Tenglamani yechish 20. Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish

Tenglamalardan foydalanish hayotimizda keng tarqalgan. Ular ko'plab hisob-kitoblarda, inshootlarni qurishda va hatto sportda qo'llaniladi. Inson qadim zamonlarda tenglamalardan foydalangan va o'shandan beri ulardan foydalanish faqat ortib bordi. Quvvat yoki ko'rsatkichli tenglamalar o'zgaruvchilar darajalarda va asosi son bo'lgan tenglamalardir. Masalan:

Eksponensial tenglamaning yechimi 2 ga kamayadi oddiy harakatlar:

1. O'ng va chapdagi tenglamaning asoslari bir xil yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak. Agar sabablar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.

2. Bazalar bir xil bo'lgandan keyin darajalarni tenglashtiramiz va hosil bo'lgan yangi tenglamani yechamiz.

Aytaylik, berilgan eksponensial tenglama quyidagi tur:

Yechimni boshlang berilgan tenglama asosni tahlil qilishdan olingan xarajatlar. Bazalar har xil - 2 va 4, lekin ularni hal qilish uchun biz bir xil bo'lishimiz kerak, shuning uchun biz quyidagi formuladan foydalanib 4 ni o'zgartiramiz -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Dastlabki tenglamaga qo'shamiz:

Qavslar ichidan chiqaramiz \

ifoda qilaylik \

Darajalar bir xil bo'lgani uchun biz ularni o'chirib tashlaymiz:

Javob: \

Onlayn hal qiluvchi yordamida eksponensial tenglamani qayerda yechish mumkin?

Tenglamani bizning https://site saytimizda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamalarni bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Sizga kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, bizning veb-saytimizda video ko'rsatmalarni ko'rishingiz va tenglamani qanday echishni o'rganishingiz mumkin. Va agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, ularni bizning VKontakte guruhimizda http://vk.com/pocketteacher so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.

I. ax 2 =0 – to'liqsiz kvadrat tenglama (b=0, c=0 ). Yechish: x=0. Javob: 0.

Tenglamalarni yechish.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Yechim. Qavslarni ko'paytirish orqali ochamiz 2x qavs ichidagi har bir atama uchun:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Biz shartlarni o'ngdan chapga siljitamiz:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Mana shunga o'xshash atamalar:

3x 2 =0, demak, x=0.

Javob: 0.

II. ax 2 +bx=0 –to'liqsiz kvadrat tenglama (c=0 ). Yechish: x (ax+b)=0 → x 1 =0 yoki ax+b=0 → x 2 =-b/a. Javob: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Yechim. Keling, umumiy omilni chiqaraylik X qavslar tashqarisida:

x(5x-26)=0; Har bir omil nolga teng bo'lishi mumkin:

x=0 yoki 5x-26=0→ 5x=26, tenglikning ikkala tomonini ga bo'ling 5 va biz quyidagilarni olamiz: x = 5.2.

Javob: 0; 5,2.

3-misol. 64x+4x 2 =0.

Yechim. Keling, umumiy omilni chiqaraylik 4x qavslar tashqarisida:

4x(16+x)=0. Bizda uchta omil bor, 4≠0, demak, yoki x=0 yoki 16+x=0. Oxirgi tenglikdan x=-16 ni olamiz.

Javob: -16; 0.

4-misol.(x-3) 2 +5x=9.

Yechim. Ikki ibora orasidagi farqning kvadrati formulasidan foydalanib, biz qavslarni ochamiz:

x 2 -6x+9+5x=9; shaklga aylantiring: x 2 -6x+9+5x-9=0; Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik:

x 2 -x=0; chiqaramiz X qavslar tashqarisida quyidagini olamiz: x (x-1)=0. Bu yerdan yoki x=0 yoki x-1=0→ x=1.

Javob: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –to'liqsiz kvadrat tenglama (b=0 ); Yechish: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Agar (-c/a)<0 , keyin haqiqiy ildizlar yo'q. Agar (-s/a)>0

5-misol. x 2 -49=0.

Yechim.

x 2 =49, bu yerdan x=±7. Javob:-7; 7.

6-misol. 9x 2 -4=0.

Yechim.

Ko'pincha kvadrat tenglama ildizlarining kvadratlari yig'indisini (x 1 2 + x 2 2) yoki kublar yig'indisini (x 1 3 + x 2 3) topish kerak, kamroq - o'zaro qiymatlar yig'indisi. ildizlarning kvadratlari yoki arifmetika yig'indisi kvadrat ildizlar kvadrat tenglamaning ildizlaridan:

Vieta teoremasi bunga yordam beradi:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

ifoda qilaylik orqali p Va q:

1) tenglama ildizlarining kvadratlari yig'indisi x 2 +px+q=0;

2) tenglama ildizlarining kublari yig'indisi x 2 +px+q=0.

Yechim.

1) Ifoda x 1 2 + x 2 2 tenglamaning har ikki tomonini kvadratga olish orqali olinadi x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; qavslarni oching: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; kerakli miqdorni ifodalaymiz: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Biz foydali tenglikni oldik: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Ifoda x 1 3 + x 2 3 Keling, quyidagi formula yordamida kublar yig'indisini ifodalaymiz:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).

Yana bir foydali tenglama: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Misollar.

3) x 2 -3x-4=0. Tenglamani yechmasdan, ifoda qiymatini hisoblang x 1 2 + x 2 2.

Yechim.

x 1 +x 2 =-p=3, va ish x 1 ∙x 2 =q=1-misolda) tenglik:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Bizda ... bor -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Keyin x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Javob: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Hisoblang: x 1 3 + x 2 3 .

Yechim.

Vyeta teoremasiga ko‘ra, bu qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi x 1 +x 2 =-p=2, va ish x 1 ∙x 2 =q=-4. Keling, olganimizni qo'llaymiz ( 2-misolda) tenglik: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Javob: x 1 3 +x 2 3 =32.

Savol: Agar bizga qisqartirilmagan kvadrat tenglama berilsa nima bo'ladi? Javob: uni har doim muddatga birinchi koeffitsientga bo'lish orqali "kamaytirish" mumkin.

5) 2x 2 -5x-7=0. Qaror qabul qilmasdan, hisoblang: x 1 2 + x 2 2.

Yechim. Bizga to'liq kvadrat tenglama berilgan. Tenglikning ikkala tomonini 2 ga bo'ling (birinchi koeffitsient) va quyidagi kvadrat tenglamani oling: x 2 -2,5x-3,5=0.

Vyeta teoremasiga ko'ra, ildizlarning yig'indisi ga teng 2,5 ; ildizlarning hosilasi teng bo'ladi -3,5 .

Biz buni misol bilan bir xil tarzda hal qilamiz 3) tenglikdan foydalanish: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Javob: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Toping:

Keling, bu tenglikni o'zgartiramiz va Viet teoremasidan foydalanib, ildizlar yig'indisini almashtiramiz -p, va orqali ildizlarning mahsuloti q, biz yana bir foydali formulani olamiz. Formulani chiqarishda biz 1 tenglikdan foydalandik): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Bizning misolimizda x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Ushbu qiymatlarni hosil bo'lgan formulaga almashtiramiz:

7) x 2 -13x+36=0. Toping:

Keling, bu yig'indini o'zgartiramiz va kvadrat tenglamaning ildizlaridan arifmetik kvadrat ildizlarning yig'indisini topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani olamiz.

Bizda ... bor x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Ushbu qiymatlarni hosil bo'lgan formulaga almashtiramiz:

Maslahat : Kvadrat tenglamaning ildizlarini har doim ishlatib topishingiz mumkinligini tekshiring mos keladigan tarzda, hammasidan keyin; axiyri 4 ko'rib chiqildi foydali formulalar vazifani tezda bajarishga imkon beradi, ayniqsa diskriminant "noqulay" raqam bo'lgan hollarda. Barcha oddiy holatlarda, ildizlarni toping va ularga operatsiya qiling. Masalan, oxirgi misolda biz Viet teoremasidan foydalanib ildizlarni tanlaymiz: ildizlarning yig'indisi teng bo'lishi kerak. 13 , va ildizlarning hosilasi 36 . Bu qanday raqamlar? Albatta, 4 va 9. Endi bu raqamlarning kvadrat ildizlari yig'indisini hisoblang: 2+3=5. Bo'ldi shu!

I. Vyeta teoremasi qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun.

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 +px+q=0 dan olingan ikkinchi koeffitsientga teng qarama-qarshi belgi, va ildizlarning hosilasi erkin muddatga teng:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Vyeta teoremasidan foydalanib, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlarini toping.

1-misol) x 2 -x-30=0. Bu qisqartirilgan kvadrat tenglama ( x 2 +px+q=0), ikkinchi koeffitsient p=-1, va bepul a'zo q=-30. Birinchidan, bu tenglamaning ildizlari borligiga va ildizlar (agar mavjud bo'lsa) butun sonlarda ifodalanishiga ishonch hosil qilaylik. Buning uchun diskriminant butun sonning mukammal kvadrati bo'lishi kifoya.

Diskriminantni topish D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Endi, Vyeta teoremasiga ko'ra, ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng bo'lishi kerak, ya'ni. ( -p), va mahsulot erkin muddatga teng, ya'ni. ( q). Keyin:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Biz ikkita raqamni tanlashimiz kerakki, ularning mahsuloti teng bo'ladi -30 , va miqdori birlik. Bu raqamlar -5 Va 6 . Javob: -5; 6.

2-misol) x 2 +6x+8=0. Bizda ikkinchi koeffitsientli qisqartirilgan kvadrat tenglama mavjud p=6 va bepul a'zo q=8. Keling, butun son ildizlar mavjudligiga ishonch hosil qilaylik. Keling, diskriminantni topamiz D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 sonning mukammal kvadratidir 1 , demak, bu tenglamaning ildizlari butun sonlardir. Keling, Viet teoremasidan foydalanib, ildizlarni tanlaymiz: ildizlarning yig'indisi teng –r=-6, va ildizlarning mahsuloti ga teng q=8. Bu raqamlar -4 Va -2 .

Aslida: -4-2=-6=-r; -4∙(-2)=8=q. Javob: -4; -2.

3-misol) x 2 +2x-4=0. Bu qisqartirilgan kvadrat tenglamada ikkinchi koeffitsient p=2, va bepul a'zo q=-4. Keling, diskriminantni topamiz D 1, chunki ikkinchi koeffitsient juft sondir. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant sonning mukammal kvadrati emas, shuning uchun biz shunday qilamiz xulosa: Ushbu tenglamaning ildizlari butun sonlar emas va Viet teoremasi yordamida topilmaydi. Bu shuni anglatadiki, biz ushbu tenglamani odatdagidek formulalar yordamida hal qilamiz (in Ushbu holatda formulalar bo'yicha). Biz olamiz:

4-misol). Agar ildizlaridan foydalanib kvadrat tenglamani yozing x 1 =-7, x 2 =4.

Yechim. Kerakli tenglama quyidagi shaklda yoziladi: x 2 +px+q=0, va, Veta teoremasi asosida –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi: x 2 +3x-28=0.

5-misol). Kvadrat tenglamani ildizlaridan foydalanib yozing, agar:

II. Vyeta teoremasi to'liq kvadrat tenglama uchun ax 2 +bx+c=0.

Ildizlarning yig'indisi minus b, tomonidan bo'linadi A, ildizlarning mahsuloti ga teng Bilan, tomonidan bo'linadi A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

6-misol). Kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping 2x 2 -7x-11=0.

Yechim.

Ushbu tenglamaning ildizlari bo'lishiga ishonch hosil qilamiz. Buning uchun diskriminant uchun ifoda yaratish kifoya va uni hisoblamasdan, diskriminant noldan katta ekanligiga ishonch hosil qilish kifoya. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Endi foydalanamiz teorema Vyeta to'liq kvadrat tenglamalar uchun.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

7-misol). Kvadrat tenglamaning ildizlari ko‘paytmasini toping 3x 2 +8x-21=0.

Yechim.

Keling, diskriminantni topamiz D 1, ikkinchi koeffitsientdan beri ( 8 ) juft sondir. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadrat tenglama mavjud 2 ildiz, Veta teoremasiga ko'ra, ildizlarning hosilasi x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– umumiy kvadrat tenglama

Diskriminant D=b 2 - 4ac.

Agar D>0, keyin bizda ikkita haqiqiy ildiz bor:

Agar D=0, keyin bizda bitta ildiz (yoki ikkita teng ildizlar) x=-b/(2a).

Agar D<0, то действительных корней нет.

Misol 1) 2x 2 +5x-3=0.

Yechim. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 haqiqiy ildiz.

4x 2 +21x+5=0.

Yechim. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 haqiqiy ildiz.

II. ax 2 +bx+c=0 – muayyan shakldagi kvadrat tenglama hatto ikkinchi bilan

koeffitsienti b

Misol 3) 3x 2 -10x+3=0.

Yechim. a=3; b=-10 (juft raqam); c=3.

4-misol) 5x 2 -14x-3=0.

Yechim. a=5; b= -14 (juft raqam); c=-3.

5-misol) 71x 2 +144x+4=0.

Yechim. a=71; b=144 (juft raqam); c=4.

6-misol) 9x 2 -30x+25=0.

Yechim. a=9; b=-30 (juft raqam); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – kvadrat tenglama xususiy turi taqdim etiladi: a-b+c=0.

Birinchi ildiz har doim minus birga, ikkinchi ildiz esa har doim minusga teng Bilan, tomonidan bo'linadi A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

7-misol) 2x 2 +9x+7=0.

Yechim. a=2; b=9; c=7. Keling, tenglikni tekshiramiz: a-b+c=0. Biz olamiz: 2-9+7=0 .

Keyin x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Javob: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – bo'ysunadigan muayyan shakldagi kvadrat tenglama : a+b+c=0.

Birinchi ildiz har doim birga, ikkinchi ildiz esa teng Bilan, tomonidan bo'linadi A:

x 1 =1, x 2 =c/a.

8-misol) 2x 2 -9x+7=0.

Yechim. a=2; b=-9; c=7. Keling, tenglikni tekshiramiz: a+b+c=0. Biz olamiz: 2-9+7=0 .

Keyin x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Javob: 1; 3,5.

1 sahifadan 1 1

7-sinf matematika kursida biz birinchi marta uchrashamiz ikki o'zgaruvchili tenglamalar, lekin ular faqat ikkita noma’lumli tenglamalar sistemasi kontekstida o‘rganiladi. Shuning uchun u ko'zdan tushib qoladi butun chiziq ularni cheklovchi tenglama koeffitsientlari bo'yicha ma'lum shartlar kiritilgan masalalar. Bundan tashqari, “Natural yoki butun sonlardagi tenglamani yechish” kabi masalalarni yechish usullari ham e’tiborga olinmaydi. Yagona davlat imtihon materiallari va yana kirish imtihonlari Bunday muammolar tobora keng tarqalgan.

Qaysi tenglama ikki o‘zgaruvchili tenglama deb ataladi?

Demak, masalan, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 yoki xy = 12 tenglamalari ikkita o'zgaruvchidagi tenglamalardir.

2x - y = 1 tenglamasini ko'rib chiqing. Bu x = 2 va y = 3 bo'lganda to'g'ri bo'ladi, shuning uchun bu o'zgaruvchan qiymatlar juftligi ko'rib chiqilayotgan tenglamaning yechimidir.

Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan har qanday tenglamaning yechimi tartiblangan juftliklar to'plamidir (x; y), bu tenglamani haqiqiy raqamli tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilar qiymatlari.

Ikki noma'lumli tenglama quyidagicha bo'lishi mumkin:

A) bitta yechim bor. Masalan, x 2 + 5y 2 = 0 tenglama yagona yechimga ega (0; 0);

b) bir nechta echimlarga ega. Masalan, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ning 4 ta yechimi bor: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) yechimlari yo'q. Masalan, x 2 + y 2 + 1 = 0 tenglamaning yechimlari yo'q;

G) cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, x + y = 3. Bu tenglamaning yechimlari yig'indisi 3 ga teng bo'lgan sonlar bo'ladi. Bu tenglamaning yechimlari to'plamini (k; 3 – k) ko'rinishda yozish mumkin, bu erda k har qanday haqiqiydir. raqam.

Ikki oʻzgaruvchili tenglamalarni yechishning asosiy usullari faktoring ifodalariga asoslangan usullar, toʻliq kvadratni ajratib olish, kvadrat tenglama xossalaridan foydalanish, cheklangan ifodalar va baholash usullaridir. Tenglama odatda noma'lumlarni topish tizimini olish mumkin bo'lgan shaklga aylantiriladi.

Faktorizatsiya

1-misol.

Tenglamani yeching: xy – 2 = 2x – y.

Yechim.

Faktorizatsiya qilish uchun shartlarni guruhlaymiz:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Har bir qavsdan umumiy omilni chiqaramiz:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Bizda:

y = 2, x - har qanday haqiqiy son yoki x = -1, y - har qanday haqiqiy son.

Shunday qilib, javob (x; 2), x € R va (-1; y), y € R shaklidagi barcha juftliklardir.

Nolga teng emas manfiy raqamlar

2-misol.

Tenglamani yeching: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Yechim.

Guruhlash:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Endi har bir qavs kvadrat ayirma formulasi yordamida buklanishi mumkin.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Ikki manfiy bo'lmagan ifodaning yig'indisi faqat 3x – 2 = 0 va 2y – 3 = 0 bo'lganda nolga teng.

Bu x = 2/3 va y = 3/2 degan ma'noni anglatadi.

Javob: (2/3; 3/2).

Baholash usuli

3-misol.

Tenglamani yeching: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Yechim.

Har bir qavsda biz to'liq kvadratni tanlaymiz:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hisoblaymiz qavs ichidagi iboralarning ma'nosi.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 va (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, u holda tenglamaning chap tomoni har doim kamida 2 bo'ladi. Tenglik mumkin, agar:

(x + 1) 2 + 1 = 1 va (y – 2) 2 + 2 = 2, bu x = -1, y = 2 ni bildiradi.

Javob: (-1; 2).

Ikkinchi darajali ikkita o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning yana bir usuli bilan tanishamiz. Bu usul tenglamani shunday ko'rib chiqishdan iborat ba'zi o'zgaruvchilarga nisbatan kvadrat.

4-misol.

Tenglamani yeching: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Yechim.

Tenglamani x uchun kvadrat tenglama sifatida yechamiz. Diskriminantni topamiz:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Tenglama faqat D = 0 bo'lganda, ya'ni y = 4 bo'lganda yechimga ega bo'ladi. Dastlabki tenglamaga y ning qiymatini almashtiramiz va x = 3 ekanligini topamiz.

Javob: (3; 4).

Ko'pincha ikkita noma'lum tenglamalarda ular ko'rsatiladi o'zgaruvchilarga cheklovlar.

5-misol.

Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Yechim.

Tenglamani x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ko'rinishida qayta yozamiz. Hosil bo'lgan tenglamaning o'ng tomoni 5 ga bo'linganda 2 qoldiqni beradi. Demak, x 2 5 ga bo'linmaydi. Lekin a ning kvadrati 5 ga bo'linmaydigan son 1 yoki 4 qoldiqni beradi. Shunday qilib, tenglik mumkin emas va hech qanday yechim yo'q.

Javob: ildiz yo'q.

6-misol.

Tenglamani yeching: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Yechim.

Keling, har bir qavsdagi to'liq kvadratlarni ajratib ko'rsatamiz:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Chap tomon tenglama har doim 3 dan katta yoki teng. |x| shartida tenglik mumkin – 2 = 0 va y + 3 = 0. Shunday qilib, x = ± 2, y = -3.

Javob: (2; -3) va (-2; -3).

7-misol.

Tenglamani qanoatlantiradigan har bir manfiy butun (x;y) juftligi uchun
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, yig'indini hisoblang (x + y). Iltimos, javobingizda eng kichik miqdorni ko'rsating.

Yechim.

To'liq kvadratlarni tanlaymiz:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. X va y butun sonlar ekan, ularning kvadratlari ham butun sonlardir. Agar 1 + 36 ni qo'shsak, ikkita butun sonning kvadratlari yig'indisi 37 ga teng bo'ladi. Shuning uchun:

(x – y) 2 = 36 va (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 va (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemalarni yechib, x va y manfiy ekanligini hisobga olib, yechimlarni topamiz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Javob: -17.

Ikki noma’lumli tenglamalarni yechishda qiynalayotgan bo‘lsangiz, tushkunlikka tushmang. Bir oz mashq qilsangiz, har qanday tenglamani boshqarishingiz mumkin.

Hali ham savollaringiz bormi? Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni qanday yechish kerakligini bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Onlayn tenglamalarni yechish xizmati har qanday tenglamani yechishga yordam beradi. Bizning saytimizdan foydalanib, siz nafaqat tenglamaga javob olasiz, balki ko'rasiz batafsil yechim, ya'ni natijani olish jarayonini bosqichma-bosqich ko'rsatish. Bizning xizmatimiz o'rta maktab o'quvchilari uchun foydali bo'ladi o'rta maktablar va ularning ota-onalari. O‘quvchilar test va imtihonlarga tayyorgarlik ko‘rishlari, bilimlarini sinab ko‘rishlari, ota-onalar esa o‘z farzandlari tomonidan matematik tenglamalarni yechishlarini nazorat qilishlari mumkin bo‘ladi. Tenglamalarni yechish qobiliyati - majburiy talab maktab o'quvchilariga. Xizmat sizga matematik tenglamalar sohasidagi bilimlaringizni oshirishga yordam beradi. Uning yordami bilan istalgan tenglamani yechish mumkin: kvadratik, kubik, irratsional, trigonometrik va hokazo. Foydasi onlayn xizmat va bebahodir, chunki to'g'ri javobdan tashqari siz har bir tenglamaning batafsil yechimini olasiz. Onlayn tenglamalarni yechishning afzalliklari. Bizning veb-saytimizda har qanday tenglamani mutlaqo bepul onlayn tarzda hal qilishingiz mumkin. Xizmat to'liq avtomatik, kompyuteringizga hech narsa o'rnatishingiz shart emas, faqat ma'lumotlarni kiritishingiz kerak va dastur sizga yechim beradi. Hisob-kitoblardagi har qanday xatolar yoki matn terish xatolari bundan mustasno. Bizda har qanday tenglamani onlayn yechish juda oson, shuning uchun har qanday tenglamalarni yechish uchun bizning saytimizdan foydalaning. Siz faqat ma'lumotlarni kiritishingiz kerak va hisoblash bir necha soniya ichida yakunlanadi. Dastur mustaqil ravishda, inson aralashuvisiz ishlaydi va siz aniq va batafsil javob olasiz. Tenglamani yechish umumiy ko'rinish. Bunday tenglamada o'zgaruvchan koeffitsientlar va kerakli ildizlar bir-biriga bog'langan. O'zgaruvchining eng yuqori kuchi bunday tenglamaning tartibini belgilaydi. Shunga asoslanib, tenglamalar uchun foydalaning turli usullar va yechimlarni topish uchun teoremalar. Tenglamalarni yechish bu turdagi umumiy shaklda kerakli ildizlarni topishni bildiradi. Bizning xizmatimiz hatto eng murakkab algebraik tenglamani ham onlayn tarzda yechish imkonini beradi. Siz tenglamaning umumiy yechimini ham, siz ko'rsatgan koeffitsientlarning raqamli qiymatlari uchun ma'lum birini ham olishingiz mumkin. Veb-saytda algebraik tenglamani yechish uchun faqat ikkita maydonni to'g'ri to'ldirish kifoya: chap va o'ng tomonlar. berilgan tenglama. U algebraik tenglamalar o'zgaruvchan koeffitsientlar bilan cheksiz ko'p echimlar mavjud va muayyan shartlarni o'rnatish orqali yechimlar to'plamidan xususiylar tanlanadi. Kvadrat tenglama. Kvadrat tenglama a>0 uchun ax^2+bx+c=0 ko'rinishga ega. Kvadrat tenglamalarni yechish ax^2+bx+c=0 tengligi bajariladigan x ning qiymatlarini topishni o‘z ichiga oladi. Buning uchun D=b^2-4ac formulasi yordamida diskriminant qiymati topiladi. Agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q (ildizlar kompleks sonlar maydonidan), agar u nolga teng bo'lsa, unda tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo'ladi va diskriminant noldan katta bo'lsa. , u holda tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'lib, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi: D = -b+-sqrt/2a. Kvadrat tenglamani onlayn yechish uchun tenglamaning koeffitsientlarini (butun sonlar, kasrlar yoki o'nli kasrlar) kiritish kifoya. Agar tenglamada ayirish belgilari mavjud bo'lsa, tenglamaning tegishli shartlari oldiga minus belgisini qo'yish kerak. Parametrga, ya'ni tenglama koeffitsientlaridagi o'zgaruvchilarga qarab kvadrat tenglamani onlayn tarzda yechish mumkin. Topish uchun onlayn xizmatimiz umumiy yechimlar. Chiziqli tenglamalar. Yechimlar uchun chiziqli tenglamalar(yoki tenglamalar tizimi) amaliyotda to'rtta asosiy usul qo'llaniladi. Biz har bir usulni batafsil bayon qilamiz. O'zgartirish usuli. Tenglamalarni almashtirish usuli yordamida yechish uchun bir o‘zgaruvchini boshqalari bilan ifodalash kerak bo‘ladi. Shundan so'ng, ifoda tizimning boshqa tenglamalariga almashtiriladi. Demak, yechim usulining nomi, ya'ni o'zgaruvchi o'rniga uning ifodasi qolgan o'zgaruvchilar orqali almashtiriladi. Amalda, usul talab qiladi murakkab hisob-kitoblar, tushunish oson bo'lsa-da, shuning uchun bunday tenglamani onlayn hal qilish vaqtni tejashga yordam beradi va hisob-kitoblarni osonlashtiradi. Siz shunchaki tenglamadagi noma'lumlar sonini ko'rsatishingiz va chiziqli tenglamalardan ma'lumotlarni to'ldirishingiz kerak, keyin xizmat hisob-kitob qiladi. Gauss usuli. Usul ekvivalent uchburchak sistemaga erishish uchun tizimning eng oddiy o'zgarishlariga asoslanadi. Undan noma'lumlar birma-bir aniqlanadi. Amalda, bunday tenglamani onlayn tarzda yechish talab qilinadi batafsil tavsif, buning yordamida siz chiziqli tenglamalar tizimini echishning Gauss usulini yaxshi tushunasiz. Chiziqli tenglamalar tizimini to'g'ri formatda yozing va tizimni to'g'ri yechish uchun noma'lumlar sonini hisobga oling. Kramer usuli. Bu usul sistemaning yagona yechimiga ega bo'lgan hollarda tenglamalar tizimini yechadi. Bu erda asosiy matematik harakat matritsa determinantlarini hisoblashdir. Cramer usuli yordamida tenglamalarni echish onlayn tarzda amalga oshiriladi, siz to'liq va batafsil tavsif bilan natijani darhol olasiz. Tizimni koeffitsientlar bilan to'ldirish va noma'lum o'zgaruvchilar sonini tanlash kifoya. Matritsa usuli. Bu usul A matritsadagi noma’lumlar koeffitsientlarini X ustundagi noma’lumlar va B ustunidagi erkin hadlarni yig’ishdan iborat. Shunday qilib chiziqli tenglamalar sistemasi AxX = B ko’rinishdagi matritsa tenglamasiga keltiriladi. Bu tenglama faqat A matritsaning determinanti noldan farq qilsagina yagona yechimga ega bo‘ladi, aks holda sistemada yechimlar yo‘q yoki cheksiz sonli yechimlar mavjud bo‘ladi. Matritsa usuli yordamida tenglamalarni yechish teskari A matritsasini topishni o‘z ichiga oladi.

Biz sizning e'tiboringizga taqdim etayotgan bepul kalkulyatorda boy imkoniyatlar arsenaliga ega matematik hisoblar. Bu sizga onlayn kalkulyatordan foydalanish imkonini beradi turli sohalar tadbirlar: tarbiyaviy, professional Va tijorat. Albatta, onlayn kalkulyatordan foydalanish ayniqsa mashhur talabalar Va maktab o'quvchilari, bu ularga turli xil hisob-kitoblarni bajarishni ancha osonlashtiradi.

Shu bilan birga, kalkulyator ham bo'lishi mumkin foydali vosita biznesning ayrim sohalarida va odamlar uchun turli kasblar. Albatta, biznesda kalkulyatordan foydalanish zarurati yoki mehnat faoliyati birinchi navbatda faoliyat turining o'zi bilan belgilanadi. Agar biznes va kasb-hunar bilan bog'liq bo'lsa doimiy hisob-kitoblar va hisob-kitoblar, keyin elektron kalkulyatorni sinab ko'rish va uning muayyan ish uchun foydalilik darajasini baholashga arziydi.

Bu onlayn kalkulyator mumkin

• Bir qatorda yozilgan standart matematik funktsiyalarni to'g'ri bajaring, masalan: 12*3-(7/2) va biz onlayn kalkulyatorda juda katta raqamlarni sanashimiz mumkin bo'lgan raqamlarni qayta ishlashimiz mumkin. 34 ta belgi bor va bu umuman chegara emas).
• Bundan tashqari tangens, kosinus, sinus va boshqa standart funktsiyalar - kalkulyator hisoblash operatsiyalarini qo'llab-quvvatlaydi arktangent, arkkotangent va boshqalar.
• Arsenalda mavjud logarifmlar, faktoriallar va boshqa qiziqarli xususiyatlar
• Bu onlayn kalkulyator grafiklarni qurishni biladi!!!

Grafiklarni chizish uchun xizmat maxsus tugma (grafik kul rangda chizilgan) yoki ushbu funktsiyaning harfli tasviridan (Plot) foydalanadi. Onlayn kalkulyatorda grafik yaratish uchun funktsiyani yozing: uchastka(tan(x)),x=-360..360.

Biz tangens uchun eng oddiy grafikni oldik va kasr nuqtasidan keyin X o'zgaruvchisining diapazonini -360 dan 360 gacha ko'rsatdik.

Siz mutlaqo har qanday funktsiyani, o'zgaruvchilar soni bilan qurishingiz mumkin, masalan: chizma(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) yoki siz o'ylab topishingiz mumkin bo'lgan yanada murakkabroq. X o'zgaruvchisining xatti-harakatiga e'tibor bering - dan vagacha bo'lgan oraliq ikkita nuqta yordamida ko'rsatilgan.

Buning yagona salbiy tomoni (garchi buni kamchilik deb atash qiyin bo'lsa ham). onlayn kalkulyator Buning sababi shundaki, u sharlar va boshqa uch o'lchamli raqamlarni qanday qurishni bilmaydi - faqat tekislik.

Matematik kalkulyatordan qanday foydalanish kerak

1. Displey (kalkulyator ekrani) qog'ozga yozayotganimizda kiritilgan ifodani va uni hisoblash natijasini oddiy belgilarda aks ettiradi. Bu maydon shunchaki joriy tranzaksiyani ko'rish uchun mo'ljallangan. Kirish qatoriga matematik ifodani kiritganingizda yozuv displeyda paydo bo'ladi.

2. Ifodani kiritish maydoni hisoblanishi kerak bo'lgan ifodani yozib olish uchun mo'ljallangan. Bu erda matematik belgilar ishlatilganligini ta'kidlash kerak kompyuter dasturlari, biz odatda qog'ozda ishlatadigan narsalar bilan har doim ham mos kelavermaydi. Kalkulyatorning har bir funktsiyasining umumiy ko'rinishida siz ma'lum bir operatsiyaning to'g'ri belgilanishini va kalkulyatorda hisob-kitoblarning misollarini topasiz. Quyidagi sahifada kalkulyatordagi barcha mumkin bo'lgan operatsiyalar ro'yxati, shuningdek, ularning to'g'ri yozilishi ko'rsatilgan.

3. Asboblar paneli - bu tegishli amalni ko'rsatuvchi matematik belgilarni qo'lda kiritish o'rnini bosuvchi kalkulyator tugmalari. Ba'zi kalkulyator tugmalari (qo'shimcha funktsiyalar, birlik konvertori, matritsalar va tenglamalarni echish, grafikalar) vazifalar panelini ma'lum bir hisoblash uchun ma'lumotlar kiritilgan yangi maydonlar bilan to'ldiradi. "Tarix" maydonida matematik ifodalarni yozish misollari, shuningdek, so'nggi oltita yozuvingiz mavjud.

E'tibor bering, qo'shimcha funktsiyalarni chaqirish, kattaliklarni o'zgartirish, matritsalar va tenglamalarni echish va grafiklarni chizish tugmalarini bosganingizda, butun kalkulyator paneli yuqoriga siljiydi va displeyning bir qismini qoplaydi. To'liq o'lchamli displeyni ko'rish uchun kerakli maydonlarni to'ldiring va "I" tugmasini bosing (rasmda qizil rang bilan ta'kidlangan).

4. Raqamli klaviaturada raqamlar va arifmetik belgilar mavjud. "C" tugmasi ifoda kiritish maydonidagi barcha yozuvni o'chiradi. Belgilarni birma-bir o'chirish uchun siz kiritish satrining o'ng tomonidagi o'qni ishlatishingiz kerak.

Har doim ifoda oxiridagi qavslarni yopishga harakat qiling. Aksariyat operatsiyalar uchun bu juda muhim emas, onlayn kalkulyator hamma narsani to'g'ri hisoblaydi. Biroq, ba'zi hollarda xatolar paydo bo'lishi mumkin. Misol uchun, kasr darajasiga ko'tarilganda, yopilmagan qavslar ko'rsatkichdagi kasrning maxrajini asosning maxrajiga olib keladi. Yopuvchi qavs displeyda och kulrang rangda ko'rsatilgan va yozib olish tugallangandan keyin yopilishi kerak.