Elektrotexnikada aynan Furye seriyasi va garmonik komponentlar (chastota spektri) ishlatiladi. Nazariy jihatdan funktsiyani boshqa qatorlar yordamida boshqa komponentlarga ajratish mumkin. Agar jarayon uzluksiz funksiya tomonidan buzilgan bo'lsa-chi? Inson va transformatsiya
Shuningdek o'qing
Chiziqli signal holatida Furye seriyasini yaqinlashtirish imkoniyati uzluksiz signallar holatida funktsiyalarni qurish uchun zarur bo'lishi mumkin. davriy elementlar. Foydalanish imkoniyati bu usul yordamida ularni qurish va parchalash yakuniy miqdorlar Furye seriyalari fizika, seysmologiya va boshqalar kabi turli fanlarning ko'plab muammolarini hal qilishda qo'llaniladi. Okean to'lqinlari va quyosh faolligi jarayonlari tebranish jarayonlarining parchalanish usuli va bu transformatsiyalar bilan tavsiflangan funktsiyalar bilan ko'rib chiqiladi. Rivojlanish bilan kompyuter texnologiyasi Furye seriyalari tobora ko'proq foydalanila boshlandi murakkab vazifalar, shuningdek, shu tufayli bu o'zgarishlarni bilvosita fanlarda, masalan, tibbiyot va kimyoda qo'llash mumkin bo'ldi. Furye konvertatsiyasi ham real, ham tasvirlangan murakkab shakl, ikkinchi taqsimot tadqiqotda yutuq qilish imkonini berdi kosmik fazo. Ushbu ishning natijasi Furye qatorlarini uzluksiz funktsiyani linearizatsiya qilishda qo'llash va qatorni funktsiyaga aniqroq joylashtirish uchun qator koeffitsientlari sonini tanlashdir. Bundan tashqari, Furye seriyasini kengaytirishdan foydalanganda, bu funktsiya uzluksiz bo'lishni to'xtatadi va allaqachon etarlicha kichik qiymatlarda, ishlatilgan funktsiyaning yaxshi yaqinlashishiga erishiladi.
Furye seriyasi
Furye konvertatsiyasi
faza spektri.
1. Alasheyeva E.A., Rogova N.V. Yupqa simli yaqinlashuvda elektrodinamika masalasini echishning raqamli usuli. Ilm va tinchlik. Xalqaro Ilmiy jurnal, No 8(12), 2014. 1-jild. Volgograd. B.17-19.
2. Vorobyov N.N. Seriyalar nazariyasi. Ed. Fan, Fizika-matematika adabiyoti bosh tahririyati, M., 1979, -408 S.
3. Kalinina V.N., Pankin V.F. Matematik statistika. - M.: magistratura, 2001.
4. Zamonaviy taqdimotda R. Edvards Furye seriyasi. Ed. Dunyo. 2 jildda. 1-jild. 1985 yil. 362 bet.
5. Sigorskiy V.P. Muhandisning matematik apparati. Ed. 2-steriotipik. "Texnika", 1997 yil. – 768 b.
Ixtiyoriy funktsiyaning o'ziga xos davri bo'lgan qator shaklida tasvirlanishi Furye qatori deyiladi. Ortogonal asosda kengayish deyiladi bu qaror V umumiy ko'rinish. Furye seriyali funktsiyalarni kengaytirish turli xil muammolarni hal qilish uchun juda kuchli vositadir. Chunki Integratsiya, differensiatsiya, shuningdek, argument va konvolyutsiya orqali ifodani o'zgartirish paytidagi bu transformatsiyaning xususiyatlari yaxshi ma'lum va o'rganilgan. Tanish bo'lmagan odam oliy matematika, shuningdek, frantsuz olimi Furyening asarlari bilan, ehtimol, bu "seriyalar" nima ekanligini va ular nima uchun kerakligini tushunmaydi. Ushbu Furye o'zgarishi bizning hayotimizning ajralmas qismiga aylandi. U nafaqat matematiklar, balki fiziklar, kimyogarlar, shifokorlar, astronomlar, seysmologlar, okeanologlar va boshqalar tomonidan ham qo'llaniladi.
Furye seriyalari ko'plab amaliy masalalarni hal qilish uchun ishlatiladi. Furye konvertatsiyasini analitik, raqamli va boshqa usullar yordamida amalga oshirish mumkin. Okean to'lqinlari kabi jarayonlar va yorug'lik to'lqinlari Quyosh faolligi davrlari deganda har qanday tebranish jarayonlarini Furye qatoriga ajratishning raqamli usuli tushuniladi. Ushbu matematik usullardan foydalanib, siz har qanday tebranish jarayonlarini minimaldan maksimalga va orqaga siljiydigan sinusoidal komponentlar qatori sifatida ifodalovchi funktsiyalarni tahlil qilishingiz mumkin. Furye transformatsiyasi ma'lum bir chastotaga mos keladigan sinusoidlarning fazasi va amplitudasini tavsiflovchi funktsiyadir. Ushbu transformatsiya juda hal qilish uchun ishlatiladi murakkab tenglamalar, termal, yorug'lik yoki ta'siri ostida yuzaga keladigan dinamik jarayonlarni tavsiflovchi elektr energiyasi. Shuningdek, Furye seriyalari murakkab tebranish signallarida doimiy komponentlarni ajratib olish imkonini beradi, bu esa tibbiyot, kimyo va astronomiyada olingan eksperimental kuzatishlarni to'g'ri talqin qilish imkonini beradi.
Texnologiyaning o'sishi bilan, ya'ni. kompyuterning paydo bo'lishi va rivojlanishi Furye konvertatsiyasiga olib keldi yangi daraja. Bu texnika fan va texnikaning deyarli barcha sohalarida mustahkam o‘rnatilgan. Masalan, raqamli audio va video. Bu o'sishning aniq amalga oshishiga aylandi ilmiy jarayon va Furye seriyasining ilovalari. Shunday qilib, Furye seriyasi murakkab shaklda kosmosni o'rganishda yutuq yaratishga imkon berdi. Bundan tashqari, u fizikani o'rganishga ta'sir ko'rsatdi yarimo'tkazgichli materiallar va plazma, mikroto'lqinli akustika, okeanografiya, radar, seysmologiya.
Quyidagi ifodadan aniqlangan davriy signalning faza spektrini ko'rib chiqing:
bu yerda belgilar va mos ravishda kvadrat qavs ichiga olingan miqdorning xayoliy va haqiqiy qismlarini bildiradi.
Agar haqiqiy doimiy qiymat K ga ko'paytirilsa, Furye seriyasining kengayishi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
(1) ifodadan kelib chiqadiki, Furye fazasi spektri quyidagi xususiyatlarga ega:
1) ning funktsiyasidir, ya'ni ga bog'liq bo'lmagan quvvat spektridan farqli o'laroq, signal vaqt o'qi bo'ylab siljishi bilan o'zgaradi;
2) K ga bog'liq emas, ya'ni signalning kuchayishi yoki zaiflashishi uchun o'zgarmasdir, quvvat spektri esa K ga bog'liq.
3) 
ya'ni n ning toq funksiyasi.
Eslatma. Yuqoridagi mulohazalarning geometrik talqinini hisobga olgan holda, uni quvvat spektri va faza spektri nuqtai nazaridan quyidagicha ifodalash mumkin:
Chunki
keyin (2) va (3) dan, agar amplituda (yoki quvvat spektri) va faza spektrlari ma'lum bo'lsa, uni bir ma'noda qayta qurish mumkinligi kelib chiqadi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Bizga funktsiya berilgan 
orasida
Furye seriyasining umumiy ko'rinishi:
Keling, qadriyatlarimizni almashtiramiz va olamiz:
Keling, qadriyatlarimizni almashtiramiz va olamiz.
Ular allaqachon juda zerikarli. Va men nazariyaning strategik zaxiralaridan yangi konserva mahsulotlarini chiqarish vaqti kelganini his qilyapman. Funktsiyani boshqa yo'l bilan bir qatorga kengaytirish mumkinmi? Masalan, to'g'ri chiziq bo'lagini sinuslar va kosinuslar bilan ifodalang? Bu aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, lekin bunday uzoqdan tuyuladigan funktsiyalar bo'lishi mumkin
"qayta birlashish". Nazariya va amaliyotdagi tanish darajalarga qo'shimcha ravishda, funktsiyani qatorga kengaytirishning boshqa yondashuvlari ham mavjud.
Ushbu darsda biz bilan tanishamiz trigonometrik qator Furye, biz uning yaqinlashuvi va yig'indisi masalasiga to'xtalamiz va, albatta, Furye qatoridagi funktsiyalarni kengaytirishning ko'plab misollarini tahlil qilamiz. Men chin dildan maqolani "Dummiya uchun Furye seriyasi" deb nomlashni xohlardim, ammo bu bema'nilik bo'lar edi, chunki muammolarni hal qilish matematik tahlilning boshqa sohalarini bilish va ba'zi amaliy tajribalarni talab qiladi. Shuning uchun, muqaddima astronavtlarni tayyorlashga o'xshaydi =)
Birinchidan, siz sahifa materiallarini o'rganishga mukammal shaklda yondashishingiz kerak. Uyquchan, dam olgan va hushyor. Singan hamster oyog'i haqida kuchli his-tuyg'ularsiz va hayot qiyinchiliklari haqida obsesif fikrlarsiz akvarium baliqlari. Furye seriyasini tushunish qiyin emas, lekin amaliy vazifalar shunchaki diqqatni jamlashni talab qiladi - ideal holda siz o'zingizni tashqi ogohlantirishlardan butunlay ajratib olishingiz kerak. Yechimni tekshirish va javob berishning oson yo'li yo'qligi vaziyatni yanada og'irlashtiradi. Shunday qilib, agar sog'ligingiz o'rtacha darajadan past bo'lsa, unda oddiyroq narsani qilish yaxshiroqdir. Bu rostmi.
Ikkinchidan, kosmosga uchishdan oldin asboblar panelini o'rganish kerak kosmik kema. Mashinada bosilishi kerak bo'lgan funktsiyalarning qiymatlari bilan boshlaylik:
Har qanday tabiiy qiymat uchun:
1) . Darhaqiqat, sinusoid har bir "pi" orqali x o'qini "tikadi":
. Argumentning salbiy qiymatlari bo'lsa, natija, albatta, bir xil bo'ladi: .
2) . Lekin buni hamma ham bilmas edi. Kosinus "pi" "miltillovchi" ning ekvivalenti:
Salbiy dalil ishni o'zgartirmaydi: 
.
Balki bu yetarlidir.
Uchinchidan, aziz kosmonavtlar korpusi, siz... integratsiyalash.
Xususan, ishonch bilan funktsiyani differensial belgisi ostiga qo'ying, qismlarga bo'lib birlashtiring va tinchlikda bo'ling Nyuton-Leybnits formulasi. Parvoz oldidan muhim mashqlarni boshlaylik. Keyinchalik vaznsizlikka tushib qolmaslik uchun men uni o'tkazib yuborishni qat'iyan tavsiya etmayman:
1-misol
Aniq integrallarni hisoblang
Bu erda tabiiy qadriyatlar olinadi.
Yechim: integratsiya “x” oʻzgaruvchisi va undan keyin amalga oshiriladi bu bosqichda diskret o'zgaruvchi "en" doimiy hisoblanadi. Barcha integrallarda funksiyani differentsial belgisi ostiga qo'ying:
Maqsadga erishish yaxshi bo'lgan yechimning qisqacha versiyasi quyidagicha ko'rinadi:
Keling, bunga ko'nikamiz:
Qolgan to'rtta nuqta o'zingizga tegishli. Vazifaga vijdonan yondashishga va integrallarni bajarishga harakat qiling qisqa yo'l. Dars oxirida namunali yechimlar.
Keyin SIFATLI ishlash mashqlar, skafandrlarni kiyish
va boshlashga tayyorlaning!
Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytirish
Ba'zi funktsiyani ko'rib chiqing belgilangan hech bo'lmaganda ma'lum bir muddatga (va ehtimol uzoqroq muddatga). Agar bu funktsiya oraliqda integrallanadigan bo'lsa, uni trigonometrikga kengaytirish mumkin Furye seriyasi:
, deb atalmishlar qayerda Furye koeffitsientlari.
Bunday holda, raqam chaqiriladi parchalanish davri, va bu raqam parchalanishning yarim umri.
Ko'rinib turibdiki, umumiy holatda Furye qatori sinus va kosinuslardan iborat: 
Haqiqatan ham, keling, buni batafsil yozamiz:
Seriyaning nol termini odatda shaklda yoziladi.
Furye koeffitsientlari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi: 
Mavzuni o'rganishni boshlaganlar hali ham yangi atamalar haqida aniq emasligini juda yaxshi tushunaman: parchalanish davri, yarim tsikl, Furye koeffitsientlari va hokazo vahima qo'ymang, bu chiqishdan oldin hayajon bilan solishtirish mumkin emas ochiq joy. Keling, quyidagi misolda hamma narsani tushunib olaylik, buni amalga oshirishdan oldin o'zimizga savol berish mantiqan amaliy masalalar:
Quyidagi vazifalarda nima qilish kerak?
Funksiyani Furye qatoriga kengaytiring. Bundan tashqari, ko'pincha funktsiyaning grafigini, qatorlar yig'indisining grafigini, qisman yig'indini tasvirlash va murakkab professor fantaziyalari bo'lsa, boshqa narsalarni qilish kerak.
Funksiyani Furye qatoriga qanday kengaytirish mumkin?
Umuman olganda, siz topishingiz kerak Furye koeffitsientlari, ya'ni uchtasini tuzing va hisoblang aniq integral.
Iltimos, Furye seriyasining umumiy shaklini va uchta ishchi formulani daftaringizga ko'chiring. Ba'zi saytga tashrif buyuruvchilar kosmonavt bo'lish orzularini mening ko'z o'ngimda amalga oshirayotganidan juda xursandman =)
2-misol
Funksiyani intervalda Furye qatoriga kengaytiring. Grafikni, qatorlar yig'indisining grafigini va qisman yig'indisini tuzing.
Yechim: Vazifaning birinchi qismi funktsiyani Furye seriyasiga kengaytirishdir.
Boshlanish standartdir, buni yozganingizga ishonch hosil qiling:
Bu muammoda kengayish davri yarim davr hisoblanadi.
Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytiramiz: 
Tegishli formulalar yordamida biz topamiz Furye koeffitsientlari. Endi biz uchtasini tuzishimiz va hisoblashimiz kerak aniq integral. Qulaylik uchun men nuqtalarni raqamlayman:
1) Birinchi integral eng sodda, ammo u ko'z olmalarini ham talab qiladi: 
2) Ikkinchi formuladan foydalaning:
Bu integral yaxshi ma'lum va uni parcha-parcha oladi: 
Topilganida ishlatiladi funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish usuli.
Ko'rib chiqilayotgan vazifada darhol foydalanish qulayroqdir Aniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash formulasi 
:
Bir nechta texnik eslatmalar. Birinchidan, formulani qo'llashdan keyin butun ifoda katta qavs ichiga olinishi kerak, chunki asl integraldan oldin doimiy mavjud. Keling, uni yo'qotmaylik! Qavslar keyingi qadamda kengaytirilishi mumkin, men buni oxirgi chora sifatida qildim; Birinchi "qismda" 
Ko'rib turganingizdek, almashtirishda juda ehtiyotkorlik bilan harakat qilamiz, konstanta ishlatilmaydi va integratsiya chegaralari mahsulotga almashtiriladi. Ushbu harakat kvadrat qavs ichida ta'kidlangan. Xo'sh, siz o'quv topshirig'idagi formulaning ikkinchi "bo'lagi" ning integrali bilan tanishsiz;-)
Va eng muhimi - maksimal konsentratsiya!
3) Biz uchinchi Furye koeffitsientini qidiramiz:
Oldingi integralning nisbiysi olinadi, bu ham parcha-parcha birlashtiradi:
Bu misol biroz murakkabroq, men keyingi bosqichlarni bosqichma-bosqich izohlayman: 
(1) Ifoda butunlay katta qavs ichiga olingan. Men zerikarli ko'rinishni xohlamadim, ular tez-tez doimiylikni yo'qotadilar.
(2) V Ushbu holatda Men darhol katta qavslarni ochdim. Maxsus e'tibor
Biz o'zimizni birinchi "bo'lak" ga bag'ishlaymiz: doimiy chekish chekkada va integratsiya chegaralarini ( va ) mahsulotga almashtirishda ishtirok etmaydi. Yozuvning tartibsizligi sababli, bu harakatni kvadrat qavslar bilan yana bir bor ta'kidlash tavsiya etiladi. Ikkinchi "bo'lak" bilan 
hamma narsa oddiyroq: bu erda kasr katta qavslar ochilgandan keyin paydo bo'ldi va doimiy - tanish integralni integrallash natijasida;-)
(3) Kvadrat qavs ichida o'zgartirishlarni amalga oshiramiz va o'ngdagi integralda biz integrasiya chegaralarini almashtiramiz.
(4) Kvadrat qavslardan "miltillovchi chiroq" ni olib tashlaymiz: , va keyin ichki qavslarni ochamiz: .
(5) Biz qavs ichidagi 1 va -1 ni bekor qilamiz va yakuniy soddalashtirishlarni qilamiz.
Nihoyat, barcha uchta Furye koeffitsienti topiladi: 
Keling, ularni formulaga almashtiramiz 
:
Shu bilan birga, yarmiga bo'linishni unutmang. Oxirgi bosqichda "en" ga bog'liq bo'lmagan doimiy ("minus ikki") yig'indidan tashqarida olinadi.
Shunday qilib, biz funktsiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytirishga erishdik: 
Keling, Furye qatorining yaqinlashuvi masalasini o'rganamiz. Men, xususan, nazariyani tushuntiraman Dirixlet teoremasi, so'zma-so'z "barmoqlarda", shuning uchun agar sizga qat'iy formulalar kerak bo'lsa, iltimos, bo'yicha darslikka qarang. matematik tahlil (masalan, Bohanning 2-jildi yoki Fichtengoltsning 3-jildi, ammo bu qiyinroq).
Masalaning ikkinchi qismi grafikni, qator yig’indisining grafigini va qisman yig’indi grafigini chizishni talab qiladi.
Funktsiyaning grafigi odatiy hisoblanadi tekislikdagi to'g'ri chiziq, u qora nuqta chiziq bilan chizilgan: 
Keling, qatorlarning yig'indisini aniqlaylik. Ma’lumki, funksiyalar qatori funksiyalarga yaqinlashadi. Bizning holatda, qurilgan Furye seriyasi 
"x" ning istalgan qiymati uchun qizil rangda ko'rsatilgan funksiyaga yaqinlashadi. Bu funksiya chidaydi 1-toifa yorilishlar nuqtalarda, lekin ularda ham aniqlanadi (chizmadagi qizil nuqta)
Shunday qilib: 
. Asl funktsiyadan sezilarli darajada farq qilishini ko'rish oson, shuning uchun kirishda 
Tenglik belgisi o'rniga tilda ishlatiladi.
Keling, qator yig'indisini qurish uchun qulay bo'lgan algoritmni o'rganamiz.
Markaziy intervalda Furye seriyasi funksiyaning o'ziga yaqinlashadi (markaziy qizil segment chiziqli funktsiyaning qora nuqta chizig'iga to'g'ri keladi).
Endi ko'rib chiqilayotgan trigonometrik kengayishning tabiati haqida bir oz gapiraylik. Furye seriyasi 
faqat davriy funktsiyalar (doimiy, sinuslar va kosinuslar) kiritilgan, shuning uchun qatorlar yig'indisi 
ham ifodalaydi davriy funktsiya
.
Bu bizda nimani anglatadi aniq misol? Va bu seriyaning yig'indisi degan ma'noni anglatadi 
–albatta davriy va intervalning qizil segmenti chap va o'ngda cheksiz takrorlanishi kerak.
Menimcha, "parchalanish davri" iborasining ma'nosi endi nihoyat aniq bo'ldi. Oddiy qilib aytganda, har safar vaziyat yana va yana takrorlanadi.
Amalda, odatda, chizilgan rasmda bo'lgani kabi, parchalanishning uchta davrini tasvirlash etarli. Xo'sh, shuningdek, qo'shni davrlarning "do'qmoqlari" - grafik davom etishi aniq bo'lishi uchun.
Ayniqsa qiziqish uyg'otadi 1-turdagi uzilish nuqtalari. Bunday nuqtalarda Furye seriyasi uzilishning "sakrashi" ning o'rtasida joylashgan (chizmadagi qizil nuqta) ajratilgan qiymatlarga yaqinlashadi. Ushbu nuqtalarning ordinatasini qanday topish mumkin? Birinchidan, ordinatani topamiz " yuqori qavat": buning uchun biz kengayishning markaziy davrining eng o'ng nuqtasida funksiya qiymatini hisoblaymiz: . Ordinatni hisoblash uchun " birinchi qavat“Ekstremalni qabul qilish eng oson chap qiymat xuddi shu davr: 
. O'rtachaning ordinatasi o'rtacha hisoblanadi arifmetik yig'indi"yuqori va pastki": . Yoqimli fakt shundaki, chizmani qurishda siz o'rtasi to'g'ri yoki noto'g'ri hisoblanganligini darhol ko'rasiz.
Keling, qatorning qisman yig'indisini tuzamiz va shu bilan birga "konvergentsiya" atamasining ma'nosini takrorlaymiz. Motiv ham haqidagi darsdan ma'lum raqamlar qatorining yig'indisi. Keling, boyligimizni batafsil tasvirlab beraylik:
Qisman yig'indini tuzish uchun siz nol + qatorning yana ikkita shartini yozishingiz kerak. Ya'ni,
Chizma funktsiyaning grafigini ko'rsatadi yashil, va siz ko'rib turganingizdek, u to'liq miqdorni juda qattiq "o'radi". Agar biz ketma-ket besh shartning qisman yig'indisini ko'rib chiqsak, unda bu funktsiyaning grafigi qizil chiziqlarni yanada aniqroq taxmin qiladi, agar yuzta shart bo'lsa, unda "yashil ilon" aslida qizil segmentlar bilan birlashadi; va boshqalar. Shunday qilib, Furye qatori uning yig'indisiga yaqinlashadi.
Shunisi qiziqki, har qanday qisman miqdor uzluksiz funksiya, ammo seriyaning umumiy yig'indisi hali ham uzluksiz.
Amalda, qisman yig'indi grafigini qurish juda kam uchraydi. Buni qanday qilish kerak? Bizning holatda, segmentdagi funktsiyani ko'rib chiqish, segmentning oxirida va oraliq nuqtalarda uning qiymatlarini hisoblash kerak (qanchalik ko'p nuqtalarni ko'rib chiqsangiz, grafik qanchalik aniq bo'ladi). Keyin chizmada ushbu nuqtalarni belgilashingiz va diqqat bilan davr bo'yicha grafik chizishingiz kerak, so'ngra uni qo'shni intervallarga "takrorlang". Boshqa qanday qilib? Axir, yaqinlashish ham davriy funktsiyadir... ...uning grafigi qaysidir ma'noda menga tibbiy asbob displeyidagi silliq yurak ritmini eslatadi.
Qurilishni amalga oshirish, albatta, juda qulay emas, chunki siz yarim millimetrdan kam bo'lmagan aniqlikni saqlab, juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Biroq, men chizishni yoqtirmaydigan o'quvchilarni xursand qilaman - "haqiqiy" muammoda har doim ham rasm chizish kerak emas, taxminan 50% hollarda, funktsiyani Furye seriyasiga kengaytirish kerak bo'ladi; .
Chizishni tugatgandan so'ng, biz vazifani bajaramiz:
Javob: 
Ko'p vazifalarda funktsiya zarar ko'radi 1-turdagi yorilish to'g'ri parchalanish davrida:
3-misol
Intervalda berilgan funksiyani Furye qatoriga kengaytiring. Funksiya grafigini va qatorlarning umumiy yig‘indisini chizing.
Taklif etilayotgan funktsiya qismlarga bo'lingan holda ko'rsatilgan (va e'tibor bering, faqat segmentda) va chidaydi 1-turdagi yorilish nuqtada. Furye koeffitsientlarini hisoblash mumkinmi? Muammosiz. Funktsiyaning chap va o'ng tomonlari o'z intervallari bo'yicha integrallanadi, shuning uchun har biridagi integrallar uchta formula ikkita integral yig'indisi sifatida taqdim etilishi kerak. Keling, masalan, nol koeffitsient uchun qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqaylik:
Ikkinchi integral nolga teng bo'lib chiqdi, bu esa ishni kamaytirdi, lekin bu har doim ham shunday emas.
Boshqa ikkita Furye koeffitsienti ham xuddi shunday tasvirlangan.
Seriya yig'indisini qanday ko'rsatish mumkin? Chap oraliqda biz to'g'ri chiziq segmentini chizamiz va oraliqda - to'g'ri chiziq segmentini (biz o'qning kesimini qalin va qalin qilib ajratib ko'rsatamiz). Ya'ni, kengaytirish oralig'ida ketma-ketliklarning yig'indisi uchta "yomon" nuqtadan tashqari hamma joyda funktsiyaga to'g'ri keladi. Funktsiyaning uzilish nuqtasida Furye seriyasi uzilishning "sakrashi" ning o'rtasida joylashgan izolyatsiya qilingan qiymatga yaqinlashadi. Uni og'zaki ko'rish qiyin emas: chap tomon chegarasi: , o'ng tomon chegarasi: 
va aniqki, o'rta nuqtaning ordinatasi 0,5 ga teng.
Yig'indining davriyligi tufayli rasm qo'shni davrlarga "ko'paytirilishi" kerak, xususan, bir xil narsa va intervallarda tasvirlangan bo'lishi kerak. Shu bilan birga, nuqtalarda Furye seriyasi median qiymatlarga yaqinlashadi.
Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q.
Bu vazifani o'zingiz engishga harakat qiling. Taxminiy namuna yakuniy loyihalash va dars oxirida rasm chizish.
Funksiyani ixtiyoriy davr mobaynida Furye qatoriga kengaytirish
O'zboshimchalik bilan kengayish davri uchun, bu erda "el" har qanday ijobiy raqam, Furye seriyasi va Furye koeffitsientlari uchun formulalar sinus va kosinus uchun biroz murakkabroq argument bilan ajralib turadi:
Agar bo'lsa, biz boshlagan oraliq formulalarni olamiz.
Muammoni hal qilish algoritmi va tamoyillari to'liq saqlanib qolgan, ammo hisob-kitoblarning texnik murakkabligi oshadi:
4-misol
Funksiyani Furye qatoriga kengaytiring va yig‘indini chizing. 
Yechim: aslida bilan 3-sonli misolning analogi 1-turdagi yorilish nuqtada. Bu muammoda kengayish davri yarim davr hisoblanadi. Funksiya faqat yarim oraliqda aniqlanadi, ammo bu ishni o'zgartirmaydi - funktsiyaning ikkala qismi ham integral bo'lishi muhim.
Funksiyani Furye qatoriga kengaytiramiz:
Funktsiya boshida uzluksiz bo'lganligi sababli, har bir Furye koeffitsienti ikkita integralning yig'indisi sifatida yozilishi kerak:
1) Birinchi integralni iloji boricha batafsil yozaman:
2) Biz Oyning yuzasiga diqqat bilan qaraymiz:
Ikkinchi integral uni parcha-parcha oling:
Yechimning davomini yulduzcha bilan ochganimizdan so'ng nimalarga e'tibor berishimiz kerak?
Birinchidan, biz birinchi integralni yo'qotmaymiz 
, bu erda biz darhol bajaramiz differentsial belgiga obuna bo'lish. Ikkinchidan, katta qavslar oldidagi yomon konstantani unutmang va belgilar bilan adashmang formuladan foydalanganda 
. Keyingi bosqichda darhol ochish uchun katta qavslar hali ham qulayroqdir.
Qolganlari texnika masalasidir, faqat integrallarni echishda yetarlicha tajriba yo'qligi sabab bo'lishi mumkin.
Ha, frantsuz matematigi Furyening taniqli hamkasblari bejiz g'azablanishmagan - u qanday qilib funktsiyalarni trigonometrik qatorlarga joylashtirishga jur'at etgan?! =) Aytgancha, ko'rib chiqilayotgan vazifaning amaliy ma'nosi hammani qiziqtirsa kerak. Furyening o'zi issiqlik o'tkazuvchanligining matematik modeli ustida ishlagan va keyinchalik uning nomi bilan atalgan seriyalar atrofdagi dunyoda ko'rinadigan va ko'rinmaydigan ko'plab davriy jarayonlarni o'rganish uchun ishlatila boshlandi. Aytgancha, ikkinchi misolning grafigini yurakning davriy ritmi bilan taqqoslaganim bejiz emas, deb o'ylanib qoldim. Qiziqqanlar amaliy dastur bilan tanishishlari mumkin Furye konvertatsiyasi uchinchi tomon manbalarida. ...Garchi qilmaslik yaxshiroq bo'lsa-da - u birinchi muhabbat sifatida esda qoladi =)
3) Qayta-qayta eslatib o'tilgan zaif aloqalarni hisobga olib, uchinchi koeffitsientni ko'rib chiqamiz:
Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik: 
Topilgan Furye koeffitsientlarini formulaga almashtiramiz 
, nol koeffitsientini yarmiga bo'lishni unutmang:
Keling, qatorlar yig'indisini chizamiz. Jarayonni qisqacha takrorlaymiz: intervalda to'g'ri chiziq quramiz va intervalda to'g'ri chiziq quramiz. Agar "x" qiymati nolga teng bo'lsa, biz bo'shliqning "sakrashi" ning o'rtasiga nuqta qo'yamiz va qo'shni davrlar uchun grafikni "takrorlaymiz": 
Davrlarning "bog'lanish joylarida" yig'indi ham bo'shliqning "sakrash" ning o'rta nuqtalariga teng bo'ladi.
Tayyor. Shuni eslatib o'tamanki, funktsiyaning o'zi shart bo'yicha faqat yarim oraliqda aniqlangan va, aniqki, intervallardagi qatorlar yig'indisiga to'g'ri keladi.
Javob:
Ba'zan bo'laklarga bo'lingan funksiya kengayish davrida uzluksiz bo'ladi. Eng oddiy misol: 
. Yechim (Qarang: Bohan 2-jild) oldingi ikkita misoldagi kabi: qaramay funksiyaning uzluksizligi nuqtada, har bir Furye koeffitsienti ikkita integral yig'indisi sifatida ifodalanadi.
Parchalanish oralig'ida 1-turdagi uzilish nuqtalari va/yoki grafikning ko'proq "birikma" nuqtalari bo'lishi mumkin (ikki, uchta va odatda har qanday final miqdori). Agar funktsiya har bir qismda integrallanadigan bo'lsa, u Furye qatorida ham kengaytiriladi. Lekin dan amaliy tajriba Men bunday shafqatsizlikni eslay olmayman. Biroq, hozirgina ko'rib chiqilganlardan ko'ra qiyinroq vazifalar mavjud va maqolaning oxirida hamma uchun murakkablik darajasi oshgan Fourier seriyasiga havolalar mavjud.
Shu bilan birga, keling, dam olaylik, stullarimizga suyanib, yulduzlarning cheksiz kengliklari haqida o'ylaymiz:
5-misol
Funktsiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytiring va qatorlar yig'indisini chizing.
Ushbu muammoda funktsiya davomiy kengaytirish yarim oraliqda, bu yechimni soddalashtiradi. Har bir narsa 2-misolga juda o'xshash. Kosmik kemadan qochishning iloji yo'q - siz qaror qabul qilishingiz kerak =) Dars oxirida taxminiy dizayn namunasi, jadval ilova qilingan.
Juft va toq funksiyalarning Furye qator kengayishi
Juft va bilan g'alati funktsiyalar muammoni hal qilish jarayoni sezilarli darajada soddalashtirilgan. Va shuning uchun ham. Keling, Furye qatoridagi funktsiyani "ikki pi" davri bilan kengaytirishga qaytaylik. 
va o'zboshimchalik davri "ikki el" 
.
Faraz qilaylik, bizning funksiyamiz juft. Seriyaning umumiy atamasi, ko'rib turganingizdek, juft kosinuslar va toq sinuslarni o'z ichiga oladi. Va agar biz EVEN funktsiyasini kengaytirayotgan bo'lsak, nega bizga toq sinuslar kerak? Keraksiz koeffitsientni qayta o'rnatamiz: .
Shunday qilib, juft funktsiyani Furye qatorida faqat kosinuslarda kengaytirish mumkin:
Chunki juft funksiyalarning integrallari nolga nisbatan nosimmetrik bo'lgan integratsiya segmenti bo'ylab ikki baravar ko'paytirilishi mumkin, keyin qolgan Furye koeffitsientlari soddalashtiriladi.
Bo'shliq uchun: 
Ixtiyoriy interval uchun: 
Matematik tahlil bo'yicha deyarli har qanday darslikda mavjud bo'lgan darslik misollari kengaytmalarni o'z ichiga oladi hatto funktsiyalar 
. Bundan tashqari, ular mening shaxsiy amaliyotimda bir necha bor duch kelgan:
6-misol
Funktsiya berilgan. Majburiy:
1) funktsiyani davri bilan Furye qatoriga kengaytiring, bu erda ixtiyoriy musbat son;
2) oraliqdagi kengayishni yozing, funktsiyani tuzing va qatorning umumiy yig'indisini grafigini tuzing.
Yechim: birinchi xatboshida muammoni umumiy shaklda hal qilish taklif etiladi va bu juda qulay! Agar zarurat tug'ilsa, shunchaki o'z qiymatingizni almashtiring.
1) Bu masalada kengayish davri yarim davr hisoblanadi. Davomida keyingi harakatlar, xususan, integratsiya paytida "el" doimiy hisoblanadi
Funktsiya teng, ya'ni uni faqat kosinuslarda Furye qatoriga kengaytirish mumkin: 
.
Formulalar yordamida Furye koeffitsientlarini qidiramiz 
. Ularning so'zsiz afzalliklariga e'tibor bering. Birinchidan, integratsiya kengayishning ijobiy segmentida amalga oshiriladi, ya'ni biz moduldan xavfsiz tarzda qutulamiz. 
, ikkita qismning faqat "X" ni hisobga olgan holda. Va, ikkinchidan, integratsiya sezilarli darajada soddalashtirilgan.
Ikki: 
Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:
Shunday qilib:
, "en" ga bog'liq bo'lmagan doimiy , yig'indidan tashqarida olinadi.
Javob: 
2) Keling, kengaytmani intervalga yozamiz, buning uchun umumiy formula almashtirmoq kerakli qiymat yarim tsikl:
Biz yuqorida ko'rib turibmizki, funktsiyalarning quvvat seriyalariga kengayishi bizga ushbu funktsiyalarning taxminiy qiymatlarini kerakli aniqlik bilan hisoblash imkonini beradi. Ammo quvvat seriyasiga (Teylor yoki Maklaurin seriyasiga) kengaytirib bo'lmaydigan ko'plab funktsiyalar mavjud, chunki funksiyalarga qo'yiladigan talablar ancha qattiq (funksiya cheksiz differensial bo'lishi kerak va hokazo). Shuning uchun, kengayish shartlari kamroq og'ir bo'lgan boshqa turdagi funktsional seriyalar ham qo'llaniladi. Bu qatorlar o'z ichiga oladi trigonometrik qator.
Ta'rif: Trigonometrik qator shaklning funktsional qatori:, (1)
Bu erda doimiy raqamlar mavjud:
Trigonometrik qator koeffitsientlari.
(1) qatorning barcha a'zolari funktsional davriy bo'lmagan va umumiy minimal davr 2p ga teng. Bundan kelib chiqadi: agar f(x) funksiya trigonometrik qatorga (1) kengaytirilsa, ya'ni. u bu qatorning yig'indisidir, u holda bu funktsiyaning o'zi faqat 2p uzunlikdagi ma'lum bir intervalda (1) qatorlar yig'indisi bo'lishi kerak.
Trigonometrik qatorning asosiy xossalari trigonometrik funksiyalar tizimining asosiy xossalaridan kelib chiqadi. Men bitta ta'rif bilan chiqdim.
Ta'rif:
j1(x),j2(x),...,j3(x)... funksiyalarning cheksiz tizimi 
segmentda aniqlangan deb ataladi bu segmentda ortogonal, agar quyidagi shartlar bajarilsa: 
m¹n uchun;
har qanday n uchun.
Teorema: Tizim trigonometrik funktsiyalar[-p,p] oraliqda ortogonaldir.
Isbot: Oldingi ta'rifning 1) va 2) shartlarini tekshirish kerak.
1) Integrallarni ko'rib chiqing:
Keling, trigonometrik formulalarni qo'llaymiz:
Shubhasiz, ularning yordami bilan barcha oldingi integrallar quyidagi shakldagi integrallarga keltiriladi: 
Va 
Keling, ularni hisoblaylik.
;
Shunday qilib, ortogonallikning birinchi talabi qondiriladi.
2)
;
ikkinchi talab bajariladi va hokazo.
Trigonometrik Furye seriyasi.
Davriy f(x) funksiyasi 2p davri bilan trigonometrik qator yig‘indisi sifatida ifodalansin. 
(1).
2p uzunlikdagi ba'zi bir intervaldan barcha x uchun. Lekin S(x) qatorning yig’indisi davriy funksiya bo’lib, davri 2p bo’ladi. Shuning uchun f(x) va S(x) qiymatlari butun son chizig'iga to'g'ri keladi (-¥, +¥). Shuning uchun, 2p uzunlikdagi qandaydir intervalda, odatda [-p,p] tenglikni (1) o'rganish kifoya.
Shunday qilib, f(x) [-p,p] bo'yicha (1) qatorlar yig'indisi bo'lsin va qo'shimcha ravishda, uni haddan birma-bir integrallash mumkin, shuning uchun interval bilan. Bu, masalan, (1) qator koeffitsientlarining sonli qatorlari mutlaqo yaqinlashsa, ya'ni. qator yaqinlashadi
(2).
Bunda (1) funksional qatorning mutlaq qiymatdagi shartlari (2) qatorning tegishli hadlaridan oshmaydi, bu (1) qatorning bir xil yaqinlashuvini va demak, uning bo‘lmasligi imkoniyatini bildiradi. -[-p,p] ustidan muddatli integratsiya.
Bundan a 0 koeffitsientini hisoblash uchun foydalanamiz. Keling, (1) tengsizlikning ikkala tomonini [-p,p] ga termlar bo‘yicha integrallashaylik:
Trigonometrik funktsiyalarning ortogonallik xususiyatiga ko'ra, o'ngdagi barcha integrallar birinchisidan tashqari nolga teng. Shunung uchun: 
, qayerda 
(3).
K /k¹0/ ni hisoblash uchun (1) ning ikkala tomonini coskx ga ko'paytiramiz. Olingan qator ham [-p,p] ga bir xilda yaqinlashadi, chunki ½coskx½£1 va uni [-p,p] dan ortiq muddatga birlashtirish mumkin.
Ortogonallikning bir xil xususiyatiga ko'ra, o'ngdagi barcha integrallar nolga teng, k ni o'z ichiga olgandan tashqari.
Keyin 
. Qayerda
(4).
(1) ning ikkala tomonini sin kx ga ko'paytirib, hosil bo'lgan tenglikni ga integrallash orqali biz hosil bo'lamiz. 
. Qayerda
(5).
(3)-(5) formulalar yordamida hisoblangan koeffitsientlar deyiladi
Furye koeffitsientlari f(x) funksiyasi uchun va bu koeffitsientlar bilan trigonometrik qator (1) bo'ladi Funksiyaning Furye qatori (x).
Shuni ta'kidlash kerakki, ketma-ket (1) hadlarni har doim ham birlashtirib bo'lmaydi. Shuning uchun Furye koeffitsientlarini hisoblash va Furye qatorini (1) tuzish rasmiy ravishda mumkin, ammo bu qator umuman yaqinlashishini kafolatlab bo'lmaydi; va agar u yaqinlashsa, u holda uning yig'indisi f(x) funktsiyadir. Bunday hollarda, tenglik (1) o'rniga biz "yozuvlar" haqida kelishib oldik:
Dasturning to'g'ri ishlayotganligini tekshirish uchun biz ikkita sinusoid sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) yig'indisi sifatida namunalar massivi hosil qilamiz va uni dasturga kiritamiz. . Dasturda quyidagilar chizilgan:
1-rasm Signal vaqti funksiyasining grafigi
2-rasm Signal spektrining grafigi
Spektr grafigida amplitudasi 0,5 V va 10 Gts amplitudasi 1 V bo'lgan ikkita tayoq (harmonika) 5 Gts mavjud bo'lib, hamma narsa asl signal formulasi bilan bir xil. Hammasi yaxshi, yaxshi dasturchi! Dastur to'g'ri ishlaydi.
Bu shuni anglatadiki, agar biz ikkita sinusoid aralashmasidan ADC kirishiga haqiqiy signalni qo'llasak, ikkita garmonikadan iborat shunga o'xshash spektrni olamiz.
Jami, bizning haqiqiy o'lchangan signal 5 soniya davom etadi, ADC tomonidan raqamlangan, ya'ni ifodalangan diskret hisoblaydi, bor diskret davriy bo'lmagan diapazon.
Matematik nuqtai nazardan, bu iborada nechta xato bor?
Endi hokimiyat qaror qildi, biz 5 soniya juda uzoq deb qaror qildik, signalni 0,5 soniyada o'lchaymiz.
3-rasm sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) funksiyasining 0,5 sek o‘lchov davri uchun grafigi.
4-rasm Funktsiyalar spektri
Nimadir noto'g'ri ko'rinadi! 10 Gts harmonik odatda chiziladi, lekin 5 Gts tayoq o'rniga bir nechta g'alati harmonikalar paydo bo'ladi. Nima bo'layotganini bilish uchun Internetga qaraymiz ...
Ularning aytishicha, namunaning oxiriga nol qo'shishingiz kerak va spektr odatdagidek chiziladi.
Fig.5 5 soniyagacha nol qo'shildi
Fig.6 Qabul qilingan spektr
Bu hali ham 5 soniyadagidek emas. Biz nazariya bilan shug'ullanishimiz kerak. Keling, boraylik Vikipediya- bilim manbai.
2. Uzluksiz funksiya va uning Furye seriyali tasviri
Matematik jihatdan, T soniya davomiylikdagi signalimiz (0, T) oraliqda belgilangan ma'lum f(x) funktsiyadir (bu holda X vaqt). Bunday funktsiya har doim quyidagi shaklning harmonik funktsiyalari (sinus yoki kosinus) yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin:
(1), bu erda:
K - trigonometrik funktsiya raqami (garmonik komponent raqami, garmonik raqam)
T - funksiya aniqlangan segment (signal davomiyligi)
Ak - k-chi garmonik komponentning amplitudasi,
kh- k- garmonik komponentning boshlang'ich fazasi
“Funksiyani qatorlar yig‘indisi sifatida ifodalash” nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, Furye seriyasining harmonik komponentlarining qiymatlarini har bir nuqtada qo'shish orqali biz ushbu nuqtada funktsiyamizning qiymatini olamiz.
(Aniqroq aytganda, qatorning f(x) funktsiyasidan ildiz o'rtacha kvadrat og'ishi nolga moyil bo'ladi, lekin o'rtacha kvadrat yaqinlashuviga qaramay, funktsiyaning Furye qatori, umuman olganda, talab qilinmaydi. unga nuqta bilan yaqinlashing. https://ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)
Ushbu seriyani quyidagicha yozish mumkin:
(2),
Qayerda, k- kompleks amplituda.
(1) va (3) koeffitsientlar orasidagi munosabat quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:
E'tibor bering, Furye seriyasining ushbu uchta ko'rinishi butunlay ekvivalentdir. Ba'zan Furye qatorlari bilan ishlashda sinus va kosinuslar o'rniga xayoliy argumentning ko'rsatkichlarini qo'llash qulayroq bo'ladi, ya'ni Furye konvertatsiyasini kompleks shaklda qo'llash. Ammo biz uchun (1) formuladan foydalanish qulay, bu erda Furye seriyasi mos keladigan amplitudalar va fazalar bilan kosinus to'lqinlarining yig'indisi sifatida taqdim etiladi. Qanday bo'lmasin, haqiqiy signalning Furye o'zgarishi murakkab garmonik amplitudalarga olib keladi, deb aytish noto'g'ri. Wiki to'g'ri ta'kidlaganidek, "Fourier konvertatsiyasi (ℱ) - bu haqiqiy o'zgaruvchining bir funktsiyasini boshqa funktsiya, shuningdek, haqiqiy o'zgaruvchi bilan bog'laydigan operatsiya."
Jami:
Signallarni spektral tahlil qilishning matematik asosi Furye transformatsiyasi hisoblanadi.
Furye konvertatsiyasi (0, T) segmentida ma'lum trigonometrik funktsiyalarning (sinus va/yoki kosinus) cheksiz soni (cheksiz qator) yig'indisi sifatida aniqlangan uzluksiz f(x) funksiyasini (signal) tasvirlash imkonini beradi. amplitudalar va fazalar, shuningdek segmentda (0, T) hisobga olinadi. Bunday qator Furye seriyasi deb ataladi.
Keling, tushunish uchun zarur bo'lgan yana bir nechta fikrlarni ta'kidlaymiz to'g'ri dastur Signalni tahlil qilish uchun Furye transformatsiyasi. Agar butun X o'qi bo'yicha Furye qatorini (sinusoidlar yig'indisini) ko'rib chiqsak, segmentdan tashqarida (0, T) Furye qatori bilan ifodalangan funktsiya bizning funktsiyamizni davriy ravishda takrorlashini ko'rishimiz mumkin.
Masalan, 7-rasmdagi grafikda asl funktsiya segmentda (-T\2, +T\2) aniqlangan va Furye qatori butun x o'qi bo'yicha aniqlangan davriy funktsiyani ifodalaydi.
Buning sababi, sinusoidlarning o'zi davriy funktsiyalardir va shunga mos ravishda ularning yig'indisi davriy funktsiya bo'ladi.
7-rasm Davriy bo'lmagan asl funktsiyani Furye qatori bilan tasvirlash
Shunday qilib:
Bizning asl funktsiyamiz uzluksiz, davriy bo'lmagan, T uzunlikdagi ma'lum bir segmentda aniqlangan.
Ushbu funktsiyaning spektri diskretdir, ya'ni u garmonik komponentlarning cheksiz qatori - Furye seriyasi shaklida taqdim etiladi.
Darhaqiqat, Furye seriyasi (0, T) segmentida biznikiga to'g'ri keladigan ma'lum bir davriy funktsiyani belgilaydi, ammo biz uchun bu davriylik ahamiyatli emas.
Garmonik komponentlarning davrlari asl f(x) funksiyasi aniqlangan segmentning (0, T) qiymatiga karrali. Boshqacha qilib aytganda, garmonik davrlar signalni o'lchash davomiyligiga ko'paytiriladi. Masalan, Furye qatorining birinchi garmonik davri f(x) funksiya aniqlangan T intervalga teng. Furye seriyasining ikkinchi garmonikasining davri T/2 intervaliga teng. Va hokazo (8-rasmga qarang).
8-rasm Furye seriyasining garmonik komponentlarining davrlari (chastotalari) (bu erda T = 2p)
Shunga ko'ra, harmonik komponentlarning chastotalari 1 / T ga ko'paytiriladi. Ya'ni, Fk garmonik komponentlarning chastotalari Fk= k\T ga teng, bu erda k 0 dan ∞ gacha, masalan k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nol chastotada - doimiy komponent).
Bizning asl funktsiyamiz T=1 soniya davomida qayd etilgan signal bo'lsin. Shunda birinchi garmonikaning davri bizning signalimizning davomiyligiga teng bo'ladi T1=T=1 sek va garmonik chastota 1 Gts ga teng bo'ladi. Ikkinchi garmonikaning davri signal davomiyligi 2 ga bo'lingan (T2 = T/2 = 0,5 sek) va chastotasi 2 Gts ga teng bo'ladi. Uchinchi harmonik uchun T3=T/3 sek va chastotasi 3 Hz. Va hokazo.
Bu holda harmonikalar orasidagi qadam 1 Gts ni tashkil qiladi.
Shunday qilib, davomiyligi 1 sekund bo'lgan signal 1 Gts chastotali rezolyutsiyaga ega bo'lgan harmonik komponentlarga (spektrni olish) parchalanishi mumkin.
Ruxsatni 2 marta 0,5 Gts ga oshirish uchun siz o'lchash davomiyligini 2 marta - 2 soniyagacha oshirishingiz kerak. 10 soniya davom etadigan signal 0,1 Gts chastota o'lchamlari bilan harmonik komponentlarga (spektrni olish uchun) parchalanishi mumkin. Chastota o'lchamlarini oshirishning boshqa usullari yo'q.
Namunalar qatoriga nol qo'shish orqali signalning davomiyligini sun'iy ravishda oshirish usuli mavjud. Lekin u haqiqiy chastota o'lchamlarini oshirmaydi.
3. Diskret signallar va diskret Furye transformatsiyasi
Rivojlanish bilan raqamli texnologiya O'lchov ma'lumotlarini (signallarini) saqlash usullari ham o'zgardi. Agar ilgari signal magnitafonga yozib olinishi va uni analog shaklda lentada saqlash mumkin bo'lsa, endi signallar raqamlashtiriladi va raqamlar to'plami (namuna) sifatida kompyuter xotirasidagi fayllarda saqlanadi.Signalni o'lchash va raqamlashtirishning odatiy sxemasi quyidagicha.
9-rasm o'lchash kanalining diagrammasi
O'lchov o'tkazgichdan kelgan signal ADC ga T vaqt oralig'ida keladi. T vaqtida olingan signal namunalari (namuna olish) kompyuterga uzatiladi va xotirada saqlanadi.
10-rasm Raqamlangan signal - T vaqtida olingan N namunalar
Signalni raqamlashtirish parametrlariga qanday talablar qo'yiladi? Kirishni o'zgartiruvchi qurilma analog signal diskret kodga ( raqamli signal) analog-raqamli konvertor (ADC, English Analog-to-digital converter, ADC) deb ataladi (Wiki).
ADC ning asosiy parametrlaridan biri maksimal namuna olish chastotasi (yoki namuna olish tezligi, inglizcha namuna tezligi) - uni namuna olishda vaqt davom etadigan signalning namuna olish tezligi. U Gertsda o'lchanadi. ((Wiki))
Kotelnikov teoremasiga ko'ra, agar uzluksiz signal Fmax chastotasi bilan chegaralangan spektrga ega bo'lsa, uni vaqt oralig'ida olingan diskret namunalaridan to'liq va aniq qayta qurish mumkin. 
, ya'ni. chastotasi bilan Fd ≥ 2*Fmax, bu erda Fd - namuna olish chastotasi; Fmax - signal spektrining maksimal chastotasi. Boshqacha qilib aytganda, signalni raqamlashtirish chastotasi (ADC namuna olish chastotasi) biz o'lchamoqchi bo'lgan signalning maksimal chastotasidan kamida 2 baravar yuqori bo'lishi kerak.
Agar biz Kotelnikov teoremasi talab qilganidan past chastotali namunalar olsak nima bo'ladi?
Bunday holda, "tasdiqlash" effekti paydo bo'ladi (shuningdek, stroboskopik effekt, muare effekti deb ham ataladi), bunda yuqori chastotali signal raqamlashtirishdan so'ng, aslida mavjud bo'lmagan past chastotali signalga aylanadi. Shaklda. 11 qizil yuqori chastotali sinus to'lqin haqiqiy signaldir. Pastki chastotali ko'k sinusoid - bu namuna olish vaqtida yuqori chastotali signalning yarmidan ko'prog'i o'tish vaqti bo'lganligi sababli paydo bo'ladigan xayoliy signal.
Guruch. 11. Namuna olishning etarli darajada yuqori bo'lmagan tezligida past chastotali noto'g'ri signalning paydo bo'lishi
Yashillash effektini oldini olish uchun ADC oldiga maxsus anti-aliasing filtri qo'yiladi - past chastotali filtr (LPF), u ADC namuna olish chastotasining yarmidan past chastotalarni o'tkazadi va yuqori chastotalarni kesadi.
Signalning spektrini uning diskret namunalaridan hisoblash uchun diskret Furye konvertatsiyasi (DFT) qo'llaniladi. Yana bir bor ta'kidlaymizki, diskret signalning spektri "ta'rifi bo'yicha" Fmax chastotasi bilan chegaralanadi, bu Fd namuna olish chastotasining yarmidan kam. Demak, diskret signalning spektri spektri cheksiz bo'lishi mumkin bo'lgan uzluksiz signalning Furye qatori uchun cheksiz yig'indidan farqli o'laroq, cheklangan sonli garmonikalar yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin. Kotelnikov teoremasiga ko'ra, garmonikaning maksimal chastotasi shunday bo'lishi kerakki, u kamida ikkita namunaga to'g'ri keladi, shuning uchun harmonikalar soni diskret signal namunalari sonining yarmiga teng. Ya'ni, agar namunada N namuna bo'lsa, u holda spektrdagi harmoniklar soni N/2 ga teng bo'ladi.
Keling, diskret Furye konvertatsiyasini (DFT) ko'rib chiqaylik.
Furye seriyalari bilan taqqoslash
Biz ularning bir-biriga to'g'ri kelishini ko'ramiz, faqat DFTdagi vaqt tabiatda diskret va harmonikalar soni N/2 bilan cheklangan - namunalar sonining yarmi.
DFT formulalari k, s o'lchamsiz butun sonli o'zgaruvchilarda yoziladi, bu erda k - signal namunalari soni, s - spektral komponentlar soni.
s qiymati T davridagi to'liq garmonik tebranishlar sonini ko'rsatadi (signal o'lchash davomiyligi). Diskret Furye transformatsiyasi harmonikaning amplitudalari va fazalarini raqamli usul yordamida topish uchun ishlatiladi, ya'ni. "kompyuterda"
Boshida olingan natijalarga qaytish. Yuqorida aytib o'tilganidek, davriy bo'lmagan funktsiyani (bizning signalimizni) Furye qatoriga kengaytirganda, natijada olingan Furye qatori T davriga ega bo'lgan davriy funktsiyaga to'g'ri keladi (12-rasm).
12-rasm Davriy funksiya f(x) davri T0, o'lchash davri T>T0
12-rasmda ko'rinib turibdiki, f(x) funksiya T0 davri bilan davriydir. Biroq, T o'lchov namunasining davomiyligi T0 funksiya davriga to'g'ri kelmasligi sababli, Furye qatori sifatida olingan funktsiya T nuqtada uzilishga ega. Natijada, bu funktsiyaning spektri o'z ichiga oladi. ko'p sonli yuqori chastotali harmoniklar. Agar T o'lchov namunasining davomiyligi T0 funktsiyasining davriga to'g'ri kelgan bo'lsa, u holda Furye konvertatsiyasidan keyin olingan spektr faqat birinchi harmonikni (namuna olish davomiyligiga teng bo'lgan sinusoidni) o'z ichiga oladi, chunki f (x) funktsiyasi. sinusoiddir.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, DFT dasturi bizning signalimiz "sinusoid bo'lagi" ekanligini "bilmaydi", lekin davriy funktsiyani ketma-ket ko'rinishda ifodalashga harakat qiladi, bu esa alohida qismlarning nomuvofiqligi tufayli uzilishga ega. sinusoid.
Natijada, spektrda harmonikalar paydo bo'ladi, ular funktsiyaning shaklini, shu jumladan bu uzilishni umumlashtirishi kerak.
Shunday qilib, bir nechta sinusoidlar yig'indisi bo'lgan signalning "to'g'ri" spektrini olish uchun turli davrlar, signalni o'lchash davri har bir sinusoidning butun sonli davrlarini o'z ichiga olishi kerak. Amalda, bu shart signalni o'lchashning etarlicha uzoq davom etishi uchun bajarilishi mumkin.
13-rasm Vites qutisi kinematik xato signalining funktsiyasi va spektriga misol
Qisqaroq vaqt bilan rasm "yomonroq" ko'rinadi:
14-rasm Rotor tebranish signalining funksiyasi va spektriga misol
Amalda, "haqiqiy komponentlar" qayerda ekanligini va komponentlarning ko'p bo'lmagan davrlari va signalni namuna olish davomiyligi yoki signal shaklidagi "sakrashlar va uzilishlar" tufayli kelib chiqadigan "artefaktlar" qayerda ekanligini tushunish qiyin bo'lishi mumkin. . Albatta, "haqiqiy komponentlar" va "artefaktlar" so'zlari biron bir sababga ko'ra tirnoq belgilariga qo'yiladi. Spektr grafigida ko'plab harmonikalarning mavjudligi bizning signalimiz aslida ulardan "iborat" ekanligini anglatmaydi. Bu 7 raqami 3 va 4 raqamlaridan "iborat" deb o'ylash bilan bir xil. 7 raqamini 3 va 4 raqamlarining yig'indisi sifatida ifodalash mumkin - bu to'g'ri.
Shunday qilib, bizning signalimiz ... yoki aniqrog'i "bizning signalimiz" emas, balki bizning signalimizni takrorlash (namuna olish) orqali tuzilgan davriy funktsiyani ma'lum amplitudalar va fazalar bilan harmonikalar (sinus to'lqinlar) yig'indisi sifatida ko'rsatish mumkin. Ammo amaliyot uchun muhim bo'lgan ko'p hollarda (yuqoridagi raqamlarga qarang), spektrda olingan harmonikani haqiqatdan ham bog'lash mumkin. haqiqiy jarayonlar, ular tsiklik xarakterga ega va signal shakliga katta hissa qo'shadi.
Ba'zi natijalar
1. ADC tomonidan raqamlashtirilgan, ya'ni diskret namunalar to'plami (N dona) bilan ifodalangan, davomiyligi T sekund bo'lgan haqiqiy o'lchangan signal harmonikalar to'plami (N/) bilan ifodalangan diskret davriy bo'lmagan spektrga ega. 2 dona).2. Signal haqiqiy qiymatlar to'plami bilan ifodalanadi va uning spektri haqiqiy qiymatlar to'plami bilan ifodalanadi. Garmonik chastotalar ijobiydir. Matematiklar uchun spektrni manfiy chastotalar yordamida murakkab shaklda ifodalash qulayroq ekanligi "bu to'g'ri" va "bu har doim bajarilishi kerak" degani emas.
3. T vaqt oralig'ida o'lchangan signal faqat T vaqt oralig'ida aniqlanadi. Signalni o'lchashni boshlashimizdan oldin nima sodir bo'lganligi va undan keyin nima sodir bo'lishi fanga noma'lum. Va bizning holatlarimizda bu qiziq emas. Vaqt cheklangan signalning DFT "haqiqiy" spektrini beradi, ya'ni ma'lum sharoitlarda uning tarkibiy qismlarining amplitudasi va chastotasini hisoblash imkonini beradi.
Amaldagi materiallar va boshqa foydali materiallar.
Ko'p hollarda signalning spektrini olish (hisoblash) vazifasi shunday ko'rinadi. Namuna olish chastotasi Fd bo'lgan ADC mavjud bo'lib, u T vaqtida kirish joyiga keladigan uzluksiz signalni raqamli namunalarga - N bo'laklarga aylantiradi. Keyinchalik, namunalar qatori ba'zi bir raqamli qiymatlarning N/2 hosil qiluvchi ma'lum bir dasturga kiritiladi (dasturchi internetdan o'g'irlangan dastur yozgan bo'lsa, u Furye o'zgarishini amalga oshiradi).Dasturning to'g'ri ishlayotganligini tekshirish uchun biz ikkita sinusoid sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) yig'indisi sifatida namunalar massivi hosil qilamiz va uni dasturga kiritamiz. . Dasturda quyidagilar chizilgan:
1-rasm Signal vaqti funksiyasining grafigi
2-rasm Signal spektrining grafigi
Spektr grafigida amplitudasi 0,5 V va 10 Gts amplitudasi 1 V bo'lgan ikkita tayoq (harmonika) 5 Gts mavjud bo'lib, hamma narsa asl signal formulasi bilan bir xil. Hammasi yaxshi, yaxshi dasturchi! Dastur to'g'ri ishlaydi.
Bu shuni anglatadiki, agar biz ikkita sinusoid aralashmasidan ADC kirishiga haqiqiy signalni qo'llasak, ikkita garmonikadan iborat shunga o'xshash spektrni olamiz.
Jami, bizning haqiqiy o'lchangan signal 5 soniya davom etadi, ADC tomonidan raqamlangan, ya'ni ifodalangan diskret hisoblaydi, bor diskret davriy bo'lmagan diapazon.
Matematik nuqtai nazardan, bu iborada nechta xato bor?
Endi hokimiyat qaror qildi, biz 5 soniya juda uzoq deb qaror qildik, signalni 0,5 soniyada o'lchaymiz.
3-rasm sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) funksiyasining 0,5 sek o‘lchov davri uchun grafigi.
4-rasm Funktsiyalar spektri
Nimadir noto'g'ri ko'rinadi! 10 Gts harmonik odatda chiziladi, lekin 5 Gts tayoq o'rniga bir nechta g'alati harmonikalar paydo bo'ladi. Nima bo'layotganini bilish uchun Internetga qaraymiz ...
Ularning aytishicha, namunaning oxiriga nol qo'shishingiz kerak va spektr odatdagidek chiziladi.
Fig.5 5 soniyagacha nol qo'shildi
Fig.6 Qabul qilingan spektr
Bu hali ham 5 soniyadagidek emas. Biz nazariya bilan shug'ullanishimiz kerak. Keling, boraylik Vikipediya- bilim manbai.
2. Uzluksiz funksiya va uning Furye seriyali tasviri
Matematik jihatdan, T soniya davomiylikdagi signalimiz (0, T) oraliqda belgilangan ma'lum f(x) funktsiyadir (bu holda X vaqt). Bunday funktsiya har doim quyidagi shaklning harmonik funktsiyalari (sinus yoki kosinus) yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin:(1), bu erda:
K - trigonometrik funktsiya raqami (garmonik komponent raqami, garmonik raqam)
T - funksiya aniqlangan segment (signal davomiyligi)
Ak - k-chi garmonik komponentning amplitudasi,
kh- k- garmonik komponentning boshlang'ich fazasi
“Funksiyani qatorlar yig‘indisi sifatida ifodalash” nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, Furye seriyasining harmonik komponentlarining qiymatlarini har bir nuqtada qo'shish orqali biz ushbu nuqtada funktsiyamizning qiymatini olamiz.
(Aniqroq aytganda, qatorning f(x) funktsiyasidan ildiz o'rtacha kvadrat og'ishi nolga moyil bo'ladi, lekin o'rtacha kvadrat yaqinlashuviga qaramay, funktsiyaning Furye qatori, umuman olganda, talab qilinmaydi. unga nuqta bilan yaqinlashing. https://ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)
Ushbu seriyani quyidagicha yozish mumkin:
(2),
bu yerda , k-chi kompleks amplituda.
(1) va (3) koeffitsientlar orasidagi munosabat quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:
E'tibor bering, Furye seriyasining ushbu uchta ko'rinishi butunlay ekvivalentdir. Ba'zan Furye qatorlari bilan ishlashda sinus va kosinuslar o'rniga xayoliy argumentning ko'rsatkichlarini qo'llash qulayroq bo'ladi, ya'ni Furye konvertatsiyasini kompleks shaklda qo'llash. Ammo biz uchun (1) formuladan foydalanish qulay, bu erda Furye seriyasi mos keladigan amplitudalar va fazalar bilan kosinus to'lqinlarining yig'indisi sifatida taqdim etiladi. Qanday bo'lmasin, haqiqiy signalning Furye o'zgarishi murakkab garmonik amplitudalarga olib keladi, deb aytish noto'g'ri. Wiki to'g'ri ta'kidlaganidek, "Fourier konvertatsiyasi (ℱ) - bu haqiqiy o'zgaruvchining bir funktsiyasini boshqa funktsiya, shuningdek, haqiqiy o'zgaruvchi bilan bog'laydigan operatsiya."
Jami:
Signallarni spektral tahlil qilishning matematik asosi Furye transformatsiyasi hisoblanadi.
Furye konvertatsiyasi (0, T) segmentida ma'lum trigonometrik funktsiyalarning (sinus va/yoki kosinus) cheksiz soni (cheksiz qator) yig'indisi sifatida aniqlangan uzluksiz f(x) funksiyasini (signal) tasvirlash imkonini beradi. amplitudalar va fazalar, shuningdek segmentda (0, T) hisobga olinadi. Bunday qator Furye seriyasi deb ataladi.
Furye konvertatsiyasini signallarni tahlil qilishda to'g'ri qo'llash uchun tushunish zarur bo'lgan yana bir nechta fikrlarni ta'kidlaymiz. Agar butun X o'qi bo'yicha Furye qatorini (sinusoidlar yig'indisini) ko'rib chiqsak, segmentdan tashqarida (0, T) Furye qatori bilan ifodalangan funktsiya bizning funktsiyamizni davriy ravishda takrorlashini ko'rishimiz mumkin.
Masalan, 7-rasmdagi grafikda asl funktsiya segmentda (-T\2, +T\2) aniqlangan va Furye qatori butun x o'qi bo'yicha aniqlangan davriy funktsiyani ifodalaydi.
Buning sababi, sinusoidlarning o'zi davriy funktsiyalardir va shunga mos ravishda ularning yig'indisi davriy funktsiya bo'ladi.
7-rasm Davriy bo'lmagan asl funktsiyani Furye qatori bilan tasvirlash
Shunday qilib:
Bizning asl funktsiyamiz uzluksiz, davriy bo'lmagan, T uzunlikdagi ma'lum bir segmentda aniqlangan.
Ushbu funktsiyaning spektri diskretdir, ya'ni u garmonik komponentlarning cheksiz qatori - Furye seriyasi shaklida taqdim etiladi.
Darhaqiqat, Furye seriyasi (0, T) segmentida biznikiga to'g'ri keladigan ma'lum bir davriy funktsiyani belgilaydi, ammo biz uchun bu davriylik ahamiyatli emas.
Garmonik komponentlarning davrlari asl f(x) funksiyasi aniqlangan segmentning (0, T) qiymatiga karrali. Boshqacha qilib aytganda, garmonik davrlar signalni o'lchash davomiyligiga ko'paytiriladi. Masalan, Furye qatorining birinchi garmonik davri f(x) funksiya aniqlangan T intervalga teng. Furye seriyasining ikkinchi garmonikasining davri T/2 intervaliga teng. Va hokazo (8-rasmga qarang).
8-rasm Furye seriyasining garmonik komponentlarining davrlari (chastotalari) (bu erda T = 2p)
Shunga ko'ra, harmonik komponentlarning chastotalari 1 / T ga ko'paytiriladi. Ya'ni, Fk garmonik komponentlarning chastotalari Fk= k\T ga teng, bu erda k 0 dan ∞ gacha, masalan k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nol chastotada - doimiy komponent).
Bizning asl funktsiyamiz T=1 soniya davomida qayd etilgan signal bo'lsin. Shunda birinchi garmonikaning davri bizning signalimizning davomiyligiga teng bo'ladi T1=T=1 sek va garmonik chastota 1 Gts ga teng bo'ladi. Ikkinchi garmonikaning davri signal davomiyligi 2 ga bo'lingan (T2 = T/2 = 0,5 sek) va chastotasi 2 Gts ga teng bo'ladi. Uchinchi harmonik uchun T3=T/3 sek va chastotasi 3 Hz. Va hokazo.
Bu holda harmonikalar orasidagi qadam 1 Gts ni tashkil qiladi.
Shunday qilib, davomiyligi 1 sekund bo'lgan signal 1 Gts chastotali rezolyutsiyaga ega bo'lgan harmonik komponentlarga (spektrni olish) parchalanishi mumkin.
Ruxsatni 2 marta 0,5 Gts ga oshirish uchun siz o'lchash davomiyligini 2 marta - 2 soniyagacha oshirishingiz kerak. 10 soniya davom etadigan signal 0,1 Gts chastota o'lchamlari bilan harmonik komponentlarga (spektrni olish uchun) parchalanishi mumkin. Chastota o'lchamlarini oshirishning boshqa usullari yo'q.
Namunalar qatoriga nol qo'shish orqali signalning davomiyligini sun'iy ravishda oshirish usuli mavjud. Lekin u haqiqiy chastota o'lchamlarini oshirmaydi.
3. Diskret signallar va diskret Furye transformatsiyasi
Raqamli texnologiyaning rivojlanishi bilan o'lchov ma'lumotlarini (signallarini) saqlash usullari ham o'zgardi. Agar ilgari signal magnitafonga yozib olinishi va uni analog shaklda lentada saqlash mumkin bo'lsa, endi signallar raqamlashtiriladi va raqamlar to'plami (namuna) sifatida kompyuter xotirasidagi fayllarda saqlanadi.Signalni o'lchash va raqamlashtirishning odatiy sxemasi quyidagicha.
9-rasm o'lchash kanalining diagrammasi
O'lchov o'tkazgichdan kelgan signal ADC ga T vaqt oralig'ida keladi. T vaqtida olingan signal namunalari (namuna olish) kompyuterga uzatiladi va xotirada saqlanadi.
10-rasm Raqamlangan signal - T vaqtida olingan N namunalar
Signalni raqamlashtirish parametrlariga qanday talablar qo'yiladi? Kirish analog signalini diskret kodga (raqamli signal) aylantiruvchi qurilma analog-raqamli konvertor (ADC) (Wiki) deb ataladi.
ADC ning asosiy parametrlaridan biri maksimal namuna olish chastotasi (yoki namuna olish tezligi, inglizcha namuna tezligi) - uni namuna olishda vaqt davom etadigan signalning namuna olish tezligi. U Gertsda o'lchanadi. ((Wiki))
Kotelnikov teoremasiga ko'ra, agar uzluksiz signal Fmax chastotasi bilan chegaralangan spektrga ega bo'lsa, uni vaqt oralig'ida olingan diskret namunalaridan to'liq va aniq qayta qurish mumkin. , ya'ni. chastotasi bilan Fd ≥ 2*Fmax, bu erda Fd - namuna olish chastotasi; Fmax - signal spektrining maksimal chastotasi. Boshqacha qilib aytganda, signalni raqamlashtirish chastotasi (ADC namuna olish chastotasi) biz o'lchamoqchi bo'lgan signalning maksimal chastotasidan kamida 2 baravar yuqori bo'lishi kerak.
Agar biz Kotelnikov teoremasi talab qilganidan past chastotali namunalar olsak nima bo'ladi?
Bunday holda, "tasdiqlash" effekti paydo bo'ladi (shuningdek, stroboskopik effekt, muare effekti deb ham ataladi), bunda yuqori chastotali signal raqamlashtirishdan so'ng, aslida mavjud bo'lmagan past chastotali signalga aylanadi. Shaklda. 11 qizil yuqori chastotali sinus to'lqin haqiqiy signaldir. Pastki chastotali ko'k sinusoid - bu namuna olish vaqtida yuqori chastotali signalning yarmidan ko'prog'i o'tish vaqti bo'lganligi sababli paydo bo'ladigan xayoliy signal.
Guruch. 11. Namuna olishning etarli darajada yuqori bo'lmagan tezligida past chastotali noto'g'ri signalning paydo bo'lishi
Yashillash effektini oldini olish uchun ADC oldiga maxsus anti-aliasing filtri qo'yiladi - past chastotali filtr (LPF), u ADC namuna olish chastotasining yarmidan past chastotalarni o'tkazadi va yuqori chastotalarni kesadi.
Signalning spektrini uning diskret namunalaridan hisoblash uchun diskret Furye konvertatsiyasi (DFT) qo'llaniladi. Yana bir bor ta'kidlaymizki, diskret signalning spektri "ta'rifi bo'yicha" Fmax chastotasi bilan chegaralanadi, bu Fd namuna olish chastotasining yarmidan kam. Demak, diskret signalning spektri spektri cheksiz bo'lishi mumkin bo'lgan uzluksiz signalning Furye qatori uchun cheksiz yig'indidan farqli o'laroq, cheklangan sonli garmonikalar yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin. Kotelnikov teoremasiga ko'ra, garmonikaning maksimal chastotasi shunday bo'lishi kerakki, u kamida ikkita namunaga to'g'ri keladi, shuning uchun harmonikalar soni diskret signal namunalari sonining yarmiga teng. Ya'ni, agar namunada N namuna bo'lsa, u holda spektrdagi harmoniklar soni N/2 ga teng bo'ladi.
Keling, diskret Furye konvertatsiyasini (DFT) ko'rib chiqaylik.
Furye seriyalari bilan taqqoslash
Biz ularning bir-biriga to'g'ri kelishini ko'ramiz, faqat DFTdagi vaqt tabiatda diskret va harmonikalar soni N/2 bilan cheklangan - namunalar sonining yarmi.
DFT formulalari k, s o'lchamsiz butun sonli o'zgaruvchilarda yoziladi, bu erda k - signal namunalari soni, s - spektral komponentlar soni.
s qiymati T davridagi to'liq garmonik tebranishlar sonini ko'rsatadi (signal o'lchash davomiyligi). Diskret Furye transformatsiyasi harmonikaning amplitudalari va fazalarini raqamli usul yordamida topish uchun ishlatiladi, ya'ni. "kompyuterda"
Boshida olingan natijalarga qaytish. Yuqorida aytib o'tilganidek, davriy bo'lmagan funktsiyani (bizning signalimizni) Furye qatoriga kengaytirganda, natijada olingan Furye qatori T davriga ega bo'lgan davriy funktsiyaga to'g'ri keladi (12-rasm).
12-rasm Davriy funksiya f(x) davri T0, o'lchash davri T>T0
12-rasmda ko'rinib turibdiki, f(x) funksiya T0 davri bilan davriydir. Biroq, T o'lchov namunasining davomiyligi T0 funksiya davriga to'g'ri kelmasligi sababli, Furye qatori sifatida olingan funktsiya T nuqtada uzilishga ega. Natijada, bu funktsiyaning spektri o'z ichiga oladi. ko'p sonli yuqori chastotali harmoniklar. Agar T o'lchov namunasining davomiyligi T0 funktsiyasining davriga to'g'ri kelgan bo'lsa, u holda Furye konvertatsiyasidan keyin olingan spektr faqat birinchi harmonikni (namuna olish davomiyligiga teng bo'lgan sinusoidni) o'z ichiga oladi, chunki f (x) funktsiyasi. sinusoiddir.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, DFT dasturi bizning signalimiz "sinusoid bo'lagi" ekanligini "bilmaydi", lekin davriy funktsiyani ketma-ket ko'rinishda ifodalashga harakat qiladi, bu esa alohida qismlarning nomuvofiqligi tufayli uzilishga ega. sinusoid.
Natijada, spektrda harmonikalar paydo bo'ladi, ular funktsiyaning shaklini, shu jumladan bu uzilishni umumlashtirishi kerak.
Shunday qilib, turli davrlarga ega bo'lgan bir nechta sinusoidlarning yig'indisi bo'lgan signalning "to'g'ri" spektrini olish uchun har bir sinusoidning butun davrlari signalni o'lchash davriga to'g'ri kelishi kerak. Amalda, bu shart signalni o'lchashning etarlicha uzoq davom etishi uchun bajarilishi mumkin.
13-rasm Vites qutisi kinematik xato signalining funktsiyasi va spektriga misol
Qisqaroq vaqt bilan rasm "yomonroq" ko'rinadi:
14-rasm Rotor tebranish signalining funksiyasi va spektriga misol
Amalda, "haqiqiy komponentlar" qayerda ekanligini va komponentlarning ko'p bo'lmagan davrlari va signalni namuna olish davomiyligi yoki signal shaklidagi "sakrashlar va uzilishlar" tufayli kelib chiqadigan "artefaktlar" qayerda ekanligini tushunish qiyin bo'lishi mumkin. . Albatta, "haqiqiy komponentlar" va "artefaktlar" so'zlari biron bir sababga ko'ra tirnoq belgilariga qo'yiladi. Spektr grafigida ko'plab harmonikalarning mavjudligi bizning signalimiz aslida ulardan "iborat" ekanligini anglatmaydi. Bu 7 raqami 3 va 4 raqamlaridan "iborat" deb o'ylash bilan bir xil. 7 raqamini 3 va 4 raqamlarining yig'indisi sifatida ifodalash mumkin - bu to'g'ri.
Shunday qilib, bizning signalimiz ... yoki aniqrog'i "bizning signalimiz" emas, balki bizning signalimizni takrorlash (namuna olish) orqali tuzilgan davriy funktsiyani ma'lum amplitudalar va fazalar bilan harmonikalar (sinus to'lqinlar) yig'indisi sifatida ko'rsatish mumkin. Ammo amaliyot uchun muhim bo'lgan ko'p hollarda (yuqoridagi raqamlarga qarang), haqiqatan ham spektrda olingan garmonikalarni tsiklik tabiatga ega bo'lgan va signal shakliga sezilarli hissa qo'shadigan real jarayonlar bilan bog'lash mumkin.
Ba'zi natijalar
1. ADC tomonidan raqamlashtirilgan, ya'ni diskret namunalar to'plami (N dona) bilan ifodalangan, davomiyligi T sekund bo'lgan haqiqiy o'lchangan signal harmonikalar to'plami (N/) bilan ifodalangan diskret davriy bo'lmagan spektrga ega. 2 dona).2. Signal haqiqiy qiymatlar to'plami bilan ifodalanadi va uning spektri haqiqiy qiymatlar to'plami bilan ifodalanadi. Garmonik chastotalar ijobiydir. Matematiklar uchun spektrni manfiy chastotalar yordamida murakkab shaklda ifodalash qulayroq ekanligi "bu to'g'ri" va "bu har doim bajarilishi kerak" degani emas.
3. T vaqt oralig'ida o'lchangan signal faqat T vaqt oralig'ida aniqlanadi. Signalni o'lchashni boshlashimizdan oldin nima sodir bo'lganligi va undan keyin nima sodir bo'lishi fanga noma'lum. Va bizning holatlarimizda bu qiziq emas. Vaqt cheklangan signalning DFT "haqiqiy" spektrini beradi, ya'ni ma'lum sharoitlarda uning tarkibiy qismlarining amplitudasi va chastotasini hisoblash imkonini beradi.
Amaldagi materiallar va boshqa foydali materiallar.