Fermaning oxirgi teoremasi: Uils va Perelman isboti, formulalar, hisoblash qoidalari va teoremaning to‘liq isboti. Ferma teoremasining isboti elementar, sodda, tushunarli, isbotlab bo'lmaydigan teorema.

Demak, 1637 yilda ajoyib frantsuz matematigi Per Ferma tomonidan tuzilgan Fermaning oxirgi teoremasi (ko‘pincha Fermaning so‘nggi teoremasi deb ataladi) tabiatan juda sodda va o‘rta ma’lumotli har bir kishi uchun tushunarli. Unda aytilishicha, a formulasi n + b ning n = c ning n kuchiga tengligi n > 2 uchun tabiiy (ya’ni kasr emas) yechimlarga ega emas. Hamma narsa oddiy va tushunarli ko‘rinadi, lekin eng yaxshi matematiklar va oddiy havaskorlar uch yarim asrdan ko'proq vaqt davomida yechim izlash bilan kurashdilar.

Grigoriy Perelman. refusenik

Vasiliy Maksimov

2006 yil avgust oyida nufuzli Fields medalini olgan sayyoradagi eng yaxshi matematiklarning nomlari e'lon qilindi - bu Nobel mukofotining o'ziga xos analogi bo'lib, matematiklar Alfred Nobelning xohishiga ko'ra undan mahrum bo'lishdi. Filds medali - faxriy nishondan tashqari, g'oliblarga o'n besh ming Kanada dollari uchun chek beriladi - har to'rt yilda bir marta Xalqaro matematiklar kongressi tomonidan beriladi. U kanadalik olim Jon Charlz Filds tomonidan asos solingan va birinchi marta 1936 yilda mukofotlangan. 1950 yildan beri Fields medali matematika fanini rivojlantirishga qo'shgan hissasi uchun Ispaniya qiroli tomonidan muntazam ravishda taqdirlanadi. Mukofot g'oliblari qirq yoshgacha bo'lgan bir yoshdan to'rt nafargacha olimlar bo'lishi mumkin. Mukofotni 44 nafar matematik, jumladan, sakkiz nafar rossiyalik allaqachon olgan.

Grigoriy Perelman. Anri Puankare.

2006-yilda fransuz Vendelin Verner, avstraliyalik Terens Tao va ikki nafar rossiyalik – AQShda ishlayotgan Andrey Okunkov va Sankt-Peterburglik olim Grigoriy Perelman laureatlar bo‘ldi. Biroq, so'nggi daqiqada Perelman ushbu nufuzli mukofotdan voz kechgani ma'lum bo'ldi - tashkilotchilar e'lon qilganidek, "prinsipial sabablarga ko'ra".

Rossiyalik matematikning bunday g'ayrioddiy harakati uni tanigan odamlarni ajablantirmadi. U matematik mukofotlardan birinchi marta bosh tortayotgani yo‘q, bu qarorini tantanali tadbirlar va o‘z nomi atrofidagi keraksiz shov-shuvlarni yoqtirmasligi bilan izohladi. Bundan 10 yil muqaddam, 1996 yilda Perelman Yevropa matematika kongressi mukofotiga nomzod bo‘lgan ilmiy muammo bo‘yicha ishni tugatmaganini va bu oxirgi holat emasligini aytib, mukofotdan bosh tortgan edi. Rus matematigi jamoatchilik fikri va ilmiy jamoatchilikka qarshi chiqib, odamlarni hayratda qoldirishni o'zining hayotiy maqsadiga aylantirgandek tuyuldi.

Grigoriy Yakovlevich Perelman 1966 yil 13 iyunda Leningradda tug'ilgan. U yoshligidan aniq fanlarga mehr qo'ygan, matematikani chuqur o'rganadigan mashhur 239-o'rta maktabni a'lo darajada tamomlagan, ko'plab matematika olimpiadalarida g'olib chiqqan: masalan, 1982 yilda u Sovet maktab o'quvchilari jamoasi tarkibida qatnashgan. Budapeshtda boʻlib oʻtgan Xalqaro matematika olimpiadasida. Imtihonlarsiz Perelman Leningrad universitetining mexanika-matematika fakultetiga o'qishga kirdi va u erda a'lo baholar bilan o'qidi va barcha darajadagi matematik musobaqalarda g'olib chiqishda davom etdi. Universitetni imtiyozli diplom bilan tugatgach, Steklov nomidagi matematika institutining Sankt-Peterburg filiali qoshidagi aspiranturaga o‘qishga kirdi. Uning ilmiy rahbari taniqli matematik akademik Aleksandrov edi. Grigoriy Perelman nomzodlik dissertatsiyasini himoya qilib, institutda, geometriya va topologiya laboratoriyasida qoldi. Uning Aleksandrov fazolari nazariyasi bo'yicha ishi ma'lum, u bir qator muhim farazlarga dalil topa oldi. G'arbning etakchi universitetlaridan ko'plab takliflarga qaramay, Perelman Rossiyada ishlashni afzal ko'radi.

Uning eng ko'zga ko'ringan muvaffaqiyati 2002 yilda 1904 yilda nashr etilgan mashhur Puankare taxminining yechimi bo'ldi va shundan beri isbotlanmagan. Perelman buning ustida sakkiz yil ishladi. Puankare gipotezasi eng katta matematik sirlardan biri hisoblangan va uning yechimi matematika fanidagi eng muhim yutuq hisoblangan: u koinotning fizikaviy va matematik asoslari muammolari bo'yicha tadqiqotlarni darhol ilgari suradi. Sayyoradagi eng ko'zga ko'ringan odamlar uning yechimini faqat bir necha o'n yilliklar ichida bashorat qilishdi va Massachusets shtatining Kembrij shahridagi Kley matematika instituti Puankare muammosini ming yillikning eng qiziqarli yettita yechilmagan matematik muammolari qatoriga kiritdi, ularning har birini hal qilish uchun. million dollar mukofot va'da qilingan (Mingyillik mukofoti muammolari).

Fransuz matematigi Anri Puankarening (1854-1912) gipotezasi (ba'zan muammo deb ataladi) quyidagicha tuzilgan: har qanday yopiq, oddiy bog'langan uch o'lchovli fazo uch o'lchovli sferaga gomeomorfdir. Aniqlash uchun aniq misoldan foydalaning: agar siz olmani kauchuk lenta bilan o'rab qo'ysangiz, unda, qoida tariqasida, lentani mahkamlash orqali siz olmani bir nuqtaga siqib qo'yishingiz mumkin. Agar siz donutni bir xil lenta bilan o'rab qo'ysangiz, donutni ham, kauchukni ham yirtmasdan uni bir nuqtaga siqib bo'lmaydi. Shu nuqtai nazardan, olma "oddiy bog'langan" raqam deb ataladi, ammo donut oddiygina bog'lanmagan. Deyarli yuz yil muqaddam Puankare ikki o'lchovli shar oddiygina bog'langanligini aniqladi va uch o'lchamli shar ham oddiygina bog'langan, deb taklif qildi. Dunyoning eng yaxshi matematiklari bu farazni isbotlay olmadilar.

Kley instituti mukofotiga sazovor bo'lish uchun Perelman o'z yechimini ilmiy jurnallardan birida nashr etishi kerak edi va agar ikki yil ichida hech kim uning hisob-kitoblarida xato topa olmasa, unda yechim to'g'ri deb hisoblanadi. Biroq, Perelman boshidanoq qoidalardan chetga chiqdi va qarorini Los Alamos ilmiy laboratoriyasining preprint veb-saytida e'lon qildi. Ehtimol, u hisob-kitoblarida xatolik yuz berganidan qo'rqqandir - shunga o'xshash voqea matematikada allaqachon sodir bo'lgan. 1994 yilda ingliz matematigi Endryu Uayls Fermatning mashhur teoremasining yechimini taklif qildi va bir necha oy o'tgach, uning hisob-kitoblarida xatolik paydo bo'lganligi ma'lum bo'ldi (garchi u keyinchalik tuzatilgan va sensatsiya hali ham sodir bo'lgan). Haligacha Puankare taxminining isboti haqida rasmiy nashr yo'q, ammo Perelmanning hisob-kitoblarining to'g'riligini tasdiqlovchi sayyoradagi eng yaxshi matematiklarning nufuzli fikri mavjud.

Filds medali Grigoriy Perelmanga aynan Puankare muammosini hal qilgani uchun berilgan. Ammo rus olimi, shubhasiz, munosib bo'lgan mukofotdan bosh tortdi. “Gregori menga oʻzini xalqaro matematiklar hamjamiyatidan, bu jamiyatdan tashqarida, yakkalanib qolgandek his qilishini va shuning uchun mukofotni olishni istamasligini aytdi”, dedi Butunjahon matematiklar ittifoqi (WUM) prezidenti ingliz Jon Ball matbuot anjumanida. Madrid.

Grigoriy Perelman ilm-fanni butunlay tark etmoqchiligi haqida mish-mishlar bor: olti oy oldin u o'zining Steklov nomidagi matematika institutidan iste'foga chiqdi va u endi matematikani o'qimasligini aytishdi. Ehtimol, rus olimi mashhur gipotezani isbotlab, ilm-fan uchun qo'lidan kelgan hamma narsani qildi, deb hisoblaydi. Ammo bunday yorqin olim va g'ayrioddiy shaxsning tafakkur poezdini muhokama qilishni kim o'z zimmasiga oladi?.. Perelman har qanday izohni rad etadi va u The Daily Telegraph gazetasiga shunday dedi: "Men aytadigan gaplarimning hech biri zarracha jamoatchilikni qiziqtirmaydi". Biroq, etakchi ilmiy nashrlar "Grigoriy Perelman Puankare teoremasini hal qilib, o'tmish va hozirgi zamonning eng buyuk daholari bilan bir qatorda turgan" deb xabar berishda bir ovozdan o'z baholarini berishdi.

Oylik adabiy-publisistik jurnal va nashriyot.

17-asrda huquqshunos va yarim kunlik matematik Per Fermat Frantsiyada yashagan, u uzoq vaqt bo'sh vaqtini sevimli mashg'ulotiga bag'ishlagan. Bir qish oqshomida kamin yonida o'tirib, u raqamlar nazariyasi sohasidan juda qiziq bir fikrni ilgari surdi - bu keyinchalik Fermatning Buyuk teoremasi deb nomlangan. Ehtimol, agar bitta voqea sodir bo'lmaganida, matematik doiralarda hayajon bu qadar ahamiyatli bo'lmagan bo'lardi. Matematik ko'pincha kechalarini Iskandariyalik Diofantning (3-asr) sevimli kitobi "Arifmetika" ni o'rganish bilan o'tkazar va uning chetiga muhim fikrlarni yozadi - bu noyob narsa o'g'li tomonidan avlodlar uchun ehtiyotkorlik bilan saqlanib qolgan. Shunday qilib, bu kitobning keng hoshiyalarida Fermatning qo'li quyidagi yozuvni qoldirdi: "Menda juda ajoyib dalil bor, lekin uni chetiga qo'yish uchun juda katta." Aynan shu yozuv teorema atrofida hayratlanarli hayajonga sabab bo'ldi. Matematiklar buyuk olimning o'z teoremasini isbotlaganligini e'lon qilganiga shubha qilishmagan. Ehtimol, siz shunday savol berasiz: "U haqiqatan ham buni isbotladimi yoki bu yolg'onmi yoki keyingi avlod matematiklarining tinch uxlashiga imkon bermagan bu eslatma nima uchun boshqa versiyalar bo'lishi mumkin. kitob?"

Buyuk teoremaning mohiyati

Fermaning juda mashhur teoremasi o'z mohiyatiga ko'ra sodda va shundan iboratki, agar n ikkitadan katta bo'lsa, musbat son bo'lsa, X n + Y n = Z n tenglama ramka ichida nol tipidagi echimlarga ega bo'lmaydi. natural sonlar. Bu oddiy ko'rinadigan formula aql bovar qilmaydigan murakkablikni yashirdi va uni isbotlash uchun uch asr davomida kurash olib borildi. Bir g'alati narsa bor - bu teorema kech tug'ilgan, chunki uning n = 2 bilan maxsus holati 2200 yil oldin paydo bo'lgan - bu kam mashhur Pifagor teoremasi.

Shuni ta'kidlash kerakki, Fermaning mashhur teoremasi haqidagi hikoya nafaqat matematiklar uchun, balki juda ibratli va qiziqarli. Eng qizig‘i, fan olim uchun ish emas, oddiy xobbi edi, bu esa o‘z navbatida Fermerga katta zavq bag‘ishladi. U matematik, shuningdek, do'sti bilan doimo aloqada bo'lib, fikrlarini baham ko'rdi, lekin g'alati, u o'z asarlarini nashr etishga intilmadi.

Matematik Fermerning asarlari

Fermer asarlarining o'ziga kelsak, ular oddiy harflar shaklida aniqlangan. Ba'zi joylarda butun sahifalar yo'qolgan va faqat yozishmalarning parchalari saqlanib qolgan. Qizig'i shundaki, olimlar uch asr davomida Fermer asarlarida kashf etilgan teoremani izlashdi.

Ammo kim buni isbotlashga jur'at etmasin, urinishlar "nol" ga kamaydi. Mashhur matematik Dekart hatto olimni maqtanishda aybladi, ammo bularning barchasi eng oddiy hasadga aylandi. Fermer uni yaratish bilan bir qatorda o'zining teoremasini ham isbotladi. To'g'ri, n=4 bo'lgan holat uchun yechim topildi. n=3 holatiga kelsak, uni matematik Eyler kashf etgan.

Ular Fermer teoremasini qanday isbotlashga harakat qilishgan

19-asrning boshida bu teorema mavjud bo'lib qoldi. Matematiklar ikki yuz ichida natural sonlar bilan chegaralangan teoremalarning ko'plab isbotlarini topdilar.

Va 1909 yilda nemis kelib chiqishi yuz ming markasiga teng bo'lgan juda katta summa xavf ostiga qo'yildi - va bularning barchasi faqat ushbu teorema bilan bog'liq masalani hal qilish uchun. Mukofot jamg'armasining o'zi boy matematik ishqiboz Pol Volfskel tomonidan qoldirildi, darvoqe, u "o'zini o'ldirmoqchi" edi, lekin Fermer teoremasidagi bunday ishtirok tufayli u yashashni xohladi. Natijada paydo bo'lgan hayajon nemis universitetlarini to'ldirgan tonnalab "dalillar" ni keltirib chiqardi va matematiklar orasida "fermist" laqabi paydo bo'ldi, bu aniq dalillar keltira olmaydigan har qanday shuhratparast boshlovchini tasvirlash uchun yarim nafrat bilan ishlatilgan.

Yaponiyalik matematik Yutaka Taniyamaning taxmini

Buyuk teorema tarixidagi o'zgarishlar 20-asrning o'rtalariga qadar kuzatilmagan, ammo bitta qiziqarli voqea sodir bo'ldi. 1955 yilda 28 yoshli yapon matematigi Yutaka Taniyama butun dunyoga mutlaqo boshqa matematik sohaning bayonotini ko'rsatdi - uning gipotezasi, Fermatnikidan farqli o'laroq, o'z vaqtidan oldinda edi. Unda shunday deyilgan: "Har bir elliptik egri ma'lum bir modulli shaklga mos keladi." Daraxt ma'lum bir metalldan iborat degan fikr har bir matematik uchun bema'ni ko'rinadi! Paradoksal gipoteza, boshqa ko'plab ajoyib va ​​mohir kashfiyotlar singari, qabul qilinmadi, chunki ular hali bunga erishmagan edilar. Va Yutaka Taniyama uch yildan so'ng o'z joniga qasd qildi - bu tushunarsiz harakat, ammo haqiqiy samuray dahosi uchun sharaf hamma narsadan ustun edi.

Gipoteza butun o'n yil davomida esga olinmadi, lekin yetmishinchi yillarda u mashhurlik cho'qqisiga ko'tarildi - buni tushunadigan har bir kishi tasdiqladi, ammo Fermat teoremasi kabi u isbotlanmagan bo'lib qoldi.

Taniyama gipotezasi va Ferma teoremasi qanday bog'langan?

15 yil o'tgach, matematikada muhim voqea yuz berdi va u mashhur yapon va Fermat teoremasining gipotezasini birlashtirdi. Gerxard Greyning ta'kidlashicha, Taniyama gipotezasi isbotlanganda Ferma teoremasining isbotlari bo'ladi. Ya'ni, ikkinchisi Taniyama taxminining natijasidir va bir yarim yil ichida Fermat teoremasi Kaliforniya universiteti professori Kennet Ribet tomonidan isbotlangan.

Vaqt o'tishi bilan regressiya o'rnini taraqqiyot egalladi va fan, ayniqsa, kompyuter texnologiyalari sohasida tez sur'atlar bilan oldinga siljidi. Shunday qilib, n ning qiymati tobora ortib bordi.

20-asrning oxirida eng kuchli kompyuterlar harbiy laboratoriyalarda joylashgan bo'lib, taniqli Fermat muammosini hal qilish uchun dasturlash amalga oshirildi. Barcha urinishlar natijasida ushbu teorema n, x, y ning ko'p qiymatlari uchun to'g'ri ekanligi aniqlandi. Ammo, afsuski, bu yakuniy dalil bo'lmadi, chunki bunday aniqliklar yo'q edi.

Jon Uayls Fermatning buyuk teoremasini isbotladi

Va nihoyat, faqat 1994 yil oxirida angliyalik matematik Jon Uayls bahsli Fermer teoremasining aniq isbotini topdi va ko'rsatdi. Keyin, ko'plab o'zgartirishlardan so'ng, bu masala bo'yicha muhokamalar mantiqiy xulosaga keldi.

Rad etish bitta jurnalning yuzdan ortiq sahifalarida chop etilgan! Bundan tashqari, teorema oliy matematikaning zamonaviyroq apparatlari yordamida isbotlangan. Va ajablanarlisi shundaki, Fermer o'z asarini yozgan davrda tabiatda bunday qurilma yo'q edi. Bir so‘z bilan aytganda, inson bu sohaning dahosi sifatida tan olindi, bu bilan hech kim bahslasha olmaydi. Bo'lib o'tgan hamma narsaga qaramay, bugungi kunda biz buyuk olim Fermerning taqdim etilgan teoremasi asosli va isbotlanganligiga amin bo'lishimiz mumkin, ammo sog'lom fikrga ega bo'lgan biron bir matematik bu mavzu bo'yicha bahs-munozarani boshlamaydi, hatto butun insoniyatning eng qattiq skeptiklari ham rozi bo'lishadi. bilan.

Teorema taqdim etilgan odamning to'liq ismi Per de Fermer deb nomlangan. U matematikaning turli sohalariga hissa qo'shgan. Ammo, afsuski, uning aksariyat asarlari vafotidan keyingina nashr etilgan.

Dunyoda Fermaning so'nggi teoremasi haqida hech qachon eshitmagan odamlar ko'p emas - ehtimol bu juda keng tarqalgan va haqiqiy afsonaga aylangan yagona matematik muammodir. Bu ko'plab kitoblar va filmlarda eslatib o'tilgan va deyarli barcha eslatmalarning asosiy konteksti teoremani isbotlashning mumkin emasligidir.

Ha, bu teorema juda yaxshi ma'lum va qaysidir ma'noda havaskor va professional matematiklar sig'inadigan "but"ga aylandi, ammo uning isboti topilganini kam odam biladi va bu 1995 yilda sodir bo'lgan. Lekin birinchi narsa birinchi.

Demak, 1637 yilda ajoyib frantsuz matematigi Per Ferma tomonidan tuzilgan Fermaning oxirgi teoremasi (ko‘pincha Fermaning so‘nggi teoremasi deb ataladi) mohiyatiga ko‘ra juda sodda va o‘rta ma’lumotli har bir kishi uchun tushunarli. Unda aytilishicha, a formulasi n + b ning n = c ning n kuchiga tengligi n > 2 uchun tabiiy (ya’ni kasr emas) yechimlarga ega emas. Hamma narsa oddiy va tushunarli ko‘rinadi, lekin eng yaxshi matematiklar va oddiy havaskorlar uch yarim asrdan ko'proq vaqt davomida yechim izlash bilan kurashdilar.

Nega u shunchalik mashhur? Endi bilib olamiz...

Ko'p isbotlangan, isbotlanmagan va hali isbotlanmagan teoremalar bormi? Bu erda gap shundaki, Fermaning oxirgi teoremasi formulaning soddaligi va isbotning murakkabligi o'rtasidagi eng katta kontrastni ifodalaydi. Fermaning so'nggi teoremasi nihoyatda qiyin vazifadir, ammo uni shakllantirishni o'rta maktabning 5-sinfidagi har bir kishi tushunishi mumkin, ammo bu isbotni hatto har bir professional matematik tushuna olmaydi. Na fizikada, na kimyoda, na biologiyada, na matematikada bunchalik sodda tarzda shakllantirilishi mumkin bo'lgan, ammo uzoq vaqt davomida hal qilinmagan bitta muammo yo'q. 2. U nimadan iborat?

Keling, Pifagor shimlaridan boshlaylik, so'z juda oddiy - birinchi qarashda. Bolaligimizdan bilganimizdek, "Pifagor shimlari har tomondan tengdir". Muammo juda oddiy ko'rinadi, chunki u hammaga ma'lum bo'lgan matematik bayonotga asoslangan edi - Pifagor teoremasi: har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng.

Miloddan avvalgi V asrda. Pifagorlar Pifagor birodarligiga asos solgan. Pifagorchilar, boshqa narsalar qatorida, x²+y²=z² tengligini qanoatlantiradigan butun sonli uchliklarni oʻrgandilar. Ular cheksiz ko'p Pifagor uchligi borligini isbotladilar va ularni topishning umumiy formulalarini oldilar. Ehtimol, ular C va undan yuqori darajalarni izlashga harakat qilishgan. Bu ish bermasligiga ishonch hosil qilgan Pifagorchilar o'zlarining foydasiz urinishlaridan voz kechdilar. Birodarlik a'zolari matematiklardan ko'ra ko'proq faylasuf va estetika edi.

Ya'ni, x²+y²=z² tengligini to'liq qondiradigan raqamlar to'plamini tanlash oson.

3, 4, 5 dan boshlab - haqiqatan ham, kichik o'quvchi 9 + 16 = 25 ekanligini tushunadi.

Yoki 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ajoyib.

Shunday qilib, ular YO'Q ekan. Aynan shu erdan boshlanadi. Oddiylik ko'rinadi, chunki biror narsaning mavjudligini emas, aksincha, uning yo'qligini isbotlash qiyin. Yechim borligini isbotlashingiz kerak bo'lganda, siz ushbu yechimni shunchaki taqdim etishingiz mumkin va kerak.

Yo'qlikni isbotlash qiyinroq: masalan, kimdir aytadi: falon tenglamaning echimi yo'q. Uni ko'lmakka qo'yingmi? oson: bam - va bu erda, yechim! (yechim bering). Va bu, raqib mag'lub bo'ldi. Yo'qligini qanday isbotlash mumkin?

Ayting: "Men bunday echimlarni topmadim"? Yoki siz yaxshi ko'rmagandirsiz? Agar ular mavjud bo'lsa-chi, lekin ular juda katta, juda katta, hatto o'ta kuchli kompyuter ham hali etarli kuchga ega emasmi? Bu qiyin narsa.

Buni vizual tarzda quyidagicha ko'rsatish mumkin: agar siz mos o'lchamdagi ikkita kvadratni olib, ularni birlik kvadratlarga ajratsangiz, bu birlik kvadratlar to'plamidan uchinchi kvadratni olasiz (2-rasm):


Ammo uchinchi o'lchov bilan ham xuddi shunday qilaylik (3-rasm) - bu ishlamaydi. Kublar yetarli emas yoki qo'shimchalari qolgan:

Ammo 17-asrda yashagan fransuz matematigi Per de Ferma x n + y n = z n umumiy tenglamani ishtiyoq bilan o‘rgandi. Va nihoyat, men shunday xulosaga keldim: n>2 uchun butun sonli echimlar yo'q. Fermatning isboti qaytarib bo'lmaydigan darajada yo'qolgan. Qo'lyozmalar yonmoqda! Uning Diofantning “Arifmetika” asarida aytgan gapi qolgan: “Men bu taklifning chindan ham hayratlanarli isbotini topdim, lekin bu yerdagi chegaralar uni o‘z ichiga olish uchun juda tor”.

Aslida isbotsiz teorema gipoteza deyiladi. Ammo Fermat hech qachon xato qilmasligi bilan mashhur. Agar u bayonotga dalil qoldirmagan bo'lsa ham, keyinchalik bu tasdiqlandi. Bundan tashqari, Fermat o'z dissertatsiyasini n = 4 uchun isbotladi. Shunday qilib, frantsuz matematigining gipotezasi Fermaning oxirgi teoremasi sifatida tarixga kirdi.

Fermatdan keyin Leonhard Eyler kabi buyuk aqllar dalil izlash ustida ishladilar (1770 yilda u n = 3 uchun yechim taklif qildi),

Adrien Legendre va Iogann Dirichlet (bu olimlar birgalikda 1825 yilda n = 5 isbotini topdilar), Gabriel Lame (n = 7 uchun dalil topdilar) va boshqalar. O'tgan asrning 80-yillari o'rtalariga kelib, fan dunyosi Fermaning so'nggi teoremasining yakuniy yechimi yo'lida ekanligi ma'lum bo'ldi, ammo faqat 1993 yilda matematiklar uch asrlik isbot izlash eposini ko'rishdi va ishonishdi. Fermaning oxirgi teoremasi amalda tugadi.

Ferma teoremasini faqat oddiy n uchun isbotlash kifoya ekanligini ko'rsatish oson: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Kompozit n uchun isbot o'z kuchida qoladi. Lekin tub sonlar cheksiz ko'p...

1825 yilda Sofi Jermen usulidan foydalanib, ayol matematiklar, Dirixlet va Legendre mustaqil ravishda n=5 teoremasini isbotladilar. 1839 yilda xuddi shu usuldan foydalanib, frantsuz Gabriel Lame n=7 uchun teoremaning haqiqatini ko'rsatdi. Asta-sekin teorema yuzdan kam bo'lgan deyarli hamma n uchun isbotlandi.

Nihoyat, nemis matematigi Ernst Kummer ajoyib tadqiqotida teoremani 19-asr matematikasi usullari yordamida umuman isbotlab bo'lmasligini ko'rsatdi. 1847 yilda Ferma teoremasini isbotlagani uchun Fransiya Fanlar akademiyasining mukofoti berilmagan.

1907 yilda boy nemis sanoatchisi Pol Volfskehl javobsiz sevgi tufayli o'z joniga qasd qilishga qaror qildi. Haqiqiy nemis kabi, u o'z joniga qasd qilish sanasi va vaqtini belgiladi: aynan yarim tunda. Oxirgi kuni u vasiyat qildi va do'stlari va qarindoshlariga xat yozdi. Ishlar yarim tungacha tugadi. Aytish kerakki, Pavlus matematikaga qiziqardi. Boshqa qiladigan ishi bo‘lmagani uchun kutubxonaga borib, Kummerning mashhur maqolasini o‘qiy boshladi. Birdan unga Kummer fikr yuritishda xato qilgandek tuyuldi. Volfskel qo'lidagi qalam bilan maqolaning ushbu qismini tahlil qila boshladi. Yarim tun o'tdi, tong keldi. Dalildagi bo'shliq to'ldirildi. Va o'z joniga qasd qilishning sababi endi mutlaqo kulgili ko'rinardi. Pavlus vidolashuv maktublarini yirtib tashladi va vasiyatini qayta yozdi.

Tez orada u tabiiy sabablarga ko'ra vafot etdi. Merosxo'rlar juda hayratda qoldilar: 100 000 marka (1 000 000 dan ortiq funt sterling) o'sha yili Volfskehl mukofoti uchun tanlov e'lon qilgan Göttingen Qirollik ilmiy jamiyati hisobiga o'tkazildi. Ferma teoremasini isbotlagan kishiga 100 000 ball berildi. Teoremani rad etganlik uchun bir pfennig mukofotlanmadi...

Aksariyat professional matematiklar Fermaning so'nggi teoremasining isbotini izlashni umidsiz urinish deb bilishgan va bunday foydasiz mashg'ulotga vaqt sarflashni qat'iyan rad etishgan. Ammo havaskorlar hayajonlanishdi. E'lon qilinganidan bir necha hafta o'tgach, Gettingen universitetiga "dalillar" ko'chkisi tushdi. Yuborilgan dalillarni tahlil qilish mas'uliyati bo'lgan professor E.M.Landau o'z talabalariga kartalarni tarqatdi:

Azizim. . . . . . . .

Fermatning so'nggi teoremasining isboti bilan qo'lyozmani yuborganingiz uchun tashakkur. Birinchi xato sahifada ... qatorda... . Shu sababli, butun dalil o'z kuchini yo'qotadi.
Professor E. M. Landau

1963 yilda Pol Koen Gödel topilmalariga tayanib, Gilbertning yigirma uchta muammosidan biri - kontinuum gipotezasini yechish mumkin emasligini isbotladi. Fermaning so'nggi teoremasi ham hal bo'lmasa-chi?! Lekin haqiqiy Buyuk Teorema aqidaparastlari umuman hafsalasi pir bo'lmadi. Kompyuterlarning paydo bo'lishi to'satdan matematiklarga yangi isbotlash usulini berdi. Ikkinchi jahon urushidan keyin dasturchilar va matematiklar jamoalari Fermatning so'nggi teoremasini n ning 500 gacha, keyin 1000 gacha va keyinroq 10000 gacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun isbotladilar.

1980-yillarda Samuel Vagstaff chegarani 25 000 ga ko'tardi va 1990-yillarda matematiklar Fermatning oxirgi teoremasi n ning 4 milliongacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun to'g'ri ekanligini e'lon qilishdi. Ammo cheksizlikdan trillion trillionni ham olib tashlasangiz, u kichik bo'lib qolmaydi. Matematiklar statistik ma'lumotlarga ishonmaydilar. Buyuk teoremani isbotlash, uni HAMMA n cheksizlikka qadar isbotlashni anglatardi.

1954 yilda ikkita yosh yapon matematik do'stlari modulli shakllarni tadqiq qilishni boshladilar. Bu shakllar raqamlar qatorini hosil qiladi, ularning har biri o'z seriyasiga ega. Tasodifan, Taniyama bu qatorlarni elliptik tenglamalar bilan hosil qilingan qatorlar bilan taqqosladi. Ular mos kelishdi! Ammo modulli shakllar geometrik ob'ektlar, elliptik tenglamalar esa algebraikdir. Bunday turli xil ob'ektlar o'rtasida hech qanday aloqa topilmagan.

Biroq, sinchkovlik bilan tekshirilgandan so'ng, do'stlar gipotezani ilgari surdilar: har bir elliptik tenglama egizak - modulli shaklga ega va aksincha. Aynan shu gipoteza matematikada butun bir yo‘nalishning asosiga aylandi, biroq Taniyama-Shimura gipotezasi isbotlanmaguncha, butun bino istalgan vaqtda qulashi mumkin edi.

1984 yilda Gerxard Frey Ferma tenglamasining yechimi, agar u mavjud boʻlsa, qandaydir elliptik tenglamaga kiritilishi mumkinligini koʻrsatdi. Ikki yil o'tgach, professor Ken Ribet bu faraziy tenglamaning modulli dunyoda o'xshashi bo'lmasligini isbotladi. Bundan buyon Fermaning so'nggi teoremasi Taniyama-Shimura gipotezasi bilan uzviy bog'liq edi. Har qanday elliptik egri chiziq modulli ekanligini isbotlab, Ferma tenglamasining yechimi bilan elliptik tenglama yo'q degan xulosaga keldik va Fermaning oxirgi teoremasi darhol isbotlangan bo'ladi. Ammo o'ttiz yil davomida Taniyama-Shimura gipotezasini isbotlashning iloji bo'lmadi va muvaffaqiyatga umid kamroq edi.

1963 yilda, u endigina o'n yoshda bo'lganida, Endryu Uayls allaqachon matematikaga qiziqib qolgan edi. U Buyuk Teorema haqida bilib, undan voz kecholmasligini tushundi. U maktab o‘quvchisi, talaba va aspirant sifatida o‘zini bu ishga tayyorlagan.

Ken Ribetning topilmalarini bilib, Uayls Taniyama-Shimura gipotezasini isbotlashga shoshildi. U to'liq izolyatsiya va maxfiylikda ishlashga qaror qildi. "Men tushundimki, Fermaning so'nggi teoremasi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa juda katta qiziqish uyg'otadi ... Juda ko'p tomoshabinlar maqsadga erishishga xalaqit berishi aniq." Etti yillik mashaqqatli mehnat o'z samarasini berdi, Uayls nihoyat Taniyama-Shimura taxminini isbotlashni yakunladi.

1993 yilda ingliz matematigi Endryu Uayls butun dunyoga Fermaning oxirgi teoremasining isbotini taqdim etdi (Uils Kembrijdagi ser Isaak Nyuton institutida bo'lib o'tgan konferentsiyada o'zining shov-shuvli maqolasini o'qidi.), uning ustida ish etti yildan ortiq davom etdi.

Matbuotda shov-shuv davom etar ekan, dalillarni tekshirish uchun jiddiy ish boshlandi. Dalillarni qat'iy va aniq deb hisoblashdan oldin har bir dalil diqqat bilan tekshirilishi kerak. Uayls yozni notinch yozni sharhlovchilarning fikr-mulohazalarini kutib, ularning roziligini olishiga umid qilib o'tkazdi. Avgust oyi oxirida ekspertlar hukmni yetarlicha asoslanmagan deb topishdi.

Ma'lum bo'lishicha, bu qaror umuman to'g'ri bo'lsa-da, qo'pol xatoga yo'l qo'ygan. Uayls taslim bo'lmadi, raqamlar nazariyasi bo'yicha taniqli mutaxassis Richard Teylorning yordamiga murojaat qildi va 1994 yilda ular teoremaning to'g'rilangan va kengaytirilgan isbotini nashr etishdi. Eng hayratlanarlisi shundaki, bu ish Annals of Mathematics matematik jurnalida 130 (!) sahifani egallagan. Ammo voqea shu bilan ham tugamadi - yakuniy nuqtaga faqat keyingi yilda, 1995 yilda, matematik nuqtai nazardan, yakuniy va "ideal" isbot versiyasi e'lon qilinganida erishildi.

"...tug'ilgan kuni munosabati bilan bayramona kechki ovqat boshlanganidan yarim daqiqa o'tgach, men Nadiyaga to'liq dalilning qo'lyozmasini sovg'a qildim" (Endryu Uels). Men hali matematiklarni g'alati odamlar deb aytmadimmi?

Bu safar dalillarga shubha yo'q edi. Ikki maqola eng sinchkovlik bilan tahlil qilindi va 1995 yil may oyida Matematika yilnomalarida chop etildi.

O'sha paytdan beri ko'p vaqt o'tdi, ammo jamiyatda hali ham Fermatning so'nggi teoremasi echilishi mumkin emas degan fikr mavjud. Ammo topilgan dalillarni biladiganlar ham bu yo'nalishda ishlashda davom etmoqdalar - Buyuk teorema 130 sahifali yechimni talab qilishidan juda ozchilik qoniqadi!

Shuning uchun, endi ko'plab matematiklarning (asosan havaskorlar emas, balki professional olimlar) sa'y-harakatlari oddiy va ixcham isbot izlashga sarflanadi, ammo bu yo'l, ehtimol, hech qayoqqa olib kelmaydi...

manba

Fayl FERMA-KDVar © N. M. Qoziy, 2008 yil

Ukraina sertifikati № 27312

FERmatning Oxirgi teoremasining QISQA ISOLLARI

Fermaning oxirgi teoremasi quyidagicha tuzilgan: Diofant tenglamasi (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

A n + B n = C n * /1/

Qayerda n- ikkidan katta musbat butun sonning musbat sonlarda yechimi yo‘q A , B , BILAN .

ISLOV

Fermaning oxirgi teoremasining formulasidan kelib chiqadiki: agar n ikkidan katta musbat butun son bo'lsa, uchta raqamdan ikkitasi bo'lishi sharti bilan A , IN yoki BILAN- musbat butun sonlar, bu sonlardan biri musbat butun son emas.

Biz isbotni arifmetikaning asosiy teoremasi asosida tuzamiz, bu "faktorlarga ajratishning yagona teoremasi" yoki "kompozit butun sonlarni omillashtirishning yagonaligi teoremasi" deb ataladi. Toq va juft ko'rsatkichlar mumkin n . Keling, ikkala holatni ham ko'rib chiqaylik.

1. Birinchi holat: ko‘rsatkich n - toq raqam.

Bu holda /1/ ifodasi ma'lum formulalar bo'yicha quyidagicha o'zgartiriladi:

A n + IN n = BILAN n /2/

Biz bunga ishonamiz A Va B- musbat butun sonlar.

Raqamlar A , IN Va BILAN o'zaro tub sonlar bo'lishi kerak.

/2/ tenglamadan kelib chiqadiki, berilgan qiymatlar uchun raqamlar A Va B omil ( A + B ) n , BILAN.

Faraz qilaylik, raqam BILAN - musbat butun son. Qabul qilingan shartlarni va arifmetikaning asosiy teoremasini hisobga olgan holda, shart bajarilishi kerak. :

BILAN n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

omil qayerda Dn D

/3/ tenglamadan kelib chiqadi:

/3/ tenglamasidan ham shunday chiqadiki, son [ Cn = A n + Bn ] raqam bo'lishi sharti bilan BILAN ( A + B ) n. Biroq, ma'lumki:

A n + Bn < ( A + B ) n /5/

Demak:

- birdan kichik kasr son. /6/

Kasr son.

n

G'alati ko'rsatkichlar uchun n >2 raqam:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

/2/ tenglamani tahlil qilishdan toq ko'rsatkich uchun shunday xulosa kelib chiqadi n raqam:

BILAN n = A n + IN n = (A+B)

ikki maxsus algebraik omillardan iborat va ko'rsatkichning istalgan qiymati uchun n algebraik omil o'zgarishsiz qoladi ( A + B ).

Shunday qilib, Fermaning oxirgi teoremasi toq darajalar uchun musbat sonlarda yechimga ega emas n >2.

2. Ikkinchi holat: ko'rsatkich n - juft son .

Fermaning oxirgi teoremasining mohiyati, agar /1/ tenglamani quyidagicha qayta yozsak, o'zgarmaydi:

A n = Cn - Bn /7/

Bu holda /7/ tenglama quyidagicha o'zgartiriladi:

A n = C n - B n = ( BILAN +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Biz buni qabul qilamiz BILAN Va IN- butun sonlar.

/8/ tenglamadan kelib chiqadiki, berilgan qiymatlar uchun raqamlar B Va C omil (C+ B ) ko'rsatkichning har qanday qiymati uchun bir xil qiymatga ega n , shuning uchun u sonning bo'luvchisidir A .

Faraz qilaylik, raqam A- butun son. Qabul qilingan shartlarni va arifmetikaning asosiy teoremasini hisobga olgan holda, shart bajarilishi kerak. :

A n = C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/

omil qayerda Dn butun son va shuning uchun raqam bo'lishi kerak D ham butun son bo'lishi kerak.

/9/ tenglamadan kelib chiqadi:

/10/

/9/ tenglamadan ham shunday chiqadiki, son [ A n = BILAN n - Bn ] raqam bo'lishi sharti bilan A- butun son, raqamga bo'linishi kerak (C+ B ) n. Biroq, ma'lumki:

BILAN n - Bn < (С+ B ) n /11/

Demak:

- birdan kichik kasr son. /12/

Kasr son.

Bundan kelib chiqadiki, ko'rsatkichning toq qiymati uchun n Fermaning oxirgi teoremasining /1/ tenglamasi musbat butun sonlarda yechimga ega emas.

Juft ko'rsatkichlar uchun n >2 raqam:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Shunday qilib, Fermaning oxirgi teoremasi musbat butun sonlar va hatto darajali darajalar uchun yechimga ega emas n >2.

Yuqoridagilardan umumiy xulosa kelib chiqadi: Fermaning oxirgi teoremasining /1/ tenglamasi musbat butun sonlarda yechimga ega emas. A, B Va BILAN ko‘rsatkichi n >2 bo‘lishi sharti bilan.

QO'ShIMChA ASLI

Ko'rsatkich bo'lgan holatda n – juft son, algebraik ifoda ( Cn - Bn ) algebraik omillarga ajraladi:

C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Keling, raqamlar bilan misollar keltiraylik.

1-MIsol: B=11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

2-MIsol: B=16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

/13/, /14/, /15/ va /16/ tenglamalari va tegishli sonli misollar tahlilidan quyidagicha xulosa chiqariladi:

Berilgan ko'rsatkich uchun n , agar u juft son bo'lsa, raqam A n = C n - Bn aniq belgilangan algebraik omillarning aniq belgilangan soniga parchalanadi;

Har qanday ko'rsatkich uchun n , agar u juft son bo'lsa, algebraik ifodada ( Cn - Bn ) har doim multiplikatorlar mavjud ( C - B ) Va ( C + B ) ;

Har bir algebraik omil butunlay aniq sonli omilga mos keladi;

Berilgan raqamlar uchun IN Va BILAN son omillar tub sonlar yoki kompozit sonli omillar bo'lishi mumkin;

Har bir qo‘shma son koeffitsient boshqa qo‘shma son omillardan qisman yoki to‘liq yo‘q bo‘lgan tub sonlarning mahsulotidir;

Kompozit sonli omillar tarkibidagi tub sonlarning kattaligi bu omillarning ortishi bilan ortadi;

Eng katta algebraik koeffitsientga mos keladigan eng katta kompozit sonli koeffitsient ko'rsatkichdan kichik bo'lgan eng katta tub sonni o'z ichiga oladi. n(ko'pincha birinchi darajali).

XULOSALAR: Fermaning oxirgi teoremasi ijobiy butun sonlarda yechimga ega emas degan xulosani qo'shimcha dalillar tasdiqlaydi.

muhandis-mexanik