Yechim nok topishga tushadi. Eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) - ta'rif, misollar va xususiyatlar

Ikki yoki undan ortiq sonning eng katta umumiy boʻluvchisini topishni oʻrganish uchun tabiiy, tub va murakkab sonlar nima ekanligini tushunishingiz kerak.

Natural son - bu butun ob'ektlarni hisoblash uchun ishlatiladigan har qanday son.

Agar natural sonni faqat o'ziga va bittaga bo'lish mumkin bo'lsa, u tub son deyiladi.

Barcha natural sonlarni o'ziga va bittaga bo'lish mumkin, lekin yagona juft tub son 2 ga teng, qolgan barcha sonlarni ikkiga bo'lish mumkin. Shuning uchun faqat toq sonlar tub bo'lishi mumkin.

Ko'p tub sonlar mavjud to'liq ro'yxat ular mavjud emas. GCDni topish uchun bunday raqamlar bilan maxsus jadvallardan foydalanish qulay.

Ko'pchilik natural sonlar faqat bittaga, o'ziga emas, balki boshqa raqamlarga ham bo'linishi mumkin. Shunday qilib, masalan, 15 raqamini 3 va 5 ga bo'lish mumkin. Ularning barchasi 15 sonining bo'luvchilari deb ataladi.

Shunday qilib, har qanday A ning bo'luvchisi uni qoldiqsiz bo'lish mumkin bo'lgan sondir. Agar sonda ikkitadan ortiq tabiiy omillar bo'lsa, u kompozitsion deyiladi.

30 soni 1, 3, 5, 6, 15, 30 kabi bo'luvchilarga ega bo'lishi mumkin.

Siz 15 va 30 sonining 1, 3, 5, 15 bo'luvchilari bir xil ekanligini ko'rasiz. Bu ikki sonning eng katta umumiy bo'luvchisi 15 dir.

Shunday qilib, A va B sonlarining umumiy bo'luvchisi ularni to'liq bo'lish mumkin bo'lgan sondir. Eng kattasini maksimal deb hisoblash mumkin umumiy soni, ular bo'linishi mumkin.

Muammolarni hal qilish uchun quyidagi qisqartirilgan yozuv ishlatiladi:

GCD (A; B).

Masalan, gcd (15; 30) = 30.

Natural sonning barcha bo'luvchilarini yozish uchun quyidagi yozuvdan foydalaning:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

Bu misolda natural sonlar faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega. Ular nisbatan tub deb ataladi, shuning uchun birlik ularning eng katta umumiy bo'luvchisidir.

Raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini qanday topish mumkin

Bir nechta raqamlarning gcd ni topish uchun sizga kerak bo'ladi:

Har bir natural sonning barcha bo‘luvchilarini alohida toping, ya’ni ularni ko‘paytiruvchi (tut sonlar)ga ko‘paytiring;

Berilgan raqamlarning barcha bir xil omillarini tanlang;

Ularni birga ko'paytiring.

Masalan, 30 va 56 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisini hisoblash uchun siz quyidagilarni yozasiz:

Chalkashmaslik uchun vertikal ustunlar yordamida omillarni yozish qulay. Chiziqning chap tomonida siz dividendni, o'ng tomonda esa bo'linuvchini joylashtirishingiz kerak. Dividend ostida siz natijani ko'rsatishingiz kerak.

Shunday qilib, o'ng ustunda yechim uchun zarur bo'lgan barcha omillar bo'ladi.

Qulaylik uchun bir xil bo'luvchilarni (topilgan omillar) tagiga chizish mumkin. Ularni qayta yozish va ko'paytirish va eng katta umumiy bo'luvchini yozish kerak.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Bu raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini topish qanchalik oson. Agar siz ozgina mashq qilsangiz, buni deyarli avtomatik ravishda qilishingiz mumkin.

Eng katta umumiy boʻluvchi va eng kichik umumiy koʻpaytmalar oson ishlash imkonini beruvchi asosiy arifmetik tushunchalardir. oddiy kasrlar. LCM va ko'pincha bir nechta kasrlarning umumiy maxrajini topish uchun ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

X butun sonining bo'luvchisi boshqa butun Y son bo'lib, X qoldiq qoldirmasdan bo'linadi. Masalan, 4 ning bo‘luvchisi 2 ga, 36 soni esa 4, 6, 9 ga teng. X butun sonining ko‘paytmasi X ga qoldiqsiz bo‘linadigan Y sondir. Masalan, 3 soni 15 ga, 6 soni esa 12 ga karrali.

Har qanday son juftligi uchun ularning umumiy boʻluvchi va koʻpaytiruvchilarini topishimiz mumkin. Misol uchun, 6 va 9 uchun umumiy ko'paytma 18, umumiy bo'luvchi 3. Shubhasiz, juftliklar bir nechta bo'luvchi va ko'paytmalarga ega bo'lishi mumkin, shuning uchun hisob-kitoblarda eng katta bo'luvchi GCD va eng kichik ko'p LCM ishlatiladi.

Eng kichik bo'luvchi ma'nosiz, chunki har qanday raqam uchun u har doim bitta bo'ladi. Eng katta ko'paytma ham ma'nosizdir, chunki ko'paytmalar ketma-ketligi cheksizlikka boradi.

gcd topilmoqda

Eng katta umumiy bo'luvchini topishning ko'plab usullari mavjud, ulardan eng mashhurlari:

• bo'luvchilarni ketma-ket qidirish, juftlik uchun umumiylarni tanlash va ulardan eng kattasini qidirish;
• sonlarni bo'linmas ko'rsatkichlarga ajratish;
• Evklid algoritmi;
• ikkilik algoritm.

Bugun soat ta'lim muassasalari Eng mashhurlari asosiy faktorizatsiya usullari va Evklid algoritmidir. Ikkinchisi, o'z navbatida, Diofantin tenglamalarini echishda qo'llaniladi: GCD ni izlash tenglamani butun sonlarda aniqlash imkoniyatini tekshirish uchun talab qilinadi.

MOKni topish

Eng kichik umumiy ko'paytma ham ketma-ket sanash yoki bo'linmaydigan omillarga ajratish yo'li bilan aniqlanadi. Bundan tashqari, agar eng katta bo'luvchi allaqachon aniqlangan bo'lsa, LCMni topish oson. X va Y raqamlari uchun LCM va GCD quyidagi munosabat bilan bog'lanadi:

LCD (X, Y) = X × Y / GCD (X, Y).

Misol uchun, agar GCM(15,18) = 3 bo'lsa, u holda LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM dan foydalanishning eng aniq misoli umumiy maxrajni topishdir, bu umumiy maxrajning eng kichik umumiy karralisidir. berilgan kasrlar.

Koʻpaytirish raqamlari

Agar juft sonning umumiy boʻluvchilari boʻlmasa, bunday juftlik koʻp sonli son deyiladi. Bunday juftliklar uchun gcd har doim birga teng bo'ladi va bo'linuvchilar va ko'paytmalar orasidagi bog'lanishga asoslanib, ko'plab juftliklar uchun gcd ularning mahsulotiga teng bo'ladi. Masalan, 25 va 28 raqamlari nisbatan tub sonlardir, chunki ularning umumiy boʻluvchilari yoʻq va LCM(25, 28) = 700, bu ularning hosilasiga toʻgʻri keladi. Har qanday ikkita bo'linmas son har doim nisbatan tub bo'ladi.

Umumiy bo'luvchi va ko'p sonli kalkulyator

Kalkulyatorimizdan foydalanib, siz tanlagan raqamlarning ixtiyoriy soni uchun GCD va LCM ni hisoblashingiz mumkin. Umumiy bo‘luvchilar va ko‘paytiruvchilarni hisoblash bo‘yicha topshiriqlar 5 va 6-sinf arifmetikasida uchraydi, lekin GCD va LCM matematikaning asosiy tushunchalari bo‘lib, sonlar nazariyasi, planimetriya va kommunikativ algebrada qo‘llaniladi.

Haqiqiy hayot misollari

Kasrlarning umumiy maxraji

Ko'p kasrning umumiy maxrajini topishda eng kichik umumiy ko'paytma ishlatiladi. Aytaylik, arifmetik masalada siz 5 ta kasrni yig'ishingiz kerak:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Kasrlarni qo'shish uchun ifodani qisqartirish kerak umumiy maxraj, bu LCMni topish muammosini kamaytiradi. Buning uchun kalkulyatorda 5 ta raqamni tanlang va tegishli katakchalarga denominatorlarning qiymatlarini kiriting. Dastur LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ni hisoblab chiqadi. Endi siz har bir kasr uchun LCM ning maxrajga nisbati sifatida aniqlanadigan qo'shimcha omillarni hisoblashingiz kerak. Shunday qilib, qo'shimcha ko'paytirgichlar quyidagicha ko'rinadi:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Shundan so'ng, biz barcha kasrlarni tegishli qo'shimcha omilga ko'paytiramiz va olamiz:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Biz bunday kasrlarni osongina yig'ishimiz va natijani 159/360 sifatida olishimiz mumkin. Biz kasrni 3 ga kamaytiramiz va yakuniy javobni ko'ramiz - 53/120.

Chiziqli diofant tenglamalarini yechish

Chiziqli diofant tenglamalari ax + by = d ko'rinishdagi ifodalardir. Agar d / gcd(a, b) nisbati butun son bo'lsa, u holda tenglama butun sonlarda echiladi. Keling, bir nechta tenglamalarni tekshirib ko'ramiz, ularda butun sonli yechim bormi. Birinchidan, 150x + 8y = 37 tenglamasini tekshiramiz. Kalkulyator yordamida biz GCD (150,8) = 2 ni topamiz. 37/2 = 18,5 ni ajratamiz. Raqam butun son emas, shuning uchun tenglamada butun son ildizlari yo'q.

1320x + 1760y = 10120 tenglamasini tekshirib ko'ramiz. GCD(1320, 1760) = 440 ni topish uchun kalkulyatordan foydalaning. 10120/440 = 23 ni bo'ling. Natijada, biz butun sonni olamiz, shuning uchun diophantine koeffitsienti ineffitsientdir. .

Xulosa

GCD va LCM raqamlar nazariyasida katta rol o'ynaydi va tushunchalarning o'zi eng ko'p qo'llaniladi turli hududlar matematika. Har qanday sonning eng katta bo'luvchilarini va eng kichik karralarini hisoblash uchun kalkulyatorimizdan foydalaning.

Eng katta umumiy bo'luvchi

Ta'rif 2

Agar natural a soni $b$ natural soniga boʻlinadigan boʻlsa, $b$ $a$ ning boʻluvchisi, $a$ esa $b$ ning karrali deb ataladi.

$a$ va $b$ natural sonlar boʻlsin. $c$ soni $a$ va $b$ ning umumiy boʻluvchisi deyiladi.

$a$ va $b$ sonlarining umumiy boʻluvchilari toʻplami cheklangan, chunki bu boʻluvchilarning hech biri $a$ dan katta boʻla olmaydi. Bu shuni anglatadiki, bu bo'luvchilar orasida eng kattasi mavjud bo'lib, u $a$ va $b$ sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi deb ataladi va quyidagi belgi bilan belgilanadi:

$GCD\(a;b)\ yoki \D\(a;b)$

Ikki sonning eng katta umumiy boʻluvchisini topish uchun sizga kerak boʻladi:

1. 2-bosqichda topilgan raqamlarning ko'paytmasini toping. Olingan son kerakli eng katta umumiy bo'luvchi bo'ladi.

1-misol

$121$ va $132.$ sonlarining gcd ni toping

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Ushbu raqamlarni kengaytirishga kiritilgan raqamlarni tanlang

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2-bosqichda topilgan raqamlarning ko'paytmasini toping. Olingan son kerakli eng katta umumiy bo'luvchi bo'ladi.

$GCD=2\cdot 11=22$

2-misol

$63$ va $81$ monomiallarining gcd ni toping.

Taqdim etilgan algoritmga muvofiq topamiz. Buning uchun:

Raqamlarni tub omillarga aylantiramiz

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Biz bu raqamlarni kengaytirishga kiritilgan raqamlarni tanlaymiz

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2-bosqichda topilgan sonlarning ko'paytmasini topamiz. Olingan son kerakli eng katta umumiy bo'luvchi bo'ladi.

$GCD=3\cdot 3=9$

Raqamlarning bo'linuvchilari to'plamidan foydalanib, ikkita raqamning gcd ni boshqa yo'l bilan topishingiz mumkin.

3-misol

$48$ va $60$ raqamlarining gcd ni toping.

Yechim:

$48$ sonining boʻluvchilar toʻplamini topamiz: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Endi $60$ sonining bo'luvchilar to'plamini topamiz:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Ushbu to'plamlarning kesishishini topamiz: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu to'plam $48$ va $60 sonlarining umumiy bo'luvchilari to'plamini aniqlaydi. $. Eng katta element berilgan to'plam raqam $12$ bo'ladi. Bu $48$ va $60$ sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi $12$ ekanligini anglatadi.

NPL ta'rifi

Ta'rif 3

Natural sonlarning umumiy karralari$a$ va $b$ - bu $a$ va $b$ ning koʻpaytmasi boʻlgan natural son.

Raqamlarning umumiy ko'paytmalari asl sonlarga qoldiqsiz bo'linadigan raqamlardir, masalan, $25$ va $50$ raqamlari uchun umumiy ko'paytmalar $50,100,150,200$ va hokazo bo'ladi.

Eng kichik umumiy karrali eng kichik umumiy karra deb ataladi va LCM$(a;b)$ yoki K$(a;b) $ bilan belgilanadi.

Ikki raqamning LCM ni topish uchun sizga kerak:

1. Komil sonlarni tub omillarga aylantirish
2. Birinchi raqamning bir qismi bo'lgan omillarni yozing va ularga ikkinchisining bir qismi bo'lgan va birinchisiga kirmaydigan omillarni qo'shing.

4-misol

$99$ va $77$ raqamlarining LCM ni toping.

Taqdim etilgan algoritmga muvofiq topamiz. Buning uchun

Komil sonlarni tub omillarga aylantirish

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Birinchisiga kiritilgan omillarni yozing

ularga ikkinchisining bir qismi bo'lgan va birinchisining bir qismi bo'lmagan ko'paytirgichlarni qo'shing

2-bosqichda topilgan raqamlarning ko'paytmasini toping. Olingan son kerakli eng kichik umumiy karrali bo'ladi

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Raqamlarning bo'linuvchilari ro'yxatini tuzish ko'pincha juda ko'p mehnat talab qiladigan ishdir. GCD ni topishning Evklid algoritmi deb ataladigan usuli mavjud.

Evklid algoritmi asoslangan bayonotlar:

Agar $a$ va $b$ natural sonlar va $a\vdots b$ boʻlsa, $D(a;b)=b$

Agar $a$ va $b$ natural sonlar boʻlsa, $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ dan foydalanib, biz ko'rib chiqilayotgan sonlarni bir juft songa yetguncha ketma-ket kamaytirishimiz mumkin, shunda ulardan biri ikkinchisiga bo'linadi. Shunda bu sonlarning kichigi $a$ va $b$ raqamlari uchun kerakli eng katta umumiy boʻluvchi boʻladi.

GCD va LCM xususiyatlari

1. Har qanday umumiy karrali $a$ va $b$ K$(a;b)$ ga boʻlinadi
2. Agar $a\vdots b$ bo'lsa, K$(a;b)=a$

Agar K$(a;b)=k$ va $m$ natural son boʻlsa, K$(am;bm)=km$

Agar $d$ $a$ va $b$ uchun umumiy boʻluvchi boʻlsa, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Agar $a\vdots c$ va ​​$b\vdots c$ boʻlsa, $\frac(ab)(c)$ $a$ va $b$ ning umumiy karrali boʻladi.

Har qanday $a$ va $b$ natural sonlari uchun tenglik amal qiladi

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ va $b$ sonlarining har qanday umumiy boʻluvchisi $D(a;b)$ sonining boʻluvchisidir.

LCMni qanday hisoblashni tushunish uchun avval "bir nechta" atamasining ma'nosini aniqlashingiz kerak.

A ning ko'paytmasi - A ga qoldiqsiz bo'linadigan natural son Shunday qilib, 5 ga karrali sonlarni 15, 20, 25 va hokazo deb hisoblash mumkin.

Muayyan sonning cheklangan miqdordagi bo'luvchilari bo'lishi mumkin, lekin cheksiz ko'p sonli ko'paytmalar mavjud.

Natural sonlarning umumiy karrali deb ularga qoldiq qoldirmasdan boʻlinadigan songa aytiladi.

Raqamlarning eng kichik umumiy karralisini qanday topish mumkin

Raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM) (ikki, uch yoki undan ortiq) bu barcha raqamlarga bo'linadigan eng kichik natural sondir.

LOCni topish uchun siz bir nechta usullardan foydalanishingiz mumkin.

Kichik raqamlar uchun bu raqamlarning barcha ko'paytmalarini ular orasida umumiy narsani topmaguningizcha bir qatorga yozish qulay. Koʻpaytmalar bosh K harfi bilan belgilanadi.

Masalan, 4 ning karralari quyidagicha yozilishi mumkin:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Shunday qilib, siz 4 va 6 sonlarining eng kichik umumiy karrali 24 raqami ekanligini ko'rishingiz mumkin. Bu belgi quyidagicha amalga oshiriladi:

LCM(4, 6) = 24

Agar raqamlar katta bo'lsa, uchta yoki undan ko'p sonning umumiy ko'paytmasini toping, keyin LCMni hisoblashning boshqa usulini qo'llash yaxshiroqdir.

Topshiriqni bajarish uchun berilgan sonlarni tub omillarga ko‘paytirish kerak.

Avval siz eng katta raqamning parchalanishini chiziqqa yozishingiz kerak, va uning ostida - qolganlari.

Har bir raqamning kengayishida bo'lishi mumkin turli miqdor multiplikatorlar.

Masalan, 50 va 20 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz.

Kichikroq sonni kengaytirishda birinchisining kengayishida mavjud bo'lmagan omillarni ta'kidlash kerak. katta raqam, va keyin ularni unga qo'shing. Taqdim etilgan misolda ikkitasi yo'q.

Endi siz 20 va 50 ning eng kichik umumiy karrasini hisoblashingiz mumkin.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Ha, ish asosiy omillar katta son va ikkinchi sonning katta sonni kengaytirishga kiritilmagan omillari eng kichik umumiy ko'paytma bo'ladi.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish uchun, avvalgi holatda bo'lgani kabi, ularning barchasini tub omillarga kiritishingiz kerak.

Misol tariqasida 16, 24, 36 sonlarining eng kichik umumiy karralini topishingiz mumkin.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Shunday qilib, o'n oltining kengayishidan faqat ikkita ikkitasi kattaroq sonning faktorizatsiyasiga kiritilmagan (biri yigirma to'rtning kengayishida).

Shunday qilib, ular ko'proq sonni kengaytirishga qo'shilishi kerak.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Eng kichik umumiy ko'paytmani aniqlashning alohida holatlari mavjud. Demak, agar sonlardan birini qoldiqsiz boshqasiga bo‘lish mumkin bo‘lsa, bu sonlarning kattasi eng kichik umumiy karrali bo‘ladi.

Misol uchun, o'n ikki va yigirma to'rtning LCM yigirma to'rtta.

Agar siz bir-birining eng kichik umumiy karrasini topishingiz kerak bo'lsa tub sonlar, ular bir xil bo'luvchilarga ega bo'lmasa, ularning LCM ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Masalan, LCM (10, 11) = 110.

Ko'p bo'linuvchilar

Keling, quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: 140 sonining bo'luvchisini toping. Shubhasiz, 140 sonining bir emas, balki bir nechta bo'luvchisi bor. Bunday hollarda muammo borligi aytiladi bir guruh qarorlar. Keling, ularning barchasini topamiz. Avvalo, bu raqamni oddiy omillarga ajratamiz:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Endi biz barcha bo'luvchilarni osongina yozib olamiz. Keling, asosiy omillardan, ya'ni yuqorida keltirilgan kengayishda mavjud bo'lganlardan boshlaylik:

Keyin tub bo'luvchilarni juft ko'paytirish yo'li bilan olinganlarni yozamiz:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Keyin - uchta asosiy bo'luvchini o'z ichiga olganlar:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Va nihoyat, birlik va parchalangan raqamning o'zini unutmasligimiz kerak:

Biz topgan barcha bo'luvchilar shakl bir guruh jingalak qavslar yordamida yoziladigan 140 raqamining bo'luvchilari:

140 sonining bo'luvchilari to'plami =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Idrok qilish qulayligi uchun biz bu erda bo'luvchilarni yozdik ( to'plamning elementlari) ortib borayotgan tartibda, lekin, umuman olganda, bu shart emas. Bundan tashqari, biz qisqartma kiritamiz. “140 sonining bo‘luvchilari to‘plami” o‘rniga “D(140)” yozamiz. Shunday qilib,

Xuddi shu tarzda, boshqa har qanday natural son uchun bo'linuvchilar to'plamini topishingiz mumkin. Masalan, parchalanishdan

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

olamiz:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Barcha bo'linuvchilar to'plamidan 140 va 105 raqamlari uchun mos ravishda teng bo'lgan oddiy bo'linuvchilar to'plamini ajratib ko'rsatish kerak:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Shuni alohida ta'kidlash kerakki, 140 sonining tub omillarga bo'linishida ikkitasi ikki marta paydo bo'ladi, PD(140) to'plamida esa faqat bitta. PD(140) to'plami, mohiyatiga ko'ra, masalaning barcha javoblari: "140 sonining bosh omilini toping". Xuddi shu javobni bir necha marta takrorlamaslik kerakligi aniq.

Fraksiyalarni qisqartirish. Eng katta umumiy bo'luvchi

Kasrni ko'rib chiqing

Biz bilamizki, bu kasrni sonning ham bo‘luvchisi (105), ham bo‘linuvchining (140) bo‘luvchisi bo‘lgan son bilan kamaytirish mumkin. D(105) va D(140) to'plamlarni ko'rib chiqamiz va ularni yozamiz umumiy elementlar.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

D(105) va D(140) to'plamlarning umumiy elementlari =

Oxirgi tenglikni qisqacha yozish mumkin, xususan:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Bu erda maxsus belgi “∩” (“teshigi pastga tushgan sumka”) ikkita to'plamga muvofiq yozilganligini bildiradi. turli tomonlar undan faqat umumiy elementlarni tanlashingiz kerak. “D(105) ∩ D(140)” yozuvida “ chorraha 105 dan De va 140 dan De to'plamlari.

[O'tishda e'tibor bering, siz to'plamlar bilan deyarli raqamlar bilan bo'lgani kabi turli xil ikkilik operatsiyalarni bajarishingiz mumkin. Yana bir keng tarqalgan ikkilik operatsiya ittifoq, bu “∪” belgisi bilan ko'rsatilgan (“teshigi yuqoriga qaragan sumka”). Ikki to'plamning birlashishi ikkala to'plamning barcha elementlarini o'z ichiga oladi:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Shunday qilib, biz kasr ekanligini bilib oldik

to'plamga tegishli raqamlarning istalganiga kamaytirilishi mumkin

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

va boshqa natural son bilan kamaytirilmaydi. Ana xolos mumkin bo'lgan usullar qisqartmalar (qiziq bo'lmagan qisqartmalar bundan mustasno):

Shubhasiz, kasrni imkon qadar katta songa kamaytirish eng amaliydir. IN Ushbu holatda bu 35 raqami, deyiladi eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) 105 va 140 raqamlari. Bu shunday yoziladi

GCD (105, 140) = 35.

Biroq, amalda, agar bizga ikkita raqam berilsa va ularning eng katta umumiy bo'luvchisini topish kerak bo'lsa, biz hech qanday to'plam qurmasligimiz kerak. Ikkala raqamni oddiygina tub omillarga ajratish va bu omillarning ikkala parchalanish uchun umumiy bo'lganlarini ajratib ko'rsatish kifoya, masalan:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Belgilangan raqamlarni (kengaytmalarning har qandayida) ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Albatta, ikkitadan ortiq ta'kidlangan omillar bo'lishi mumkin:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Bundan ma'lum bo'ladiki

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Vaziyatni alohida ta'kidlash kerak, agar umumiy omillar umuman bo'lmasa va ta'kidlaydigan hech narsa yo'q, masalan:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Ushbu holatda,

GCD(42, 55) = 1.

GCD bittaga teng bo'lgan ikkita natural son chaqiriladi o'zaro asosiy. Agar siz bunday raqamlardan kasr qilsangiz, masalan,

unda bunday kasr bo'ladi qaytarilmas.

Umuman olganda, kasrlarni kamaytirish qoidasini quyidagicha yozish mumkin:

Bu erda shunday taxmin qilinadi a Va b natural sonlar va butun kasr ijobiydir. Endi bu tenglikning ikkala tomoniga minus belgisi qo‘shsak, manfiy kasrlar uchun tegishli qoidani olamiz.

Kasrlarni qo'shish va ayirish. Eng kichik umumiy ko'plik

Aytaylik, siz ikkita kasrning yig'indisini hisoblashingiz kerak:

Biz maxrajlarning asosiy omillarga qanday kiritilishini allaqachon bilamiz:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Bu parchalanishdan darhol shunday xulosa chiqadiki, kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun birinchi kasrning soni va maxrajini 2 ∙ 2 ga (ikkinchi maxrajning ta'kidlanmagan tub ko'paytmalari ko'paytmasi) ko'paytirish kifoya qiladi va ikkinchi kasrning soni va maxraji 3 ga ("mahsulot" birinchi maxrajning urg'usiz tub omillari). Natijada, ikkala kasrning maxrajlari quyidagi tarzda ifodalanishi mumkin bo'lgan songa teng bo'ladi:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Har ikkala asl maxraj (105 va 140) 420 sonining bo'luvchisi ekanligini va 420 soni, o'z navbatida, ikkala maxrajning ham karrali ekanligini tushunish oson - bu shunchaki ko'plik emas, balki eng kichik umumiy karra (MOQ) 105 va 140 raqamlari quyidagicha yoziladi:

LCM (105, 140) = 420.

105 va 140 raqamlarining parchalanishini diqqat bilan ko'rib chiqsak, biz buni ko'ramiz.

105 ∙ 140 = GCD (105, 140) ∙ GCD (105, 140).

Xuddi shunday, ixtiyoriy natural sonlar uchun b Va d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).

Keling, kasrlarimizning yig'indisini yakunlaymiz: