Burchak argumentlari darsining trigonometrik funktsiyalari. Sonli va burchakli argumentning trigonometrik funksiyalari. Sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar chiziqlari

Trigonometrik funktsiyalar raqamli argument biz uni tartibga soldik. Biz aylanada A nuqtani oldik va hosil bo'lgan b burchakning sinuslari va kosinuslarini qidirdik.

Biz nuqtani A deb belgiladik, lekin algebrada u ko'pincha t sifatida belgilanadi va u bilan barcha formulalar/funktsiyalar berilgan. Biz ham kanonlardan chetga chiqmaymiz. Bular. t - bu ma'lum bir raqam bo'ladi, shuning uchun raqamli funktsiya(masalan, sin t)

Bu mantiqan to'g'ri, chunki bizda radiusi bir bo'lgan doira bor

Burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari biz uni ham muvaffaqiyatli tahlil qildik - kanonlarga ko'ra, biz bunday funktsiyalar uchun yozamiz: sin a °, ya'ni a ° bilan bizga kerak bo'lgan darajalar soni bilan har qanday burchak.

Bu burchakning nuri bizga doiradagi ikkinchi nuqtani (OA - nuqta A) va raqamli argument funktsiyasi uchun mos keladigan C va B nuqtalarini beradi, agar kerak bo'lsa: sin t = sin a°

Sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar chiziqlari

Buni hech qachon unutmang Y o'qi - sinuslar chizig'i, X o'qi - kosinuslar chizig'i! Aylanadan olingan nuqtalar bu o'qlarda belgilanadi.

A tangens va kotangens chiziqlari ularga parallel va (1; 0) va (0; 1) nuqtalardan o'tadi. mos ravishda.

Qaysi haqiqiy son t olinsa, uni yagona aniqlangan sin t son bilan bog‘lash mumkin. To'g'ri, mos keladigan qoida juda murakkab, biz yuqorida ko'rganimizdek, u quyidagicha.

T raqami bo'yicha topish uchun gunoh qiymati t, sizga kerak:

1) sonli aylanani koordinata tekisligiga shunday joylashtiringki, aylananing markazi koordinatalar boshiga to‘g‘ri kelsin va aylananing boshlang‘ich A nuqtasi (1; 0) nuqtaga tushsin;

2) aylanadan t soniga mos nuqtani toping;

3) shu nuqtaning ordinatasini toping.

Bu ordinata sin t.

Aslida haqida gapiramiz u = sin t funksiyasi haqida, bu erda t har qanday haqiqiy son.

Bu funktsiyalarning barchasi deyiladi sonli argumentning trigonometrik funktsiyalari t.

Yemoq butun chiziq Turli trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini bog'laydigan munosabatlar, biz ushbu munosabatlarning ba'zilarini allaqachon oldik:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Oxirgi ikkita formuladan tg t va ctg t ni bog‘lovchi munosabatni olish oson:

Ushbu formulalarning barchasi trigonometrik funktsiyaning qiymatini bilgan holda, boshqa trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblash kerak bo'lgan hollarda qo'llaniladi.

"Sinus", "kosinus", "tangens" va "kotangens" atamalari aslida tanish edi, ammo ular hali ham biroz boshqacha talqinda ishlatilgan: geometriya va fizikada ular sinus, kosinus, tangens va kotangensni ko'rib chiqishgan. boshida(lekin emas

oldingi paragraflarda bo'lgani kabi raqamlar).

Geometriyadan ma'lumki, sinus (kosinus) o'tkir burchak- to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'ining gipotenuzasiga nisbati va burchakning tangensi (kotangensi) - to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlarining nisbati. Oldingi paragraflarda sinus, kosinus, tangens va kotangens tushunchalariga boshqacha yondashuv ishlab chiqilgan. Aslida, bu yondashuvlar o'zaro bog'liqdir.

Keling, gradus o'lchami b o bo'lgan burchakni olib, uni rasmda ko'rsatilganidek, "to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi raqamli doira" modeliga joylashtiramiz. 14

burchakning tepasi markazga mos keladi

doiralar (koordinata tizimining kelib chiqishi bilan),

va burchakning bir tomoni bilan mos keladi

x o'qining musbat nuri. Nuqta

bilan burchakning ikkinchi tomonining kesishishi

aylana bilan M harfini belgilang. Ordina-

14-rasm b o, va bu nuqtaning absissasi b o burchakning kosinusidir.

B o burchakning sinusi yoki kosinusini topish uchun har safar bu juda murakkab konstruktsiyalarni bajarish shart emas.

AM yoyi son doira uzunligining 360° burchagidan b o burchak hosil qilgan qismini tashkil etishini qayd etish kifoya. Agar AM yoyi uzunligi t harfi bilan belgilansa, biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib,

Masalan,

30 ° burchakning daraja o'lchami va bir xil burchakning radian o'lchovi ekanligiga ishoniladi: 30 ° = rad. Umuman:

Xususan, men, o'z navbatida, biz uni qaerdan olishimizdan xursandman.

Xo'sh, 1 radian nima? Yemoq turli chora-tadbirlar segmentlarning uzunligi: santimetr, metr, yard va boshqalar. Burchaklarning kattaligini ko'rsatadigan turli xil o'lchovlar ham mavjud. Biz birlik doirasining markaziy burchaklarini ko'rib chiqamiz. 1° burchak markaziy burchak, aylananing bir qismi bo'lgan yoyga tayangan holda. 1 radianli burchak - 1 uzunlikdagi yoy bilan qoplangan markaziy burchak, ya'ni. uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan yoyda. Formuladan biz 1 rad = 57,3 ° ekanligini aniqlaymiz.

u = sin t funksiyasini (yoki boshqa trigonometrik funktsiyani) ko'rib chiqayotganda, biz t mustaqil o'zgaruvchini oldingi paragraflarda bo'lgani kabi raqamli argument deb hisoblashimiz mumkin, lekin biz bu o'zgaruvchini o'lchovi sifatida ham ko'rib chiqishimiz mumkin. burchak, ya'ni. burchak argumenti. Shuning uchun trigonometrik funktsiya haqida gapirganda, ma'lum ma'noda uni son yoki burchak argumentining funktsiyasi deb hisoblashning farqi yo'q.

"Burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari" video dars taqdimoti vizual material tegishli mavzu bo'yicha matematika darsini o'tkazish. Video shunday tuzilganki, o‘rganilayotgan material o‘quvchilarga imkon qadar tushunarli, eslab qolishi oson va uchburchaklarni o‘rganish bo‘limidagi trigonometrik funksiyalar haqidagi mavjud ma’lumotlar va ularni birlik yordamida aniqlash o‘rtasidagi bog‘liqlikni yaxshi ochib beradi. doira. Aylanib qolishi mumkin mustaqil qism dars, bu mavzuni to'liq qamrab olganligi sababli, ovoz berish paytida muhim sharhlar bilan to'ldiriladi.

Ulanishni aniq ko'rsatish uchun turli xil ta'riflar trigonometrik funksiyalar, animatsion effektlardan foydalaniladi. Matnni rangli shrift, aniq, tushunarli konstruksiyalar bilan ajratib ko‘rsatish va izohlar qo‘shish materialni tez o‘zlashtirish va eslab qolishga, dars maqsadiga tezda erishishga yordam beradi. Trigonometrik funktsiyalarning ta'riflari o'rtasidagi bog'liqlik animatsiya effektlari va ranglarni ajratib ko'rsatish orqali aniq ko'rsatiladi, bu materialni tushunish va saqlashga yordam beradi. Qo'llanma mashg'ulotlar samaradorligini oshirishga qaratilgan.

Dars mavzuni tanishtirish bilan boshlanadi. Keyin to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflari esga olinadi. Kadrda ta'kidlangan ta'rif bizga sinus va kosinusning oyoqning gipotenuzaga nisbati, tangens va kotangensning oyoqlarning nisbati bilan hosil bo'lishini eslatadi. Shuningdek, o‘quvchilarga yaqinda o‘rganilgan material birlik doiradagi nuqtani ko‘rib chiqishda nuqtaning abssissasi kosinus, ordinata esa shu nuqtaga mos keladigan sonning sinusi ekanligi haqida eslatib o‘tiladi. Ushbu tushunchalar o'rtasidagi bog'liqlik qurilish yordamida namoyon bo'ladi. Ekranda uning markazi boshlang'ich nuqtaga to'g'ri keladigan tarzda joylashtirilgan birlik doirasi ko'rsatiladi. Koordinatalarning kelib chiqishidan musbat yarim abscissa o'qi bilan a burchak hosil qiluvchi nur quriladi. Bu nur birlik doirani O nuqtada kesib o'tadi. Nuqtadan perpendikulyarlar abssissa va ordinata o'qiga tushadi va bu nuqtaning koordinatalari a burchakning kosinus va sinusini aniqlashini ko'rsatadi. Ta'kidlanganidek, AO yoyining uzunligi birlik doiraning abscissa o'qining musbat yo'nalishi bilan O nuqtaga kesishgan nuqtasidan boshlab, butun yoyning 360 ° dan a burchagi bilan bir xil qismidir. Bu a/360=t/2p nisbatini yaratishga imkon beradi, u darhol ko'rsatiladi va yodlash uchun qizil rang bilan ajratiladi. Bu nisbatdan t=pa/180° qiymati olinadi. Buni hisobga olib, sinus va kosinus taʼriflari oʻrtasidagi bogʻliqlik aniqlanadi: sina°= sint= sinpa/180, kosa°=cost=cospa/180. Masalan, sin60°ni topish berilgan. Burchakning daraja o'lchovini formulaga almashtirsak, biz sin p·60°/180° ni olamiz. Kasrni 60 ga kamaytirsak, sin p/3 ni olamiz, bu √3/2 ga teng. Qayd etilishicha, agar 60° burchakning gradus oʻlchovi boʻlsa, u holda p/3 burchakning radian oʻlchovi deyiladi. Burchakning gradus oʻlchovining radian oʻlchamiga nisbati uchun ikkita mumkin boʻlgan belgi mavjud: 60°=p/3 va 60°=p/3 rad.

Bir graduslik burchak tushunchasi uzunligi 1/360 aylananing bir qismini ifodalovchi yoy bilan bog'liq bo'lgan markaziy burchak sifatida aniqlanadi. Quyidagi ta'rif bitta radian burchak tushunchasini ochib beradi - bir uzunlikdagi yoyga asoslangan markaziy burchak yoki aylananing radiusiga teng. Ta'riflar muhim deb belgilangan va eslab qolish uchun ta'kidlangan.

Burchakning bir darajali o'lchovini radian o'lchoviga va aksincha o'zgartirish uchun a ° = p / 180 rad formulasidan foydalaning. Ushbu formula ekrandagi ramkada ta'kidlangan. Bu formuladan kelib chiqadiki, 1° = p/180 rad. Bunday holda, bitta radian 180 ° / p≈57,3 ° burchakka to'g'ri keladi. Ta'kidlanishicha, t mustaqil o'zgaruvchining trigonometrik funktsiyalari qiymatlarini topishda uni ham sonli, ham burchakli argument deb hisoblash mumkin.

Quyida olingan bilimlardan matematik masalalarni yechishda foydalanish misollari ko‘rsatilgan. 1-misolda siz qiymatlarni darajadan radianlarga 135 ° va 905 ° ga aylantirishingiz kerak. Ekranning o'ng tomonida darajalar va radianlar o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadigan formula mavjud. Qiymatni formulaga almashtirib, (p/180)·135 ni olamiz. Ushbu kasrni 45 ga kamaytirgandan so'ng, biz 135 ° = 3p / 4 qiymatini olamiz. 905 ° burchakni radian o'lchoviga aylantirish uchun xuddi shu formuladan foydalaniladi. Qiymatni unga almashtirgandan keyin (p/180)·905=181p/36 rad chiqadi.

Ikkinchi misolda teskari masala yechilgan - radianlarda ifodalangan burchaklarning daraja o'lchovi p/12, -21p/20, 2,4p topilgan. Ekranning o'ng tomonida 1 rad = 180 ° / p burchakning daraja va radian o'lchovi o'rtasidagi bog'liqlik uchun o'rganilgan formulani eslaymiz. Har bir misol radian o'lchovini formulaga almashtirish orqali hal qilinadi. p/12 ni almashtirsak, (180°/p)·(p/12)=15° ni olamiz. Qolgan burchaklarning qiymatlari xuddi shunday -21p/20=-189° va 2,4p=432° ga teng.

Ta'lim samaradorligini oshirish uchun an'anaviy matematika darslarida "Burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari" video darsidan foydalanish tavsiya etiladi. Material ushbu mavzu bo'yicha masofaviy ta'lim jarayonida o'rganishning ko'rinishini ta'minlashga yordam beradi. Mavzuni batafsil, tushunarli tushuntirish va undagi muammolarni hal qilish talabaga materialni mustaqil o'zlashtirishga yordam beradi.

MATNI dekodlash:

“Burchak argumentining trigonometrik funksiyalari”.

Biz allaqachon geometriyadan bilamizki, to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi sinusi (kosinus) oyoqning gipotenuzaga nisbati, tangensi (kotangens) esa oyoqlarning nisbati. Algebrada esa birlik doiradagi nuqtaning abssissasini kosinus, bu nuqtaning ordinatasini esa sinus deb ataymiz. Keling, bularning barchasi bir-biri bilan chambarchas bog'liqligiga ishonch hosil qilaylik.

1-rasmda ko'rsatilganidek, gradus o'lchami a° (alfa gradus) bo'lgan burchakni joylashtiramiz: burchakning tepasi birlik doirasining markaziga (koordinata tizimining kelib chiqishi bilan) va burchakning bir tomoniga mos keladi. abscissa o'qining musbat nuriga mos keladi. Burchakning ikkinchi tomoni aylana bilan O nuqtada kesishadi. O nuqtaning ordinatasi alfa burchak sinusi, bu nuqtaning abssissasi esa alfa kosinasidir.

E'tibor bering, AO yoyi birlik doirasi uzunligining bir xil qismidir, chunki alfa burchagi uch yuz oltmish graduslik burchakdan. AO yoyi uzunligini t(te) bilan belgilaymiz, u holda = proporsiyani tuzamiz.

(alfa - oltmishtaga ishonadi, chunki te ikki piga teng bo'ladi).

Shunday qilib, alfa darajali burchakning sinusi yoki kosinusini topish uchun quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:

sin a° = sint = sin (sinus alfa darajalari sinusga teng te va qisman pi alfa sinusiga bir yuz saksonga teng),

cosa° = xarajat = cos (alfa darajalarining kosinasi te kosinusiga teng va qisman pi alfa kosinusiga bir yuz saksonga teng).

Misol uchun, sin 60 ° = sin = sin = (oltmish daraja sinus pi sinusiga uchga teng, sinuslarning asosiy qiymatlari jadvaliga ko'ra, u uchtadan ikkita ildizga teng) .

60 ° burchakning gradus o'lchovidir va (pi uchga) bir xil burchakning radian o'lchovidir, ya'ni 60 ° = xursand(Oltmish daraja pi marta uch radianga teng). Qisqasi, biz belgilash bo'yicha kelishib oldik xursand tashlab qo'ying, ya'ni quyidagi yozuv qabul qilinadi: 60°= (qisqartmalarni ko'rsatish radian o'lchovi = rad.)

Bir daraja burchak - bu yoyning (uch yuz oltmishinchi) qismi bo'lgan yoyni susaytiradigan markaziy burchak. Bir radianli burchak - bu uzunligi bir yoyga, ya'ni uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan yoyga tayanadigan markaziy burchak (burchakni pi bilan ko'rsatish uchun birlik doiraning markaziy burchaklarini ko'rib chiqamiz. doiradagi radianlar).

Keling, eslaylik muhim formula darajalarni radianga aylantirish:

α° = xursand. (alfa teng pi alfa yuz saksonga bo'lingan, radian) Xususan, 1° = xursand(bir daraja bir yuz saksonga bo'lingan pi ga teng, radian).

Bu yerdan biz bitta radianni topamiz nisbatga teng yuz sakson daraja pi va taxminan ellik etti nuqta uch darajaga teng: 1 xursand= ≈ 57,3°.

Yuqoridagilardan: har qanday trigonometrik funksiya haqida, masalan, s = sint (es sin te ga teng) funksiya haqida gapirganda, t(te) mustaqil o zgaruvchini ham sonli argument, ham burchak argumenti deb hisoblash mumkin.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

MISOL 1. Darajani radianga o'tkazing: a) 135°; b) 905°.

Yechim. Keling, darajalarni radianga aylantirish uchun formuladan foydalanamiz:

a) 135° = 1° ∙ 135 = xursand ∙ 135 = xursand

(bir yuz o'ttiz besh daraja pi bilan bir yuz sakson radianni bir yuz o'ttiz beshga ko'paytirdi va kamaytirilgandan keyin uch pi bilan to'rt radianga teng)

b) Xuddi shunday, daraja o'lchovini radian o'lchoviga aylantirish formulasidan foydalanib, olamiz

905 ° = xursand ∙ 905 = xursand.

(to'qqiz yuz besh daraja bir yuz sakson bir pi marta o'ttiz olti radianga teng).

O'RNAK 2. Darajalar bilan ifodalang: a) ; b) - ; c) 2.4p

(pi o'n ikkidan ortiq; minus yigirma bir pi yigirmadan yuqori; ikki nuqta to'rt pi).

Yechim. a) Pi ni o'n ikki daraja bilan ifodalaymiz, burchakning radian o'lchamini 1 ga gradusga aylantirish formulasidan foydalaning. xursand=, olamiz

xursand = 1 xursand∙ = ∙ = 15° (o‘n ikki radianga pi bir radian va o‘n ikki radian ko‘paytmasiga teng. Bir radian o‘rniga bir yuz saksonni pi o‘rniga qo‘yib, kamaytirsak, o‘n besh darajaga erishamiz)

b) - = 1 ga o'xshash xursand∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (minus yigirma bir pi ko'rib yigirma teng minus yuz sakson to'qqiz daraja),

c) 2,4p = 1 xursand∙ 2.4p = ∙ 2.4p = 432° (ikki nuqta toʻrt pi toʻrt yuz oʻttiz ikki darajaga teng).

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Burchak argumentining trigonometrik funktsiyasi, burchak va radianlarning daraja o'lchovi"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang. Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

1C dan 10-sinf uchun Integral onlayn-do'konidagi qo'llanmalar va simulyatorlar
Biz geometriyadan muammolarni hal qilamiz. Interfaol qurilish vazifalari
Biz geometriyadan muammolarni hal qilamiz. Kosmosda qurish uchun interaktiv vazifalar

Biz nimani o'rganamiz:
1. Geometriyani eslaylik.
2. Burchak argumentining ta’rifi.
3. Burchakning daraja o'lchovi.
4. Burchakning radian o‘lchovi.
5. Radian nima?
6. Mustaqil yechish uchun misollar va topshiriqlar.

Geometriyani takrorlash

Bolalar, bizning vazifalarimizda:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

t o'zgaruvchisi nafaqat sonli qiymatlarni qabul qilishi, ya'ni sonli argument bo'lishi mumkin, balki uni burchak o'lchovi - burchak argumenti sifatida ham ko'rib chiqish mumkin.

Geometriyani eslaylik!
U erda sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday aniqladik?

Burchak sinusi - qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati

Burchakning kosinusu - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati

Burchakning tangensi - qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.

Burchakning kotangensi - qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

Burchak argumentining trigonometrik funksiyasining ta'rifi

Trigonometrik funksiyalarni son aylanasidagi burchak argumentining funksiyalari sifatida belgilaymiz:
Raqamli aylana va koordinatalar tizimidan foydalanib, biz har doim burchakning sinus, kosinus, tangensi va kotangensini osongina topishimiz mumkin:

Bizning a burchagimizning tepasini aylananing markaziga qo'yamiz, ya'ni. koordinata o'qining markaziga va tomonlardan birini abscissa o'qining (OA) musbat yo'nalishiga to'g'ri keladigan tarzda joylashtiring.
Keyin ikkinchi tomon son doirasini M nuqtada kesib o'tadi.

Ordinatsiya qilish M nuqta: a burchakning sinusi
Abscissa M nuqta: a burchakning kosinasi

E'tibor bering, yoy uzunligi AM 360 gradusdan boshlab a burchagi bilan birlik doirasining bir qismidir: bu yerda t - AM yoyi uzunligi.

Burchakning daraja o'lchovi

1) Bolalar, biz raqamli doiraning yoy uzunligi orqali burchakning daraja o'lchovini aniqlash formulasini oldik, keling, uni batafsil ko'rib chiqaylik:

Keyin trigonometrik funktsiyalarni quyidagi shaklda yozamiz:

Masalan:

Burchaklarning radian o'lchovi

Burchakning gradus yoki radian o'lchovini hisoblashda esda tuting! :
Masalan:

Aytmoqchi! Belgilanish rad. pastga tushirishingiz mumkin!

Radian nima?

Aziz do'stlar, biz yangi kontseptsiyaga duch keldik - Radian. Xo'sh, bu nima?

Uzunlik, vaqt, vaznning turli o'lchovlari mavjud, masalan: metr, kilometr, soniya, soat, gramm, kilogramm va boshqalar. Shunday qilib, radian burchak o'lchovlaridan biridir. Markaziy burchaklarni, ya'ni raqam doirasining markazida joylashgan burchaklarni ko'rib chiqishga arziydi.
1 graduslik burchak aylananing 1/360 qismiga teng bo'lgan yoy bilan qoplangan markaziy burchakdir.

1 radian burchak - bu birlik aylanada 1 ga teng yoy, ixtiyoriy aylanada esa yoy bilan ajratilgan markaziy burchak. radiusga teng doiralar.

Misollar:

Burchakning daraja o'lchovidan radian o'lchoviga va aksincha o'tkazishga misollar

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

1. Burchaklarning radian o‘lchamini toping:
a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°

2. Toping:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)

3. Burchaklarning daraja o‘lchovini toping: