To'g'ri burchakning tepasidan tushgan balandlikning xususiyatlari. To'g'ri uchburchak. Misollar bilan batafsil nazariya. To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

Mulk: 1. Har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakdan (gipotenuza tomonidan) olingan balandlik to'g'ri uchburchakni uchta o'xshash uchburchakka ajratadi.

Mulk: 2. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga tushirilgan balandligi oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalarining o'rtacha geometrik qiymatiga (yoki balandlik gipotenuzani ajratadigan segmentlarning geometrik o'rtachasiga) tengdir.

Mulk: 3. Oyoq gipotenuzaning geometrik o'rtacha qiymatiga va bu oyoqning gipotenuzaga proyeksiyasiga teng.

Mulk: 4. 30 graduslik burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq gipotenuzaning yarmiga teng.

Formula 1.

Formula 2., gipotenuza qayerda; , oyoqlar.

Mulk: 5. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga chizilgan mediana uning yarmiga teng va aylana radiusiga teng.

Xossa: 6. To‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklari o‘rtasidagi munosabat:

44. Kosinuslar teoremasi. Xulosa: parallelogrammaning diagonallari va tomonlari o'rtasidagi munosabat; uchburchak turini aniqlash; uchburchak medianasining uzunligini hisoblash formulasi; Uchburchak burchak kosinusini hisoblash.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu bo'limga tegishli:

Sinf. Asosiy planimetriya bo'yicha kollokvium dasturi

Qo'shni burchaklar xossasi.. ikkita burchakning qo'shni bo'lishini aniqlash, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va qolgan ikkitasi to'g'ri chiziq hosil qilsa..

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmagan bo'lsangiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

Aslida, hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, maqolada sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'rifini ko'rib chiqish kerak. Lekin men chindan ham xohlamayman, shunday emasmi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:

Burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq, ya'ni qarama-qarshi (burchak uchun) oyoq bormi? Albatta bor! Bu oyoq!

Burchak haqida nima deyish mumkin? Ehtiyotkorlik bilan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, oyoq. Bu burchak uchun oyoq qo'shni ekanligini anglatadi va

Endi, diqqat qiling! Qarang, bizda nima bor:

Bu qanchalik salqin ekanligini ko'ring:

Endi tangens va kotangensga o'tamiz.

Endi buni qanday qilib so'z bilan yozishim mumkin? Oyoq burchakka nisbatan qanday? Albatta, qarama-qarshi - burchak qarshisida "yotadi". Oyoq haqida nima deyish mumkin? Burchakka ulashgan. Xo'sh, bizda nima bor?

Numerator va maxraj qanday o'rin almashganini ko'rdingizmi?

Va endi burchaklar yana va almashuv qildi:

Rezyume; qayta boshlash

Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchaklar haqidagi asosiy teorema Pifagor teoremasi hisoblanadi.

Pifagor teoremasi

Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar unchalik yaxshi bo'lmasa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang

Siz allaqachon Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangan bo'lishingiz mumkin, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlashim mumkin? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.

Qarang, biz uning tomonlarini qanday mohirlik bilan uzunliklarga ajratdik va!

Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz

Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun bunday bo'lganini o'ylaysiz.

Kattaroq kvadratning maydoni qancha?

To'g'ri, .

Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin?

Albatta, .

To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ularni bir vaqtning o'zida ikkitasini oldik va gipotenuslari bilan bir-biriga suyandik.

Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Bu "kesish" maydoni teng ekanligini anglatadi.

Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.

Keling, aylantiramiz:

Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.

To'g'ri uchburchak va trigonometriya

To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar mavjud:

O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbatiga teng

O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbatiga teng.

Va yana bir bor bularning barchasi planshet shaklida:

Bu juda qulay!

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari

I. Ikki tomondan

II. Oyoq va gipotenuza bilan

III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan

IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab

a)

b)

Diqqat! Bu erda oyoqlarning "mos" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar shunday bo'lsa:

SHUNDA UCHBURCHLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.

Bu zarur ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkalasida ham qarama-qarshi edi.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi?

"Oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementi teng bo'lishi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uchta tomon.

Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Ajoyib, to'g'rimi?

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan vaziyat taxminan bir xil.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

I. Oʻtkir burchak boʻylab

II. Ikki tomondan

III. Oyoq va gipotenuza bilan

To'g'ri uchburchakdagi median

Nega bunday?

To'g'ri burchakli uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz?

Va bundan nima kelib chiqadi?

Shunday qilib, shunday bo'ldi

1. - median:

Bu haqiqatni unutmang! Ko'p yordam beradi!

Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.

Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik

Ehtiyotkorlik bilan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta bor, bu uchburchakning uchta uchidan masofalar teng bo'lib, bu AYLANA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?

Shunday qilib, keling, "bundan tashqari ..." bilan boshlaylik.

Keling, va ni ko'rib chiqaylik.

Ammo shunga o'xshash uchburchaklarning barchasi teng burchaklarga ega!

va haqida ham shunday deyish mumkin

Endi uni birga chizamiz:

Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foyda olish mumkin?

Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.

Keling, tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:

Balandlikni topish uchun biz proporsiyani echamiz va olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":

Xo'sh, endi, bu bilimlarni boshqalar bilan qo'llash va birlashtirib, siz to'g'ri burchakli uchburchak bilan har qanday muammoni hal qilasiz!

Shunday qilib, o'xshashlikni qo'llaymiz: .

Endi nima bo'ladi?

Yana proportsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:

Siz ushbu ikkala formulani juda yaxshi eslab qolishingiz va qulayroq bo'lganidan foydalanishingiz kerak.

Keling, ularni yana yozamiz

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:

• ikki tomondan:
• oyoq va gipotenuz tomonidan: yoki
• oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
• oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak: yoki
• gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:

• bitta o'tkir burchak: yoki
• ikki oyoqning mutanosibligidan:
• oyoq va gipotenuzaning proportsionalligidan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens

• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinasi qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati: .

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:

• oyoqlar orqali:

(ABC) va uning xususiyatlari, rasmda keltirilgan. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi bor - to'g'ri burchakka qarama-qarshi joylashgan tomon.

Maslahat 1: To'g'ri burchakli uchburchakning balandligini qanday topish mumkin

To'g'ri burchak hosil qiluvchi tomonlar oyoqlar deb ataladi. Rasmda tomonlar ko'rsatilgan AD, DC va BD, DC- oyoqlari va yon tomonlari AC Va NE- gipotenuza.

Teorema 1. 30 ° burchakli to'g'ri burchakli uchburchakda bu burchakka qarama-qarshi oyoq gipotenuzaning yarmini buzadi.

hC

AB- gipotenuza;

AD Va DV

Uchburchak
Bir teorema bor:
izoh tizimi CACKLE

Yechish: 1) Har qanday to'rtburchakning diagonallari teng 2) Agar uchburchakda bitta o'tkir burchak bo'lsa, bu uchburchak o'tkirdir. To'g'ri emas. Uchburchaklar turlari. Uchburchakning uch burchagi ham o'tkir, ya'ni 90° dan kichik bo'lsa, uchburchak o'tkir deyiladi 3) Agar nuqta ustida yotsa.

Yoki boshqa yozuvda,

Pifagor teoremasiga ko'ra

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi formulasi nima?

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi

Gipotenuzaga chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakning balandligini muammo bayonidagi ma'lumotlarga qarab u yoki bu tarzda topish mumkin.

Yoki boshqa yozuvda,

Bu erda BK va KC - oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalari (balandlik gipotenuzani ajratadigan segmentlar).

Gipotenuzaning balandligini to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni orqali topish mumkin. Agar biz uchburchakning maydonini topish uchun formuladan foydalansak

(bir tomonning yarmi mahsuloti va bu tomonga chizilgan balandlik) gipotenuzaga va gipotenuzaga chizilgan balandlikka, biz olamiz:

Bu erdan biz balandlikni uchburchak maydonining ikki barobarining gipotenuzaning uzunligiga nisbati sifatida topishimiz mumkin:

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni oyoqlar mahsulotining yarmiga teng bo'lgani uchun:

Ya'ni, gipotenuzaga chizilgan balandlikning uzunligi oyoqlarning ko'paytmasining gipotenuzaga nisbatiga teng. Agar oyoqlarning uzunligini a va b, gipotenuzaning uzunligini c bilan belgilasak, formulani quyidagicha qayta yozish mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakning aylana radiusi gipotenuzaning yarmiga teng bo'lganligi sababli, balandlik uzunligini aylana radiusi va oyoqlari bilan ifodalash mumkin:

Gipotenuzaga chizilgan balandlik yana ikkita to'g'ri burchakli uchburchak hosil qilganligi sababli, uning uzunligini to'g'ri uchburchakdagi munosabatlar orqali topish mumkin.

ABK to'g'ri burchakli uchburchakdan

ACK to'g'ri burchakli uchburchakdan

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uzunligini oyoqlarning uzunligi bilan ifodalash mumkin. Chunki

Pifagor teoremasiga ko'ra

Agar tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirsak:

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligini oyoqlari bilan bog'lash uchun boshqa formulani olishingiz mumkin:

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi formulasi nima?

To'g'ri uchburchak. O'rtacha daraja.

O'z kuchingizni sinab ko'rishni va Yagona Davlat imtihoniga yoki Yagona Davlat imtihoniga qanchalik tayyor ekanligingiz natijasini bilmoqchimisiz?

To'g'ri burchakli uchburchaklar haqidagi asosiy teorema Pifagor teoremasi hisoblanadi.

Pifagor teoremasi

Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar unchalik yaxshi bo'lmasa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang

Siz allaqachon Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangan bo'lishingiz mumkin, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlashim mumkin? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.

Qarang, biz uning tomonlarini qanday mohirlik bilan uzunliklarga ajratdik va!

Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz

Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun bunday bo'lganini o'ylaysiz.

Kattaroq kvadratning maydoni qancha? To'g'ri, . Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin? Albatta, . To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ularni bir vaqtning o'zida ikkitasini oldik va gipotenuslari bilan bir-biriga suyandik. Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Bu "kesish" maydoni teng ekanligini anglatadi.

Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.

Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.

To'g'ri uchburchak va trigonometriya

To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar mavjud:

O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbatiga teng

O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbatiga teng.

Va yana bir bor bularning barchasi planshet shaklida:

Siz juda qulay narsani payqadingizmi? Belgiga diqqat bilan qarang.

Bu juda qulay!

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari

II. Oyoq va gipotenuza bilan

III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan

IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab

Diqqat! Bu erda oyoqlarning "mos" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar shunday bo'lsa:

SHUNDA UCHBURCHLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.

Bu zarur Ikkala uchburchakda ham oyoq qo'shni yoki ikkalasida ham qarama-qarshi edi.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi? "Uchburchak" mavzusini ko'rib chiqing va "oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementi teng bo'lishi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uchta tomonlar. Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Ajoyib, to'g'rimi?

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan vaziyat taxminan bir xil.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

III. Oyoq va gipotenuza bilan

To'g'ri uchburchakdagi median

To'g'ri burchakli uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Keling, diagonal chizamiz va diagonallar kesishgan nuqtani ko'rib chiqamiz. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz?

Diagonallarning kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi.

Va bundan nima kelib chiqadi?

Shunday qilib, shunday bo'ldi

Bu haqiqatni unutmang! Ko'p yordam beradi!

Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.

Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik

Ehtiyotkorlik bilan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta bor, bu uchburchakning uchta uchidan masofalar teng bo'lib, bu AYLANA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?

Keling, bu "bundan tashqari" bilan boshlaylik. "

Ammo shunga o'xshash uchburchaklarning barchasi teng burchaklarga ega!

va haqida ham shunday deyish mumkin

Endi uni birga chizamiz:

Ular bir xil o'tkir burchaklarga ega!

Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foyda olish mumkin?

Xo'sh, masalan - To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.

Keling, tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:

Balandlikni topish uchun biz proporsiyani echamiz va olamiz Birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":

Ikkinchisini qanday olish mumkin?

Endi uchburchaklarning o'xshashligini qo'llaymiz va.

Shunday qilib, o'xshashlikni qo'llaymiz: .

Endi nima bo'ladi?

Yana proportsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz "To'g'ri uchburchakdagi balandlik":

Bu ikkala formulani ham juda yaxshi eslab qolishingiz va qulayroq bo'lganini ishlatishingiz kerak. Keling, ularni yana yozamiz

Xo'sh, endi, bu bilimlarni boshqalar bilan qo'llash va birlashtirib, siz to'g'ri burchakli uchburchak bilan har qanday muammoni hal qilasiz!

Fikrlar

Agar manba sahifasiga dofollow havolasi mavjud bo'lsa, materiallarni ruxsatsiz tarqatishga ruxsat beriladi.

Maxfiylik siyosati

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi. Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin. Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi xossasi gipotenuzaga tushdi

Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Agar kerak bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasining davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak. Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Xabar uchun rahmat!

Sizning sharhingiz qabul qilindi va moderatsiyadan so'ng u ushbu sahifada e'lon qilinadi.

Kesish ostida nima yashiringanligini bilib olishni va Yagona davlat imtihoniga va yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish bo'yicha eksklyuziv materiallarni olishni xohlaysizmi? Elektron pochtangizni qoldiring

To'g'ri burchakli uchburchakning xossalari

To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing (ABC) va uning xususiyatlari, rasmda keltirilgan. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi bor - to'g'ri burchakka qarama-qarshi joylashgan tomon. To'g'ri burchak hosil qiluvchi tomonlar oyoqlar deb ataladi. Rasmda tomonlar ko'rsatilgan AD, DC va BD, DC- oyoqlari va yon tomonlari AC Va NE- gipotenuza.

To'g'ri burchakli uchburchakning tenglik belgilari:

Teorema 1. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va oyog'i boshqa uchburchakning gipotenuzasi va oyog'iga o'xshash bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Teorema 2. To‘g‘ri burchakli uchburchakning ikki oyog‘i boshqa uchburchakning ikki oyog‘iga teng bo‘lsa, bunday uchburchaklar teng bo‘ladi.

Teorema 3. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va o'tkir burchagi boshqa uchburchakning gipotenuzasi va o'tkir burchagiga o'xshash bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Teorema 4. To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i va qo'shni (qarama-qarshi) o'tkir burchagi boshqa uchburchakning oyog'i va qo'shni (qarama-qarshi) o'tkir burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

30° burchakka qarama-qarshi oyoqning xossalari:

Teorema 1.

To'g'ri uchburchakda balandlik

30 ° burchakli to'g'ri burchakli uchburchakda bu burchakka qarama-qarshi oyoq gipotenuzaning yarmini buzadi.

Teorema 2. Agar to'g'ri burchakli uchburchakda oyoq gipotenuzaning yarmiga teng bo'lsa, unga qarama-qarshi burchak 30 ° ga teng.

Agar balandlik to'g'ri burchakning tepasidan gipotenuzaga chizilgan bo'lsa, unda bunday uchburchak chiqadiganga o'xshash va bir-biriga o'xshash ikkita kichikroqqa bo'linadi. Bundan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

1. Balandlik - bu gipotenuzaning ikki segmentining geometrik o'rtacha (mutanosib o'rtacha).
2. Uchburchakning har bir oyog'i gipotenuzaga va qo'shni segmentlarga o'rtacha proportsionaldir.

To'g'ri uchburchakda oyoqlar balandlik vazifasini bajaradi. Ortosentr uchburchakning balandliklari kesishgan nuqtadir. Bu shaklning to'g'ri burchagining tepasiga to'g'ri keladi.

hC- uchburchakning to'g'ri burchagidan chiqadigan balandlik;

AB- gipotenuza;

AD Va DV- gipotenuzani balandlikka bo'lishda paydo bo'ladigan segmentlar.

"Geometriya" faniga oid ma'lumotlarni ko'rishga qaytish.

Uchburchak bir xil toʻgʻri chiziqda boʻlmagan uchta nuqta (choʻqqi) va bu nuqtalarni bogʻlovchi uchta segmentdan tashkil topgan geometrik figuradir. To'g'ri burchakli uchburchak - bu burchaklaridan biri 90 ° (to'g'ri burchak) bo'lgan uchburchak.
Bir teorema bor: to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining yig'indisi 90 ° ga teng.
izoh tizimi CACKLE

Kalit so'zlar: uchburchak, to'g'ri burchak, oyoq, gipotenuza, Pifagor teoremasi, doira

Uchburchak deyiladi to'rtburchaklar agar u to'g'ri burchakka ega bo'lsa.
To'g'ri burchakli uchburchakning ikkita o'zaro perpendikulyar tomoni bor oyoqlar; uning uchinchi tomoni deyiladi gipotenuza.

• Perpendikulyar va oblik xususiyatlariga ko'ra, gipotenuza oyoqlarning har biridan uzunroqdir (lekin ularning yig'indisidan kamroq).
• To'g'ri burchakli uchburchakning ikkita o'tkir burchagi yig'indisi to'g'ri burchakka teng.
• To'g'ri burchakli uchburchakning ikkita balandligi uning oyoqlari bilan mos keladi. Shuning uchun, to'rtta ajoyib nuqtadan biri uchburchakning to'g'ri burchagining tepalariga tushadi.
• To'g'ri burchakli uchburchakning aylanasi gipotenuzaning o'rtasida joylashgan.
• To'g'ri burchakning tepasidan gipotenuzaga chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakning medianasi bu uchburchak atrofida aylana radiusidir.

Ixtiyoriy to'g'ri burchakli ABC uchburchakni ko'rib chiqaylik va uning to'g'ri burchagining C cho'qqisidan CD = hc balandligini chizamiz.

U berilgan uchburchakni ikkita to'g'ri burchakli ACD va BCD uchburchaklarga bo'ladi; bu uchburchaklarning har biri ABC uchburchagi bilan umumiy o'tkir burchakka ega va shuning uchun ABC uchburchagiga o'xshaydi.

ABC, ACD va BCD uchburchaklarining barchasi bir-biriga o'xshash.

Uchburchaklarning o'xshashligidan quyidagi munosabatlar aniqlanadi:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatuvchi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri.

Geometrik shakllanish. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisiga teng.

Algebraik formula. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.
Ya'ni, uchburchakning gipotenuzasi uzunligini c, oyoqlari uzunligini a va b bilan belgilaymiz:
a2 + b2 = c2

Qarama-qarshi Pifagor teoremasi.

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi

a, b va c musbat sonlarning har qanday uchligi uchun shunday
a2 + b2 = c2,
A va b oyoqlari va gipotenuzasi c bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud.

To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:

• oyoq va gipotenuz bo'ylab;
• ikki oyoqda;
• oyoq va o'tkir burchak bo'ylab;
• gipotenuza va o'tkir burchak bo'ylab.

Shuningdek qarang:
Uchburchakning maydoni, Isosceles uchburchagi, Teng tomonli uchburchak

Geometriya. 8 Sinf. Sinov 4. Variant 1 .

AD : CD = CD : B.D. Demak, CD2 = AD ∙ B.D. Ular aytadilar:

AD : AC = AC : AB. Demak, AC2 = AB ∙ A.D. Ular aytadilar:

BD : BC = BC : AB. Demak, BC2 = AB ∙ B.D.

Muammolarni hal qilish:

1.

A) 70 sm; B) 55 sm; C) 65 sm; D) 45 sm; E) 53 sm.

2. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga tortilgan balandligi gipotenuzani 9 va 36 segmentlarga ajratadi.

Ushbu balandlikning uzunligini aniqlang.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i 30 ga teng.

To'g'ri uchburchakda balandlikni qanday topish mumkin?

Bu uchburchak atrofida aylana radiusi 17 ga teng bo‘lsa, to‘g‘ri burchak cho‘qqisidan gipotenuzagacha bo‘lgan masofani toping.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Javoblarni tekshiring!

G8.04.1. To'g'ri uchburchakda proportsional segmentlar

Geometriya. 8 Sinf. Sinov 4. Variant 1 .

D ABC da ∠ACV = 90°. AC va BC oyoqlari, AB gipotenuzasi.

CD - gipotenuzaga chizilgan uchburchakning balandligi.

Oyoq AC ning gipotenuzaga AD proyeksiyasi,

BC oyog'ining gipotenuzaga BD proyeksiyasi.

CD balandligi ABC uchburchagini unga o'xshash (va bir-biriga) ikkita uchburchakka ajratadi: D ADC va D CDB.

Shunga o'xshash D ADC va D CDB tomonlari mutanosibligidan quyidagicha:

AD : CD = CD : B.D.

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi xossasi gipotenuzaga tushdi.

Demak, CD2 = AD ∙ B.D. Ular aytadilar: gipotenuzaga chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi,- oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalari orasidagi o'rtacha proportsional qiymat.

D ADC va D ACB o'xshashligidan quyidagicha:

AD : AC = AC : AB. Demak, AC2 = AB ∙ A.D. Ular aytadilar: har bir oyoq butun gipotenuza va bu oyoqning gipotenuzaga proyeksiyasi o'rtasidagi o'rtacha proportsional qiymatdir.

Xuddi shunday, D CDB va D ACB o'xshashligidan quyidagicha:

BD : BC = BC : AB. Demak, BC2 = AB ∙ B.D.

Muammolarni hal qilish:

1. Agar gipotenuzani 25 sm va 81 sm boʻlaklarga boʻlsa, gipotenuzaga chizilgan toʻgʻri burchakli uchburchakning balandligini toping.

A) 70 sm; B) 55 sm; C) 65 sm; D) 45 sm; E) 53 sm.

2. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga chizilgan balandligi gipotenuzani 9 va 36 bo'laklarga ajratadi. Ushbu balandlikning uzunligini aniqlang.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga chizilgan balandligi 22, oyoqlaridan birining proyeksiyasi 16. Ikkinchi oyog'ining proyeksiyasini toping.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i 18 ga, gipotenuzaga proyeksiyasi esa 12 ga teng. Gipotenuzani toping.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Gipotenuza 32 ga teng. Gipotenuzaga proyeksiyasi 2 ga teng bo'lgan tomonni toping.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi 45. Gipotenuzaga proyeksiyasi 9 ga teng bo'lgan tomonni toping.

8. To‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i 30 ga teng. Agar bu uchburchak atrofida aylana radiusi 17 ga teng bo‘lsa, to‘g‘ri burchak cho‘qqisidan gipotenuzagacha bo‘lgan masofani toping.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi 41 ga, oyoqlaridan birining proyeksiyasi 16 ga teng. To'g'ri burchak cho'qqisidan gipotenuzaga chizilgan balandlik uzunligini toping.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalari farqi 15 ga, to‘g‘ri burchak cho‘qqisidan gipotenuzaga bo‘lgan masofa 4 ga teng. Cheklangan aylana radiusini toping.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

To'g'ri uchburchak- bu burchaklaridan biri to'g'ri, ya'ni 90 darajaga teng bo'lgan uchburchak.

• To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza deb ataladi (rasmda ko'rsatilgan). c yoki AB)
• To'g'ri burchakka ulashgan tomon oyoq deb ataladi. Har bir to'g'ri burchakli uchburchakning ikkita oyog'i bor (rasmda ular sifatida belgilangan a va b yoki AC va BC)

To'g'ri burchakli uchburchakning formulalari va xossalari

Formula belgilari:

(yuqoridagi rasmga qarang)

a, b- to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari

c- gipotenuza

α, β - uchburchakning o'tkir burchaklari

S- kvadrat

h- to'g'ri burchakning tepasidan gipotenuzaga tushirilgan balandlik

m a a qarama-qarshi burchakdan ( α )

m b- yon tomonga tortilgan median b qarama-qarshi burchakdan ( β )

m c- yon tomonga tortilgan median c qarama-qarshi burchakdan ( γ )

IN to'g'ri uchburchak oyoqlarning har biri gipotenuzadan kichikdir(Formula 1 va 2). Bu xususiyat Pifagor teoremasining natijasidir.

Har qanday o'tkir burchakning kosinusu bittadan kam (Formula 3 va 4). Bu xususiyat avvalgisidan kelib chiqadi. Har qanday oyoq gipotenuzadan kichik bo'lgani uchun, oyoqning gipotenuzaga nisbati har doim bittadan kichik bo'ladi.

Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng (Pifagor teoremasi). (Formula 5). Bu xususiyat muammolarni hal qilishda doimo ishlatiladi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni oyoqlar mahsulotining yarmiga teng (Formula 6)

Kvadrat medianalar yig'indisi oyoqlarga gipotenuzaning medianasining besh kvadratiga va gipotenuzaning besh kvadratining to'rtga bo'linganiga teng (Formula 7). Yuqoridagilardan tashqari, mavjud Yana 5 ta formula, shuning uchun mediananing xususiyatlarini batafsilroq tavsiflovchi "To'g'ri burchakli uchburchakning mediani" darsini ham o'qish tavsiya etiladi.

Balandligi To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga bo'lingan oyoqlarning ko'paytmasiga teng (formula 8)

Oyoqlarning kvadratlari gipotenuzaga tushirilgan balandlikning kvadratiga teskari proportsionaldir (Formula 9). Bu o'ziga xoslik ham Pifagor teoremasining natijalaridan biridir.

Gipotenuzaning uzunligi chegaralangan doira diametriga (ikki radius) teng (Formula 10). To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi aylananing diametri hisoblanadi. Bu xususiyat ko'pincha muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.

Chizilgan radius V to'g'ri uchburchak doira Bu uchburchakning oyoqlari yig'indisi minus gipotenuzaning uzunligini o'z ichiga olgan ifodaning yarmi sifatida topish mumkin. Yoki ma'lum uchburchakning barcha tomonlari (perimetri) yig'indisiga bo'lingan oyoqlarning mahsuloti sifatida. (Formula 11)
Burchak sinusi teskari munosabat bu burchak oyoq gipotenuzaga(sinus ta'rifi bo'yicha). (Formula 12). Bu xususiyat muammolarni hal qilishda ishlatiladi. Yonlarning o'lchamlarini bilib, ular hosil qiladigan burchakni topishingiz mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi A (a, alfa) burchakning kosinasi ga teng bo'ladi munosabat qo'shni bu burchak oyoq gipotenuzaga(sinus ta'rifi bo'yicha). (Formula 13)

Uchburchaklar.

Asosiy tushunchalar.

Uchburchak bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta segment va uchta nuqtadan iborat figuradir.

Segmentlar deyiladi partiyalar, va nuqtalar cho'qqilari.

Burchaklar yig'indisi uchburchak 180º.

Uchburchakning balandligi.

Uchburchak balandligi- bu tepadan qarama-qarshi tomonga chizilgan perpendikulyar.

O'tkir uchburchakda balandlik uchburchak ichida joylashgan (1-rasm).

To'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlar uchburchakning balandliklari (2-rasm).

Doʻlma uchburchakda balandlik uchburchakdan tashqariga choʻziladi (3-rasm).

Uchburchak balandligining xususiyatlari:

Uchburchakning bissektrisasi.

Uchburchakning bissektrisasi- bu cho'qqi burchagini yarmiga bo'ladigan va tepani qarama-qarshi tomondagi nuqtaga bog'laydigan segment (5-rasm).

Bissektrisaning xossalari:

Uchburchakning medianasi.

Uchburchakning medianasi- bu qarama-qarshi tomonning o'rtasi bilan tepalikni bog'laydigan segment (9a-rasm).

Median uzunligini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 Qayerda m a- yon tomonga tortilgan median A. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng: c m c = — 2 Qayerda m c- gipotenuzaga chizilgan mediana c(9c-rasm) Uchburchakning medianalari bir nuqtada (uchburchakning massa markazida) kesishadi va cho'qqidan sanab, 2:1 nisbatda shu nuqtaga bo'linadi. Ya'ni, cho'qqidan markazgacha bo'lgan segment markazdan uchburchakning yon tomoniga bo'lgan segmentdan ikki baravar katta (9c-rasm). Uchburchakning uchta medianasi uni oltita teng uchburchakka ajratadi.

Uchburchakning o'rta chizig'i.

Uchburchakning o'rta chizig'i- bu uning ikki tomonining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment (10-rasm).

Uchburchakning o'rta chizig'i uchinchi tomonga parallel va uning yarmiga teng

Uchburchakning tashqi burchagi.

Tashqi burchak uchburchakning ikki qo'shni bo'lmagan ichki burchaklar yig'indisiga teng (11-rasm).

Uchburchakning tashqi burchagi har qanday qo'shni bo'lmagan burchakdan kattaroqdir.

To'g'ri uchburchak.

To'g'ri uchburchak to'g'ri burchakka ega bo'lgan uchburchakdir (12-rasm).

To'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomoni deyiladi gipotenuza.

Qolgan ikki tomon chaqiriladi oyoqlar.

To'g'ri uchburchakdagi proportsional segmentlar.

1) To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakdan chizilgan balandlik uchta o'xshash uchburchaklarni hosil qiladi: ABC, ACH va HCB (14a-rasm). Shunga ko'ra, balandlikdan hosil bo'lgan burchaklar A va B burchaklariga teng.

14a-rasm

Izosceles uchburchagi.

Izosceles uchburchagi ikki tomoni teng bo'lgan uchburchakdir (13-rasm).

Bu teng tomonlar deyiladi tomonlar, va uchinchisi - asos uchburchak.

Teng yonli uchburchakda asosiy burchaklar teng. (Bizning uchburchakda A burchagi C burchakka teng).

Teng yonli uchburchakda asosga chizilgan mediana uchburchakning bissektrisasi ham, balandligi ham hisoblanadi.

Teng tomonli uchburchak.

Teng tomonli uchburchak - barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchak (14-rasm).

Teng yonli uchburchakning xossalari:

Uchburchaklarning ajoyib xususiyatlari.

Uchburchaklar o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lib, bu shakllar bilan bog'liq muammolarni muvaffaqiyatli hal qilishga yordam beradi. Ushbu xususiyatlarning ba'zilari yuqorida tavsiflangan. Ammo biz ularni yana takrorlaymiz va ularga yana bir nechta ajoyib xususiyatlarni qo'shamiz:

1) 90º, 30º va 60º burchakli to'g'ri burchakli uchburchakda b, 30º burchakka qarama-qarshi yotgan, ga teng gipotenuzaning yarmi. Oyoqa ko'proq oyoqb√3 marta (15-rasm A). Misol uchun, agar b oyog'i 5 bo'lsa, u holda gipotenuza c albatta 10 ga teng, oyoq esa A 5√3 ga teng. 2) Burchaklari 90º, 45º va 45º boʻlgan toʻgʻri burchakli teng yonli uchburchakda gipotenuza oyoqdan √2 marta katta (15-rasm) b). Masalan, agar oyoqlar 5 bo'lsa, u holda gipotenuza 5√2 bo'ladi. 3) Uchburchakning o'rta chizig'i parallel tomonining yarmiga teng (15-rasm). Bilan). Misol uchun, agar uchburchakning tomoni 10 ga teng bo'lsa, unga parallel bo'lgan o'rta chiziq 5 ga teng. 4) To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng (9c-rasm): m c= s/2. 5) Bir nuqtada kesishgan uchburchakning medianalari shu nuqtaga 2:1 nisbatda bo‘linadi. Ya'ni, cho'qqidan medianalarning kesishish nuqtasigacha bo'lgan segment medianalarning kesishgan nuqtasidan uchburchakning yon tomoniga bo'lgan segmentdan ikki baravar katta (9c-rasm). 6) To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning o'rtasi aylananing markazidir (15-rasm). d).

Uchburchaklar tenglik belgilari.

Tenglikning birinchi belgisi: agar bir uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Tenglikning ikkinchi belgisi: agar bir uchburchakning bir tomoni va unga tutash burchaklari boshqa uchburchakning yon va unga tutashgan burchaklariga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Tenglikning uchinchi belgisi: Agar bir uchburchakning uch tomoni boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Uchburchak tengsizligi.

Har qanday uchburchakda har bir tomon boshqa ikki tomonning yig'indisidan kichikdir.

Pifagor teoremasi.

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng:

c 2 = a 2 + b 2 .

Uchburchakning maydoni.

1) Uchburchakning maydoni uning tomoni va bu tomonga chizilgan balandlikning yarmiga teng:

ah
S = ——
2

2) Uchburchakning maydoni uning har ikki tomoni va ular orasidagi burchak sinusining ko'paytmasining yarmiga teng:

1
S = — AB · A.C. · gunoh A
2

Doira atrofida o'ralgan uchburchak.

Agar aylana uning barcha tomonlariga tegsa, uchburchak ichiga chizilgan deyiladi (16-rasm). A).

Doira ichiga yozilgan uchburchak.

Agar uchburchak barcha uchlari bilan tegsa, aylana ichiga chizilgan deyiladi (17-rasm). a).

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi sinus, kosinus, tangens, kotangens (18-rasm).

Sinus o'tkir burchak x qarama-qarshi oyoq gipotenuzaga.
U quyidagicha ifodalanadi: gunohx.

Kosinus o'tkir burchak x to'g'ri burchakli uchburchakning nisbati qo'shni oyoq gipotenuzaga.
Quyidagi kabi belgilanadi: cos x.

Tangent o'tkir burchak x- bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: tgx.

Kotangent o'tkir burchak x- bu qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.
Quyidagicha belgilangan: ctgx.

Qoidalar:

Oyoq burchakka qarama-qarshi x, gipotenuza va sin ko'paytmasiga teng x:

b = c gunoh x

Oyoq burchakka ulashgan x, gipotenuza va cos ko'paytmasiga teng x:

a = c cos x

Oyoqning qarama-qarshi burchagi x, ikkinchi oyoqning ko'paytmasiga tg ga teng x:

b = a tg x

Oyoq burchakka ulashgan x, ikkinchi oyoqning ctg ko'paytmasiga teng x:

a = b· ctg x.

Har qanday o'tkir burchak uchun x:

gunoh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = gunoh x