Trigonometriya burchak jadvali to'liq. Sinus, kosinus, tangens va kotangens - OGE va FOYDALANISH uchun bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa
Shuningdek o'qing
Sinus (), kosinus (), tangens (), kotangens () tushunchalari burchak tushunchasi bilan uzviy bog'liqdir. Bularni, birinchi qarashda, murakkab tushunchalarni (ko'pgina maktab o'quvchilarida dahshatga soladigan) yaxshi tushunish uchun va "iblis u chizilgandek dahshatli emas"ligiga ishonch hosil qilish uchun keling, keling, "shayton" dan boshlaylik. juda boshlang'ich va burchak tushunchasini tushunish.
Burchak tushunchasi: radian, daraja
Keling, rasmga qaraylik. Vektor nuqtaga nisbatan ma'lum miqdorda "aylangan". Shunday qilib, bu aylanishning boshlang'ich pozitsiyasiga nisbatan o'lchovi bo'ladi burchak.
Burchak tushunchasi haqida yana nimani bilishingiz kerak? Albatta, burchak birliklari!
Geometriyada ham, trigonometriyada ham burchakni daraja va radian bilan o'lchash mumkin.
Burchak (bir daraja) aylananing bir qismiga teng dumaloq yoy bilan qoplangan aylanadagi markaziy burchak. Shunday qilib, butun doira dumaloq yoylarning "bo'laklari" dan iborat yoki aylana tasvirlangan burchak tengdir.
Ya'ni, yuqoridagi rasmda teng burchak ko'rsatilgan, ya'ni bu burchak aylana o'lchamidagi aylana yoyga tayanadi.
Radianlardagi burchak uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan aylana yoyi bilan qoplangan doiradagi markaziy burchakdir. Xo'sh, tushundingizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, buni rasmdan aniqlaylik.
Shunday qilib, rasmda radianga teng burchak ko'rsatilgan, ya'ni bu burchak aylana yoyga tayanadi, uning uzunligi aylananing radiusiga teng (uzunligi uzunlikka teng yoki radius tengdir). yoy uzunligi). Shunday qilib, yoy uzunligi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Radianlarda markaziy burchak qayerda.
Xo'sh, buni bilib, aylana tasvirlangan burchakda qancha radian borligiga javob bera olasizmi? Ha, buning uchun siz aylana formulasini eslab qolishingiz kerak. Mana:
Xo'sh, endi bu ikki formulani o'zaro bog'laymiz va aylana tasvirlangan burchak teng ekanligini topamiz. Ya'ni, qiymatni darajalar va radyanlardagi o'zaro bog'lash orqali biz buni olamiz. Tegishli ravishda, . Ko'rib turganingizdek, "daraja" dan farqli o'laroq, "radian" so'zi olib tashlandi, chunki o'lchov birligi odatda kontekstdan aniq.
Qancha radian bor? Bu to'g'ri!
Tushundim? Keyin davom eting va uni tuzating:
Qiyinchiliklar bormi? Keyin qarang javoblar:
To'g'ri burchakli uchburchak: sinus, kosinus, tangens, burchak kotangensi
Shunday qilib, biz burchak tushunchasini aniqladik. Lekin burchakning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi nima? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun bizga to'g'ri burchakli uchburchak yordam beradi.
To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari nima deyiladi? To'g'ri, gipotenuza va oyoqlar: gipotenuza to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan tomon (bizning misolimizda bu tomon); oyoqlari qolgan ikkita tomon va (to'g'ri burchakka qo'shni bo'lganlar) va agar biz burchakka nisbatan oyoqlarni ko'rib chiqsak, u holda oyoq qo'shni oyoq, oyoq esa aksincha. Xo'sh, endi savolga javob beraylik: burchakning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi nima?
Burchak sinusi- bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Bizning uchburchakda.
Burchak kosinusi- bu qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Bizning uchburchakda.
Burchakning tangensi- bu qarama-qarshi (uzoq) tomonning qo'shni (yaqin) nisbati.
Bizning uchburchakda.
Burchak kotangensi- bu qo'shni (yaqin) oyoqning qarama-qarshi (uzoq) nisbati.
Bizning uchburchakda.
Bu ta'riflar zarur eslab qoling! Qaysi oyoqni nimaga bo'lish kerakligini eslab qolishni osonlashtirish uchun siz buni aniq tushunishingiz kerak tangens Va kotangent faqat oyoqlar o'tiradi va gipotenuz faqat ichida paydo bo'ladi sinus Va kosinus. Va keyin siz birlashmalar zanjiri bilan kelishingiz mumkin. Masalan, bu:
Kosinus → teginish → teginish → ulashgan;
Kotangent → teginish → teginish → qo‘shni.
Avvalo, sinus, kosinus, tangens va kotangens uchburchak tomonlarining nisbati bu tomonlarning uzunligiga (bir xil burchak ostida) bog'liq emasligini yodda tutishingiz kerak. Menga ishonmaysizmi? Keyin rasmga qarab ishonch hosil qiling:
Masalan, burchakning kosinusini ko'rib chiqaylik. Ta'rifga ko'ra, uchburchakdan: , lekin biz uchburchakdan burchakning kosinusini hisoblashimiz mumkin: . Ko'ryapsizmi, tomonlarning uzunligi har xil, lekin bir burchakning kosinus qiymati bir xil. Shunday qilib, sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari faqat burchakning kattaligiga bog'liq.
Agar siz ta'riflarni tushunsangiz, davom eting va ularni birlashtiring!
Quyidagi rasmda ko'rsatilgan uchburchak uchun biz topamiz.
Xo'sh, tushundingizmi? Keyin o'zingizni sinab ko'ring: burchak uchun xuddi shunday hisoblang.
Birlik (trigonometrik) doira
Darajalar va radianlar tushunchalarini tushunib, biz radiusi teng bo'lgan doirani ko'rib chiqdik. Bunday doira deyiladi yagona. Bu trigonometriyani o'rganishda juda foydali bo'ladi. Shuning uchun, keling, buni biroz batafsilroq ko'rib chiqaylik.
Ko'rib turganingizdek, bu aylana Dekart koordinata tizimida qurilgan. Doira radiusi birga teng, aylananing markazi koordinatalarning boshida joylashgan bo'lsa, radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi o'qning ijobiy yo'nalishi bo'ylab o'rnatiladi (bizning misolimizda bu radius).
Doiradagi har bir nuqta ikkita raqamga to'g'ri keladi: o'q koordinatasi va o'q koordinatasi. Bu koordinata raqamlari nima? Va umuman olganda, ularning mavzuga qanday aloqasi bor? Buning uchun biz ko'rib chiqilgan to'g'ri burchakli uchburchak haqida eslashimiz kerak. Yuqoridagi rasmda siz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rishingiz mumkin. Uchburchakni ko'rib chiqing. U to'rtburchaklar, chunki u o'qga perpendikulyar.
Uchburchak nimaga teng? Bu to'g'ri. Bundan tashqari, biz bilamizki, bu birlik doirasining radiusi, ya'ni . Keling, bu qiymatni kosinus formulamizga almashtiramiz. Mana nima sodir bo'ladi:
Uchburchak nimaga teng? Xo'sh, albatta! Ushbu formulaga radius qiymatini almashtiring va quyidagilarni oling:
Shunday qilib, aylanaga tegishli nuqta qanday koordinatalarga ega ekanligini ayta olasizmi? Xo'sh, yo'qmi? Agar buni tushunsangiz va shunchaki raqamlar bo'lsa-chi? U qaysi koordinataga mos keladi? Albatta, koordinatalar! Va u qaysi koordinataga mos keladi? To'g'ri, koordinatalar! Shunday qilib, davr.
Xo'sh, nimaga teng va nimaga teng? To'g'ri, keling, tangens va kotangensning tegishli ta'riflaridan foydalanamiz va buni olamiz, a.
Agar burchak kattaroq bo'lsa-chi? Masalan, ushbu rasmdagi kabi:
Ushbu misolda nima o'zgardi? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun yana to'g'ri burchakli uchburchakka o'taylik. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing: burchak (burchakka qo'shni sifatida). Burchak uchun sinus, kosinus, tangens va kotangensning qiymatlari qanday? To'g'ri, biz trigonometrik funktsiyalarning tegishli ta'riflariga amal qilamiz:
Ko'rib turganingizdek, burchak sinusining qiymati hali ham koordinataga to'g'ri keladi; burchak kosinusining qiymati - koordinata; va mos keladigan nisbatlarga tangens va kotangens qiymatlari. Shunday qilib, bu munosabatlar radius vektorining har qanday aylanishiga taalluqlidir.
Radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi o'qning musbat yo'nalishi bo'ylab joylashganligi allaqachon aytib o'tilgan. Hozirgacha biz bu vektorni soat sohasi farqli ravishda aylantirdik, lekin agar biz uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantirsak nima bo'ladi? Hech qanday g'ayrioddiy narsa yo'q, siz ham ma'lum bir qiymatga ega burchakka ega bo'lasiz, lekin faqat salbiy bo'ladi. Shunday qilib, radius vektorini soat sohasi farqli ravishda aylantirganda, biz olamiz ijobiy burchaklar, va soat yo'nalishi bo'yicha aylanganda - salbiy.
Shunday qilib, biz bilamizki, radius vektorining aylana atrofida butun aylanishi yoki. Radius vektorini burish mumkinmi? Xo'sh, albatta qila olasiz! Birinchi holda, shuning uchun radius vektori bitta to'liq aylanishni amalga oshiradi va yoki pozitsiyasida to'xtaydi.
Ikkinchi holda, ya'ni radius vektori uchta to'liq aylanishni amalga oshiradi va yoki holatida to'xtaydi.
Shunday qilib, yuqoridagi misollardan xulosa qilishimiz mumkinki, bir-biridan farq qiladigan burchaklar yoki (bu erda har qanday butun son) radius vektorining bir xil holatiga mos keladi.
Quyidagi rasmda burchak ko'rsatilgan. Xuddi shu rasm burchakka mos keladi va hokazo. Ushbu ro'yxatni cheksiz davom ettirish mumkin. Bu burchaklarning barchasi umumiy formula yoki (bu yerda har qanday butun son) bilan yozilishi mumkin.
Endi, asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini bilib, birlik doirasidan foydalanib, qiymatlar nima ekanligiga javob berishga harakat qiling:
Mana sizga yordam beradigan birlik doirasi:
Qiyinchiliklar bormi? Keyin buni aniqlaylik. Shunday qilib, biz buni bilamiz:
Bu erdan ma'lum burchak o'lchovlariga mos keladigan nuqtalarning koordinatalarini aniqlaymiz. Keling, tartibda boshlaylik: burchak koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi, shuning uchun:
Mavjud emas;
Bundan tashqari, xuddi shu mantiqqa rioya qilgan holda, biz burchaklar mos ravishda koordinatali nuqtalarga mos kelishini aniqlaymiz. Buni bilib, tegishli nuqtalarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini aniqlash oson. Avval o'zingiz sinab ko'ring, keyin javoblarni tekshiring.
Javoblar:
Mavjud emas
Mavjud emas
Mavjud emas
Mavjud emas
Shunday qilib, biz quyidagi jadvalni tuzishimiz mumkin:
Bu barcha qadriyatlarni eslab qolishning hojati yo'q. Birlik aylanasidagi nuqtalar koordinatalari va trigonometrik funktsiyalar qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni eslash kifoya:
Ammo burchaklarning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari va quyidagi jadvalda keltirilgan, eslash kerak:
Qo'rqmang, endi biz sizga bitta misol keltiramiz mos keladigan qiymatlarni eslab qolish juda oddiy:
Ushbu usuldan foydalanish uchun burchakning barcha uch o'lchovi uchun sinus qiymatlarini (), shuningdek burchak tangensining qiymatini eslab qolish juda muhimdir. Ushbu qiymatlarni bilib, butun jadvalni tiklash juda oddiy - kosinus qiymatlari strelkalar bo'yicha uzatiladi, ya'ni:
Buni bilib, siz uchun qiymatlarni tiklashingiz mumkin. Numerator " " mos keladi va maxraj " " mos keladi. Kotangent qiymatlari rasmda ko'rsatilgan o'qlarga muvofiq o'tkaziladi. Agar siz buni tushunsangiz va o'qlar bilan diagrammani eslab qolsangiz, jadvaldagi barcha qiymatlarni eslab qolish kifoya qiladi.
Doiradagi nuqtaning koordinatalari
Aylanada nuqtani (uning koordinatalarini) topish mumkinmi? aylana markazining koordinatalarini, uning radiusini va burilish burchagini bilish?
Xo'sh, albatta qila olasiz! Keling, chiqaraylik nuqta koordinatalarini topishning umumiy formulasi.
Masalan, oldimizda aylana bor:
Bizga nuqta aylananing markazi ekanligi berilgan. Doira radiusi teng. Nuqtani gradusga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, nuqta koordinatasi segment uzunligiga to'g'ri keladi. Segmentning uzunligi aylana markazining koordinatasiga to'g'ri keladi, ya'ni u tengdir. Segment uzunligini kosinus ta'rifi yordamida ifodalash mumkin:
Keyin biz nuqta koordinatasini olamiz.
Xuddi shu mantiqdan foydalanib, nuqta uchun y koordinata qiymatini topamiz. Shunday qilib,
Shunday qilib, umuman olganda, nuqtalarning koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi:
Doira markazining koordinatalari,
Doira radiusi,
Vektor radiusining burilish burchagi.
Ko'rib turganingizdek, biz ko'rib chiqayotgan birlik doirasi uchun bu formulalar sezilarli darajada kamayadi, chunki markazning koordinatalari nolga va radius birga teng:
Xo'sh, keling, aylana bo'ylab nuqtalarni topishni mashq qilib, ushbu formulalarni sinab ko'raylik?
1. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
2. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
3. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
4. Nuqta aylananing markazidir. Doira radiusi teng. Dastlabki radius vektorini ga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
5. Nuqta aylananing markazidir. Doira radiusi teng. Dastlabki radius vektorini ga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
Aylanadagi nuqtaning koordinatalarini topishda muammo bormi?
Ushbu beshta misolni yeching (yoki ularni echishni yaxshi biling) va siz ularni topishni o'rganasiz!
1.
Siz buni sezishingiz mumkin. Ammo biz boshlang'ich nuqtaning to'liq inqilobiga nima mos kelishini bilamiz. Shunday qilib, kerakli nuqta burilish paytida bo'lgani kabi bir xil holatda bo'ladi. Buni bilib, biz nuqtaning kerakli koordinatalarini topamiz:
2. Birlik doirasi nuqtada markazlashtirilgan, ya'ni biz soddalashtirilgan formulalardan foydalanishimiz mumkin:
Siz buni sezishingiz mumkin. Biz boshlang'ich nuqtaning ikkita to'liq aylanishiga nima mos kelishini bilamiz. Shunday qilib, kerakli nuqta burilish paytida bo'lgani kabi bir xil holatda bo'ladi. Buni bilib, biz nuqtaning kerakli koordinatalarini topamiz:
Sinus va kosinus jadval qiymatlari hisoblanadi. Biz ularning ma'nolarini eslaymiz va olamiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
3. Birlik doirasi nuqtada markazlashtirilgan, ya'ni biz soddalashtirilgan formulalardan foydalanishimiz mumkin:
Siz buni sezishingiz mumkin. Keling, ushbu misolni rasmda tasvirlaymiz:
Radius o'qga teng va o'q bilan burchaklarni hosil qiladi. Kosinus va sinusning jadval qiymatlari teng ekanligini bilib, bu erda kosinus manfiy, sinus esa ijobiy qiymat olishini aniqlab, biz:
Mavzuda trigonometrik funktsiyalarni kamaytirish formulalarini o'rganishda bunday misollar batafsilroq muhokama qilinadi.
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
4.
Vektor radiusining burilish burchagi (shart bo'yicha)
Sinus va kosinusning tegishli belgilarini aniqlash uchun biz birlik doira va burchakni quramiz:
Ko'rib turganingizdek, qiymat, ya'ni ijobiy, qiymat esa, ya'ni salbiy. Tegishli trigonometrik funktsiyalarning jadval qiymatlarini bilib, biz quyidagilarni olamiz:
Olingan qiymatlarni formulamizga almashtiramiz va koordinatalarni topamiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
5. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz umumiy shakldagi formulalardan foydalanamiz, bu erda
Doira markazining koordinatalari (bizning misolimizda,
Doira radiusi (shart bo'yicha)
Vektor radiusining burilish burchagi (shart bo'yicha).
Keling, barcha qiymatlarni formulaga almashtiramiz va olamiz:
va - jadval qiymatlari. Keling, eslaylik va ularni formulaga almashtiramiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
XULOSA VA ASOSIY FORMULALAR
Burchakning sinusi - bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Burchakning kosinusu - qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Burchakning tangensi - qarama-qarshi (uzoq) tomonning qo'shni (yaqin) tomonga nisbati.
Burchakning kotangensi - qo'shni (yaqin) tomonning qarama-qarshi (uzoq) tomonga nisbati.
Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n marta tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.
Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ... munozaralar bugungi kungacha davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslar mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi; ; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.
Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.
Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.
Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:
Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.
Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.
Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:
Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.
Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men alohida e'tibor qaratmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar yaratadi.
Chorshanba, 4-iyul, 2018-yil
To'plam va multiset o'rtasidagi farqlar Vikipediyada juda yaxshi tasvirlangan. Ko'raylikchi.
Ko'rib turganingizdek, "to'plamda ikkita bir xil element bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Aqlli mavjudotlar bunday bema'ni mantiqni hech qachon tushunmaydilar. Bu "to'liq" so'zidan aqlga ega bo'lmagan gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, bizga o'zlarining bema'ni g'oyalarini targ'ib qilishadi.
Bir paytlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prikni sinovdan o'tkazayotganda ko'prik ostidagi qayiqda bo'lishgan. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.
Matematiklar "menga e'tibor bering, men uydaman" yoki to'g'rirog'i, "matematika mavhum tushunchalarni o'rganadi" iborasi orqasida qanchalik yashirinmasin, ularni haqiqat bilan chambarchas bog'laydigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Keling, matematik to'plamlar nazariyasini matematiklarning o'zlariga tatbiq qilaylik.
Biz matematikani juda yaxshi o'rgandik va hozir biz kassada o'tirib, oyliklarni beramiz. Shunday qilib, matematik bizga pul uchun keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va stolimizga turli xil qoziqlarga joylashtiramiz, ularga bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin biz har bir qoziqdan bitta hisob-kitobni olib, matematikaga uning "matematik ish haqi" ni beramiz. Keling, matematikaga bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisob-kitoblarni olishini tushuntirib beraylik. Qiziq shu erda boshlanadi.
Avvalo, deputatlarning “Buni boshqalarga nisbatan qo‘llash mumkin, lekin menga emas!” degan mantig‘i ishlaydi. Keyin ular bizni bir xil nomdagi veksellar turli xil veksel raqamlariga ega ekanligiga ishontirishni boshlaydilar, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Mayli, maoshlarni tangalarda hisoblaylik - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslay boshlaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va atomlarning joylashishi har bir tanga uchun o'ziga xosdir ...
Va endi menda eng qiziqarli savol bor: ko'p to'plamning elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chiziq qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsani shamanlar hal qiladi, fan bu erda yolg'on gapirishga ham yaqin emas.
Mana qarang. Biz maydon maydoni bir xil bo'lgan futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydonlari bir xil - bu bizda multiset mavjudligini anglatadi. Ammo bir xil stadionlarning nomlariga qarasak, nomlari har xil bo'lgani uchun ko'plarini olamiz. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami ham to'plam, ham multisetdir. Qaysi biri to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-o'tkir yengidan ko'zni chiqarib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Har holda, u bizni o'zining haq ekanligiga ishontiradi.
Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilinmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.
Yakshanba, 18-mart, 2018-yil
Raqam raqamlarining yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig'indisini topish va undan foydalanish o'rgatiladi, lekin shuning uchun ular shamanlar, o'z avlodlariga o'z mahoratlari va donoliklarini o'rgatishlari kerak, aks holda shamanlar shunchaki o'lib ketadi.
Sizga dalil kerakmi? Vikipediyani oching va "Raqam raqamlari yig'indisi" sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun ishlatiladigan formula yo'q. Axir, raqamlar biz raqamlarni yozadigan grafik belgilardir va matematika tilida vazifa quyidagicha yangraydi: "Har qanday raqamni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping." Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydilar, ammo shamanlar buni osonlikcha hal qilishlari mumkin.
Keling, berilgan sonning raqamlari yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni aniqlaymiz. Shunday qilib, 12345 raqamiga ega bo'lamiz. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.
1. Raqamni qog'ozga yozing. Biz nima qildik? Biz raqamni grafik raqam belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.
2. Olingan bitta rasmni alohida raqamlardan iborat bir nechta rasmga kesib oling. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.
3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.
4. Olingan raqamlarni qo'shing. Endi bu matematika.
12345 raqamining raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar foydalanadigan shamanlar tomonidan o'qitiladigan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.
Matematik nuqtai nazardan, sonni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Demak, turli sanoq sistemalarida bir xil son raqamlari yig’indisi har xil bo’ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki belgisi sifatida ko'rsatilgan. Katta raqam 12345 bilan men boshimni aldashni xohlamayman, keling, maqoladagi 26 raqamini ko'rib chiqaylik. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz. Keling, natijani ko'rib chiqaylik.
Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. Bu xuddi to'rtburchakning maydonini metr va santimetrda aniqlaganingizdek, siz butunlay boshqacha natijalarga erishasiz.
Nol barcha sanoq tizimlarida bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat foydasiga yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday qilib belgilanadi? Nima, matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa yo'q? Men shamanlar uchun ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun emas. Haqiqat faqat raqamlardan iborat emas.
Olingan natija sanoq sistemalarining sonlar uchun o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar ularni solishtirgandan keyin turli xil natijalarga olib keladigan bo'lsa, unda bu matematikaga hech qanday aloqasi yo'q.
Haqiqiy matematika nima? Bu matematik operatsiya natijasi raqamning o'lchamiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.
Oh! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu jannatga ko'tarilish paytida qalblarning muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Yuqorida halo va yuqoriga o'q. Yana qanday hojatxona?
Ayol... Yuqoridagi halo va pastga o'q erkakdir.
Agar bunday dizayn san'ati asari kuniga bir necha marta ko'z oldingizda porlab tursa,
Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:
Shaxsan men najas qilayotgan odamda minus to'rt darajani ko'rishga harakat qilaman (bitta rasm) (bir nechta rasmlarning kompozitsiyasi: minus belgisi, to'rtinchi raqam, darajalarni belgilash). Va menimcha, bu qiz fizikani bilmaydigan ahmoq emas. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etishning kuchli stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimo o'rgatishadi. Mana bir misol.
1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "pooping man" yoki o'n oltilik tizimda "yigirma olti" raqami. Ushbu sanoq tizimida doimiy ravishda ishlaydigan odamlar avtomatik ravishda raqam va harfni bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.
Maqolada biz uning qanday ko'rinishini to'liq tushunamiz trigonometrik qiymatlar jadvali, sinus, kosinus, tangens va kotangens. Trigonometrik funksiyalarning asosiy ma'nosini 0,30,45,60,90,...,360 gradus burchakdan ko'rib chiqamiz. Keling, trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblashda ushbu jadvallardan qanday foydalanishni ko'rib chiqaylik.
Avval ko'rib chiqaylik kosinus, sinus, tangens va kotangens jadvali 0, 30, 45, 60, 90,... daraja burchakdan. Ushbu miqdorlarning ta'rifi 0 va 90 graduslik burchaklar funktsiyalarining qiymatini aniqlashga imkon beradi:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, 00 dan kotangens aniqlanmagan bo'ladi.
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0 dan tangens noaniq bo'ladi
Agar siz burchaklari 30 dan 90 darajagacha bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklarni olsangiz. Biz olamiz:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tan 60 0 =√3, cos 60 0 = √3/3
Keling, barcha olingan qiymatlarni shaklda ifodalaylik trigonometrik jadval:
Sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali!
Agar biz qisqartirish formulasidan foydalansak, jadvalimiz 360 gradusgacha bo'lgan burchaklar uchun qiymatlarni qo'shib ortadi. Bu shunday ko'rinadi:
Shuningdek, davriylik xususiyatlaridan kelib chiqib, agar burchaklarni 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z bilan almashtirsak, jadvalni oshirish mumkin, bunda z butun sondir. Ushbu jadvalda bitta doiradagi nuqtalarga mos keladigan barcha burchaklarning qiymatini hisoblash mumkin.
Keling, jadvalni eritmada qanday ishlatishni ko'rib chiqaylik.
Hammasi juda oddiy. Bizga kerak bo'lgan qiymat bizga kerak bo'lgan hujayralarning kesishish nuqtasida joylashganligi sababli. Masalan, 60 graduslik burchakning kos qiymatini oling, jadvalda u quyidagicha ko'rinadi:
Trigonometrik funktsiyalarning asosiy qiymatlarining yakuniy jadvalida biz xuddi shu tarzda harakat qilamiz. Lekin bu jadvalda 1020 gradus burchakdan tangens qancha ekanligini bilish mumkin, u = -√3 1020 0 = 300 0 +360 0 *2 ni tekshiramiz. Keling, uni jadval yordamida topamiz.
Bradis stoli. Sinus, kosinus, tangens va kotangens uchun.
Bradis jadvallari bir necha qismlarga bo'lingan bo'lib, ular kosinus va sinus, tangens va kotangens jadvallaridan iborat - ular ikki qismga bo'lingan (tg 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar va ctg kichik burchaklar).
Sinus va kosinus
tg burchak 00 dan boshlanadigan 760 bilan tugaydi, ctg 140 dan boshlanib, 900 bilan tugaydi.
tg gacha 900 va ctg kichik burchaklar.
Keling, muammolarni hal qilishda Bradis jadvallaridan qanday foydalanishni aniqlaymiz.
Sin belgisini topamiz (chap chetidagi ustundagi belgi) 42 daqiqa (belgisi yuqori qatorda). Kesishish orqali biz belgini qidiramiz, u = 0,3040.
Daqiqa qiymatlari olti daqiqalik interval bilan ko'rsatilgan, agar bizga kerak bo'lgan qiymat aynan shu oraliqda bo'lsa, nima qilish kerak. Keling, 44 daqiqani olaylik, lekin jadvalda faqat 42 bor, biz 42 ni asos qilib olamiz va o'ng tomondagi qo'shimcha ustunlardan foydalanamiz, 2-tuzatishni olamiz va 0,3040 + 0,0006 ga qo'shamiz.
Gunoh 47 daqiqa bilan biz 48 daqiqani asos qilib olamiz va undan 1 tuzatishni ayiramiz, ya'ni 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Kosni hisoblashda biz gunohga o'xshash ishlaymiz, faqat jadvalning pastki qatorini asos qilib olamiz. Masalan, cos 20 0 = 0,9397
90 0 gacha bo'lgan tg burchagi va kichik burchakning karyolasi qiymatlari to'g'ri va ularda tuzatishlar yo'q. Masalan, tg 78 0 37min = 4,967 ni toping 
va ctg 20 0 13min = 25,83 
Xo'sh, biz asosiy trigonometrik jadvallarni ko'rib chiqdik. Umid qilamizki, bu ma'lumot siz uchun juda foydali bo'ldi. Jadvallar haqida savollaringiz bo'lsa, ularni sharhlarda yozishni unutmang!
Eslatma: Devor bamperlari devorlarni himoya qilish uchun bamper taxtasi. Havolaga rioya qiling ramkasiz devor bamperlari (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) va ko'proq ma'lumot oling.
Biz trigonometriyani o'rganishni to'g'ri uchburchakdan boshlaymiz. Keling, sinus va kosinus nima ekanligini, shuningdek, o'tkir burchakning tangensi va kotangensini aniqlaymiz. Bu trigonometriyaning asoslari.
Shuni eslatib o'tamiz to'g'ri burchak 90 gradusga teng burchak hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, yarim burilish burchagi.
O'tkir burchak- 90 darajadan kam.
O'tkir burchak- 90 darajadan yuqori. Bunday burchakka nisbatan "to'liq" haqorat emas, balki matematik atama :-)
Keling, to'g'ri burchakli uchburchak chizamiz. To'g'ri burchak odatda bilan belgilanadi. E'tibor bering, burchakka qarama-qarshi tomon bir xil harf bilan ko'rsatilgan, faqat kichik. Shunday qilib, qarama-qarshi tomon A burchagi belgilanadi.
Burchak mos keladigan yunoncha harf bilan belgilanadi.
Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonidir.
Oyoqlar- o'tkir burchaklarga qarama-qarshi yotgan tomonlar.
Burchakka qarama-qarshi yotgan oyoq deyiladi qarama-qarshi(burchakka nisbatan). Burchakning yon tomonlaridan birida yotadigan boshqa oyoq deyiladi qo'shni.
Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:
Kosinus To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
Tangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qarama-qarshi tomonning qo'shniga nisbati:
Boshqa (ekvivalent) ta'rif: o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:
Kotangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati (yoki bir xil bo'lgan kosinusning sinusga nisbati):
Quyida sinus, kosinus, tangens va kotangens uchun asosiy munosabatlarga e'tibor bering. Muammolarni hal qilishda ular bizga foydali bo'ladi.
Keling, ulardan ba'zilarini isbotlaylik.
OK, biz ta'riflar berdik va formulalarni yozdik. Lekin nima uchun bizga hali ham sinus, kosinus, tangens va kotangens kerak?
Biz buni bilamiz har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi ga teng.
O'rtasidagi munosabatni bilamiz partiyalar to'g'ri uchburchak. Bu Pifagor teoremasi: .
Ma'lum bo'lishicha, uchburchakda ikkita burchakni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakning ikki tomonini bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, burchaklar o'z nisbatlariga ega, tomonlar esa o'zlariga ega. Ammo agar siz to'g'ri burchakli uchburchakda bitta burchakni (to'g'ri burchakdan tashqari) va bir tomonni bilsangiz, nima qilish kerak, lekin boshqa tomonlarni topishingiz kerak?
Ilgari odamlar bu hudud va yulduzli osmon xaritalarini tuzishda duch kelgan narsadir. Axir, uchburchakning barcha tomonlarini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash har doim ham mumkin emas.
Sinus, kosinus va tangens - ular ham deyiladi trigonometrik burchak funktsiyalari- o'rtasidagi munosabatlarni berish partiyalar Va burchaklar uchburchak. Burchakni bilib, uning barcha trigonometrik funktsiyalarini maxsus jadvallar yordamida topishingiz mumkin. Va uchburchak burchaklarining sinuslari, kosinuslari va tangenslarini va uning tomonlarini bilib, qolgan qismini topishingiz mumkin.
Bundan tashqari, "yaxshi" burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.
Jadvaldagi ikkita qizil chiziqqa e'tibor bering. Tegishli burchak qiymatlarida tangens va kotangens mavjud emas.
Keling, FIPI vazifalar bankidan bir nechta trigonometriya masalalarini ko'rib chiqaylik.
1. Uchburchakda burchak , ga teng. Toping.
Muammo to'rt soniya ichida hal qilinadi.
Chunki, .
2. Uchburchakda burchak , , . Toping.
Pifagor teoremasi yordamida topamiz.
Muammo hal qilindi.
Ko'pincha muammolarda burchakli va yoki burchakli uchburchaklar mavjud. Ular uchun asosiy nisbatlarni yoddan eslang!
Burchaklari va burchakka qarama-qarshi oyog'i bo'lgan uchburchak uchun at ga teng gipotenuzaning yarmi.
Burchakli uchburchak va teng yon tomonli. Unda gipotenuza oyoqdan bir necha marta kattaroqdir.
Biz to'g'ri burchakli uchburchaklarni yechish masalalarini ko'rib chiqdik - ya'ni noma'lum tomonlar yoki burchaklarni topish. Lekin bu hammasi emas! Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonida uchburchakning tashqi burchagining sinusi, kosinusu, tangensi yoki kotangensi bilan bog'liq ko'plab muammolar mavjud. Bu haqda keyingi maqolada batafsil.
Tangens (tg x) va kotangent (ctg x) uchun mos yozuvlar ma'lumotlari. Geometrik ta'rif, xossalar, grafiklar, formulalar. Tangens va kotangentlar jadvali, hosilalar, integrallar, qator kengaytmalari. Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar. Giperbolik funktsiyalar bilan bog'lanish.
Geometrik ta'rif
|BD|
- markazi A nuqtada bo'lgan aylana yoyi uzunligi.
a - radianlarda ifodalangan burchak. tangent () tan a
gipotenuza va to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| qo'shni oyoqning uzunligiga |AB| .) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB|
qarama-qarshi oyoq uzunligiga |BC| .
Tangent Qayerda n
- butun.
.
;
;
.
G'arb adabiyotida tangens quyidagicha ifodalanadi:
Tangens funksiyaning grafigi, y = tan x
Tangent Qayerda n
Kotangent
.
G'arb adabiyotida kotangens quyidagicha belgilanadi:
;
;
.
Quyidagi belgilar ham qabul qilinadi:
Kotangens funksiyaning grafigi, y = ctg x
Tangens va kotangensning xossalari
Davriylik Funktsiyalar y = tg x va y = ctg x
p davri bilan davriydir.
Paritet
Tangens va kotangens funksiyalari toq.
Ta'rif sohalari va qadriyatlari, ortishi, kamayishi Qayerda Tangens va kotangens funksiyalar oʻzlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Tangens va kotangensning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan (
| - butun). Funktsiyalar y = | - butun). va y = | |
| y= | ||
| Qamrov va davomiylik | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Qiymatlar diapazoni | - | |
| Ortib bormoqda | - | |
| Pastga | - | - |
| Ekstremal 0 | ||
| Nollar, y = 0 | - butun). 0 | - |
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x =
Formulalar
;
;
;
;
;
Sinus va kosinus yordamida ifodalar
Yig'indi va ayirmadan tangens va kotangens uchun formulalar
Qolgan formulalarni, masalan, olish oson
Tangenslar mahsuloti
Tangenslar yig‘indisi va ayirmasining formulasi 
Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun tangens va kotangentlarning qiymatlari keltirilgan.
Kompleks sonlar yordamida ifodalar
;
;
Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar
; .
.
Hosilalar
.
Funktsiyaning x o'zgaruvchisiga nisbatan n-darajali hosila:
Tangens uchun formulalarni chiqarish > > > ; kotangent uchun > > >
Integrallar
Seriyani kengaytirish X ning darajalarida tangensning kengayishini olish uchun funktsiyalar uchun darajalar qatoridagi kengayishning bir necha shartlarini olish kerak. Va gunoh x chunki x
va bu ko'phadlarni bir-biriga bo'ling, .
Bu quyidagi formulalarni hosil qiladi.
da. da. Qayerda
;
;
Bn
- Bernoulli raqamlari. Ular yoki takrorlanish munosabatidan aniqlanadi: 
Qayerda.
Yoki Laplas formulasiga ko'ra:
Teskari funksiyalar
Tangens va kotangensning teskari funksiyalari mos ravishda arktangens va arkkotangensdir. Qayerda n
Arktangens, arctg
Tangens va kotangensning teskari funksiyalari mos ravishda arktangens va arkkotangensdir. Qayerda n
, Qayerda
Arkkotangent, arkktg
Foydalanilgan adabiyotlar: