Ta'riflar

Trigonometrik funktsiyalarning ta'riflari trigonometrik aylana yordamida beriladi, bu birlik radiusi bo'lgan aylana sifatida tushuniladi.

Keling, bu doiraning ikkita radiusini ko'rib chiqaylik: statsionar (nuqta qaerda) va harakatlanuvchi (nuqta qaerda). Harakatlanuvchi radius o'zgarmas burchak bilan burchak hosil qilsin.

Ruxsat etilgan radiusli burchak hosil qiluvchi birlik radiusi uchining ordinatasiga teng son deyiladi. burchakning sinusi : .

Ruxsat etilgan radiusli burchak hosil qiluvchi birlik radiusi uchining abssissasiga teng son deyiladi. burchakning kosinusu : .

Shunday qilib, burchak hosil qiluvchi harakatlanuvchi radiusning oxiri bo'lgan nuqta koordinatalarga ega.

Burchakning tangensi Bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati deyiladi: , .

Burchak kotangensi Bu burchak kosinusining sinusiga nisbati deyiladi: , .

Geometrik ma'no trigonometrik funktsiyalar

Trigonometrik doiradagi sinus va kosinusning geometrik ma'nosi ta'rifdan aniq: bu harakatlanuvchi radiusning kesishish nuqtasining abscissa va ordinatasi, u sobit radius bilan burchak hosil qiladi va trigonometrik doira. Ya'ni, .

Endi tangens va kotangensning geometrik ma'nosini ko'rib chiqamiz. Uchburchaklar uchta burchakda (,) o'xshash bo'lsa, u holda munosabat o'rinli bo'ladi. Boshqa tomondan, in, shuning uchun.

Shuningdek, uchta burchakda (,) o'xshash, keyin munosabat o'rinli bo'ladi. Boshqa tomondan, in, shuning uchun.

Tangens va kotangensning geometrik ma'nosini hisobga olgan holda tangens o'qi va kotangens o'qi tushunchasi kiritiladi.

Tangens o'qlari o'qlar bo'lib, ulardan biri trigonometrik doiraga bir nuqtada tegib, yuqoriga yo'naltirilgan, ikkinchisi bir nuqtada aylanaga tegib, pastga yo'naltirilgan.

Kotangens o'qlari - bu o'qlar, ulardan biri trigonometrik doiraga bir nuqtada tegib, o'ngga yo'naltirilgan, ikkinchisi bir nuqtada aylanaga tegib, chapga yo'naltirilgan.

Trigonometrik funksiyalarning xossalari

Keling, trigonometrik funktsiyalarning ba'zi asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqaylik. Boshqa xususiyatlar trigonometrik funktsiyalarning grafiklari bo'limida ko'rib chiqiladi.

Domen va qiymatlar diapazoni

Yuqorida aytib o'tilganidek, sinus va kosinus har qanday burchak uchun mavjud, ya'ni. bu funksiyalarni aniqlash sohasi haqiqiy sonlar to'plamidir. Ta'rifga ko'ra, burchaklar uchun tangens mavjud emas va burchaklar uchun kotangens mavjud emas, .

Sinus va kosinus trigonometrik doiradagi nuqtaning ordinatasi va abtsissasi bo'lgani uchun ularning qiymatlari o'rtasida yotadi. Tangens va kotangens qiymatlari diapazoni haqiqiy sonlar to'plamidir (buni tangens va kotangens o'qlariga qarab ko'rish oson).

Juft/toq

Keling, ikkita burchakning (harakatlanuvchi radiusga mos keladigan) va (harakatlanuvchi radiusga mos keladigan) trigonometrik funktsiyalarini ko'rib chiqaylik. Chunki bu nuqtaning koordinatalari borligini anglatadi. Shuning uchun, ya'ni. sinus - g'alati funktsiya; , ya'ni. kosinus - juft funktsiya; , ya'ni. tangens g'alati; , ya'ni. Kotangent ham g'alati.

Belgilarning doimiyligi intervallari

Turli koordinata choraklari uchun trigonometrik funktsiyalarning belgilari ushbu funktsiyalarning ta'rifidan kelib chiqadi. Shuni ta'kidlash kerakki, tangens va kotangent sinus va kosinusning nisbati bo'lganligi sababli, burchakning sinusi va kosinuslari bir xil ishoraga ega bo'lsa, ular ijobiy, farqli bo'lganda esa manfiy bo'ladi.

Davriylik

Sinus va kosinusning davriyligi to'liq aylanishlarning butun soni bilan farq qiladigan burchaklar bir xil burchakka mos kelishiga asoslanadi. nisbiy pozitsiya harakatlanuvchi va sobit nurlar. Shunga ko'ra, harakatlanuvchi nur va trigonometrik doiraning kesishish nuqtasining koordinatalari to'liq aylanishlarning butun soni bilan farq qiladigan burchaklar uchun bir xil bo'ladi. Shunday qilib, sinus va kosinus davri va, qaerda.

Shubhasiz, bu ham tangens va kotangens davri. Ammo bu funktsiyalar uchun qisqaroq muddat bormi? Tangens va kotangens uchun eng kichik davr ekanligini isbotlaylik.

Ikki burchakni ko'rib chiqing va. Op geometrik ma'no tangens va kotangens, . Uchburchaklarning yon va qo'shni burchaklari teng va shuning uchun ularning tomonlari teng, bu va degan ma'noni anglatadi. Xuddi shunday, siz qaerda ekanligini isbotlashingiz mumkin. Shunday qilib, tangens va kotangens davri.

Asosiy burchaklarning trigonometrik funktsiyalari

Trigonometriya formulalari

Trigonometrik muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun siz ko'plab trigonometrik formulalarni bilishingiz kerak. Biroq, barcha formulalarni yodlashning hojati yo'q. Siz faqat eng asosiylarini yoddan bilishingiz kerak, agar kerak bo'lsa, qolgan formulalarni chiqarib olishingiz kerak.

Asosiy trigonometrik identifikatsiya va undan kelib chiqadigan oqibatlar

Ixtiyoriy burchakning barcha trigonometrik funktsiyalari bir-biriga bog'langan, ya'ni. Bitta funktsiyani bilsangiz, qolganini har doim topishingiz mumkin. Ushbu bog'liqlik ushbu bo'limda muhokama qilingan formulalar bilan berilgan.

1-teorema (Asosiy trigonometrik identifikatsiya). Har kim uchun kimlik haqiqatdir

Isbot Pifagor teoremasini oyoqlari va gipotenuzasi bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak uchun qo'llashdan iborat.

Yana umumiy teorema ham to'g'ri.

Teorema 2. Ikki sonni bir xil haqiqiy burchakning kosinus va sinusi sifatida qabul qilish uchun ularning kvadratlari yig'indisi bittaga teng bo'lishi zarur va etarli:

Keling, asosiy trigonometrik identifikatsiyaning oqibatlarini ko'rib chiqaylik.

Sinusni kosinus orqali, kosinusni sinus orqali ifodalaymiz:

Bu formulada ildiz oldidagi ortiqcha yoki minus belgisi burchak joylashgan kvadrantga qarab tanlanadi.

Yuqorida olingan formulalarni tangens va kotangensni aniqlovchi formulalarga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Asosiy trigonometrik identifikatsiya atamasini atama boʻyicha boʻlish yoki biz mos ravishda:

Ushbu munosabatlarni quyidagicha qayta yozish mumkin:

Quyidagi formulalar tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatni beradi. At, va at, u holda tenglik amal qiladi:

Qisqartirish formulalari

Qisqartirish formulalaridan foydalanib, siz o'tkir burchak funktsiyalarining qiymatlari orqali ixtiyoriy burchaklarning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlarini ifodalashingiz mumkin. Barcha qisqartirish formulalarini quyidagi qoida yordamida umumlashtirish mumkin.

Ko'ra, burchakning har qanday trigonometrik funktsiyasi mutlaq qiymat agar son juft bo'lsa burchakning bir xil funktsiyasiga, agar son toq bo'lsa, burchakning birgalikdagi funktsiyasiga teng. Bundan tashqari, agar burchak funktsiyasi musbat bo'lsa, u o'tkir musbat burchak bo'lsa, u holda ikkala funktsiyaning belgilari bir xil bo'lsa, u holda ular boshqacha bo'ladi;

Yig'indi formulalari va burchak farqi

Teorema 3 . Har qanday haqiqiy va quyidagi formulalar uchun amal qiladi:

Qolgan formulalarning isboti qisqartirish formulalari va juft/toq trigonometrik funktsiyalarga asoslangan.

Q.E.D.

Teorema 4. Har qanday haqiqiy va shunga o'xshash narsalar uchun

1. , quyidagi formulalar amal qiladi

2. , quyidagi formulalar amal qiladi

Isbot. Tangensning ta'rifi bo'yicha

Oxirgi o'zgartirish bu kasrning pay va maxrajini ga bo'lish yo'li bilan olinadi.

Xuddi shunday kotangens uchun (bu holda sanoq va maxraj quyidagilarga bo'linadi):

Q.E.D.

Oxirgi tengliklarning o'ng va chap tomonlari mavjudligiga e'tibor qaratish lozim turli hududlar qabul qilinadigan qiymatlar. Shuning uchun, bu formulalarni mumkin bo'lgan burchak qiymatlariga cheklovlarsiz ishlatish noto'g'ri natijalarga olib kelishi mumkin.

Ikki va yarim burchakli formulalar

Formulalar ikki burchak ixtiyoriy burchakning trigonometrik funksiyalarini asl burchakning yarmining funksiyalari bilan ifodalashga imkon beradi. Bu formulalar, agar ulardagi burchaklarni bir-biriga teng qo'ysak, ikkita burchak yig'indisi uchun formulalarning natijasidir.

Oxirgi formulani asosiy trigonometrik identifikatsiya yordamida o'zgartirish mumkin:

Shunday qilib, ikki burchakli kosinus uchun uchta formula mavjud:

Shuni ta'kidlash kerak bu formula uchungina amal qiladi

Oxirgi formula, uchun amal qiladi.

Ikki burchakli funktsiyalarga o'xshab, uch burchakli funktsiyalarni olish mumkin. Bu erda bu formulalar isbotsiz berilgan:

Yarim burchakli formulalar ikki burchakli formulalarning natijalari bo'lib, bizga ma'lum bir burchakning trigonometrik funktsiyalarini asl burchakdan ikki baravar ko'p burchak funktsiyalari bilan ifodalash imkonini beradi.

Sinus (sin x) va kosinus (cos x) trigonometrik funktsiyalari haqida ma'lumotnoma. Geometrik ta'rif, xossalar, grafiklar, formulalar. Sinus va kosinuslar jadvali, hosilalar, integrallar, qator kengaytmalari, sekant, kosekant. Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar. Giperbolik funktsiyalar bilan bog'lanish.

Sinus va kosinusning geometrik ta'rifi

|BD|- markazi nuqtada bo'lgan aylana yoyi uzunligi A.
α - radianlarda ifodalangan burchak.

Ta'rif
Sinus (sin a) to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya; nisbatga teng qarama-qarshi tomonning uzunligi |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Kosinus (cos a) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Qabul qilingan belgilar

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiya grafigi, y = sin x

Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus va kosinusning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = gunoh x va y = chunki x davr bilan davriy 2p.

Paritet

Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.

Ta'rif va qadriyatlar sohasi, ekstremal, o'sish, pasayish

Sinus va kosinus funktsiyalari o'z ta'rif sohalarida uzluksizdir, ya'ni barcha x uchun (uzluksizlik isbotiga qarang). Ularning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan (n - butun son).

	y = gunoh x	y = chunki x
Qamrov va davomiylik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ortib bormoqda
Pastga
Maksim, y = 1
Minimum, y = - 1
Nollar, y = 0
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	y = 0	y = 1

Asosiy formulalar

Sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi

Yig'indi va farqdan sinus va kosinus formulalari

;
;

Sinuslar va kosinuslar hosilasi uchun formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

Kosinus orqali sinusni ifodalash

;
;
;
.

Kosinusni sinus orqali ifodalash

;
;
;
.

Tangens orqali ifodalash

; .

Qachon, bizda:
; .

Manzil:
; .

Sinuslar va kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun sinuslar va kosinuslar qiymatlari ko'rsatilgan.

Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar

;

Eyler formulasi

{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Teskari funksiyalar

Teskari funksiyalar sinus va kosinus mos ravishda arksinus va arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

Foydalanilgan adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatlar aniqlangan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - bir nechta burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalaydi va hokazo.

Ushbu maqolada biz barcha asosiylarini tartibda sanab o'tamiz trigonometrik formulalar, bu trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlari bo'yicha guruhlaymiz va jadvallarga kiritamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatni aniqlang. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bitta trigonometrik funktsiyani boshqa har qanday ko'rinishda ifodalash imkonini beradi.

Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang.

Qisqartirish formulalari

Qisqartirish formulalari sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular trigonometrik funksiyalarning davriylik xususiyatini, simmetriya xossasini, shuningdek, siljish xossalarini aks ettiradi. berilgan burchak. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi.

Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollari maqolada o'rganilishi mumkin.

Qo'shish formulalari

Trigonometrik qo'shish formulalari Ikki burchak yigʻindisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini koʻrsating. Bu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni olish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi.

Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak

Yarim burchak formulalari

Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funksiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar ikki burchakli formulalardan kelib chiqadi.

Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin.

Darajani pasaytirish formulalari

Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar trigonometrik funktsiyalarning tabiiy kuchlaridan birinchi darajali sinuslar va kosinuslarga o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Asosiy maqsad trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi formulalari trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda juda foydali bo'lgan funksiyalar mahsulotiga o'tishdir. Bu formulalardan yechishda ham keng foydalaniladi trigonometrik tenglamalar, chunki ular sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va farqini koeffitsient qilish imkonini beradi.

Sinuslar, kosinuslar va kosinuslar bo'yicha ko'paytma uchun formulalar

Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo`yicha ko`paytmasi formulalari yordamida amalga oshiriladi.

Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Www.saytning hech qanday qismi, shu jumladan ichki materiallar Va tashqi dizayn, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz hech qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.

4 uchun yagona davlat imtihoni? Baxtdan yorilib ketmaysizmi?

Savol, deganlaridek, qiziq... Mumkin, 4 bilan o'tish mumkin! Va ayni paytda yorilib ketmaslik ... Asosiy shart - muntazam ravishda mashq qilish. Mana, matematikadan Yagona davlat imtihoniga asosiy tayyorgarlik. Yagona davlat imtihonining barcha sirlari va sirlari bilan, ular haqida siz darsliklarda o'qimaysiz ... Ushbu bo'limni o'rganing, ko'proq vazifalarni hal qiling. turli manbalar- va hammasi yaxshi bo'ladi! Asosiy bo'lim "A C siz uchun etarli!" bu sizga hech qanday muammo tug'dirmaydi. Lekin agar to'satdan ... Havolalarni kuzatib boring, dangasa bo'lmang!

Va biz ajoyib va ​​dahshatli mavzudan boshlaymiz.

Trigonometriya

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Ushbu mavzu talabalar uchun juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi. Bu eng og'irlardan biri hisoblanadi. Sinus va kosinus nima? Tangens va kotangens nima? Raqamli aylana nima? Bu zararsiz savollarni berishingiz bilan odamning rangi oqarib, suhbatni boshqa tomonga burishga harakat qiladi... Lekin behuda. Bu oddiy tushunchalar. Va bu mavzu boshqalarga qaraganda qiyinroq emas. Siz faqat boshidanoq bu savollarga javoblarni aniq tushunishingiz kerak. Bu juda muhim. Agar tushunsangiz, sizga trigonometriya yoqadi. Shunday qilib,

Sinus va kosinus nima? Tangens va kotangens nima?

Qadim zamonlardan boshlaylik. Xavotir olmang, biz 20 asrlik trigonometriyani taxminan 15 daqiqada bosib o'tamiz va buni sezmasdan, biz 8-sinfdan geometriyani takrorlaymiz.

Tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak chizamiz a, b, c va burchak X. Mana.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, to'g'ri burchak hosil qiluvchi tomonlar oyoqlar deb ataladi. a va c- oyoqlar. Ulardan ikkitasi bor. Qolgan tomoni gipotenuza deb ataladi. Bilan- gipotenuza.

Uchburchak va uchburchak, o'ylab ko'ring! U bilan nima qilish kerak? Ammo qadimgi odamlar nima qilishni bilishardi! Keling, ularning harakatlarini takrorlaymiz. Keling, yon tomonni o'lchaymiz V. Rasmda bo'lgani kabi, hujayralar maxsus chizilgan Yagona davlat imtihon topshiriqlari Bu sodir bo'ladi. Yon V to'rt hujayraga teng. KELISHDIKMI. Keling, yon tomonni o'lchaymiz A. Uch hujayra.

Endi yon tomonning uzunligini ajratamiz A har bir tomon uzunligi uchun V. Yoki ular aytganidek, keling, munosabatni olaylik A Kimga V. a/v= 3/4.

Aksincha, siz ajratishingiz mumkin V yoqilgan A. Biz 4/3 ni olamiz. mumkin V ga bo'linadi Bilan. Gipotenuza Bilan Hujayralar bo'yicha hisoblash mumkin emas, lekin u 5 ga teng. Biz olamiz yuqori sifatli= 4/5. Muxtasar qilib aytganda, siz tomonlarning uzunligini bir-biriga bo'lishingiz va ba'zi raqamlarni olishingiz mumkin.

Xo'sh? Ushbu qiziqarli faoliyatning maqsadi nima? Hozircha yo'q. Ochig'ini aytganda, ma'nosiz mashq.)

Endi buni qilaylik. Keling, uchburchakni kattalashtiramiz. Keling, tomonlarni kengaytiramiz ichida va bilan, lekin uchburchak to'rtburchak bo'lib qolishi uchun. Burchak X, albatta, o'zgarmaydi. Buni ko'rish uchun sichqonchani rasm ustiga olib boring yoki unga teging (agar sizda planshet bo'lsa). Partiyalar a, b va c ga aylanadi m, n, k, va, albatta, tomonlarning uzunligi o'zgaradi.

Ammo ularning munosabatlari unday emas!

Munosabat a/v edi: a/v= 3/4, bo'ldi m/n= 6/8 = 3/4. Boshqa tegishli tomonlarning munosabatlari ham o'zgarmaydi . To'g'ri burchakli uchburchakda tomonlarning uzunligini xohlaganingizcha o'zgartirishingiz, oshirishingiz, kamaytirishingiz, x burchagini o'zgartirmasdan – tegishli tomonlar o'rtasidagi munosabatlar o'zgarmaydi . Siz buni tekshirishingiz mumkin yoki buning uchun qadimgi odamlarning so'zlarini qabul qilishingiz mumkin.

Ammo bu allaqachon juda muhim! To'g'ri burchakli uchburchakda tomonlarning nisbati tomonlarning uzunligiga (bir xil burchakda) bog'liq emas. Bu shunchalik muhimki, tomonlar o'rtasidagi munosabatlar o'zining maxsus nomini oldi. Ismlaringiz, ta'bir joiz.) Tanishish.

X burchakning sinusi nimaga teng ? Bu qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:

sinx = a/c

X burchakning kosinusu nimaga teng ? Bu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Bilanosx= yuqori sifatli

Tangens x nima ? Bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:

tgx =a/v

X burchakning kotangensi nimaga teng ? Bu qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati:

ctgx = v/a

Bu juda oddiy. Sinus, kosinus, tangens va kotangens ba'zi raqamlardir. O'lchamsiz. Faqat raqamlar. Har bir burchakning o'ziga xosligi bor.

Nega men hamma narsani zerikarli takrorlayapman? Keyin bu nima eslash kerak. Esda tutish muhim. Yodlashni osonlashtirish mumkin. “Keling, uzoqdan boshlaymiz…” iborasi tanishmi? Shunday qilib, uzoqdan boshlang.

Sinus burchak nisbatdir uzoqda oyoq burchagidan gipotenuzaga qadar. Kosinus– qo‘shnining gipotenuzaga nisbati.

Tangent burchak nisbatdir uzoqda oyoq burchagidan yaqingacha. Kotangent- aksincha.

Bu osonroq, to'g'rimi?

Xo'sh, agar siz tangens va kotangensda faqat oyoqlar mavjudligini va sinus va kosinusda gipotenuza paydo bo'lishini eslasangiz, unda hamma narsa juda oddiy bo'ladi.

Bu butun ulug'vor oila - sinus, kosinus, tangens va kotangens deb ham ataladi trigonometrik funktsiyalar.

Va endi ko'rib chiqish uchun savol.

Nima uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens deymiz burchak? Biz tomonlar o'rtasidagi munosabatlar haqida gapiramiz, masalan ... Bunga nima aloqasi bor? burchak?

Keling, ikkinchi rasmga qaraylik. Birinchisi bilan aynan bir xil.

Sichqonchani rasm ustiga olib boring. Men burchakni o'zgartirdim X. dan oshirdi x dan x gacha. Barcha munosabatlar o'zgardi! Munosabat a/v 3/4 ni tashkil etdi va mos keladigan nisbat t/v 6/4 ga aylandi.

Va boshqa barcha munosabatlar boshqacha bo'ldi!

Shuning uchun tomonlarning nisbati hech qanday tarzda ularning uzunliklariga (bir burchakda x) bog'liq emas, balki aynan shu burchakka keskin bog'liq! Va faqat undan. Shuning uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens atamalariga tegishlidir burchak. Bu erda burchak asosiy hisoblanadi.

Burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan uzviy bog'liqligini aniq tushunish kerak. Har bir burchakning o'ziga xos sinus va kosinuslari bor. Va deyarli har bir kishi o'z tangensi va kotangensiga ega. Bu muhim. Agar bizga burchak berilgan bo'lsa, u holda uning sinus, kosinus, tangens va kotangens deb ishoniladi bilamiz ! Va aksincha. Agar sinus yoki boshqa trigonometrik funktsiya berilgan bo'lsa, bu biz burchakni bilishimizni anglatadi.

Har bir burchak uchun uning trigonometrik funktsiyalari tasvirlangan maxsus jadvallar mavjud. Ular Bradis jadvallari deb ataladi. Ular juda uzoq vaqt oldin tuzilgan. Hali na kalkulyator, na kompyuterlar bo‘lmaganida...

Albatta, barcha burchaklarning trigonometrik funktsiyalarini yodlab bo'lmaydi. Siz ularni faqat bir necha burchaklar uchun bilishingiz kerak, bu haqda keyinroq. Lekin sehr Men burchakni bilaman, ya'ni uning trigonometrik funktsiyalarini bilaman" - har doim ishlaydi!

Shunday qilib, biz 8-sinfdan geometriya bo'lagini takrorladik. Yagona davlat imtihoniga kerakmi? Kerakli. Yagona davlat imtihonining odatiy muammosi. Ushbu muammoni hal qilish uchun 8-sinf etarli. Berilgan rasm:

Hammasi. Boshqa maʼlumotlar yoʻq. Samolyotning yon tomonining uzunligini topishimiz kerak.

Hujayralar ko'p yordam bermaydi, uchburchak qandaydir tarzda noto'g'ri joylashtirilgan .... Maqsadga ko'ra, menimcha ... Ma'lumotlardan gipotenuzaning uzunligi bor. 8 hujayra. Negadir burchak berilgan.

Bu erda siz trigonometriya haqida darhol eslashingiz kerak. Burchak bor, ya'ni biz uning barcha trigonometrik funktsiyalarini bilamiz. To'rt funktsiyadan qaysi birini ishlatishimiz kerak? Keling, ko'ramiz, biz nimani bilamiz? Biz gipotenuzani va burchakni bilamiz, lekin topishimiz kerak qo'shni bu burchakka kateter! Bu aniq, kosinusni harakatga keltirish kerak! Qani boshladik. Biz shunchaki kosinus ta'rifi bilan yozamiz (nisbat qo'shni oyoq gipotenuzaga):

cosC = BC/8

C burchagi 60 gradus, uning kosinusu 1/2. Buni hech qanday jadvalsiz bilishingiz kerak! Shunday qilib:

1/2 = BC/8

Boshlang'ich chiziqli tenglama. Noma'lum - Quyosh. Tenglamalarni qanday echishni unutganlar, havolaga qarang, qolganlari hal qiladi:

BC = 4

Qadimgi odamlar har bir burchakning o'ziga xos trigonometrik funktsiyalari borligini tushunganlarida, ularda mantiqiy savol tug'ildi. Sinus, kosinus, tangens va kotangens qandaydir tarzda bir-biri bilan bog'liqmi? Shunday qilib, bitta burchak funktsiyasini bilib, qolganlarini topa olasizmi? Burchakning o'zini hisoblamasdan?

Ular juda bezovta edilar ...)

Bir burchakning trigonometrik funktsiyalari o'rtasidagi bog'liqlik.

Albatta, bir xil burchakdagi sinus, kosinus, tangens va kotangens bir-biri bilan bog'liq. Ifodalar orasidagi har qanday bog'lanish matematikada formulalar orqali beriladi. Trigonometriyada juda ko'p sonli formulalar mavjud. Ammo bu erda biz eng asosiylarini ko'rib chiqamiz. Bu formulalar deyiladi: asosiy trigonometrik identifikatsiyalar. Mana ular:

Ushbu formulalarni yaxshilab bilishingiz kerak. Ularsiz trigonometriyada umuman hech narsa qilish mumkin emas. Ushbu asosiy identifikatsiyalardan yana uchta yordamchi identifikator kelib chiqadi:

Men sizni darhol ogohlantiramanki, oxirgi uchta formula tezda xotirangizdan chiqib ketadi. Ba'zi sabablarga ko'ra.) Albatta, siz ushbu formulalarni dastlabki uchtadan olishingiz mumkin. Lekin, ichida qiyin daqiqa... Tushunasiz; tushunyapsizmi.)

Quyidagi kabi standart masalalarda unutilmas formulalardan qochishning bir yo'li mavjud. VA xatolarni keskin kamaytiradi unutuvchanlik tufayli va hisob-kitoblarda ham. Bu amaliy texnika- 555-bo'limda "Bir burchakning trigonometrik funktsiyalari o'rtasidagi munosabatlar" darsi.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar qanday vazifalarda va qanday ishlatiladi? Eng mashhur vazifa, agar boshqasi berilgan bo'lsa, ba'zi burchak funktsiyasini topishdir. Yagona davlat imtihonida bunday vazifa yildan yilga mavjud.) Masalan:

Agar x o'tkir burchak va cosx=0,8 bo'lsa, sinx qiymatini toping.

Vazifa deyarli oddiy. Biz sinus va kosinusni o'z ichiga olgan formulani qidirmoqdamiz. Mana formula:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Biz bu erda ma'lum qiymatni, ya'ni kosinus o'rniga 0,8 ni almashtiramiz:

gunoh 2 x + 0,8 2 = 1

Xo'sh, biz odatdagidek hisoblaymiz:

gunoh 2 x + 0,64 = 1

gunoh 2 x = 1 - 0,64

Bu deyarli hammasi. Biz sinusning kvadratini hisoblab chiqdik, faqat kvadrat ildizni chiqarish qoladi va javob tayyor! 0,36 ning ildizi 0,6 ga teng.

Vazifa deyarli oddiy. Lekin "deyarli" so'zi bir sababga ko'ra bor ... Gap shundaki, sinx= - 0,6 javobi ham mos keladi... (-0,6) 2 ham 0,36 bo'ladi.

Ikki xil javob bor. Va sizga bitta kerak. Ikkinchisi noto'g'ri. Qanday bo'lish kerak!? Ha, odatdagidek.) Topshiriqni diqqat bilan o'qing. Negadir shunday deydi:... agar x o'tkir burchak bo'lsa ... Va topshiriqlarda har bir so'z ma'noga ega, ha ... Bu ibora yechim uchun qo'shimcha ma'lumotdir.

O'tkir burchak 90 ° dan kichik burchakdir. Va bunday burchaklarda Hammasi trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus va kotangent bilan tangens - ijobiy. Bular. Biz bu erda salbiy javobni bekor qilamiz. Bizning huquqimiz bor.

Aslida, sakkizinchi sinf o'quvchilariga bunday nozikliklar kerak emas. Ular faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan ishlaydi, bu erda burchaklar faqat o'tkir bo'lishi mumkin. Va ular, baxtli bo'lganlar, 1000 ° burchaklar ham, salbiy burchaklar ham borligini bilishmaydi ... Va bu dahshatli burchaklarning barchasi o'zlarining trigonometrik funktsiyalariga ega, ham ortiqcha, ham minus ...

Ammo o'rta maktab o'quvchilari uchun belgini hisobga olmagan holda - yo'q. Ko'p bilim qayg'ularni ko'paytiradi, ha ...) Va uchun to'g'ri qaror Vazifa qo'shimcha ma'lumotlarni o'z ichiga olishi kerak (agar kerak bo'lsa). Masalan, u quyidagi yozuv bilan berilishi mumkin:

Yoki boshqa yo'l bilan. Quyidagi misollarda ko'rasiz.) Bunday misollarni yechish uchun bilishingiz kerak Berilgan x burchak qaysi chorakga to'g'ri keladi va bu chorakda kerakli trigonometrik funktsiya qanday belgiga ega?

Trigonometriyaning bu asoslari trigonometrik aylana nima ekanligi, bu doiradagi burchaklarni o'lchash, burchakning radian o'lchovi kabi mavzularda darslarda muhokama qilinadi. Ba'zan sinuslar jadvalini, tangens va kotangentlarning kosinuslarini bilishingiz kerak.

Shunday qilib, keling, eng muhim narsani ta'kidlaymiz:

Amaliy maslahat:

1. Sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflarini eslang. Bu juda foydali bo'ladi.

2. Biz aniq tushunamiz: sinus, kosinus, tangens va kotangens burchaklar bilan chambarchas bog'liq. Biz bir narsani bilamiz, demak, boshqasini bilamiz.

3. Biz aniq tushunamiz: bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi bir-biri bilan bog'liqdir. trigonometrik identifikatsiyalar. Biz bitta funktsiyani bilamiz, ya'ni biz (agar bizda kerakli qo'shimcha ma'lumot bo'lsa) qolganlarini hisoblashimiz mumkin.

Endi odatdagidek qaror qilaylik. Birinchidan, 8-sinf doirasidagi vazifalar. Ammo o'rta maktab o'quvchilari ham buni qila oladi ...)

1. ctgA = 0,4 bo'lsa, tgA qiymatini hisoblang.

2. b - to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchak. Agar sinb = 12/13 bo'lsa, tanb qiymatini toping.

3. tgx = 4/3 bo'lsa, x o'tkir burchakning sinusini aniqlang.

4. Ifodaning ma'nosini toping:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Ifodaning ma'nosini toping:

(1-cosx)(1+cosx), agar sinx = 0,3 bo'lsa

Javoblar (nuqta-vergul bilan ajratilgan, tartibsiz):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Ishladimi? Ajoyib! Sakkizinchi sinf o'quvchilari allaqachon A ball olishlari mumkin.)

Hammasi amalga oshmadimi? 2 va 3 topshiriqlar qandaydir yaxshi emas...? Hammasi joyida! Bunday vazifalar uchun bitta chiroyli texnika mavjud. Hamma narsani deyarli formulalarsiz hal qilish mumkin! Va shuning uchun xatosiz. Ushbu uslub darsda tasvirlangan: "Bir burchakning trigonometrik funktsiyalari o'rtasidagi munosabatlar" 555-bo'limda. Boshqa barcha vazifalar ham u erda hal qilinadi.

Bular Yagona davlat imtihoniga o'xshash muammolar edi, ammo qisqartirilgan versiyada. Yagona davlat imtihoni - engil). Va endi deyarli bir xil vazifalar, lekin to'liq formatda. Bilim yuki bo'lgan o'rta maktab o'quvchilari uchun.)

6. Agar sinb = 12/13 bo'lsa, tanb qiymatini toping va

7. Agar tgx = 4/3 bo'lsa va x intervalga tegishli bo'lsa (- 540°; - 450°) sinxni aniqlang.

8. ctgb = 1 bo'lsa sinb cosb ifodaning qiymatini toping.

Javoblar (tartibsiz):

0,8; 0,5; -2,4.

Bu yerda 6-masalada burchak unchalik aniq ko'rsatilmagan... Lekin 8-masalada umuman ko'rsatilmagan! Bu ataylab qilingan). Qo'shimcha ma'lumot nafaqat topshiriqdan, balki boshdan ham olingan.) Lekin agar qaror qilsangiz, bitta to'g'ri vazifa kafolatlanadi!

Agar qaror qilmagan bo'lsangiz-chi? Hmm... Xo'sh, 555-bo'lim bu erda yordam beradi. U erda barcha bu vazifalarning echimlari batafsil tavsiflangan, tushunmaslik qiyin.

Ushbu dars trigonometrik funktsiyalar haqida juda cheklangan tushunchani beradi. 8-sinf doirasida. Va oqsoqollarda hali ham savollar bor ...

Misol uchun, agar burchak X(ushbu sahifadagi ikkinchi rasmga qarang) - buni ahmoq qiling!? Uchburchak butunlay parchalanadi! Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Oyoq ham, gipotenuz ham bo'lmaydi... Sinus yo'qoldi...

Agar qadimgi odamlar bu vaziyatdan chiqish yo'lini topmaganlarida edi, bizda hozir uyali telefonlar, televizorlar va elektr energiyasi bo'lmas edi. Ha, ha! Nazariy asos Bularning barchasi trigonometrik funktsiyalarsiz tayoqsiz nolga teng. Ammo qadimgi odamlar umidsizlikka tushmagan. Ular qanday qilib chiqib ketishganligi keyingi darsda.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

1. Trigonometrik funktsiyalar ifodalaydi elementar funktsiyalar, kimning argumenti burchak. Trigonometrik funktsiyalardan foydalanib, tomonlar o'rtasidagi munosabatlar va o'tkir burchaklar to'g'ri uchburchakda. Trigonometrik funktsiyalarni qo'llash sohalari juda xilma-xildir. Masalan, har qanday davriy jarayonlarni trigonometrik funktsiyalar yig'indisi (Furye seriyasi) sifatida ko'rsatish mumkin. Bu funksiyalar ko‘pincha differensial va funksional tenglamalarni yechishda paydo bo‘ladi.

2. Trigonometrik funksiyalarga quyidagi 6 ta funksiya kiradi: sinus, kosinus, tangens,kotangent, sekant Va kosekant. Bu funksiyalarning har biri uchun teskari trigonometrik funksiya mavjud.

3. Foydalanib trigonometrik funksiyalarning geometrik ta'rifini kiritish qulay birlik doirasi. Quyidagi rasmda radiusi r=1 bo‘lgan aylana ko‘rsatilgan. Aylanada M(x,y) nuqta belgilangan. OM radius vektori va Ox o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak a ga teng.

4. Sinus burchak a - M(x,y) nuqtaning y ordinatasining r radiusiga nisbati:
sina=y/r.
r=1 bo‘lgani uchun sinus M(x,y) nuqtaning ordinatasiga teng bo‘ladi.

5. Kosinus burchak a - M(x,y) nuqtaning x abtsissasining r radiusiga nisbati:
cosa=x/r

6. Tangent burchak a - M(x,y) nuqtaning y ordinatasining uning x abtsissasiga nisbati:
tana=y/x,x≠0

7. Kotangent burchak a - M(x,y) nuqtaning x abssissasining y ordinatasiga nisbati:
kota=x/y,y≠0

8. Sekant burchak a - r radiusning M(x,y) nuqtaning x abscissasiga nisbati:
seca=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekant burchak a - r radiusning M(x,y) nuqtaning y ordinatasiga nisbati:
csca=r/y=1/y,y≠0

10. Birlik aylanada x, y proyeksiyalar, M(x,y) nuqtalar va radius r to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi, bunda x,y - oyoqlari, r - gipotenuza. Shuning uchun trigonometrik funktsiyalarning yuqoridagi ta'riflari ilovada keltirilgan to'g'ri uchburchak quyidagicha shakllantiriladi:
Sinus burchak a - qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati.
Kosinus burchak a - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Tangent burchak a qo'shni oyoqqa qarama-qarshi oyoq deb ataladi.
Kotangent a burchakka qarama-qarshi tomonga ulashgan tomon deyiladi.
Sekant burchak a - gipotenuzaning qo'shni oyoqqa nisbati.
Kosekant burchak a - gipotenuzaning qarama-qarshi oyoqqa nisbati.

11. Sinus funksiyasining grafigi
y=sinx, aniqlash sohasi: x∈R, qiymatlar diapazoni: −1≤sinx≤1

12. Kosinus funksiyasining grafigi
y=cosx, domen: x∈R, diapazon: −1≤cosx≤1

13. Tangens funksiya grafigi
y=tanx, domen: x∈R,x≠(2k+1)p/2, diapazon: −∞

14. Kotangent funksiyaning grafigi
y=cotx, domen: x∈R,x≠kp, diapazon: −∞

15. Sekant funksiyaning grafigi
y=sekx, domen: x∈R,x≠(2k+1)p/2, diapazon: sekx∈(−∞,−1]∪∪)