Modulli kompleks tengsizliklarni yechish. Modulli tenglamalar va tengsizliklar

Bugun, do'stlar, snot yoki sentimentallik bo'lmaydi. Buning o'rniga, men sizni hech qanday savolsiz, 8-9-sinf algebra kursidagi eng dahshatli raqiblardan biri bilan jangga yuboraman.

Ha, siz hamma narsani to'g'ri tushundingiz: biz modulli tengsizliklar haqida gapiramiz. Biz to'rtta asosiy texnikani ko'rib chiqamiz, ular yordamida siz bunday muammolarning 90% ni hal qilishni o'rganasiz. Qolgan 10% haqida nima deyish mumkin? Xo'sh, biz ular haqida alohida darsda gaplashamiz. :)

Biroq, har qanday texnikani tahlil qilishdan oldin, siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan ikkita faktni eslatib o'tmoqchiman. Aks holda, bugungi dars materialini umuman tushunmaslik xavfi bor.

Siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan narsa

Kapitan Obviousness modulli tengsizliklarni hal qilish uchun siz ikkita narsani bilishingiz kerakligini ko'rsatmoqda:

1. Tengsizliklar qanday hal qilinadi;
2. Modul nima?

Ikkinchi nuqtadan boshlaylik.

Modul ta'rifi

Bu erda hamma narsa oddiy. Ikkita ta'rif mavjud: algebraik va grafik. Boshlash uchun - algebraik:

Ta'rif. $x$ sonining moduli yoki agar u noanfiy bo'lsa, uning o'zi yoki agar asl $x$ hali ham manfiy bo'lsa, unga qarama-qarshi sondir.

Bu shunday yozilgan:

\[\chap| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \o'ng.\]

Gapirmoqda oddiy tilda, modul "minussiz son" dir. Va aynan shu ikkilik (ba'zi joylarda siz asl raqam bilan hech narsa qilishingiz shart emas, boshqalarida esa qandaydir minusni olib tashlashingiz kerak bo'ladi), bu erda boshlang'ich talabalar uchun barcha qiyinchilik yotadi.

Yana bor geometrik ta'rif. Buni bilish ham foydalidir, lekin biz unga faqat murakkab va ba'zi maxsus holatlarda murojaat qilamiz, bu erda geometrik yondashuv algebraikdan ko'ra qulayroqdir (spoiler: bugungi kunda emas).

Ta'rif. Raqamlar qatorida $a$ nuqtasi belgilansin. Keyin modul $\left| x-a \right|$ - bu chiziqdagi $x$ nuqtadan $a$ nuqtagacha bo'lgan masofa.

Agar siz rasm chizsangiz, siz shunga o'xshash narsani olasiz:

Grafik modul ta'rifi

Qanday bo'lmasin, modulning ta'rifidan uning asosiy xususiyati darhol quyidagicha bo'ladi: sonning moduli har doim manfiy bo'lmagan miqdordir. Bu haqiqat bizning bugungi hikoyamiz orqali qizil ip bo'ladi.

Tengsizliklarni yechish. Intervalli usul

Endi tengsizliklarni ko'rib chiqaylik. Ularning ko'pchiligi bor, ammo bizning vazifamiz hech bo'lmaganda eng oddiyini hal qilishdir. Pastga tushadiganlar chiziqli tengsizliklar, shuningdek, interval usuliga.

Menda ushbu mavzu bo'yicha ikkita katta saboq bor (Aytgancha, juda, juda foydali - men ularni o'rganishni tavsiya qilaman):

1. Tengsizliklar uchun intervalli usul (ayniqsa, videoni tomosha qiling);
2. Kasrli ratsional tengsizliklar - bu juda keng ko'lamli dars, ammo undan keyin sizda hech qanday savol bo'lmaydi.

Agar siz bularning barchasini bilsangiz, agar "tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz" iborasi o'zingizni devorga urish istagini uyg'otmasa, unda siz tayyorsiz: darsning asosiy mavzusiga do'zaxga xush kelibsiz :).

1. “Moduli funksiyadan kichik” shaklidagi tengsizliklar.

Bu modullar bilan bog'liq eng keng tarqalgan muammolardan biridir. Shaklning tengsizligini yechish uchun talab qilinadi:

\[\chap| f\o'ng| \ltg\]

$f$ va $g$ funktsiyalari har qanday bo'lishi mumkin, lekin odatda ular polinomlardir. Bunday tengsizliklarga misollar:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \o'ng| \lt x+7; \\ & \chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0; \\ & \chap| ((x)^(2))-2\chap| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(tuzalash)\]

Ularning barchasini quyidagi sxema bo'yicha bir qatorda tom ma'noda hal qilish mumkin:

\[\chap| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g\to'rt \chap (\O'ng strelka \chap\( \boshlang(hizalang) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(tekislang) \o'ng.\o'ng)\]

Biz moduldan xalos bo'lganimizni ko'rish oson, lekin buning evaziga biz qo'sh tengsizlikni olamiz (yoki bu bir xil narsa, ikkita tengsizlik tizimi). Ammo bu o'tish mutlaqo hamma narsani hisobga oladi mumkin bo'lgan muammolar: modul ostidagi raqam ijobiy bo'lsa, usul ishlaydi; salbiy bo'lsa, u hali ham ishlaydi; va $f$ yoki $g$ oʻrniga eng noadekvat funksiya bilan ham usul ishlaydi.

Tabiiyki, savol tug'iladi: oddiyroq bo'lishi mumkin emasmi? Afsuski, bu mumkin emas. Bu modulning butun nuqtasi.

Biroq, falsafalash bilan kifoya. Keling, bir nechta muammolarni hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 2x+3 \o'ng| \lt x+7\]

Yechim. Shunday qilib, bizning oldimizda "modul kamroq" shaklidagi klassik tengsizlik bor - hatto o'zgartirish uchun hech narsa yo'q. Biz algoritmga muvofiq ishlaymiz:

\[\begin(align) & \left| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g; \\ & \chap| 2x+3 \o'ng| \lt x+7\O'ng strelka -\chap(x+7 \o'ng) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(hizalang)\]

Oldindan "minus" qo'yilgan qavslarni ochishga shoshilmang: shoshqaloqlik bilan siz haqoratli xatoga yo'l qo'yishingiz mumkin.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]

Muammo ikkita elementar tengsizlikka qisqartirildi. Parallel sonlar toʻgʻrida ularning yechimlarini koʻrsatamiz:

To'plamlarning kesishishi

Bu to'plamlarning kesishishi javob bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0\]

Yechim. Bu vazifa biroz qiyinroq. Birinchidan, ikkinchi atamani o'ngga siljitish orqali modulni ajratib olaylik:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Shubhasiz, bizda yana "modul kichikroq" ko'rinishidagi tengsizlik mavjud, shuning uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan algoritm yordamida moduldan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi e'tibor bering: kimdir mana shu qavslar bilan men biroz buzuqman, deb aytadi. Lekin yana bir bor eslatib o'tamanki, bizning asosiy maqsadimiz tengsizlikni to‘g‘ri yeching va javobini oling. Keyinchalik, ushbu darsda tasvirlangan hamma narsani mukammal o'zlashtirganingizdan so'ng, uni o'zingiz xohlaganingizcha buzishingiz mumkin: qavslarni oching, minuslar qo'shing va hokazo.

Keling, shunchaki qutulishdan boshlaylik ikki barobar minus chap:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng)=\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(x+1 \o'ng) =3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi juft tengsizlikdagi barcha qavslarni ochamiz:

Keling, qo'sh tengsizlikka o'tamiz. Bu safar hisob-kitoblar jiddiyroq bo'ladi:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tekislang)\o'ng.\]

Ikkala tengsizlik kvadratik bo'lib, intervalli usul bilan echilishi mumkin (shuning uchun men aytaman: agar bu nima ekanligini bilmasangiz, modullarni hali qabul qilmaganingiz ma'qul). Birinchi tengsizlikdagi tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \o'ng)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, chiqish to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu elementar usulda echilishi mumkin. Endi tizimning ikkinchi tengsizligini ko'rib chiqamiz. U erda siz Vyeta teoremasini qo'llashingiz kerak bo'ladi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\left(x+2 \o'ng)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(tekislash)\]

Olingan raqamlarni ikkita parallel chiziqda belgilaymiz (birinchi tengsizlik uchun alohida, ikkinchisi uchun alohida):

Shunga qaramay, biz tengsizliklar tizimini yechayotganimiz sababli, bizni soyali to'plamlarning kesishishi qiziqtiradi: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu javob.

Javob: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Menimcha, ushbu misollardan keyin yechim sxemasi juda aniq:

1. Boshqa barcha shartlarni tengsizlikning qarama-qarshi tomoniga o'tkazish orqali modulni ajratib oling. Shunday qilib, biz $\left| ko'rinishdagi tengsizlikka erishamiz f\o'ng| \ltg$.
2. Ushbu tengsizlikni yuqorida tavsiflangan sxema bo'yicha moduldan qutulish orqali hal qiling. Bir nuqtada, qo'shaloq tengsizlikdan ikkita mustaqil ifoda tizimiga o'tish kerak bo'ladi, ularning har biri allaqachon alohida yechilishi mumkin.
3. Va nihoyat, bu ikkita mustaqil iboraning yechimlarini kesishish qoladi - va biz yakuniy javobni olamiz.

Xuddi shunday algoritm tengsizliklar uchun ham mavjud keyingi turi, modul funksiyadan kattaroq bo'lganda. Biroq, bir nechta jiddiy "lekin" bor. Biz hozir bu "lekin" haqida gaplashamiz.

2. “Modul funksiyadan katta” shaklidagi tengsizliklar

Ular shunday ko'rinadi:

\[\chap| f\o'ng| \gtg\]

Avvalgisiga o'xshashmi? Ga o'xshaydi. Va shunga qaramay, bunday muammolar butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi. Rasmiy ravishda, sxema quyidagicha:

\[\chap| f\o'ng| \gt g\O'ng strelka \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(hizalang) \o'ng.\]

Boshqacha qilib aytganda, biz ikkita holatni ko'rib chiqamiz:

1. Birinchidan, biz oddiygina modulni e'tiborsiz qoldiramiz va odatdagi tengsizlikni hal qilamiz;
2. Keyin, mohiyatiga ko'ra, biz modulni minus belgisi bilan kengaytiramiz va keyin tengsizlikning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiramiz, menda esa ishora bor.

Bunday holda, variantlar kvadrat qavs bilan birlashtiriladi, ya'ni. Bizning oldimizda ikkita talabning kombinatsiyasi mavjud.

Yana bir bor e'tibor bering: bu tizim emas, balki butunlikdir javobda to'plamlar kesishgan emas, balki birlashtirilgan. Bu avvalgi nuqtadan tubdan farq qiladi!

Umuman olganda, ko'plab talabalar kasaba uyushmalari va chorrahalar bilan aralashib ketishadi, shuning uchun keling, bu masalani bir marta va umuman hal qilaylik:

• "∪" - ittifoq belgisi. Aslida, bu bizga kelgan stilize "U" harfi Ingliz tili va "Union" ning qisqartmasi, ya'ni. "Assotsiatsiyalar".
• "∩" - kesishish belgisi. Bu axlat hech qayerdan kelmadi, balki shunchaki "∪" ga qarshi nuqta sifatida paydo bo'ldi.

Eslab qolish osonroq bo'lishi uchun ko'zoynak yasash uchun oyoqlarini ushbu belgilarga torting (meni giyohvandlik va alkogolizmni targ'ib qilishda ayblamang: agar siz ushbu darsni jiddiy o'rganayotgan bo'lsangiz, demak siz allaqachon giyohvand bo'lgansiz):

To'plamlarning kesishishi va birlashuvi o'rtasidagi farq

Rus tiliga tarjima qilinganda, bu quyidagilarni anglatadi: birlashma (jami) ikkala to'plamning elementlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun u ularning har biridan kam emas; lekin kesishma (tizim) faqat birinchi to'plamda ham, ikkinchisida ham bir vaqtning o'zida bo'lgan elementlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun to'plamlarning kesishishi hech qachon manba to'plamlaridan katta bo'lmaydi.

Shunday qilib, aniqroq bo'ldimi? Ajoyib. Keling, amaliyotga o'tamiz.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\]

Yechim. Biz sxema bo'yicha harakat qilamiz:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\O'ng strelka \chap[ \begin(hizala) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \o'ng) \\\end(hizalang) \ to'g'ri.\]

Populyatsiyadagi har bir tengsizlikni hal qilamiz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizalang) \o'ngga.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \o'ng.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Biz har bir natija to'plamini raqamlar qatorida belgilaymiz va keyin ularni birlashtiramiz:

To'plamlar ittifoqi

Javob $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ bo'lishi aniq.

Javob: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\]

Yechim. Xo'sh? Hech narsa - hammasi bir xil. Biz modulli tengsizlikdan ikkita tengsizliklar to'plamiga o'tamiz:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\O'ng strelka \left[ \begin(hizala) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Biz har bir tengsizlikni hal qilamiz. Afsuski, u erda ildizlar juda yaxshi bo'lmaydi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end (tekislash)\]

Ikkinchi tengsizlik ham biroz yovvoyi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(tekislash)\]

Endi siz bu raqamlarni ikkita o'qda belgilashingiz kerak - har bir tengsizlik uchun bitta o'q. Biroq, nuqtalar belgilanishi kerak to'g'ri tartibda: raqam qanchalik katta bo'lsa, nuqta o'ngga o'tadi.

Va bu erda bizni sozlash kutmoqda. Agar $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ raqamlari bilan hamma narsa aniq bo'lsa (birinchi raqamdagi shartlar) kasr sekundning numeratoridagi hadlardan kichik, shuning uchun yig'indi ham kichik bo'ladi), raqamlar bilan $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ ham hech qanday qiyinchiliklar bo'lmaydi (ijobiy raqam aniqroq salbiy), keyin oxirgi juftlik bilan hamma narsa unchalik aniq emas. Qaysi biri kattaroq: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ yoki $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Raqamli chiziqlardagi nuqtalarning joylashishi va aslida javob bu savolga javobga bog'liq bo'ladi.

Shunday qilib, keling, taqqoslaylik:

\[\begin(matritsa) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matritsa)\]

Biz ildizni ajratib oldik, tengsizlikning ikkala tomonida manfiy bo'lmagan raqamlarni oldik, shuning uchun biz ikkala tomonni kvadratga solish huquqiga egamiz:

\[\begin(matritsa) ((\left(2+\sqrt(13) \o'ng))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \o'ng))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matritsa)\]

Menimcha, $4\sqrt(13) \gt 3$, shuning uchun $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ bo'lsa, o'qlardagi yakuniy nuqtalar quyidagicha joylashtiriladi:

Xunuk ildizlar ishi

Sizga eslatib o'tamanki, biz to'plamni hal qilyapmiz, shuning uchun javob soyali to'plamlarning kesishmasi emas, balki birlashma bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Ko'rib turganingizdek, bizning sxemamiz ikkalasi uchun ham juda yaxshi ishlaydi oddiy vazifalar, va juda qiyin bo'lganlar uchun. yagona narsa " zaif nuqta"Ushbu yondashuvda siz irratsional sonlarni to'g'ri taqqoslashingiz kerak (va menga ishoning: bu faqat ildizlar emas). Ammo taqqoslash masalalariga alohida (va juda jiddiy) dars ajratiladi. Va biz davom etamiz.

3. Salbiy bo'lmagan "dumlar" bilan tengsizliklar

Endi biz eng qiziqarli qismga o'tamiz. Bu shakldagi tengsizliklar:

\[\chap| f\o'ng| \gt\left| g\o'ng|\]

Umuman olganda, biz hozir gaplashadigan algoritm faqat modul uchun to'g'ri. U chap va o'ngda kafolatlangan salbiy bo'lmagan ifodalar mavjud bo'lgan barcha tengsizliklarda ishlaydi:

Bu vazifalar bilan nima qilish kerak? Faqat esda tuting:

Salbiy bo'lmagan "quyruq" bilan tengsizliklarda ikkala tomon ham har qanday tabiiy kuchga ko'tarilishi mumkin. Hech qanday qo'shimcha cheklovlar bo'lmaydi.

Avvalo, biz kvadratlashtirishga qiziqamiz - u modullar va ildizlarni yoqib yuboradi:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ chap (\ sqrt (f) \ o'ng)) ^ (2)) = f. \\\end(tekislash)\]

Buni kvadratning ildizini olish bilan adashtirmang:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\chap| f \right|\ne f\]

Talaba modul o'rnatishni unutganida son-sanoqsiz xatolarga yo'l qo'yildi! Ammo bu butunlay boshqacha hikoya (xuddi shunday irratsional tenglamalar), shuning uchun biz hozir bunga kirmaymiz. Keling, bir nechta muammolarni yaxshiroq hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \o'ng|\]

Yechim. Keling, darhol ikkita narsaga e'tibor beraylik:

1. Bu qat'iy tengsizlik emas. Raqam chizig'idagi nuqtalar teshiladi.
2. Tengsizlikning ikkala tomoni ham manfiy emas (bu modulning xususiyati: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Shunday qilib, moduldan xalos bo'lish va muammoni odatiy interval usuli yordamida hal qilish uchun biz tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga olamiz:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| x+2 \o'ng| \o'ng))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \o'ng| \o'ng)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \o'ng))^(2))\ge ((\left(2x-1 \o'ng))^(2)). \\\end(tekislash)\]

Oxirgi bosqichda men biroz aldadim: modulning tengligidan foydalanib, atamalar ketma-ketligini o'zgartirdim (aslida $1-2x$ ifodasini -1 ga ko'paytirdim).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \o'ng)-\left(x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\left(2x-1 \o'ng)+\chap(x+2 \ o'ng)\o'ng)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \o'ng)\cdot \left(2x-1+x+2 \o'ng)\le 0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\cdot \left(3x+1 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli yordamida hal qilamiz. Tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(tekislash)\]

Topilgan ildizlarni raqamlar qatorida belgilaymiz. Yana bir bor: barcha nuqtalar soyali, chunki asl tengsizlik qat'iy emas!

Modul belgisidan qutulish

Ayniqsa, o'jar bo'lganlar uchun eslatib o'taman: biz tenglamaga o'tishdan oldin yozilgan oxirgi tengsizlikdan belgilarni olamiz. Va biz bir xil tengsizlikda talab qilinadigan maydonlarni bo'yab qo'yamiz. Bizning holatda bu $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Xo'sh, hammasi shu. Muammo hal qilindi.

Javob: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \o'ng|\]

Yechim. Biz hamma narsani xuddi shunday qilamiz. Men izoh bermayman - faqat harakatlar ketma-ketligiga qarang.

Kvadrati:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \o'ng| \o'ng))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ o'ng))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \o‘ng)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)=0 \\ & -2x-3=0\ O'ng strelka x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(tekislash)\]

Raqamlar qatorida faqat bitta ildiz bor:

Javob butun intervaldir

Javob: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Oxirgi vazifa haqida kichik eslatma. Mening talabalarimdan biri aniq ta'kidlaganidek, ushbu tengsizlikdagi ikkala submodul iboralar ham ijobiy, shuning uchun modul belgisi sog'likka zarar bermasdan qoldirilishi mumkin.

Ammo bu butunlay boshqacha fikrlash darajasi va boshqa yondashuv - uni shartli ravishda oqibatlar usuli deb atash mumkin. Bu haqda - alohida darsda. Keling, bugungi darsning yakuniy qismiga o'tamiz va har doim ishlaydigan universal algoritmni ko'rib chiqamiz. Oldingi barcha yondashuvlar kuchsiz bo'lsa ham :)

4. Variantlarni sanab o'tish usuli

Agar bu usullarning barchasi yordam bermasa-chi? Agar tengsizlikni salbiy bo'lmagan quyruqlarga qisqartirish mumkin bo'lmasa, modulni izolyatsiya qilishning iloji bo'lmasa, umuman olganda og'riq, qayg'u, melankolik bo'lsa?

Keyin barcha matematikaning "og'ir artilleriyasi" sahnaga chiqadi - shafqatsiz kuch usuli. Modulli tengsizliklarga nisbatan quyidagicha ko'rinadi:

1. Barcha submodulli ifodalarni yozing va ularni nolga tenglang;
2. Olingan tenglamalarni yeching va bitta son chizig'ida topilgan ildizlarni belgilang;
3. To'g'ri chiziq bir nechta bo'limlarga bo'linadi, ularning ichida har bir modul o'zgarmas belgiga ega va shuning uchun noyob tarzda namoyon bo'ladi;
4. Har bir bunday bo'lim bo'yicha tengsizlikni yeching (ishonchlilik uchun 2-bosqichda olingan ildiz-chegaralarni alohida ko'rib chiqishingiz mumkin). Natijalarni birlashtiring - bu javob bo'ladi :)

Xo'sh, qanday qilib? Zaifmi? Osonlik bilan! Faqat uzoq vaqt. Keling, amalda ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-\frac(3)(2)\]

Yechim. Bu ahmoqlik $\left| kabi tengsizliklarga tushmaydi f\o'ng| \lt g$, $\chap| f\o'ng| \gt g$ yoki $\left| f\o'ng| \lt \chap| g \right|$, shuning uchun biz oldinga harakat qilamiz.

Biz submodulyar iboralarni yozamiz, ularni nolga tenglashtiramiz va ildizlarni topamiz:

\[\boshlang(align) & x+2=0\O'ng strelka x=-2; \\ & x-1=0\Oʻng strelka x=1. \\\end(tekislash)\]

Hammasi bo'lib, bizda raqamlar chizig'ini uchta bo'limga ajratadigan ikkita ildiz bor, ular ichida har bir modul o'ziga xos tarzda ochiladi:

Submodulyar funksiyalarning raqamlar qatorini nolga bo'lish

Keling, har bir bo'limni alohida ko'rib chiqaylik.

1. $x \lt -2$ bo'lsin. Keyin ikkala submodulli ibora ham manfiy bo'lib, asl tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(hizala) & -\left(x+2 \o'ng) \lt -\left(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizala)\]

Bizda juda oddiy cheklov bor. Keling, uni $x \lt -2$ degan dastlabki taxmin bilan kesishamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Shubhasiz, $x$ o'zgaruvchisi bir vaqtning o'zida -2 dan kichik va 1,5 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bu sohada hech qanday yechim yo'q.

1.1. Chegaraviy holatni alohida ko'rib chiqaylik: $x=-2$. Keling, bu raqamni asl tengsizlikka almashtiramiz va tekshiramiz: bu to'g'rimi?

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \chap| -3\o'ng|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\O'ng ko'rsatkich \varnothing . \\\end(tekislash)\]

Ko'rinib turibdiki, hisob-kitoblar zanjiri bizni noto'g'ri tengsizlikka olib keldi. Demak, asl tengsizlik ham noto'g'ri va $x=-2$ javobga kiritilmagan.

2. Endi $-2 \lt x \lt 1$ bo'lsin. Chap modul allaqachon "ortiqcha" bilan ochiladi, lekin o'ng modul hali ham "minus" bilan ochiladi. Bizda ... bor:

\[\boshlang(tuzala) & x+2 \lt -\chap(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end (tekislash)\]

Biz yana asl talab bilan kesishamiz:

\[\chap\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Va yana yechimlar to'plami bo'sh, chunki ikkalasi ham -2,5 dan kichik va -2 dan katta bo'lgan raqamlar yo'q.

2.1. Va yana maxsus holat: $x=1$. Biz asl tengsizlikni almashtiramiz:

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=1)) \\ & \left| 3\o'ng| \lt \chap| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing . \\\end(tekislash)\]

Oldingi "maxsus holat"ga o'xshab, javobda $x=1$ raqami aniq kiritilmagan.

3. Qatorning oxirgi qismi: $x \gt 1$. Bu erda barcha modullar ortiqcha belgisi bilan ochiladi:

\[\boshlang(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(hizalang)\ ]

Va yana topilgan to'plamni asl cheklov bilan kesib o'tamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\ichida \chap(4,5;+\infty \o'ng)\ ]

Xo'sh, nihoyat! Biz javob bo'ladigan intervalni topdik.

Javob: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Va nihoyat, haqiqiy muammolarni hal qilishda sizni ahmoqona xatolardan qutqarishi mumkin bo'lgan bir eslatma:

Modulli tengsizliklarning yechimlari odatda raqamlar chizig‘idagi uzluksiz to‘plamlarni – intervallarni va segmentlarni ifodalaydi. Izolyatsiya qilingan nuqtalar kamroq tarqalgan. Va hatto kamroq hollarda, yechimning chegarasi (segmentning oxiri) ko'rib chiqilayotgan diapazonning chegarasiga to'g'ri keladi.

Binobarin, agar javobda chegaralar (xuddi shu "maxsus holatlar") qo'shilmagan bo'lsa, bu chegaralarning chap va o'ng tomonidagi joylar javobga deyarli kiritilmaydi. Va aksincha: chegara javobga kirdi, ya'ni uning atrofidagi ba'zi joylar ham javoblar bo'ladi.

Yechimlaringizni ko'rib chiqishda buni yodda saqlang.

Matematika ilm-fan hikmatining ramzidir,

ilmiy qat'iylik va soddalik modeli,

ilm-fandagi mukammallik va go'zallik standarti.

Rus faylasufi, professor A.V. Voloshinov

Modulli tengsizliklar

Maktab matematikasida yechish uchun eng qiyin masalalar tengsizlikdir, modul belgisi ostida o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan. Bunday tengsizliklarni muvaffaqiyatli yechish uchun siz modulning xususiyatlarini yaxshi bilishingiz va ulardan foydalanish malakasiga ega bo'lishingiz kerak.

Asosiy tushunchalar va xususiyatlar

Modul ( mutlaq qiymat) haqiqiy son bilan belgilanadi va quyidagicha aniqlanadi:

Modulning oddiy xususiyatlari quyidagi munosabatlarni o'z ichiga oladi:

VA .

Eslatma, oxirgi ikki xususiyat har qanday juft daraja uchun amal qiladi.

Bundan tashqari, agar, qaerda, keyin va

Keyinchalik murakkab modul xususiyatlari, modulli tenglama va tengsizliklarni yechishda unumli foydalanish mumkin, quyidagi teoremalar orqali ifodalanadi:

Teorema 1.Har qanday analitik funktsiyalar uchun Va tengsizlik haqiqatdir.

Teorema 2. Tenglik tengsizlikka teng.

Teorema 3. Tenglik tengsizlikka teng.

Maktab matematikasida eng ko'p uchraydigan tengsizliklar, modul belgisi ostida noma'lum o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi, shakldagi tengsizliklardir va , qayerda ba'zi ijobiy doimiy.

Teorema 4. Tengsizlik ikki barobar tengsizlikka teng, va tengsizlikning yechimitengsizliklar to‘plamini yechishgacha kamaytiradi Va .

Bu teorema 6 va 7 teoremalarning maxsus holatidir.

Murakkab tengsizliklar, modulni o'z ichiga olgan shakl tengsizliklari, Va .

Bunday tengsizliklarni yechish usullarini quyidagi uchta teorema yordamida shakllantirish mumkin.

Teorema 5. Tengsizlik ikki tengsizliklar sistemasining birikmasiga teng

Men (1)

Isbot. O'shandan beri

Bu (1) ning haqiqiyligini bildiradi.

Teorema 6. Tengsizlik tengsizliklar sistemasiga ekvivalentdir

Isbot. Chunki, keyin tengsizlikdan shundan kelib chiqadi . Bu shartda tengsizlikva bu holda ikkinchi tengsizliklar tizimi (1) mos kelmaydigan bo'lib chiqadi.

Teorema isbotlangan.

Teorema 7. Tengsizlik bir tengsizlik va ikkita tengsizliklar tizimining birikmasiga teng

Men (3)

Isbot. dan boshlab, keyin tengsizlik har doim bajarilgan, Agar .

Mayli keyin tengsizliktengsizlikka teng bo'ladi, undan ikkita tengsizliklar to'plami kelib chiqadi Va .

Teorema isbotlangan.

Keling, ko'rib chiqaylik tipik misollar“Tengsizliklar” mavzusidagi masalalarni yechish, modul belgisi ostida o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan."

Modulli tengsizliklarni yechish

Ko'pchilik oddiy usul modulli tengsizliklarni yechish usuli, modulni kengaytirishga asoslangan. Ushbu usul universaldir, ammo, umumiy holatda, uni ishlatish juda og'ir hisob-kitoblarga olib kelishi mumkin. Shuning uchun talabalar bunday tengsizliklarni yechishning boshqa (samarali) usullari va usullarini bilishlari kerak. Ayniqsa, teoremalarni qo'llash ko'nikmalariga ega bo'lish kerak, ushbu maqolada berilgan.

1-misol.Tengsizlikni yechish

. (4)

Yechim.Biz tengsizlikni (4) "klassik" usul - modullarni ochish usuli yordamida hal qilamiz. Shu maqsadda biz son o'qini ajratamiz nuqta va intervallarga ajrating va uchta holatni ko'rib chiqing.

1. Agar , u holda , , , tengsizlik (4) shaklni oladi yoki .

Bu erda masala ko'rib chiqilganligi sababli, u tengsizlikning yechimidir (4).

2. Agar, u holda (4) tengsizlikdan olamiz yoki . Intervallarning kesishmasidan boshlab Va bo'sh, u holda ko'rib chiqilayotgan yechim oralig'ida tengsizlik yo'q (4).

3. Agar, u holda (4) tengsizlik shaklni oladi yoki . Bu aniq tengsizlikning yechimi hamdir (4).

Javob: , .

2-misol. Tengsizlikni yechish.

Yechim. Buni taxmin qilaylik. Chunki, u holda berilgan tengsizlik shaklni oladi yoki . O'shandan beri va bu erdan kelib chiqadi yoki .

Biroq, shuning uchun yoki.

3-misol. Tengsizlikni yeching

. (5)

Yechim. Chunki, u holda (5) tengsizlik tengsizliklarga ekvivalent bo'ladi yoki . Bu yerdan, 4-teoremaga muvofiq, bizda tengsizliklar to'plami mavjud Va .

Javob: , .

4-misol.Tengsizlikni yechish

. (6)

Yechim. belgilaylik. U holda (6) tengsizlikdan , yoki tengsizliklarni olamiz.

Bu yerdan, interval usuli yordamida, olamiz. Chunki, u holda bizda tengsizliklar tizimi mavjud

(7) sistemaning birinchi tengsizligi yechimi ikkita intervalning birlashuvidir Va , ikkinchi tengsizlikning yechimi esa qo‘sh tengsizlikdir. Bundan kelib chiqadiki, (7) tengsizliklar sistemasining yechimi ikki intervalning birlashmasi ekanligini Va .

Javob: ,

5-misol.Tengsizlikni yechish

. (8)

Yechim. (8) tengsizlikni quyidagicha o'zgartiramiz:

Yoki .

Interval usulidan foydalanish, tengsizlikning yechimini olamiz (8).

Javob: .

Eslatma. Agar va 5-teorema shartlariga qo'ysak, ni olamiz.

6-misol. Tengsizlikni yeching

. (9)

Yechim. Tengsizlikdan (9) kelib chiqadi. (9) tengsizlikni quyidagicha aylantiramiz:

Yoki

O'shandan beri, keyin yoki.

Javob: .

7-misol.Tengsizlikni yechish

. (10)

Yechim. Buyon va , keyin yoki .

Ushbu munosabatda va tengsizlik (10) shaklni oladi

Yoki

. (11)

Buning ortidan yoki . Chunki, u holda (11) tengsizlik yoki ni ham bildiradi.

Javob: .

Eslatma. Agar biz 1-teoremani tengsizlikning chap tomoniga qo'llasak (10), keyin olamiz . Bundan va (10) tengsizlikdan kelib chiqadi, nima yoki . Chunki, u holda (10) tengsizlik shaklni oladi yoki .

8-misol. Tengsizlikni yechish

. (12)

Yechim. O'shandan beri (12) tengsizlikdan kelib chiqadi yoki . Biroq, shuning uchun yoki. Bu yerdan biz yoki .

Javob: .

9-misol. Tengsizlikni yeching

. (13)

Yechim. 7-teoremaga asosan (13) tengsizlikning yechimi yoki .

Hozir bo'lsin. U holda tengsizlik (13) shaklni oladi yoki .

Agar siz intervallarni birlashtirsangiz Va , u holda shaklning (13) tengsizligi yechimini olamiz.

10-misol. Tengsizlikni yeching

. (14)

Yechim.(14) tengsizlikni ekvivalent shaklda qayta yozamiz: . Agar biz ushbu tengsizlikning chap tomoniga 1-teoremani qo'llasak, tengsizlikka erishamiz.

Bu yerdan va 1-teoremadan kelib chiqadi, har qanday qiymatlar uchun (14) tengsizlik bajariladi.

Javob: har qanday raqam.

11-misol. Tengsizlikni yechish

. (15)

Yechim. 1-teoremani tengsizlikning chap tomoniga qo‘llash (15), olamiz . Bu va tengsizlik (15) tenglamani beradi, shaklga ega bo'lgan.

3-teoremaga muvofiq, tenglama tengsizlikka teng. Bu erdan olamiz.

12-misol.Tengsizlikni yechish

. (16)

Yechim. (16) tengsizlikdan 4-teoremaga asosan tengsizliklar sistemasini olamiz

Tengsizlikni yechishda6-teoremadan foydalanamiz va tengsizliklar sistemasini olamizundan kelib chiqadi.

Tengsizlikni ko'rib chiqing. 7-teoremaga muvofiq, tengsizliklar to'plamini olamiz Va . Ikkinchi aholi tengsizligi har qanday real uchun amal qiladi.

Demak, (16) tengsizlikning yechimi.

13-misol.Tengsizlikni yechish

. (17)

Yechim. 1-teoremaga binoan biz yozishimiz mumkin

(18)

Tengsizlikni (17) hisobga olib, biz ikkala tengsizlik (18) tenglikka aylanadi degan xulosaga kelamiz, ya'ni. tenglamalar tizimi mavjud

3-teorema bo'yicha bu tizim tenglamalar tengsizliklar sistemasiga ekvivalentdir

yoki

14-misol.Tengsizlikni yechish

. (19)

Yechim. O'shandan beri. Keling, tengsizlikning ikkala tomonini (19) ifoda bilan ko'paytiramiz, bu har qanday qiymat uchun faqat ijobiy qiymatlarni oladi. Keyin shaklning (19) tengsizligiga ekvivalent tengsizlikni olamiz

Bu yerdan biz yoki, qaerdan olamiz. O'shandan beri va u holda (19) tengsizlikning yechimi Va .

Javob: , .

Modulli tengsizliklarni echish usullarini chuqurroq o'rganish uchun darsliklarga murojaat qilishni tavsiya etamiz., tavsiya etilgan adabiyotlar roʻyxatida keltirilgan.

1. Kollejlarga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Tinchlik va ta'lim, 2013. – 608 b.

2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: tengsizliklarni yechish va isbotlash usullari. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 b.

3. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: nostandart usullar muammoni hal qilish. – M.: "Librocom" CD / URSS, 2017. – 296 b.

Hali ham savollaringiz bormi?

Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Modulni o'z ichiga olgan tengsizliklarni yechishning bir necha yo'li mavjud. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.

1) Modulning geometrik xossasidan foydalanib tengsizlikni yechish.

Modulning geometrik xossasi nima ekanligini eslatib qo‘yay: x sonining moduli koordinatasi x bo‘lgan koordinatali nuqtadan nuqtagacha bo‘lgan masofadir.

Ushbu usul yordamida tengsizliklarni yechishda ikkita holat yuzaga kelishi mumkin:

1. |x| ≤ b,

Va modulli tengsizlik, shubhasiz, ikkita tengsizlik tizimiga kamayadi. Bu erda belgi qat'iy bo'lishi mumkin, bu holda rasmdagi nuqtalar "teshilgan" bo'ladi.

2. |x| ≥ b, keyin yechim rasmi quyidagicha ko'rinadi:

Va modulli tengsizlik ikki tengsizliklar to'plamiga kamayadi. Bu erda belgi qat'iy bo'lishi mumkin, bu holda rasmdagi nuqtalar "teshilgan" bo'ladi.

1-misol.

|4 – |x|| tengsizlikni yeching ≥ 3.

Yechim.

Bu tengsizlik quyidagi to'plamga ekvivalentdir:

U [-1;1] U

2-misol.

||x+2| tengsizlikni yeching – 3| ≤ 2.

Yechim.

Bu tengsizlik quyidagi sistemaga ekvivalentdir.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Sistemaning birinchi tengsizligini alohida yechaylik. Bu quyidagi to'plamga teng:

U[-1; 3].

2) Modul ta’rifidan foydalanib, tengsizliklarni yechish.

Avval eslatib o'taman modul ta'rifi.

|a| = a agar a ≥ 0 va |a| = -a agar a< 0.

Masalan, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

1-misol.

3|x – 1| tengsizlikni yeching ≤ x+3.

Yechim.

Modul ta'rifidan foydalanib, biz ikkita tizimni olamiz:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Birinchi va ikkinchi tizimlarni alohida yechish orqali biz quyidagilarga erishamiz:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Dastlabki tengsizlikning yechimi birinchi sistemaning barcha yechimlari va ikkinchi tizimning barcha yechimlari bo'ladi.

Javob: x € .

3) Tengsizliklarni kvadratlar yordamida yechish.

1-misol.

|x 2 – 1| tengsizlikni yeching< | x 2 – x + 1|.

Yechim.

Keling, tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz. Shuni ta'kidlab o'tamanki, tengsizlikning ikkala tomonini faqat ikkalasi ham ijobiy bo'lsa, kvadratga olish mumkin. IN Ushbu holatda Bizda chap va o'ng tomonda modullar mavjud, shuning uchun biz buni qila olamiz.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Endi foydalanamiz quyidagi mulk modul: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Interval usuli yordamida hal qilamiz.

Javob: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) O‘zgaruvchilarni o‘zgartirish orqali tengsizliklarni yechish.

Misol.

(2x + 3) 2 – |2x + 3| tengsizlikni yeching ≤ 30.

Yechim.

(2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 ekanligini unutmang. Keyin tengsizlikni olamiz

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

y = |2x + 3| ni o'zgartiramiz.

Tengsizligimizni almashtirishni hisobga olgan holda qayta yozamiz.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Keling, parchalanaylik kvadratik trinomial, chap tomonda turib, omillarga.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Interval usuli yordamida yechib, quyidagilarga erishamiz:

Keling, almashtirishga qaytaylik:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Bu ikki tomonlama tengsizlik tengsizliklar tizimiga ekvivalentdir:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Keling, har bir tengsizlikni alohida yechamiz.

Birinchisi tizimga teng

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Keling, buni hal qilaylik.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Ikkinchi tengsizlik barcha x uchun amal qiladi, chunki modul ta'rifi bo'yicha musbat sondir. Tizimning yechimi bir vaqtning o'zida tizimning birinchi va ikkinchi tengsizligini qondiradigan barcha x bo'lganligi sababli, dastlabki tizimning yechimi uning birinchi qo'shaloq tengsizligining yechimi bo'ladi (oxir-oqibat, ikkinchisi barcha x uchun to'g'ri) .

Javob: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola kerak.