati bizga mos keladi.

Javob:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

2-topshiriq №3923

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(a\) parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun funktsiya grafigi \

kelib chiqishiga nisbatan simmetrik.

Agar funktsiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo'lsa, unda bunday funktsiya toq bo'ladi, ya'ni sohadan istalgan \(x\) uchun \(f(-x)=-f(x)\) amal qiladi. funktsiyaning ta'rifi. Shunday qilib, \(f(-x)=-f(x).\) bo'lgan parametr qiymatlarini topish talab qilinadi.

\[\begin(hizalangan) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\o'ng)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\o'ng)\to'rtlik \O'ng strelka\to'rt -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\o'ng)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\o'ng) \to'rtlik \O'ng strelka\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \to'rtta \O'ng strelka \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\o'ng)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \to'rt \o'ngga\to'rt \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(hizalangan)\]

Oxirgi tenglama \(f(x)\ domenidagi barcha \(x\) uchun bajarilishi kerak, shuning uchun, \(\sin(2\pi a)=0 \O'ng strelka a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Javob:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

3-topshiriq №3069

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Parametrning barcha qiymatlarini toping \(a\) , ularning har biri uchun \ tenglama 4 ta yechimga ega, bu erda \(f\) davri \(T=\dfrac(16)3\) bilan teng davriy funktsiyadir. butun son qatorida aniqlangan va \(f(x)=ax^2\) uchun \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Abonentlardan topshiriq)

\(f(x)\) juft funksiya boʻlgani uchun uning grafigi ordinata oʻqiga nisbatan simmetrik boʻladi, demak, qachon \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Shunday qilib, qachon \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), va bu uzunlik segmenti \(\dfrac(16)3\) , funksiya \(f(x)=ax^2\) .

1) \(a>0\) bo'lsin. U holda \(f(x)\) funksiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:


Keyin tenglama 4 ta yechimga ega bo'lishi uchun \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) grafigi \(A\) nuqtadan o'tishi kerak:


Demak, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &9(a+2)=32a\\ &9(a) +2)=-32a\end(hizalangan)\end(to'plangan)\o'ng. \quad\Chap o'ng o'q\to'rt \chap[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(hizalangan) \end( yig'ildi)\to'g'ri.\] Chunki \(a>0\) , u holda \(a=\dfrac(18)(23)\) mos keladi.

2) \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


\(g(x)\) grafigi \(B\) nuqtadan o'tishi kerak: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Chapga o'q\quad \chap[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &a=\dfrac(18)(23) )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(hizalangan) \end(yig'ilgan)\o'ng.\] Chunki \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) \(a=0\) mos kelmaydigan holat, shundan beri \(f(x)=0\) hamma uchun \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) va tenglama faqat 1 ta ildizga ega bo'ladi.

Javob:

\(a\in \chap\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\o'ng\)\)

4-topshiriq №3072

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(a\) ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglama \

kamida bitta ildizga ega.

(Abonentlardan topshiriq)

Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz \ va ikkita funktsiyani ko'rib chiqing: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) va \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
\(g(x)\) funksiyasi juft va minimal nuqtaga ega \(x=0\) (va \(g(0)=49\) ).
\(x>0\) uchun \(f(x)\) funksiyasi kamayib bormoqda va \(x) uchun<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Haqiqatan ham, \(x>0\) ikkinchi modul ijobiy ochilganda (\(|x|=x\) ), shuning uchun birinchi modul qanday ochilishidan qat'i nazar, \(f(x)\) teng bo'ladi. \( kx+A\) ga, bu erda \(A\) \(a\) ifodasi va \(k\) \(-9\) yoki \(-3\) ga teng. Qachon \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Maksimal nuqtadagi \(f\) qiymatini topamiz: \

Tenglama kamida bitta yechimga ega bo'lishi uchun \(f\) va \(g\) funksiyalarning grafiklari kamida bitta kesishish nuqtasiga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun sizga kerak: \ \\]

Javob:

\(a\\(-7\)\kupada\)

5-topshiriq №3912

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Parametrning barcha qiymatlarini toping \(a\) , ularning har biri uchun tenglama \

olti xil yechimga ega.

Almashtiramiz \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Keyin tenglama shaklni oladi \ Biz asta-sekin dastlabki tenglama oltita yechimga ega bo'lgan shartlarni yozamiz.
E'tibor bering, kvadrat tenglama \((*)\) maksimal ikkita yechimga ega bo'lishi mumkin. Har qanday kub tenglama \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) uchtadan koʻp boʻlmagan yechimga ega boʻlishi mumkin. Shuning uchun, agar \((*)\) tenglama ikki xil yechimga ega bo'lsa (musbat!, chunki \(t\) noldan katta bo'lishi kerak) \(t_1\) va \(t_2\) , u holda teskari almashtirishni amalga oshirish orqali , biz olamiz: \[\left[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2) +4)=t_2\end(hizalangan)\end(yig'ilgan)\o'ng.\] Har qanday musbat son ma'lum darajada \(\sqrt2\) shaklida ifodalanishi mumkinligi sababli, masalan, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), keyin to'plamning birinchi tenglamasi shaklda qayta yoziladi \ Yuqorida aytib o'tganimizdek, har qanday kub tenglama uchtadan ko'p bo'lmagan yechimga ega, shuning uchun to'plamdagi har bir tenglama uchtadan ko'p bo'lmagan yechimga ega bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, butun to'plam oltitadan ko'p bo'lmagan echimlarga ega bo'ladi.
Bu shuni anglatadiki, dastlabki tenglama oltita yechimga ega bo'lishi uchun \((*)\) kvadrat tenglama ikki xil yechimga ega bo'lishi kerak va har bir natijada olingan kub tenglama (to'plamdan) uchta turli echimga ega bo'lishi kerak (va bitta yechim emas bitta tenglama har qanday tenglamaga to'g'ri kelishi kerak - ikkinchisining qaroriga ko'ra!)
Shubhasiz, agar \((*)\) kvadrat tenglama bitta yechimga ega bo'lsa, u holda biz dastlabki tenglamaning oltita yechimini olmaymiz.

Shunday qilib, yechim rejasi aniq bo'ladi. Keling, bajarilishi kerak bo'lgan shartlarni nuqtama-nuqta yozamiz.

1) \((*)\) tenglama ikki xil yechimga ega boʻlishi uchun uning diskriminanti ijobiy boʻlishi kerak: \

2) Bundan tashqari, ikkala ildiz ham ijobiy bo'lishi kerak (chunki \(t>0\) ). Agar ikkita ildizning ko'paytmasi ijobiy bo'lsa va ularning yig'indisi ijobiy bo'lsa, unda ildizlarning o'zi ijobiy bo'ladi. Shuning uchun sizga kerak: \[\begin(holatlar) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(holatlar)\to'rt\chap o'ng o'q\to'rt a<10\]

Shunday qilib, biz o'zimizni ikki xil ijobiy ildiz bilan ta'minladik \(t_1\) va \(t_2\) .

3) Keling, ushbu tenglamani ko'rib chiqaylik \ Nima uchun \(t\) uch xil yechimga ega bo'ladi?
\(f(x)=x^3-3x^2+4\) funktsiyasini ko'rib chiqing.
Faktorlarga ajratish mumkin: \ Shuning uchun uning nollari: \(x=-1;2\) .
Agar \(f"(x)=3x^2-6x\) hosilasini topsak, u holda ikkita ekstremum nuqtani olamiz \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Shunday qilib, grafik quyidagicha ko'rinadi:


Biz har qanday gorizontal chiziq \(y=k\) ekanligini ko'ramiz, bu erda \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) uch xil yechimga ega bo'lsa, \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Shunday qilib, sizga kerak: \[\begin(holatlar) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Darhol shuni ta'kidlaymizki, agar \(t_1\) va \(t_2\) raqamlari boshqacha bo'lsa, \(\log_(\sqrt2)t_1\) va \(\log_(\sqrt2)t_2\) raqamlari bo'ladi. har xil, bu tenglamalarni bildiradi \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Va \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) turli ildizlarga ega bo'ladi.
Tizim \((**)\) quyidagicha qayta yozilishi mumkin: \[\begin(holatlar) 1

Shunday qilib, \((*)\) tenglamaning ikkala ildizi \((1;4)\) oraliqda yotishi kerakligini aniqladik. Bu shartni qanday yozish kerak?
Biz ildizlarni aniq yozmaymiz.
\(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) funksiyasini ko'rib chiqaylik. Uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'lib, u x o'qi bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega (biz bu shartni 1-bandda yozganmiz)). X o'qi bilan kesishish nuqtalari \((1;4)\) oralig'ida bo'lishi uchun uning grafigi qanday bo'lishi kerak? Shunday qilib:


Birinchidan, \(1\) va \(4\) nuqtalardagi funksiyaning \(g(1)\) va \(g(4)\) qiymatlari musbat bo‘lishi kerak, ikkinchidan, \(t_0\ ) parabola ham \((1;4)\) oralig'ida bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz tizimni yozishimiz mumkin: \[\begin(holatlar) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) har doim kamida bitta ildizga ega \(x=0\) . Demak, masalaning shartlarini bajarish uchun tenglama zarur \

arifmetik progressiyani \(x=0\) bilan ifodalovchi noldan farqli to'rt xil ildizga ega edi.

E'tibor bering, \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) juft bo'lib, ya'ni agar \(x_0\) tenglamaning ildizi bo'lsa \( (*)\ ), keyin \(-x_0\) ham uning ildizi bo'ladi. Keyin bu tenglamaning ildizlari o'sish tartibida tartiblangan sonlar bo'lishi kerak: \(-2d, -d, d, 2d\) (keyin \(d>0\)). Aynan shu besh raqam arifmetik progressiya hosil qiladi (farq \(d\) bilan).

Bu ildizlar \(-2d, -d, d, 2d\) raqamlari bo'lishi uchun \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) raqamlarining ildizlari bo'lishi kerak. tenglama \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Keyin, Veta teoremasiga ko'ra:

Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz \ va ikkita funktsiyani ko'rib chiqing: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) va \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
\(g(x)\) funksiyasi maksimal nuqtaga ega \(x=0\) (va \(g_(\matn(yuqori))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nol hosilasi: \(x=0\) . Qachon \(x<0\) имеем: \(g">0\) , \(x>0\) uchun: \(g"<0\) .
\(x>0\) uchun \(f(x)\) funksiyasi ortib bormoqda va \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Haqiqatan ham, \(x>0\) birinchi modul ijobiy ochilganda (\(|x|=x\)), shuning uchun ikkinchi modul qanday ochilishidan qat'i nazar, \(f(x)\) teng bo'ladi. \( kx+A\) ga, bu yerda \(A\) \(a\) ifodasi va \(k\) \(13-10=3\) yoki \(13+10) ga teng. =23\). Qachon \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Minimal nuqtadagi \(f\) qiymatini topamiz: \

Tenglama kamida bitta yechimga ega bo'lishi uchun \(f\) va \(g\) funksiyalarning grafiklari kamida bitta kesishish nuqtasiga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun sizga kerak: \ Ushbu tizimlar to'plamini hal qilib, biz javob olamiz: \\]

Javob:

\(a\\(-2\)\kupada\)

Funksiyaning juftligi va toqligi uning asosiy xususiyatlaridan biri boʻlib, tenglik maktab matematika kursining taʼsirchan qismini egallaydi. U asosan funktsiyaning harakatini aniqlaydi va tegishli grafikni qurishni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Funksiyaning paritetini aniqlaymiz. Umuman olganda, o'rganilayotgan funktsiya uning ta'rif sohasida joylashgan (x) mustaqil o'zgaruvchining qarama-qarshi qiymatlari uchun y (funktsiya) ning mos qiymatlari teng bo'lsa ham hisoblanadi.

Keling, yanada qattiqroq ta'rif beraylik. D domenida aniqlangan ba'zi f (x) funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Ta'rif sohasida joylashgan har qanday x nuqta uchun ham shunday bo'ladi:

• -x (qarama-qarshi nuqta) ham shu doirada yotadi,

• f(-x) = f(x).

Yuqoridagi ta'rifdan bunday funktsiyaning aniqlanish sohasi uchun zarur bo'lgan shart, ya'ni koordinatalarning boshi bo'lgan O nuqtaga nisbatan simmetriya kelib chiqadi, chunki agar biron bir b nuqta juftlikni aniqlash sohasida mavjud bo'lsa. funktsiyasi bo'lsa, tegishli b nuqtasi ham shu sohada yotadi. Demak, yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadi: juft funksiya ordinata o‘qiga (Oy) nisbatan simmetrik shaklga ega.

Funksiyaning pariteti amalda qanday aniqlanadi?

U h(x)=11^x+11^(-x) formulasi yordamida aniqlansin. To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadigan algoritmga rioya qilib, biz birinchi navbatda uning ta'rif sohasini ko'rib chiqamiz. Shubhasiz, u argumentning barcha qiymatlari uchun aniqlanadi, ya'ni birinchi shart bajariladi.

Keyingi qadam (x) argumentiga qarama-qarshi qiymatni (-x) almashtirishdir.
Biz olamiz:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Qo‘shish kommutativ (kommutativ) qonunni qanoatlantirgani uchun h(-x) = h(x) va berilgan funksional bog‘liqlik juft bo‘lishi aniq.

h(x)=11^x-11^(-x) funksiyaning paritetini tekshiramiz. Xuddi shu algoritmga amal qilib, h(-x) = 11^(-x) -11^x ni olamiz. Minusni olib tashlasak, oxir-oqibat bizda bor
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Shuning uchun h(x) toqdir.

Aytgancha, bu mezonlarga ko'ra tasniflash mumkin bo'lmagan funktsiyalar mavjudligini esga olish kerak, ular na juft, na toq deb nomlanadi;

Hatto funktsiyalar bir qator qiziqarli xususiyatlarga ega:

• shunga o'xshash funktsiyalarni qo'shish natijasida ular teng bo'ladi;
• bunday funktsiyalarni ayirish natijasida juftlik olinadi;
• hatto, ham, hatto;
• ikkita bunday funktsiyani ko'paytirish natijasida juftlik olinadi;
• toq va juft funktsiyalarni ko'paytirish natijasida toq olinadi;
• toq va juft funksiyalarni ajratish natijasida toq funksiya olinadi;
• bunday funktsiyaning hosilasi toq;
• Agar siz toq funktsiyani kvadratga aylantirsangiz, siz juftlikni olasiz.

Tenglamalarni yechish uchun funksiya paritetidan foydalanish mumkin.

Tenglamaning chap tomoni juft funktsiya bo'lgan g (x) = 0 kabi tenglamani yechish uchun o'zgaruvchining manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun uning echimlarini topish etarli bo'ladi. Tenglamaning hosil bo'lgan ildizlari qarama-qarshi sonlar bilan birlashtirilishi kerak. Ulardan biri tekshirilishi kerak.

Bu parametr bilan nostandart muammolarni hal qilish uchun ham muvaffaqiyatli qo'llaniladi.

Masalan, 2x^6-x^4-ax^2=1 tenglama uchta ildizga ega bo'ladigan a parametrining qiymati bormi?

Agar o‘zgaruvchi tenglamaga juft darajalarda kirishini hisobga olsak, u holda x o‘rnini - x bilan almashtirish berilgan tenglamani o‘zgartirmasligi aniq. Bundan kelib chiqadiki, agar ma'lum bir son uning ildizi bo'lsa, qarama-qarshi son ham ildizdir. Xulosa ravshan: noldan farq qiladigan tenglamaning ildizlari uning yechimlari to'plamiga "juft bo'lib" kiritilgan.

Raqamning o'zi 0 emasligi aniq, ya'ni bunday tenglamaning ildizlari soni faqat juft bo'lishi mumkin va tabiiyki, parametrning har qanday qiymati uchun uning uchta ildizi bo'lishi mumkin emas.

Lekin 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 tenglamaning ildizlari soni toq boʻlishi mumkin va parametrning istalgan qiymati uchun. Darhaqiqat, berilgan tenglamaning ildizlari to'plamida "juftlik" echimlari mavjudligini tekshirish oson. Keling, 0 ning ildiz ekanligini tekshiramiz. Uni tenglamaga almashtirsak, 2=2 ni olamiz. Shunday qilib, "juftlangan"lardan tashqari, 0 ham ildiz bo'lib, ularning toq sonini tasdiqlaydi.

Buning uchun grafik qog'oz yoki grafik kalkulyatordan foydalaning. Mustaqil o'zgaruvchan qiymatlarning istalgan sonini tanlang x (\displaystyle x) va qaram o'zgaruvchining qiymatlarini hisoblash uchun ularni funktsiyaga ulang y (\displaystyle y). Nuqtalarning topilgan koordinatalarini koordinata tekisligida chizing, so‘ngra bu nuqtalarni bog‘lab, funksiya grafigini tuzing.

• Funktsiyaga ijobiy raqamli qiymatlarni qo'ying x (\displaystyle x) va mos keladigan salbiy raqamli qiymatlar. Masalan, funksiya berilgan. Unga quyidagi qiymatlarni almashtiring x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Biz koordinatalar bilan nuqta oldik (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Biz koordinatalar bilan nuqta oldik (− 1 , 3) ​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Biz koordinatalar bilan nuqta oldik (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Funktsiya grafigi Y o'qiga nisbatan simmetrik ekanligini tekshiring. Simmetriya deganda ordinataga nisbatan grafikning oyna tasviri tushuniladi. Agar grafikning Y o'qining o'ng tomonidagi qismi (mustaqil o'zgaruvchining ijobiy qiymatlari) Y o'qining chap tomonidagi grafik qismi bilan bir xil bo'lsa (mustaqil o'zgaruvchining salbiy qiymatlari) ), grafik Y o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa, funktsiya y o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa, funktsiya juft bo'ladi.

• Grafikning simmetriyasini alohida nuqtalar yordamida tekshirishingiz mumkin. Agar qiymat bo'lsa y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), qiymatga mos keladi y (\displaystyle y), bu qiymatga mos keladi − x (\displaystyle -x), funksiya juft. Bizning misolimizda funktsiya bilan f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) Biz nuqtalarning quyidagi koordinatalarini oldik:
  • (1,3) va (-1,3)
  • (2.9) va (-2.9)
• E'tibor bering, x=1 va x=-1 uchun bog'liq o'zgaruvchi y=3, x=2 va x=-2 uchun esa y=9 bo'ladi. Shunday qilib, funktsiya juft bo'ladi. Aslida, funktsiya shaklini to'g'ri aniqlash uchun siz ikkitadan ko'proq nuqtani ko'rib chiqishingiz kerak, ammo tavsiflangan usul yaxshi yaqinlikdir.

Funksiya grafigining koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekanligini tekshiring. Koordinatalari (0,0) bo'lgan nuqta boshlanish nuqtasidir. Kelib chiqishi bo'yicha simmetriya ijobiy qiymatni anglatadi y (\displaystyle y)(musbat qiymat bilan x (\displaystyle x)) manfiy qiymatga mos keladi y (\displaystyle y)(salbiy qiymat bilan x (\displaystyle x)), va teskari. Toq funksiyalar kelib chiqishiga nisbatan simmetriyaga ega.

• Funktsiyaga bir nechta ijobiy va mos keladigan salbiy qiymatlarni almashtirsangiz x (\displaystyle x), qiymatlar y (\displaystyle y) belgisi bilan farqlanadi. Masalan, funksiya berilgan f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Unga bir nechta qiymatlarni almashtiring x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Biz koordinatali nuqtani oldik (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Biz (-2,-10) koordinatali nuqta oldik.
• Shunday qilib, f(x) = -f(-x), ya'ni funksiya toq.

Funktsiya grafigida simmetriya borligini tekshiring. Funktsiyaning oxirgi turi - grafigi simmetriyaga ega bo'lmagan funksiya, ya'ni ordinata o'qiga nisbatan ham, koordinata o'qiga nisbatan ham oyna tasviri mavjud emas. Masalan, funksiya berilgan.

• Funktsiyaga bir nechta ijobiy va mos keladigan salbiy qiymatlarni almashtiring x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Biz koordinatali nuqtani oldik (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Biz koordinatali nuqtani oldik (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Biz koordinatali nuqtani oldik (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Biz koordinatali nuqtani oldik (2,-2).
• Olingan natijalarga ko'ra, simmetriya yo'q. Qiymatlar y (\displaystyle y) qarama-qarshi qiymatlar uchun x (\displaystyle x) mos kelmaydi va qarama-qarshi emas. Shunday qilib, funktsiya juft ham, toq ham emas.
• Funktsiyaga e'tibor bering f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) shunday yozilishi mumkin: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Bu shaklda yozilsa, funktsiya juft ko'rsatkich bo'lganligi uchun ham paydo bo'ladi. Ammo bu misol, agar mustaqil o'zgaruvchi qavs ichiga olingan bo'lsa, funksiya turini tezda aniqlab bo'lmasligini isbotlaydi. Bunday holda siz qavslarni ochishingiz va olingan ko'rsatkichlarni tahlil qilishingiz kerak.

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Maqsadlar:

• juft va toq funksiyalar tushunchasini shakllantirish, funksiyalarni o‘rganish va grafiklarni tuzishda ushbu xossalarni aniqlash va ulardan foydalanish qobiliyatini o‘rgatish;
• talabalarning ijodiy faolligini, mantiqiy fikrlashni, taqqoslash va umumlashtirish qobiliyatini rivojlantirish;
• mehnatsevarlik va matematik madaniyatni tarbiyalash; muloqot qobiliyatlarini rivojlantirish .

Uskunalar: multimedia o`rnatish, interfaol doska, tarqatma materiallar.

Ish shakllari: qidiruv va tadqiqot faoliyati elementlari bilan frontal va guruh.

Axborot manbalari:

1. Algebra 9-sinf A.G.Mordkovich. Darslik.
2. Algebra 9-sinf A.G.Mordkovich. Muammoli kitob.
3. Algebra 9-sinf. Talabalarni o'rganish va rivojlantirish bo'yicha vazifalar. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

Dars uchun maqsad va vazifalarni belgilash.

2. Uy vazifasini tekshirish

10.17-son (9-sinf muammoli kitob. A.G. Mordkovich).

A) da = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 da X ~ 0,4
4. f(X) >0 da X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsiya qachon ortadi X € [– 2; + ∞)
6. Funktsiya pastdan cheklangan.
7. da naim = – 3, da naib mavjud emas
8. Funksiya uzluksiz.

(Funktsiyani o'rganish algoritmidan foydalanganmisiz?) Slayd.

2. Slayddan so'ralgan jadvalni tekshiramiz.

Jadvalni to'ldiring
	Domen	Funktsiya nollari	Belgilarning doimiyligi intervallari		Grafikning Oy bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilimlarni yangilash

- Funktsiyalar berilgan.
– Har bir funksiya uchun taʼrif doirasini belgilang.
– Har bir argument qiymatlari juftligi uchun har bir funktsiya qiymatini solishtiring: 1 va – 1; 2 va - 2.
– Ta’rif sohasida ushbu funksiyalarning qaysi biri uchun tenglik mavjud f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (olingan ma'lumotlarni jadvalga kiriting) Slayd

		f(1) va f(– 1)	f(2) va f(– 2)	grafiklar	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		va aniqlanmagan

4. Yangi material

- Amalga oshirish bu ish, bolalar, biz funksiyaning siz uchun notanish bo'lgan yana bir xususiyatini aniqladik, lekin boshqalardan kam emas - bu funktsiyaning to'g'riligi va to'qlikligi. Dars mavzusini yozing: "Juft va toq funktsiyalar", bizning vazifamiz funktsiyaning juft va toqligini aniqlashni o'rganish, bu xususiyatning funktsiyalarni o'rganish va grafiklarini tuzishdagi ahamiyatini aniqlashdir.
Demak, darslikdagi ta’riflarni topib, o‘qib chiqamiz (110-bet). . Slayd

Def. 1 Funktsiya da = f (X), X to'plamda aniqlangan deyiladi hatto, har qanday qiymat uchun XÊ X bajariladi f(–x)= f(x) tengligi. Misollar keltiring.

Def. 2 Funktsiya y = f(x), X to'plamda aniqlangan deb ataladi g'alati, har qanday qiymat uchun XÊ X f(–x)= –f(x) tengligi bajariladi. Misollar keltiring.

Biz “juft” va “toq” atamalarini qayerda uchratdik?
Sizningcha, bu funksiyalarning qaysi biri teng bo'ladi? Nega? Qaysi biri g'alati? Nega?
Shaklning har qanday funktsiyasi uchun da= x n, Qayerda n– butun son, bu funksiya qachon toq ekanligi haqida bahslashish mumkin n– toq va funksiya qachon juft bo‘ladi n- hatto.
- Funktsiyalarni ko'rish da= va da = 2X– 3 juft ham, toq ham emas, chunki tengliklari qondirilmaydi f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Funksiyaning juft yoki toq ekanligini oʻrganish funksiyani paritet uchun oʻrganish deyiladi. Slayd

1 va 2 ta'riflarda biz funktsiyaning x va - x qiymatlari haqida gapirgan edik, shuning uchun funktsiya qiymatda ham aniqlangan deb taxmin qilinadi. X, va da - X.

Def 3. Agar raqamli to‘plam o‘zining har bir elementi x bilan birga qarama-qarshi element –xni ham o‘z ichiga olsa, u holda to‘plam bo‘ladi. X simmetrik to'plam deb ataladi.

Misollar:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simmetrik toʻplamlar, , [–5;4] esa assimetrik toʻplamlardir.

– U hatto funktsiyalar ta'rif sohasi simmetrik to'plammi? G'alatilarmi?
– Agar D( f) assimetrik to‘plam bo‘lsa, u holda funksiya nima?
– Shunday qilib, agar funktsiya da = f(X) – juft yoki toq, u holda uning aniqlanish sohasi D( f) simmetrik to‘plamdir. Qarama-qarshi gap to'g'rimi: agar funktsiyaning aniqlanish sohasi simmetrik to'plam bo'lsa, u juft yoki toqmi?
- Bu shuni anglatadiki, ta'rif sohasining nosimmetrik to'plamining mavjudligi zaruriy shart, ammo etarli emas.
– Xo‘sh, funksiyani paritet uchun qanday tekshirasiz? Keling, algoritm yaratishga harakat qilaylik.

Slayd

Paritet uchun funktsiyani o'rganish algoritmi

1. Funksiyaning aniqlanish sohasi simmetrik ekanligini aniqlang. Agar yo'q bo'lsa, u holda funktsiya juft ham, toq ham emas. Ha bo'lsa, algoritmning 2-bosqichiga o'ting.

2. uchun ifoda yozing f(–X).

3. Taqqoslash f(–X).Va f(X):

• Agar f(–X).= f(X), u holda funksiya juft bo'ladi;
• Agar f(–X).= – f(X), u holda funksiya toq bo'ladi;
• Agar f(–X) ≠ f(X) Va f(–X) ≠ –f(X), u holda funksiya juft ham, toq ham emas.

Misollar:

a) funksiyani paritet uchun tekshiring da= x 5 +; b) da= ; V) da= .

Yechim.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik toʻplam.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funksiya h(x)= x 5 + toq.

b) y =,

da = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), assimetrik toʻplam, yaʼni funksiya na juft, na toq.

V) f(X) =, y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Variant 2

1. Berilgan to‘plam simmetrikmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Funksiyani paritet uchun tekshiring:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Rasmda. grafik tuzilgan da = f(X), Barcha uchun X, shartni qondirish X? 0.
Funktsiyaning grafigini chizing da = f(X), Agar da = f(X) juft funksiyadir.

3. Rasmda. grafik tuzilgan da = f(X), x shartni qanoatlantiradigan barcha x uchun? 0.
Funktsiyaning grafigini chizing da = f(X), Agar da = f(X) g'alati funktsiyadir.

O'zaro tekshirish slayd.

6. Uy vazifasi: №11.11, 11.21,11.22;

Paritet xossasining geometrik ma’nosini isbotlash.

***(Yagona davlat imtihonini topshirish varianti).

1. y = f(x) toq funksiya butun sonlar qatorida aniqlangan. x o'zgaruvchining har qanday manfiy bo'lmagan qiymati uchun bu funktsiyaning qiymati g() funktsiyasining qiymatiga to'g'ri keladi. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyaning qiymatini toping. X) = da X = 3.

7. Xulosa qilish