Kasr ratsional tenglamalarga misollar yechimlari bilan yechish. Ratsional tenglamani qanday yechish mumkin

“Ko‘phadli ratsional tenglamalar” testdagi eng keng tarqalgan mavzulardan biridir Yagona davlat imtihon topshiriqlari matematika. Shuning uchun ularni takrorlashga arziydi Maxsus e'tibor. Ko'pgina talabalar diskriminantni topish, ko'rsatkichlarni o'ng tomondan chapga o'tkazish va tenglamani umumiy maxrajga olib kelish muammosiga duch kelishadi, shuning uchun bunday topshiriqlarni bajarish qiyinchilik tug'diradi. Bizning veb-saytimizda Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda ratsional tenglamalarni echish har qanday murakkablikdagi muammolarni tezda engishga va sinovdan o'tishga yordam beradi.

Yagona matematika imtihoniga muvaffaqiyatli tayyorgarlik ko'rish uchun Shkolkovo ta'lim portalini tanlang!

Noma'lumlarni hisoblash qoidalarini bilish va osonlik bilan olish to'g'ri natijalar, onlayn xizmatimizdan foydalaning. Shkolkovo portali tayyorlanish uchun zarur bo'lgan hamma narsani o'z ichiga olgan yagona platformadir Yagona davlat imtihon materiallari. O'qituvchilarimiz barcha matematik qoidalarni tizimlashtirib, tushunarli shaklda taqdim etishdi. Bundan tashqari, biz maktab o'quvchilarini standart ratsional tenglamalarni echishda o'zlarini sinab ko'rishga taklif qilamiz, ularning asoslari doimiy ravishda yangilanadi va kengaytiriladi.

Sinovga samaraliroq tayyorgarlik ko'rish uchun biz quyidagi tavsiyalarga amal qilamiz maxsus usul va qoidalar va echimlarni takrorlashdan boshlang oddiy vazifalar, asta-sekin murakkabroqlarga o'tish. Shunday qilib, bitiruvchi o'zi uchun eng qiyin mavzularni aniqlay oladi va ularni o'rganishga e'tibor qaratadi.

Bugun Shkolkovo bilan yakuniy testga tayyorgarlik ko'ring va natijalar uzoq kutilmaydi! Berilganlardan eng oson misolni tanlang. Agar siz iborani tezda o'zlashtirsangiz, ko'proq narsaga o'ting qiyin vazifa. Shunday qilib, siz matematika bo'yicha USE vazifalarini ixtisoslashtirilgan darajada hal qilish darajasiga qadar o'z bilimingizni oshirishingiz mumkin.

Ta'lim nafaqat Moskvadagi bitiruvchilar, balki boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari uchun ham mavjud. Masalan, bizning portalimizda kuniga bir necha soat o'qishga sarflang va tez orada siz har qanday murakkablikdagi tenglamalarni engishingiz mumkin bo'ladi!

Butun son ifodasi sonlar va harf oʻzgaruvchilardan qoʻshish, ayirish va koʻpaytirish amallari yordamida tuzilgan matematik ifodadir. Butun sonlar, shuningdek, noldan boshqa har qanday raqamga bo'linishni o'z ichiga olgan ifodalarni o'z ichiga oladi.

Kasrli ratsional ifoda haqida tushuncha

Kasrli ifoda sonlar va harfli oʻzgaruvchilar bilan bajariladigan qoʻshish, ayirish va koʻpaytirish, shuningdek, nolga teng boʻlmagan songa boʻlish amallaridan tashqari, harfli oʻzgaruvchili ifodalarga boʻlinishni ham oʻz ichiga olgan matematik ifodadir.

Ratsional ifodalar butun va kasrli ifodalardir. Ratsional tenglamalar - chap va o'ng tomonlari ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalar. Agar ratsional tenglamada chap va o'ng tomonlar butun sonli ifodalar bo'lsa, bu ratsional tenglama butun son deyiladi.

Agar ratsional tenglamada chap yoki o'ng tomonlar kasr ifodalari bo'lsa, unda bunday ratsional tenglama kasr deyiladi.

Kasrli ratsional ifodalarga misollar

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Kasr ratsional tenglamani yechish sxemasi

1. Toping umumiy maxraj tenglamaga kiradigan barcha kasrlar.

2. Tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko‘paytiring.

3. Olingan butun tenglamani yeching.

4. Ildizlarni tekshiring va umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni chiqarib tashlang.

Biz kasrli ratsional tenglamalarni yechayotganimiz sababli, kasrlarning maxrajlarida o'zgaruvchilar bo'ladi. Bu ularning umumiy maxraj bo'lishini anglatadi. Va algoritmning ikkinchi nuqtasida biz umumiy denominator bilan ko'paytiramiz, keyin begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Bunda umumiy maxraj nolga teng bo'ladi, ya'ni unga ko'paytirish ma'nosiz bo'ladi. Shuning uchun, oxirida olingan ildizlarni tekshirish kerak.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Kasr ratsional tenglamani yeching: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Biz yopishib qolamiz umumiy sxema: Avval barcha kasrlarning umumiy maxrajini topamiz. Biz x*(x-5) olamiz.

Har bir kasrni umumiy maxrajga ko'paytiring va hosil bo'lgan butun tenglamani yozing.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Olingan tenglamani soddalashtiramiz. Biz olamiz:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Biz oddiy qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz. Biz buni har qanday bilan hal qilamiz ma'lum usullar, biz x=-2 va x=5 ildizlarini olamiz.

Endi biz olingan echimlarni tekshiramiz:

-2 va 5 raqamlarini umumiy maxrajga almashtiring. x=-2 da umumiy maxraj x*(x-5) yo’qolmaydi, -2*(-2-5)=14. Demak, -2 soni dastlabki kasr ratsional tenglamaning ildizi bo'ladi.

x=5 da umumiy maxraj x*(x-5) nolga aylanadi. Shuning uchun bu raqam asl kasr ratsional tenglamaning ildizi emas, chunki nolga bo'linish bo'ladi.

Ratsional va kasr ratsional tenglamalar bilan tanishamiz, ularning ta'rifini beramiz, misollar keltiramiz, shuningdek, eng keng tarqalgan masalalar turlarini tahlil qilamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ratsional tenglama: ta'rif va misollar

Ratsional iboralar bilan tanishish maktabning 8-sinfidan boshlanadi. Bu vaqtda, algebra darslarida talabalar o'z eslatmalarida ratsional ifodalarni o'z ichiga olgan tenglamalar bilan topshiriqlarga tobora ko'proq duch kela boshlaydilar. Keling, bu nima haqida xotiramizni yangilaylik.

Ta'rif 1

Ratsional tenglama har ikki tomonida ratsional ifodalar mavjud bo'lgan tenglama.

Turli qo'llanmalarda siz boshqa formulani topishingiz mumkin.

Ta'rif 2

Ratsional tenglama chap tomoni o'z ichiga olgan tenglamadir ratsional ifodalash, o'ng esa nolga teng.

Ratsional tenglamalar uchun biz bergan ta'riflar ekvivalentdir, chunki ular bir xil narsa haqida gapiradi. Bizning so'zlarimizning to'g'riligi har qanday oqilona iboralar uchun ekanligi bilan tasdiqlanadi P Va Q tenglamalar P = Q Va P - Q = 0 teng ifodalar bo‘ladi.

Endi misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Ratsional tenglamalar:

x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Ratsional tenglamalar, xuddi boshqa turdagi tenglamalar kabi, 1 dan bir nechtagacha bo'lgan o'zgaruvchilar sonidan iborat bo'lishi mumkin. Avval ko'rib chiqamiz oddiy misollar, bunda tenglamalar faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi. Va keyin biz vazifani asta-sekin murakkablashtirishni boshlaymiz.

Ratsional tenglamalar ikkita katta guruhga bo'linadi: butun va kasr. Keling, har bir guruhga qanday tenglamalar qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Ta'rif 3

Ratsional tenglama, agar uning chap va o'ng tomonlarida butun ratsional ifodalar bo'lsa, butun son bo'ladi.

Ta'rif 4

Ratsional tenglama kasrli bo'ladi, agar uning bir yoki ikkala qismida kasr bo'lsa.

Kasrli ratsional tenglamalar, albatta, o'zgaruvchiga bo'linishni o'z ichiga oladi yoki o'zgaruvchi maxrajda mavjud. Butun tenglamalarni yozishda bunday bo'linish yo'q.

2-misol

3 x + 2 = 0 Va (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5- butun ratsional tenglamalar. Bu yerda tenglamaning ikkala tomoni butun sonli ifodalar bilan ifodalanadi.

1 x - 1 = x 3 va x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 kasrli ratsional tenglamalardir.

Butun ratsional tenglamalarga chiziqli va kvadrat tenglamalar kiradi.

Butun tenglamalarni yechish

Bunday tenglamalarni yechish, odatda, ularni ekvivalent algebraik tenglamalarga aylantirishga to‘g‘ri keladi. Bunga quyidagi algoritmga muvofiq tenglamalarni ekvivalent o'zgartirishlarni amalga oshirish orqali erishish mumkin:

• birinchi navbatda tenglamaning o'ng tomonida nolga erishamiz, buning uchun tenglamaning o'ng tomonida joylashgan ifodani unga o'tkazishimiz kerak; chap tomoni va belgini o'zgartirish;
• keyin tenglamaning chap tomonidagi ifodani ko‘phadga aylantiramiz standart ko'rinish.

Biz algebraik tenglamani olishimiz kerak. Bu tenglama asl tenglamaga teng bo'ladi. Oson holatlar muammoni hal qilish uchun butun tenglamani chiziqli yoki kvadratik tenglamaga qisqartirish imkonini beradi. Umuman olganda, biz darajaning algebraik tenglamasini yechamiz n.

3-misol

Butun tenglamaning ildizlarini topish kerak 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Yechim

Ekvivalent algebraik tenglamani olish uchun asl ifodani o'zgartiramiz. Buning uchun biz tenglamaning o'ng tomonidagi ifodani chap tomonga o'tkazamiz va belgini teskarisiga almashtiramiz. Natijada biz quyidagilarni olamiz: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Endi chap tomonda joylashgan ifodani standart ko‘rinishdagi ko‘phadga aylantiramiz va bu ko‘phad bilan kerakli amallarni bajaramiz:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Biz dastlabki tenglamaning yechimini shakldagi kvadrat tenglamaning yechimiga qisqartirishga muvaffaq bo'ldik. x 2 − 5 x − 6 = 0. Bu tenglamaning diskriminanti musbat: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Bu ikkita haqiqiy ildiz bo'lishini anglatadi. Ularni kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib topamiz:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 yoki x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 yoki x 2 = - 1

Yechish jarayonida topgan tenglama ildizlarining to‘g‘riligini tekshiramiz. Buning uchun biz olingan raqamlarni asl tenglamaga almashtiramiz: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Va 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2  · (− 1) − 1) − 3. Birinchi holda 63 = 63 , ikkinchisida 0 = 0 . Ildizlar x=6 Va x = − 1 Haqiqatan ham misol shartida berilgan tenglamaning ildizlari.

Javob: 6 , − 1 .

Keling, "butun tenglamaning darajasi" nimani anglatishini ko'rib chiqaylik. Biz bu atamani butun tenglamani algebraik shaklda ifodalashimiz kerak bo'lgan hollarda tez-tez uchratamiz. Keling, kontseptsiyani aniqlaylik.

Ta'rif 5

Butun tenglamaning darajasi algebraik tenglamaning asl butun sonli tenglamaga ekvivalent darajasidir.

Agar siz yuqoridagi misoldagi tenglamalarga qarasangiz, o'rnatishingiz mumkin: bu butun tenglamaning darajasi ikkinchi.

Agar bizning kursimiz ikkinchi darajali tenglamalarni echish bilan chegaralangan bo'lsa, mavzuni muhokama qilish shu bilan tugashi mumkin edi. Lekin bu unchalik oddiy emas. Uchinchi darajali tenglamalarni echish qiyinchiliklarga to'la. To'rtinchi darajadan yuqori tenglamalar uchun esa yo'q umumiy formulalar ildizlar Shu munosabat bilan uchinchi, to'rtinchi va boshqa darajali tenglamalarni yechish bizdan bir qator boshqa texnika va usullardan foydalanishni talab qiladi.

Butun ratsional tenglamalarni yechishda eng ko'p qo'llaniladigan yondashuv faktorizatsiya usuliga asoslanadi. Bu holatda harakatlar algoritmi quyidagicha:

• yozuvning o'ng tomonida nol qolishi uchun ifodani o'ng tomondan chapga siljitamiz;
• Chap tomondagi ifodani omillar mahsuloti sifatida ifodalaymiz va keyin bir nechta oddiy tenglamalar to'plamiga o'tamiz.

(x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) tenglamaning yechimini toping.

Yechim

bilan ifodani yozuvning o'ng tomonidan chapga siljitamiz qarama-qarshi belgi: (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. Chap tomonni standart shakldagi ko'phadga aylantirish noto'g'ri, chunki bu bizga to'rtinchi darajali algebraik tenglamani beradi: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Konvertatsiya qilishning qulayligi bunday tenglamani yechishdagi barcha qiyinchiliklarni oqlamaydi.

Boshqa yo'l bilan borish ancha oson: keling, umumiy omilni qavslardan chiqaraylik x 2 - 10 x + 13. Shunday qilib, biz shaklning tenglamasiga kelamiz (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Endi hosil bo'lgan tenglamani ikkita to'plam bilan almashtiramiz kvadrat tenglamalar x 2 − 10 x + 13 = 0 Va x 2 − 2 x − 1 = 0 va ularning ildizlarini diskriminant orqali toping: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Javob: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Xuddi shu tarzda biz yangi o'zgaruvchini kiritish usulidan foydalanishimiz mumkin. Bu usul bizga asl butun sonli tenglamadagi darajalardan past darajali ekvivalent tenglamalarga o'tish imkonini beradi.

5-misol

Tenglamaning ildizlari bormi? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

Yechim

Agar biz butun ratsional tenglamani algebraik tenglamaga qisqartirishga harakat qilsak, ratsional ildizlarga ega bo'lmagan 4-darajali tenglamani olamiz. Shuning uchun, biz uchun boshqa yo'l bilan borish osonroq bo'ladi: tenglamadagi ifodani almashtiradigan yangi y o'zgaruvchisini kiriting. x 2 + 3 x.

Endi biz butun tenglama bilan ishlaymiz (y + 1) 2 + 10 = - 2 · (y - 4). Tenglamaning o'ng tomonini qarama-qarshi belgi bilan chapga o'tkazamiz va kerakli o'zgarishlarni bajaramiz. Biz olamiz: y 2 + 4 y + 3 = 0. Kvadrat tenglamaning ildizlarini topamiz: y = - 1 Va y = - 3.

Endi teskari almashtirishni qilaylik. Biz ikkita tenglamani olamiz x 2 + 3 x = - 1 Va x 2 + 3 · x = - 3. Keling, ularni x 2 + 3 x + 1 = 0 va shaklida qayta yozamiz x 2 + 3 x + 3 = 0. Olinganlardan birinchi tenglamaning ildizlarini topish uchun biz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanamiz: - 3 ± 5 2. Ikkinchi tenglamaning diskriminanti manfiy. Bu ikkinchi tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'qligini anglatadi.

Javob:- 3 ± 5 2

Butun tenglamalar yuqori darajalar muammolarga tez-tez duch kelishadi. Ulardan qo'rqishning hojati yo'q. Siz ariza berishga tayyor bo'lishingiz kerak nostandart usul ularning yechimlari, jumladan, bir qator sun'iy o'zgarishlar.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish

Biz ushbu kichik mavzuni ko'rib chiqishni p (x) q (x) = 0 ko'rinishdagi kasrli ratsional tenglamalarni echish algoritmidan boshlaymiz, bu erda p(x) Va q(x)- butun ratsional ifodalar. Boshqa kasrli ratsional tenglamalarning yechimi har doim ko'rsatilgan turdagi tenglamalar yechimiga keltirilishi mumkin.

p (x) q (x) = 0 tenglamalarini yechishning eng ko'p qo'llaniladigan usuli quyidagi bayonotga asoslanadi: raqamli kasr u v, Qayerda v- bu noldan farq qiladigan raqam, faqat kasrning numeratori nolga teng bo'lgan hollarda nolga teng. Yuqoridagi mantiqdan kelib chiqib, p (x) q (x) = 0 tenglamaning yechimini ikkita shartni bajarishga qisqartirish mumkinligini da'vo qilishimiz mumkin: p(x)=0 Va q(x) ≠ 0. Bu p (x) q (x) = 0 ko'rinishdagi kasr ratsional tenglamalarni echish algoritmini qurish uchun asosdir:

• butun ratsional tenglamaning yechimini toping p(x)=0;
• eritma davomida topilgan ildizlar uchun shart qanoatlantiriladimi yoki yo'qligini tekshiramiz q(x) ≠ 0.

Agar bu shart bajarilsa, u holda topilgan ildiz bo'lmasa, unda ildiz muammoning echimi emas.

6-misol

3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 tenglamaning ildizlarini topamiz.

Yechim

Biz p (x) q (x) = 0 ko'rinishdagi kasrli ratsional tenglama bilan ishlaymiz, unda p (x) = 3 x - 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. Keling, chiziqli tenglamani echishni boshlaylik 3 x − 2 = 0. Bu tenglamaning ildizi bo'ladi x = 2 3.

Keling, topilgan ildizni tekshirib ko'ramiz, u shartni qondiradimi yoki yo'qmi 5 x 2 − 2 ≠ 0. Buning uchun ifodaga raqamli qiymat qo'ying. Biz olamiz: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Shart bajarilgan. Bu shuni anglatadiki x = 2 3 asl tenglamaning ildizidir.

Javob: 2 3 .

p (x) q (x) = 0 kasrli ratsional tenglamalarni yechishning yana bir varianti mavjud. Eslatib o'tamiz, bu tenglama butun tenglamaga ekvivalentdir p(x)=0 mintaqada qabul qilinadigan qiymatlar original tenglamaning x o'zgaruvchisi. Bu p (x) q (x) = 0 tenglamalarini yechishda quyidagi algoritmdan foydalanish imkonini beradi:

• tenglamani yeching p(x)=0;
• x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini toping;
• biz x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ida joylashgan ildizlarni asl kasrli ratsional tenglamaning kerakli ildizlari sifatida olamiz.

x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 tenglamani yeching.

Yechim

Birinchidan, kvadrat tenglamani yechamiz x 2 − 2 x − 11 = 0. Uning ildizlarini hisoblash uchun biz juft ikkinchi koeffitsient uchun ildiz formulasidan foydalanamiz. olamiz D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, va x = 1 ± 2 3.

Endi biz original tenglama uchun x o'zgaruvchining ODZ ni topishimiz mumkin. Bularning barchasi ular uchun raqamlar x 2 + 3 x ≠ 0. Xuddi shunday x (x + 3) ≠ 0, bu yerdan x ≠ 0, x ≠ − 3.

Endi yechimning birinchi bosqichida olingan x = 1 ± 2 3 ildizlari x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ida ekanligini tekshiramiz. Biz ularning kirib kelayotganini ko'ramiz. Demak, dastlabki kasrli ratsional tenglamaning ikkita ildizi x = 1 ± 2 3.

Javob: x = 1 ± 2 3

Ikkinchi yechim usuli tasvirlangan birinchisiga qaraganda osonroq x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni osongina topilgan hollarda va tenglamaning ildizlari p(x)=0 mantiqsiz. Masalan, 7 ± 4 · 26 9. Ildizlar ratsional bo'lishi mumkin, lekin katta hisoblagich yoki maxraj bilan. Masalan, 127 1101 Va − 31 59 . Bu holatni tekshirish vaqtini tejaydi q(x) ≠ 0: ODZga ko'ra mos bo'lmagan ildizlarni chiqarib tashlash ancha oson.

Tenglamaning ildizlari bo'lgan hollarda p(x)=0 butun sonlar bo‘lsa, p (x) q (x) = 0 ko‘rinishdagi tenglamalarni yechish uchun tavsiflangan algoritmlarning birinchisidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Butun tenglamaning ildizlarini tezroq toping p(x)=0, va keyin ular uchun shart qanoatlantirilganligini tekshiring q(x) ≠ 0, ODZ ni topish va keyin tenglamani yechish o'rniga p(x)=0 ushbu ODZda. Buning sababi shundaki, bunday hollarda odatda DZni topishdan ko'ra tekshirish osonroq bo'ladi.

8-misol

(2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 tenglamaning ildizlarini toping. = 0.

Yechim

Keling, butun tenglamani ko'rib chiqishdan boshlaylik (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 va uning ildizlarini topish. Buning uchun tenglamalarni faktorizatsiya yo‘li bilan yechish usulini qo‘llaymiz. Ma’lum bo‘lishicha, dastlabki tenglama 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 to‘rtta tenglamalar to‘plamiga ekvivalent bo‘lib, ulardan uchtasi chiziqli va biri kvadratik. Ildizlarni topish: birinchi tenglamadan x = 1 2, ikkinchisidan - x=6, uchinchidan – x = 7 , x = − 2 , to‘rtinchidan – x = − 1.

Keling, olingan ildizlarni tekshiramiz. ADL ni aniqlang Ushbu holatda Bu biz uchun qiyin, chunki buning uchun biz beshinchi darajali algebraik tenglamani echishimiz kerak bo'ladi. Tenglamaning chap tomonida joylashgan kasrning maxraji nolga tushmasligi kerak bo'lgan shartni tekshirish osonroq bo'ladi.

Ifodada x o‘zgaruvchining ildizlarini navbat bilan almashtiramiz x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 va uning qiymatini hisoblang:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + ≠3;

6 5 - 15 · 6 4 + 57 · 6 3 - 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = - 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

O'tkazilgan tekshirish dastlabki kasrli ratsional tenglamaning ildizlari 1 2, 6 va − 2 .

Javob: 1 2 , 6 , - 2

9-misol

5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 kasr ratsional tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim

Keling, tenglama bilan ishlashni boshlaylik (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Keling, uning ildizlarini topaylik. Bu tenglamani kvadrat va chiziqli tenglamalar to'plami sifatida tasavvur qilish biz uchun osonroq. 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Va x − 2 = 0.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish uchun formuladan foydalanamiz. Birinchi tenglamadan ikkita ildizni olamiz x = 7 ± 69 10, ikkinchisidan esa x = 2.

Shartlarni tekshirish uchun ildizlarning qiymatini asl tenglamaga almashtirish biz uchun juda qiyin bo'ladi. X o'zgaruvchining ODZ ni aniqlash osonroq bo'ladi. Bunday holda, x o'zgaruvchining ODZ sharti bajarilganidan tashqari barcha raqamlardir x 2 + 5 x − 14 = 0. Biz quyidagilarni olamiz: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Endi biz topgan ildizlar x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'iga tegishli yoki yo'qligini tekshiramiz.

X = 7 ± 69 10 ildizlari tegishli, shuning uchun ular asl tenglamaning ildizlari va x = 2- tegishli emas, shuning uchun u begona ildizdir.

Javob: x = 7 ± 69 10.

p (x) q (x) = 0 ko'rinishdagi kasr ratsional tenglamaning numeratorida son bo'lgan holatlarni alohida ko'rib chiqamiz. Bunday hollarda, agar numerator noldan boshqa raqamni o'z ichiga olsa, u holda tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Agar bu raqam nolga teng bo'lsa, u holda tenglamaning ildizi ODZ dan istalgan raqam bo'ladi.

10-misol

Kasr ratsional tenglamani yeching - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Yechim

Bu tenglamaning ildizlari bo'lmaydi, chunki tenglamaning chap tomonidagi kasrning soni nolga teng bo'lmagan raqamni o'z ichiga oladi. Bu shuni anglatadiki, x ning hech bir qiymati bo'lmaganda, masalaning ko'rinishida berilgan kasrning qiymati nolga teng bo'lmaydi.

Javob: ildizlari yo'q.

11-misol

0 x 4 + 5 x 3 = 0 tenglamani yeching.

Yechim

Kasrning numeratori nolni o'z ichiga olganligi sababli, tenglamaning yechimi x o'zgaruvchining ODZ dan istalgan x qiymati bo'ladi.

Endi ODZni aniqlaymiz. U x ning barcha qiymatlarini o'z ichiga oladi x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Tenglamaning yechimlari x 4 + 5 x 3 = 0 bor 0 Va − 5 , chunki bu tenglama tenglamaga ekvivalentdir x 3 (x + 5) = 0, va bu o'z navbatida ikkita tenglama x 3 = 0 va kombinatsiyasiga ekvivalentdir x + 5 = 0, bu ildizlar ko'rinadigan joyda. Biz qabul qilinadigan qiymatlarning istalgan diapazoni har qanday x dan tashqari degan xulosaga keldik x = 0 Va x = − 5.

0 x 4 + 5 x 3 = 0 kasr ratsional tenglamasi bor ekan. cheksiz to'plam nol va - 5 dan boshqa har qanday raqamlar bo'lgan echimlar.

Javob: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Endi ixtiyoriy shakldagi kasr ratsional tenglamalar va ularni yechish usullari haqida gapiraylik. Ularni shunday yozish mumkin r(x) = s(x), Qayerda r(x) Va s(x)– ratsional ifodalar va ulardan kamida bittasi kasrdir. Bunday tenglamalarni yechish p (x) q (x) = 0 ko‘rinishdagi tenglamalarni yechishgacha qisqartiradi.

Biz allaqachon bilamizki, biz tenglamaning o'ng tomonidagi ifodani qarama-qarshi belgisi bilan chap tomonga o'tkazish orqali ekvivalent tenglamani olishimiz mumkin. Bu tenglamani anglatadi r(x) = s(x) tenglamaga teng r (x) − s (x) = 0. Ratsional ifodani ratsional kasrga aylantirish usullarini ham muhokama qildik. Buning yordamida biz tenglamani osongina o'zgartira olamiz r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) ko'rinishdagi bir xil ratsional kasrga.

Shunday qilib, biz dastlabki kasrli ratsional tenglamadan o'tamiz r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 ko'rinishdagi tenglamaga, biz allaqachon yechishni o'rgandik.

O'tishlarni amalga oshirayotganda buni hisobga olish kerak r (x) − s (x) = 0 p(x)q(x) = 0 ga va keyin to p(x)=0 biz x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ining kengayishini hisobga olmaymiz.

Asl tenglama bo'lishi mumkin r(x) = s(x) va tenglama p(x)=0 transformatsiyalar natijasida ular ekvivalent bo'lishni to'xtatadi. Keyin tenglamaning yechimi p(x)=0 bizga begona bo'ladigan ildizlarni berishi mumkin r(x) = s(x). Shu munosabat bilan, har bir holatda yuqorida tavsiflangan usullardan birini qo'llash orqali tekshirishni amalga oshirish kerak.

Mavzuni o'rganishni osonlashtirish uchun biz barcha ma'lumotlarni shaklning kasr ratsional tenglamasini echish algoritmiga jamladik. r(x) = s(x):

• biz ifodani o'ng tomondan qarama-qarshi belgi bilan o'tkazamiz va o'ng tomonda nolga erishamiz;
• asl ifodani ratsional kasrga aylantirish p (x) q (x) , kasrlar va ko'phadlar bilan ketma-ket amallarni bajarish;
• tenglamani yeching p(x)=0;
• Biz begona ildizlarni ODZga tegishliligini tekshirish yoki dastlabki tenglamaga almashtirish orqali aniqlaymiz.

Vizual ravishda, harakatlar zanjiri quyidagicha ko'rinadi:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → TASHKI ILDIRLARNI yo'q qilish

12-misol

x x + 1 = 1 x + 1 kasr ratsional tenglamani yeching.

Yechim

Keling, x x + 1 - 1 x + 1 = 0 tenglamasiga o'tamiz. Tenglamaning chap tomonidagi kasr ratsional ifodani p (x) q (x) ko'rinishga o'tkazamiz.

Buning uchun biz ratsional kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirishimiz va ifodani soddalashtirishimiz kerak:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

2 x - 1 x (x + 1) = 0 tenglamaning ildizlarini topish uchun tenglamani yechishimiz kerak. − 2 x − 1 = 0. Biz bitta ildiz olamiz x = - 1 2.

Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona usul - har qanday usullardan foydalangan holda tekshirish. Keling, ikkalasini ham ko'rib chiqaylik.

Olingan qiymatni dastlabki tenglamaga almashtiramiz. Biz - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 ni olamiz. Biz to'g'ri raqamli tenglikka erishdik − 1 = − 1 . Bu shuni anglatadiki x = − 1 2 asl tenglamaning ildizidir.

Endi ODZ orqali tekshiramiz. Keling, x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlaylik. Bu - 1 va 0 dan tashqari (x = - 1 va x = 0 bo'lganda, kasrlarning maxrajlari yo'qoladi) bundan mustasno, butun sonlar to'plami bo'ladi. Biz olgan ildiz x = − 1 2 ODZga tegishli. Bu asl tenglamaning ildizi ekanligini anglatadi.

Javob: − 1 2 .

13-misol

x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim

Biz kasrli ratsional tenglama bilan ishlaymiz. Shuning uchun biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz.

Ifodani o'ng tomondan chapga qarama-qarshi belgi bilan siljitamiz: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Biz tenglamaga kelamiz x = 0. Bu tenglamaning ildizi nolga teng.

Keling, bu ildiz asl tenglamaga begona ekanligini tekshirib ko'ramiz. Qiymatni dastlabki tenglamaga almashtiramiz: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Ko'rib turganingizdek, natijada olingan tenglama hech qanday ma'noga ega emas. Bu shuni anglatadiki, 0 begona ildiz bo'lib, dastlabki kasr ratsional tenglamaning ildizlari yo'q.

Javob: ildizlari yo'q.

Agar biz algoritmga boshqa ekvivalent transformatsiyalarni kiritmagan bo'lsak, bu ulardan foydalanish mumkin emas degani emas. Algoritm universaldir, lekin u cheklash uchun emas, balki yordam berish uchun mo'ljallangan.

14-misol

7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 tenglamani yeching.

Yechim

Eng oson yo'li berilgan kasr ratsional tenglamani algoritm bo'yicha yechishdir. Ammo boshqa yo'l bor. Keling, ko'rib chiqaylik.

O'ng va chap tomondan 7 ni ayirib, biz olamiz: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, chap tomondagi maxrajdagi ifoda o'ng tomondagi sonning o'zaro nisbatiga teng bo'lishi kerak, ya'ni 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Ikkala tomondan 3 ni ayiring: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analogiya bo'yicha 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, bu erdan 1 5 - x 2 = 1 3, keyin esa 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Keling, topilgan ildizlar asl tenglamaning ildizi ekanligini aniqlash uchun tekshiruv o'tkazamiz.

Javob: x = ± 2

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

"Kasr ratsional tenglamalarni yechish"

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

kasr ratsional tenglamalar tushunchasini shakllantirish; kasr ratsional tenglamalarni yechishning turli usullarini ko'rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini, shu jumladan kasr nolga teng bo‘lgan shartni ko‘rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni algoritm yordamida yechishni o‘rgatish; mavzuni o`zlashtirish darajasini test ishini o`tkazish orqali tekshirish.

Rivojlanish:

Olingan bilimlar bilan to'g'ri ishlash va mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirish; intellektual qobiliyatlarni rivojlantirish va aqliy operatsiyalar- tahlil, sintez, taqqoslash va sintez; tashabbusni rivojlantirish, qaror qabul qilish qobiliyati va u erda to'xtab qolmaslik; rivojlanish tanqidiy fikrlash; tadqiqot ko'nikmalarini rivojlantirish.

Tarbiyalash:

tarbiya kognitiv qiziqish mavzuga; ta'lim muammolarini hal qilishda mustaqillikni tarbiyalash; yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat'iyatni tarbiyalash.

Dars turi: dars - yangi materialni tushuntirish.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment.

Salom bolalar! Doskada tenglamalar yozilgan, ularga diqqat bilan qarang. Bu tenglamalarning barchasini yecha olasizmi? Qaysi biri yo'q va nima uchun?

Chap va o'ng tomonlari kasr ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalar kasr ratsional tenglamalar deyiladi. Sizningcha, bugun darsda nimani o'rganamiz? Dars mavzusini shakllantirish. Shunday qilib, daftarlaringizni oching va "Kasr ratsional tenglamalarni yechish" dars mavzusini yozing.

2. Bilimlarni yangilash. Frontal so'rov, sinf bilan og'zaki ish.

Va endi biz o'rganishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy materialni takrorlaymiz yangi mavzu. Iltimos, quyidagi savollarga javob bering:

1. Tenglama deb nimaga aytiladi? ( O'zgaruvchi yoki o'zgaruvchi bilan tenglik.)

2. No1 tenglama qanday nomlanadi? ( Chiziqli.) Yechim chiziqli tenglamalar. (Noma'lum hamma narsani tenglamaning chap tomoniga, barcha raqamlarni o'ngga o'tkazing. Shunga o'xshash shartlarni keltiring. Noma'lum omilni toping).

3. No3 tenglama qanday nomlanadi? ( Kvadrat.) Kvadrat tenglamalarni yechish usullari. ( Vyeta teoremasi va uning natijalaridan foydalangan holda formulalar yordamida to'liq kvadratni ajratib olish.)

4. Proporsiya nima? ( Ikki nisbatning tengligi.) Proporsiyaning asosiy xossasi. ( Agar mutanosiblik to‘g‘ri bo‘lsa, uning ekstremal hadlari ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.)

5. Tenglamalarni yechishda qanday xossalardan foydalaniladi? ( 1. Agar tenglamadagi hadni belgisini o‘zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi. 2. Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi..)

6. Kasr qachon nolga teng bo'ladi? ( Numerator nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng..)

3. Yangi materialni tushuntirish.

No2 tenglamani daftar va doskaga yeching.

Javob: 10.

Qaysi kasrli ratsional tenglama Proporsiyaning asosiy xususiyatidan foydalanib yechishga harakat qila olasizmi? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

No4 tenglamani daftar va doskaga yeching.

Javob: 1,5.

Tenglamaning har ikki tomonini maxrajga ko‘paytirish orqali qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga urinib ko‘rishingiz mumkin? (№ 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Javob: 3;4.

Endi quyidagi usullardan biri yordamida 7-raqamli tenglamani yechishga harakat qiling.

Nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiring? Nima uchun bir holatda uchta, ikkinchisida ikkita ildiz bor? Ushbu kasrli ratsional tenglamaning ildizlari qanday raqamlardan iborat?

Hozirgacha talabalar begona ildiz tushunchasiga duch kelmaganlar, ular uchun bu nima uchun sodir bo'lganini tushunish juda qiyin. Agar sinfda hech kim bu holatni aniq tushuntira olmasa, o'qituvchi etakchi savollarni beradi.

No2 va 4 tenglamalar No5,6,7 tenglamalardan qanday farq qiladi? ( No 2 va 4 tenglamalarda maxrajdagi sonlar, 5-7 o'zgaruvchili ifodalar mavjud..) Tenglamaning ildizi nima? ( Tenglama rost bo'ladigan o'zgaruvchining qiymati.) Son tenglamaning ildizi ekanligini qanday aniqlash mumkin? ( Chek qiling.)

Sinov paytida ba'zi talabalar nolga bo'lishlari kerakligini payqashadi. Ular 0 va 5 raqamlari bu tenglamaning ildizi emas degan xulosaga kelishadi. Savol tug'iladi: bu xatoni bartaraf etishga imkon beruvchi kasrli ratsional tenglamalarni echishning bir usuli bormi? Ha, bu usul kasr nolga teng bo'lish shartiga asoslanadi.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Agar x=5 bo'lsa, x(x-5)=0, ya'ni 5 begona ildizdir.

Agar x=-2 bo'lsa, x(x-5)≠0.

Javob: -2.

Shu tarzda kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik. Bolalar algoritmni o'zlari tuzadilar.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Hamma narsani chap tomonga o'tkazing.

2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

3. Tizim tuzing: pay nolga teng, maxraj esa nolga teng bo‘lmaganda kasr nolga teng bo‘ladi.

4. Tenglamani yeching.

5. Chet ildizlarni istisno qilish uchun tengsizlikni tekshiring.

6. Javobni yozing.

Munozara: agar siz mutanosiblikning asosiy xususiyatidan foydalansangiz va tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytirsangiz, yechimni qanday rasmiylashtirish kerak. (Yechimga qo'shing: uning ildizidan umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni chiqarib tashlang).

4. Yangi materialni dastlabki tushunish.

Juft bo'lib ishlamoq. Talabalar tenglama turiga qarab tenglamani yechish usulini o‘zlari tanlaydilar. “Algebra 8” darsligidan topshiriqlar, 2007: No 000 (b, c, i); № 000(a, d, g). O'qituvchi topshiriqning bajarilishini nazorat qiladi, yuzaga kelgan savollarga javob beradi va past o'quvchilarga yordam beradi. O'z-o'zini tekshirish: javoblar doskaga yoziladi.

b) 2 – begona ildiz. Javob: 3.

c) 2 – begona ildiz. Javob: 1.5.

a) Javob: -12.5.

g) Javob: 1;1,5.

5. Uy vazifasini belgilash.

2. Kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini bilib oling.

3. No 000 (a, d, e) daftarlarida yechish; № 000 (g, h).

4. 000(a) ni yechishga harakat qiling (ixtiyoriy).

6. O`rganilgan mavzu bo`yicha nazorat topshirig`ini bajarish.

Ish qog'oz varaqlarida amalga oshiriladi.

Misol topshiriq:

A) Qaysi tenglama kasr ratsional hisoblanadi?

B) Numerator ______________________ va maxraji _______________________ bo'lganda kasr nolga teng.

S) -3 soni 6-raqamli tenglamaning ildizimi?

D) No7 tenglamani yeching.

Topshiriqni baholash mezonlari:

Agar talaba topshiriqning 90% dan ortig'ini to'g'ri bajargan bo'lsa, "5" beriladi. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” topshiriqni 50% dan kam bajargan talabaga beriladi. Jurnalda 2 ball berilmaydi, 3 ball ixtiyoriy.

7. Reflektsiya.

Mustaqil ish varaqlariga yozing:

1 - agar dars siz uchun qiziqarli va tushunarli bo'lsa; 2 - qiziqarli, ammo aniq emas; 3 - qiziq emas, lekin tushunarli; 4 - qiziq emas, aniq emas.

8. Darsni yakunlash.

Shunday qilib, bugun darsda biz kasrli ratsional tenglamalar bilan tanishdik, bu tenglamalarni yechish usullarini bilib oldik. turli yo'llar bilan, trening yordamida bilimlarini sinab ko‘rdi mustaqil ish. Mustaqil ishingiz natijalarini keyingi darsda bilib olasiz va uyda o'z bilimlaringizni mustahkamlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechishning qaysi usuli, sizningcha, osonroq, qulayroq va oqilona? Kasrli ratsional tenglamalarni yechish usulidan qat'i nazar, nimani yodda tutish kerak? Kasrli ratsional tenglamalarning "ayyorligi" nima?

Hammaga rahmat, dars tugadi.

Ushbu maqolada men sizga ko'rsataman yetti turdagi ratsional tenglamalarni yechish algoritmlari, o'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali kvadratga keltirilishi mumkin. Aksariyat hollarda almashtirishga olib keladigan o'zgarishlar juda ahamiyatsiz va ular haqida o'zingiz taxmin qilish juda qiyin.

Har bir turdagi tenglama uchun men unda o'zgaruvchini qanday o'zgartirishni tushuntiraman va keyin tegishli video darsida batafsil echimni ko'rsataman.

Sizda tenglamalarni o'zingiz yechishni davom ettirishingiz, keyin esa yechimingizni video dars bilan tekshirishingiz mumkin.

Shunday ekan, boshlaylik.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

E'tibor bering, tenglamaning chap tomonida to'rtta qavsning ko'paytmasi, o'ng tomonida esa raqam mavjud.

1. Qavslarni ikkiga guruhlaymiz, shunda erkin hadlar yig'indisi bir xil bo'ladi.

2. Ularni ko'paytiring.

3. O‘zgaruvchining o‘zgarishini kiritamiz.

Tenglamamizda birinchi qavsni uchinchi bilan, ikkinchisini to'rtinchisi bilan guruhlaymiz, chunki (-1)+(-4)=(-7)+2:

Bu vaqtda o'zgaruvchini almashtirish aniq bo'ladi:

Biz tenglamani olamiz

Javob:

2 .

Ushbu turdagi tenglama bir farq bilan oldingisiga o'xshaydi: tenglamaning o'ng tomonida sonning ko'paytmasi va . Va u butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi:

1. Erkin atamalarning hosilasi bir xil bo'lishi uchun qavslarni ikkiga guruhlaymiz.

2. Har bir qavs juftligini ko'paytiring.

3. Har bir omildan x ni chiqaramiz.

4. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling.

5. Biz o'zgaruvchining o'zgarishini kiritamiz.

Ushbu tenglamada biz birinchi qavsni to'rtinchi, ikkinchisini uchinchi bilan guruhlaymiz, chunki:

E'tibor bering, har bir qavsda at koeffitsienti va bo'sh muddat bir xil. Keling, har bir qavsdan bir omil chiqaramiz:

x=0 asl tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lamiz. Biz olamiz:

Biz tenglamani olamiz:

Javob:

3 .

E'tibor bering, ikkala kasrning maxrajlari kvadrat trinomlar, ular uchun etakchi koeffitsient va erkin muddat bir xil. Ikkinchi turdagi tenglamadagi kabi qavsdan x ni chiqaramiz. Biz olamiz:

Har bir kasrning soni va maxrajini x ga bo'ling:

Endi biz o'zgaruvchini almashtirishni kiritishimiz mumkin:

t o'zgaruvchisi uchun tenglamani olamiz:

4 .

E'tibor bering, tenglamaning koeffitsientlari markaziyga nisbatan nosimmetrikdir. Bu tenglama deyiladi qaytarilishi mumkin .

Uni hal qilish uchun,

1. Tenglamaning har ikki tomonini (X=0 tenglamaning ildizi bo‘lmagani uchun biz buni qila olamiz.) ga bo‘lamiz:

2. Keling, atamalarni shunday guruhlaymiz:

3. Har bir guruhda qavs ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz:

4. O'zgartirishni kiritamiz:

5. Ifodani t orqali ifodalang:

Bu yerdan

t uchun tenglamani olamiz:

Javob:

5. Bir jinsli tenglamalar.

Bir hil tuzilishga ega bo'lgan tenglamalar ko'rsatkichli, logarifmik va trigonometrik tenglamalar, shuning uchun siz uni tanib olishingiz kerak.

Bir jinsli tenglamalar quyidagi tuzilishga ega:

Bu tenglikda A, B va C raqamlar, kvadrat va aylana esa bir xil ifodalarni bildiradi. Ya'ni, bir jinsli tenglamaning chap tomonida bir xil darajaga ega bo'lgan monomlar yig'indisi mavjud (bu holda monomiallarning darajasi 2 ga teng) va erkin muddat yo'q.

Bir jinsli tenglamani yechish uchun ikkala tomonni tenglamaga bo'ling

Diqqat! Tenglamaning o'ng va chap tomonlarini noma'lumni o'z ichiga olgan ifodaga bo'lishda siz ildizlarni yo'qotishingiz mumkin. Shuning uchun tenglamaning ikkala tomonini bo'ladigan ifodaning ildizlari dastlabki tenglamaning ildizlari ekanligini tekshirish kerak.

Keling, birinchi yo'lga boraylik. Biz tenglamani olamiz:

Endi biz o'zgaruvchini almashtirishni joriy qilamiz:

Ifodani soddalashtiramiz va t uchun bikvadrat tenglamani olamiz:

Javob: yoki

7 .

Ushbu tenglama quyidagi tuzilishga ega:

Uni hal qilish uchun tenglamaning chap tomonida to'liq kvadratni tanlashingiz kerak.

To'liq kvadratni tanlash uchun siz mahsulotning ikki barobarini qo'shishingiz yoki ayirishingiz kerak. Keyin yig'indi yoki farqning kvadratini olamiz. Bu o'zgaruvchanni muvaffaqiyatli almashtirish uchun juda muhimdir.

Keling, mahsulotning ikki barobarini topishdan boshlaylik. Bu o'zgaruvchini almashtirish uchun kalit bo'ladi. Bizning tenglamamizda mahsulot ikki barobarga teng

Keling, biz uchun nima qulayroq ekanligini aniqlaylik - yig'indi kvadrati yoki farq. Avval iboralar yig'indisini ko'rib chiqamiz:

Ajoyib! Bu ifoda mahsulotning ikki barobariga to'liq teng. Keyin, qavs ichida yig'indining kvadratini olish uchun siz qo'shilish va ayirish kerak: