Daraja va uning xususiyatlari. Keng qamrovli qoʻllanma (2019). Ko'rsatkichlar: qoidalar, misollar

Muhim eslatmalar!
1. Agar formulalar o'rniga gobbledygook ni ko'rsangiz, keshingizni tozalang. Buni brauzeringizda qanday qilish kerakligi bu erda yozilgan:
2. Maqolani o'qishni boshlashdan oldin, eng foydali manbalar uchun navigatorimizga e'tibor bering

Nima uchun darajalar kerak? Ular qayerda kerak bo'ladi? Nega ularni o'rganishga vaqt ajratishingiz kerak?

Darajalar, ular nima uchun kerakligi va bilimlaringizni kundalik hayotda qanday ishlatish haqida hamma narsani bilish uchun ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajalarni bilish sizni Yagona davlat imtihonini yoki Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirishga va orzuingizdagi universitetga kirishga yaqinlashtiradi.

Ketdik... (Ketaylik!)

BIRINCHI DARAJA

Ko'rsatkich qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi matematik amaldir.

Endi men hamma narsani inson tilida juda oddiy misollar yordamida tushuntiraman. Ehtiyot bo'ling. Misollar oddiy, ammo muhim narsalarni tushuntiradi.

Qo'shish bilan boshlaylik.

Bu erda tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz allaqachon hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishimiz. Har kimda ikkita shisha kola bor. Qancha kola bor? To'g'ri - 16 shisha.

Endi ko'paytirish.

Kola bilan bir xil misol boshqacha yozilishi mumkin: . Matematiklar ayyor va dangasa odamlardir. Ular birinchi navbatda ba'zi naqshlarni payqashadi, keyin esa ularni tezroq "hisoblash" yo'lini aniqlaydilar. Bizning holatda, ular sakkiz kishining har birida bir xil miqdordagi kola idishlari borligini payqashdi va ko'paytirish deb nomlangan texnikani o'ylab topishdi. Qabul qiling, u osonroq va tezroq hisoblanadi.

Shunday qilib, tezroq, osonroq va xatosiz hisoblash uchun siz shunchaki eslab qolishingiz kerak ko'paytirish jadvali. Albatta, siz hamma narsani sekinroq, qiyinroq va xatolar bilan qilishingiz mumkin! Lekin…

Mana ko'paytirish jadvali. Takrorlang.

Va yana bir, yanada chiroyli:

Dangasa matematiklar yana qanday aqlli hisoblash hiylalarini o'ylab topishdi? To'g'ri - raqamni kuchga ko'tarish.

Raqamni quvvatga ko'tarish

Agar raqamni besh marta ko'paytirish kerak bo'lsa, matematiklar bu raqamni beshinchi darajaga ko'tarish kerakligini aytishadi. Masalan, . Matematiklar ikkidan beshinchi darajagacha ekanligini eslashadi ... Va ular bunday muammolarni boshlarida hal qilishadi - tezroq, osonroq va xatosiz.

Sizga kerak bo'lgan yagona narsa raqamlarning kuchlari jadvalida nima rang bilan ta'kidlanganligini eslang. Ishoning, bu sizning hayotingizni ancha osonlashtiradi.

Aytgancha, nima uchun ikkinchi daraja deb ataladi? kvadrat raqamlar, uchinchisi - kub? Bu nima degani? Juda yaxshi savol. Endi siz kvadrat va kublarga ega bo'lasiz.

Haqiqiy hayot misoli №1

Keling, sonning kvadratidan yoki ikkinchi darajasidan boshlaylik.

Bir metrga bir metr o'lchamdagi kvadrat hovuzni tasavvur qiling. Hovuz sizning dachangizda. Havo issiq va men suzishni juda xohlayman. Lekin... hovuzning tubi yo‘q! Hovuzning pastki qismini plitkalar bilan yopishingiz kerak. Sizga qancha plitka kerak? Buni aniqlash uchun siz hovuzning pastki maydonini bilishingiz kerak.

Barmog'ingizni ko'rsatib oddiygina hisoblab chiqishingiz mumkin, basseynning pastki qismi metr kubiklardan iborat. Agar sizda bir metrdan bir metrga plitkalar bo'lsa, sizga bo'laklar kerak bo'ladi. Bu oson... Lekin bunday plitkalarni qayerda ko'rgansiz? Plitka, ehtimol, sm sm bo'ladi va keyin siz "barmog'ingiz bilan hisoblash" bilan qiynoqqa solasiz. Keyin ko'paytirish kerak. Shunday qilib, hovuzning pastki qismining bir tomonida biz plitkalar (bo'laklar), ikkinchisida esa plitkalarni o'rnatamiz. Ko'paytiring va siz plitkalarni olasiz ().

Hovuz tubining maydonini aniqlash uchun biz bir xil sonni o'z-o'zidan ko'paytirganimizni payqadingizmi? Bu nima degani? Biz bir xil sonni ko'paytirayotganimiz sababli, biz "eksponentsiya" texnikasidan foydalanishimiz mumkin. (Albatta, sizda faqat ikkita raqam bo'lsa, siz ularni ko'paytirishingiz yoki ularni bir darajaga ko'tarishingiz kerak. Ammo agar sizda ular ko'p bo'lsa, ularni bir darajaga ko'tarish ancha oson va hisob-kitoblarda ham kamroq xatolar bo'ladi. . Yagona davlat imtihoni uchun bu juda muhim).
Shunday qilib, o'ttiz ikkinchi darajaga () bo'ladi. Yoki o'ttiz kvadrat bo'ladi, deb aytishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, sonning ikkinchi darajasi har doim kvadrat shaklida ifodalanishi mumkin. Va aksincha, agar siz kvadratni ko'rsangiz, u har doim qandaydir sonning ikkinchi darajasidir. Kvadrat sonning ikkinchi darajasining tasviridir.

Haqiqiy hayot misoli №2

Mana sizga vazifa: raqamning kvadratidan foydalanib shaxmat taxtasida nechta kvadrat borligini hisoblang ... Hujayralarning bir tomonida va boshqa tomonida ham. Ularning sonini hisoblash uchun sakkizni sakkizga ko'paytirish kerak yoki ... agar shaxmat taxtasi bir tomoni bo'lgan kvadrat ekanligini sezsangiz, sakkizni kvadratga olishingiz mumkin. Siz hujayralarni olasiz. () Xo'sh?

Haqiqiy hayot misoli №3

Endi kub yoki raqamning uchinchi darajasi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini bilib olishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar kubometr bilan o'lchanadi. Kutilmagan, shundaymi?) Hovuz chizing: tubi bir metr o'lchamda va bir metr chuqurlikda va metr bilan o'lchangan qancha kub bo'lishini hisoblab ko'ring. sizning hovuzingizga mos keladi.

Barmog'ingizni ko'rsating va hisoblang! Bir, ikki, uch, to'rt... yigirma ikki, yigirma uch... Qanchadan oldingiz? Yo'qolmadimi? Barmog'ingiz bilan hisoblash qiyinmi? Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida! Matematiklardan misol keltiring. Ular dangasa, shuning uchun ular hovuz hajmini hisoblash uchun uning uzunligini, kengligini va balandligini bir-biriga ko'paytirish kerakligini payqashdi. Bizning holatda, hovuzning hajmi kublarga teng bo'ladi ... Osonroq, to'g'rimi?

Endi tasavvur qiling-a, matematiklar qanchalik dangasa va ayyor, agar ular buni ham soddalashtirsalar. Biz hamma narsani bitta harakatga qisqartirdik. Ular uzunlik, kenglik va balandlik teng ekanligini va bir xil son o'z-o'zidan ko'paytirilishini payqashdi... Bu nimani anglatadi? Bu siz diplomdan foydalanishingiz mumkin degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, bir marta barmog'ingiz bilan hisoblagan narsangizni ular bitta harakatda bajaradilar: uchta kub teng. Bu shunday yozilgan: .

Qolgan narsa shu darajalar jadvalini eslang. Albatta, siz matematiklar kabi dangasa va ayyor bo'lmasangiz. Agar siz qattiq ishlashni va xato qilishni yoqtirsangiz, barmog'ingiz bilan hisoblashni davom ettirishingiz mumkin.

Nihoyat, sizni ilmiy darajalarni tashlab ketuvchilar va ayyor odamlar o'zlarining hayotiy muammolarini hal qilish uchun o'ylab topishganiga ishontirish uchun va sizga muammo tug'dirmaslik uchun hayotdan yana bir nechta misollar.

Haqiqiy hayot misoli №4

Sizda million rubl bor. Har yilning boshida har bir million daromadingiz uchun yana bir million daromad olasiz. Ya'ni, har bir millioningiz har yilning boshida ikki barobar ortadi. Yillar ichida qancha pulingiz bo'ladi? Agar siz hozir o'tirib, "barmog'ingiz bilan hisoblasangiz", unda siz juda mehnatkash odamsiz va ... ahmoqsiz. Ammo, ehtimol, siz bir necha soniya ichida javob berasiz, chunki siz aqllisiz! Xullas, birinchi yili – ikki ikkiga ko‘paytirildi... ikkinchi yili – nima bo‘ldi, yana ikkiga, uchinchi yilda... To‘xtang! Raqam o'z-o'zidan marta ko'paytirilishini payqadingiz. Shunday qilib, ikkidan beshinchi daraja millionga teng! Endi tasavvur qiling-a, sizda raqobat bor va eng tez hisoblay oladigan kishi bu millionlarni oladi ... Raqamlarning kuchlarini esga olish kerak, shunday emasmi?

Haqiqiy hayot misoli №5

Sizda million bor. Har yil boshida siz har millionga ikki ko'proq pul olasiz. Ajoyib, shunday emasmi? Har bir million uch baravar ko'payadi. Bir yilda qancha pulingiz bo'ladi? Keling, hisoblaylik. Birinchi yil - ko'paytiring, keyin natija boshqasiga ... Bu allaqachon zerikarli, chunki siz allaqachon hamma narsani tushundingiz: uchta o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi. Shunday qilib, to'rtinchi darajaga u millionga teng. Siz faqat uchtadan to'rtinchi darajagacha yoki ekanligini yodda tutishingiz kerak.

Endi bilasizki, raqamni kuchga ko'tarib, hayotingizni ancha osonlashtirasiz. Keling, darajalar bilan nima qilishingiz mumkinligini va ular haqida nimalarni bilishingiz kerakligini batafsil ko'rib chiqaylik.

Atamalar va tushunchalar... chalkashmaslik uchun

Shunday qilib, birinchi navbatda, tushunchalarni aniqlaymiz. Nima deb o'ylaysan, ko'rsatkich nima? Bu juda oddiy - bu raqamning kuchining "tepasida" joylashgan raqam. Ilmiy emas, lekin aniq va eslab qolish oson...

Xo'sh, ayni paytda, nima shunday daraja asosi? Bundan ham oddiyroq - bu quyida, bazada joylashgan raqam.

Mana yaxshi o'lchov uchun chizilgan.

Xo'sh, umumiy ma'noda, umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" asosi va "" ko'rsatkichli daraja "darajaga" deb o'qiladi va quyidagicha yoziladi:

Natural ko'rsatkichli sonning kuchi

Ehtimol, siz allaqachon taxmin qilgansiz: chunki eksponent natural sondir. Ha, lekin bu nima natural son? Boshlang'ich! Natural sonlar - ob'ektlarni sanab o'tishda sanashda qo'llaniladigan raqamlar: bir, ikki, uch ... Biz ob'ektlarni sanab o'tayotganda, biz: "minus besh", "minus olti", "minus etti" demaymiz. Shuningdek, biz "uchdan bir" yoki "nol ball besh" demaymiz. Bu natural sonlar emas. Sizningcha, bu qanday raqamlar?

"Minus besh", "minus olti", "minus etti" kabi raqamlarga ishora qiladi butun sonlar. Umuman olganda, butun sonlar barcha natural sonlarni, natural sonlarga qarama-qarshi sonlarni (ya'ni minus belgisi bilan olingan) va sonlarni o'z ichiga oladi. Nolni tushunish oson - bu hech narsa yo'q bo'lganda. Salbiy ("minus") raqamlar nimani anglatadi? Ammo ular birinchi navbatda qarzlarni ko'rsatish uchun ixtiro qilingan: agar sizning telefoningizda rublda balansingiz bo'lsa, bu sizning operatorga rubl qarzingiz borligini anglatadi.

Barcha kasrlar ratsional sonlardir. Sizningcha, ular qanday paydo bo'lgan? Juda oddiy. Bir necha ming yil oldin ota-bobolarimiz uzunlik, vazn, maydon va hokazolarni o'lchash uchun tabiiy raqamlar etishmasligini aniqladilar. Va ular o'ylab topishdi ratsional sonlar... Qiziq, shunday emasmi?

Bundan tashqari, irratsional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, bu cheksiz o'nli kasr. Misol uchun, agar siz aylananing atrofini uning diametriga bo'lsangiz, siz irratsional son olasiz.

Xulosa:

Ko'rsatkichi natural son (ya'ni, butun va musbat) bo'lgan daraja tushunchasini aniqlaylik.

1. Birinchi darajali har qanday raqam o'ziga teng:
2. Raqamni kvadratga aylantirish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
3. Raqamni kub qilish uni o'ziga uch marta ko'paytirishni anglatadi:

Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:
.

Darajalar xossalari

Bu xususiyatlar qayerdan kelgan? Men sizga hozir ko'rsataman.

Keling, ko'rib chiqaylik: bu nima Va ?

A-prior:

Jami nechta ko‘paytuvchi bor?

Bu juda oddiy: biz omillarga ko'paytiruvchilarni qo'shdik va natija ko'paytiruvchilardir.

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni: , isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim: Shuni ta'kidlash kerakki, bizning qoidamizda Majburiy bir xil sabablar bo'lishi kerak!
Shuning uchun biz kuchlarni baza bilan birlashtiramiz, ammo bu alohida omil bo'lib qoladi:

faqat kuchlar mahsuli uchun!

Hech qanday holatda buni yoza olmaysiz.

2. tamom sonning kuchi

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Ma'lum bo'lishicha, ibora o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning uchinchi darajasi:

Aslini olganda, buni "indikatorni qavsdan chiqarish" deb atash mumkin. Ammo siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik?

Ammo bu haqiqat emas, axir.

Salbiy asos bilan quvvat

Shu nuqtaga qadar biz faqat ko'rsatkich nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Lekin asos nima bo'lishi kerak?

vakolatlarida tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam. Darhaqiqat, biz har qanday raqamlarni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto.

Keling, qaysi belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiymi? A? ? Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy sonlarni bir-birimizga ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus uchun minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo agar biz ko'paytirsak, u ishlaydi.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Siz boshqardingizmi?

Mana javoblar: Birinchi to'rtta misolda hamma narsa aniq deb umid qilamanmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda) hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: axir, baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza teng emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas!

Amaliyot uchun 6 ta misol

Yechim tahlili 6 ta misol

Butun natural sonlarni, ularning qarama-qarshiliklarini (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va sonni ataymiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, keling, o'zimizga savol beraylik: nega bu shunday?

Keling, bir darajani asos bilan ko'rib chiqaylik. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va biz xuddi shunday narsani oldik - . Hech narsa o'zgarmasligi uchun qaysi raqamga ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. anglatadi.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - siz nolni o'z-o'zidan qancha ko'paytirsangiz ham, siz nolga erishasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajaga teng bo'lgan har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, buning qanchalik to'g'ri? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ham oshira olmaymiz.

Keling, davom etaylik. Butun sonlarga natural sonlar va sonlardan tashqari manfiy sonlar ham kiradi. Salbiy kuch nima ekanligini tushunish uchun, keling, oxirgi marta shunday qilaylik: ba'zi bir oddiy sonni bir xil songa manfiy darajaga ko'paytiring:

Bu erda siz izlayotgan narsani ifodalash qiyin emas:

Endi natijada olingan qoidani ixtiyoriy darajada kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Salbiy kuchga ega bo'lgan raqam - bu ijobiy kuchga ega bo'lgan bir xil sonning o'zaro nisbati. Lekin ayni paytda Baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki siz bo'la olmaysiz).

Keling, xulosa qilaylik:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, mustaqil echimlar uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun muammolarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar qo'rqinchli, lekin Yagona davlat imtihonida siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Agar siz ularni hal qila olmasangiz, ushbu misollarni yeching yoki ularning yechimlarini tahlil qiling va imtihonda ularni osonlikcha engishni o'rganasiz!

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" raqamlar oralig'ini kengaytirishni davom ettiraylik.

Endi ko'rib chiqaylik ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa, bu erda va butun sonlar va.

Bu nima ekanligini tushunish uchun "kasr daraja", kasrni hisobga oling:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'taramiz:

Endi qoidani eslaylik "darajali daraja":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th daraja ildizining ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, darajaning ildizi bir darajaga ko'tarishning teskari amalidir: .

Ma'lum bo'ladiki. Shubhasiz, bu maxsus holat kengaytirilishi mumkin: .

Endi hisoblagichni qo'shamiz: bu nima? Javobni kuch-quvvat qoidasi yordamida olish oson:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslaylik: juft darajaga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy sondir. Ya'ni, manfiy sonlardan hatto ildizlarni chiqarib bo'lmaydi!

Bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni juft maxrajli kasr darajasiga ko'tarib bo'lmaydi, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifodasi haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, kamaytiriladigan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u mavjud, lekin yo'q, lekin bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin uni yozishingiz mumkin. Ammo indikatorni boshqacha yozsak, yana muammoga duch kelamiz: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun biz ko'rib chiqamiz kasr ko'rsatkichli faqat musbat asos ko'rsatkichi.

Shunday qilib, agar:

• - natural son;
• - butun son;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichlar ildizli ifodalarni o'zgartirish uchun juda foydali, masalan:

Amaliyot uchun 5 ta misol

Trening uchun 5 ta misol tahlili

Xo'sh, endi eng qiyin qismi keldi. Endi biz buni aniqlaymiz irratsional darajali daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno.

Axir, ta'rifiga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlardir (ya'ni, irratsional sonlar ratsional raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkichlar bilan o'rganayotganda, biz har safar ma'lum bir "tasvir", "analogiya" yoki tanishroq atamalarda tavsif yaratdik.

Masalan, natural ko‘rsatkichli daraja o‘ziga bir necha marta ko‘paytirilgan sondir;

...raqamni nol darajagacha- bu go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan raqam, ya'ni ular hali uni ko'paytirishni boshlamagan, ya'ni raqamning o'zi hali paydo bo'lmagan - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "bo'sh raqam" , ya'ni raqam;

...manfiy butun son darajasi- go'yo qandaydir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Aytgancha, fanda ko'pincha murakkab darajali daraja qo'llaniladi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

QAYERGA BORISHINGIZGA ISHONCH ETAMIZ! (agar siz bunday misollarni yechishni o'rgansangiz :))

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Yechimlarni tahlil qilish:

1. Keling, biz uchun odatiy bo'lgan kuchni kuchga ko'tarish qoidasidan boshlaylik:

ILG'IY DARAJA

Darajani aniqlash

Daraja quyidagi shaklning ifodasidir: , bu erda:

• — daraja bazasi;
• - ko'rsatkich.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja (n = 1, 2, 3,...)

Raqamni n tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:

Butun sonli daraja (0, ±1, ±2,...)

Agar ko'rsatkich bo'lsa musbat butun son raqam:

Qurilish nol darajagacha:

Ifoda noaniqdir, chunki, bir tomondan, istalgan darajada bu, ikkinchi tomondan, th darajali istalgan son bu.

Agar ko'rsatkich bo'lsa manfiy butun son raqam:

(chunki siz bo'linmaysiz).

Yana bir bor nollar haqida: ishda ifoda aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Ratsional darajali quvvat

• - natural son;
• - butun son;

Misollar:

Darajalar xossalari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan kelgan? Keling, ularni isbotlaylik.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va?

A-prior:

Shunday qilib, ushbu ifodaning o'ng tomonida biz quyidagi mahsulotni olamiz:

Ammo ta'rifiga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash kerak Majburiy bir xil sabablar bo'lishi kerak. Shuning uchun biz kuchlarni baza bilan birlashtiramiz, ammo bu alohida omil bo'lib qoladi:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat kuchlar mahsuloti uchun!

Hech qanday holatda buni yoza olmaysiz.

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Keling, ushbu ishni quyidagicha qayta guruhlaymiz:

Ma'lum bo'lishicha, ibora o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning uchinchi darajasi:

Aslini olganda, buni "indikatorni qavsdan chiqarish" deb atash mumkin. Ammo siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz: !

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik? Ammo bu haqiqat emas, axir.

Salbiy asosga ega quvvat.

Shu paytgacha biz faqat qanday bo'lishi kerakligini muhokama qildik indeks daraja. Lekin asos nima bo'lishi kerak? vakolatlarida tabiiy indikator asos bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, biz har qanday raqamlarni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto. Keling, qaysi belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiymi? A? ?

Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy sonlarni bir-birimizga ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus uchun minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak - ni olamiz.

Va shunga o'xshash ad infinitum: har bir keyingi ko'paytirish bilan belgi o'zgaradi. Quyidagi oddiy qoidalarni shakllantirish mumkin:

1. hatto daraja, - raqam ijobiy.
2. Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
3. Har qanday darajadagi ijobiy raqam ijobiy sondir.
4. Har qanday quvvatga nol nolga teng.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Siz boshqardingizmi? Mana javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda) hamma narsa ham ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: axir, baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza teng emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda siz qaysi biri kamroq ekanligini bilib olishingiz kerak: yoki? Agar biz buni eslasak, bu aniq bo'ladi, ya'ni baza noldan kichikdir. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalarning ta'rifini yozamiz va ularni bir-biriga ajratamiz, ularni juftlarga ajratamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani ko'rib chiqishdan oldin, keling, bir nechta misollarni hal qilaylik.

Ifodalarni hisoblang:

Yechimlar :

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Endi oxirgi qoida:

Buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: keling, daraja tushunchasini kengaytiramiz va uni soddalashtiramiz:

Xo'sh, endi qavslarni ochamiz. Jami nechta harf bor? marta multiplikatorlar bo'yicha - bu sizga nimani eslatadi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: U erda faqat multiplikatorlar bor edi. Ya'ni, bu, ta'rifiga ko'ra, ko'rsatkichli sonning kuchi:

Misol:

Irratsional ko'rsatkichli daraja

O'rtacha daraja uchun darajalar haqidagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz darajani irratsional ko'rsatkich bilan tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno - axir, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ko'rsatilmaydigan sonlar, bu erda va butun sonlar (ya'ni). , irratsional sonlar ratsional sonlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkichlar bilan o'rganayotganda, biz har safar ma'lum bir "tasvir", "analogiya" yoki tanishroq atamalarda tavsif yaratdik. Masalan, natural ko‘rsatkichli daraja o‘ziga bir necha marta ko‘paytirilgan sondir; nol darajaga bo'lgan raqam, go'yo o'z-o'zidan ko'paytiriladigan son, ya'ni ular hali uni ko'paytirishni boshlamagan, ya'ni raqamning o'zi hali paydo bo'lmagan - shuning uchun natija faqat ma'lum bo'ladi. "bo'sh raqam", ya'ni raqam; butun manfiy ko'rsatkichli daraja - go'yo qandaydir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Irratsional ko'rsatkichli darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli fazoni tasavvur qilish qiyin). Bu matematiklar daraja tushunchasini raqamlarning butun fazosiga kengaytirish uchun yaratilgan sof matematik ob'ektdir.

Aytgancha, fanda ko'pincha murakkab darajali daraja qo'llaniladi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Agar irratsional ko'rsatkichni ko'rsak, nima qilamiz? Biz undan xalos bo'lishga harakat qilamiz! :)

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

1)

2)

3)

Javoblar:

BO'LIM XULOSASI VA ASOSIY FORMULALAR

Daraja shaklning ifodasi deyiladi: , bu erda:

Butun sonli daraja

ko'rsatkichi natural son (ya'ni, butun va musbat) bo'lgan daraja.

Ratsional darajali quvvat

daraja, ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz bo'lgan daraja.

Darajalar xossalari

Darajaning xususiyatlari.

• Manfiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
• Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
• Har qanday darajadagi ijobiy raqam ijobiy sondir.
• Nol har qanday quvvatga teng.
• Nolga teng bo'lgan har qanday raqam tengdir.

ENDI SIZDA SO'Z BOR...

Sizga maqola qanday yoqadi? Sizga yoqdimi yoki yoqmaganini izohlarda yozib qoldiring.

Dars xususiyatlaridan foydalanish tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, kollejga byudjetga kirish uchun va ENG MUHIM, umrbod.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq pul oladilar. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida yana ko'p imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.

Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching -
2. Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 499 rubl

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va ularni hal qiling!

Raqamning kuchi haqida suhbatni davom ettirib, kuchning qiymatini qanday topish mumkinligini aniqlash mantiqan to'g'ri keladi. Bu jarayon deyiladi eksponentsiya. Ushbu maqolada biz ko'rsatkichlar qanday amalga oshirilishini o'rganamiz, shu bilan birga barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalamiz - natural, butun, ratsional va irratsional. Va an'anaga ko'ra, biz raqamlarni turli kuchlarga ko'tarish misollarini batafsil ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

"Eksponentatsiya" nimani anglatadi?

Keling, eksponentsiya deb ataladigan narsani tushuntirishdan boshlaylik. Bu erda tegishli ta'rif.

Ta'rif.

Ko'rsatkichlar- bu raqamning kuchining qiymatini topish.

Shunday qilib, ko'rsatkichi r bo'lgan a sonining kuchining qiymatini topish va a sonini r darajaga ko'tarish bir xil narsadir. Masalan, agar vazifa "kuchning (0,5) 5 qiymatini hisoblash" bo'lsa, uni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: "0,5 raqamini 5 kuchga ko'taring."

Endi siz to'g'ridan-to'g'ri eksponentsiya bajariladigan qoidalarga o'tishingiz mumkin.

Raqamni tabiiy kuchga ko'tarish

Amalda, ga asoslangan tenglik odatda shaklda qo'llaniladi. Ya'ni, a sonni m/n kasr darajasiga ko'tarishda avval a sonining n-chi ildizi olinadi, shundan so'ng olingan natija m butun darajaga ko'tariladi.

Keling, kasr darajasiga ko'tarish misollari yechimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Darajaning qiymatini hisoblang.

Yechim.

Biz ikkita yechimni ko'rsatamiz.

Birinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifi bo'yicha. Biz ildiz belgisi ostida daraja qiymatini hisoblaymiz va keyin kub ildizini chiqaramiz: .

Ikkinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli darajani aniqlashda va ildizlarning xususiyatlariga asoslanib, quyidagi tengliklar to'g'ri bo'ladi: . Endi biz ildizni chiqaramiz , nihoyat, biz uni butun son darajasiga ko'taramiz .

Shubhasiz, kasr quvvatiga ko'tarishda olingan natijalar mos keladi.

Javob:

Esda tutingki, kasr ko'rsatkichi o'nlik kasr yoki aralash son sifatida yozilishi mumkin, bu hollarda u mos keladigan oddiy kasr bilan almashtirilishi va keyin darajaga ko'tarilishi kerak.

Misol.

Hisoblang (44.89) 2.5.

Yechim.

Ko'rsatkichni oddiy kasr shaklida yozamiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): . Endi biz kasr darajasiga ko'taramiz:

Javob:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Shuni ham aytish kerakki, raqamlarni oqilona kuchlarga ko'tarish juda ko'p mehnat talab qiladigan jarayondir (ayniqsa, kasr ko'rsatkichining numeratori va maxrajida etarlicha katta raqamlar mavjud bo'lsa), odatda kompyuter texnologiyalari yordamida amalga oshiriladi.

Ushbu fikrni yakunlash uchun keling, nol sonini kasr darajasiga ko'tarish haqida to'xtalib o'tamiz. Shaklning nolning kasr kuchiga quyidagi ma'noni berdik: bizda , va noldan m / n quvvati aniqlanmagan. Demak, kasrning musbat kuchi nolga teng, masalan, . Kasrli manfiy quvvatdagi nol esa mantiqiy emas, masalan, 0 -4,3 iboralari mantiqiy emas.

Mantiqsiz kuchga ko'tarilish

Ba'zan irratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan sonning kuchining qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Bunday holda, amaliy maqsadlar uchun odatda ma'lum bir belgiga aniqlik darajasining qiymatini olish kifoya qiladi. Darhol shuni ta'kidlaymizki, amalda bu qiymat elektron kompyuterlar yordamida hisoblab chiqiladi, chunki uni mantiqiy bo'lmagan quvvatga qo'lda ko'tarish juda ko'p mashaqqatli hisoblarni talab qiladi. Ammo biz hali ham umumiy ma'noda harakatlarning mohiyatini tasvirlab beramiz.

Irratsional darajali a sonining kuchining taxminiy qiymatini olish uchun darajaning bir necha o'nli yaqinlashuvi olinadi va darajaning qiymati hisoblanadi. Bu qiymat a sonining irratsional ko'rsatkichli kuchining taxminiy qiymatidir. Raqamning o'nli yaqinlashuvi dastlab qanchalik aniq bo'lsa, oxirida darajaning qiymati shunchalik aniqroq bo'ladi.

Misol tariqasida 2 1,174367... quvvatining taxminiy qiymatini hisoblab chiqamiz. Irratsional ko'rsatkichning quyidagi o'nli yaqinlashuvini olaylik: . Endi biz 2 ni 1,17 ratsional kuchga ko'taramiz (biz oldingi xatboshida bu jarayonning mohiyatini tasvirlab bergan edik), biz 2 1,17 ≈2,250116 ni olamiz. Shunday qilib, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Agar biz, masalan, irratsional ko'rsatkichning aniqroq o'nli yaqinlashuvini olsak, biz asl ko'rsatkichning aniqroq qiymatini olamiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5-sinf uchun matematika darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Biz raqamning kuchi nima ekanligini aniqladik. Endi biz uni qanday qilib to'g'ri hisoblashni tushunishimiz kerak, ya'ni. raqamlarni kuchga ko'taring. Ushbu materialda biz butun son, natural, kasr, ratsional va irratsional ko'rsatkichlar holatida darajalarni hisoblashning asosiy qoidalarini tahlil qilamiz. Barcha ta'riflar misollar bilan tasvirlanadi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eksponentsiya tushunchasi

Keling, asosiy ta'riflarni shakllantirishdan boshlaylik.

Ta'rif 1

Ko'rsatkichlar- bu ma'lum bir raqamning kuchining qiymatini hisoblash.

Ya'ni, "kuchning qadr-qimmatini hisoblash" va "qudratga ko'tarish" so'zlari bir xil ma'noni anglatadi. Shunday qilib, agar muammo "0, 5 sonini beshinchi darajaga ko'taring" deb aytilgan bo'lsa, buni "quvvat (0, 5) 5 qiymatini hisoblang" deb tushunish kerak.

Endi biz bunday hisob-kitoblarni amalga oshirishda kuzatilishi kerak bo'lgan asosiy qoidalarni taqdim etamiz.

Tabiiy ko'rsatkichli sonning kuchi nima ekanligini eslaylik. Bazasi a va ko‘rsatkichi n bo‘lgan daraja uchun bu har biri a ga teng bo‘lgan n-sonli omillarning ko‘paytmasi bo‘ladi. Buni shunday yozish mumkin:

Darajaning qiymatini hisoblash uchun siz ko'paytirish amalini bajarishingiz kerak, ya'ni daraja asoslarini belgilangan necha marta ko'paytirishingiz kerak. Tabiiy ko'rsatkichli daraja tushunchasi tezda ko'payish qobiliyatiga asoslanadi. Keling, misollar keltiraylik.

1-misol

Vaziyat: ko'tarish - 2 quvvatga 4.

Yechim

Yuqoridagi ta'rifdan foydalanib, biz yozamiz: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Keyinchalik, biz faqat ushbu bosqichlarni bajarishimiz va 16 ni olishimiz kerak.

Keling, yanada murakkab misolni olaylik.

2-misol

3 2 7 2 qiymatini hisoblang

Yechim

Ushbu yozuvni 3 2 7 · 3 2 7 sifatida qayta yozish mumkin. Ilgari biz shartda aytib o'tilgan aralash raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ko'rib chiqdik.

Keling, ushbu amallarni bajaramiz va javobni olamiz: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Agar muammo irratsional sonlarni tabiiy kuchga ko'tarish zarurligini ko'rsatsa, biz birinchi navbatda ularning asoslarini kerakli aniqlikdagi javobni olish imkonini beradigan raqamga yaxlitlashimiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

3-misol

p ning kvadratini bajaring.

Yechim

Birinchidan, uni eng yaqin yuzlikgacha yaxlitlaymiz. Keyin p 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Agar p ≈ 3 bo'lsa. 14159, keyin biz aniqroq natijaga erishamiz: p 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

E'tibor bering, irratsional sonlarning kuchlarini hisoblash zarurati amalda nisbatan kam uchraydi. Keyin javobni quvvat (ln 6) 3 ning o'zi sifatida yozishimiz yoki iloji bo'lsa o'zgartirishimiz mumkin: 5 7 = 125 5 .

Alohida-alohida, raqamning birinchi kuchi nima ekanligini ko'rsatish kerak. Bu erda siz birinchi darajaga ko'tarilgan har qanday raqam o'zi bo'lib qolishini eslashingiz mumkin:

Bu yozuvdan aniq .

Bu daraja asosiga bog'liq emas.

4-misol

Shunday qilib, (− 9) 1 = − 9 va birinchi darajaga ko'tarilgan 7 3 7 3 ga teng bo'lib qoladi.

Qulaylik uchun biz uchta holatni alohida ko'rib chiqamiz: agar ko'rsatkich musbat butun son bo'lsa, nol bo'lsa va manfiy butun bo'lsa.

Birinchi holda, bu tabiiy kuchga ko'tarilish bilan bir xil: axir, musbat butun sonlar natural sonlar to'plamiga tegishli. Biz yuqorida bunday darajalar bilan qanday ishlash haqida gapirgan edik.

Keling, nol kuchga qanday qilib to'g'ri ko'tarish kerakligini ko'rib chiqaylik. Noldan boshqa baza uchun bu hisob har doim 1 ni chiqaradi. Biz avvalroq a ning 0-darajasi 0 ga teng bo'lmagan har qanday haqiqiy son va 0 = 1 uchun aniqlanishi mumkinligini tushuntirgan edik.

5-misol

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - aniqlanmagan.

Bizda faqat butun manfiy ko'rsatkichli daraja holati qoladi. Bunday darajalarni 1 a z kasr sifatida yozish mumkinligini yuqorida muhokama qildik, bu erda a har qanday son, z esa manfiy butun sondir. Biz bu kasrning maxraji musbat butun ko'rsatkichli oddiy darajadan boshqa narsa emasligini ko'ramiz va biz uni qanday hisoblashni allaqachon bilib oldik. Keling, topshiriqlarga misollar keltiraylik.

6-misol

3 ni kuchga ko'taring - 2.

Yechim

Yuqoridagi ta'rifdan foydalanib, biz yozamiz: 2 - 3 = 1 2 3

Bu kasrning maxrajini hisoblab, 8 ni olamiz: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Keyin javob: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7-misol

1,43 ni -2 quvvatga ko'taring.

Yechim

Keling, qayta shakllantiramiz: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Kvadratni maxrajda hisoblaymiz: 1,43·1,43. O'nlik kasrlarni shu tarzda ko'paytirish mumkin:

Natijada (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 ni oldik. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu natijani oddiy kasr shaklida yozish, buning uchun biz uni 10 mingga ko'paytirishimiz kerak (kasrlarni aylantirish bo'yicha materialga qarang).

Javob: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Raqamni minus birinchi darajaga ko'tarish alohida holatdir. Bu darajaning qiymati bazaning asl qiymatining o'zaro nisbatiga teng: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

8-misol

Misol: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Raqamni kasr darajasiga qanday oshirish mumkin

Bunday operatsiyani bajarish uchun kasr ko'rsatkichli darajaning asosiy ta'rifini esga olishimiz kerak: a m n = a m n har qanday musbat a, butun m va natural n uchun.

Ta'rif 2

Shunday qilib, kasr darajasini hisoblash ikki bosqichda bajarilishi kerak: butun son darajaga ko'tarish va n-darajaning ildizini topish.

Bizda a m n = a m n tenglik mavjud bo‘lib, u ildizlarning xossalarini hisobga olgan holda odatda a m n = a n m ko‘rinishidagi masalalarni yechishda qo‘llaniladi. Bu shuni anglatadiki, agar a sonni kasr darajasi m / n ga ko'tarsak, u holda birinchi navbatda a ning n-chi ildizini olamiz, keyin natijani m butun ko'rsatkichli darajaga ko'taramiz.

Keling, misol bilan tushuntiramiz.

9-misol

8 - 2 3 ni hisoblang.

Yechim

1-usul: Asosiy ta'rifga ko'ra, biz buni quyidagicha ifodalashimiz mumkin: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Endi ildiz ostidagi darajani hisoblab chiqamiz va natijadan uchinchi ildizni chiqaramiz: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2-usul. Asosiy tenglikni o'zgartiring: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Shundan so'ng biz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ildizni chiqaramiz va natijani kvadratga aylantiramiz: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Biz yechimlar bir xil ekanligini ko'ramiz. Siz uni xohlagan tarzda ishlatishingiz mumkin.

Darajada aralash raqam yoki o'nlik kasr sifatida ifodalangan ko'rsatkich bo'lgan holatlar mavjud. Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun uni oddiy kasr bilan almashtirish va yuqorida ko'rsatilgandek hisoblash yaxshiroqdir.

10-misol

44, 89 ni 2, 5 ning kuchiga ko'taring.

Yechim

Indikatorning qiymatini oddiy kasrga aylantiramiz - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Endi biz yuqorida ko'rsatilgan barcha amallarni tartibda bajaramiz: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 2 = 510 = 130 13 501, 25107

Javob: 13 501, 25107.

Agar kasr ko'rsatkichining payi va maxraji katta sonlarni o'z ichiga olsa, bunday ko'rsatkichlarni ratsional darajalar bilan hisoblash juda qiyin ishdir. Bu odatda kompyuter texnologiyasini talab qiladi.

Keling, nol asos va kasr ko'rsatkichli darajalarga alohida to'xtalib o'tamiz. 0 m n ko'rinishdagi ifodaga quyidagi ma'no berilishi mumkin: agar m n > 0 bo'lsa, u holda 0 m n = 0 m n = 0; agar m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Raqamni irratsional kuchga qanday oshirish mumkin

Ko'rsatkichi irratsional son bo'lgan kuchning qiymatini hisoblash zarurati tez-tez paydo bo'lmaydi. Amalda, vazifa odatda taxminiy qiymatni hisoblash bilan cheklanadi (ma'lum miqdordagi o'nli kasrlargacha). Bu odatda bunday hisob-kitoblarning murakkabligi tufayli kompyuterda hisoblab chiqiladi, shuning uchun biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz, biz faqat asosiy qoidalarni ko'rsatamiz.

Agar irratsional ko'rsatkichli a darajasining qiymatini hisoblashimiz kerak bo'lsa, u holda ko'rsatkichning o'nli yaqinligini olamiz va undan hisoblaymiz. Natijada taxminiy javob bo'ladi. O'nlik yaqinlik qanchalik aniq bo'lsa, javob shunchalik aniq bo'ladi. Keling, misol bilan ko'rsatamiz:

11-misol

21 ning taxminiy qiymatini hisoblang, 174367....

Yechim

Keling, a n = 1, 17 o'nlik yaqinlashuvi bilan cheklanamiz. Keling, ushbu raqam yordamida hisob-kitoblarni amalga oshiramiz: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Agar biz, masalan, a n = 1, 1743 taxminini olsak, javob biroz aniqroq bo'ladi: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ko'paytirish - bu ko'paytirish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan amal, bu amal sonni o'ziga qayta-qayta ko'paytirish natijasidir; Uni quyidagi formula bilan ifodalaymiz: a1 * a2 * … * an = an.

Masalan, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Umuman olganda, ko'rsatkich ko'pincha matematika va fizikada turli formulalarda qo'llaniladi. Bu funktsiya to'rtta asosiyga qaraganda ko'proq ilmiy maqsadga ega: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish.

Raqamni quvvatga ko'tarish

Raqamni quvvatga ko'tarish murakkab operatsiya emas. Bu ko'paytirish va qo'shish o'rtasidagi munosabatlarga o'xshash tarzda ko'paytirish bilan bog'liq. An yozuvi bir-biriga ko'paytirilgan "a" sonlarining n-sonining qisqacha yozuvidir.

Eng oddiy misollar yordamida eksponentsiyani ko'rib chiqing, murakkab misollarga o'ting.

Masalan, 42. 42 = 4 * 4 = 16. To'rt kvadrat (ikkinchi daraja) o'n oltiga teng. Agar siz 4 * 4 ko'paytirishni tushunmasangiz, unda ko'paytirish haqidagi maqolamizni o'qing.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Besh kubik (uchinchi darajaga) bir yuz yigirma beshga teng.

Yana bir misol: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . To'qqiz kub yetti yuz yigirma to'qqizga teng.

Ko'rsatkich formulalari

Quvvatni to'g'ri oshirish uchun siz quyida keltirilgan formulalarni eslab, bilishingiz kerak. Bunda ortiqcha tabiiy narsa yo'q, asosiysi mohiyatni tushunishdir va keyin ular nafaqat esda qoladi, balki oson ko'rinadi.

Monomialni kuchga ko'tarish

Monomial nima? Bu har qanday miqdordagi raqamlar va o'zgaruvchilar mahsulotidir. Masalan, ikkitasi monomialdir. Va bu maqola aynan shunday monomiallarni vakolatlarga ko'tarish haqida.

Ko'rsatkichlar uchun formulalardan foydalanib, monomialning darajaga ko'tarilishini hisoblash qiyin bo'lmaydi.

Masalan, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Agar siz monomialni quvvatga ko'tarsangiz, monomialning har bir komponenti kuchga ko'tariladi.

Allaqachon kuchga ega bo'lgan o'zgaruvchini ko'tarish orqali kuchlar ko'paytiriladi. Masalan, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Salbiy kuchga ko'tarilish

Salbiy kuch sonning o'zaro kuchidir. O'zaro raqam nima? Har qanday X sonining o'zaro nisbati 1/X ga teng. Bu X-1=1/X. Bu salbiy darajaning mohiyatidir.

Misolni ko'rib chiqing (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Nega bunday? Darajada minus mavjud bo'lganligi sababli, biz bu ifodani maxrajga o'tkazamiz va keyin uni uchinchi darajaga ko'taramiz. Oddiy, shunday emasmi?

Kasr kuchiga ko'tarish

Keling, masalani aniq bir misol bilan ko'rib chiqaylik. 43/2. 3/2 daraja nimani anglatadi? 3 - raqam, raqamni (bu holda 4) kubga ko'tarishni anglatadi. 2 raqami maxrajdir, bu raqamning ikkinchi ildizini chiqarishdir (bu holda 4).

Keyin 43 = 2^3 = 8 ning kvadrat ildizini olamiz. Javob: 8.

Demak, kasr darajasining maxraji 3 yoki 4 yoki cheksizgacha istalgan son bo'lishi mumkin va bu raqam berilgan sondan olingan kvadrat ildiz darajasini aniqlaydi. Albatta, maxraj nolga teng bo'lishi mumkin emas.

Ildizni kuchga ko'tarish

Agar ildiz ildizning o'zi darajasiga teng darajaga ko'tarilsa, unda javob radikal ifoda bo'ladi. Masalan, (√x)2 = x. Va shuning uchun har qanday holatda, ildiz darajasi va ildizni ko'tarish darajasi tengdir.

Agar (√x)^4. Keyin (√x)^4=x^2. Yechimni tekshirish uchun ifodani kasr kuchiga ega ifodaga aylantiramiz. Ildiz kvadrat bo'lgani uchun maxraj 2 ga teng. Va agar ildiz to'rtinchi darajaga ko'tarilsa, u holda hisoblagich 4. Biz 4/2=2 ni olamiz. Javob: x = 2.

Qanday bo'lmasin, eng yaxshi variant oddiygina ifodani kasr kuchiga ega ifodaga aylantirishdir. Agar kasr bekor qilmasa, berilgan sonning ildizi ajratilmagan bo'lsa, bu javob bo'ladi.

Kompleks sonni kuchga ko'tarish

Kompleks son nima? Kompleks son - a + b * i formulasiga ega bo'lgan ifoda; a, b haqiqiy sonlar. i - bu kvadratga aylantirilganda -1 raqamini beradigan son.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Qanday qilib tez va to'g'ri qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, kvadrat raqamlarni va hatto ildizlarni ajratib olishni o'rganish uchun "Mental arifmetikani emas, aqliy arifmetikani tezlashtiring" kursiga yoziling. 30 kun ichida siz arifmetik amallarni soddalashtirish uchun oson fokuslardan qanday foydalanishni o‘rganasiz. Har bir darsda yangi texnikalar, aniq misollar va foydali vazifalar mavjud.

Onlayn ko'rsatkich

Kalkulyatorimizdan foydalanib, siz raqamni bir darajaga ko'tarishni hisoblashingiz mumkin:

Ko'rsatkich 7-sinf

Maktab o'quvchilari faqat ettinchi sinfda kuchga ko'tarila boshlaydilar.

Ko'paytirish - bu ko'paytirish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan amal, bu amal sonni o'ziga qayta-qayta ko'paytirish natijasidir; Uni quyidagi formula bilan ifodalaymiz: a1 * a2 * … * an=an.

Masalan, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Yechimga misollar:

Ko'rsatkich bo'yicha taqdimot

Yettinchi sinf o'quvchilari uchun mo'ljallangan vakolatlarini oshirish bo'yicha taqdimot. Taqdimot ba'zi noaniq fikrlarni aniqlashtirishi mumkin, ammo bizning maqolamiz tufayli bu fikrlar aniqlanmaydi.

Pastki chiziq

Biz matematikani yaxshiroq tushunish uchun aysbergning faqat uchini ko'rib chiqdik - kursimizga yoziling: Mental arifmetikani tezlashtirish - mental arifmetika EMAS.

Kursdan siz nafaqat soddalashtirilgan va tez ko'paytirish, qo'shish, ko'paytirish, bo'lish va foizlarni hisoblashning o'nlab usullarini o'rganasiz, balki ularni maxsus topshiriqlar va o'quv o'yinlarida ham mashq qilasiz! Mental arifmetika ham juda ko'p e'tibor va diqqatni jamlashni talab qiladi, ular qiziqarli masalalarni hal qilishda faol o'rgatiladi.