Onlayn kalkulyatorning funktsiyalarini to'liq o'rganish. Differensial hisoblash usullari yordamida \(y=\frac(x3)(1-x)\) funksiyasini tekshirib, uning grafigini tuzing.

Funktsiyani o'rganish aniq sxema bo'yicha amalga oshiriladi va talaba talab qiladi mustahkam bilim ta'rif va qiymatlar sohasi, funktsiyaning uzluksizligi, asimptota, ekstremum nuqtalari, paritet, davriylik va boshqalar kabi asosiy matematik tushunchalar. Talaba funktsiyalarni erkin farqlay olishi va ba'zan juda murakkab bo'lishi mumkin bo'lgan tenglamalarni yecha olishi kerak.

Ya'ni, bu vazifa bilimning muhim qatlamini sinab ko'radi, har qanday bo'shliq olish uchun to'siq bo'ladi to'g'ri qaror. Ayniqsa, ko'pincha funktsiyalar grafiklarini tuzishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Bu xato o'qituvchiga darhol seziladi va hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa ham, sizning bahongizga katta zarar etkazishi mumkin. Bu yerda topishingiz mumkin Onlayn funktsiyani o'rganish muammolari: misollarni o'rganish, echimlarni yuklab olish, topshiriqlarni buyurtma qilish.

Funktsiyani o'rganing va grafik chizing: misollar va onlayn echimlar

Biz siz uchun ish daftarida to'langan va "Funktsiyalarni o'rganish misollari" bo'limida bepul bo'lgan juda ko'p tayyor funktsional tadqiqotlar tayyorladik. Ushbu hal qilingan vazifalarga asoslanib, siz shunga o'xshash vazifalarni bajarish metodologiyasi bilan batafsil tanishishingiz va tadqiqotingizni analogiya bo'yicha amalga oshirishingiz mumkin.

Biz taklif etamiz tayyor misollar eng keng tarqalgan tipdagi funktsiyalarni to'liq o'rganish va grafigini tuzish: ko'phadlar, kasr ratsional, irratsional, eksponensial, logarifmik, trigonometrik funktsiyalar. Har bir echilgan masala ajratilgan asosiy nuqtalari, asimptotalari, maksimallari va minimallari bo'lgan tayyor grafik bilan birga bo'ladi.

Har holda, hal qilingan misollar sizga yordam beradi yaxshi yordam, chunki ular eng mashhur funktsiyalar turlarini qamrab oladi. Biz sizga allaqachon hal qilingan yuzlab muammolarni taklif qilamiz, lekin siz bilganingizdek, dunyoda cheksiz miqdordagi matematik funktsiyalar mavjud va o'qituvchilar kambag'al o'quvchilar uchun tobora qiyin vazifalarni ixtiro qilishda ajoyib mutaxassislardir. Shunday qilib, aziz talabalar, malakali yordam bu sizga zarar qilmaydi.

Maxsus funktsiyani o'rganish muammolarini hal qilish

Bunday holda, bizning hamkorlarimiz sizga boshqa xizmatni taklif qilishadi - to'liq tadqiqot onlayn funktsiyalar Buyurtmaga. Vazifa siz uchun bunday muammolarni hal qilish algoritmiga qo'yiladigan barcha talablarga muvofiq bajariladi, bu sizning o'qituvchingizni juda xursand qiladi.

Biz siz uchun funktsiyani to'liq o'rganamiz: ta'rif sohasi va qiymatlar diapazoni topamiz, uzluksizlik va uzilishni tekshiramiz, paritetni o'rnatamiz, funksiyangizni davriyligini tekshiramiz, nuqtalarni topamiz koordinata o'qlari bilan kesishmalar. Va, albatta, differensial hisoblash yordamida: biz asimptotalarni topamiz, ekstremalarni, burilish nuqtalarini hisoblaymiz va grafikni o'zi quramiz.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur hollarda qonun hujjatlariga muvofiq sud tartibi, V sud va/yoki ommaviy so'rovlar yoki so'rovlar asosida davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa sog'liqni saqlash maqsadlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak. muhim holatlar.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Agar masala f (x) = x 2 4 x 2 - 1 funksiyani uning grafigini qurish bilan to’liq o’rganishni talab qilsa, u holda bu tamoyilni batafsil ko’rib chiqamiz.

Muammoni hal qilish uchun bu turdagi asosiyning xossalari va grafiklari elementar funktsiyalar. Tadqiqot algoritmi quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ta'rif sohasini topish

Tadqiqot funktsiyani aniqlash sohasi bo'yicha olib borilganligi sababli, ushbu bosqichdan boshlash kerak.

1-misol

Berilgan misol ODZdan chiqarib tashlash uchun maxrajning nollarini topishni o'z ichiga oladi.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Natijada siz ildizlarni, logarifmlarni va hokazolarni olishingiz mumkin. Shunda ODZdan g (x) ≥ 0 tengsizlik bo‘yicha g (x) 4 turdagi juft darajali ildizni, log a g (x) logarifmini g (x) > 0 tengsizlik orqali izlash mumkin.

ODZ chegaralarini o'rganish va vertikal asimptotalarni topish

Funktsiya chegaralarida vertikal asimptotlar mavjud bo'lib, bunday nuqtalarda bir tomonlama chegaralar cheksiz bo'ladi.

2-misol

Masalan, x = ± 1 2 ga teng chegara nuqtalarini ko'rib chiqing.

Keyin bir tomonlama chegarani topish uchun funktsiyani o'rganish kerak. Shunda biz shuni olamiz: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Bu shuni ko'rsatadiki, bir tomonlama chegaralar cheksizdir, ya'ni x = ± 1 2 to'g'ri chiziqlar grafikning vertikal asimptotalari hisoblanadi.

Funktsiyani va uning juft yoki toq ekanligini o'rganish

y (- x) = y (x) sharti bajarilganda funksiya juft deb hisoblanadi. Bu grafikning Oyga nisbatan simmetrik joylashganligini ko'rsatadi. y (- x) = - y (x) sharti bajarilganda funksiya toq deb hisoblanadi. Bu simmetriya koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan ekanligini bildiradi. Agar kamida bitta tengsizlik bajarilmasa, umumiy shakl funksiyasini olamiz.

y (- x) = y (x) tenglik funksiyaning juft ekanligini bildiradi. Qurilishda Oyga nisbatan simmetriya bo'lishini hisobga olish kerak.

Tengsizlikni yechish uchun mos ravishda f " (x) ≥ 0 va f " (x) ≤ 0 shartlar bilan ortish va kamayish oraliqlaridan foydalaniladi.

Ta'rif 1

Statsionar nuqtalar- bu hosilani nolga aylantiradigan nuqtalar.

Kritik nuqtalar- bu funksiya hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan ta'rif sohasining ichki nuqtalari.

Qaror qabul qilishda quyidagi fikrlarni hisobga olish kerak:

• f " (x) > 0 ko'rinishdagi ortib boruvchi va kamayuvchi tengsizliklarning mavjud intervallari uchun kritik nuqtalar yechimga kiritilmaydi;
• Funktsiya chekli hosilasiz aniqlangan nuqtalar ortish va kamayish oraliqlariga kiritilishi kerak (masalan, y = x 3, bu erda x = 0 nuqta funktsiyani aniqlaydi, hosila bu erda cheksizlik qiymatiga ega nuqta, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ortib borayotgan intervalga kiritilgan);
• Qarama-qarshiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun Ta'lim vazirligi tomonidan tavsiya etilgan matematik adabiyotlardan foydalanish tavsiya etiladi.

Kritik nuqtalarni o'sish va pasayish oraliqlariga kiritish, agar ular funktsiyani aniqlash sohasini qanoatlantirsa.

Ta'rif 2

Uchun funktsiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlab, topish kerak:

• hosila;
• tanqidiy nuqtalar;
• kritik nuqtalar yordamida ta'rif sohasini intervallarga bo'lish;
• intervallarning har birida hosila belgisini aniqlang, bu erda + - o'sish va - kamayish.

3-misol

f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) aniqlanish sohasi bo'yicha hosilani toping. 1) 2 .

Yechim

Yechish uchun sizga kerak:

• statsionar nuqtalarni toping, bu misolda x = 0;
• maxrajning nollarini toping, misol x = ± 1 2 da nol qiymatini oladi.

Har bir oraliqda hosilani aniqlash uchun raqamlar o'qiga nuqta qo'yamiz. Buning uchun oraliqdan istalgan nuqtani olib, hisob-kitobni bajarish kifoya. Agar natija ijobiy bo'lsa, biz grafikda + ni tasvirlaymiz, bu funktsiyaning ortib borayotganini va - kamayishini bildiradi.

Masalan, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, bu chapdagi birinchi intervalda + belgisi borligini bildiradi. Raqam chizig'ida ko'rib chiqing.

Javob:

• funksiya - ∞ oraliqda ortadi; - 1 2 va (- 1 2 ; 0 ] ;
• oraliqda pasayish mavjud [ 0 ; 1 2) va 1 2 ; + ∞ .

Diagrammada + va - yordamida funktsiyaning ijobiy va salbiy tomonlari tasvirlangan va o'qlar kamayish va o'sishni bildiradi.

Funksiyaning ekstremum nuqtalari funksiya aniqlanadigan va hosila belgisi oʻzgaradigan nuqtalardir.

4-misol

Agar x = 0 bo'lgan misolni ko'rib chiqsak, undagi funktsiyaning qiymati f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 ga teng bo'ladi. Hosilning belgisi + dan - ga o'zgarib, x = 0 nuqtadan o'tganda, u holda koordinatalari (0; 0) bo'lgan nuqta maksimal nuqta hisoblanadi. Belgisi - dan + ga o'zgarganda, biz minimal ball olamiz.

Qavariqlik va botiqlik f "" (x) ≥ 0 va f "" (x) ≤ 0 ko'rinishdagi tengsizliklarni yechish yo'li bilan aniqlanadi. Qavariqlik oʻrniga pastga, qavariqlik oʻrniga yuqoriga qarab konveksiya nomi kamroq qoʻllaniladi.

Ta'rif 3

Uchun botiqlik va qavariqlik oraliqlarini aniqlash zarur:

• ikkinchi hosilani toping;
• ikkinchi hosila funksiyaning nollarini toping;
• aniqlash maydonini paydo bo'ladigan nuqtalar bilan intervallarga bo'ling;
• intervalning belgisini aniqlang.

5-misol

Ta'rif sohasidan ikkinchi hosilani toping.

Yechim

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Numerator va maxrajning nollarini topamiz, bu erda bizning misolimizda maxrajning nollari x = ± 1 2 ga teng.

Endi siz raqamlar chizig'idagi nuqtalarni chizishingiz va har bir oraliqdan ikkinchi hosilaning belgisini aniqlashingiz kerak. Biz buni tushunamiz

Javob:

• funksiya oraliqdan qavariq - 1 2 ; 12;
• funksiya intervallardan botiq bo'ladi - ∞ ; - 1 2 va 1 2; + ∞ .

Ta'rif 4

Burilish nuqtasi– bu x 0 ko‘rinishdagi nuqta; f (x 0) . Agar u funktsiya grafigiga teginishga ega bo'lsa, u x 0 dan o'tganda funktsiya belgisini teskari tomonga o'zgartiradi.

Boshqacha qilib aytganda, bu ikkinchi hosila o'tadigan va belgini o'zgartiradigan nuqtadir va nuqtalarning o'zida u nolga teng yoki mavjud emas. Barcha nuqtalar funksiyaning sohasi hisoblanadi.

Misolda hech qanday burilish nuqtalari yo'qligi aniq edi, chunki ikkinchi hosila x = ± 1 2 nuqtalardan o'tishda belgini o'zgartiradi. Ular, o'z navbatida, ta'rif doirasiga kiritilmagan.

Gorizontal va qiya asimptotalarni topish

Funktsiyani cheksizlikda belgilashda gorizontal va qiya asimptotalarni izlash kerak.

Ta'rif 5

Egri asimptotlar to'g'ri chiziqlar yordamida tasvirlangan, tenglama bilan berilgan y = k x + b, bu erda k = lim x → ∞ f (x) x va b = lim x → ∞ f (x) - k x.

k = 0 va b cheksizlikka teng bo'lmaganda, qiyshiq asimptota bo'lishini topamiz. gorizontal.

Boshqacha qilib aytganda, asimptotalar funksiya grafigi cheksizlikda yaqinlashadigan chiziqlar deb hisoblanadi. Bu funksiya grafigini tez qurishni osonlashtiradi.

Agar asimptotlar bo'lmasa, lekin funksiya ikkala cheksizlikda ham aniqlangan bo'lsa, funktsiya grafigi qanday harakat qilishini tushunish uchun ushbu cheksizliklarda funktsiya chegarasini hisoblash kerak.

6-misol

Bunga misol sifatida qaraymiz

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

gorizontal asimptotadir. Funktsiyani ko'rib chiqqandan so'ng, uni qurishni boshlashingiz mumkin.

Oraliq nuqtalarda funksiya qiymatini hisoblash

Grafikni aniqroq qilish uchun oraliq nuqtalarda bir nechta funktsiya qiymatlarini topish tavsiya etiladi.

7-misol

Biz ko'rib chiqqan misoldan x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini topish kerak. Funktsiya juft bo'lgani uchun biz qiymatlar ushbu nuqtalardagi qiymatlarga to'g'ri kelishini olamiz, ya'ni x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 ni olamiz.

Keling, yozamiz va hal qilamiz:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Funksiyaning maksimal va minimallarini, burilish nuqtalarini va oraliq nuqtalarini aniqlash uchun asimptotalarni qurish kerak. Qulay belgilash uchun ortish, pasayish, qavariq va konkavlik oraliqlari qayd etiladi. Keling, quyidagi rasmga qaraylik.

Belgilangan nuqtalar orqali grafik chiziqlarni chizish kerak, bu sizga strelkalar bo'yicha asimptotalarga yaqinlashish imkonini beradi.

Bu funktsiyani to'liq o'rganishni yakunlaydi. Ba'zi elementar funktsiyalarni qurish holatlari mavjud, ular uchun geometrik o'zgarishlar qo'llaniladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Bittasi eng muhim vazifalar differensial hisob ishlab chiqishdir umumiy misollar funktsiya xatti-harakatlarini o'rganish.

Agar y=f(x) funksiya oraliqda uzluksiz bo‘lsa va hosilasi (a,b) oralig‘ida musbat yoki 0 ga teng bo‘lsa, y=f(x) (f"(x)0) ga ortadi. Agar y=f (x) funksiya segmentida uzluksiz bo'lsa va uning hosilasi (a,b) oralig'ida manfiy yoki 0 ga teng bo'lsa, u holda y=f(x) (f"(x)0 ga kamayadi. )

Funksiya kamaymaydigan yoki ortib ketmaydigan oraliqlar funksiyaning monotonlik intervallari deyiladi. Funktsiyaning monotonligining tabiati faqat birinchi hosilaning belgisi o'zgargan ta'rif sohasining nuqtalarida o'zgarishi mumkin. Funktsiyaning birinchi hosilasi yo'q bo'lib ketadigan yoki uzilishga ega bo'lgan nuqtalar kritik deyiladi.

1-teorema (ekstremum mavjudligi uchun 1-etarli shart).

y=f(x) funksiya x 0 nuqtada aniqlansin va d>0 qo‘shnilik bo‘lsinki, funksiya intervalda uzluksiz, (x 0 -d,x 0)u( oraliqda differentsial bo‘lsin. x 0 , x 0 +d) va uning hosilasi bu intervallarning har birida doimiy belgini saqlaydi. U holda x 0 -d,x 0) va (x 0 , x 0 +d) da hosilaning belgilari har xil bo'lsa, x 0 ekstremum nuqta, agar ular mos tushsa, x 0 ekstremum nuqta emas. . Bundan tashqari, agar x0 nuqtasidan o'tayotganda hosila ishorasini plyusdan minusga o'zgartirsa (x 0 ning chap tomonida f"(x)>0 bajarilsa, u holda x 0 maksimal nuqtadir; agar hosila dan belgisini o'zgartirsa). minusdan plyusga (x 0 ning o'ng tomonida bajarilgan f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimal va minimal nuqtalar funksiyaning ekstremum nuqtalari, funksiyaning maksimal va minimumlari esa uning ekstremal qiymatlari deyiladi.

2-teorema (mahalliy ekstremumning zaruriy belgisi).

Agar y=f(x) funksiya joriy x=x 0 da ekstremumga ega bo‘lsa, u holda f’(x 0)=0 yoki f’(x 0) mavjud emas.
Differensiallanuvchi funksiyaning ekstremum nuqtalarida uning grafigining tangensi Ox o'qiga parallel bo'ladi.

Ekstremum uchun funktsiyani o'rganish algoritmi:

1) funksiyaning hosilasini toping.
2) Kritik nuqtalarni toping, ya'ni. funktsiya uzluksiz va hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar.
3) Har bir nuqtaning qo'shniligini ko'rib chiqing va shu nuqtaning chap va o'ng tomonidagi hosila belgisini tekshiring.
4) Buning uchun ekstremal nuqtalarning koordinatalarini aniqlang, kritik nuqtalarning qiymatlarini ushbu funktsiyaga almashtiring; Ekstremum uchun etarli shartlardan foydalanib, tegishli xulosalar chiqaring.

18-misol. Ekstremum uchun y=x 3 -9x 2 +24x funksiyani tekshiring.

Yechim.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) hosilani nolga tenglashtirib, x 1 =2, x 2 =4 ni topamiz. Bunday holda, hosila hamma joyda aniqlanadi; Bu topilgan ikkita nuqtadan tashqari, boshqa muhim nuqtalar yo'qligini anglatadi.
3) y"=3(x-2)(x-4) hosilasining ishorasi 1-rasmda ko'rsatilganidek, intervalga qarab o'zgaradi. X=2 nuqtadan o'tganda hosila ishorani ortiqcha dan minusga o'zgartiradi, va x=4 nuqtadan o'tganda - minusdan plyusgacha.
4) x=2 nuqtada funksiya maksimal y max =20, x=4 nuqtada esa minimal y min =16 ga teng.

Teorema 3. (ekstremum mavjudligi uchun 2-etarli shart).

f"(x 0) bo'lsin va x 0 nuqtada f""(x 0) mavjud bo'lsin. Agar f""(x 0)>0 bo'lsa, x 0 minimal nuqta, agar f""(x) bo'lsa. 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Segmentda y=f(x) funksiya funksiyaning (a;b) oraliqda joylashgan kritik nuqtalarida yoki eng kichik (y eng kichik) yoki eng katta (y eng yuqori) qiymatga erishishi mumkin. segmentning uchlari.

Segmentda uzluksiz y=f(x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi:

1) f"(x) ni toping.
2) f"(x)=0 yoki f"(x) mavjud bo'lmagan nuqtalarni toping va ulardan segment ichida yotganlarini tanlang.
3) y=f(x) funksiyaning 2-bosqichda olingan nuqtalarda, shuningdek, segment uchlaridagi qiymatini hisoblang va ulardan eng kattasini va eng kichigini tanlang: ular mos ravishda eng katta (y) intervaldagi funksiyaning eng katta) va eng kichik (y eng kichik) qiymatlari.

19-misol. y=x 3 -3x 2 -45+225 uzluksiz funksiyaning segmentdagi eng katta qiymatini toping.

1) Biz segmentda y"=3x 2 -6x-45 ga egamiz
2) y" hosilasi barcha x uchun mavjud. y"=0 bo'lgan nuqtalarni topamiz; olamiz:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) funksiyaning x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 nuqtalardagi qiymatini hisoblang.
Segment faqat x=5 nuqtasini o'z ichiga oladi. Funksiyaning topilgan qiymatlaridan eng kattasi 225, eng kichigi esa 50. Demak, y max = 225, y min = 50.

Qavariqlik bo'yicha funktsiyani o'rganish

Rasmda ikkita funktsiyaning grafiklari ko'rsatilgan. Ulardan birinchisi yuqoriga qarab qavariq, ikkinchisi pastga qarab qavariq.

y=f(x) funksiya segmentda uzluksiz va (a;b) oraliqda differensiallanadi, bu segmentda yuqoriga (pastga) qavariq deyiladi, agar axb uchun uning grafigi dan yuqori (past bo'lmagan) bo'lmasa. M 0 (x 0 ;f(x 0)) istalgan nuqtada chizilgan tangens, bu yerda axb.

Teorema 4. y=f(x) funksiya segmentning istalgan ichki x nuqtasida ikkinchi hosilaga ega bo'lsin va bu segmentning uchlarida uzluksiz bo'lsin. U holda f""(x)0 tengsizlik (a;b) oraliqda o'rinli bo'lsa, u holda funksiya oraliqda pastga qarab qavariq bo'ladi; agar f""(x)0 tengsizlik (a;b) oraliqda o'rinli bo'lsa, funksiya yuqoriga qavariq bo'ladi.

Teorema 5. Agar y=f(x) funksiyaning (a;b) oraliqda ikkinchi hosilasi bo‘lsa va u x 0 nuqtadan o‘tganda belgisini o‘zgartirsa, M(x 0 ;f(x 0)) bo‘ladi. burilish nuqtasi.

Burilish nuqtalarini topish qoidasi:

1) f""(x) mavjud bo'lmagan yoki yo'qolgan nuqtalarni toping.
2) Birinchi bosqichda topilgan har bir nuqtaning chap va o'ng tomonidagi f""(x) belgisini tekshiring.
3) 4-teoremaga asoslanib, xulosa chiqaring.

20-misol. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 funksiya grafigining ekstremum nuqtalari va burilish nuqtalarini toping.

Bizda f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Shubhasiz, x 1 =0, x 2 =1 bo'lganda f"(x)=0. X=0 nuqtadan o'tganda hosila belgisini minusdan plyusga o'zgartiradi, lekin x=1 nuqtadan o'tganda ishorani o'zgartirmaydi. Demak, x=0 minimal nuqta (y min =12), x=1 nuqtada ekstremum yo‘q. Keyingi, biz topamiz . Ikkinchi hosila x 1 =1, x 2 =1/3 nuqtalarda yo'qoladi. Ikkinchi hosilaning belgilari quyidagicha o'zgaradi: (-∞;) nurda f""(x)>0, (;1) oraliqda f""(x) bo'ladi.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Demak, x= funksiya grafigining burilish nuqtasi (qavariqdan pastga qavariqlikka yuqoriga o'tish) va x=1 ham burilish nuqtasi (qavariqdan yuqoriga pastga o'tish). Agar x= bo'lsa, y=; agar, u holda x=1, y=13.

Grafikning asimptotasini topish algoritmi

I. Agar y=f(x) x → a bo‘lsa, x=a vertikal asimptota bo‘ladi.
II. Agar y=f(x) x → ∞ yoki x → -∞ bo‘lsa, u holda y=A gorizontal asimptota bo‘ladi.
III. Egri asimptotani topish uchun biz quyidagi algoritmdan foydalanamiz:
1) Hisoblash. Agar chegara mavjud bo'lsa va b ga teng bo'lsa, u holda y=b gorizontal asimptotadir; bo'lsa, ikkinchi bosqichga o'ting.
2) Hisoblang. Agar bu chegara mavjud bo'lmasa, unda asimptota yo'q; agar u mavjud bo'lsa va k ga teng bo'lsa, uchinchi bosqichga o'ting.
3) Hisoblang. Agar bu chegara mavjud bo'lmasa, unda asimptota yo'q; agar u mavjud bo'lsa va b ga teng bo'lsa, to'rtinchi bosqichga o'ting.
4) y=kx+b qiya asimptota tenglamasini yozing.

21-misol: Funksiyaning asimptotini toping

1)
2)
3)
4) Qiya asimptota tenglamasi ko'rinishga ega

Funktsiyani o'rganish va uning grafigini qurish sxemasi

I. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
II. Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini toping.
III. Asimptotlarni toping.
IV. Mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalarni toping.
V. Muhim nuqtalarni toping.
VI. Yordamchi raqamdan foydalanib, birinchi va ikkinchi hosilalarning belgisini o'rganing. Funksiyaning ortish va kamayish sohalarini aniqlang, grafikning qavariq yo`nalishini, ekstremal nuqta va burilish nuqtalarini toping.
VII. 1-6-bandlarda olib borilgan tadqiqotlarni hisobga olgan holda grafik tuzing.

22-misol: Yuqoridagi diagrammaga asosan funksiya grafigini tuzing

Yechim.
I. Funksiya sohasi x=1dan boshqa barcha haqiqiy sonlar to‘plamidir.
II. x 2 +1=0 tenglamaning haqiqiy ildizlari bo'lmagani uchun funksiya grafigining Ox o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q, lekin Oy o'qini (0;-1) nuqtada kesib o'tadi.
III. Keling, asimptotalarning mavjudligi haqidagi savolga aniqlik kiritaylik. Funksiyaning x=1 uzilish nuqtasi yaqinidagi harakatini o‘rganamiz. y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+ bo‘lgani uchun, x=1 chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasidir.
Agar x → +∞(x → -∞) bo‘lsa, u holda y → +∞(y → -∞); shuning uchun grafik gorizontal asimptotaga ega emas. Bundan tashqari, chegaralar mavjudligidan

x 2 -2x-1=0 tenglamani yechishda ikkita mumkin bo'lgan ekstremum nuqtani olamiz:
x 1 =1-√2 va x 2 =1+√2

V. Kritik nuqtalarni topish uchun ikkinchi hosilani hisoblaymiz:

f""(x) yo'qolmagani uchun hech qanday tanqidiy nuqta yo'q.
VI. Keling, birinchi va ikkinchi hosilalarning belgisini ko'rib chiqaylik. Ko‘rib chiqilishi mumkin bo‘lgan ekstremum nuqtalar: x 1 =1-√2 va x 2 =1+√2, funksiyaning mavjudlik sohasini intervallarga (-∞;1-√2),(1-√2;1) ajrating. +√2) va (1+√2;+∞).

Ushbu intervallarning har birida hosila o'z belgisini saqlab qoladi: birinchisida - ortiqcha, ikkinchisida - minus, uchinchisida - ortiqcha. Birinchi hosilaning belgilari ketma-ketligi quyidagicha yoziladi: +,-,+.
Funksiya (-∞;1-√2) da ortadi, (1-√2;1+√2) da kamayadi va (1+√2;+∞) da yana ortadi. Ekstremum nuqtalar: x=1-√2 da maksimal va x=1+√2 da f(1-√2)=2-2√2 minimal va f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) da grafik yuqoriga qavariq, (1;+∞) da esa pastga qarab qavariq.
VII Olingan qiymatlar jadvalini tuzamiz

VIII Olingan ma’lumotlarga asoslanib, funksiya grafigining eskizini tuzamiz

Ushbu maqolada biz funktsiyani o'rganish sxemasini ko'rib chiqamiz, shuningdek, berilgan funktsiyaning ekstremalligi, monotonligi va asimptotalarini o'rganishga misollar keltiramiz.

Sxema

1. Funksiyaning mavjudlik sohasi (DOA).
2. Funktsiyaning (agar mavjud bo'lsa) koordinata o'qlari bilan kesishishi, funksiya belgilari, pariteti, davriyligi.
3. Buzilish nuqtalari (ularning turlari). Davomiylik. Asimptotalar vertikaldir.
4. Monotonlik va ekstremal nuqtalar.
5. Burilish nuqtalari. Qavariq.
6. Funktsiyani cheksizlikda o'rganish, asimptotlar uchun: gorizontal va qiya.
7. Grafik yaratish.

Monotonlik testi

Teorema. Agar funktsiya g davomli , bilan farqlanadi (a; b) Va g’(x) ≥ 0 (g’(x)≤0), xê(a; b), Bu g tomonidan ortib (kamayuvchi) bilan .

Misol:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: xêR

y’ = x 2 + 6x + 5.

Doimiy belgilar oraliqlari topilsin y'. Chunki y' elementar funksiya bo'lsa, u faqat nolga aylanadigan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalarda belgilarini o'zgartirishi mumkin. Uning ODZ: xêR.

Hosil 0 (nol) ga teng bo‘lgan nuqtalarni topamiz:

y’ = 0;

x = -1; -5.

Shunday qilib, y o'sib bormoqda (-∞; -5] va yana [-1; +∞), y pastga tushish .

Ekstremallar bo'yicha tadqiqotlar

T. x 0 to'plamdagi maksimal nuqta (maks) deb ataladi A funktsiyalari g funksiya shu nuqtada eng katta qiymatni olganida g(x 0) ≥ g(x), xêA.

T. x 0 funktsiyaning minimal nuqtasi (min) deb ataladi g to'plamda A funksiya shu nuqtada eng kichik qiymatni qabul qilganda g(x 0) ≤ g(x), xêA.

To'plamda A maksimal (maks) va minimal (min) nuqtalar ekstremum nuqtalar deyiladi g. Bunday ekstremallar to'plamda mutlaq ekstrema deb ham ataladi .

Agar x 0- funksiyaning ekstremum nuqtasi g uning ba'zi tumanlarida, keyin x 0 funktsiyaning mahalliy yoki mahalliy ekstremum nuqtasi (maks yoki min) deb ataladi g.

Teorema (zarur shart). Agar x 0- funksiyaning ekstremum nuqtasi (mahalliy). g, unda hosila mavjud emas yoki bu qismda 0 (nol) ga teng.

Ta'rif. Mavjud bo'lmagan yoki 0 (nol) hosilasi bo'lgan nuqtalar kritik deyiladi. Aynan shu nuqtalar ekstremallar uchun shubhali.

Teorema (etarli shart No1). Agar funktsiya g ba'zi tumanlarda uzluksiz, ya'ni. x 0 va lotinning o'tish vaqtida bu nuqta orqali belgi o'zgaradi, u holda bu nuqta ekstremum nuqtasidir. g.

Teorema (etarli shart No 2). Nuqtaning qaysidir tumanidagi funksiya ikki marta differentsiallansin va g' = 0 va g'' > 0 (g''< 0) , keyin bu nuqta funksiyaning maksimal (maks) yoki minimal (min) nuqtasidir.

Bo'shliq testi

Funktsiya intervalda pastga qaragan konveks (yoki konkav) deb ataladi (a, b) funksiya grafigi har qanday x bilan oraliqdagi sekantdan yuqori bo'lmaganda joylashganda (a, b), bu nuqtalar orqali o'tadi .

Funktsiya qat'iy pastga qarab qavariq bo'ladi (a, b), agar - grafik intervaldagi sekant ostida yotadi.

Funktsiya intervalda yuqoriga (qavariq) qavariq deyiladi (a, b), agar har qanday t uchun ball Bilan (a, b) oraliqdagi funksiya grafigi shu nuqtalarda abtsissadan oʻtuvchi sekant chiziqdan past boʻlmaganda yotadi. .

Funktsiya qat'iy ravishda yuqoriga qarab qavariq bo'ladi (a, b), agar - intervaldagi grafik sekant chizig'idan yuqorida joylashgan.

Agar ba'zi nuqta tumanida funksiyasi uzluksiz va orqali t. x 0 O'tish paytida funktsiya o'zining qavariqligini o'zgartiradi, keyin bu nuqta funktsiyaning burilish nuqtasi deb ataladi.

Asimptotlarni o'rganish

Ta'rif. To'g'ri chiziq asimptota deb ataladi g(x), agar koordinatalar boshidan cheksiz masofada funksiya grafigidagi nuqta unga yaqinlashsa: d(M,l).

Asimptotalar vertikal, gorizontal va qiya bo'lishi mumkin.

Tenglama bilan vertikal chiziq x = x 0 g funksiyaning vertikal grafigining asimptoti bo'ladi , agar x 0 nuqtasida cheksiz bo'shliq mavjud bo'lsa, u holda bu nuqtada kamida bitta chap yoki o'ng chegara mavjud - cheksizlik.

Eng kichik va eng katta qiymatlar uchun segmentdagi funktsiyani o'rganish

Agar funktsiya uchun uzluksiz bo'lsa , u holda Veyershtrass teoremasiga ko'ra bu segmentda maksimal qiymat va minimal qiymat mavjud, ya'ni t mavjud. tegishli ko'zoynaklar shu kabi g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Monotonlik va ekstremallik haqidagi teoremalardan funktsiyani eng kichik va eng katta qiymatlar oralig'ida o'rganish uchun quyidagi sxemani olamiz.

Reja

1. Hosilini toping g'(x).
2. Qidiruv funksiyasi qiymati g bu nuqtalarda va segmentning uchlarida.
3. Topilgan qiymatlarni solishtiring va eng kichik va eng kattasini tanlang.

Izoh. Agar siz funktsiyani cheklangan intervalda o'rganishingiz kerak bo'lsa (a, b), yoki cheksizda (-∞; b); (-∞; +∞) maksimal va min qiymatlari bo'yicha, so'ngra rejada oraliq oxiridagi funktsiya qiymatlari o'rniga mos keladigan bir tomonlama chegaralarni qidiramiz: o'rniga f(a) ni axtarish f(a+) = limf(x), o'rniga f(b) ni axtarish f(-b). Shu tarzda oraliqda funksiyaning ODZ ni topishingiz mumkin, chunki bu holda mutlaq ekstremallar shart emas.

Hosilni ma'lum miqdorlarning ekstremumiga oid qo'llaniladigan masalalarni yechishda qo'llash

1. Bu miqdor faqat bitta o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lishi uchun (agar iloji bo‘lsa) masala qo‘llanmasidan boshqa miqdorlar bilan ifodalang.
2. Ushbu o'zgaruvchining o'zgarish oralig'ini aniqlang.
3. Maksimal va min qiymatlar oralig'ida funktsiyani o'rganish.

Vazifa. Bir tomondan devorga ulashgan, qolgan uchtasi esa to'r bilan o'ralgan bo'lishi uchun devorga bir metrli to'r yordamida to'rtburchaklar platforma qurish kerak. Bunday platformaning maydoni qaysi nisbatda eng katta bo'ladi?

S = xy- 2 ta o'zgaruvchining funksiyasi.

S = x(a - 2x)- 1-o'zgaruvchining funktsiyasi ; x ê.

S = ax - 2x 2; S" = a - 4x = 0, xêR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- eng katta qiymat;

S(0) =0.

To'rtburchakning boshqa tomonini topamiz: da = a: 2.

Aspekt nisbati: y: x = 2.

Javob. Eng katta maydon teng bo'ladi a 2/8, agar devorga parallel bo'lgan tomon boshqa tomondan 2 marta katta bo'lsa.

Funktsiyani o'rganish. Misollar

1-misol

Mavjud y=x 3: (1-x) 2 . Tadqiqot olib boring.

1. ODZ: xê(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Umumiy shakldagi funksiya (juft ham, toq ham emas) 0 (nol) nuqtaga nisbatan simmetrik emas.
3. Funktsiya belgilari. Funktsiya elementar, shuning uchun u faqat 0 (nol) ga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalarda belgini o'zgartirishi mumkin.
4. Funktsiya elementar, shuning uchun ODZda uzluksiz: (-∞; 1) U (1; ∞).

Bo'shliq: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- 2-turdagi uzilish (cheksiz), shuning uchun 1 nuqtada vertikal asimptota mavjud;

x = 1- vertikal asimptota tenglamasi.

5. y’ = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1;

x = 1- tanqidiy nuqta.

y’ = 0;

0; 3 - tanqidiy nuqtalar.

6. y’’ = 6x: (1 - x) 4 ;

Muhim elementlar: 1, 0;

x = 0 - egilish nuqtasi, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- gorizontal asimptota yo'q, lekin moyil bo'lishi mumkin.

k = 1- raqam;

b = 2- raqam.

Shuning uchun qiya asimptota mavjud y = x + 2+ ∞ va - ∞ da.

2-misol

Berilgan y = (x 2 + 1) : (x - 1). Ishlab chiqarish va tadqiqot. Grafik tuzing.

1. Mavjudlik sohasi deb atalmishdan tashqari butun son qatoridir x = 1.

2. y kesishadi OY (agar iloji bo'lsa), shu jumladan. (0;g(0)). topamiz y(0) = -1 - t .

Grafikning kesishish nuqtalari OX tenglamani yechish orqali topamiz y = 0. Tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q, shuning uchun bu funktsiya kesishmaydi OX.

3. Funksiya davriy emas. Ifodani ko'rib chiqing

g(-x) ≠ g(x) va g(-x) ≠ -g(x). Demak, u umumiy funktsiya (juft ham, toq ham emas).

4. T. x = 1 uzilish ikkinchi turdagi. Boshqa barcha nuqtalarda funksiya uzluksizdir.

5. Ekstremum uchun funktsiyani o'rganish:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2 = y"

va tenglamani yeching y" = 0.

Shunday qilib, 1 - √2, 1 + √2, 1 - tanqidiy nuqtalar yoki mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalar. Bu nuqtalar son chizig'ini to'rtta intervalgacha ajratadi .

Har bir oraliqda lotin ma'lum bir belgiga ega bo'lib, uni intervallar usuli bilan yoki alohida nuqtalarda lotin qiymatlarini hisoblash orqali aniqlash mumkin. Intervallarda (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , musbat hosila, ya'ni funksiya o'sib bormoqda; Agar xê(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , keyin funksiya kamayadi, chunki bu intervallarda hosila manfiy bo'ladi. t orqali. x 1 o'tish paytida (harakat chapdan o'ngga boradi), hosila belgisi "+" dan "-" ga o'zgaradi, shuning uchun bu nuqtada mahalliy maksimal mavjud, biz topamiz

y maksimal = 2 - 2 √2 .

O'tayotganda x 2 lotin belgisi "-" dan "+" ga o'zgaradi, shuning uchun bu nuqtada mahalliy minimum mavjud va

y aralashmasi = 2 + 2√2.

T. x = 1 ekstremal emas.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

Yoniq (-∞; 1 ) 0 > y"" , demak, bu oraliqda egri chiziq qavariq; agar xê (1 ; ∞) - egri chiziq botiq. t ichida nuqta 1 funktsiya aniqlanmagan, shuning uchun bu nuqta burilish nuqtasi emas.

7. 4-band natijalaridan kelib chiqadiki x = 1- egri chiziqning vertikal asimptoti.

Gorizontal asimptotlar yo'q.

x + 1 = y - bu egri chiziqning qiya asimptoti. Boshqa asimptotlar yo'q.

8. O'tkazilgan tadqiqotlarni hisobga olgan holda biz grafik tuzamiz (yuqoridagi rasmga qarang).