Kasrlarni onlayn kuchga oshirish. Kasrni kuchga ko'tarish

Kasr sonning maxrajga nisbati bo'lib, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak va hisoblagich har qanday bo'lishi mumkin.

Har qanday kasrni ixtiyoriy darajaga ko'targanda, biz kasrning sonini va maxrajini ushbu darajaga alohida ko'tarishimiz kerak, shundan so'ng biz bu darajalarni sanashimiz va shu bilan darajaga ko'tarilgan kasrni olishimiz kerak.

Masalan:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) · (2 /3) · (2 /3) = 2^3/3^3

Salbiy daraja

Agar biz salbiy daraja bilan shug'ullanadigan bo'lsak, unda biz birinchi navbatda "Kasrni teskari" qilishimiz kerak va shundan keyingina uni yuqorida yozilgan qoidaga muvofiq darajaga ko'tarishimiz kerak.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Harf darajasi

“X” va “y” kabi harfiy qiymatlar bilan ishlashda eksponentsiya avvalgidek bir xil qoidaga amal qiladi.

Shuningdek, biz ½ kasrni 3-darajali darajaga ko'tarish orqali o'zimizni sinab ko'rishimiz mumkin, buning natijasida biz ½ * ½ * ½ = 1/8 ni olamiz, bu aslida bir xil.

Harf koʻrsatkichi x^y

Kasrlarni darajalari bilan ko'paytirish va bo'lish

Agar biz bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirsak, unda bazaning o'zi bir xil bo'lib qoladi va biz ko'rsatkichlarni qo'shamiz. Agar biz darajalarni baham ko'rsak xuddi shu asoslarda, u holda daraja asosi ham bir xil bo'lib qoladi va darajalar ayiriladi.

Buni misol bilan juda oson ko'rsatish mumkin:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Agar biz maxraj va ayiruvchini alohida-alohida 3 va 4 ning darajasiga ko'tarsak, xuddi shu narsani olishimiz mumkin.

Kuchli kasrni boshqa kuchga ko'tarish

Bir darajali kasrni yana bir darajaga ko'targanda, biz avval ichki darajani ko'rsatishimiz kerak, keyin esa darajaning tashqi qismiga o'tishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz bu kuchlarni oddiygina ko'paytirishimiz va kasrni hosil bo'lgan kuchga ko'tarishimiz mumkin.

Masalan:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Birga ko'tarilgan, kvadrat ildiz

Shuni ham unutmasligimiz kerakki, har qanday kasrni nol darajaga ko'tarish bizga 1 ni beradi, xuddi boshqa raqamlar singari, nolga teng darajaga ko'tarilganda biz 1 ni olamiz.

Oddiy kvadrat ildizni kasrning kuchi sifatida ham ifodalash mumkin

Kvadrat ildiz 3 = 3^(1/2)

Agar biz kasr joylashgan kvadrat ildiz bilan ishlayotgan bo'lsak, unda biz bu kasrni hisoblagichida 2-darajali kvadrat ildiz bo'lishini tasavvur qilishimiz mumkin (chunki u kvadrat ildizdir)

Va maxraj kvadrat ildizni ham o'z ichiga oladi, ya'ni. boshqacha qilib aytganda, biz ikkita ildizning munosabatini ko'ramiz, bu ba'zi muammolar va misollarni hal qilish uchun foydali bo'lishi mumkin.

Kvadrat ildiz ostidagi kasrni ikkinchi darajaga ko'tarsak, xuddi shu kasrni olamiz.

Xuddi shu kuch ostidagi ikkita kasrning mahsuloti ushbu ikki kasrning ko'paytmasiga teng bo'ladi, ularning har biri alohida o'z kuchi ostida bo'ladi.

Esingizda bo'lsin: siz nolga bo'linmaysiz!

Bundan tashqari, kasr uchun juda muhim eslatma haqida unutmang, masalan, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak. Kelajakda ko'plab tenglamalarda biz ODZ deb nomlangan ushbu cheklovdan foydalanamiz - ruxsat etilgan qiymatlar oralig'i

Bir xil asosga ega, ammo kuchlari har xil bo'lgan ikkita kasrni solishtirganda, qanchalik katta bo'lsa, kuchi kattaroq bo'ladi va kichikroq bo'lsa, faqat asoslar emas, balki kuchlar ham teng bo'lsa; kasr bir xil deb hisoblanadi.

Mavzu, biz teng kasrlarni ko'paytirishimiz kerakligi bilan bog'liq. Ushbu maqola sizga algebraik kasrlarni tabiiy kuchga to'g'ri ko'tarish uchun qanday qoidadan foydalanish kerakligini aytib beradi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebraik kasrni darajaga ko`tarish qoidasi, uning isboti

Quvvatni ko'tarishni boshlashdan oldin, tabiiy ko'rsatkichli kuch haqidagi maqola yordamida bilimingizni chuqurlashtirishingiz kerak, bu erda kuchning negizida bir xil omillar mahsuloti mavjud va ularning soni aniqlanadi. ko'rsatkich bo'yicha. Masalan, 2 3 = 2 2 2 = 8 soni.

Quvvatni ko'tarishda biz ko'pincha qoidadan foydalanamiz. Buning uchun pay va maxrajni alohida darajaga ko'taring. Keling, 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 misolini ko'rib chiqaylik. Qoida kasrni tabiiy kuchga ko'tarish uchun qo'llaniladi.

Da algebraik kasrni tabiiy kuchga ko'tarish biz yangisini olamiz, bu erda hisoblagich asl kasrning kuchiga ega, maxraj esa maxrajning kuchiga ega. Bularning barchasi a b n = a n b n ga o'xshaydi, bu erda a va b ixtiyoriy ko'phadlar, b nolga teng emas va n natural sondir.

Isbot ushbu qoidadan tabiiy ko'rsatkichli ta'rifning o'ziga asoslanib, darajaga ko'tarilishi kerak bo'lgan kasr sifatida yoziladi. Keyin a b n = a b · a b · ko'rinishdagi kasrlarni ko'paytirishni olamiz. . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Misollar, yechimlar

Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasi ketma-ket bajariladi: birinchi navbatda hisob, keyin maxraj. Numerator va maxrajda ko'phad mavjud bo'lganda, vazifaning o'zi berilgan ko'phadni bir darajaga ko'tarishga qisqartiriladi. Shundan so'ng, asl qismga teng bo'lgan yangi kasr ko'rsatiladi.

1-misol

X 2 3 · y · z 3 kasrni kvadratga aylantiring.

Yechim

X 2 3 · y · z 3 2 darajasini tuzatish kerak. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasidan foydalanib, x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 ko'rinishdagi tenglikni olamiz. Endi hosil bo'lgan kasrni darajaga ko'tarib algebraik shaklga o'tkazish kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Eksponentsiyaning barcha holatlari batafsil tushuntirishni talab qilmaydi, shuning uchun yechimning o'zi qisqacha belgiga ega. Ya'ni, biz buni tushunamiz

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Javob: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6.

Agar pay va maxrajda ko'phadlar bo'lsa, unda butun kasrni bir darajaga ko'tarish kerak, keyin uni soddalashtirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish kerak.

2-misol

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y kasrni kvadratga aylantiring.

Yechim

Qoidaga ko'ra, bizda shunday

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Ifodani o'zgartirish uchun siz maxrajdagi uchta haddan iborat yig'indining kvadrati formulasidan va hisoblagichda - ayirma kvadratidan foydalanishingiz kerak, bu ifodani soddalashtiradi. Biz olamiz:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Javob: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

E'tibor bering, biz tabiiy kuchga keltira olmaydigan kasrni ko'tarsak, biz kamaytirilmaydigan kasrni ham olamiz. Bu keyinchalik hal qilishni osonlashtirmaydi. Berilgan kasrni kamaytirish mumkin bo'lganda, u holda darajaga ko'tarilganda, biz bir darajaga ko'tarilgandan keyin kamaytirishni amalga oshirmaslik uchun algebraik kasrni kamaytirishni amalga oshirish kerakligini aniqlaymiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Dars kasrlarni ko'paytirishning yanada umumlashtirilgan versiyasini ko'rib chiqadi - kuchga ko'tarish. Avvalo, biz kasrlarning tabiiy kuchlari va kasrlar bilan o'xshash operatsiyalarni ko'rsatadigan misollar haqida gapiramiz. Darsning boshida biz butun iboralarni tabiiy kuchlarga ko'tarishni ko'rib chiqamiz va bu keyingi misollarni hal qilish uchun qanday foydali bo'lishini bilib olamiz.

Mavzu: Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars: Algebraik kasrni darajaga ko'tarish

1. Kasrlar va butun ifodalarni elementar misollar bilan tabiiy darajalarga ko‘tarish qoidalari

Oddiy va qurilish qoidalari algebraik kasrlar naturada:

Siz butun iboraning darajasi bilan o'xshashlikni chizishingiz va uni kuchga ko'tarish nimani anglatishini eslab qolishingiz mumkin:

1-misol. .

Misoldan ko'rinib turibdiki, kasrni kuchga ko'tarish maxsus holat oldingi darsda o'rganilgan kasrlarni ko'paytirish.

2-misol. a) , b) - minus yo'qoladi, chunki biz ifodani teng kuchga ko'tardik.

Darajalar bilan ishlash qulayligi uchun tabiiy darajaga ko'tarishning asosiy qoidalarini eslaylik:

- kuchlar mahsuloti;

- darajalarni taqsimlash;

Ilmiy darajani darajaga ko'tarish;

Mahsulot darajasi.

3-misol. - biz buni “Bütün iboralar ko'rsatkichi” mavzusidan bilamiz, bitta holatdan tashqari: u mavjud emas.

2. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarishning eng oddiy misollari

Misol 4. Kasrni darajaga ko'taring.

Yechim. Bir tekis quvvatga ko'tarilganda, minus yo'qoladi:

Misol 5. Kasrni darajaga ko'taring.

Yechim. Endi biz alohida jadvalsiz darhol darajani darajaga ko'tarish qoidalaridan foydalanamiz:

.

Keling, kasrlarni darajalarga ko'tarish, ularni ko'paytirish va bo'lish kerak bo'lgan birlashtirilgan muammolarni ko'rib chiqaylik.

Misol 6. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Keyinchalik siz kamaytirishni amalga oshirishingiz kerak. Keling, buni qanday qilishimizni bir marta batafsil tasvirlab beramiz, keyin esa natijani darhol analogiya bilan ko'rsatamiz: . Xuddi shunday (yoki hokimiyat taqsimoti qoidasiga ko'ra). Bizda ... bor: .

Misol 7. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Qisqartirish yuqorida muhokama qilingan misolga o'xshash tarzda amalga oshirildi.

Misol 8. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Ushbu misolda biz ushbu usulni birlashtirish uchun kasrlarda vakolatlarni qisqartirish jarayonini yana bir bor batafsil bayon qildik.

3. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish uchun murakkabroq misollar (belgilarni hisobga olgan holda va qavs ichidagi atamalar bilan)

9-misol: Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda biz kasrlarni alohida ko'paytirishni o'tkazib yuboramiz va darhol ularni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz va ularni bitta maxraj ostida yozamiz. Shu bilan birga, biz belgilarga amal qilamiz - bu holda, kasrlar teng kuchlarga ko'tariladi, shuning uchun minuslar yo'qoladi. Oxirida biz qisqartirishni amalga oshiramiz.

10-misol: Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda kasrlar bo'linishi bor, bu holda birinchi kasr ikkinchisiga ko'paytiriladi, lekin teskari.

Ko'paytirish - bu ko'paytirish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan amal, bu amal sonni o'ziga qayta-qayta ko'paytirish natijasidir; Uni quyidagi formula bilan ifodalaymiz: a1 * a2 * … * an = an.

Masalan, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Umuman olganda, ko'rsatkich ko'pincha matematika va fizikada turli formulalarda qo'llaniladi. Bu funktsiya to'rtta asosiyga qaraganda ko'proq ilmiy maqsadga ega: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish.

Raqamni quvvatga ko'tarish

Raqamni quvvatga ko'tarish murakkab operatsiya emas. Bu ko'paytirish va qo'shish o'rtasidagi munosabatlarga o'xshash tarzda ko'paytirish bilan bog'liq. An belgisi bir-biriga ko'paytirilgan "a" sonlarining n-sonining qisqacha yozuvidir.

Eng ko'p eksponentatsiyani ko'rib chiqing oddiy misollar, murakkab bo'lganlarga o'tish.

Masalan, 42. 42 = 4 * 4 = 16. To'rt kvadrat (ikkinchi daraja) o'n oltiga teng. Agar siz 4 * 4 ko'paytirishni tushunmasangiz, unda ko'paytirish haqidagi maqolamizni o'qing.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Besh kubik (uchinchi darajaga) bir yuz yigirma beshga teng.

Yana bir misol: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . To'qqiz kub yetti yuz yigirma to'qqizga teng.

Ko'rsatkich formulalari

Quvvatni to'g'ri oshirish uchun siz quyida keltirilgan formulalarni eslab, bilishingiz kerak. Bunda ortiqcha tabiiy narsa yo'q, asosiysi mohiyatni tushunishdir va keyin ular nafaqat esda qoladi, balki oson ko'rinadi.

Monomialni kuchga ko'tarish

Monomial nima? Bu har qanday miqdordagi raqamlar va o'zgaruvchilar mahsulotidir. Masalan, ikkitasi monomialdir. Va bu maqola aynan shunday monomiallarni vakolatlarga ko'tarish haqida.

Ko'rsatkichlar uchun formulalardan foydalanib, monomialning darajaga ko'tarilishini hisoblash qiyin bo'lmaydi.

Masalan, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Agar siz monomialni quvvatga ko'tarsangiz, monomialning har bir komponenti kuchga ko'tariladi.

Allaqachon kuchga ega bo'lgan o'zgaruvchini ko'tarish orqali kuchlar ko'paytiriladi. Masalan, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Salbiy kuchga ko'tarilish

Salbiy kuch sonning o'zaro kuchidir. O'zaro raqam nima? Har qanday X sonining o'zaro nisbati 1/X ga teng. Bu X-1=1/X. Bu salbiy darajaning mohiyatidir.

Misolni ko'rib chiqing (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Nega bunday? Darajada minus mavjud bo'lganligi sababli, biz bu ifodani maxrajga o'tkazamiz va keyin uni uchinchi darajaga ko'taramiz. Oddiy, shunday emasmi?

Kasr kuchiga ko'tarish

Keling, masalani ko'rib chiqishni boshlaylik aniq misol. 43/2. 3/2 daraja nimani anglatadi? 3 - raqam, sonni ko'tarishni anglatadi (to Ushbu holatda 4) kubometr uchun 2 raqami maxrajdir, bu raqamning ikkinchi ildizini chiqarishdir (bu holda 4).

Keyin 43 = 2^3 = 8 ning kvadrat ildizini olamiz. Javob: 8.

Demak, kasr darajaning maxraji 3 yoki 4 yoki cheksizgacha bo'lgan istalgan son bo'lishi mumkin va bu raqam darajani aniqlaydi. kvadrat ildiz, berilgan raqamdan olingan. Albatta, maxraj nolga teng bo'lishi mumkin emas.

Ildizni kuchga ko'tarish

Agar ildiz ildizning o'zi darajasiga teng darajaga ko'tarilsa, unda javob radikal ifoda bo'ladi. Masalan, (√x)2 = x. Va shuning uchun har qanday holatda, ildiz darajasi va ildizni ko'tarish darajasi tengdir.

Agar (√x)^4. Keyin (√x)^4=x^2. Yechimni tekshirish uchun ifodani kasr kuchiga ega ifodaga aylantiramiz. Ildiz kvadrat bo'lgani uchun maxraj 2 ga teng. Va agar ildiz to'rtinchi darajaga ko'tarilsa, u holda hisoblagich 4. Biz 4/2=2 ni olamiz. Javob: x = 2.

Nima bo'lganda ham eng yaxshi variant shunchaki ifodani kasr kuchiga ega ifodaga aylantiring. Agar kasr bekor qilmasa, berilgan sonning ildizi ajratilmagan bo'lsa, bu javob bo'ladi.

Kompleks sonni kuchga ko'tarish

Kompleks son nima? Kompleks son - a + b * i formulasiga ega bo'lgan ifoda; a, b haqiqiy sonlar. i - kvadrat bo'lganda -1 raqamini beradigan son.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Qanday qilib tez va to'g'ri qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, kvadrat raqamlarni va hatto ildizlarni ajratib olishni o'rganish uchun "Mental arifmetikani emas, aqliy arifmetikani tezlashtiring" kursiga yoziling. 30 kun ichida siz arifmetik amallarni soddalashtirish uchun oson fokuslardan qanday foydalanishni o‘rganasiz. Har bir dars yangi texnikani o'z ichiga oladi, aniq misollar va foydali vazifalar.

Onlayn ko'rsatkich

Kalkulyatorimizdan foydalanib, siz raqamni bir darajaga ko'tarishni hisoblashingiz mumkin:

Ko'rsatkich 7-sinf

Maktab o'quvchilari faqat ettinchi sinfda kuchga ko'tarila boshlaydilar.

Ko'paytirish - bu ko'paytirish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan amal, bu amal sonni o'ziga qayta-qayta ko'paytirish natijasidir; Uni quyidagi formula bilan ifodalaymiz: a1 * a2 * … * an=an.

Masalan, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Yechimga misollar:

Ko'rsatkich bo'yicha taqdimot

Yettinchi sinf o'quvchilari uchun mo'ljallangan vakolatlarini oshirish bo'yicha taqdimot. Taqdimot ba'zi noaniq fikrlarni aniqlashtirishi mumkin, ammo bizning maqolamiz tufayli bu fikrlar aniqlanmaydi.

Pastki chiziq

Biz matematikani yaxshiroq tushunish uchun aysbergning faqat uchini ko'rib chiqdik - kursimizga yoziling: Mental arifmetikani tezlashtirish - aqliy arifmetika EMAS.

Kursdan siz nafaqat soddalashtirilgan va tez ko'paytirish, qo'shish, ko'paytirish, bo'lish va foizlarni hisoblashning o'nlab usullarini o'rganasiz, balki ularni maxsus topshiriqlar va o'quv o'yinlarida ham mashq qilasiz! Mental arifmetika ham juda ko'p e'tibor va diqqatni jamlashni talab qiladi, ular qiziqarli masalalarni hal qilishda faol o'rgatiladi.

Raqamning kuchi haqida suhbatni davom ettirib, kuchning qiymatini qanday topish mumkinligini aniqlash mantiqan to'g'ri keladi. Bu jarayon deyiladi eksponentsiya. Ushbu maqolada biz ko'rsatkichlar qanday amalga oshirilishini o'rganamiz, shu bilan birga barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalamiz - natural, butun, ratsional va irratsional. Va an'anaga ko'ra, biz raqamlarni turli kuchlarga ko'tarish misollarini batafsil ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

"Eksponentatsiya" nimani anglatadi?

Keling, eksponentsiya deb ataladigan narsani tushuntirishdan boshlaylik. Bu erda tegishli ta'rif.

Ta'rif.

Ko'rsatkichlar- bu raqamning kuchining qiymatini topish.

Shunday qilib, ko'rsatkichi r bo'lgan a sonining kuchining qiymatini topish va a sonini r darajaga ko'tarish bir xil narsadir. Masalan, agar vazifa "kuchning (0,5) 5 qiymatini hisoblash" bo'lsa, uni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: "0,5 raqamini 5 kuchga ko'taring."

Endi siz to'g'ridan-to'g'ri eksponentsiya bajariladigan qoidalarga o'tishingiz mumkin.

Raqamni tabiiy kuchga ko'tarish

Amalda, ga asoslangan tenglik odatda shaklda qo'llaniladi. Ya'ni, a sonni m/n kasr darajasiga ko'tarishda avval a sonining n-chi ildizi olinadi, shundan so'ng olingan natija m butun darajaga ko'tariladi.

Keling, kasr darajasiga ko'tarish misollarining echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Darajaning qiymatini hisoblang.

Yechim.

Biz ikkita yechimni ko'rsatamiz.

Birinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifi bo'yicha. Ildiz belgisi ostidagi daraja qiymatini hisoblab chiqamiz va keyin chiqaramiz kub ildizi: .

Ikkinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifi va ildizlarning xususiyatlariga asoslanib, quyidagi tengliklar to'g'ri bo'ladi: . Endi biz ildizni chiqaramiz , nihoyat, biz uni butun son darajasiga ko'taramiz .

Shubhasiz, kasr quvvatiga ko'tarishda olingan natijalar mos keladi.

Javob:

E'tibor bering, kasr ko'rsatkichi quyidagicha yozilishi mumkin kasr yoki aralash raqam, bu hollarda u mos keladigan oddiy kasr bilan almashtirilishi kerak, keyin esa kuchga ko'tarilishi kerak.

Misol.

Hisoblang (44.89) 2.5.

Yechim.

Ko'rsatkichni shaklda yozamiz oddiy kasr(agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): . Endi biz kasr darajasiga ko'taramiz:

Javob:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Shuni ham aytish kerakki, raqamlarni ratsional darajalarga ko'tarish juda ko'p mehnat talab qiladigan jarayondir (ayniqsa, kasr ko'rsatkichining numeratori va maxraji etarlicha katta raqamlarni o'z ichiga olgan bo'lsa), bu odatda yordamida amalga oshiriladi. kompyuter texnologiyasi.

Ushbu fikrni yakunlash uchun keling, nol sonini kasr darajasiga ko'tarish haqida to'xtalib o'tamiz. Shaklning nolning kasr kuchiga quyidagi ma'noni berdik: bizda , va noldan m / n quvvati aniqlanmagan. Demak, kasrda nol ijobiy daraja nolga teng, masalan, . Kasrli manfiy quvvatdagi nol esa mantiqiy emas, masalan, 0 -4,3 iboralari mantiqiy emas.

Mantiqsiz kuchga ko'tarilish

Ba'zan irratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan sonning kuchining qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Bunday holda, amaliy maqsadlar uchun odatda ma'lum bir belgiga aniqlik darajasining qiymatini olish kifoya qiladi. Darhol ta'kidlaymizki, bu qiymat amalda elektron kompyuterlar yordamida hisoblab chiqiladi, chunki ir ga ko'tariladi ratsional daraja qo'lda juda ko'p mashaqqatli hisob-kitoblarni talab qiladi. Ammo biz hali ham tasvirlab beramiz umumiy kontur harakatning mohiyati.

Irratsional darajali a sonining kuchining taxminiy qiymatini olish uchun darajaning bir necha o'nli yaqinlashuvi olinadi va darajaning qiymati hisoblanadi. Bu qiymat a sonining irratsional ko'rsatkichli kuchining taxminiy qiymatidir. Raqamning o'nlik yaqinlashuvi dastlab qanchalik to'g'ri bo'lsa, shuncha ko'p aniq qiymat oxirida diplom olinadi.

Misol tariqasida 2 1,174367... quvvatining taxminiy qiymatini hisoblab chiqamiz. Irratsional ko'rsatkichning quyidagi o'nli yaqinlashuvini olaylik: . Endi biz 2 ni 1,17 ratsional kuchga ko'taramiz (biz oldingi xatboshida bu jarayonning mohiyatini tasvirlab bergan edik), biz 2 1,17 ≈2,250116 ni olamiz. Shunday qilib, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Agar biz, masalan, irratsional ko'rsatkichning aniqroq o'nli yaqinlashuvini olsak, biz asl ko'rsatkichning aniqroq qiymatini olamiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5-sinf uchun matematika darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).