Onlayn iboralarni kasrlar bilan soddalashtiring. Identifikatsiyalar. Xuddi shunday teng ifodalar. Qavslar ichidagi hisoblar
Algebrada ko'rib chiqiladigan turli ifodalar orasida monomiallarning yig'indisi muhim o'rin tutadi. Mana shunday iboralarga misollar:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Monomiylar yig'indisi ko'phad deyiladi. Ko'phaddagi hadlar ko'phadning hadlari deyiladi. Monomial bir a'zodan iborat ko'phad deb hisoblab, ko'phadlar deb ham tasniflanadi.
Masalan, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
soddalashtirish mumkin.
Keling, barcha atamalarni monomiylar shaklida ifodalaylik standart ko'rinish:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Olingan polinomda o'xshash atamalarni keltiramiz:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Natijada ko'phad hosil bo'ladi, uning barcha a'zolari standart shakldagi monomlardir va ular orasida o'xshashlari yo'q. Bunday polinomlar deyiladi standart shakldagi polinomlar.
Orqada polinom darajasi standart shakldagi o'z a'zolarining eng yuqori vakolatlarini oladi. Shunday qilib, binomial \(12a^2b - 7b\) uchinchi darajaga, trinomial \(2b^2 -7b + 6\) ikkinchi darajaga ega.
Odatda, bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan standart shakldagi ko'phadlar hadlari uning daraja ko'rsatkichlarining kamayish tartibida joylashtiriladi. Masalan:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Bir nechta ko'phadlar yig'indisi standart shakldagi ko'phadga aylantirilishi (soddalashtirilgan) mumkin.
Ba'zan ko'phadning shartlarini har bir guruhni qavs ichiga olgan holda guruhlarga bo'lish kerak. Qavs ochish qavslarning teskari o'zgarishi bo'lgani uchun uni shakllantirish oson Qavslarni ochish qoidalari:
Qavslar oldiga "+" belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan atamalar bir xil belgilar bilan yoziladi.
Qavslar oldiga "-" belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan atamalar qarama-qarshi belgilar bilan yoziladi.
Monomiy va ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).
Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, monom va ko'phadning ko'paytmasini ko'phadga aylantirish (soddalashtirish) mumkin. Masalan:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Monomiy va koʻphadning koʻpaytmasi shu monomning va koʻphadning har bir aʼzosining koʻpaytmalari yigʻindisiga teng boʻladi.
Bu natija odatda qoida sifatida shakllantiriladi.
Monomiyni ko'phadga ko'paytirish uchun bu monomni ko'phadning har bir a'zosiga ko'paytirish kerak.
Biz bu qoidani yig'indiga ko'paytirish uchun bir necha marta ishlatganmiz.
Polinomlarning hosilasi. Ikki ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).
Umuman olganda, ikkita ko'phadning ko'paytmasi bir xil ko'phadning har bir hadi va ikkinchisining har bir hadi ko'paytmasining yig'indisiga tengdir.
Odatda quyidagi qoida qo'llaniladi.
Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini ikkinchisining har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Yig'indi kvadratlari, kvadratlarning farqlari va ayirmalari
Ba'zi ifodalar bilan algebraik o'zgarishlar boshqalarga qaraganda tez-tez shug'ullanish kerak. Ehtimol, eng keng tarqalgan iboralar \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) va \(a^2 - b^2 \), ya'ni yig'indining kvadrati, ning kvadrati. kvadratlarning farqi va farqi. Siz bu iboralarning nomlari toʻliq boʻlmagan koʻrinayotganini payqadingiz, masalan, \((a + b)^2 \) bu, albatta, yigʻindining kvadrati emas, balki a va b yigʻindisining kvadrati. . Biroq, a va b yig'indisining kvadrati, qoida tariqasida, a va b harflari o'rniga turli xil, ba'zan juda murakkab ifodalarni o'z ichiga oladi;
\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) iboralarini standart shakldagi ko'phadlarga osongina aylantirish (soddalashtirish) mumkin, aslida siz ko'p nomlarni ko'paytirishda bunday vazifaga duch kelgansiz; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Olingan identifikatsiyalarni eslab qolish va ularni oraliq hisob-kitoblarsiz qo'llash foydalidir. Qisqacha og'zaki formulalar bunga yordam beradi.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - yig'indining kvadrati kvadratlar yig'indisiga va qo'sh ko'paytmaga teng.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farqning kvadrati qo'sh ko'paytmasiz kvadratlar yig'indisiga teng.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadratlar farqi ayirma va yig'indining ko'paytmasiga teng.
Ushbu uchta o'ziga xoslik transformatsiyalarda ularning chap qismlarini o'ngga va aksincha - o'ng qismlarini chapga almashtirishga imkon beradi. Eng qiyin narsa - tegishli iboralarni ko'rish va ulardagi a va b o'zgaruvchilari qanday almashtirilishini tushunishdir. Keling, qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.
Qulay va oddiy onlayn kalkulyator batafsil yechimlari bilan kasrlar Balki:
- Qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kasrlar onlayn,
- Qabul qilish tayyor yechim rasm bilan kasrlar va uni o'tkazish qulay.
Kasrlarni yechish natijasi shu yerda bo'ladi...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kasr belgisi "/" + - *:
_oʻchirish Tozalash
Onlayn kasr kalkulyatorimizda tezkor kiritish mavjud. Masalan, kasrlarni yechish uchun oddiygina yozing 1/2+2/7
kalkulyatorga o'ting va " Kasrlarni yechish". Kalkulyator sizga yozadi batafsil yechim kasrlar va chiqaradi osongina nusxalanadigan rasm.
Kalkulyatorda yozish uchun ishlatiladigan belgilar
Yechim uchun misolni klaviaturadan yoki tugmalar yordamida yozishingiz mumkin.
Onlayn kasr kalkulyatorining xususiyatlari
Kasr kalkulyatori faqat 2 ta amallarni bajarishi mumkin oddiy kasrlar. Ular to'g'ri bo'lishi mumkin (numerator maxrajdan kichik), va noto'g'ri (hisoblagich maxrajdan katta). Numerator va maxrajdagi raqamlar manfiy yoki 999 dan katta bo'lishi mumkin emas.Bizning onlayn kalkulyatorimiz kasrlarni echadi va javob beradi to'g'ri turdagi- kasrni kamaytiradi va agar kerak bo'lsa, butun qismini tanlaydi.
Agar siz manfiy kasrlarni echishingiz kerak bo'lsa, shunchaki minusning xususiyatlaridan foydalaning. Manfiy kasrlarni ko'paytirish va bo'lishda minus minus ortiqcha beradi. Ya'ni, manfiy kasrlarning ko'paytmasi va bo'linishi bir xil musbatlarning ko'paytmasi va bo'linishiga teng. Agar ko'paytirish yoki bo'lish paytida bitta kasr manfiy bo'lsa, minusni olib tashlang va uni javobga qo'shing. Manfiy kasrlarni qo'shganda natija xuddi bir xil musbat kasrlarni qo'shgandek bo'ladi. Agar siz bitta manfiy kasrni qo'shsangiz, bu bir xil musbatni ayirish bilan bir xil bo'ladi.
Salbiy kasrlarni ayirishda natija xuddi ular almashtirilgan va musbat bo'lgandek bo'ladi. Ya'ni minus minus ichida Ushbu holatda ortiqcha beradi, lekin shartlarni qayta tartibga solish summani o'zgartirmaydi. Biz kasrlarni ayirishda bir xil qoidalardan foydalanamiz, ulardan biri manfiy.
Yechimlar uchun aralash fraktsiyalar(kasrlar qaysi butun qismi) faqat butun qismni kasrga aylantiring. Buning uchun butun qismni maxrajga ko'paytiring va hisoblagichga qo'shing.
Agar siz 3 yoki undan ortiq kasrlarni onlayn tarzda yechishingiz kerak bo'lsa, ularni birma-bir hal qilishingiz kerak. Birinchidan, dastlabki 2 kasrni hisoblang, keyin olingan javob bilan keyingi kasrni yeching va hokazo. Amaliyotlarni birma-bir bajaring, bir vaqtning o'zida 2 kasr va oxir-oqibat siz to'g'ri javob olasiz.
§ 1 To'g'ridan-to'g'ri ifodani soddalashtirish tushunchasi
Ushbu darsda biz "o'xshash atamalar" tushunchasi bilan tanishamiz va misollar yordamida o'xshash atamalarni qisqartirishni qanday bajarishni o'rganamiz, shu bilan tom ma'nodagi iboralarni soddalashtiramiz.
Keling, "soddalashtirish" tushunchasining ma'nosini bilib olaylik. "Soddalashtirish" so'zi "soddalashtirish" so'zidan olingan. Soddalash, soddalashtirmoq, soddalashtirmoq demakdir. Shuning uchun, so'zma-so'z ifodani soddalashtirish - uni qisqartirish, bilan minimal miqdor harakatlar.
9x + 4x ifodasini ko'rib chiqing. Bu so'zma-so'z ifoda bo'lib, yig'indi. Bu erda atamalar raqam va harfning hosilasi sifatida taqdim etiladi. Bunday atamalarning son koeffitsienti koeffitsient deb ataladi. Ushbu ifodada koeffitsientlar 9 va 4 raqamlari bo'ladi. Iltimos, harf bilan ifodalangan koeffitsient bu yig'indining ikkala shartida ham bir xil ekanligini unutmang.
Ko'paytirishning distributiv qonunini eslaylik:
Yig'indini raqamga ko'paytirish uchun siz har bir atamani shu raqamga ko'paytirishingiz va hosil bo'lgan mahsulotlarni qo'shishingiz mumkin.
IN umumiy ko'rinish quyidagicha yoziladi: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Bu qonun har ikki yo'nalishda ham to'g'ridir ac + bc = (a + b) ∙ c
Keling, uni to'g'ridan-to'g'ri ifodaimizga qo'llaymiz: 9x va 4x ko'paytmalari yig'indisi birinchi koeffitsienti 9 va 4 ning yig'indisiga teng bo'lgan ko'paytmaga, ikkinchi koeffitsienti x ga teng.
9 + 4 = 13, bu 13x.
9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.
Ifodada uchta amal o'rniga faqat bitta harakat - ko'paytirish qoladi. Bu shuni anglatadiki, biz so'zma-so'z ifodani soddalashtirdik, ya'ni. soddalashtirdi.
§ 2 Shu kabi atamalarni qisqartirish
9x va 4x atamalar faqat koeffitsientlari bilan farqlanadi - bunday atamalar o'xshash deb ataladi. O'xshash atamalarning harf qismi bir xil. Shu kabi atamalarga raqamlar va teng shartlar ham kiradi.
Masalan, 9a + 12 - 15 ifodasida o'xshash atamalar 12 va -15 raqamlari va 12 va 6a ko'paytmasi yig'indisida 14 raqami va 12 va 6a ko'paytmasi (12 ∙ 6a + 14) bo'ladi. + 12 ∙ 6a) 12 va 6a ko'paytmasi bilan ifodalangan teng hadlar.
Shuni ta'kidlash kerakki, koeffitsientlari teng, lekin harf koeffitsientlari har xil bo'lgan atamalar o'xshash emas, garchi ba'zan ularga ko'paytirishning taqsimot qonunini qo'llash foydali bo'lsa-da, masalan, 5x va 5y ko'paytmalar yig'indisi. 5 sonining ko'paytmasiga va x va y yig'indisiga teng
5x + 5y = 5(x + y).
-9a + 15a - 4 + 10 ifodasini soddalashtiramiz.
Bu holda o'xshash atamalar -9a va 15a atamalardir, chunki ular faqat koeffitsientlarida farqlanadi. Ularning harf ko'paytmasi bir xil va -4 va 10 atamalari ham o'xshashdir, chunki ular raqamlardir. Shu kabi atamalarni qo'shing:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Biz olamiz: 6a + 6.
Ifodani soddalashtirish orqali biz matematikada o'xshash atamalarning yig'indisini topdik.
Agar bunday atamalarni qo'shish qiyin bo'lsa, siz ular uchun so'zlarni o'ylab topishingiz va ob'ektlar qo'shishingiz mumkin.
Misol uchun, ifodani ko'rib chiqing:
Har bir harf uchun biz o'z ob'ektimizni olamiz: b-olma, c-nok, keyin biz olamiz: 2 olma minus 5 nok va 8 nok.
Olmadan nokni ayirish mumkinmi? Albatta yo'q. Lekin minus 5 nokga 8 ta nok qo'shishimiz mumkin.
Keling, shunga o'xshash atamalarni taqdim qilaylik -5 nok + 8 nok. O'xshash atamalar bir xil harf qismiga ega, shuning uchun o'xshash atamalarni keltirishda koeffitsientlarni qo'shish va natijaga harf qismini qo'shish kifoya:
(-5 + 8) nok - siz 3 ta nok olasiz.
Bizning so'zma-so'z ifodamizga qaytsak, bizda -5 s + 8 s = 3 s. Shunday qilib, o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng, biz 2b + 3c ifodasini olamiz.
Shunday qilib, ushbu darsda siz "o'xshash atamalar" tushunchasi bilan tanishdingiz va o'xshash atamalarni qisqartirish orqali harfli iboralarni qanday soddalashtirishni o'rgandingiz.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
- Matematika. 6-sinf: I.I. darsligi uchun dars ishlanmalari. Zubareva, A.G. Mordkovich // muallif-tuzuvchi L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Matematika. 6-sinf: o‘quvchilar uchun darslik ta'lim muassasalari. I.I Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematika. 6-sinf: umumiy ta’lim muassasalari uchun darslik/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov va boshqalar / tahrir G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Rossiya Fanlar Akademiyasi, Rossiya Ta'lim Akademiyasi. M.: "Ma'rifat", 2010.
- Matematika. 6-sinf: umumiy ta'lim muassasalari uchun o'qish / N.Ya. Vilenkin, V.I. Joxov, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematika. 6-sinf: darslik/G.K. Muravin, O.V. Muravina. - M.: Bustard, 2014 yil.
Ishlatilgan rasmlar:
Har qanday tildan foydalanib, siz bir xil ma'lumotni turli so'zlar va iboralar bilan ifodalashingiz mumkin. Matematik til ham bundan mustasno emas. Ammo bir xil iborani turli yo'llar bilan ekvivalent tarzda yozish mumkin. Va ba'zi hollarda, yozuvlardan biri oddiyroq. Bu darsda iboralarni soddalashtirish haqida gaplashamiz.
Odamlar muloqot qilishadi turli tillar. Biz uchun "rus tili - matematik til" juftligi muhim taqqoslashdir. Xuddi shu ma'lumot turli tillarda berilishi mumkin. Ammo, bundan tashqari, uni bir tilda turli xil talaffuz qilish mumkin.
Masalan: "Petya Vasya bilan do'st", "Vasya Petya bilan do'st", "Petya va Vasya do'st". Boshqacha aytdi, lekin bir xil. Ushbu iboralarning har qandayidan biz nima haqida gapirayotganimizni tushunamiz.
Keling, ushbu iborani ko'rib chiqaylik: "Bola Petya va bola Vasya do'stdir." Biz nimani nazarda tutayotganimizni tushunamiz haqida gapiramiz. Biroq, bu iboraning ovozi bizga yoqmaydi. Buni soddalashtirib bo'lmaydimi, xuddi shu narsani, lekin soddaroq deymizmi? "Bola va bola" - siz bir marta aytishingiz mumkin: "Petya va Vasya o'g'illari do'stlar".
"O'g'il bolalar" ... Ismlaridan ular qiz emasligi aniq emasmi? Biz "o'g'il bolalar" ni olib tashlaymiz: "Petya va Vasya do'stlar". Va "do'stlar" so'zini "do'stlar" bilan almashtirish mumkin: "Petya va Vasya do'stlar". Natijada, birinchi, uzun, xunuk iboraning o'rniga aytish osonroq va tushunarli bo'lgan ekvivalent gap qo'shildi. Biz bu iborani soddalashtirdik. Soddalash - bu oddiyroq aytishni anglatadi, lekin ma'noni yo'qotmaslik yoki buzib tashlamaslik.
Matematik tilda taxminan bir xil narsa sodir bo'ladi. Xuddi shu narsani aytish mumkin, boshqacha yozish mumkin. Ifodani soddalashtirish nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, asl ibora uchun juda ko'p ekvivalent iboralar, ya'ni bir xil ma'noni anglatuvchi iboralar mavjud. Va bu xilma-xillikdan, bizning fikrimizcha, eng oddiyini yoki keyingi maqsadlarimiz uchun eng mosini tanlashimiz kerak.
Masalan, raqamli ifodani ko'rib chiqing. ga teng bo'ladi.
Shuningdek, u birinchi ikkitasiga teng bo'ladi: 
.
Ma’lum bo‘lishicha, biz ifodalarimizni soddalashtirib, eng qisqa ekvivalent ifodani topdik.
Uchun raqamli ifodalar har doim barcha harakatlarni bajarishingiz va bitta raqam shaklida ekvivalent ifodani olishingiz kerak.
Keling, so'zma-so'z ifodaga misolni ko'rib chiqaylik . Shubhasiz, bu oddiyroq bo'ladi.
To'g'ridan-to'g'ri iboralarni soddalashtirishda barcha mumkin bo'lgan harakatlarni bajarish kerak.
Har doim ifodani soddalashtirish kerakmi? Yo'q, ba'zan biz uchun ekvivalent, lekin uzoqroq kirishga ega bo'lish qulayroq bo'ladi.
Misol: raqamdan raqamni ayirish kerak.
Hisoblash mumkin, lekin agar birinchi raqam uning ekvivalent belgisi bilan ifodalangan bo'lsa: , u holda hisob-kitoblar bir zumda bo'ladi: .
Ya'ni, soddalashtirilgan ifoda biz uchun har doim ham keyingi hisob-kitoblar uchun foydali emas.
Shunga qaramay, biz ko'pincha "ifodani soddalashtirish" kabi ko'rinadigan vazifaga duch kelamiz.
Ifodani soddalashtiring: .
Yechim
1) Birinchi va ikkinchi qavsdagi amallarni bajaring: .
2) Mahsulotlarni hisoblaymiz: .
Shubhasiz, oxirgi ibora boshlang'ichga qaraganda soddaroq shaklga ega. Biz buni soddalashtirdik.
Ifodani soddalashtirish uchun uni ekvivalent (teng) bilan almashtirish kerak.
Ekvivalent ifodani aniqlash uchun sizga kerak bo'ladi:
1) barcha mumkin bo'lgan harakatlarni bajarish;
2) hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish xossalaridan foydalanish.
Qo'shish va ayirishning xossalari:
1. Qo‘shishning almashinish xususiyati: shartlarni qayta tartiblash yig‘indini o‘zgartirmaydi.
2. Qo‘shishning birikma xossasi: ikki sonning yig‘indisiga uchinchi sonni qo‘shish uchun birinchi songa ikkinchi va uchinchi sonlar yig‘indisini qo‘shish mumkin.
3. Sondan yig‘indini ayirish xossasi: sondan yig‘indini ayirish uchun har bir atamani alohida ayirish mumkin.
Ko`paytirish va bo`lish xossalari
1. Ko'paytirishning almashinish xususiyati: omillarni qayta joylashtirish ko'paytmani o'zgartirmaydi.
2. Kombinativ xususiyat: sonni ikki sonning ko‘paytmasiga ko‘paytirish uchun avval uni birinchi ko‘paytmaga, so‘ngra hosil bo‘lgan ko‘paytmani ikkinchi ko‘paytmaga ko‘paytirish mumkin.
3. Ko'paytirishning taqsimlash xususiyati: sonni yig'indiga ko'paytirish uchun uni har bir hadga alohida ko'paytirish kerak.
Keling, aqliy hisob-kitoblarni qanday qilishimizni ko'rib chiqaylik.
Hisoblash:
Yechim
1) Keling, qanday qilib tasavvur qilaylik
2) Birinchi omilni bit hadlar yig‘indisi sifatida tasavvur qilamiz va ko‘paytirishni bajaramiz:
3) ko'paytirishni qanday va qanday bajarishni tasavvur qilishingiz mumkin:
4) Birinchi ko‘rsatkichni ekvivalent yig‘indi bilan almashtiring:
Distributiv qonundan ham foydalanish mumkin teskari tomon: .
Quyidagi amallarni bajaring:
1) 
2) 
Yechim
1) Qulaylik uchun siz distributiv qonundan foydalanishingiz mumkin, lekin uni teskari yo'nalishda qo'llang - umumiy omilni qavslardan chiqarib oling.
2) Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz
Oshxona va koridor uchun linoleum sotib olish kerak. Oshxona maydoni - , koridor - . Linolyumlarning uch turi mavjud: uchun va rubl uchun. Har biri qancha turadi? uch xil linoleum? (1-rasm)
Guruch. 1. Muammo bayoni uchun rasm
Yechim
Usul 1. Oshxona uchun linoleum sotib olish uchun qancha pul kerakligini alohida bilib olishingiz mumkin, keyin esa koridorda va natijada olingan mahsulotlarni qo'shishingiz mumkin.