Funksiya grafigiga qiyalik. Nishabni qanday topish mumkin

Ushbu maqolada biz topish uchun barcha turdagi muammolarni tahlil qilamiz

Keling, eslaylik geometrik ma'no hosila: agar biror nuqtada funksiya grafigiga tangens chizilgan bo‘lsa, u holda tangensning qiyalik koeffitsienti (tangens bilan o‘qning musbat yo‘nalishi orasidagi burchak tangensiga teng) funksiya hosilasiga teng bo‘ladi. nuqtada.

Keling, koordinatali tangensning ixtiyoriy nuqtasini olaylik:

Va to'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing:

Bu uchburchakda

Bu yerdan

Bu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangens tenglamasi.

Tangens tenglamani yozish uchun biz faqat funksiya tenglamasini va tangens chizilgan nuqtani bilishimiz kerak. Keyin va ni topishimiz mumkin.

Tangens tenglama masalalarining uchta asosiy turi mavjud.

1. Aloqa nuqtasi berilgan

2. Tangens qiyalik koeffitsienti, ya'ni nuqtadagi funksiya hosilasining qiymati berilgan.

3. Tangens o'tkaziladigan, lekin teginish nuqtasi bo'lmagan nuqtaning koordinatalari berilgan.

Keling, har bir vazifa turini ko'rib chiqaylik.

1. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing nuqtada .

.

b) nuqtadagi hosilaning qiymatini toping. Birinchidan, funksiyaning hosilasini topamiz

Topilgan qiymatlarni tangens tenglamaga almashtiramiz:

Keling, tenglamaning o'ng tomonidagi qavslarni ochamiz. Biz olamiz:

Javob: .

2. Funktsiyalar grafigiga teginish nuqtalarining abssissalarini toping x o'qiga parallel.

Agar tangens x o'qiga parallel bo'lsa, demak, tangens va o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchak nolga teng, shuning uchun tangens burchakning tangensi nolga teng. Bu funktsiyaning hosilasi qiymatini bildiradi aloqa nuqtalarida nolga teng.

a) funksiyaning hosilasini toping .

b) hosilani nolga tenglashtiramiz va tangens o'qga parallel bo'lgan qiymatlarni topamiz:

Har bir omilni nolga tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Javob: 0;3;5

3. Funksiya grafigiga teglar tenglamalarini yozing , parallel bevosita .

Tangens chiziqqa parallel. Bu chiziqning qiyaligi -1 ga teng. Tangens bu chiziqqa parallel bo'lgani uchun, tangensning qiyaligi ham -1 ga teng. Ya'ni biz tangensning qiyaligini bilamiz, va shu bilan, teginish nuqtasida hosila qiymati.

Bu tangens tenglamani topish uchun ikkinchi turdagi masala.

Shunday qilib, bizga tegish nuqtasida hosilaning funktsiyasi va qiymati berilgan.

a) Funktsiyaning hosilasi -1 ga teng bo'lgan nuqtalarni toping.

Birinchidan, hosila tenglamasini topamiz.

hosilasini -1 soniga tenglashtiramiz.

Funktsiyaning nuqtadagi qiymati topilsin.

(shart bo'yicha)

.

b) nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini toping.

Funktsiyaning nuqtadagi qiymati topilsin.

(shart bo'yicha).

Keling, bu qiymatlarni tangens tenglamaga almashtiramiz:

.

Javob:

4. Egri chiziqqa teginish tenglamasini yozing , nuqtadan o'tish

Birinchidan, nuqta teginish nuqtasi yoki yo'qligini tekshiramiz. Agar nuqta tangens nuqta bo'lsa, u funksiya grafigiga tegishli bo'lib, uning koordinatalari funksiya tenglamasini qondirishi kerak. Nuqta koordinatalarini funksiya tenglamasiga almashtiramiz.

Sarlavha="1sqrt(8-3^2))">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} aloqa nuqtasi emas.

Bu tangens tenglamani topish uchun oxirgi turdagi masala. Birinchidan teginish nuqtasining abtsissasini topishimiz kerak.

Keling, qiymatni topamiz.

Aloqa nuqtasi bo'lsin. Nuqta funksiya grafigining tangensiga tegishli. Agar bu nuqtaning koordinatalarini tangens tenglamaga almashtirsak, biz to'g'ri tenglikni olamiz:

.

Funktsiyaning bir nuqtadagi qiymati .

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasining qiymati topilsin.

Birinchidan, funksiyaning hosilasini topamiz. Bu .

Nuqtadagi hosila teng .

Tangens tenglamaga va ifodalarini almashtiramiz. Biz tenglamani olamiz:

Keling, bu tenglamani hal qilaylik.

Kasrning soni va maxrajini 2 ga kamaytiring:

Tenglamaning o'ng tomonini ga kamaytiramiz umumiy maxraj. Biz olamiz:

Keling, kasrning numeratorini soddalashtiramiz va ikkala tomonni ko'paytiramiz - bu ifoda noldan qat'iy katta.

Biz tenglamani olamiz

Keling, buni hal qilaylik. Buning uchun ikkala qismni kvadratga aylantiramiz va tizimga o'tamiz.

Title="delim(lbrace)(matritsa(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ))))( )">!}

Birinchi tenglamani yechamiz.

Keling, qaror qilaylik kvadrat tenglama, olamiz

Ikkinchi ildiz title="8-3x_0>=0) shartiga javob bermaydi">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Nuqtadagi egri chiziqqa teginish tenglamasini yozamiz. Buning uchun qiymatni tenglamaga almashtiring - Biz allaqachon yozib olganmiz.

Javob:
.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingizni to'plashimiz mumkin elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur hollarda qonun hujjatlariga muvofiq sud tartibi, V sud va/yoki ommaviy so'rovlar yoki so'rovlar asosida davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa sog'liqni saqlash maqsadlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak. muhim holatlar.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

Tangent egri chiziqdagi nuqtadan o'tuvchi va shu nuqtada birinchi tartibgacha to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqdir (1-rasm).

Boshqa ta'rif: bu D da sekantning cheklovchi pozitsiyasi x→0.

Izoh: Egri chiziqni ikki nuqtada kesib o'tuvchi to'g'ri chiziqni oling: A Va b(rasmga qarang). Bu sekant. Biz uni faqat bitta bo'lgunga qadar soat yo'nalishi bo'yicha aylantiramiz umumiy nuqta egri chiziq bilan. Bu bizga tangens beradi.

Tangensning qat'iy ta'rifi:

Funksiya grafigiga teginish f, nuqtada farqlanadi xO, nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq ( xO; f(xO)) va qiyalikka ega f′( xO).

Nishab omili shaklning to'g'ri chizig'iga ega y =kx +b. Koeffitsient k va bo'ladi qiyalik bu to'g'ri chiziq.

Nishab tangensga teng o'tkir burchak, abscissa o'qi bilan ushbu to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan:

Bu erda a burchak to'g'ri chiziq orasidagi burchakdir y =kx +b va x o'qining musbat (ya'ni soat miliga teskari) yo'nalishi. Bu deyiladi to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi(1 va 2-rasm).

Nishab burchagi tekis bo'lsa y =kx +b o'tkir, keyin nishab musbat sondir. Grafik ortib bormoqda (1-rasm).

Nishab burchagi tekis bo'lsa y =kx +b o'tmas bo'lsa, u holda qiyalik bo'ladi salbiy raqam. Grafik kamayib bormoqda (2-rasm).

Agar to'g'ri chiziq x o'qiga parallel bo'lsa, u holda to'g'ri chiziqning moyillik burchagi nolga teng. Bunda chiziqning qiyaligi ham nolga teng (chunki nolning tangensi nolga teng). To'g'ri chiziq tenglamasi y = b ko'rinishida bo'ladi (3-rasm).

Agar to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi 90º (p/2) bo'lsa, ya'ni u abscissa o'qiga perpendikulyar bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglik bilan beriladi. x =c, Qayerda c– qandaydir haqiqiy son (4-rasm).

Funksiya grafigiga teginish tenglamasiy = f(x) nuqtada xO:

Misol: funksiya grafigiga teginish tenglamasini toping f(x) = x 3 – 2x Abscissa 2 bilan nuqtada 2 + 1.

Yechim.

Biz algoritmga amal qilamiz.

1) teginish nuqtasi xO 2 ga teng. Hisoblang f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) toping f′( x). Buning uchun biz oldingi bo'limda ko'rsatilgan farqlash formulalarini qo'llaymiz. Ushbu formulalarga ko'ra, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Ma'nosi:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Endi olingan qiymatdan foydalaning f′( x), hisoblang f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Shunday qilib, bizda barcha kerakli ma'lumotlar mavjud: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Ushbu sonlarni tangens tenglamaga almashtiring va yakuniy yechimni toping:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Javob: y = 4x – 7.

Matematikada chiziqning Dekart koordinata tekisligidagi holatini tavsiflovchi parametrlardan biri bu chiziqning burchak koeffitsienti hisoblanadi. Ushbu parametr to'g'ri chiziqning abscissa o'qiga qiyaligini tavsiflaydi. Nishabni qanday topish mumkinligini tushunish uchun birinchi navbatda XY koordinata tizimidagi to'g'ri chiziq tenglamasining umumiy shaklini eslang.

IN umumiy ko'rinish har qanday to'g'ri chiziq ax+by=c ifodasi bilan ifodalanishi mumkin, bunda a, b va c ixtiyoriy haqiqiy sonlar, lekin har doim a 2 + b 2 ≠ 0.

Oddiy o'zgartirishlar yordamida bunday tenglamani y=kx+d ko'rinishga keltirish mumkin, bunda k va d haqiqiy sonlardir. K soni qiyalik bo'lib, bunday turdagi chiziq tenglamasi qiyalikli tenglama deb ataladi. Ma'lum bo'lishicha, qiyalikni topish uchun siz yuqorida ko'rsatilgan shaklga asl tenglamani kamaytirishingiz kerak. To'liqroq tushunish uchun aniq bir misolni ko'rib chiqing:

Masala: 36x - 18y = 108 tenglama bilan berilgan chiziqning qiyaligini toping.

Yechish: Dastlabki tenglamani o‘zgartiramiz.

Javob: Bu chiziqning kerakli qiyaligi 2 ga teng.

Agar tenglamani o'zgartirish jarayonida biz x = const kabi ifodani olgan bo'lsak va natijada y ni x ning funksiyasi sifatida ifodalay olmasak, u holda biz X o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq bilan ishlaymiz to'g'ri chiziq cheksizlikka teng.

Y = const kabi tenglama bilan ifodalangan chiziqlar uchun qiyalik nolga teng. Bu abscissa o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar uchun xosdir. Masalan:

Masala: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 tenglama bilan berilgan chiziqning qiyaligini toping.

Yechish: Asl tenglamani umumiy ko‘rinishga keltiramiz

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Olingan ifodadan y ni ifodalash mumkin emas, shuning uchun bu chiziqning burchak koeffitsienti cheksizlikka teng va chiziqning o'zi Y o'qiga parallel bo'ladi.

Geometrik ma'no

Yaxshiroq tushunish uchun rasmga qaraylik:

Rasmda y = kx kabi funktsiya grafigini ko'ramiz. Soddalashtirish uchun c = 0 koeffitsientini olaylik. OAB uchburchakda BA tomonining AO ga nisbati k burchak koeffitsientiga teng bo'ladi. Shu bilan birga, VA/AO nisbati o'tkir burchak a in tangensi hisoblanadi to'g'ri uchburchak OAV. Ma’lum bo‘lishicha, to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsienti bu to‘g‘ri chiziq koordinatalar panjarasining abscissa o‘qi bilan yasagan burchak tangensiga teng.

To'g'ri chiziqning burchak koeffitsientini qanday topish masalasini yechib, u bilan koordinata to'rining X o'qi orasidagi burchakning tangensini topamiz. Ko'rib chiqilayotgan chiziq koordinata o'qlariga parallel bo'lgan chegara holatlari, yuqoridagilarni tasdiqlang. Haqiqatan ham, y=const tenglama bilan tasvirlangan to'g'ri chiziq uchun u bilan abscissa o'qi orasidagi burchak nolga teng. Nol burchakning tangensi ham nolga teng, qiyaligi ham nolga teng.

X o'qiga perpendikulyar bo'lgan va x=const tenglama bilan tavsiflangan to'g'ri chiziqlar uchun ular bilan X o'qi orasidagi burchak 90 gradusga teng. Tangent to'g'ri burchak cheksizlikka teng, shunga o'xshash to'g'ri chiziqlarning burchak koeffitsienti ham cheksizlikka teng bo'lib, bu yuqorida yozilgan narsalarni tasdiqlaydi.

Tangens qiyalik

Amalda tez-tez uchraydigan umumiy vazifa, shuningdek, ma'lum bir nuqtada funktsiya grafigiga teginish qiyaligini topishdir. Tangens to'g'ri chiziqdir, shuning uchun unga nishab tushunchasi ham tegishli.

Tangensning qiyaligini qanday topish mumkinligini bilish uchun hosila tushunchasini esga olishimiz kerak bo'ladi. Har qanday funktsiyaning bir nuqtada hosilasi doimiy, sonli hisoblanadi tangensga teng bu funksiyaning grafigiga belgilangan nuqtadagi tangens va abscissa o'qi o'rtasida hosil bo'lgan burchak. Ma’lum bo‘lishicha, x 0 nuqtadagi tangensning burchak koeffitsientini aniqlash uchun bu nuqtadagi asl funksiya hosilasining qiymatini k = f"(x 0) hisoblashimiz kerak. Misolni ko‘rib chiqamiz:

Masala: x = 0,1 da y = 12x 2 + 2xe x funksiyaga teguvchi chiziqning qiyaligini toping.

Yechish: Asl funktsiyaning umumiy shakldagi hosilasini toping

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Javob: x = 0,1 nuqtada kerakli nishab 4,831 ga teng

Qaysi nuqtada x 0 chekli hosilasi f (x 0) ga ega bo‘lgan f funksiya berilgan bo‘lsin. U holda (x 0 ; f (x 0)) nuqtadan o'tuvchi, f '(x 0) burchak koeffitsientiga ega bo'lgan to'g'ri chiziq tangens deyiladi.

X 0 nuqtada hosila mavjud bo'lmasa nima bo'ladi? Ikkita variant mavjud:

1. Grafikga ham tangens yo'q. Klassik misol- y = |x | funksiyasi nuqtada (0; 0).
2. Tangens vertikal bo'ladi. Bu, masalan, (1; p /2) nuqtadagi y = arcsin x funksiyasi uchun to'g'ri.

Tangens tenglamasi

Har qanday vertikal bo'lmagan to'g'ri chiziq y = kx + b ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan, bu erda k - qiyalik. Tangens bundan mustasno emas va uning x 0 nuqtadagi tenglamasini yaratish uchun shu nuqtadagi funksiya va hosila qiymatini bilish kifoya.

Demak, segmentda y = f ’(x) hosilasi bo‘lgan y = f (x) funksiya berilgan bo‘lsin. U holda x 0 ∈ (a ; b) istalgan nuqtada bu funksiyaning grafigiga teginish chizilishi mumkin, bu tenglama bilan berilgan:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Bu yerda f ’(x 0) hosilaning x 0 nuqtasidagi qiymati, f (x 0) esa funksiyaning o‘zi qiymatidir.

Vazifa. y = x 3 funksiya berilgan. Bu funksiya grafigiga x 0 = 2 nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.

Tangens tenglama: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Bizga x 0 = 2 nuqtasi berilgan, ammo f (x 0) va f '(x 0) qiymatlarini hisoblash kerak bo'ladi.

Birinchidan, funksiyaning qiymatini topamiz. Bu erda hamma narsa oson: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Endi hosilani topamiz: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
X 0 = 2 ni hosilaga almashtiramiz: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Hammasi bo'lib biz olamiz: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Bu tangens tenglama.

Vazifa. f (x) = 2sin x + 5 funksiya grafigiga x 0 = p /2 nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.

Bu safar biz har bir harakatni batafsil tasvirlamaymiz - biz faqat asosiy bosqichlarni ko'rsatamiz. Bizda ... bor:

f (x 0) = f (p /2) = 2sin (p /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(p /2) = 2cos (p /2) = 0;

Tangens tenglamasi:

y = 0 · (x − p /2) + 7 ⇒ y = 7

Ikkinchi holda, to'g'ri chiziq gorizontal bo'lib chiqdi, chunki uning burchak koeffitsienti k = 0. Buning hech qanday yomon joyi yo'q - biz shunchaki ekstremum nuqtaga qoqilib qoldik.