Arifmetik progressiya bo'yicha muammolar qadimgi davrlarda ham mavjud edi. Ular paydo bo'lib, amaliy ehtiyojga ega bo'lgani uchun yechim talab qilishdi.

Shunday qilib, papiruslardan birida Qadimgi Misr"Matematik mazmunga ega bo'lgan - Rhind papirusi (miloddan avvalgi 19-asr) - quyidagi vazifani o'z ichiga oladi: o'n o'lchab nonni o'n kishiga bo'ling, agar ularning har biri orasidagi farq o'lchovning sakkizdan bir qismi bo'lsa."

Qadimgi yunonlarning matematik asarlarida esa arifmetik progressiyaga oid nafis teoremalar mavjud. Shunday qilib, Iskandariya Gipsiklari (II asr, ko'plab qiziqarli masalalar tuzgan va Evklid elementlariga o'n to'rtinchi kitobni qo'shgan) g'oyani shunday shakllantirdi: «Juft sonli hadlarga ega bo'lgan arifmetik progressiyada 2-yarm hadlari yig'indisi. miqdoridan ortiq 1-chi a'zolar a'zolar sonining 1/2 qismi kvadratida.

Ketma-ketlik a bilan belgilanadi. Ketma-ketlik raqamlari uning a'zolari deb ataladi va odatda ushbu elementning seriya raqamini ko'rsatadigan indeksli harflar bilan belgilanadi (a1, a2, a3 ... o'qing: "a 1", "a 2", "a 3" va hokazo ).

Ketma-ketlik cheksiz yoki chekli bo'lishi mumkin.

Arifmetik progressiya nima? Bu bilan oldingi hadni (n) bir xil d soniga qo'shish orqali olinganni tushunamiz, bu progressiyaning farqidir.

Agar d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 bo'lsa, bunday progressiya ortib borayotgan hisoblanadi.

Arifmetik progressiya uning dastlabki bir necha shartlari hisobga olinsa, chekli deb ataladi. Juda katta miqdorda a'zolar allaqachon cheksiz taraqqiyotdir.

Har qanday arifmetik progressiya quyidagi formula bilan aniqlanadi:

an =kn+b, b va k esa ba'zi sonlardir.

Qarama-qarshi bayonot mutlaqo to'g'ri: agar ketma-ketlik shunga o'xshash formula bilan berilgan bo'lsa, unda u aynan arifmetik progressiya bo'lib, quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Progressiyaning har bir aʼzosi oldingi va keyingi hadning oʻrtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.
2. Aksincha: agar 2-dan boshlab, har bir atama oldingi va keyingi hadning o'rtacha arifmetik qiymati bo'lsa, ya'ni. agar shart bajarilsa, bu ketma-ketlik arifmetik progressiyadir. Bu tenglik ham progressiyaning belgisidir, shuning uchun u odatda progressiyaning xarakterli xossasi deb ataladi.
   Xuddi shunday, bu xususiyatni aks ettiruvchi teorema ham to‘g‘ri: ketma-ketlik arifmetik progressiya bo‘ladi, agar bu tenglik ketma-ketlikning 2-dan boshlab har qanday hadi uchun to‘g‘ri bo‘lsa.

Arifmetik progressiyaning ixtiyoriy to‘rt soniga xos xususiyatni an + am = ak + al formulasi bilan ifodalash mumkin, agar n + m = k + l bo‘lsa (m, n, k progressiya sonlari).

Arifmetik progressiyada har qanday zaruriy (N-chi) hadni quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Masalan: arifmetik progressiyadagi birinchi had (a1) berilgan va uchga teng, ayirma (d) esa to‘rtga teng. Ushbu progressiyaning qirq beshinchi hadini topishingiz kerak. a45 = 1+4(45-1)=177

An = ak + d(n - k) formulasi aniqlash imkonini beradi n-chi davr arifmetik progressiya, agar u ma'lum bo'lsa, uning har qanday k hadi orqali.

Arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi (cheklangan progressiyaning birinchi n ta a’zosini bildiradi) quyidagicha hisoblanadi:

Sn = (a1+an) n/2.

Agar birinchi atama ham ma'lum bo'lsa, hisoblash uchun boshqa formula qulay:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n ta haddan iborat bo‘lgan arifmetik progressiya yig‘indisi quyidagicha hisoblanadi:

Hisoblash uchun formulalarni tanlash muammolarning shartlariga va dastlabki ma'lumotlarga bog'liq.

Har qanday sonlarning natural qatorlari, masalan, 1,2,3,...,n,...- eng oddiy misol arifmetik progressiya.

Arifmetik progressiya bilan bir qatorda geometrik progressiya ham mavjud bo‘lib, u o‘ziga xos xususiyat va xususiyatlarga ega.

Biz qaror qabul qilishni boshlashdan oldin arifmetik progressiya masalalari, keling, sonlar ketma-ketligi nima ekanligini ko'rib chiqaylik, chunki arifmetik progressiya maxsus holat raqamlar ketma-ketligi.

Raqamlar ketma-ketligi - bu har bir elementning o'z seriya raqamiga ega bo'lgan raqamlar to'plami. Bu to'plamning elementlari ketma-ketlik a'zolari deb ataladi. Tartib elementining seriya raqami indeks bilan ko'rsatilgan:

Ketma-ketlikning birinchi elementi;

Ketma-ketlikning beshinchi elementi;

- ketma-ketlikning "n-chi" elementi, ya'ni. n raqamidagi "navbatda turgan" element.

Tartib elementining qiymati va uning tartib raqami o'rtasida bog'liqlik mavjud. Shuning uchun biz ketma-ketlikni argumenti ketma-ketlik elementining tartib raqami bo'lgan funksiya sifatida ko'rib chiqishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, biz buni aytishimiz mumkin ketma-ketlik tabiiy argumentning funktsiyasidir:

Tartibni uchta usulda o'rnatish mumkin:

1 . Ketma-ketlikni jadval yordamida belgilash mumkin. Bunday holda, biz oddiygina ketma-ketlikning har bir a'zosining qiymatini o'rnatamiz.

Masalan, kimdir shaxsiy vaqtni boshqarish bilan shug'ullanishga qaror qildi va boshlash uchun hafta davomida VKontakte-da qancha vaqt o'tkazishini hisoblang. Jadvalga vaqtni yozib, u etti elementdan iborat ketma-ketlikni oladi:

Jadvalning birinchi qatori haftaning kunining sonini, ikkinchisi - daqiqalarda vaqtni ko'rsatadi. Biz buni ko'ramiz, ya'ni dushanba kuni Kimdir VKontakte-da 125 daqiqa, ya'ni payshanba kuni - 248 daqiqa, ya'ni juma kuni esa atigi 15 daqiqa vaqt sarflagan.

2 . Ketma-ketlikni n-sonli formula yordamida aniqlash mumkin.

Bunda ketma-ketlik elementi qiymatining uning soniga bog'liqligi to'g'ridan-to'g'ri formula ko'rinishida ifodalanadi.

Masalan, agar , keyin

Berilgan sonli ketma-ketlik elementining qiymatini topish uchun element raqamini n-sonli hadning formulasiga almashtiramiz.

Agar argumentning qiymati ma'lum bo'lsa, funktsiyaning qiymatini topish kerak bo'lsa, biz ham xuddi shunday qilamiz. Argument qiymatini funktsiya tenglamasiga almashtiramiz:

Agar, masalan, , Bu

Yana bir bor ta'kidlaymanki, o'zboshimchalikdan farqli o'laroq, ketma-ketlikda raqamli funktsiya, argument faqat natural son bo'lishi mumkin.

3 . Ketma-ketlikni ketma-ketlik a'zosi raqami n qiymatining oldingi a'zolarning qiymatlariga bog'liqligini ifodalovchi formula yordamida aniqlash mumkin. Bunday holda, uning qiymatini topish uchun faqat ketma-ketlik a'zosining sonini bilish etarli emas. Biz ketma-ketlikning birinchi a'zosini yoki birinchi bir necha a'zosini ko'rsatishimiz kerak.

Misol uchun, ketma-ketlikni ko'rib chiqing ,

Biz ketma-ketlik a'zolarining qiymatlarini topishimiz mumkin ketma-ketlikda, uchinchidan boshlab:

Ya'ni, har safar ketma-ketlikning n-sonining qiymatini topish uchun oldingi ikkitasiga qaytamiz. Bu ketma-ketlikni belgilash usuli deyiladi takrorlanuvchi, lotincha so'zdan takrorlash- Qaytish.

Endi biz arifmetik progressiyani aniqlashimiz mumkin. Arifmetik progressiya sonlar qatorining oddiy maxsus holidir.

Arifmetik progressiya sonli ketma-ketlik bo'lib, uning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab xuddi shu songa qo'shilgan oldingisiga teng.

Raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning farqi. Arifmetik progressiyaning farqi musbat, manfiy yoki nolga teng bo‘lishi mumkin.

Agar title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} ortib boradi.

Masalan, 2; 5; 8; o'n bir;...

Agar bo'lsa, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi oldingisidan kichik va progressiya bo'ladi kamaymoqda.

Masalan, 2; -1; -4; -7;...

Agar bo'lsa, progressiyaning barcha hadlari bir xil songa teng va progressiya bo'ladi statsionar.

Masalan, 2;2;2;2;...

Arifmetik progressiyaning asosiy xususiyati:

Keling, rasmni ko'rib chiqaylik.

Biz buni ko'ramiz

, va ayni paytda

Ushbu ikkita tenglikni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

.

Tenglikning ikkala tomonini 2 ga ajratamiz:

Shunday qilib, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, ikkita qo'shni arifmetik o'rtachaga teng:

Bundan tashqari, beri

, va ayni paytda

, Bu

, va shuning uchun

Till="k>l) bilan boshlangan arifmetik progressiyaning har bir hadi">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

3-sonning formulasi.

Arifmetik progressiyaning hadlari quyidagi munosabatlarni qanoatlantirishini ko‘ramiz:

va nihoyat,

Bizda bor n-sonning formulasi.

MUHIM! Arifmetik progressiyaning istalgan a'zosi va orqali ifodalanishi mumkin. Arifmetik progressiyaning birinchi hadini va ayirmasini bilgan holda, uning istalgan hadini topish mumkin.

Arifmetik progressiyaning n ta hadining yig'indisi.

Ixtiyoriy arifmetik progressiyada ekstremallardan teng masofada joylashgan hadlar yig'indisi bir-biriga teng:

n ta hadli arifmetik progressiyani ko‘rib chiqaylik. Bu progressiyaning n hadlarining yig’indisi ga teng bo’lsin.

Progressiya shartlarini avval raqamlarning o'sish tartibida, keyin esa kamayish tartibida tartibga solamiz:

Keling, juftlikda qo'shamiz:

Har bir qavsdagi yig'indi , juftlar soni n ga teng.

Biz olamiz:

Shunday qilib, arifmetik progressiyaning n ta hadining yig‘indisini quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Keling, ko'rib chiqaylik arifmetik progressiya masalalarini yechish.

1 . Ketma-ketlik n-sonning formulasi bilan berilgan: . Bu ketma-ketlikning arifmetik progressiya ekanligini isbotlang.

Keling, ketma-ketlikning ikkita qo'shni hadlari orasidagi farq bir xil songa teng ekanligini isbotlaylik.

Biz ketma-ketlikning ikkita qo'shni a'zosi orasidagi farq ularning soniga bog'liq emasligini va doimiy ekanligini aniqladik. Shuning uchun, ta'rifiga ko'ra, bu ketma-ketlik arifmetik progressiyadir.

2 . Arifmetik progressiya berilgan -31; -27;...

a) Progressiyaning 31 ta hadini toping.

b) 41 sonining bu progressiyaga kirganligini aniqlang.

A) Biz buni ko'ramiz;

Progressiyamiz uchun n-son formulasini yozamiz.

Umuman

Bizning holatda , Shunung uchun

Ko'p odamlar arifmetik progressiya haqida eshitgan, ammo hamma ham bu nima ekanligini yaxshi tasavvur qila olmaydi. Ushbu maqolada biz tegishli ta'rifni beramiz, shuningdek, arifmetik progressiyaning farqini qanday topish masalasini ko'rib chiqamiz va bir qator misollar keltiramiz.

Matematik ta'rif

Shunday qilib, agar haqida gapiramiz arifmetik yoki algebraik progressiya haqida (bu tushunchalar bir xil narsani belgilaydi), demak, bu ba'zi bir narsa borligini anglatadi. raqamlar seriyasi, quyidagi qonunni qondiradi: ketma-ketlikdagi har ikki qo'shni raqam bir xil qiymat bilan farqlanadi. Matematik jihatdan u quyidagicha yozilgan:

Bu yerda n ketma-ketlikdagi a n element sonini, d soni esa progressiyaning farqini bildiradi (uning nomi taqdim etilgan formuladan kelib chiqadi).

d farqini bilish nimani anglatadi? Qo'shni raqamlar bir-biridan qanchalik "uzoq" ekanligi haqida. Biroq, d ni bilish butun progressiyani aniqlash (tiklash) uchun zarur, ammo etarli shart emas. Siz ko'rib chiqilayotgan seriyaning mutlaqo istalgan elementi bo'lishi mumkin bo'lgan yana bitta raqamni bilishingiz kerak, masalan, 4, a10, lekin, qoida tariqasida, ular birinchi raqamni, ya'ni 1 dan foydalanadilar.

Progressiya elementlarini aniqlash formulalari

Umuman olganda, yuqoridagi ma'lumotlar allaqachon yechimga o'tish uchun etarli aniq vazifalar. Shunga qaramay, arifmetik progressiya berilgunga qadar va uning farqini topish kerak bo'ladi, biz bir nechta foydali formulalarni keltiramiz va shu bilan muammolarni hal qilishning keyingi jarayonini osonlashtiramiz.

n sonli ketma-ketlikning istalgan elementini quyidagicha topish mumkinligini ko'rsatish oson:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Haqiqatan ham, har bir kishi ushbu formulani oddiy qidiruv orqali tekshirishi mumkin: agar siz n = 1 ni almashtirsangiz, birinchi elementni olasiz, agar siz n = 2 ni almashtirsangiz, u holda ifoda birinchi raqam va farqning yig'indisini beradi va hokazo.

Ko'pgina masalalarning shartlari shunday tuzilganki, raqamlari ham ketma-ketlikda berilgan ma'lum juft sonlar berilgan bo'lsa, butun sonlar qatorini qayta qurish kerak (farq va birinchi elementni toping). Endi biz bu muammoni ichida hal qilamiz umumiy ko'rinish.

Demak, n va m sonli ikkita element berilsin. Yuqoridagi formuladan foydalanib, siz ikkita tenglama tizimini yaratishingiz mumkin:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Noma'lum miqdorlarni topish uchun biz ma'lum miqdorni ishlatamiz oddiy hiyla bunday tizimning yechimlari: chap va o'ng tomonlarni juftlikdan ayirish, tenglik o'z kuchida qoladi. Bizda ... bor:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Shunday qilib, biz bitta noma'lumni (a 1) chiqarib tashladik. Endi d ni aniqlash uchun yakuniy ifodani yozishimiz mumkin:

d = (a n - a m) / (n - m), bu erda n > m

Juda oldik oddiy formula: muammoning shartlariga muvofiq d farqini hisoblash uchun siz faqat elementlarning o'zlari va ularning seriya raqamlari o'rtasidagi farqlarning nisbatini olishingiz kerak. Biriga e'tibor berish kerak muhim nuqta Diqqat: farqlar "katta" va "kenja" a'zolar o'rtasida olinadi, ya'ni n > m ("katta" ketma-ketlikning boshidan uzoqroq turishni anglatadi, uning mutlaq qiymat"kenja" elementdan kattaroq yoki kichikroq bo'lishi mumkin).

Birinchi hadning qiymatini olish uchun muammoni yechish boshida d progressiya farqi ifodasi har qanday tenglamaga almashtirilishi kerak.

Bizning rivojlanish asrimizda kompyuter texnologiyasi Ko'pgina maktab o'quvchilari Internetda o'z vazifalarini hal qilishga harakat qilishadi, shuning uchun ko'pincha bunday turdagi savollar tug'iladi: onlayn arifmetik progressiyaning farqini toping. Bunday so'rov uchun qidiruv tizimi bir qator veb-sahifalarni qaytaradi, ularga o'tish orqali siz shartdan ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni kiritishingiz kerak bo'ladi (bu progressiyaning ikkita sharti yoki ularning ma'lum sonining yig'indisi bo'lishi mumkin. ) va darhol javob oling. Biroq, muammoni hal qilishning bunday yondashuvi talabaning rivojlanishi va unga yuklangan vazifaning mohiyatini tushunish nuqtai nazaridan samarasizdir.

Formulalardan foydalanmasdan yechim

Keling, berilgan formulalardan birortasini ishlatmasdan birinchi masalani yechaylik. Seriya elementlari berilgan bo‘lsin: a6 = 3, a9 = 18. Arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.

Ma'lum elementlar bir qatorda bir-biriga yaqin turadi. Eng kattasini olish uchun d farqini eng kichigiga necha marta qo'shish kerak? Uch marta (birinchi marta d ni qo'shsak, biz 7-elementni olamiz, ikkinchi marta - sakkizinchi, nihoyat, uchinchi marta - to'qqizinchi). 18 ni olish uchun qaysi sonni uch marta uch marta qo'shish kerak? Bu beshinchi raqam. Haqiqatan ham:

Shunday qilib, noma'lum farq d = ​​5.

Albatta, yechim tegishli formula yordamida amalga oshirilishi mumkin edi, lekin bu ataylab qilinmagan. Batafsil tushuntirish muammoning yechimi aniq va aniq bo'lishi kerak yorqin misol Arifmetik progressiya nima?

Oldingi vazifaga o'xshash vazifa

Keling, shunga o'xshash muammoni hal qilaylik, lekin kirish ma'lumotlarini o'zgartiramiz. Shunday qilib, a3 = 2, a9 = 19 ekanligini topishingiz kerak.

Albatta, siz yana "boshqa" yechim usuliga murojaat qilishingiz mumkin. Ammo bir-biridan nisbatan uzoqroq bo'lgan ketma-ketlik elementlari berilganligi sababli, bu usul mutlaqo qulay bo'lmaydi. Ammo olingan formuladan foydalanish bizni tezda javobga olib keladi:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2,83

Bu erda biz yakuniy raqamni yaxlitladik. Ushbu yaxlitlash qanchalik xatoga olib keldi, olingan natijani tekshirish orqali baholanishi mumkin:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Bu natija shartda berilgan qiymatdan atigi 0,1% farq qiladi. Shuning uchun, eng yaqin yuzdan birgacha ishlatiladigan yaxlitlashni muvaffaqiyatli tanlov deb hisoblash mumkin.

Atama uchun formulani qo'llash bilan bog'liq muammolar

Keling, ko'rib chiqaylik klassik misol noma'lum d ni aniqlash uchun topshiriqlar: a1 = 12, a5 = 40 bo'lsa, arifmetik progressiyaning farqini toping.

Agar noma'lum algebraik ketma-ketlikning ikkita raqami berilgan bo'lsa va ulardan biri a 1 elementi bo'lsa, unda siz uzoq o'ylashingiz shart emas, balki darhol a n had uchun formulani qo'llashingiz kerak. IN Ushbu holatda bizda ... bor:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Biz bo'lish paytida aniq raqamni oldik, shuning uchun oldingi xatboshida bo'lgani kabi, hisoblangan natijaning to'g'riligini tekshirishning ma'nosi yo'q.

Keling, yana bir shunga o'xshash masalani hal qilaylik: a1 = 16, a8 = 37 bo'lsa, arifmetik progressiyaning farqini topishimiz kerak.

Biz avvalgisiga o'xshash yondashuvdan foydalanamiz va quyidagilarni olamiz:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Arifmetik progressiya haqida yana nimani bilishingiz kerak?

Noma'lum farqni topish muammolariga qo'shimcha ravishda yoki individual elementlar, ko'pincha ketma-ketlikning birinchi hadlari yig'indisiga oid masalalarni yechish kerak bo'ladi. Ushbu vazifalarni ko'rib chiqish maqola doirasidan tashqarida, ammo biz taqdim etgan ma'lumotlarning to'liqligi uchun umumiy formula ketma-ket n ta sonning yig'indisi uchun:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Onlayn kalkulyator.
Arifmetik progressiyani yechish.
Berilgan: a n, d, n
Toping: a 1

Bu matematik dastur foydalanuvchi tomonidan belgilangan \(a_n, d\) va \(n\) raqamlariga asoslangan arifmetik progressiyaning \(a_1\) ni topadi.
\(a_n\) va \(d\) raqamlari nafaqat butun sonlar, balki kasrlar sifatida ham ko'rsatilishi mumkin. Bundan tashqari, kasr son o'nlik kasr (\(2,5\)) va kabi kiritilishi mumkin oddiy kasr(\(-5\frac(2)(7)\)).

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki yechim topish jarayonini ham ko'rsatadi.

Ushbu onlayn kalkulyator o'rta maktab o'quvchilari uchun foydali bo'lishi mumkin o'rta maktablar ga tayyorgarlik ko'rmoqda testlar va imtihonlar, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinab ko'rishda, ota-onalar uchun matematika va algebra bo'yicha ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilish. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki buni iloji boricha tezroq bajarishni xohlaysizmi? Uy vazifasi matematikadami yoki algebradami? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning mashg'ulotingiz va/yoki treningingizni o'tkazishingiz mumkin. kichik birodarlar yoki opa-singillar, hal qilinayotgan muammolar sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Agar siz raqamlarni kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Raqamlarni kiritish qoidalari

\(a_n\) va \(d\) raqamlari nafaqat butun sonlar, balki kasrlar sifatida ham ko'rsatilishi mumkin.
\(n\) soni faqat musbat butun son bo'lishi mumkin.

O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlardagi butun va kasr qismlari nuqta yoki vergul bilan ajratilishi mumkin.
Masalan, siz kiritishingiz mumkin o'nli kasrlar shuning uchun 2,5 yoki 2,5

Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.
Faqat butun son kasrning ayiruvchisi, maxraji va butun qismi vazifasini bajara oladi.

Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas.

Kirayotganda raqamli kasr Numerator maxrajdan bo'lish belgisi bilan ajratiladi: /
Kiritish:
Natija: \(-\frac(2)(3)\)

Butun qism kasrdan ampersand bilan ajratiladi: &
Kiritish:
Natija: \(-1\frac(2)(3)\)

a n, d, n raqamlarini kiriting

1 ni toping

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar Siz yechimdagi xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Esdan chiqarma qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Raqamlar ketma-ketligi

Raqamlash ko'pincha kundalik amaliyotda qo'llaniladi turli xil narsalar ular paydo bo'lish tartibini ko'rsatish uchun. Masalan, har bir ko‘chadagi uylar raqamlangan. Kutubxonada kitobxon obunalari raqamlanadi, so‘ngra maxsus kartotekalarda berilgan raqamlar tartibida joylashtiriladi.

Omonat kassasida omonatchining shaxsiy hisob raqamidan foydalanib, siz ushbu hisobni osongina topishingiz va unda qanday depozit borligini ko'rishingiz mumkin. 1-sonli hisobda a1 rubl, 2-sonli hisobda a2 rubl va hokazo depozit bo'lsin. raqamlar ketma-ketligi
a 1, a 2, a 3, ..., a N
bu erda N - barcha hisoblar soni. Bu erda 1 dan N gacha bo'lgan har bir natural n soni a n soni bilan bog'langan.

Matematikani ham o'qigan cheksiz sonli ketma-ketliklar:
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
a 1 raqami deyiladi ketma-ketlikning birinchi a'zosi, a 2 raqami - ketma-ketlikning ikkinchi muddati, a 3 raqami - ketma-ketlikning uchinchi muddati va hokazo.
a n raqami deyiladi qatorning n-chi (n-chi) a'zosi, n natural soni esa uning raqam.

Masalan, kvadratchalar ketma-ketligida natural sonlar 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... va 1 = 1 - ketma-ketlikning birinchi hadi; va n = n 2 bo'ladi n-chi davr ketma-ketliklar; a n+1 = (n + 1) 2 - ketma-ketlikning (n + 1)-chi (n ortiqcha birinchi) hadi. Ko'pincha ketma-ketlikni uning n-sonining formulasi bilan aniqlash mumkin. Masalan, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) formulasi ketma-ketlikni aniqlaydi \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \ \frac(1)(4) , \nuqtalar,\frac(1)(n) , \nuqtalar \)

Arifmetik progressiya

Yilning davomiyligi taxminan 365 kun. Ko'proq aniq qiymat\(365\frac(1)(4)\) kunga teng, shuning uchun har to'rt yilda bir kunlik xatolik yig'iladi.

Ushbu xatoni hisobga olish uchun har to'rtinchi yilga bir kun qo'shiladi va uzaytirilgan yil kabisa yili deb ataladi.

Masalan, uchinchi ming yillikda kabisa yillari 2004, 2008, 2012, 2016, ... yillardir.

Bu ketma-ketlikda har bir a'zo ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, bir xil songa qo'shiladi 4. Bunday ketma-ketliklar deyiladi. arifmetik progressiyalar.

Ta'rif.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... sonlar ketma-ketligi deyiladi arifmetik progressiya, agar hamma uchun tabiiy n tenglik
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
bu yerda d qandaydir son.

Bu formuladan a n+1 - a n = d degan xulosa kelib chiqadi. d soni farq deyiladi arifmetik progressiya.

Arifmetik progressiyaning ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarga egamiz:
\(a_(n+1)=a_n+d, \to'rt a_(n-1)=a_n-d, \)
qayerda
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), bu erda \(n>1 \)

Shunday qilib, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, uning ikkita qo'shni hadining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng bo'ladi. Bu "arifmetik" progressiya nomini tushuntiradi.

E'tibor bering, agar a 1 va d berilgan bo'lsa, u holda a n+1 = a n + d takrorlanuvchi formula yordamida arifmetik progressiyaning qolgan hadlarini hisoblash mumkin. Shunday qilib, progressiyaning dastlabki bir necha shartlarini hisoblash qiyin emas, ammo, masalan, 100 allaqachon juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi. Buning uchun odatda n-sonli formuladan foydalaniladi. Arifmetik progressiyaning ta'rifi bo'yicha
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
va hokazo.
Umuman,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
chunki arifmetik progressiyaning n-chi hadi birinchi haddan (n-1) marta d sonini qo‘shish orqali olinadi.
Bu formula deyiladi arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi

1 dan 100 gacha bo‘lgan barcha natural sonlar yig‘indisini toping.
Keling, bu miqdorni ikki shaklda yozamiz:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Keling, ushbu tengliklarni hadlar bo'yicha qo'shamiz:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu summa 100 ta shartga ega
Demak, 2S = 101 * 100, demak, S = 101 * 50 = 5050.

Endi ixtiyoriy arifmetik progressiyani ko'rib chiqamiz
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
S n bu progressiyaning birinchi n hadlarining yig‘indisi bo‘lsin:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Keyin arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisi ga teng
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\) boʻlgani uchun bu formulada n ni almashtirsak, topish uchun boshqa formulani olamiz. arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Kitoblar (darsliklar) Yagona davlat imtihonining tezislari va Yagona davlat imtihonlari testlari Onlayn o'yinlar, boshqotirmalar Funksiyalarning grafiklarini tuzish Rus tilining imlo lug'ati Rus tilining yoshlar slengi lug'ati Rus maktablari katalogi Rossiya o'rta ta'lim muassasalari katalogi Rossiya universitetlari ro'yxati vazifalari

Ko'rsatmalar

Arifmetik progressiya a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ko’rinishdagi ketma-ketlikdir. d raqami qadam taraqqiyot.Ko’rinib turibdiki, arifmetikaning ixtiyoriy n-chi hadi umumiy. taraqqiyot shaklga ega: An = A1+(n-1)d. Keyin a'zolardan birini bilish taraqqiyot, a'zo taraqqiyot va qadam taraqqiyot, mumkin, ya'ni progress a'zosining raqami. Shubhasiz, u n = (An-A1+d)/d formulasi bilan aniqlanadi.

Keling, mth atamasi ma'lum bo'lsin taraqqiyot va boshqa a'zo taraqqiyot- n-chi, lekin n , oldingi holatda bo'lgani kabi, lekin n va m bir-biriga mos kelmasligi ma'lum taraqqiyot formula yordamida hisoblash mumkin: d = (An-Am)/(n-m). Keyin n = (An-Am+md)/d.

Agar arifmetik tenglamaning bir nechta elementlari yig'indisi ma'lum bo'lsa taraqqiyot, shuningdek, uning birinchi va oxirgi, keyin bu elementlarning soni ham arifmetik yig'indisi aniqlanishi mumkin taraqqiyot ga teng bo'ladi: S = ((A1+An)/2)n. Keyin n = 2S/(A1+An) - chdenov taraqqiyot. An = A1+(n-1)d ekanligidan foydalanib, bu formulani quyidagicha qayta yozish mumkin: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Bundan n ni yechish orqali ifodalashimiz mumkin kvadrat tenglama.

Arifmetik ketma-ketlik - bu tartiblangan raqamlar to'plami bo'lib, ularning har bir a'zosi, birinchisidan tashqari, oldingisidan bir xil miqdorda farq qiladi. Bu doimiy qiymat progressiya yoki uning qadamining farqi deb ataladi va arifmetik progressiyaning ma'lum shartlaridan hisoblanishi mumkin.

Ko'rsatmalar

Agar birinchi va ikkinchi yoki boshqa qo'shni shartlarning qiymatlari muammo shartlaridan ma'lum bo'lsa, farqni hisoblash uchun (d) keyingi haddan oldingisini ayirish kifoya. Olingan qiymat ijobiy yoki bo'lishi mumkin salbiy raqam- bu progressiyaning kuchayib borayotganiga bog'liq. IN umumiy shakl Progressiyaning qo‘shni hadlarining ixtiyoriy tanlangan juftligi (aᵢ va aᵢ₊₁) uchun yechimni quyidagicha yozing: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Biri birinchi (a₁), ikkinchisi esa har qanday boshqa ixtiyoriy tanlangan bo'lgan bunday progressiyaning juft shartlari uchun ayirma (d) ni topish formulasini yaratish ham mumkin. Biroq, bu holda, ketma-ketlikning o'zboshimchalik bilan tanlangan a'zosining seriya raqami (i) ma'lum bo'lishi kerak. Farqni hisoblash uchun ikkala raqamni qo'shing va olingan natijani bittaga qisqartirilgan ixtiyoriy atamaning tartib raqamiga bo'ling. Umuman olganda, bu formulani quyidagicha yozing: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Agar tartib raqami i boʻlgan arifmetik progressiyaning ixtiyoriy aʼzosidan tashqari, tartib raqami u boʻlgan boshqa aʼzosi maʼlum boʻlsa, avvalgi bosqichdagi formulani shunga mos ravishda oʻzgartiring. Bunday holda, progressiyaning farqi (d) bu ikki hadning yig'indisi ularning tartib raqamlari farqiga bo'linadi: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Farqni (d) hisoblash formulasi, agar masala shartlari uning birinchi hadi (a₁) va arifmetik ketma-ketlikning birinchi hadlari berilgan sonning (i) yig‘indisini (Sᵢ) bersa, biroz murakkablashadi. Kerakli qiymatni olish uchun yig'indini uni tashkil etuvchi shartlar soniga bo'ling, ketma-ketlikdagi birinchi raqamning qiymatini ayiring va natijani ikki baravar oshiring. Olingan qiymatni bittaga kamaytirilgan yig'indini tashkil etgan shartlar soniga bo'ling. Umuman olganda, diskriminantni hisoblash formulasini quyidagicha yozing: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).