To'rtburchaklar parallelepipedning xossalari va formulalari. To'rtburchak parallelepiped

16.10.2019

Shuningdek o'qing

Dengiz itshumurti: foydali xususiyatlari va kontrendikatsiyasi Dengiz itshumurtining inson tanasiga ta'siri

Dengiz tuzining go'zallik va inson salomatligi uchun foydalari

Physalis: foydali xususiyatlari, kontrendikatsiyasi, foydalari va zararlari Bolalarga fizalis mevasini berish mumkinmi?

Rus she'riyatining oltin davri Rus she'riyatining oltin davri Ivan Turgenev

Integratsiyalashgan o'qish darsi

Ta'rif

Ko'p yuzli ko'pburchaklardan tashkil topgan va fazoning ma'lum bir qismini chegaralovchi yopiq sirtni chaqiramiz.

Ushbu ko'pburchaklarning tomonlari bo'lgan segmentlar deyiladi qovurg'alar ko'pburchaklar va ko'pburchaklarning o'zlari qirralar. Ko'pburchaklarning uchlari ko'pburchaklar cho'qqilari deyiladi.

Biz faqat konveks ko'pburchakni ko'rib chiqamiz (bu har bir tekislikning bir tomonida o'z yuzini o'z ichiga olgan poliedr).

Ko'pburchakni tashkil etuvchi ko'pburchaklar uning sirtini hosil qiladi. Fazoning ma'lum ko'pburchak bilan chegaralangan qismi uning ichki qismi deb ataladi.

Ta'rif: prizma

Ikkita teng koʻpburchakni koʻrib chiqaylik \(A_1A_2A_3...A_n\) va \(B_1B_2B_3...B_n\). parallel tekisliklar shunday qilib segmentlar \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallel. \(A_1A_2A_3...A_n\) va \(B_1B_2B_3...B_n\) koʻpburchaklar hamda parallelogrammalar orqali hosil qilingan koʻpburchak. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), deyiladi (\(n\)-gonal) prizma.

\(A_1A_2A_3...A_n\) va \(B_1B_2B_3...B_n\) koʻpburchaklar prizma asoslari, parallelogrammalar deyiladi. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- yon yuzlar, segmentlar \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- lateral qovurg'alar.
Shunday qilib, prizmaning lateral qirralari parallel va bir-biriga teng.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik - prizma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), uning tagida qavariq beshburchak yotadi.

Balandligi prizmalar - bir asosning istalgan nuqtasidan boshqa asosning tekisligiga tushirilgan perpendikulyar.

Agar yon qirralarning asosga perpendikulyar bo'lmasa, unda bunday prizma deyiladi moyil(1-rasm), aks holda – Streyt. To'g'ri prizmada yon qirralarning balandliklari, yon yuzlari esa teng to'rtburchaklardir.

To'g'ri prizmaning asosi yotsa muntazam ko'pburchak, keyin prizma chaqiriladi to'g'ri.

Ta'rif: hajm tushunchasi

Hajm o'lchov birligi birlik kubidir (\(1\times1\times1\) birliklarni o'lchaydigan kub\(^3\), bu erda birlik ma'lum bir o'lchov birligidir).

Aytishimiz mumkinki, ko'pburchakning hajmi bu ko'p yuzli chegaralangan bo'shliq miqdoridir. Aks holda: bu miqdor bo'lib, uning raqamli qiymati birlik kub va uning qismlari berilgan ko'pburchakga necha marta mos kelishini ko'rsatadi.

Hajmi maydon bilan bir xil xususiyatlarga ega:

1. Jildlar teng ko'rsatkichlar teng.

2. Agar ko‘pburchak bir necha kesishmaydigan ko‘p yuzlilardan tashkil topgan bo‘lsa, uning hajmi shu ko‘pburchaklar hajmlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.

3. Hajm - manfiy bo'lmagan kattalik.

4. Hajmi sm\(^3\) (kub santimetr), m\(^3\) () bilan o'lchanadi. Kub metr) va hokazo.

Teorema

1. Prizmaning lateral yuzasining maydoni poydevor perimetri va prizma balandligining ko'paytmasiga teng.
Yon sirt maydoni prizmaning lateral yuzlari maydonlarining yig'indisidir.

2. Prizmaning hajmi asos maydoni va prizma balandligi ko‘paytmasiga teng: \

Ta'rif: parallelepiped

Parallelepiped asosida parallelogramm bo'lgan prizma.

Parallelepipedning barcha yuzlari (\(6\) : \(4\) yon yuzlari va \(2\) asoslari mavjud) parallelogrammlar, qarama-qarshi yuzlari (bir-biriga parallel) teng parallelogrammalardir (2-rasm). .

Parallelepipedning diagonali- parallelepipedning bir yuzida yotmaydigan ikkita uchini birlashtiruvchi segment (ulardan \(8\) bor: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) va hokazo.).

To'rtburchak parallelepiped asosi to‘rtburchak bo‘lgan to‘g‘ri parallelepipeddir.
Chunki Bu to'g'ri parallelepiped bo'lgani uchun, yon tomonlari to'rtburchaklardir. Bu degani, umuman olganda, to'rtburchaklar parallelepipedning barcha yuzlari to'rtburchaklardir.

To'rtburchaklar parallelepipedning barcha diagonallari tengdir (bu uchburchaklar tengligidan kelib chiqadi. \(\uchburchak ACC_1=\uchburchak AA_1C=\uchburchak BDD_1=\uchburchak BB_1D\) va hokazo.).

Izoh

Demak, parallelepiped prizmaning barcha xossalariga ega.

Teorema

To'rtburchaklar parallelepipedning lateral yuzasi maydoni \

Kvadrat to'liq sirt to'rtburchak parallelepipedga teng \

Teorema

Kuboidning hajmi uning bir tepadan (kuboidning uch o'lchami) chiqadigan uchta qirrasining ko'paytmasiga teng: \

Isbot

Chunki To'g'ri burchakli parallelepipedda lateral qirralar asosga perpendikulyar bo'lsa, u holda ular ham uning balandliklari, ya'ni \(h=AA_1=c\) Chunki asosi to'rtburchak, keyin \(S_(\text(asosiy))=AB\cdot AD=ab\). Bu formuladan kelib chiqadi.

Teorema

To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonali \(d\) formula yordamida topiladi (bu erda \(a,b,c\) parallelepipedning o'lchamlari) \

Isbot

Keling, rasmga qaraylik. 3. Chunki asosi to'rtburchak, keyin \(\triangle ABD\) to'rtburchaklar, shuning uchun Pifagor teoremasi bo'yicha \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Chunki barcha lateral qirralarning asoslarga perpendikulyar, keyin \(BB_1\perp (ABC) \O'ngga BB_1\) bu tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziqqa perpendikulyar, ya'ni. \(BB_1\perp BD\) . Bu \(\triangle BB_1D\) to'rtburchak ekanligini bildiradi. Keyin, Pifagor teoremasi bo'yicha \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Ta'rif: kub

Kub to'rtburchaklar parallelepiped bo'lib, uning barcha yuzlari teng kvadratlardan iborat.

Shunday qilib, uch o'lcham bir-biriga teng: \(a=b=c\) . Shunday qilib, quyidagilar to'g'ri

Teoremalar

1. Qirgi \(a\) bo'lgan kub hajmi \(V_(\matn(kub))=a^3\) ga teng.

2. Kubning diagonali \(d=a\sqrt3\) formulasi yordamida topiladi.

3. Kubning umumiy sirt maydoni \(S_(\matn(toʻliq kub))=6a^2\).

Ushbu darsda hamma "To'rtburchaklar parallelepiped" mavzusini o'rganishi mumkin. Darsning boshida biz ixtiyoriy va to'g'ri parallelepipedlar nima ekanligini takrorlaymiz, ularning qarama-qarshi yuzlari va parallelepiped diagonallarining xususiyatlarini eslaymiz. Keyin kuboid nima ekanligini ko'rib chiqamiz va uning asosiy xususiyatlarini muhokama qilamiz.

Mavzu: Chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligi

Dars: kuboid

Ikkita teng ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 parallelogrammasi va to‘rtta ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 parallelogrammalaridan tashkil topgan sirt deyiladi. parallelepiped(1-rasm).

Guruch. 1 Parallelepiped

Ya'ni: bizda ikkita teng parallelogramma ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 (asos), ular parallel tekisliklarda yotadi, shunda AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 yon qirralari parallel bo'ladi. Shunday qilib, parallelogrammalardan tashkil topgan sirt deyiladi parallelepiped.

Shunday qilib, parallelepipedning yuzasi parallelepipedni tashkil etuvchi barcha parallelogrammalarning yig'indisidir.

1. Parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir.

(shakllar teng, ya'ni ularni bir-biriga yopishtirish orqali birlashtirish mumkin)

Masalan:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (ta’rifi bo‘yicha teng parallelogrammalar),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (chunki AA 1 B 1 B va DD 1 C 1 C parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (chunki AA 1 D 1 D va BB 1 C 1 C parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari).

2. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va shu nuqta bilan ikkiga bo'linadi.

AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B parallelepipedning diagonallari bir O nuqtada kesishadi va har bir diagonal shu nuqta bilan yarmiga bo'linadi (2-rasm).

Guruch. 2 Parallelepipedning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.

3. Parallelepipedning teng va parallel qirralarining uchta to'rtligi bor: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Ta'rif. Parallelepiped, agar uning lateral qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lsa, to'g'ri deyiladi.

Yon qirrasi AA 1 asosga perpendikulyar bo'lsin (3-rasm). Demak, AA 1 to’g’ri chiziq asos tekisligida yotgan AD va AB to’g’ri chiziqlarga perpendikulyar. Bu shuni anglatadiki, yon tomonlarda to'rtburchaklar mavjud. Va asoslar ixtiyoriy parallelogrammlarni o'z ichiga oladi. ∠BAD = ph ni belgilaymiz, ph burchagi har qanday bo'lishi mumkin.

Guruch. 3 To'g'ri parallelepiped

Demak, to'g'ri parallelepiped - yon qirralari parallelepiped asoslariga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped.

Ta'rif. Parallelepiped to'rtburchaklar deb ataladi, uning lateral qirralari asosga perpendikulyar bo'lsa. Asoslari to'rtburchaklardir.

Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 to'rtburchaklar (4-rasm), agar:

1. AA 1 ⊥ ABCD (asos tekisligiga perpendikulyar lateral qirrasi, ya'ni to'g'ri parallelepiped).

2. ∠BAD = 90°, ya'ni asosi to'rtburchakdir.

Guruch. 4 Toʻgʻri burchakli parallelepiped

To'rtburchak parallelepiped ixtiyoriy parallelepipedning barcha xususiyatlariga ega. Lekin bor qo'shimcha xususiyatlar, ular to'rtburchaklar parallelepipedning ta'rifidan kelib chiqadi.

Shunday qilib, kubsimon yon qirralari asosga perpendikulyar boʻlgan parallelepipeddir. Kuboidning asosi to'rtburchakdir.

1. To'rtburchaklar parallelepipedda oltita yuzning hammasi to'rtburchaklardir.

ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 ta'rifiga ko'ra to'rtburchaklardir.

2. Yanal qovurg'alar asosga perpendikulyar. Bu shuni anglatadiki, to'rtburchaklar parallelepipedning barcha lateral yuzlari to'rtburchaklardir.

3. To'g'ri burchakli parallelepipedning barcha ikki burchakli burchaklari to'g'ri.

Masalan, cheti AB bo'lgan to'rtburchak parallelepipedning ikki burchakli burchagini, ya'ni ABC 1 va ABC tekisliklari orasidagi ikki burchakli burchakni ko'rib chiqaylik.

AB - chekka, A 1 nuqta bir tekislikda - ABB 1 tekislikda, D nuqta ikkinchisida - A 1 B 1 C 1 D 1 tekislikda yotadi. U holda ko'rib chiqilayotgan ikki burchakli burchakni ham quyidagicha belgilash mumkin: ∠A 1 ABD.

AB chetidagi A nuqtani olaylik. AA 1 AVV-1 tekisligida AB chetiga perpendikulyar, AD ABC tekisligida AB chetiga perpendikulyar. Demak, ∠A 1 AD berilgan ikki burchakli burchakning chiziqli burchagidir. ∠A 1 AD = 90 °, ya'ni AB chetidagi dihedral burchak 90 ° ga teng.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Xuddi shunday, to'rtburchak parallelepipedning har qanday ikki burchakli burchaklari to'g'ri ekanligi isbotlangan.

To'rtburchaklar parallelepiped diagonalining kvadrati uning uch o'lchami kvadratlarining yig'indisiga teng.

Eslatma. Kuboidning bir cho'qqisidan chiqadigan uchta qirraning uzunligi kuboidning o'lchovidir. Ular ba'zan uzunlik, kenglik, balandlik deb ataladi.

Berilgan: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - to'g'ri burchakli parallelepiped (5-rasm).

isbotlang: .

Guruch. 5 To'g'ri burchakli parallelepiped

Isbot:

CC 1 to'g'ri chiziq ABC tekisligiga, shuning uchun AC to'g'ri chiziqqa perpendikulyar. Bu CC 1 A uchburchak to'g'ri burchakli ekanligini anglatadi. Pifagor teoremasiga ko'ra:

Keling, ko'rib chiqaylik to'g'ri uchburchak ABC. Pifagor teoremasiga ko'ra:

Ammo BC va AD to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari. Shunday qilib, BC = AD. Keyin:

Chunki , A , Bu. CC 1 = AA 1 bo'lgani uchun, buni isbotlash kerak edi.

To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonallari teng.

ABC parallelepipedning o'lchamlarini a, b, c (6-rasmga qarang) deb belgilaymiz, keyin AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =