Ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni yechish. Eksponensial tengsizliklar
Shuningdek o'qing
Ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar ko'rsatkichda noma'lum bo'lgan tenglamalardir.
Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish ko'pincha a x = a b tenglamasini echishga to'g'ri keladi, bu erda a > 0, a ≠ 1, x noma'lum. Bu tenglama bitta ildizga ega x = b, chunki quyidagi teorema to'g'ri:
Teorema. Agar a > 0, a ≠ 1 va a x 1 = a x 2 bo'lsa, x 1 = x 2 bo'ladi.
Keling, ko'rib chiqilgan bayonotni asoslab beraylik.
Faraz qilaylik, x 1 = x 2 tengligi bajarilmaydi, ya'ni. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 bo'lsa, u holda ko'rsatkichli funktsiya y = a x ortadi va shuning uchun a x 1 tengsizlikni qondirish kerak.< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Ikkala holatda ham a x 1 = a x 2 shartiga qarama-qarshilik oldik.
Keling, bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.
4 ∙ 2 x = 1 tenglamani yeching.
Yechim.
Tenglamani 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 ko'rinishda yozamiz, undan x + 2 = 0 ni olamiz, ya'ni. x = -2.
Javob. x = -2.
2 3x ∙ 3 x = 576 tenglamani yeching.
Yechim.
2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 bo'lgani uchun tenglamani 8 x ∙ 3 x = 24 2 yoki 24 x = 24 2 shaklida yozish mumkin.
Bu erdan biz x = 2 ni olamiz.
Javob. x = 2.
3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 tenglamani yeching.
Yechim.
Chap tarafdagi qavslardan 3 x - 2 umumiy koeffitsientini olib, biz 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 ni olamiz,
buning uchun 3 x - 2 = 1, ya'ni. x – 2 = 0, x = 2.
Javob. x = 2.
3 x = 7 x tenglamani yeching.
Yechim.
7 x ≠ 0 bo'lgani uchun tenglamani 3 x /7 x = 1 shaklida yozish mumkin, bundan (3/7) x = 1, x = 0.
Javob. x = 0.
9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 tenglamani yeching.
Yechim.
3 x = a ni almashtirib, bu tenglama a 2 – 4a – 45 = 0 kvadrat tenglamaga keltiriladi.
Bu tenglamani yechib, uning ildizlarini topamiz: a 1 = 9, va 2 = -5, bundan 3 x = 9, 3 x = -5.
3 x = 9 tenglamaning 2 ildizi bor, 3 x = -5 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki ko'rsatkichli funktsiya manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi.
Javob. x = 2.
Yechim eksponensial tengsizliklar ko'pincha a x > a b yoki a x tengsizliklarini yechish uchun keladi< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания eksponensial funktsiya.
Keling, ba'zi muammolarni ko'rib chiqaylik.
3 x tengsizlikni yeching< 81.
Yechim.
Tengsizlikni 3 x ko'rinishda yozamiz< 3 4 . Так как 3 >1, u holda y = 3 x funksiya ortib bormoqda.
Shuning uchun, x uchun< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Shunday qilib, x da< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Javob. X< 4.
16 x +4 x – 2 > 0 tengsizlikni yeching.
Yechim.
4 x = t ni belgilaymiz, keyin olamiz kvadratik tengsizlik t2 + t – 2 > 0.
Bu tengsizlik t uchun amal qiladi< -2 и при t > 1.
t = 4 x bo'lgani uchun biz ikkita 4 x tengsizlikni olamiz< -2, 4 х > 1.
Birinchi tengsizlikning yechimi yo'q, chunki barcha x € R uchun 4 x > 0.
Ikkinchi tengsizlikni 4 x > 4 0 ko'rinishda yozamiz, bundan x > 0.
Javob. x > 0.
(1/3) x = x – 2/3 tenglamani grafik tarzda yeching.
Yechim.
1) y = (1/3) x va y = x – 2/3 funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.
2) Bizning rasmimizga asoslanib, ko'rib chiqilayotgan funksiyalarning grafiklari x ≈ 1 abscissa bilan nuqtada kesishadi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Tekshirish shuni isbotlaydiki
x = 1 - bu tenglamaning ildizi:
(1/3) 1 = 1/3 va 1 - 2/3 = 1/3.
Boshqacha qilib aytganda, biz tenglamaning ildizlaridan birini topdik. 
3) Boshqa ildizlarni topamiz yoki yo'qligini isbotlaymiz. (1/3) x funksiyasi kamaymoqda, y = x – 2/3 funksiyasi esa ortib bormoqda. Shuning uchun, x > 1 uchun birinchi funktsiyaning qiymatlari 1/3 dan kichik, ikkinchisi esa 1/3 dan ortiq; x da< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 va x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Javob. x = 1.
E'tibor bering, bu masalani yechishdan, xususan, (1/3) x > x - 2/3 tengsizlik x uchun qanoatlantiriladi.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Ko'pchilik eksponensial tengsizliklar murakkab va tushunarsiz narsa deb o'ylaydi. Va ularni hal qilishni o'rganish deyarli buyuk san'at bo'lib, uni faqat tanlanganlar tushunishi mumkin ...
To'liq bema'nilik! Eksponensial tengsizliklar oson. Va ular har doim oddiy hal qilinadi. Xo'sh, deyarli har doim. :)
Bugun biz ushbu mavzuni ichki va tashqi tomondan ko'rib chiqamiz. Ushbu dars maktab matematikasining ushbu bo'limini endigina tushuna boshlaganlar uchun juda foydali bo'ladi. dan boshlaylik oddiy vazifalar va biz ko'proq tomon harakat qilamiz murakkab masalalar. Bugun hech qanday qiyin ish bo'lmaydi, lekin siz o'qimoqchi bo'lgan narsa barcha turdagi testlar va testlardagi ko'plab tengsizliklarni hal qilish uchun etarli bo'ladi. mustaqil ish. Va sizning imtihoningizda ham.
Har doimgidek, ta'rifdan boshlaylik. Eksponensial tengsizlik - bu ko'rsatkichli funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tengsizlik. Boshqacha qilib aytganda, u har doim shaklning tengsizligiga tushirilishi mumkin
\[((a)^(x)) \gt b\]
Rolda $b$ qayerda bo'lishi mumkin? oddiy raqam, va, ehtimol, qattiqroq narsa. Misollar? Ha iltimos:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ to'rtlik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(tekislash)\]
Menimcha, ma'no aniq: $((a)^(x))$ eksponensial funksiyasi bor, u biror narsa bilan taqqoslanadi, so'ngra $x$ topish so'raladi. Ayniqsa, klinik holatlarda $x$ o'zgaruvchisi o'rniga ular $f\left(x \right)$ funktsiyasini qo'yishi va shu bilan tengsizlikni biroz murakkablashtirishi mumkin.
Albatta, ba'zi hollarda tengsizlik yanada jiddiyroq ko'rinishi mumkin. Masalan:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Yoki bu ham:
Umuman olganda, bunday tengsizliklarning murakkabligi juda xilma-xil bo'lishi mumkin, ammo ular baribir oddiy qurilish $((a)^(x)) \gt b$gacha kamayadi. Va biz qandaydir tarzda bunday qurilishni aniqlaymiz (ayniqsa, klinik holatlarda, hech narsa xayolga kelmasa, logarifmlar bizga yordam beradi). Shuning uchun, endi biz sizga bunday oddiy konstruktsiyalarni qanday hal qilishni o'rgatamiz.
Oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish
Keling, juda oddiy narsani ko'rib chiqaylik. Masalan, bu:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Shubhasiz, o'ngdagi raqam ikkining kuchi sifatida qayta yozilishi mumkin: $4=((2)^(2))$. Shunday qilib, asl tengsizlik juda qulay shaklda qayta yozilishi mumkin:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Va endi mening qo'llarim $x \gt 2$ javobini olish uchun kuchlar asoslaridagi ikkitasini "chizib tashlash" uchun qichishadi. Ammo biror narsani kesib tashlashdan oldin, keling, ikkita kuchni eslaylik:
\[((2)^(1))=2;\to'rt ((2)^(2))=4;\to'rt ((2)^(3))=8;\to'rt ((2)^( 4))=16;...\]
Ko'rib turganingizdek, ko'rsatkichdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, chiqish raqami shunchalik katta bo'ladi. — Rahmat, kapa! – deb hayqiradi o‘quvchilardan biri. Bu boshqachami? Afsuski, bu sodir bo'ladi. Masalan:
\[((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ o'ng))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(3))=\frac(1)(8) );...\]
Bu erda ham hamma narsa mantiqiy: daraja qanchalik katta bo'lsa, 0,5 soni o'z-o'zidan ko'paytiriladi (ya'ni, yarmiga bo'linadi). Shunday qilib, natijada raqamlar ketma-ketligi kamayadi va birinchi va ikkinchi ketma-ketlik o'rtasidagi farq faqat bazada bo'ladi:
- Agar daraja asosi $a \gt 1$ bo'lsa, u holda $n$ ko'rsatkichi ortishi bilan $((a)^(n))$ soni ham ortadi;
- Va aksincha, agar $0 \lt a \lt 1$ boʻlsa, $n$ koʻrsatkichi ortgan sari $((a)^(n))$ soni kamayadi.
Ushbu faktlarni umumlashtirib, biz eksponensial tengsizliklarning butun yechimiga asoslangan eng muhim bayonotni olamiz:
Agar $a \gt 1$ boʻlsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \gt n$ tengsizligiga ekvivalent boʻladi. Agar $0 \lt a \lt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \lt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi.
Boshqacha qilib aytganda, agar baza birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Va agar taglik bittadan kam bo'lsa, u ham olib tashlanishi mumkin, lekin ayni paytda siz tengsizlik belgisini o'zgartirishingiz kerak bo'ladi.
E'tibor bering, biz $a=1$ va $a\le 0$ variantlarini ko'rib chiqmadik. Chunki bu holatlarda noaniqlik yuzaga keladi. Aytaylik, $((1)^(x)) \gt 3$ ko‘rinishdagi tengsizlik qanday yechiladi? Har qanday kuchga bittasi yana beradi - biz hech qachon uchta yoki undan ko'pini olmaymiz. Bular. yechimlar yo'q.
Salbiy sabablar bilan hamma narsa yanada qiziqarli. Masalan, ushbu tengsizlikni ko'rib chiqing:
\[((\left(-2 \o'ng))^(x)) \gt 4\]
Bir qarashda hamma narsa oddiy:
To'g'rimi? Lekin yoq! $x$ o'rniga bir juft juft va bir juftni almashtirish kifoya toq raqamlar yechim noto'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun. Qarab qo'ymoq:
\[\begin(align) & x=4\O'ng strelka ((\left(-2 \o'ng))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(tuzala)\]
Ko'rib turganingizdek, belgilar bir-birini almashtiradi. Ammo kasr vakolatlari va boshqa bema'nilik ham bor. Masalan, $((\left(-2 \o'ng))^(\sqrt(7)))$ (minus ikkini yettining kuchiga) hisoblashni qanday buyurasiz? Bo'lishi mumkin emas!
Shuning uchun, aniqlik uchun biz barcha eksponensial tengsizliklarda (aytmoqchi, tenglamalarda ham) $1\ne a \gt 0$ deb faraz qilamiz. Va keyin hamma narsa juda oddiy hal qilinadi:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\O'ng strelka \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \o'ng), \\ & x \lt n\quad \chap (0 \lt a \lt 1 \o'ng). \\\end(tekislash) \o'ngga.\]
Umuman olganda, asosiy qoidani yana bir bor eslang: agar eksponensial tenglamadagi asos birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin; va agar asos birdan kichik bo'lsa, uni ham olib tashlash mumkin, lekin tengsizlik belgisi o'zgaradi.
Yechimlarga misollar
Shunday qilib, keling, bir nechta oddiy eksponensial tengsizliklarni ko'rib chiqaylik:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(tekislash)\]
Barcha holatlarda birlamchi vazifa bir xil: tengsizliklarni eng oddiy ko'rinishga keltirish $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Endi biz har bir tengsizlik bilan aynan shunday qilamiz va shu bilan birga darajalar va eksponensial funksiyalarning xossalarini takrorlaymiz. Xo'sh, ketaylik!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Bu yerda nima qila olasiz? Xo'sh, chap tomonda biz allaqachon indikativ iboraga egamiz - hech narsani o'zgartirish kerak emas. Ammo o'ng tomonda qandaydir axloqsizlik bor: kasr va hatto maxrajdagi ildiz!
Biroq, kasrlar va kuchlar bilan ishlash qoidalarini eslaylik:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(tekislash)\]
Bu nima degani? Birinchidan, biz kasrni manfiy ko'rsatkichli kuchga aylantirib, osonlik bilan qutulamiz. Ikkinchidan, maxrajning ildizi bor ekan, uni kuchga aylantirsa yaxshi bo'lardi - bu safar kasr ko'rsatkichi bilan.
Keling, ushbu amallarni tengsizlikning o'ng tomoniga ketma-ket qo'llaymiz va nima sodir bo'lishini ko'ramiz:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \o'ng))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \o'ng))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \o'ng)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Shuni unutmangki, darajani bir darajaga ko'targanda, bu darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi. Va umuman olganda, eksponensial tenglamalar va tengsizliklar bilan ishlashda hech bo'lmaganda kuchlar bilan ishlashning eng oddiy qoidalarini bilish mutlaqo kerak:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(tekislash)\]
Aslida, oxirgi qoida biz shunchaki qo'llaymiz. Shunday qilib, bizning asl tengsizligimiz quyidagicha qayta yoziladi:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\O'ng strelka ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Endi biz ikkita bazadan qutulamiz. 2 > 1 bo'lgani uchun tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \o'ng]. \\\end(align)\]
Bu yechim! Asosiy qiyinchilik umuman eksponensial funktsiyada emas, balki asl ifodani malakali o'zgartirishda: uni diqqat bilan va tezda eng oddiy shaklga keltirishingiz kerak.
Ikkinchi tengsizlikni ko'rib chiqing:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Shunday. Bu erda bizni o'nlik kasrlar kutmoqda. Ko'p marta aytganimdek, har qanday vakolatli iboralarda siz o'nli kasrlardan xalos bo'lishingiz kerak - bu tez va oddiy echimni ko'rishning yagona yo'li. Bu erda biz qutulamiz:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ o'ng))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\O'ng strelka ((\left(\frac(1)(10) \o'ng))^(1-x)) \lt ( (\ chap (\ frac (1) (10) \ o'ng)) ^ (2)). \\\end(tekislash)\]
Bu erda yana eng oddiy tengsizlikka egamiz va hatto 1/10 asosi bilan, ya'ni. bittadan kam. Xo'sh, biz tagliklarni olib tashlaymiz, bir vaqtning o'zida belgini "kamroq" dan "ko'proq" ga o'zgartiramiz va biz quyidagilarni olamiz:
\[\boshlang(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(tekislash)\]
Biz yakuniy javobni oldik: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Iltimos, diqqat qiling: javob aniq to'plamdir va hech qanday holatda $x \lt -1$ shaklidagi qurilish. Chunki formal jihatdan bunday konstruksiya umuman to‘plam emas, balki $x$ o‘zgaruvchisiga nisbatan tengsizlikdir. Ha, bu juda oddiy, lekin bu javob emas!
Muhim eslatma. Bu tengsizlikni boshqa yo'l bilan - ikkala tomonni birdan kattaroq bazaga ega bo'lgan kuchga kamaytirish orqali hal qilish mumkin. Qarab qo'ymoq:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\O'ng strelka ((\chap(((10)^(-1)) \o'ng))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \o'ng))^(2))\O'ng strelka ((10)^(-1\cdot \left(1-x \o'ng)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Bunday o'zgartirishdan so'ng biz yana eksponensial tengsizlikka ega bo'lamiz, lekin asosi 10 > 1. Bu shuni anglatadiki, biz shunchaki o'nlikni kesib tashlashimiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(tekislash)\]
Ko'rib turganingizdek, javob aynan bir xil edi. Shu bilan birga, biz o'zimizni belgini o'zgartirish zaruratidan qutqardik va umuman olganda har qanday qoidalarni eslaymiz :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Biroq, bu sizni qo'rqitishiga yo'l qo'ymang. Ko'rsatkichlarda nima bo'lishidan qat'i nazar, tengsizlikni hal qilish texnologiyasining o'zi bir xil bo'lib qoladi. Shuning uchun, avvalo, 16 = 2 4 ekanligini ta'kidlaymiz. Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda dastlabki tengsizlikni qayta yozamiz:
\[\begin(align) & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Xayr! Biz odatdagi kvadrat tengsizlikni oldik! Belgisi hech qanday joyda o'zgarmadi, chunki taglik ikkita - birdan katta raqam.
Funksiyaning raqamlar qatoridagi nollari
Biz $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyaning belgilarini joylashtiramiz - aniqki, uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, shuning uchun "plyuslar" bo'ladi. ” yon tomonlarida. Biz funktsiya noldan kichik bo'lgan mintaqaga qiziqamiz, ya'ni. $x\in \left(2;5 \right)$ asl masalaga javobdir.
Va nihoyat, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Yana biz asosda o'nli kasrga ega eksponensial funktsiyani ko'ramiz. Keling, bu kasrni oddiy kasrga aylantiramiz:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \o'ng))^(1+(x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \o'ng)))\end(hizala)\]
IN Ushbu holatda Biz ilgari berilgan izohdan foydalandik - keyingi yechimimizni soddalashtirish uchun bazani 5 > 1 raqamiga qisqartirdik. Keling, o'ng tomon bilan ham xuddi shunday qilaylik:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(2))=(5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Ikkala transformatsiyani hisobga olgan holda asl tengsizlikni qayta yozamiz:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(-1\cdot \chap(1+) ((x)^(2)) \o'ng)))\ge ((5)^(-2))\]
Ikkala tomonning asoslari bir xil va birdan oshadi. O'ng va chap tomonda boshqa atamalar yo'q, shuning uchun biz shunchaki beshlikni "chizamiz" va juda oddiy iborani olamiz:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\to'rt \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Bu erda siz ko'proq ehtiyot bo'lishingiz kerak. Ko'pgina talabalar shunchaki chiqarib olishni yaxshi ko'radilar Kvadrat ildiz tengsizlikning har ikki tomonini toping va $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kabi biror narsani yozing. Hech qanday holatda buni qilmaslik kerak, chunki aniq kvadratning ildizi modul va hech qanday holatda asl o'zgaruvchi:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\chap| x\right|\]
Biroq, modullar bilan ishlash eng yoqimli tajriba emas, shunday emasmi? Shunday qilib, biz ishlamaymiz. Buning o'rniga, biz shunchaki barcha shartlarni chapga siljitamiz va odatdagi tengsizlikni intervalli usul yordamida hal qilamiz:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \o'ng)\left(x+1 \o'ng)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\to'rt ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Biz yana raqamlar chizig'ida olingan nuqtalarni belgilaymiz va belgilarga qaraymiz:
Iltimos, diqqat qiling: nuqtalar soyali Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilganimiz sababli, grafikdagi barcha nuqtalar soyali. Shuning uchun javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ - bu interval emas, balki segment.
Umuman olganda, shuni ta'kidlashni istardimki, eksponensial tengsizliklar haqida hech qanday murakkab narsa yo'q. Bugun biz amalga oshirgan barcha o'zgarishlarning ma'nosi oddiy algoritmga to'g'ri keladi:
- Biz barcha darajalarni kamaytiradigan asosni toping;
- $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi tengsizlikni olish uchun o‘zgartirishlarni ehtiyotkorlik bilan bajaring. Albatta, $x$ va $n$ oʻzgaruvchilari oʻrniga koʻproq boʻlishi mumkin murakkab funktsiyalar, lekin ma'no o'zgarmaydi;
- Darajalar asoslarini kesib tashlang. Bunday holda, agar asos $a \lt 1$ bo'lsa, tengsizlik belgisi o'zgarishi mumkin.
Aslida, bu barcha tengsizliklarni yechish uchun universal algoritmdir. Va bu mavzu bo'yicha sizga aytadigan boshqa hamma narsa - bu transformatsiyani soddalashtiradigan va tezlashtiradigan aniq texnikalar va fokuslar. Endi biz ushbu usullardan biri haqida gaplashamiz. :)
Ratsionalizatsiya usuli
Keling, boshqa tengsizliklar to'plamini ko'rib chiqaylik:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \o'ng))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Xo‘sh, ularda nimasi o‘ziga xos? Ular engil. Garchi, to'xtang! p soni bir darajaga ko'tarildimi? Qanday bema'nilik?
$2\sqrt(3)-3$ sonini qanday qilib quvvatga oshirish mumkin? Yoki $3-2\sqrt(2)$mi? Muammo mualliflari ishga o'tirishdan oldin juda ko'p Hawthorn ichishgan.
Aslida, bu vazifalarda qo'rqinchli narsa yo'q. Sizga eslatib o'taman: eksponensial funktsiya $((a)^(x))$ ko'rinishining ifodasidir, bunda $a$ asosi bittadan tashqari istalgan musbat sondir. p soni ijobiy - biz buni allaqachon bilamiz. $2\sqrt(3)-3$ va $3-2\sqrt(2)$ raqamlari ham ijobiydir - ularni nol bilan solishtirsangiz, buni tushunish oson.
Ma'lum bo'lishicha, bu "qo'rqinchli" tengsizliklarning barchasi yuqorida muhokama qilingan oddiylardan farq qilmaydimi? Va ular xuddi shu tarzda hal qilinadimi? Ha, bu mutlaqo to'g'ri. Biroq, ularning misolidan foydalanib, men mustaqil ish va imtihonlarga vaqtni sezilarli darajada tejaydigan bitta texnikani ko'rib chiqmoqchiman. Biz ratsionalizatsiya usuli haqida gapiramiz. Shunday qilib, diqqat:
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tengsizlik $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) tengsizligiga ekvivalentdir. o'ng) \gt 0 $.
Bu butun usul :) Boshqa o'yin bo'ladi deb o'ylaganmidingiz? Bu kabi hech narsa! Ammo tom ma'noda bir satrda yozilgan bu oddiy haqiqat ishimizni ancha soddalashtiradi. Qarab qo'ymoq:
\[\begin(matritsa) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Pastga qarab \\ \chap(x+7-\chap(((x)^(2)) -3x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matritsa)\]
Shunday qilib, boshqa eksponensial funktsiyalar yo'q! Va belgi o'zgaradimi yoki yo'qligini eslab qolishingiz shart emas. Lekin paydo bo'ladi yangi muammo: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] koʻpaytuvchi bilan nima qilish kerak? Bu nima haqida ekanligini bilmaymiz aniq qiymat raqamlari p. Biroq, kapitan aniq bir narsaga ishora qilganga o'xshaydi:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\taxminan 3,14... \gt 3\O'ng strelka \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Umuman olganda, p ning aniq qiymati bizni haqiqatdan ham qiziqtirmaydi - biz uchun har qanday holatda ham $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 ekanligini tushunish muhimdir. $, t.e. bu musbat doimiy va biz tengsizlikning ikkala tomonini unga bo'lishimiz mumkin:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \o'ng) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \o'ng)\left(x+1 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]
Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir daqiqada biz minus birga bo'linishimiz kerak edi - va tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxirida Viet teoremasidan foydalanib kvadrat trinomiyani kengaytirdim - ildizlar $((x)_(1))=5$ va $((x)_(2))=-1$ ga teng ekanligi aniq. . Keyin hamma narsa hal qilinadi klassik usul intervallar:
Tengsizlikni interval usuli yordamida yechish Barcha nuqtalar o'chiriladi, chunki asl tengsizlik qat'iydir. Bizni salbiy qiymatlari bo'lgan mintaqa qiziqtiradi, shuning uchun javob $x\in \left(-1;5 \right)$. Bu yechim :)
Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \o'ng))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Bu erda hamma narsa odatda oddiy, chunki o'ng tomonda birlik mavjud. Va biz eslaymizki, bitta nol darajaga ko'tarilgan har qanday raqam. Agar bu raqam chap tomondagi asosda irratsional ifoda bo'lsa ham:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end(tekislash)\]
Xo'sh, keling, ratsionalizatsiya qilaylik:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \o'ng)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Faqat belgilarni aniqlash qoladi. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ koeffitsienti $x$ oʻzgaruvchisini oʻz ichiga olmaydi - bu shunchaki doimiy boʻlib, uning belgisini aniqlashimiz kerak. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering:
\[\begin(matritsa) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Pastga qarab \\ 2\chap(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 2\cdot \left(2) -2 \o'ng)=0 \\\end (matritsa)\]
Ma'lum bo'lishicha, ikkinchi omil shunchaki doimiy emas, balki salbiy konstantadir! Va unga bo'linganda, asl tengsizlikning belgisi teskarisiga o'zgaradi:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \o'ng) \gt 0. \\\end(hizalang)\]
Endi hamma narsa butunlay ayon bo'ladi. Ildizlar kvadratik trinomial, o'ng tomonda: $((x)_(1))=0$ va $((x)_(2))=2$. Biz ularni raqamlar qatorida belgilaymiz va $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ funksiyaning belgilariga qaraymiz:
Bizni yon oraliqlar qiziqtiradigan holat Bizni ortiqcha belgisi bilan belgilangan intervallar qiziqtiradi. Faqat javobni yozish qoladi:
Keling, keyingi misolga o'tamiz:
\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ o'ng))^(16-x))\]
Xo'sh, bu erda hamma narsa aniq: asoslar bir xil sonli kuchlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun men hamma narsani qisqacha yozaman:
\[\begin(matritsa) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pastga qarab \\ ((\chap(((3)^(-1)) \o'ng))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \o'ng))^(16-x)) \\\end(matritsa)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ chap (16-x \o'ng)))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \o'ng)\left(x-4 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizalang)\]
Ko'rib turganingizdek, transformatsiya jarayonida biz ko'paytirishimiz kerak edi manfiy raqam, shuning uchun tengsizlik belgisi o'zgargan. Oxir-oqibat, kvadrat trinomialni koeffitsient qilish uchun yana Viet teoremasini qo'lladim. Natijada, javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left(-8;4 \right)$ - har kim buni raqamlar chizig'ini chizish, nuqtalarni belgilash va belgilarni hisoblash orqali tekshirishi mumkin. Shu bilan birga, biz "to'plam" dan oxirgi tengsizlikka o'tamiz:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Ko'rib turganingizdek, bazada yana irratsional son, o'ng tomonda esa yana birlik mavjud. Shuning uchun biz eksponensial tengsizlikni quyidagicha qayta yozamiz:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ o'ng))^(0))\]
Biz ratsionalizatsiyani qo'llaymiz:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \o'ng) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Biroq, $1-\sqrt(2) \lt 0$ ekanligi aniq, chunki $\sqrt(2)\taxminan 1,4... \gt 1$. Demak, ikkinchi omil yana salbiy konstanta bo'lib, unga tengsizlikning ikkala tomonini bo'lish mumkin:
\[\begin(matritsa) \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0 \\ \pastga qarab \ \\end (matritsa)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]
Boshqa bazaga o'ting
Eksponensial tengsizliklarni echishda alohida muammo - bu "to'g'ri" asosni izlash. Afsuski, vazifaga birinchi qarashda nimani asos qilib olish va bu asos darajasiga qarab nima qilish kerakligi har doim ham aniq emas.
Lekin tashvishlanmang: bu erda sehr yoki "maxfiy" texnologiya yo'q. Matematikada algoritmlash mumkin bo'lmagan har qanday ko'nikma amaliyot orqali osonlik bilan rivojlantirilishi mumkin. Ammo buning uchun siz turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishingiz kerak bo'ladi. Masalan, bu kabi:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ tugatish(tekislash)\]
Qiyinmi? Qo'rqinchlimi? Tovuqni asfaltga urishdan ko'ra osonroq! Keling urinib koramiz. Birinchi tengsizlik:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Menimcha, bu erda hamma narsa aniq:
Biz asl tengsizlikni qayta yozamiz, hamma narsani ikkita asosga qisqartiramiz:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\O'ng strelka \chap(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \o'ng)\cdot \left(2-1 \o'ng) \lt 0\]
Ha, ha, siz to'g'ri eshitdingiz: men yuqorida tavsiflangan ratsionalizatsiya usulini qo'lladim. Endi biz ehtiyotkorlik bilan ishlashimiz kerak: bizda kasr-ratsional tengsizlik bor (bu maxrajda o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlik), shuning uchun biz biror narsani nolga tenglashtirishdan oldin hamma narsani tenglashtirishimiz kerak. umumiy maxraj va doimiy omildan xalos bo'ling.
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Endi biz standart interval usulidan foydalanamiz. Numerator nollari: $x=\pm 4$. Maxraj faqat $x=0$ bo'lganda nolga tushadi. Raqamlar chizig'ida belgilanishi kerak bo'lgan jami uchta nuqta mavjud (barcha nuqtalar belgilangan, chunki tengsizlik belgisi qat'iy). Biz olamiz:
Ko'proq qiyin ish: uchta ildiz Siz taxmin qilganingizdek, soyalar chapdagi ifoda salbiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni belgilaydi. Shunday qilib, yakuniy javob bir vaqtning o'zida ikkita intervalni o'z ichiga oladi:
Intervallarning uchlari javobga kiritilmagan, chunki dastlabki tengsizlik qat'iy edi. Bu javobni qo'shimcha tekshirish talab qilinmaydi. Shu munosabat bilan ko'rsatkichli tengsizliklar logarifmik tengsizliklarga qaraganda ancha sodda: ODZ yo'q, cheklovlar yo'q va hokazo.
Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:
\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Bu erda ham hech qanday muammo yo'q, chunki biz allaqachon $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ekanligini bilamiz, shuning uchun butun tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\O‘ng strelka ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \o'ng) \o'ng. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
E'tibor bering: uchinchi qatorda men arzimas narsalarga vaqt sarflamaslikka va darhol hamma narsani (−2) ga bo'lishga qaror qildim. Minul birinchi qavsga kirdi (endi hamma joyda plyuslar bor), ikkitasi esa doimiy omil bilan qisqartirildi. Mustaqil va haqiqiy displeylarni tayyorlashda aynan shunday qilish kerak testlar— har bir harakat va o‘zgarishlarni tasvirlashning hojati yo‘q.
Keyinchalik, tanish bo'lgan intervallar usuli o'ynaydi. Numerator nollari: lekin ular yo'q. Chunki diskriminant salbiy bo'ladi. O'z navbatida, maxraj faqat $x=0$ bo'lganda tiklanadi - xuddi oxirgi marta bo'lgani kabi. Xo'sh, $x=0$ ning o'ng tomonida kasr ijobiy qiymatlarni olishi aniq, chapda esa - salbiy. Bizni salbiy qiymatlar qiziqtirganligi sababli, yakuniy javob quyidagicha: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1\]
Eksponensial tengsizliklarda o'nli kasrlar bilan nima qilish kerak? To'g'ri: ulardan xalos bo'ling, ularni oddiy narsalarga aylantiring. Bu erda biz tarjima qilamiz:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\O'ng strelka ((\chap(0,16 \o'ng))^(1+2x)) =(\ chap (\ frac (4) (25) \ o'ng)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Oʻng strelka ((\chap(6.25 \oʻng))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\o'ng))^(x)). \\\end(tekislash)\]
Xo'sh, biz eksponensial funktsiyalarning asoslarida nimani oldik? Va biz ikkita o'zaro teskari raqamni oldik:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1))\O'ng strelka ((\chap(\frac(25)(4) \ o'ng))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1)) \o'ng))^(x))=((\ chap (\ frac (4) (25) \ o'ng)) ^ (-x)) \]
Shunday qilib, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \o'ng) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(1+2x+\left(-x \o'ng)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0) ). \\\end(tekislash)\]
Albatta, bir xil asosga ega darajalarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi, bu ikkinchi qatorda sodir bo'lgan. Bundan tashqari, biz o'ngdagi birlikni, shuningdek, 4/25 bazasida quvvat sifatida ifodaladik. Faqat ratsionalizatsiya qilish qoladi:
\[((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0)) \O'ng strelka \left(x+1-0 \o'ng)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \o'ng)\ge 0\]
E'tibor bering, $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ya'ni. ikkinchi omil manfiy konstanta bo'lib, unga bo'linganda tengsizlik belgisi o'zgaradi:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \right]. \\\end(hizala)\]
Va nihoyat, joriy "to'plam" dan oxirgi tengsizlik:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \o'ng))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Asosan, bu erda yechim g'oyasi ham aniq: tengsizlikka kiritilgan barcha eksponensial funktsiyalar "3" bazasiga qisqartirilishi kerak. Ammo buning uchun siz ildizlar va kuchlar bilan biroz o'ylashingiz kerak bo'ladi:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\to'rt 81=((3)^(4)). \\\end(tekislash)\]
Ushbu faktlarni hisobga olgan holda, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \o'ng))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\o'ng))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(tekislash)\]
Hisob-kitoblarning 2 va 3 qatorlariga e'tibor bering: tengsizlik bilan biror narsa qilishdan oldin, uni darsning boshidanoq gaplashgan shaklga keltiring: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Chap yoki o'ng tomonda ba'zi chap qo'l omillari, qo'shimcha doimiylar va boshqalar mavjud ekan, asoslarni ratsionalizatsiya qilish yoki "chizib tashlash" mumkin emas! Buni tushunmaslik tufayli son-sanoqsiz topshiriqlar noto'g'ri bajarilgan oddiy fakt. Men ko'rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni tahlil qilishni boshlaganimizda, o'quvchilarim bilan doimo bu muammoni kuzataman.
Ammo keling, vazifamizga qaytaylik. Keling, bu safar ratsionalizatsiyasiz bajarishga harakat qilaylik. Esda tutaylik: daraja asosi birdan katta, shuning uchun uchliklarni shunchaki kesib tashlash mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\ frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(tuzalash)\]
Ana xolos. Yakuniy javob: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Barqaror ifodani ajratish va o'zgaruvchini almashtirish
Xulosa qilib, men tayyorlanmagan talabalar uchun juda qiyin bo'lgan yana to'rtta eksponensial tengsizlikni echishni taklif qilaman. Ular bilan kurashish uchun siz darajalar bilan ishlash qoidalarini eslab qolishingiz kerak. Xususan, umumiy omillarni qavs ichidan chiqarish.
Lekin eng muhimi, qavslardan aniq nimani olib tashlash mumkinligini tushunishni o'rganishdir. Bunday ifoda barqaror deyiladi - u yangi o'zgaruvchi bilan belgilanishi va shu bilan eksponensial funktsiyadan xalos bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \o'ng))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Birinchi qatordan boshlaylik. Bu tengsizlikni alohida yozamiz:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ekanligini unutmang, shuning uchun o'ng qo'l tomoni qayta yozilishi mumkin:
E'tibor bering, tengsizlikda $((5)^(x+1))$ dan boshqa eksponensial funksiyalar mavjud emas. Va umuman olganda, $x$ o'zgaruvchisi boshqa joyda ko'rinmaydi, shuning uchun yangi o'zgaruvchini kiritamiz: $((5)^(x+1))=t$. Biz quyidagi qurilishni olamiz:
\[\boshlang(tuzala) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(tuzalash)\]
Biz asl o'zgaruvchiga qaytamiz ($t=((5)^(x+1))$) va shu bilan birga 1=5 0 ekanligini eslaymiz. Bizda ... bor:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(tekislash)\]
Bu yechim! Javob: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Ikkinchi tengsizlikka o'tamiz:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Bu erda hamma narsa bir xil. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ ekanligini unutmang. Keyin chap tomoni qayta yozish mumkin:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \o‘ng. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\O'ng strelka x\in \chapda[ 2;+\infty \o'ngda). \\\end(tekislash)\]
Haqiqiy testlar va mustaqil ish uchun echimni taxminan shunday tuzishingiz kerak.
Xo'sh, keling, yanada murakkabroq narsani sinab ko'raylik. Masalan, bu erda tengsizlik:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Bu yerda qanday muammo bor? Avvalo, chapdagi ko'rsatkichli funktsiyalarning asoslari har xil: 5 va 25. Biroq, 25 = 5 2, shuning uchun birinchi hadni o'zgartirish mumkin:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(tekislash) )\]
Ko'rib turganingizdek, avval biz hamma narsani olib keldik bir xil asos, va keyin birinchi atama osongina ikkinchisiga qisqartirilishi mumkinligini payqadim - shunchaki eksponentni kengaytirish kerak. Endi siz yangi o'zgaruvchini xavfsiz kiritishingiz mumkin: $((5)^(2x+2))=t$ va butun tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(tuzalash)\]
Va yana, hech qanday qiyinchilik yo'q! Yakuniy javob: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Keling, bugungi darsdagi yakuniy tengsizlikka o'tamiz:
\[((\left(0,5 \o'ng))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa, albatta, kasr birinchi darajali asosda. Undan xalos bo'lish va shu bilan birga barcha eksponensial funktsiyalarni bir xil bazaga - "2" raqamiga keltirish kerak:
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\O'ng strelka ((\left(0,5 \o'ng))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \o'ng))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Oʻng strelka ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \oʻng))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Ajoyib, biz birinchi qadamni tashladik - hamma narsa bir xil poydevorga olib keldi. Endi siz tanlashingiz kerak barqaror ifoda. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ ekanligini unutmang. Agar biz yangi $((2)^(4x+6))=t$ oʻzgaruvchisini kiritsak, asl tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:
\[\boshlang(hatlang) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(tekislash)\]
Tabiiyki, savol tug'ilishi mumkin: biz 256 = 2 8 ekanligini qanday aniqladik? Afsuski, bu erda siz faqat ikkita (va bir vaqtning o'zida uch va besh) kuchlarini bilishingiz kerak. Xo'sh, yoki natijani olmaguncha 256 ni 2 ga bo'ling (siz bo'lishingiz mumkin, chunki 256 juft sondir). Bu shunday ko'rinadi:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(tekislash) )\]
Xuddi shu narsa uchta (9, 27, 81 va 243 raqamlari uning darajalari) va ettita (49 va 343 raqamlarini eslab qolish yaxshi bo'lardi). Xo'sh, beshta siz bilishingiz kerak bo'lgan "chiroyli" darajalarga ega:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(tekislash)\]
Albatta, agar xohlasangiz, bu raqamlarning barchasini ketma-ket bir-biriga ko'paytirish orqali ongingizda tiklashingiz mumkin. Biroq, agar siz bir nechta eksponensial tengsizliklarni echishingiz kerak bo'lsa va har bir keyingisi oldingisiga qaraganda qiyinroq bo'lsa, siz o'ylashni istagan oxirgi narsa - bu ba'zi raqamlarning kuchlari. Va shu ma'noda, bu muammolar intervalli usul bilan hal qilinadigan "klassik" tengsizliklarga qaraganda ancha murakkab.
va x = b eng oddiy eksponensial tenglama. Unda a noldan katta va A biriga teng kelmaydi.
Ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish
Eksponensial funktsiyaning xususiyatlaridan uning qiymatlari diapazoni ijobiy haqiqiy sonlar bilan cheklanganligini bilamiz. Agar b = 0 bo'lsa, tenglamaning yechimlari yo'q. Xuddi shu holat b tenglamada sodir bo'ladi
Endi b>0 deb faraz qilaylik. Agar ko'rsatkichli funktsiyada asos bo'lsa a birlikdan kattaroq bo'lsa, funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib boradi. Agar asos uchun eksponensial funktsiyada bo'lsa A quyidagi shart bajariladi 0 Bunga asoslanib va ildiz teoremasini qo‘llagan holda, a x = b tenglamaning b>0 va musbat uchun bitta ildizga ega ekanligini aniqlaymiz. a biriga teng emas. Uni topish uchun b ni b = a c shaklida ifodalash kerak. Keling, ko'rib chiqaylik keyingi misol: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25 tenglamani yeching. 25 ni 5 2 deb tasavvur qilaylik, biz quyidagilarni olamiz: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Yoki ekvivalent nima: x 2 - 2*x - 1 = 2. Biz olgan narsalarni hal qilish kvadrat tenglama har qanday ma'lum usullar. Biz ikkita ildizni olamiz x = 3 va x = -1. Javob: 3;-1. 4 x - 5*2 x + 4 = 0 tenglamani yechamiz. O'rnini almashtiramiz: t=2 x va quyidagi kvadrat tenglamani olamiz: t 2 - 5*t + 4 = 0. Endi 2 x = 1 va 2 x = 4 tenglamalarni yechamiz. Javob: 0;2. Eng oddiy ko‘rsatkichli tengsizliklar yechimi ham o‘suvchi va kamayuvchi funksiyalarning xossalariga asoslanadi. Agar ko'rsatkichli funktsiyada a asos birdan katta bo'lsa, u holda funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib boradi. Agar baza uchun eksponensial funktsiyada bo'lsa A quyidagi shart bajariladi 0 Misolni ko'rib chiqing: tengsizlikni yeching (0,5) (7 - 3*x)< 4. 4 = (0,5) 2 ekanligini unutmang. Keyin tengsizlik (0,5)(7 - 3*x) ko'rinishini oladi.< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Biz olamiz: 7 - 3*x>-2. Demak: x<3. Javob: x<3. Agar tengsizlikdagi asos birdan katta bo'lsa, asosdan qutulishda tengsizlik belgisini o'zgartirishga hojat qolmaydi. Bu darsda biz eng oddiy eksponensial tengsizliklarni yechish texnikasi asosida turli ko‘rsatkichli tengsizliklarni ko‘rib chiqamiz va ularni yechish usullarini o‘rganamiz. Ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi va asosiy xususiyatlarini eslaylik. Barcha ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni yechish shu xossalarga asoslanadi. Eksponensial funktsiya shaklning funksiyasi , bu erda asos daraja va bu erda x mustaqil o'zgaruvchi, argument; y - bog'liq o'zgaruvchi, funktsiya. Guruch. 1. Ko‘rsatkichli funksiya grafigi Grafikda o'suvchi va kamayuvchi ko'rsatkichlar ko'rsatilgan, asosi mos ravishda birdan katta va birdan kichik, lekin noldan katta bo'lgan eksponensial funktsiyani tasvirlaydi. Ikkala egri chiziq (0;1) nuqtadan o'tadi. Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari: Domen: ; Qiymatlar diapazoni: ; Funktsiya monotonik bo'lib, bilan ortadi, bilan kamayadi. Monotonik funktsiya bitta argument qiymati berilgan holda o'zining har bir qiymatini oladi. Qachonki, argument minusdan ortiqcha cheksizlikka ko'tarilganda, funktsiya noldan inklyuzivdan ortiqcha cheksizlikka ko'tariladi, ya'ni argumentning berilgan qiymatlari uchun biz monoton ravishda ortib borayotgan funktsiyaga ega bo'lamiz (). Aksincha, argument minusdan plyus cheksizgacha oshganda, funktsiya cheksizlikdan nolga o'z ichiga oladi, ya'ni argumentning berilgan qiymatlari uchun biz monoton ravishda kamayuvchi funktsiyaga ega bo'lamiz (). Yuqoridagilarga asoslanib, biz oddiy eksponensial tengsizliklarni yechish usulini taqdim etamiz: Tengsizliklarni yechish texnikasi: Darajalar asoslarini tenglashtiring; Tengsizlik belgisini teskarisiga saqlab yoki o'zgartirib, ko'rsatkichlarni solishtiring. Murakkab ko'rsatkichli tengsizliklarni hal qilish odatda ularni eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarga kamaytirishdan iborat. Darajaning asosi birdan katta, ya'ni tengsizlik belgisi saqlanib qoladi: Keling, o'ng tomonni darajaning xususiyatlariga ko'ra aylantiramiz: Darajaning asosi birdan kichik, tengsizlik belgisi teskari bo'lishi kerak: Kvadrat tengsizlikni yechish uchun tegishli kvadrat tenglamani yechamiz: Viet teoremasidan foydalanib, biz ildizlarni topamiz: Parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan. Shunday qilib, biz tengsizlikka yechim topamiz: O'ng tomonni nol ko'rsatkichli kuch sifatida ko'rsatish mumkinligini taxmin qilish oson: Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi o'zgarmaydi, biz olamiz: Keling, bunday tengsizliklarni echish texnikasini eslaylik. Kasr-ratsional funktsiyani ko'rib chiqing: Ta'rif sohasini topamiz: Funktsiyaning ildizlarini topish: Funktsiya bitta ildizga ega, Biz doimiy ishorali intervallarni tanlaymiz va har bir oraliqda funktsiyaning belgilarini aniqlaymiz: Guruch. 2. Belgining doimiylik intervallari Shunday qilib, biz javob oldik. Javob: Ko'rsatkichlari bir xil, ammo asoslari har xil bo'lgan tengsizliklarni ko'rib chiqaylik. Eksponensial funktsiyaning xususiyatlaridan biri shundaki, u argumentning har qanday qiymati uchun qat'iy ijobiy qiymatlarni oladi, ya'ni uni eksponensial funktsiyaga bo'lish mumkin. Berilgan tengsizlikni uning o‘ng tomoniga ajratamiz: Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi saqlanadi. Keling, yechimni tasvirlab beraylik: 6.3-rasmda funksiyalarning grafiklari va . Shubhasiz, argument noldan katta bo'lsa, funktsiyaning grafigi yuqori bo'ladi, bu funktsiya kattaroq bo'ladi. Argument qiymatlari salbiy bo'lsa, funktsiya pastga tushadi, u kichikroq bo'ladi. Argument teng bo'lsa, funksiyalar teng bo'ladi, demak, bu nuqta ham berilgan tengsizlikning yechimidir. Guruch. 3. Tasvir, misol uchun 4 Berilgan tengsizlikni daraja xossalariga ko‘ra o‘zgartiramiz: Mana bir nechta o'xshash atamalar: Keling, ikkala qismni ham ajratamiz: Endi biz 4-misolga o'xshash tarzda echishni davom ettiramiz, ikkala qismni quyidagilarga ajratamiz: Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi qoladi: 6-misol – Tengsizlikni grafik usulda yeching: Keling, chap va o'ng tomonlardagi funktsiyalarni ko'rib chiqamiz va ularning har biri uchun grafik tuzamiz. Funktsiya eksponensial bo'lib, uning butun ta'rif sohasi bo'ylab, ya'ni argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun ortadi. Funktsiya chiziqli bo'lib, butun ta'rif sohasi bo'ylab, ya'ni argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun kamayadi. Agar bu funksiyalar kesishsa, ya'ni tizim yechimga ega bo'lsa, unda bunday yechim yagona bo'lib, uni osongina taxmin qilish mumkin. Buning uchun biz butun sonlarni () takrorlaymiz. Ushbu tizimning ildizi quyidagilardan iborat ekanligini ko'rish oson. Shunday qilib, funksiyalarning grafiklari birga teng argumentga ega bo'lgan nuqtada kesishadi. Endi biz javob olishimiz kerak. Berilgan tengsizlikning ma'nosi shundaki, ko'rsatkich chiziqli funktsiyadan katta yoki unga teng bo'lishi kerak, ya'ni undan yuqori yoki mos keladi. Javob aniq: (6.4-rasm) Guruch. 4. Tasvir, misol uchun 6 Shunday qilib, biz turli xil standart eksponensial tengsizliklarni echishni ko'rib chiqdik. Keyinchalik murakkab ko'rsatkichli tengsizliklarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Adabiyotlar ro'yxati Mordkovich A. G. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. - M .: Mnemosin. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra va matematik analizning boshlanishi. - M .: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu va boshqalar. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. - M.: Ma'rifat. Matematika. md. Matematika - takrorlash. com. Diffur. kemsu. ru. Uy vazifasi 1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-11 sinflar (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsin) 1990 yil, No 472, 473; 2. Tengsizlikni yeching: 3. Tengsizlikni yeching.
Shunda bu ayon bo'ladi Bilan a x = a c tenglamaning yechimi bo'ladi.
Bu tenglamani har qanday ma'lum usullardan foydalanib yechamiz. Biz t1 = 1 t2 = 4 ildizlarni olamizKo‘rsatkichli tengsizliklarni yechish
1. Ko‘rsatkichli funksiya ta’rifi va xossalari
2. Eng oddiy darajali tengsizliklar, yechish usuli, misol
3. Standart ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish
4. Ko‘rsatkichli tengsizliklarning grafik yechimi
