Qayerda hal qilinishi kerak bo'lgan muammolar ko'rib chiqildi to'g'ri uchburchak, Men sinus va kosinus ta'riflarini yodlash texnikasini aytib berishga va'da berdim. Undan foydalanib, siz har doim qaysi tomon gipotenuzaga tegishli ekanligini tezda eslaysiz (qo'shni yoki qarama-qarshi). Men buni uzoq vaqtga qoldirmaslikka qaror qildim, zarur material pastda, o'qing 😉

Gap shundaki, men 10-11-sinf o‘quvchilari bu ta’riflarni eslab qolishda qiynalayotganliklarini bir necha bor kuzatganman. Ular oyoqning gipotenuzaga tegishli ekanligini juda yaxshi eslashadi, lekin qaysi biri- ular unutishadi va chalkash. Xatoning narxi, siz imtihonda bilganingizdek, yo'qolgan balldir.

Men to'g'ridan-to'g'ri taqdim etadigan ma'lumotlarning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. U bilan bog'langan xayoliy fikrlash, va og'zaki-mantiqiy muloqot usullari bilan. Aynan shunday, men buni bir marta va umuman eslaymanta'rif ma'lumotlari. Agar siz ularni unutib qo'ysangiz, taqdim etilgan usullardan foydalangan holda ularni har doim osongina eslab qolishingiz mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus va kosinus ta'riflarini eslatib o'taman:

Kosinus o'tkir burchak To'g'ri burchakli uchburchakda bu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:

Xo'sh, siz kosinus so'zi bilan qanday bog'liqliklarga egasiz?

Balki har kimning o'ziga xos 😉Havolani eslang:

Shunday qilib, ibora darhol sizning xotirangizda paydo bo'ladi -

«… QO'SHAN oyoqning gipotenuzaga nisbati».

Kosinusni aniqlash muammosi hal qilindi.

Agar siz to'g'ri uchburchakda sinusning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, u holda kosinus ta'rifini eslab, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati ekanligini osongina aniqlashingiz mumkin. Axir, faqat ikkita oyoq bor, agar qo'shni oyoq kosinus bilan "ishg'ol qilingan" bo'lsa, u holda faqat qarama-qarshi oyoq sinus bilan qoladi.

Tangens va kotangens haqida nima deyish mumkin? Chalkashlik ham xuddi shunday. Talabalar bu oyoqlarning munosabatlari ekanligini bilishadi, ammo muammo qaysi biri qaysi biri bilan bog'liqligini eslab qolishdir - qo'shniga qarama-qarshi yoki aksincha.

Ta'riflar:

Tangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:

Kotangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati:

Qanday eslash kerak? Ikkita yo'l bor. Birida og'zaki-mantiqiy bog'lanish ham qo'llaniladi, ikkinchisi matematikadan foydalanadi.

MATEMATIK USUL

Bunday ta'rif mavjud - o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:

*Formulani yodlab, siz har doim to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati ekanligini aniqlashingiz mumkin.

Xuddi shunday.O'tkir burchakning kotangensi bu burchak kosinusining sinusiga nisbati:

Shunday ekan! Ushbu formulalarni eslab, siz har doim quyidagilarni aniqlashingiz mumkin:

- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi - qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati

- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

SO`Z-MANTIQ METOD

Tangens haqida. Havolani eslang:

Ya'ni, agar siz tangensning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, ushbu mantiqiy aloqadan foydalanib, uning nima ekanligini osongina eslab qolishingiz mumkin

"... qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati"

Agar biz kotangens haqida gapiradigan bo'lsak, unda tangens ta'rifini eslab, siz kotangentning ta'rifini osongina aytishingiz mumkin -

"... qo'shni tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati"

Veb-saytda tangens va kotangensni eslab qolish uchun qiziqarli hiyla mavjud " Matematik tandem " , qarang.

UNIVERSAL USUL

Siz shunchaki eslab qolishingiz mumkin.Ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, og'zaki-mantiqiy aloqalar tufayli odam nafaqat matematik ma'lumotlarni, balki uzoq vaqt davomida ma'lumotni eslab qoladi.

Umid qilamanki, material siz uchun foydali bo'ldi.

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali

Eslatma. Ushbu trigonometrik funktsiya qiymatlari jadvali ko'rsatish uchun √ belgisidan foydalanadi kvadrat ildiz. Kasrni ko'rsatish uchun "/" belgisidan foydalaning.

Shuningdek qarang foydali materiallar:

Uchun trigonometrik funktsiyaning qiymatini aniqlash, uni trigonometrik funktsiyani ko'rsatuvchi chiziqning kesishmasida toping. Masalan, sinus 30 daraja - biz sin (sinus) sarlavhasi bilan ustunni qidiramiz va ushbu jadval ustunining "30 daraja" qatori bilan kesishishini topamiz, ularning kesishmasida natijani o'qiymiz - yarmi. Xuddi shunday topamiz kosinus 60 darajalar, sinus 60 daraja (yana sin (sinus) ustuni va 60 gradus qatorning kesishmasida biz topamiz gunoh qiymati 60 = √3/2) va boshqalar. Boshqa "mashhur" burchaklarning sinuslari, kosinuslari va tangenslarining qiymatlari xuddi shu tarzda topiladi.

Radianlarda sinus pi, kosinus pi, tangens pi va boshqa burchaklar

Quyidagi kosinuslar, sinuslar va tangenslar jadvali argumenti bo'lgan trigonometrik funktsiyalarning qiymatini topish uchun ham mos keladi. radianlarda berilgan. Buning uchun burchak qiymatlarining ikkinchi ustunidan foydalaning. Buning yordamida siz mashhur burchaklarning qiymatini darajadan radianga o'zgartirishingiz mumkin. Misol uchun, birinchi qatordagi 60 graduslik burchakni topamiz va uning ostidagi radiandagi qiymatini o'qiymiz. 60 daraja p/3 radianga teng.

Pi soni aylananing burchakning daraja o'lchoviga bog'liqligini aniq ifodalaydi. Shunday qilib, pi radianlari 180 darajaga teng.

Pi (radian) bilan ifodalangan har qanday raqamni pi (p) ni 180 ga almashtirish orqali osongina darajalarga aylantirish mumkin..

Misollar:
1. Sine pi.
sin p = sin 180 = 0
Shunday qilib, pi ning sinusi 180 graduslik sinus bilan bir xil va u nolga teng.

2. Kosinus pi.
cos p = cos 180 = -1
Shunday qilib, pi ning kosinusu 180 daraja kosinus bilan bir xil va u minus birga teng.

3. Tangent pi
tg p = tg 180 = 0
shunday qilib, tangens pi tangens 180 daraja bilan bir xil va u nolga teng.

0 - 360 daraja burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens qiymatlari jadvali (umumiy qiymatlar)

burchak a qiymati (darajalar)	burchak a qiymati radianlarda (pi orqali)	gunoh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangent)	sek (sekant)	kosek (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	p/12			2 - √3	2 + √3
30	p/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	p/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	p/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5p/12			2 + √3	2 - √3
90	p/2	1	0	-	0	-	1
105	7p/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2p/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3p/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5p/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7p/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4p/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3p/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2p	0	1	0	-	1	-

Agar trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalida funktsiya qiymati (tangens (tg) 90 daraja, kotangent (ctg) 180 daraja) o'rniga chiziqcha ko'rsatilgan bo'lsa, u holda burchak daraja o'lchovining berilgan qiymati uchun funktsiya muayyan qiymatga ega emas. Agar chiziq bo'lmasa, hujayra bo'sh, ya'ni biz hali kirmaganmiz istalgan qiymat. Biz foydalanuvchilarning bizga qanday so'rovlar uchun murojaat qilishlari va jadvalni yangi qiymatlar bilan to'ldirishlari bilan qiziqamiz, garchi kosinuslar, sinuslar va eng keng tarqalgan burchak qiymatlarining tangenslari qiymatlari bo'yicha joriy ma'lumotlar ko'pchilikni hal qilish uchun etarli bo'lsa ham. muammolar.

Eng mashhur burchaklar uchun sin, cos, tg trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 daraja
(raqamli qiymatlar "Bradis jadvallari bo'yicha")

burchak a qiymati (daraja)	burchak a qiymati radianlarda	gunoh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7p/18

Misollar:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(p)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument va ma'no

O'tkir burchakning kosinusu

O'tkir burchakning kosinusu to'g'ri burchakli uchburchak yordamida aniqlanishi mumkin - u qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

Misol :

1) Burchak berilsin va bu burchakning kosinusini aniqlashimiz kerak.

2) Keling, ushbu burchakdagi istalgan to'g'ri burchakli uchburchakni to'ldiramiz.

3) Kerakli tomonlarni o'lchab, biz kosinusni hisoblashimiz mumkin.

Sonning kosinusu

Raqam doirasi har qanday sonning kosinusini aniqlashga imkon beradi, lekin odatda siz raqamlarning kosinusini qandaydir bog'liqlik bilan topasiz: \(\frac(p)(2)\) , \(\frac(3p)(4)\) , \(-2p\ ).

Masalan, \(\frac(p)(6)\) raqami uchun kosinus \(\frac(\sqrt(3))(2)\) ga teng bo'ladi. Va \(-\)\(\frac(3p)(4)\) soni uchun u \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) ga teng bo'ladi (taxminan \ (-0 ,71\)).

Amalda tez-tez uchraydigan boshqa raqamlar uchun kosinus uchun qarang.

Kosinus qiymati har doim \(-1\) dan \(1\) oralig'ida joylashgan. Bunday holda, kosinusni mutlaqo har qanday burchak va raqam uchun hisoblash mumkin.

Har qanday burchakning kosinusu

Raqamli aylana tufayli siz nafaqat o'tkir burchakning, balki o'tmas, salbiy va hatto \(360 °\) dan (to'liq inqilob) kattaroq kosinusni ham aniqlashingiz mumkin. Buni qanday qilish \(100\) marta eshitishdan ko'ra bir marta ko'rish osonroq, shuning uchun rasmga qarang.

Endi tushuntirish: deylik, burchakning kosinusini aniqlashimiz kerak KOA daraja o'lchovi bilan \(150°\). Nuqtani birlashtirish HAQIDA aylana markazi va yon tomoni bilan KELISHDIKMI– \(x\) o'qi bilan. Shundan so'ng, soat miliga teskari tomonga \(150°\) qo'ying. Keyin nuqtaning ordinatasi A bizga bu burchakning kosinusini ko'rsatadi.

Agar bizni daraja o'lchovi bo'lgan burchak qiziqtirsa, masalan, \(-60 °\) (burchak KOV), xuddi shunday qiling, lekin \(60°\) ni soat yoʻnalishi boʻyicha oʻrnating.

Va nihoyat, burchak \(360°\) dan katta (burchak CBS) - hamma narsa ahmoqqa o'xshaydi, faqat soat yo'nalishi bo'yicha to'liq burilishdan so'ng, biz ikkinchi doiraga o'tamiz va "darajaning etishmasligini olamiz". Xususan, bizning holatimizda \(405°\) burchak \(360° + 45°\) shaklida chizilgan.

Taxmin qilish oson, masalan, \(960°\) da burchakni chizish uchun siz ikki burilish (\(360°+360°+240°\)) va burchak uchun \(2640) qilishingiz kerak. °\) - butun etti.

Siz almashtirganingizdek, sonning kosinusu ham, ixtiyoriy burchakning kosinasi ham deyarli bir xil aniqlanadi. Faqat doiradagi nuqtani topish usuli o'zgaradi.

Choraklar bo'yicha kosinus belgilari

Kosinus o'qidan (ya'ni rasmda qizil rang bilan belgilangan abscissa o'qi) foydalanib, raqamli (trigonometrik) doira bo'ylab kosinuslarning belgilarini aniqlash oson:

Agar o'qdagi qiymatlar \(0\) dan \(1\) gacha bo'lsa, kosinus ortiqcha belgisiga ega bo'ladi (I va IV chorak - yashil maydon),
- o'qdagi qiymatlar \(0\) dan \(-1\) gacha bo'lgan joyda, kosinus minus belgisiga ega bo'ladi (II va III choraklar - binafsha maydon).

Boshqa trigonometrik funktsiyalar bilan aloqasi:

- bir xil burchak (yoki raqam): asosiy trigonometrik identifikatsiya\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- bir xil burchak (yoki raqam): formula bo'yicha \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- va bir xil burchakning sinusi (yoki soni): formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Boshqa eng ko'p ishlatiladigan formulalar uchun qarang.

\(\cos⁡x=a\) tenglamaning yechimi

\(\cos⁡x=a\) tenglamaning yechimi, bu erda \(a\) \(1\) dan katta bo'lmagan va \(-1\) dan kam bo'lmagan son, ya'ni. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2pk, k∈Z\)

Agar \(a>1\) yoki \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Misol . \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

Raqamli aylana yordamida tenglamani yechamiz. Buning uchun:
1) Keling, boltalarni quraylik.
2) Keling, aylana quramiz.
3) Kosinus o'qida (o'qi \(y\)) nuqtani belgilang \(\frac(1)(2)\) .
4) Shu nuqta orqali kosinus o‘qiga perpendikulyar chizamiz.
5) Perpendikulyar va aylananing kesishish nuqtalarini belgilang.
6) Keling, ushbu nuqtalarning qiymatlarini belgilaymiz: \(\frac(p)(3)\) ,\(-\)\(\frac(p)(3)\) .
7) Keling, \(x=t+2pk\), \(k∈Z\) formulasidan foydalanib, ushbu nuqtalarga mos keladigan barcha qiymatlarni yozamiz:
\(x=±\)\(\frac(p)(3)\) \(+2pk\), \(k∈Z\);

Javob: \(x=±\frac(p)(3)+2pk\) \(k∈Z\)

Funktsiya \(y=\cos(x)\)

Agar \(x\) o'qi bo'ylab burchaklarni radianlarda va \(y\) o'qi bo'ylab bu burchaklarga mos keladigan kosinus qiymatlarini chizsak, quyidagi grafikni olamiz:

Ushbu grafik deyiladi va quyidagi xususiyatlarga ega:

Ta'rif sohasi x ning istalgan qiymati: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- qiymatlar diapazoni - \(-1\) dan \(1\) gacha: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- juft: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- davriy davri \(2p\): \(\cos⁡(x+2p)=\cos(x)\)
- koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari:
abscissa o'qi: \((\)\(\frac(p)(2)\) \(+pn\),\(;0)\), bu erda \(n s Z\)
Y o'qi: \((0;1)\)
- belgining doimiylik intervallari:
funktsiya oraliqlarda musbat: \((-\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pn;\) \(\frac(p)(2)\) \(+2pn) \), bu erda \(n s Z\)
funktsiya oraliqlarda manfiy: \((\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pn;\)\(\frac(3p)(2)\) \(+2pn)\ ), bu erda \(n s Z\)
- o'sish va pasayish intervallari:
funktsiya oraliqlarda ortadi: \((p+2pn;2p+2pn)\), bu erda \(n s Z\)
funktsiya oraliqlarda kamayadi: \((2pn;p+2pn)\), bu erda \(n s Z\)
- funktsiyaning maksimal va minimumlari:
funktsiya \(x=2pn\) nuqtalarda maksimal qiymatga ega bo'ladi, bu erda \(n s Z\)
funktsiya \(x=p+2pn\) nuqtalarida \(y=-1\) minimal qiymatga ega, bu erda \(n s Z\).

Keling, oddiy tushunchalarni tushunaylik: sinus va kosinus va hisoblash kosinus kvadrat va sinus kvadrat.

Sinus va kosinus trigonometriyada (toʻgʻri burchakli uchburchaklarni oʻrganish) oʻrganiladi.

Shuning uchun, avvalo, to'g'ri burchakli uchburchakning asosiy tushunchalarini eslaylik:

Gipotenuza- har doim to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotadigan tomon (90 graduslik burchak). Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzun tomonidir.

To'g'ri burchakli uchburchakning qolgan ikki tomoni deyiladi oyoqlar.

Shuni ham yodda tutish kerakki, uchburchakdagi uchta burchak har doim 180 ° gacha qo'shiladi.

Endi o'tamiz alfa burchakning kosinus va sinusi (∠a)(buni uchburchakdagi har qanday bilvosita burchak deb atash yoki belgilash sifatida ishlatish mumkin x - "x", bu mohiyatni o'zgartirmaydi).

Alfa burchak sinusi (sin ∠a)- bu munosabat qarama-qarshi oyoq (tegishli burchakka qarama-qarshi tomon) gipotenuzaga. Agar siz rasmga qarasangiz, u holda sin ∠ABC = AC / BC

Alfa burchak kosinasi (cos ∠a)- munosabat qo'shni oyoqning gipotenuzaga burchagiga. Yuqoridagi rasmga yana qarasak, cos ∠ABC = AB / BC

Va eslatib o'tamiz: kosinus va sinus hech qachon birdan katta bo'lmaydi, chunki har qanday rulon gipotenuzadan qisqaroq (va gipotenuza har qanday uchburchakning eng uzun tomonidir, chunki eng uzun tomoni uchburchakdagi eng katta burchakka qarama-qarshi joylashgan) .

Kosinus kvadrat, sinus kvadrat

Endi asosiy trigonometrik formulalarga o'tamiz: kosinus kvadratini va sinus kvadratini hisoblash.

Ularni hisoblash uchun siz asosiy trigonometrik identifikatsiyani eslab qolishingiz kerak:

sin 2 a + cos 2 a = 1(bir burchakning sinus kvadrati va kosinus kvadrati har doim bittaga teng).

Trigonometrik identifikatsiyadan biz sinus haqida xulosa chiqaramiz:

sin 2 a = 1 - cos 2 a

sinus kvadrat alfa ikki burchakli alfa kosinusiga bir minusga teng va bularning barchasini ikkiga bo'ling.

sin 2 a = (1 – cos(2a)) / 2

​​​​​​​Trigonometrik identifikatsiyadan biz kosinus haqida xulosa chiqaramiz:

cos 2 a = 1 - sin 2 a

yoki formulaning murakkabroq versiyasi: kosinus kvadrat alfa bir plyus ikki burchakli alfa kosinusiga teng va hamma narsani ikkiga bo'linadi.

cos 2 a = (1 + cos(2a)) / 2

Sinus kvadrati va kosinus kvadrati uchun yana ikkita murakkab formulalar "kvadrat trigonometrik funktsiyalar uchun quvvatni kamaytirish" deb ham ataladi. Bular. ikkinchi daraja bor edi, ular uni birinchi darajaga tushirishdi va hisob-kitoblar qulayroq bo'ldi.

Men sizni aldash varaqlarini yozmaslikka ishontirishga harakat qilmayman. Yozing! Trigonometriya bo'yicha cheat varaqlari, shu jumladan. Keyinchalik men cheat varaqlari nima uchun kerakligini va nima uchun cheat varaqlari foydali ekanligini tushuntirishni rejalashtirmoqdaman. Va bu erda qanday o'rganish emas, balki ba'zi trigonometrik formulalarni eslab qolish haqida ma'lumot. Shunday qilib, biz esdalik uchun assotsiatsiyalardan foydalanamiz.

1. Qo‘shish formulalari:

Kosinuslar har doim "juft bo'lib keladi": kosinus-kosinus, sinus-sinus. Va yana bir narsa: kosinuslar "etarsiz". Ular uchun "hamma narsa to'g'ri emas", shuning uchun ular belgilarni o'zgartiradilar: "-" "+" ga va aksincha.

Sinuslar - "aralash": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Yig‘indi va ayirma formulalari:

kosinuslar har doim "juft bo'lib keladi". Ikkita kosinus - "koloboks" qo'shilishi bilan biz bir juft kosinus - "koloboks" ni olamiz. Va ayirish orqali biz hech qanday koloboklarni olmaymiz. Biz bir nechta sinuslarni olamiz. Oldinda minus bilan ham.

Sinuslar - "aralash" :

3. Ko`paytmani yig`indiga va ayirmaga aylantirish formulalari.

Kosinus juftligini qachon olamiz? Biz kosinuslarni qo'shganda. Shunung uchun

Qachon biz bir nechta sinuslarni olamiz? Kosinuslarni ayirishda. Bu yerdan:

"Aralash" sinuslarni qo'shishda ham, ayirishda ham olinadi. Qaysi qiziqarliroq: qo'shish yoki ayirish? To'g'ri, katlayın. Va formula uchun ular qo'shimcha oladilar:

Birinchi va uchinchi formulalarda yig'indisi qavs ichida. Shartlar joylarini qayta joylashtirish yig'indini o'zgartirmaydi. Buyurtma faqat ikkinchi formula uchun muhimdir. Ammo, chalkashmaslik uchun, eslab qolish qulayligi uchun, birinchi qavsdagi barcha uchta formulada biz farqni olamiz.

ikkinchidan - miqdor

Cho'ntagingizdagi cheat varaqlari sizga tinchlik beradi: agar formulani unutib qo'ysangiz, uni nusxalashingiz mumkin. Va ular sizga ishonch bag'ishlaydi: agar siz cheat varaqlaridan foydalanmasangiz, formulalarni osongina eslab qolishingiz mumkin.