Parametrik funksiyaning ikkinchi hosilasi onlayn. Parametrik aniqlangan funksiyalar

Parametrik usulda belgilangan funksiya hosilasi uchun formula. Ushbu formulani qo'llashning isboti va misollari. Birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarni hisoblash misollari.

Funktsiya parametrik tarzda belgilansin:
(1)
bu erda parametr deb ataladigan ba'zi o'zgaruvchilar. Va funksiyalar o'zgaruvchining ma'lum bir qiymatida hosilalarga ega bo'lsin.
(2)

Bundan tashqari, funktsiya nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida ham teskari funktsiyaga ega.
;
.

Keyin (1) funktsiya nuqtada hosilaga ega bo'lib, u parametrik shaklda formulalar bilan aniqlanadi:

Bu erda va funksiyalarning hosilalari va o'zgaruvchiga (parametrga) nisbatan.

Ko'pincha ular quyidagicha yoziladi:
.
Keyin (2) tizimni quyidagicha yozish mumkin:
.
Isbot
.

Shartga ko'ra, funktsiya teskari funktsiyaga ega. deb belgilaymiz

Keyin asl funktsiyani murakkab funktsiya sifatida ko'rsatish mumkin:

Murakkab va teskari funktsiyalarni farqlash qoidalaridan foydalanib, uning hosilasini topamiz:
.
Qoida isbotlangan.
.
Ikkinchi usulda isbotlash
.

Nuqtadagi funksiya hosilasining ta’rifiga asoslanib, ikkinchi usulda hosilani topamiz:
Keling, belgi bilan tanishamiz:
; ;
; .
Keyin oldingi formula quyidagi shaklni oladi:
.
Funktsiya nuqta qo'shnisida teskari funktsiyaga ega ekanligidan foydalanamiz.
.

Shartga ko'ra, funktsiya teskari funktsiyaga ega. deb belgilaymiz

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Kasrning soni va maxrajini quyidagicha ajrating:
(1)

, . Keyin
(2)

Yuqori tartibli hosilalar
.
Yuqori tartibli hosilalarni topish uchun bir necha marta differentsiatsiya qilish kerak. Aytaylik, parametrik aniqlangan funksiyaning quyidagi ko‘rinishdagi ikkinchi tartibli hosilasini topishimiz kerak:
(3)
(2) formuladan foydalanib, birinchi hosilani topamiz, u ham parametrik tarzda aniqlanadi:

Birinchi hosilani o‘zgaruvchi bilan belgilaymiz:
.
Keyin funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan ikkinchi hosilasini topish uchun funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan birinchi hosilasini topish kerak.
.

O'zgaruvchining o'zgaruvchiga bog'liqligi ham parametrik tarzda aniqlanadi:

U parametrik shaklda ham berilgan. E'tibor bering, birinchi qatorni quyidagicha yozish ham mumkin:
.

Jarayonni davom ettirib, siz uchinchi va undan yuqori tartibli o'zgaruvchilardan funksiyalarning hosilalarini olishingiz mumkin.

Esda tutingki, hosila uchun belgi kiritishimiz shart emas.
;
.

Siz buni shunday yozishingiz mumkin:

1-misol

Parametrik aniqlangan funksiyaning hosilasini toping:

Yechim
ga nisbatan hosilalarni topamiz.
;
.
Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:

.
Biz murojaat qilamiz:

.
Biz murojaat qilamiz:

Bu yerga .
.

Kerakli hosila:

Javob

2-misol

Parametrik aniqlangan funksiyaning hosilasini toping:

Parametr orqali ifodalangan funksiyaning hosilasini toping:
.

Qavslarni quvvat funktsiyalari va ildizlar uchun formulalar yordamida kengaytiramiz:

.

Hosilini topish:

.

Hosilini topish.
.

Kerakli hosila:

Buning uchun biz o'zgaruvchini kiritamiz va murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.

Biz kerakli hosilani topamiz:

Parametrik aniqlangan funksiyaning hosilasini toping:

3-misol

1-misolda parametrik aniqlangan funksiyaning ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarini toping:

1-misolda biz birinchi tartibli hosilani topdik:

Keling, belgi bilan tanishtiramiz.
.
U holda funksiya ga nisbatan hosila hisoblanadi.
.
U parametrik tarzda belgilanadi:
.

ga nisbatan ikkinchi hosilani topish uchun ga nisbatan birinchi hosilani topishimiz kerak.

bilan farqlaylik.

Biz 1-misolda hosilasini topdik:
.
ga nisbatan ikkinchi tartibli hosila quyidagilarga nisbatan birinchi tartibli hosilaga teng:

.

Shunday qilib, biz parametrik shaklga nisbatan ikkinchi tartibli hosilani topdik:
.

Endi biz uchinchi tartib hosilasini topamiz. Keling, belgi bilan tanishtiramiz.

Keyin parametrik usulda ko'rsatilgan funksiyaning birinchi tartibli hosilasini topishimiz kerak:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Kerakli hosila:

ga nisbatan hosila toping. Buning uchun biz uni ekvivalent shaklda qayta yozamiz::

Kimdan

ga nisbatan uchinchi tartibli hosila quyidagilarga nisbatan birinchi tartibli hosilaga teng:< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Izoh

Siz mos ravishda va ning hosilalari bo'lgan va o'zgaruvchilarni kiritishingiz shart emas. Keyin uni quyidagicha yozishingiz mumkin: Parametrik tasvirlashda ikkinchi tartibli hosila mavjud keyingi ko'rinish

Funksiyani o'rganish uchun x ga nisbatan hosilani izlash kerak bo'lgan holatlar mavjud. y x " = ps " (t) ph " (t) ko'rinishdagi parametrik aniqlangan funksiya hosilasi formulasini ko'rib chiqamiz, 2 va n tartibli hosila haqida gapiramiz.

Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi formulasini hosil qilish

Bizda t ∈ a uchun aniqlangan va differentsiallanadigan x = ph (t), y = ps (t) mavjud; b, bu erda x t " = ph " (t) ≠ 0 va x = ph (t), u holda t = D (x) ko'rinishdagi teskari funksiya mavjud.

Boshlash uchun siz parametrik vazifadan aniq vazifaga o'tishingiz kerak. Buning uchun y = ps (t) = ps (D (x)) ko'rinishdagi kompleks funktsiyani olish kerak, bu erda x argumenti mavjud.

Hosilni topish qoidasiga asoslanadi murakkab funktsiya, biz y " x = ps D (x) = ps " D x · D " x ekanligini olamiz.

Bu t = D (x) va x = ph (t) formuladan teskari funksiyalar ekanligini ko'rsatadi. teskari funktsiya D "(x) = 1 ph " (t) , keyin y " x = ps " D (x) · D " (x) = ps " (t) ph " (t) .

Keling, differentsiallash qoidasiga ko'ra hosilalar jadvali yordamida bir nechta misollarni yechishga o'tamiz.

1-misol

x = t 2 + 1 y = t funksiyaning hosilasini toping.

Yechim

Shart bo'yicha bizda ph (t) = t 2 + 1, ps (t) = t, bu erdan biz ph " (t) = t 2 + 1 ", ps " (t) = t " = 1 ni olamiz. Olingan formuladan foydalanish va javobni quyidagi shaklda yozish kerak:

y " x = ps " (t) ph " (t) = 1 2 t

Javob: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1.

h funktsiyasining hosilasi bilan ishlaganda, t parametri hosila qiymatlari va parametrik aniqlangan funktsiya o'rtasidagi bog'liqlikni yo'qotmaslik uchun x argumentining bir xil t parametri orqali ifodasini belgilaydi. qaysi qiymatlar mos keladi.

Parametrli berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini aniqlash uchun hosil boʻlgan funksiya boʻyicha birinchi tartibli hosila formulasidan foydalanish kerak, shundan keyin biz shuni olamiz.

y "" x = ps " (t) ph " (t) " ph " (t) = ps "" (t) ph " (t) - ps " (t) ph "" (t) ph " ( t) 2 ph " (t) = ps "" (t) · ph " (t) - ps " (t) · ph "" (t) ph " (t) 3 .

2-misol

Berilgan x = cos (2 t) y = t 2 funksiyaning 2 va 2-tartibli hosilalarini toping.

Yechim

Shart bo'yicha biz ph (t) = cos (2 t) , ps (t) = t 2 ekanligini olamiz.

Keyin transformatsiyadan keyin

ph " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ps (t) = t 2 " = 2 t

Bundan kelib chiqadiki, y x " = ps " (t) ph " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

1-tartibli hosilaning shakli x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) ekanligini olamiz.

Yechish uchun siz ikkinchi tartibli hosila formulasini qo'llashingiz kerak. Biz shaklning ifodasini olamiz

y x "" = - t sin (2 t) ph " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 gunoh (2 t) = = 1 gunoh (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Keyin parametrik funksiya yordamida 2-tartibli hosilani ko'rsatish

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Shunga o'xshash yechim boshqa usul yordamida hal qilinishi mumkin. Keyin

ph " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ ph "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2) t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ps " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ps "" (t) = ( 2 t) " = 2

Bu erdan biz buni olamiz

y "" x = ps "" (t) ph " (t) - ps " (t) ph "" (t) ph " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos) (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Javob: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Parametrik aniqlangan funksiyalarga ega yuqori tartibli hosilalar ham xuddi shunday tarzda topiladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Keling, ta'kidlamaylik, bu paragrafda hamma narsa juda oddiy. Siz yozib olishingiz mumkin umumiy formula parametrik ravishda belgilangan funktsiya, lekin buni aniq qilish uchun men darhol yozaman aniq misol. Parametrik shaklda funksiya ikkita tenglama bilan beriladi: . Ko'pincha tenglamalar jingalak qavslar ostida emas, balki ketma-ket yoziladi: , .

O'zgaruvchi parametr deb ataladi va "minus cheksizlik" dan "ortiqcha cheksizlik" gacha qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan, qiymatni ko'rib chiqing va uni ikkala tenglamaga almashtiring: . Yoki insoniy so'z bilan aytganda: "agar x to'rtga teng bo'lsa, u holda y birga teng." Koordinata tekisligida nuqtani belgilashingiz mumkin va bu nuqta parametr qiymatiga mos keladi. Xuddi shunday, siz "te" parametrining istalgan qiymati uchun nuqta topishingiz mumkin. "Oddiy" funktsiyaga kelsak, parametrik aniqlangan funktsiyaning amerikalik hindulari uchun barcha huquqlar ham hurmat qilinadi: siz grafik yaratishingiz, lotinlarni topishingiz va hokazo. Aytgancha, agar siz parametrik belgilangan funktsiyaning grafigini chizishingiz kerak bo'lsa, mening geometrik dasturimni sahifadan yuklab oling. Matematik formulalar va jadvallar.

Eng oddiy hollarda funksiyani aniq ifodalash mumkin. Birinchi tenglamadagi parametrni ifodalaymiz: – va uni ikkinchi tenglamaga almashtiring: . Natijada oddiy kub funksiyasi paydo bo'ladi.

Keyinchalik "og'ir" holatlarda bu hiyla ishlamaydi. Ammo bu muhim emas, chunki parametrik funktsiyaning hosilasini topish uchun formula mavjud:

Biz "te o'zgaruvchisiga nisbatan o'yin" ning hosilasini topamiz:

Barcha farqlash qoidalari va hosilalar jadvali, tabiiyki, harf uchun amal qiladi, shuning uchun, hosilalarni topish jarayonida yangilik yo'q. Jadvaldagi barcha "X" larni "Te" harfi bilan almashtiring.

Te o‘zgaruvchisiga nisbatan “x” ning hosilasini topamiz:

Endi topilgan hosilalarni formulamizga almashtirish qoladi:

Tayyor. Hosil, funksiyaning o'zi kabi, parametrga ham bog'liq.

Belgilanishga kelsak, uni formulada yozish o'rniga, uni pastki belgisiz yozish mumkin, chunki bu "X ga nisbatan" "odatiy" hosiladir. Ammo adabiyotda har doim variant bor, shuning uchun men standartdan chetga chiqmayman.

6-misol

Biz formuladan foydalanamiz

IN Ushbu holatda:

Shunday qilib:

Parametrik funktsiyaning hosilasini topishning o'ziga xos xususiyati shundaki har bir qadamda natijani iloji boricha soddalashtirish foydalidir. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan misolda, men uni topganimda, ildiz ostidagi qavslarni ochdim (garchi men buni qilmagan bo'lsam ham). Formulaga almashtirilganda, ko'p narsalar yaxshi qisqarishi uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi, shubhasiz, noqulay javoblar bilan misollar mavjud.

7-misol

Parametrik belgilangan funksiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Maqolada Protozoa tipik vazifalar hosila bilan biz funksiyaning ikkinchi hosilasini topishimiz kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqdik. Parametrli aniqlangan funksiya uchun ikkinchi hosilani ham topishingiz mumkin va u quyidagi formula yordamida topiladi: . Ko'rinib turibdiki, ikkinchi hosilani topish uchun birinchi hosilani topish kerak.

8-misol

Parametrik berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalarini toping

Birinchidan, birinchi hosilani topamiz.
Biz formuladan foydalanamiz

Ushbu holatda:

Topilgan hosilalarni formulaga almashtiradi. Soddalashtirish uchun biz trigonometrik formuladan foydalanamiz:

Men parametrik funktsiyaning hosilasini topish masalasida ko'pincha soddalashtirish uchun foydalanish kerakligini payqadim. trigonometrik formulalar . Ularni eslab qoling yoki qo'lingizda saqlang va har bir oraliq natija va javoblarni soddalashtirish imkoniyatini boy bermang. Nima uchun? Endi biz ning hosilasini olishimiz kerak va bu ning hosilasini topishdan ko'ra aniqroqdir.

Keling, ikkinchi hosilani topamiz.
Biz formuladan foydalanamiz: .

Keling, formulamizni ko'rib chiqaylik. Maxraj oldingi bosqichda allaqachon topilgan. Numeratorni topish qoladi - "te" o'zgaruvchisiga nisbatan birinchi hosilaning hosilasi:

Formuladan foydalanish qoladi:

Materialni mustahkamlash uchun men sizga o'zingiz hal qilishingiz uchun yana bir nechta misollarni taklif qilaman.

9-misol

10-misol

Parametrik belgilangan funksiya uchun va toping

Sizga muvaffaqiyatlar tilayman!

Umid qilamanki, bu dars foydali bo'ldi va endi siz aniq va parametrik funktsiyalardan ko'rsatilgan funktsiyalarning hosilalarini osongina topishingiz mumkin.

Yechimlar va javoblar:

3-misol: Yechim:






Shunday qilib:

X, y o'zgaruvchilari uchinchi o'zgaruvchining t (parametr deb ataladi) funktsiyalari bo'lgan tekislikda chiziqni belgilashni ko'rib chiqaylik:

Har bir qiymat uchun t ma'lum bir oraliqdan ma'lum qiymatlar mos keladi x Va y, a, shuning uchun tekislikning ma'lum bir M (x, y) nuqtasi. Qachon t berilgan oraliqdagi barcha qiymatlar, keyin nuqta orqali ishlaydi M (x, y) qandaydir qatorni tasvirlaydi L. (2.2) tenglamalar parametrik chiziqli tenglamalar deyiladi L.

Agar x = ph(t) funksiya teskari t = F(x) bo‘lsa, bu ifodani y = g(t) tenglamaga almashtirib, y = g(F(x)) ni olamiz, bu y funktsiyasi sifatida x. Bunda (2.2) tenglamalar funksiyani aniqlaydi, deymiz y parametrik.

1-misol. Mayli M(x,y)– radiusli aylanadagi ixtiyoriy nuqta R va kelib chiqishida markazlashgan. Mayli t- eksa orasidagi burchak ho'kiz va radius OM(2.3-rasmga qarang). Keyin x, y orqali ifodalanadi t:

(2.3) tenglamalar aylananing parametrik tenglamalaridir. (2.3) tenglamalardan t parametrini chiqarib tashlaylik. Buning uchun har bir tenglamani kvadratga aylantiramiz va uni qo'shamiz, biz quyidagilarga ega bo'lamiz: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) yoki x 2 + y 2 = R 2 - aylana tenglamasi Dekart koordinata tizimi. U ikkita funktsiyani belgilaydi: Bu funktsiyalarning har biri parametrik tenglamalar bilan berilgan (2.3), lekin birinchi funktsiya uchun va ikkinchisi uchun.

2-misol. Parametrik tenglamalar

yarim o'qli ellipsni aniqlang a, b(2.4-rasm). Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, biz ellipsning kanonik tenglamasini olamiz:

3-misol. Tsikloid - aylana ustida yotgan nuqta bilan tasvirlangan chiziq, agar bu doira to'g'ri chiziq bo'ylab sirg'anmasdan aylansa (2.5-rasm). Keling, sikloidning parametrik tenglamalarini kiritamiz. Aylanma aylana radiusi shunday bo'lsin a, nuqta M, sikloidni tasvirlab, harakatning boshida koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri keldi.

Keling, koordinatalarni aniqlaymiz x, y ball M aylana burchak orqali aylangandan keyin t
(2.5-rasm), t = ÐMCB. Ark uzunligi M.B. segment uzunligiga teng O.B. chunki aylana sirg'alib ketmasdan aylanadi, shuning uchun

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – xarajat).

Shunday qilib, sikloidning parametrik tenglamalari olinadi:

Parametrni o'zgartirganda t 0 dan 2p aylana bir aylanishni aylantiradi va nuqta M sikloidning bir yoyini tasvirlaydi. (2.5) tenglamalar beriladi y funktsiyasi sifatida x. Funktsiyaga qaramay x = a (t - sint) teskari funksiyaga ega, lekin u bilan ifodalanmaydi elementar funktsiyalar, shuning uchun funktsiya y = f(x) elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi.

(2.2) tenglamalar orqali parametrik aniqlangan funksiyani differentsiallashni ko'rib chiqamiz. Muayyan t o'zgarish oralig'idagi x = ph(t) funksiya teskari funktsiyaga ega t = F(x), Keyin y = g(F(x)). Mayli x = ph(t), y = g (t) hosilalari bor va x"t≠0. Murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasiga ko'ra y"x=y"t×t"x. Teskari funktsiyani farqlash qoidasiga asoslanib, shuning uchun:

Olingan formula (2.6) parametrik ko'rsatilgan funksiya uchun hosilani topish imkonini beradi.

4-misol. Funktsiya bo'lsin y, bog'liq holda x, parametrik tarzda belgilanadi:

Yechim. .
5-misol. Nishabni toping k parametr qiymatiga mos keladigan M 0 nuqtada sikloidga teginish.
Yechim. Sikloid tenglamalardan: y" t = asint, x" t = a(1 – xarajat), Shunung uchun

Nishab omili bir nuqtada teginish M0 da qiymatiga teng t 0 = p/4:

DIFFERENTSIAL FUNKSIYA

Funktsiya nuqtada bo'lsin x 0 hosilasi bor. Ta'rifi bo'yicha:
shuning uchun chegaraning xususiyatlariga ko'ra (1.8-bo'lim), bu erda a– cheksiz kichik da Dx → 0. Bu yerdan

Dy = f "(x0)Dx + a×Dx. (2.7)

Dx → 0 bo'lgani uchun (2.7) tenglikning ikkinchi hadi yuqori tartibli cheksiz kichikdir. , shuning uchun Dy va f " (x 0)×Dx ekvivalent, cheksiz kichikdir (f "(x 0) ≠ 0 uchun).

Shunday qilib, Dy funktsiyaning o'sishi ikkita haddan iborat bo'lib, ulardan birinchi f "(x 0)×Dx asosiy qismi o'sish Dy, Dx ga nisbatan chiziqli (f "(x 0)≠ 0 uchun).

Differensial x 0 nuqtadagi f(x) funksiya chaqiriladi asosiy qismi funktsiyaning o'sishi va quyidagi bilan belgilanadi: dy yoki df(x0). Demak,

df (x0) =f "(x0)×Dx. (2.8)

1-misol. Funksiyaning differentsialini toping dy va y = x 2 funksiya uchun Dy funktsiyaning o'sishi:
1) o'zboshimchalik bilan x va D x; 2) x 0 = 20, Dx = 0,1.

Yechim

1) Dy = (x + Dx) 2 – x 2 = x 2 + 2xDx + (Dx) 2 – x 2 = 2xDx + (Dx) 2, dy = 2xDx.

2) Agar x 0 = 20, Dx = 0,1 bo'lsa, Dy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

(2.7) tenglikni quyidagicha yozamiz:

Dy = dy + a×Dx. (2.9)

Dy ortishi differensialdan farq qiladi dy Dx bilan solishtirganda yuqori tartibli cheksiz kichikga, shuning uchun taxminiy hisob-kitoblarda Dx etarlicha kichik bo'lsa, taxminiy tenglik Dy ≈ dy ishlatiladi.

Dy = f(x 0 + Dx) – f(x 0) ekanligini hisobga olib, taxminiy formulani olamiz:

f(x 0 + Dx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

2-misol. Taxminan hisoblang.

Yechim. Ko'rib chiqing:

(2.10) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, ≈ 2,025.

Keling, ko'rib chiqaylik geometrik ma'no differensial df(x 0)(2.6-rasm).

y = f(x) funksiya grafigiga M 0 (x0, f(x 0)) nuqtada tangens chizamiz, ph tangensi KM0 va Ox o‘qi orasidagi burchak bo‘lsin, keyin f"() x 0) = tanph DM0NP dan:
PN = tgph×Dx = f "(x 0)×Dx = df(x 0). Lekin PN - x 0 dan x 0 + Dx ga o'zgarganda tangens ordinataning o'sishi.

Binobarin, f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi differensiali tangens ordinatasining oshib borishiga teng.

Funktsiyaning differentsialini topamiz
y = x. (x)" = 1 bo'lgani uchun, u holda dx = 1×Dx = Dx bo'ladi. X mustaqil o'zgaruvchining differensiali uning o'sishiga teng deb faraz qilamiz, ya'ni dx = Dx.

Agar x ixtiyoriy son bo'lsa, u holda (2.8) tenglikdan df(x) = f "(x)dx ni olamiz, bu erdan .
Shunday qilib, y = f(x) funksiya uchun hosila uning differentsialining argument differensialiga nisbatiga teng.

Funktsiya differensialining xossalarini ko'rib chiqamiz.

Agar u(x), v(x) differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, quyidagi formulalar to‘g‘ri bo‘ladi:

Ushbu formulalarni isbotlash uchun funktsiyaning yig'indisi, mahsuloti va qismi uchun hosila formulalari qo'llaniladi. Masalan, (2.12) formulani isbotlaymiz:

d(u×v) = (u×v)"Dx = (u×v" + u"×v)Dx = u×v"Dx + u"Dx×v = u×dv + v×du.

Kompleks funktsiyaning differentsialini ko'rib chiqaylik: y = f(x), x = ph(t), ya'ni. y = f(ph(t)).

Keyin dy = y" t dt, lekin y" t = y" x ×x" t, shuning uchun dy =y" x x" t dt. hisobga olib,

bu x" t = dx, biz dy = y" x dx =f "(x)dx ni olamiz.

Shunday qilib, y = f(x) kompleks funksiyaning differensiali, bunda x =ph(t) dy = f "(x)dx ko'rinishga ega bo'ladi, xuddi x mustaqil o'zgaruvchi bo'lgan holatdagi kabi. Bu xususiyat deyiladi differentsial shaklining o'zgarmasligi A.