Kasrli ratsional tenglamalarni yechish 8. Ratsional tenglamalar. Kvadrat tenglamalarga keltiruvchi ratsional tenglamalarning yetti turi
Shuningdek o'qing
Kasr tenglamalari. ODZ.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Biz tenglamalarni o'zlashtirishda davom etamiz. Biz allaqachon chiziqli va kvadrat tenglamalar bilan ishlashni bilamiz. Qolgan oxirgi ko'rinish - kasr tenglamalari. Yoki ularni yanada hurmatli deb atashadi - kasrli ratsional tenglamalar. Xuddi shunday.
Kasr tenglamalari.
Nomidan ko'rinib turibdiki, bu tenglamalar, albatta, kasrlarni o'z ichiga oladi. Lekin faqat kasrlar emas, balki kasrlar ham bor maxrajda noma'lum. Hech bo'lmaganda bittasida. Masalan:
Sizga shuni eslatib o'tamanki, agar denominatorlar faqat raqamlar, bu chiziqli tenglamalar.
Qanday qaror qilish kerak kasr tenglamalari? Avvalo, kasrlardan xalos bo'ling! Shundan so'ng, tenglama ko'pincha chiziqli yoki kvadratga aylanadi. Va keyin nima qilish kerakligini bilamiz ... Ba'zi hollarda u 5=5 kabi identifikatsiyaga yoki 7=2 kabi noto'g'ri ifodaga aylanishi mumkin. Ammo bu kamdan-kam hollarda bo'ladi. Bu haqda quyida aytib o‘taman.
Ammo kasrlardan qanday qutulish mumkin!? Juda oddiy. Xuddi shu o'zgarishlarni qo'llash.
Biz butun tenglamani bir xil ifoda bilan ko'paytirishimiz kerak. Shunday qilib, barcha maxrajlar kamayadi! Hamma narsa darhol osonroq bo'ladi. Bir misol bilan tushuntiraman. Keling, tenglamani yechishimiz kerak:
Boshlang'ich maktabda qanday o'qitilgansiz? Biz hamma narsani bir tomonga siljitamiz, uni umumiy maxrajga keltiramiz va hokazo. Yomon tush kabi unuting! Kasrlarni qo'shish yoki ayirish paytida buni qilish kerak. Yoki siz tengsizliklar bilan ishlaysiz. Va tenglamalarda biz darhol ikkala tomonni barcha maxrajlarni (ya'ni, mohiyatan umumiy maxraj bilan) kamaytirish imkoniyatini beradigan ifoda bilan ko'paytiramiz. Va bu ifoda nima?
Chap tomonda, maxrajni kamaytirish uchun ko'paytirish kerak x+2. Va o'ngda, 2 ga ko'paytirish talab qilinadi, bu tenglamani ko'paytirish kerak degan ma'noni anglatadi 2(x+2). Ko'paytirish:
Bu kasrlarning keng tarqalgan ko'payishi, lekin men buni batafsil tasvirlab beraman:
E'tibor bering, men hali qavsni ochmayapman (x + 2)! Shunday qilib, men uni to'liq yozaman:
Chap tomonda u butunlay qisqaradi (x+2), va o'ng tomonda 2. Qaysi narsa talab qilingan edi! Qisqartirilgandan keyin biz olamiz chiziqli tenglama:
Va bu tenglamani hamma hal qila oladi! x = 2.
Keling, yana bir misolni hal qilaylik, biroz murakkabroq:
Agar 3 = 3/1 ekanligini eslasak va 2x = 2x/ 1, biz yozishimiz mumkin:
Va yana biz o'zimizga yoqmaydigan narsalardan - kasrlardan xalos bo'lamiz.
Ko'rib turibmizki, maxrajni X bilan kamaytirish uchun kasrni ga ko'paytirish kerak (x – 2). Va bir nechtasi bizga to'sqinlik qilmaydi. Xo'sh, ko'paytiraylik. Hammasi chap tomoni va hammasi o'ng tomon:
Yana qavslar (x – 2) Men oshkor qilmayman. Men qavs bilan xuddi bitta raqamdek ishlayman! Buni har doim qilish kerak, aks holda hech narsa kamaymaydi.
Chuqur qoniqish hissi bilan biz kamaytiramiz (x – 2) va biz hech qanday kasrsiz, o'lchagich bilan tenglama olamiz!
Endi qavslarni ochamiz:
Biz shunga o'xshash narsalarni olib kelamiz, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz va olamiz:
Ammo bundan oldin biz boshqa muammolarni hal qilishni o'rganamiz. Qiziqish bo'yicha. Aytgancha, bu rake!
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
"Kasr ratsional tenglamalarni yechish"
Dars maqsadlari:
Tarbiyaviy:
- kasr ratsional tenglamalar tushunchasini shakllantirish; kasr ratsional tenglamalarni yechishning turli usullarini ko'rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini, shu jumladan kasr nolga teng bo‘lgan shartni ko‘rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni algoritm yordamida yechishni o‘rgatish; mavzuni o`zlashtirish darajasini test ishini o`tkazish orqali tekshirish.
Rivojlanish:
- Olingan bilimlar bilan to'g'ri ishlash va mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirish; intellektual qobiliyatlarni va aqliy operatsiyalarni rivojlantirish - tahlil qilish, sintez qilish, taqqoslash va umumlashtirish; tashabbusni rivojlantirish, qaror qabul qilish qobiliyati va u erda to'xtab qolmaslik; tanqidiy fikrlashni rivojlantirish; tadqiqot ko'nikmalarini rivojlantirish.
Tarbiyalash:
- mavzuga kognitiv qiziqishni rivojlantirish; ta'lim muammolarini hal qilishda mustaqillikni tarbiyalash; yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat'iyatni tarbiyalash.
Dars turi: dars - yangi materialni tushuntirish.
Darslar davomida
1. Tashkiliy moment.
Salom bolalar! Doskada tenglamalar yozilgan, ularga diqqat bilan qarang. Bu tenglamalarning barchasini yecha olasizmi? Qaysi biri yo'q va nima uchun?
Chap va o'ng tomonlari kasr ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalar kasr ratsional tenglamalar deyiladi. Sizningcha, bugun darsda nimani o'rganamiz? Dars mavzusini shakllantirish. Shunday qilib, daftarlaringizni oching va "Kasr ratsional tenglamalarni yechish" dars mavzusini yozing.
2. Bilimlarni yangilash. Frontal so'rov, sinf bilan og'zaki ish.
Va endi biz yangi mavzuni o'rganishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy materialni takrorlaymiz. Iltimos, quyidagi savollarga javob bering:
1. Tenglama deb nimaga aytiladi? ( O'zgaruvchi yoki o'zgaruvchi bilan tenglik.)
2. No1 tenglama qanday nomlanadi? ( Chiziqli.) Chiziqli tenglamalarni yechish usuli. ( Noma'lum hamma narsani tenglamaning chap tomoniga, barcha raqamlarni o'ngga o'tkazing. Shunga o'xshash shartlarni keltiring. Noma'lum omilni toping).
3. No3 tenglama qanday nomlanadi? ( Kvadrat.) Kvadrat tenglamalarni yechish usullari. ( Vyeta teoremasi va uning natijalaridan foydalangan holda formulalar yordamida to'liq kvadratni ajratib olish.)
4. Proporsiya nima? ( Ikki nisbatning tengligi.) Proporsiyaning asosiy xossasi. ( Agar mutanosiblik to‘g‘ri bo‘lsa, uning ekstremal hadlari ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.)
5. Tenglamalarni yechishda qanday xossalardan foydalaniladi? ( 1. Agar tenglamadagi hadni belgisini o‘zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi. 2. Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi..)
6. Kasr qachon nolga teng bo'ladi? ( Numerator nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng..)
3. Yangi materialni tushuntirish.
No2 tenglamani daftar va doskaga yeching.
Javob: 10.
Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanib qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga harakat qila olasiz? (№ 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
No4 tenglamani daftar va doskaga yeching.
Javob: 1,5.
Tenglamaning har ikki tomonini maxrajga ko‘paytirish orqali qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga urinib ko‘rishingiz mumkin? (№ 6).
D=1›0, x1=3, x2=4.
Javob: 3;4.
Endi quyidagi usullardan biri yordamida 7-raqamli tenglamani yechishga harakat qiling.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Javob: 0;5;-2. | Javob: 5;-2. |
Nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiring? Nima uchun bir holatda uchta, ikkinchisida ikkita ildiz bor? Ushbu kasrli ratsional tenglamaning ildizlari qanday raqamlardan iborat?
Hozirgacha talabalar begona ildiz tushunchasiga duch kelmaganlar, ular uchun bu nima uchun sodir bo'lganini tushunish juda qiyin. Agar sinfda hech kim bu holatni aniq tushuntira olmasa, o'qituvchi etakchi savollarni beradi.
- No2 va 4 tenglamalar No5,6,7 tenglamalardan qanday farq qiladi? ( No 2 va 4 tenglamalarda maxrajdagi sonlar, 5-7 o'zgaruvchili ifodalar mavjud..) Tenglamaning ildizi nima? ( Tenglama rost bo'ladigan o'zgaruvchining qiymati.) Son tenglamaning ildizi ekanligini qanday aniqlash mumkin? ( Chek qiling.)
Sinov paytida ba'zi talabalar nolga bo'lishlari kerakligini payqashadi. Ular 0 va 5 raqamlari bu tenglamaning ildizi emas degan xulosaga kelishadi. Savol tug'iladi: bu xatoni bartaraf etishga imkon beruvchi kasrli ratsional tenglamalarni echishning bir usuli bormi? Ha, bu usul kasr nolga teng bo'lish shartiga asoslanadi.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Agar x=5 bo'lsa, x(x-5)=0, ya'ni 5 begona ildizdir.
Agar x=-2 bo'lsa, x(x-5)≠0.
Javob: -2.
Shu tarzda kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik. Bolalar algoritmni o'zlari tuzadilar.
Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:
1. Hamma narsani chap tomonga o'tkazing.
2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.
3. Tizim tuzing: pay nolga teng, maxraj esa nolga teng bo‘lmaganda kasr nolga teng bo‘ladi.
4. Tenglamani yeching.
5. Chet ildizlarni istisno qilish uchun tengsizlikni tekshiring.
6. Javobni yozing.
Munozara: agar siz mutanosiblikning asosiy xususiyatidan foydalansangiz va tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytirsangiz, yechimni qanday rasmiylashtirish kerak. (Yechimga qo'shing: uning ildizidan umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni chiqarib tashlang).
4. Yangi materialni dastlabki tushunish.
Juft bo'lib ishlamoq. Talabalar tenglama turiga qarab tenglamani yechish usulini o‘zlari tanlaydilar. “Algebra 8” darsligidan topshiriqlar, 2007: No 000 (b, c, i); № 000(a, d, g). O'qituvchi topshiriqning bajarilishini nazorat qiladi, yuzaga kelgan savollarga javob beradi va past o'quvchilarga yordam beradi. O'z-o'zini tekshirish: javoblar doskaga yoziladi.
b) 2 – begona ildiz. Javob: 3.
c) 2 – begona ildiz. Javob: 1.5.
a) Javob: -12.5.
g) Javob: 1;1,5.
5. Uy vazifasini belgilash.
2. Kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini bilib oling.
3. No 000 (a, d, e) daftarlarida yechish; № 000 (g, h).
4. 000(a) ni yechishga harakat qiling (ixtiyoriy).
6. O`rganilgan mavzu bo`yicha nazorat topshirig`ini bajarish.
Ish qog'oz varaqlarida amalga oshiriladi.
Misol topshiriq:
A) Qaysi tenglama kasr ratsional hisoblanadi?
B) Numerator ______________________ va maxraji _______________________ bo'lganda kasr nolga teng.
S) -3 soni 6-raqamli tenglamaning ildizimi?
D) No7 tenglamani yeching.
Topshiriqni baholash mezonlari:
- Agar talaba topshiriqning 90% dan ortig'ini to'g'ri bajargan bo'lsa, "5" beriladi. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” topshiriqni 50% dan kam bajargan talabaga beriladi. Jurnalda 2 ball berilmaydi, 3 ball ixtiyoriy.
7. Reflektsiya.
Mustaqil ish varaqlariga yozing:
- 1 - agar dars siz uchun qiziqarli va tushunarli bo'lsa; 2 - qiziqarli, ammo aniq emas; 3 - qiziq emas, lekin tushunarli; 4 - qiziq emas, aniq emas.
8. Darsni yakunlash.
Demak, bugun darsimizda kasr ratsional tenglamalar bilan tanishdik, bu tenglamalarni turli usullarda yechishni o‘rgandik va mustaqil o‘quv ishlari yordamida bilimlarimizni sinab ko‘rdik. Mustaqil ishingiz natijalarini keyingi darsda bilib olasiz va uyda o'z bilimlaringizni mustahkamlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.
Kasrli ratsional tenglamalarni yechishning qaysi usuli, sizningcha, osonroq, qulayroq va oqilona? Kasrli ratsional tenglamalarni yechish usulidan qat'i nazar, nimani yodda tutish kerak? Kasrli ratsional tenglamalarning "ayyorligi" nima?
Hammaga rahmat, dars tugadi.
Biz yuqoridagi tenglamani 7-§da kiritdik. Birinchidan, ratsional ifoda nima ekanligini eslaylik. Bu tabiiy koʻrsatkich bilan qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, boʻlish va darajaga koʻtarish amallari yordamida sonlar va x oʻzgaruvchisidan tashkil topgan algebraik ifodadir.
Agar r(x) ratsional ifoda bo’lsa, u holda r(x) = 0 tenglama ratsional tenglama deyiladi.
Biroq, amalda "ratsional tenglama" atamasining biroz kengroq talqinini qo'llash qulayroqdir: bu h(x) = q(x) ko'rinishdagi tenglama, bu erda h(x) va q(x) ratsional ifodalar.
Shu paytgacha biz hech qanday ratsional tenglamani yecha olmadik, faqat bitta tenglama turli xil o'zgarishlar va mulohaza yuritish natijasida tenglamaga qisqartirildi. chiziqli tenglama. Endi bizning imkoniyatlarimiz ancha katta: biz nafaqat chiziqli tenglamani kamaytiradigan ratsional tenglamani yecha olamiz.
mu, balki kvadrat tenglamaga ham.
Keling, avval ratsional tenglamalarni qanday yechganimizni eslaylik va yechim algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik.
1-misol. Tenglamani yeching
Yechim. Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz
Bu holatda, odatdagidek, biz A = B va A - B = 0 tengliklari A va B o'rtasidagi bir xil munosabatni ifodalashidan foydalanamiz. Bu bizga atamani tenglamaning chap tomoniga ko'chirishga imkon berdi. qarama-qarshi belgi.
Keling, tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz. Bizda ... bor
Keling, tenglik shartlarini eslaylik kasrlar nol: agar va faqat ikkita munosabat bir vaqtning o'zida qondirilsa:
1) kasrning numeratori nolga teng (a = 0); 2) kasrning maxraji noldan farq qiladi).
(1) tenglamaning chap tomonidagi kasr sonini nolga tenglashtirib, biz hosil bo'lamiz.
Yuqorida ko'rsatilgan ikkinchi shartning bajarilishini tekshirish qoladi. (1) tenglama uchun munosabat degani. X 1 = 2 va x 2 = 0,6 qiymatlari ko'rsatilgan munosabatlarni qondiradi va shuning uchun (1) tenglamaning ildizlari va ayni paytda berilgan tenglamaning ildizlari bo'lib xizmat qiladi.
1) Tenglamani shaklga aylantiramiz
2) Ushbu tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz:
(bir vaqtning o'zida hisoblagichdagi belgilarni o'zgartirdi va
kasrlar).
Shunday qilib, berilgan tenglama shaklni oladi
3) x 2 - 6x + 8 = 0 tenglamani yeching. Toping
4) Topilgan qiymatlar uchun shartning bajarilishini tekshiring 
. 4 raqami bu shartni qondiradi, lekin 2 raqami bu shartni qondirmaydi. Demak, 4 berilgan tenglamaning ildizi, 2 esa begona ildizdir.
JAVOB: 4.
2. Ratsional tenglamalarni yangi o‘zgaruvchini kiritish orqali yechish
Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli sizga tanish, biz uni bir necha marta ishlatganmiz; Keling, ratsional tenglamalarni yechishda qanday ishlatilishini misollar bilan ko'rsatamiz.
3-misol. x 4 + x 2 - 20 = 0 tenglamani yeching.
Yechim. y = x 2 yangi o'zgaruvchini kiritamiz. x 4 = (x 2) 2 = y 2 bo'lgani uchun, berilgan tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin.
y 2 + y - 20 = 0.
Bu kvadrat tenglama bo'lib, uning ildizlarini ma'lum yordamida topish mumkin formulalar; y 1 = 4, y 2 = - 5 ni olamiz.
Ammo y = x 2, ya'ni muammo ikkita tenglamani echishga qisqartirildi:
x 2 =4; x 2 = -5.
Birinchi tenglamadan biz ikkinchi tenglamaning ildizi yo'qligini aniqlaymiz.
Javob: .
ax 4 + bx 2 +c = 0 ko'rinishdagi tenglama bikvadrat tenglama deb ataladi ("bi" - ikkita, ya'ni "ikki kvadrat" tenglamaning bir turi). Hozirgina yechilgan tenglama aniq bikvadrat edi. Har qanday bikvadrat tenglama 3-misoldagi tenglamaga o‘xshab yechiladi: yangi y = x 2 o‘zgaruvchisini kiriting, hosil bo‘lgan kvadrat tenglamani y o‘zgaruvchiga nisbatan yeching va keyin x o‘zgaruvchisiga qayting.
4-misol. Tenglamani yeching
Yechim. E'tibor bering, bir xil x 2 + 3x ifodasi bu erda ikki marta paydo bo'ladi. Bu y = x 2 + 3x yangi o'zgaruvchini kiritish mantiqiy ekanligini anglatadi. Bu bizga tenglamani soddaroq va yoqimli shaklda qayta yozishga imkon beradi (aslida bu yangisini kiritishdan maqsaddir. o'zgaruvchan- va yozishni soddalashtirish
aniqroq bo'ladi va tenglamaning tuzilishi aniqroq bo'ladi):
Endi ratsional tenglamani yechish algoritmidan foydalanamiz.
1) Keling, tenglamaning barcha shartlarini bir qismga o'tkazamiz:
= 0
2) Tenglamaning chap tomonini aylantiring
Shunday qilib, biz berilgan tenglamani shaklga o'tkazdik
3) Tenglamadan - 7y 2 + 29y -4 = 0 ni topamiz (siz va men juda ko'p kvadrat tenglamalarni hal qildik, shuning uchun darslikda har doim batafsil hisob-kitoblarni berishning hojati yo'q).
4) Topilgan ildizlarni 5-shart (y - 3) (y + 1) yordamida tekshiramiz. Ikkala ildiz ham bu shartni qondiradi.
Shunday qilib, yangi o'zgaruvchi y uchun kvadrat tenglama yechilgan: 
y = x 2 + 3x va y, biz aniqlaganimizdek, ikkita qiymatni qabul qilganligi sababli: 4 va , biz hali ham ikkita tenglamani yechishimiz kerak: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx =. Birinchi tenglamaning ildizlari 1 va - 4 raqamlari, ikkinchi tenglamaning ildizlari raqamlardir.
Ko'rib chiqilgan misollarda yangi o'zgaruvchini kiritish usuli, matematiklar aytganidek, vaziyatga adekvat edi, ya'ni unga yaxshi mos keldi. Nega? Ha, chunki tenglamada bir xil ibora bir necha marta aniq paydo bo'lgan va bu ifodani yangi harf bilan belgilash uchun sabab bor edi. Ammo bu har doim ham sodir bo'lmaydi, ba'zida yangi o'zgaruvchi faqat transformatsiya jarayonida "paydo bo'ladi". Keyingi misolda aynan shunday bo'ladi.
5-misol. Tenglamani yeching
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Yechim. Bizda ... bor
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Zx+2.
Demak, berilgan tenglamani shaklda qayta yozish mumkin
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Endi yangi o'zgaruvchi "paydo bo'ldi": y = x 2 - 3x.
Uning yordami bilan tenglamani y (y + 2) = 24 va keyin y 2 + 2y - 24 = 0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Bu tenglamaning ildizlari 4 va -6 raqamlaridir.
Dastlabki x o'zgaruvchisiga qaytsak, ikkita tenglamani olamiz x 2 - 3x = 4 va x 2 - 3x = - 6. Birinchi tenglamadan biz x 1 = 4, x 2 = - 1 ni topamiz; ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q.
JAVOB: 4, - 1.
Kasrli tenglamalarni yechish Keling, misollarni ko'rib chiqaylik. Misollar oddiy va tushunarli. Ularning yordami bilan siz eng tushunarli tarzda tushunishingiz mumkin.
Masalan, oddiy x/b + c = d tenglamasini yechish kerak.
Bunday turdagi tenglama chiziqli deb ataladi, chunki Maxraj faqat raqamlarni o'z ichiga oladi.
Yechim tenglamaning ikkala tomonini b ga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi, keyin tenglama x = b* (d - c) ko'rinishini oladi, ya'ni. chap tomondagi kasrning maxraji bekor qilinadi.
Masalan, kasrli tenglamani qanday yechish mumkin:
x/5+4=9
Biz ikkala tomonni 5 ga ko'paytiramiz.
x+20=45
x=45-20=25
Noma'lum maxrajda bo'lgan boshqa misol:
Bunday turdagi tenglamalar kasr-ratsional yoki oddiy kasr deyiladi.
Biz kasr tenglamasini kasrlardan xalos bo'lish yo'li bilan yechamiz, shundan so'ng bu tenglama ko'pincha chiziqli yoki kvadrat tenglamaga aylanadi, u odatiy tarzda echiladi. Siz faqat quyidagi fikrlarni hisobga olishingiz kerak:
- maxrajni 0 ga aylantiruvchi o‘zgaruvchining qiymati ildiz bo‘la olmaydi;
- Siz tenglamani =0 ifodasiga bo'la olmaysiz yoki ko'paytira olmaysiz.
Bu erda ruxsat etilgan qiymatlar mintaqasi (ADV) tushunchasi kuchga kiradi - bu tenglama mantiqiy bo'lgan tenglama ildizlarining qiymatlari.
Shunday qilib, tenglamani yechishda ildizlarni topish va keyin ularni ODZga muvofiqligini tekshirish kerak. Bizning ODZga mos kelmaydigan ildizlar javobdan chiqarib tashlanadi.
Masalan, kasr tenglamasini echishingiz kerak:
Yuqoridagi qoidaga asoslanib, x = 0 bo'lishi mumkin emas, ya'ni. Bu holda ODZ: x – noldan boshqa har qanday qiymat.
Biz tenglamaning barcha shartlarini x ga ko'paytirish orqali maxrajdan qutulamiz
Va biz odatdagi tenglamani hal qilamiz
5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Javob: x = 1/3
Keling, murakkabroq tenglamani yechamiz:
Bu erda ODZ ham mavjud: x -2.
Ushbu tenglamani yechishda biz hamma narsani bir tomonga siljitmaymiz va kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Biz darhol tenglamaning ikkala tomonini barcha maxrajlarni birdaniga bekor qiladigan ifodaga ko'paytiramiz.
Maxrajlarni kamaytirish uchun chap tomonni x+2 ga, o'ng tomonini 2 ga ko'paytirish kerak. Bu tenglamaning har ikki tomonini 2(x+2) ga ko'paytirish kerak degan ma'noni anglatadi:
Bu biz yuqorida muhokama qilgan kasrlarning eng keng tarqalgan ko'paytmasidir.
Keling, bir xil tenglamani yozamiz, lekin biroz boshqacha
Chap tomoni (x+2), o'ng tomoni esa 2 ga kamaytiriladi. Kamaytirilgandan so'ng biz odatdagi chiziqli tenglamani olamiz:
x = 4 – 2 = 2, bu bizning ODZ ga mos keladi
Javob: x = 2.
Kasrli tenglamalarni yechish tuyulishi mumkin bo'lgan darajada qiyin emas. Ushbu maqolada biz buni misollar bilan ko'rsatdik. Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa kasrli tenglamalarni yechish usullari, keyin izohlarda obunani bekor qiling.
"Ratsional tenglamalar. Ratsional tenglamalarni yechish algoritmi va misollari" mavzusidagi taqdimot va dars.
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.
Integral onlayn do'konida 8-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Makarychev Yu.N tomonidan darslik uchun qo'llanma. Mordkovich A.G. tomonidan darslik uchun qo'llanma.
Irratsional tenglamalarga kirish
Bolalar, biz kvadrat tenglamalarni yechish usullarini bilib oldik. Ammo matematika faqat ular bilan chegaralanib qolmaydi. Bugun biz ratsional tenglamalarni yechishni o'rganamiz. Ratsional tenglamalar tushunchasi ko'p jihatdan ratsional sonlar tushunchasiga o'xshaydi. Faqat raqamlarga qo'shimcha ravishda biz $x$ o'zgaruvchisini kiritdik. Shunday qilib, qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish va butun son darajaga ko'tarish amallari mavjud bo'lgan ifodani olamiz.$r(x)$ bo'lsin ratsional ifodalash. Bunday ifoda $x$ oʻzgaruvchisidagi oddiy koʻphad yoki koʻphadlar nisbati boʻlishi mumkin (ratsional sonlarga nisbatan boʻlish amali kiritiladi).
$r(x)=0$ tenglama deyiladi ratsional tenglama.
$p(x)$ va $q(x)$ ratsional ifodalar boʻlgan $p(x)=q(x)$ koʻrinishdagi har qanday tenglama ham shunday boʻladi. ratsional tenglama.
Ratsional tenglamalarni yechish misollarini ko‘rib chiqamiz.
1-misol.Tenglamani yeching: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Yechim.
Barcha ifodalarni chap tomonga o'tkazamiz: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Agar tenglamaning chap tomoni oddiy sonlar bilan ifodalangan bo‘lsa, u holda ikkita kasrni umumiy maxrajga keltirgan bo‘lardik.
Keling, buni qilaylik: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Biz tenglamani oldik: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Kasr nolga teng bo'ladi, agar kasrning numeratori nolga teng bo'lsa va maxraji nolga teng bo'lmasa. Keyin biz alohida raqamni nolga tenglashtiramiz va payning ildizlarini topamiz.
$3(x^2+2x-3)=0$ yoki $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Endi kasrning maxrajini tekshiramiz: $(x-3)*x≠0$.
Bu raqamlarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, ikkita raqamning mahsuloti nolga teng bo'ladi. Keyin: $x≠0$ yoki $x-3≠0$.
$x≠0$ yoki $x≠3$.
Numerator va maxrajda olingan ildizlar bir-biriga mos kelmaydi. Shunday qilib, biz javobda hisoblagichning ikkala ildizini yozamiz.
Javob: $x=1$ yoki $x=-3$.
Agar to'satdan hisoblagichning ildizlaridan biri maxrajning ildiziga to'g'ri kelsa, uni chiqarib tashlash kerak. Bunday ildizlar begona deb ataladi!
Ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:
1. Tenglamadagi barcha ifodalarni tenglik belgisining chap tomoniga o'tkazing.2. Tenglamaning bu qismini algebraik kasrga aylantiring: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Olingan payni nolga tenglashtiring, ya’ni $p(x)=0$ tenglamani yeching.
4. Maxrajni nolga tenglashtiring va hosil bo‘lgan tenglamani yeching. Agar maxrajning ildizlari hisoblagichning ildizlariga to'g'ri kelsa, ular javobdan chiqarib tashlanishi kerak.
2-misol.
Tenglamani yeching: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Yechim.
Algoritmning nuqtalariga ko'ra hal qilaylik.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Numeratorni nolga tenglashtiring: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Maxrajni nolga tenglashtiramiz:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ va $x=-1$.
Ildizlardan biri $x=1$ numeratorning ildiziga to'g'ri keladi, keyin uni javobda yozmaymiz.
Javob: $x=-1$.
O'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli yordamida ratsional tenglamalarni yechish qulay. Keling, buni namoyish qilaylik.
3-misol.
Tenglamani yeching: $x^4+12x^2-64=0$.
Yechim.
Keling, almashtirishni kiritamiz: $t=x^2$.
Keyin bizning tenglamamiz quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
$t^2+12t-64=0$ - oddiy kvadrat tenglama.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Teskari almashtirishni kiritamiz: $x^2=4$ yoki $x^2=-16$.
Birinchi tenglamaning ildizlari $x=±2$ sonlar juftligidir. Ikkinchi narsa shundaki, uning ildizlari yo'q.
Javob: $x=±2$.
4-misol.
Tenglamani yeching: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Yechim.
Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz: $t=x^2+x+1$.
Keyin tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $t=\frac(15)(t+2)$.
Keyinchalik biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - ildizlar bir-biriga mos kelmaydi.
Keling, teskari almashtirishni kiritamiz.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Keling, har bir tenglamani alohida yechamiz:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - yoʻq ildizlar
Va ikkinchi tenglama: $x^2+x-2=0$.
Bu tenglamaning ildizlari $x=-2$ va $x=1$ raqamlari boʻladi.
Javob: $x=-2$ va $x=1$.
5-misol.
Tenglamani yeching: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Yechim.
Keling, almashtirishni kiritamiz: $t=x+\frac(1)(x)$.
Keyin:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ yoki $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Biz tenglamani oldik: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Ushbu tenglamaning ildizlari juftlikdir:
$t=-3$ va $t=2$.
Teskari almashtirishni kiritamiz:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Biz alohida qaror qilamiz.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Ikkinchi tenglamani yechamiz:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Bu tenglamaning ildizi $x=1$ sonidir.
Javob: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar
Tenglamalarni yeching:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.