Keling, yo'naltiruvchi vektorni qo'llaymiz
nuqtaga
. Masofa nuqtadan
to'g'ri chiziqqa vektorlar ustiga qurilgan parallelogramm balandligi Va
. Ko'ndalang ko'paytma yordamida parallelogrammning maydonini topamiz:

Boshqa tomondan, . Oxirgi ikki munosabatlarning o'ng tomonlari tengligidan shunday xulosa kelib chiqadi

. (3.27)

3.10. Ellipsoid

Ta'rif. Ellipsoid ikkinchi tartibli sirt bo'lib, u qandaydir koordinatalar tizimida tenglama bilan aniqlanadi

. (3.28)

(3.28) tenglama ellipsoidning kanonik tenglamasi deyiladi.

(3.28) tenglamadan koordinata tekisliklari ellipsoidning simmetriya tekisliklari, koordinatalarning boshi esa simmetriya markazi ekanligi kelib chiqadi. Raqamlar
ellipsoidning yarim o'qlari deb ataladi va ellipsoidning koordinata o'qlari bilan kesishishigacha bo'lgan segmentlarning uzunliklarini ifodalaydi. Ellipsoid - parallelepiped bilan o'ralgan chegaralangan sirt
,
,
.

Ellipsoidning geometrik shaklini o'rnatamiz. Buning uchun uning tekisliklarining koordinata o'qlariga parallel kesishish chiziqlari shaklini aniqlaymiz.

Aniqroq bo'lish uchun ellipsoidning tekisliklar bilan kesishish chiziqlarini ko'rib chiqing
, tekislikka parallel
. Kesishma chizig'ini tekislikka proyeksiyalash tenglamasi
qo'ysak (3.28) dan olinadi
. Bu proyeksiyaning tenglamasi

. (3.29)

Agar
, u holda (3.29) xayoliy ellips tenglamasi va ellipsoidning tekislik bilan kesishish nuqtalari.
Yo'q. Bundan kelib chiqadi
. Agar
, keyin (3.29) chiziq nuqtalarga, ya'ni tekisliklarga aylanadi
nuqtalarda ellipsoidga teging
Va
. Agar
, Bu
va siz yozuvni kiritishingiz mumkin

,
. (3.30)

Keyin (3.29) tenglama shaklni oladi

, (3.31)

ya'ni tekislikka proyeksiya qilish
ellipsoid va tekislikning kesishish chiziqlari
yarim o'qli ellips bo'lib, ular tenglik bilan aniqlanadi (3.30). Sirtning koordinata tekisliklariga parallel bo'lgan tekisliklar bilan kesishish chizig'i balandlikka "ko'tarilgan" proyeksiya bo'lgani uchun , keyin kesishish chizig'ining o'zi ellipsdir.

Qiymatni kamaytirganda aks vallari Va ko'payadi va eng katta qiymatiga erishadi
, ya'ni ellipsoidning koordinata tekisligi bo'yicha kesimida
yarim o'qli eng katta ellips olinadi
Va
.

Ellipsoid g'oyasini boshqa yo'l bilan olish mumkin. Samolyotda o'ylab ko'ring
yarim o'qli ellipslar oilasi (3.31). Va , munosabatlar (3.30) bilan belgilanadi va ga bog'liq . Har bir bunday ellips darajali chiziqdir, ya'ni har bir nuqtasida qiymati bo'lgan chiziq xuddi shu. Har bir bunday ellipsni balandlikka "ko'tarish" , biz ellipsoidning fazoviy ko'rinishini olamiz.

Xuddi shunday rasm berilgan sirtni koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar bilan kesishganda ham olinadi
Va
.

Shunday qilib, ellipsoid yopiq elliptik sirtdir. Qachon
Ellipsoid shar shaklidadir.

Ellipsoidning istalgan tekislik bilan kesishish chizig'i ellipsdir, chunki bunday chiziq ikkinchi tartibning cheklangan chizig'i va ikkinchi tartibning yagona cheklangan chizig'i ellipsdir.

"A olish" video kursi muvaffaqiyat uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi Yagona davlat imtihonidan o'tish matematikadan 60-65 ball. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Tezkor usullar Yagona davlat imtihonining echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs 5 tadan iborat katta mavzular, har biri 2,5 soat. Har bir mavzu noldan, sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlari nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor nayranglar echimlar, foydali cheat varaqlari, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yechim uchun asos murakkab vazifalar Yagona davlat imtihonining 2 qismi.

Bu bu chiziq va uning berilgan tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchakni topishni anglatadi.

Vazifani aks ettiruvchi fazoviy model rasmda keltirilgan.

Muammoni hal qilish rejasi:
1. Ixtiyoriy nuqtadan A∈a tekislikka perpendikulyar tushiring α ;
2. Ushbu perpendikulyarning tekislik bilan uchrashish nuqtasini aniqlang α . Nuqta A a- ortogonal proyeksiya A samolyotga α ;
3. Chiziqning kesishish nuqtasini toping a samolyot bilan α . Nuqta a a- to'g'ri yo'l a yuzada α ;
4. Biz bajaramiz ( A a a a) - to'g'ri chiziqning proyeksiyasi a samolyotga α ;
5. ∠ haqiqiy qiymatini aniqlang Aa a A a, ya'ni ∠ φ .

Muammoning yechimi chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping∠ ni aniqlamasak, juda soddalashtirilishi mumkin φ to'g'ri chiziq va tekislik o'rtasida va 90 ° ∠ ni to'ldiruvchi γ . Bunday holda, nuqtaning proyeksiyasini aniqlashning hojati yo'q A va toʻgʻri chiziq proyeksiyalari a samolyotga α . Kattalikni bilish γ , formula bo'yicha hisoblanadi:

$ ph = 90° - g $

a va samolyot α , parallel chiziqlar bilan belgilanadi m Va n.

a α
Gorizontal atrofida aylanish ball bilan beriladi 5 va 6 biz haqiqiy o'lchamni ∠ aniqlaymiz γ . Kattalikni bilish γ , formula bo'yicha hisoblanadi:

$ ph = 90° - g $

To'g'ri chiziq orasidagi burchakni aniqlash a va samolyot α , BCD uchburchagi bilan aniqlanadi.

Chiziqdagi ixtiyoriy nuqtadan a tekislikka perpendikulyar tushiring α
3 va 4-bandlarda belgilangan gorizontal chiziq atrofida aylanib, biz tabiiy o'lchamni aniqlaymiz ∠ γ . Kattalikni bilish γ , formula yordamida hisoblangan.

Maqola to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni aniqlash bilan boshlanadi. Ushbu maqolada to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni koordinata usuli yordamida qanday topish mumkinligi ko'rsatilgan. Misollar va muammolarning echimlari batafsil muhokama qilinadi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Birinchidan, fazodagi to'g'ri chiziq tushunchasini va tekislik tushunchasini takrorlash kerak. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni aniqlash uchun bir nechta yordamchi ta'riflar kerak. Keling, ushbu ta'riflarni batafsil ko'rib chiqaylik.

Ta'rif 1

To'g'ri chiziq va tekislik kesishadi ularda bor bo'lsa umumiy nuqta, ya'ni to'g'ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasidir.

Tekislikni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lishi mumkin.

Ta'rif 2

To'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar bu tekislikda joylashgan har qanday chiziqqa perpendikulyar bo'lganda.

Ta'rif 3

M nuqtaning tekislikka proyeksiyasi g nuqtaning o'zi, agar u yotsa berilgan samolyot, yoki tekislikning g tekislikka tegishli bo'lmasligi sharti bilan M nuqtadan o'tuvchi g tekislikka perpendikulyar chiziq bilan kesishish nuqtasidir.

Ta'rif 4

a chiziqning tekislikka proyeksiyasi g - berilgan chiziqning barcha nuqtalarining tekislikka proyeksiyalari to'plami.

Bundan g tekislikka perpendikulyar chiziq proyeksiyasi kesishish nuqtasiga ega ekanligini bilib olamiz. a chiziqning proyeksiyasi g tekislikka tegishli va a chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasidan o'tuvchi chiziq ekanligini aniqlaymiz. Keling, quyidagi rasmga qaraylik.

Yoniq bu daqiqa to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak ta'rifini shakllantirish uchun barcha kerakli ma'lumotlar va ma'lumotlarga egamiz

Ta'rif 5

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak bu to'g'ri chiziq va uning bu tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchak deyiladi va to'g'ri chiziq unga perpendikulyar emas.

Yuqorida keltirilgan burchakning ta'rifi chiziq va tekislik orasidagi burchak ikki kesishuvchi to'g'ri chiziq orasidagi burchak, ya'ni berilgan chiziq bilan birga uning tekislikka proyeksiyasi degan xulosaga kelishga yordam beradi. Bu ularning orasidagi burchak har doim o'tkir bo'lishini anglatadi. Keling, quyidagi rasmni ko'rib chiqaylik.

To'g'ri chiziq va tekislik o'rtasida joylashgan burchak to'g'ri, ya'ni 90 gradusga teng deb hisoblanadi, lekin parallel to'g'ri chiziqlar orasida joylashgan burchak aniqlanmagan. Uning qiymati nolga teng qabul qilingan holatlar mavjud.

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish zarur bo'lgan masalalarni hal qilishda ko'plab o'zgarishlar mavjud. Yechimning o'zi vaziyat bo'yicha mavjud ma'lumotlarga bog'liq. Yechimning tez-tez hamrohlari raqamlar, kosinuslar, sinuslar, burchaklar tangenslarining o'xshashligi yoki tengligi belgilaridir. Koordinata usuli yordamida burchakni topish mumkin. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.

Agar uch oʻlchamli fazoga O x y z toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasi kiritilsa, unda g tekislikni M nuqtada kesib oʻtuvchi a toʻgʻri chiziq koʻrsatilgan va u tekislikka perpendikulyar emas. Berilgan to'g'ri chiziq va tekislik o'rtasida joylashgan a burchakni topish kerak.

Avval koordinata usulidan foydalanib, to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakning ta'rifini qo'llashingiz kerak. Keyin biz quyidagilarni olamiz.

O x y z koordinata sistemasida to'g'ri chiziqning fazodagi tenglamalariga va to'g'ri chiziqning fazodagi yo'naltiruvchi vektoriga to'g'ri keladigan a to'g'ri chiziq ko'rsatilgan bo'lib, u erda tekislik va normal tenglama mos keladi; samolyot vektori. U holda a → = (a x, a y, a z) berilgan a chiziqning yo‘nalish vektori, n → (n x, n y, n z) esa g tekislik uchun normal vektor bo‘ladi. Agar a to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori va g tekislikning normal vektorining koordinatalari bor deb tasavvur qilsak, ularning tenglamalari ma'lum, ya'ni shart bilan aniqlangan bo'lsa, a vektorlarini aniqlash mumkin bo'ladi. → va n → tenglama asosida.

Burchakni hisoblash uchun to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining mavjud koordinatalari va normal vektor yordamida ushbu burchakning qiymatini olish uchun formulani o'zgartirish kerak.

a to'g'ri chiziqning g tekislik bilan kesishgan nuqtasidan boshlab a → va n → vektorlarini chizish kerak. Ushbu vektorlarning berilgan chiziqlar va tekisliklarga nisbatan joylashishining 4 ta varianti mavjud. Quyidagi rasmga qarang, unda barcha 4 ta variant ko'rsatilgan.

Bu yerdan a → va n → vektorlari orasidagi burchak a → , n → ^ deb belgilanishi va o'tkir bo'lishini olamiz, u holda to'g'ri chiziq va tekislik o'rtasida joylashgan kerakli burchak a to'ldiriladi, ya'ni ifodani olamiz. a → , n → ^ = 90 ° - a ko'rinishidagi. Agar shart bo'yicha a →, n → ^ > 90 ° bo'lsa, bizda →, n → ^ = 90 ° + a bo'ladi.

Bu erdan biz kosinuslarni olamiz teng burchaklar teng bo'lsa, oxirgi tengliklar tizim shaklida yoziladi

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - a , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

Ifodalarni soddalashtirish uchun qisqartirish formulalaridan foydalanish kerak. Keyin cos a → , n → ^ = sin a , a → , n → ^ ko‘rinishdagi tengliklarni olamiz.< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

O'zgartirishlarni amalga oshirgandan so'ng, tizim sin a = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ ko'rinishini oladi.< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin a = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin a = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Bundan to'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakning sinusi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bilan berilgan tekislikning normal vektori orasidagi burchak kosinusining moduliga teng ekanligini olamiz.

Ikki vektor hosil qilgan burchakni topish bo'limida bu burchak vektorlarning skalyar ko'paytmasining qiymatini va bu uzunliklarning ko'paytmasini olishi aniqlandi. To'g'ri chiziq va tekislikning kesishishi natijasida olingan burchak sinusini hisoblash jarayoni formula bo'yicha amalga oshiriladi.

sin a = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Bu shuni anglatadiki, o'zgartirilgandan keyin to'g'ri chiziq va tekislikning yo'naltiruvchi vektori va tekislikning normal vektori koordinatalari bo'lgan tekislik orasidagi burchakni hisoblash formulasi

a = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Ma'lum sinus bilan kosinusni topish asosiyni qo'llash orqali joizdir trigonometrik identifikatsiya. To'g'ri chiziq va tekislikning kesishishi hosil bo'ladi o'tkir burchak. Bu shuni ko'rsatadiki, uning qiymati musbat son bo'ladi va uni hisoblash cos a = 1 - sin a formulasidan amalga oshiriladi.

Keling, materialni birlashtirish uchun bir nechta shunga o'xshash misollarni hal qilaylik.

1-misol

x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 to'g'ri chiziq va 2 x + z - 1 = 0 tekislik hosil qilgan burchakning burchagi, sinusi, kosinusini toping.

Yechim

Yo'nalish vektorining koordinatalarini olish uchun fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini ko'rib chiqish kerak. Keyin a → = (3, - 2, 6) x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori ekanligini olamiz.

Oddiy vektorning koordinatalarini topish uchun tekislikning umumiy tenglamasini ko'rib chiqish kerak, chunki ularning mavjudligi oldida mavjud koeffitsientlar bilan aniqlanadi. tenglamaning o‘zgaruvchilari. Keyin 2 x + z - 1 = 0 tekislik uchun normal vektor n → = (2, 0, 1) ko'rinishga ega ekanligini topamiz.

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakning sinusini hisoblashga o'tish kerak. Buning uchun a → va b → vektorlarning koordinatalarini berilgan formulaga almashtirish kerak. Biz shaklning ifodasini olamiz

sin a = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = - 32 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Bu yerdan biz kosinusning qiymatini va burchakning o'zi qiymatini topamiz. Biz olamiz:

cos a = 1 - sin a = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Javob: sin a = 12 7 5, cos a = 101 7 5, a = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

2-misol

A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 vektorlarining qiymatlari yordamida qurilgan piramida mavjud. A D to‘g‘ri chiziq bilan A B C tekislik orasidagi burchakni toping.

Yechim

Kerakli burchakni hisoblash uchun to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori va tekislikning normal vektorining koordinatalariga ega bo'lish kerak. A D to'g'ri chiziq uchun yo'nalish vektori A D → = 4, 1, 1 koordinatalariga ega.

A B C tekisligiga tegishli n → normal vektor A B → va A C → vektoriga perpendikulyar. Bu A B C tekislikning normal vektorini ko'rib chiqish mumkinligini anglatadi vektor mahsuloti A B → va A C → vektorlari. Buni formuladan foydalanib hisoblaymiz va olamiz:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

To'g'ri chiziq va tekislikning kesishishi natijasida hosil bo'lgan kerakli burchakni hisoblash uchun vektorlarning koordinatalarini almashtirish kerak. shaklning ifodasini olamiz:

a = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Javob: a r c sin 23 21 2 .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing