Kub ildizini hisoblashning oddiy va unchalik oddiy bo'lmagan usullari

Unga qancha g'azablangan so'zlar aytildi? Ba'zida kub ildizi kvadrat ildizdan juda farq qiladiganga o'xshaydi. Aslida farq unchalik katta emas. Ayniqsa, agar ular faqat n-darajali umumiy ildizning maxsus holatlari ekanligini tushunsangiz.

Biroq, uning qazib olinishi bilan bog'liq muammolar paydo bo'lishi mumkin. Ammo ko'pincha ular hisob-kitoblarning noqulayligi bilan bog'liq.

Ixtiyoriy kuchning ildizi haqida nimalarni bilishingiz kerak?

Birinchidan, ushbu kontseptsiyaning ta'rifi. Ba'zi "a" ning n-chi ildizi n darajasiga ko'tarilganda asl "a" ni beradigan sondir.

Bundan tashqari, ildizlarda juft va toq darajalar mavjud. Agar n juft bo'lsa, radikal ifoda faqat nol yoki musbat son bo'lishi mumkin. Aks holda, haqiqiy javob bo'lmaydi.

Agar daraja g'alati bo'lsa, "a" ning har qanday qiymati uchun yechim mavjud. Bu salbiy bo'lishi mumkin.

Ikkinchidan, ildiz funktsiyasi har doim daraja sifatida yozilishi mumkin, uning ko'rsatkichi kasrdir. Ba'zan bu juda qulay bo'lishi mumkin.

Masalan, 1/n kuchiga “a” “a” ning n-chi ildizi bo‘ladi. Bunday holda, darajaning asosi har doim noldan katta bo'ladi.

Xuddi shunday, n/m kuchiga “a” “a n” ning m-chi ildizi sifatida ifodalanadi.

Uchinchidan, darajali barcha operatsiyalar ular uchun amal qiladi.

• Ularni ko'paytirish mumkin. Keyin ko'rsatkichlar qo'shiladi.
• Ildizlarni ajratish mumkin. Darajalarni olib tashlash kerak bo'ladi.
• Va uni kuchga ko'taring. Keyin ular ko'paytirilishi kerak. Ya'ni, bo'lgan daraja, ular ko'tarilgan darajaga.

Kvadrat va kub ildizlarning qanday o'xshashliklari va farqlari bor?

Ular bir-biriga o'xshash, birodarlar kabi, faqat darajalari farq qiladi. Va ularni hisoblash printsipi bir xil, yagona farq shundaki, radikal ifodani olish uchun raqamni o'z-o'zidan necha marta ko'paytirish kerak.

Va sezilarli farq biroz yuqoriroq aytilgan. Ammo buni takrorlashning zarari bo'lmaydi. Kvadrat faqat bo'lmaganlardan olinadi salbiy raqam. Salbiy qiymatning kub ildizini hisoblash qiyin emas.

Kalkulyatorda kub ildizini chiqarish

Har bir inson buni kamida bir marta kvadrat ildizlar uchun qilgan. Ammo daraja "3" bo'lsa-chi?

Oddiy kalkulyatorda faqat kvadrat uchun tugma mavjud, lekin kub uchun emas. Bu erda o'z-o'zidan uch marta ko'paytiriladigan raqamlarni oddiy qidirish yordam beradi. Radikal ifodani oldingizmi? Demak, bu javob. Ishlamadimi? Yana tanlang.

Kompyuterda kalkulyatorning muhandislik shakli qanday? Hoora, bu yerda kub ildiz bor. Siz shunchaki ushbu tugmani bosishingiz mumkin va dastur sizga javob beradi. Lekin bu hammasi emas. Bu erda siz nafaqat 2 va 3-darajali ildizlarni, balki har qanday o'zboshimchalik bilan ham hisoblashingiz mumkin. Chunki ildiz darajasida "y" ga ega bo'lgan tugma mavjud. Ya'ni, ushbu tugmachani bosgandan so'ng, siz ildiz darajasiga teng bo'lgan boshqa raqamni kiritishingiz kerak bo'ladi va shundan keyingina "=".

Kub ildizlarini qo'lda ajratib olish

Ushbu usul kalkulyator qo'lda bo'lmaganda yoki undan foydalanish mumkin bo'lmaganda talab qilinadi. Keyin, raqamning kub ildizini hisoblash uchun siz harakat qilishingiz kerak bo'ladi.

Birinchidan, ba'zi bir butun qiymatdan to'liq kub olinganligini tekshiring. Ehtimol, ildiz uchinchi darajaga 2, 3, 5 yoki 10?

1. Radikal ifodani o'nli kasrdan uchta raqamdan iborat guruhlarga bo'ling. Ko'pincha sizga kasr qism kerak bo'ladi. Agar u yo'q bo'lsa, unda nol qo'shilishi kerak.
2. Kubi radikal ifodaning butun qismidan kichik bo'lgan sonni aniqlang. Uni ildiz belgisi ustidagi oraliq javobga yozing. Va bu guruh ostiga uning kubini qo'ying.
3. Ayirish amalini bajaring.
4. O'nli kasrdan keyin qolgan raqamlarning birinchi guruhini qo'shing.
5. Loyihada ifodani yozing: a 2 * 300 * x + a * 30 * x 2 + x 3. Bu erda "a" oraliq javob, "x" - unga tayinlangan raqamlar bilan olingan qoldiqdan kichik bo'lgan raqam.
6. Oraliq javobning kasr nuqtasidan keyin “x” raqami yozilishi kerak. Va bu butun ifodaning qiymatini taqqoslanayotgan qolgan qismi ostiga yozing.
7. Agar aniqlik etarli bo'lsa, hisob-kitoblarni to'xtating. Aks holda, siz 3-bandga qaytishingiz kerak.

Kub ildizini hisoblashning yorqin misoli

Bu kerak, chunki tavsif murakkab ko'rinishi mumkin. Quyidagi rasmda 15 ning kub ildizini yuzdan bir qismiga qanday olish ko'rsatilgan.

Ushbu usulning yagona qiyinligi shundaki, har bir qadamda raqamlar ko'p marta oshadi va ustunda hisoblash tobora qiyinlashadi.

1. 15> 2 3, ostida degan ma’noni bildiradi butun qismi 8 va ildizning tepasida 2 yoziladi.
2. 15 dan sakkizni ayirgandan so'ng, qolgan 7 ga teng. Unga uchta nol qo'shilishi kerak.
3. a = 2. Shuning uchun: 2 2 * 300 * x +2 * 30 * x 2 + x 3< 7000, или 1200 х + 60 х 2 + х 3 < 7000.
4. Tanlash usulidan foydalanib, x = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824 ekanligi ma'lum bo'ladi.
5. Ayirish 1176 ni beradi va 4 raqami ildiz ustida paydo bo'ladi.
6. Qolganlarga uchta nol qo'shing.
7. a = 24. Keyin 172800 x + 720 x 2 + x 3< 1176000.
8. x = 6. Ifodani baholash natijasida 1062936. Qoldiq: 113064, ildiz 6 tepasida.
9. Yana nol qo'shing.
10. a = 246. Tengsizlik quyidagicha chiqadi: 18154800x + 7380x 2 + x 3< 113064000.
11. x = 6. Hisob-kitoblar raqamni beradi: 109194696, Qolgan: 3869304. Ildiz 6 tepasida.

Javob raqam: 2, 466. Javob yuzdan bir qismigacha berilishi kerakligi sababli, uni yaxlitlash kerak: 2.47.

Kub ildizlarini olishning noodatiy usuli

Agar javob butun son bo'lsa, undan foydalanish mumkin. Keyin radikal ifodani toq sonlarga ajratish orqali kub ildizi chiqariladi. Bundan tashqari, bunday atamalarning minimal soni bo'lishi kerak.

Masalan, 8 3 va 5 ning yig'indisi bilan ifodalanadi. Va 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Javob atamalar soniga teng bo'lgan raqam bo'ladi. Shunday qilib, 8 ning kub ildizi ikkiga, 64 ning esa to'rtga teng bo'ladi.

Agar ildiz 1000 bo'lsa, uning qismlarga bo'linishi 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101 bo'ladi. Jami 10 ta atama mavjud. Bu javob.

Kalkulyatorlardan oldin talabalar va o'qituvchilar kvadrat ildizlarni qo'lda hisoblab chiqdilar. Raqamning kvadrat ildizini qo'lda hisoblashning bir necha yo'li mavjud. Ulardan ba'zilari faqat taxminiy echimni taklif qiladi, boshqalari aniq javob beradi.

Qadamlar

Asosiy faktorizatsiya

Radikal sonni kvadrat raqamlarga aylantiring. Radikal raqamga qarab, siz taxminiy yoki aniq javob olasiz. Kvadrat raqamlar - bu butun kvadrat ildizni olish mumkin bo'lgan raqamlar. Omillar - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 8 sonining omillari 2 va 4, chunki 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 raqamlari kvadrat sonlar, chunki √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrat omillar omillar bo'lib, ular kvadrat sonlardir. Birinchidan, radikal sonni kvadrat omillarga ajratishga harakat qiling.

• Masalan, 400 ning kvadrat ildizini hisoblang (qo'l bilan). Avval 400 ni kvadrat omillarga ajratib ko'ring. 400 100 ning ko'paytmasi, ya'ni 25 ga bo'linadi - bu kvadrat raqam. 400 ni 25 ga bo'lish sizga 16 ni beradi. 16 soni ham kvadrat sondir. Shunday qilib, 400 ni 25 va 16 ning kvadrat omillariga, ya'ni 25 x 16 = 400 ga ko'paytirish mumkin.
• Buni quyidagicha yozish mumkin: √400 = √(25 x 16).

1. Ayrim atamalar ko‘paytmasining kvadrat ildizi ko‘paytmaga teng kvadrat ildizlar har bir haddan, ya’ni √(a x b) = √a x √b. Har bir kvadrat omilning kvadrat ildizini olish uchun ushbu qoidadan foydalaning va javobni topish uchun natijalarni ko'paytiring.

   • Bizning misolimizda 25 va 16 ning ildizini oling.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Agar radikal son ikkiga bo'linmasa kvadrat omil(va bu ko'p hollarda sodir bo'ladi), siz aniq javobni butun son shaklida topa olmaysiz. Ammo siz radikal sonni kvadrat koeffitsientga va oddiy koeffitsientga (butun kvadrat ildizni olib bo'lmaydigan raqam) ajratish orqali muammoni soddalashtirishingiz mumkin. Keyin kvadrat omilning kvadrat ildizini olasiz va umumiy omilning ildizini olasiz.

   • Misol uchun, 147 sonining kvadrat ildizini hisoblang. 147 sonini ikki kvadrat koeffitsientga ajratib bo'lmaydi, lekin uni quyidagi ko'rsatkichlarga ajratish mumkin: 49 va 3. Masalani quyidagicha yeching:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Agar kerak bo'lsa, ildizning qiymatini baholang. Endi siz ildizning qiymatini (taxminiy qiymatni toping), uni radikal songa eng yaqin (son chizig'ining ikkala tomonida) bo'lgan kvadrat raqamlarning ildizlari qiymatlari bilan taqqoslash orqali baholashingiz mumkin. Siz ildiz qiymatini o'nlik kasr sifatida olasiz, uni ildiz belgisi orqasidagi raqamga ko'paytirish kerak.

   • Keling, misolimizga qaytaylik. Radikal raqam 3. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 1 (√1 = 1) va 4 (√4 = 2) raqamlari bo'ladi. Shunday qilib, √3 qiymati 1 va 2 orasida joylashgan. √3 qiymati, ehtimol, 1 ga qaraganda 2 ga yaqinroq bo'lgani uchun, bizning taxminimiz: √3 = 1,7. Biz bu qiymatni ildiz belgisidagi raqamga ko'paytiramiz: 7 x 1,7 = 11,9. Agar siz hisobni kalkulyatorda qilsangiz, siz 12.13 ni olasiz, bu bizning javobimizga juda yaqin.
     • Bu usul katta raqamlar bilan ham ishlaydi. Masalan, √35 ni ko'rib chiqing. Radikal raqam 35. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 25 (√25 = 5) va 36 (√36 = 6) raqamlari bo'ladi. Shunday qilib, √35 qiymati 5 va 6 orasida joylashgan. √35 qiymati 5 ga nisbatan 6 ga ancha yaqin bo'lgani uchun (chunki 35 36 dan atigi 1 ta kichik), biz √35 ni 6 dan bir oz kichik deb aytishimiz mumkin. Kalkulyatorni tekshiring 5.92 - biz haq edik.

4. Yana bir usul - radikal sonni tub omillarga kiritish. Bosh omillar - bu faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan sonlar. Bir qatordagi tub omillarni yozing va bir xil omillar juftlarini toping. Bunday omillarni ildiz belgisidan chiqarish mumkin.

   • Masalan, 45 ning kvadrat ildizini hisoblang. Radikal sonni tub omillarga ajratamiz: 45 = 9 x 5 va 9 = 3 x 3. Shunday qilib, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 ni ildiz belgisi sifatida chiqarish mumkin: √45 = 3√5. Endi biz √5 ni taxmin qilishimiz mumkin.
   • Yana bir misolni ko'rib chiqamiz: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Siz 2 ning uchta ko'paytmasini oldingiz; ulardan bir nechtasini oling va ularni ildiz belgisidan tashqariga o'tkazing.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Endi siz √2 va √11 ni baholab, taxminiy javobni topishingiz mumkin.

   Kvadrat ildizni qo'lda hisoblash

   Uzoq bo'linishdan foydalanish

   1. Bu usul uzoq bo'linishga o'xshash jarayonni o'z ichiga oladi va aniq javob beradi. Birinchidan, varaqni ikkiga bo'ladigan vertikal chiziqni torting, so'ngra o'ngga va varaqning yuqori chetidan bir oz pastga, vertikal chiziqqa gorizontal chiziq torting. Endi radikal sonni o'nli kasrdan keyin kasr qismidan boshlab juft sonlarga bo'ling. Demak, 79520789182.47897 raqami “7 95 20 78 91 82, 47 89 70” deb yoziladi.

      • Masalan, 780.14 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Ikkita chiziq chizing (rasmda ko'rsatilgandek) va berilgan raqamni yuqori chap tomonda "7 80, 14" shaklida yozing. Chapdagi birinchi raqam juftlashtirilmagan raqam bo'lishi odatiy holdir. Javobni (bu raqamning ildizini) yuqori o'ng tomonda yozasiz.

   2. Chapdagi birinchi raqamlar juftligi (yoki bitta raqam) uchun kvadrati ko'rib chiqilayotgan sonlar juftligidan (yoki bitta raqamdan) kichik yoki teng bo'lgan eng katta n butun sonni toping. Boshqacha qilib aytganda, chapdan birinchi son juftiga (yoki bitta raqamga) eng yaqin, lekin undan kichikroq kvadrat sonni toping va uning kvadrat ildizini oling. kvadrat raqami; n raqamini olasiz. Yuqori o'ng tomonga topilgan n ni yozing va pastki o'ngga n ning kvadratini yozing.

      • Bizning holatda, chapdagi birinchi raqam 7 bo'ladi. Keyingi, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Chapdagi birinchi juft raqamlardan (yoki bitta raqamdan) hozirgina topilgan n sonining kvadratini ayiring. Hisoblash natijasini ayirma ostiga yozing (n sonining kvadrati).

      • Bizning misolimizda 7 dan 4 ni ayirib, 3 ni oling.

   4. Ikkinchi juft raqamlarni olib tashlang va oldingi bosqichda olingan qiymat yoniga yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shilishi bilan yozing.

      • Bizning misolimizda raqamlarning ikkinchi juftligi "80" dir. 3 dan keyin "80" ni yozing. Keyin yuqori o'ngdagi ikki barobar raqam 4 ni beradi. Pastki o'ngga "4_×_=" yozing.

   5. O'ng tarafdagi bo'sh joylarni to'ldiring.

      • Bizning holatda, agar chiziq o'rniga 8 raqamini qo'ysak, u holda 48 x 8 = 384 bo'ladi, bu 380 dan ortiq. Shuning uchun 8 juda katta raqam, lekin 7 qiladi. Chiziqlar o'rniga 7 yozing va oling: 47 x 7 = 329. Yuqori o'ng tomonda 7 yozing - bu 780.14 raqamining kerakli kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam.

   6. Olingan raqamni chapdagi joriy raqamdan ayiring. Oldingi bosqichdan olingan natijani chapdagi joriy raqam ostiga yozing, farqni toping va uni ayirboshlash ostida yozing.

      • Bizning misolimizda 380 dan 329 ni ayirib oling, bu 51 ga teng.

   7. 4-bosqichni takrorlang. Agar o'tkazilayotgan raqamlar juftligi asl sonning kasr qismi bo'lsa, yuqori o'ngdagi kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlari orasiga ajratuvchi (vergul) qo'ying. Chapda, keyingi raqamlar juftini tushiring. Yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shilishi bilan yozing.

      • Bizning misolimizda, o'chirilishi kerak bo'lgan keyingi raqamlar juftligi 780.14 raqamining kasr qismi bo'ladi, shuning uchun yuqori o'ngdagi kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlarini ajratuvchisini qo'ying. 14 ni tushiring va pastki chap tomonga yozing. Yuqori o'ngdagi (27) raqamni ikki baravar oshiring 54, shuning uchun pastki o'ngga "54_×_=" yozing.

   8. 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Birini toping eng katta raqam o'ngdagi chiziqchalar o'rniga (chiziqlar o'rniga siz bir xil raqamni almashtirishingiz kerak), shuning uchun ko'paytirish natijasi chapdagi joriy raqamdan kichik yoki teng bo'ladi.

      • Bizning misolimizda 549 x 9 = 4941, bu chapdagi joriy raqamdan (5114) kamroq. Yuqori o'ng tomonga 9 ni yozing va chapdagi joriy raqamdan ko'paytirish natijasini ayiring: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kvadrat ildiz uchun ko'proq o'nli kasrlarni topish kerak bo'lsa, joriy raqamning chap tomoniga bir nechta nol yozing va 4, 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Javob aniqligini (o'nli kasrlar soni) olguncha amallarni takrorlang. kerak.

   Jarayonni tushunish

   Assimilyatsiya qilish uchun bu usul Kvadrat ildizini topmoqchi bo'lgan sonni S kvadratning maydoni deb o'ylab ko'ring. Bunday holda, siz bunday kvadratning L tomonining uzunligini qidirasiz. L ning qiymatini L² = S qilib hisoblaymiz.

   Javobdagi har bir raqam uchun harf bering. L qiymatidagi birinchi raqamni A bilan belgilaymiz (kerakli kvadrat ildiz). B ikkinchi raqam bo'ladi, C uchinchi va hokazo.

   Birinchi raqamlarning har bir jufti uchun harfni belgilang. S qiymatidagi birinchi raqamlar juftini S a bilan, ikkinchi juft raqamlarni S b bilan belgilaymiz va hokazo.

   Ushbu usul va uzoq bo'linish o'rtasidagi bog'liqlikni tushuning. Xuddi bo'linish operatsiyasida bo'lgani kabi, biz har safar bo'linadigan raqamning keyingi raqamiga qiziqamiz, kvadrat ildizni hisoblashda biz ketma-ket bir juft raqam bilan ishlaymiz (kvadratdagi keyingi bitta raqamni olish uchun). ildiz qiymati).

   1. S sonining birinchi juft Sa raqamlarini ko'rib chiqing (misolimizda Sa = 7) va uning kvadrat ildizini toping. Bunday holda, kvadrat ildizning kerakli qiymatining birinchi A raqami kvadrati S a dan kichik yoki teng bo'lgan raqam bo'ladi (ya'ni, biz A ni qidiramiz, shunda tengsizlik A² ≤ Sa bo'ladi).< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Aytaylik, 88962 ni 7 ga bo'lish kerak; bu erda birinchi qadam shunga o'xshash bo'ladi: biz 88962 (8) bo'linadigan sonning birinchi raqamini ko'rib chiqamiz va 7 ga ko'paytirilganda 8 dan kichik yoki teng qiymat beradigan eng katta raqamni tanlaymiz. Ya'ni, biz qidiramiz. tengsizlik rost bo'lgan d soni: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Maydonini hisoblashingiz kerak bo'lgan kvadratni aqlan tasavvur qiling. Siz L ni qidiryapsiz, ya'ni maydoni S bo'lgan kvadrat tomonining uzunligi. A, B, C - L sonidagi raqamlar. Siz uni boshqacha yozishingiz mumkin: 10A + B = L (uchun ikki xonali raqam) yoki 100A + 10V + C = L (uchun uch xonali raqam) va hokazo.

      • Mayli (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Esda tutingki, 10A+B bu raqam bo'lib, unda B raqami birliklarni, A raqami esa o'nlikni bildiradi. Masalan, agar A=1 va B=2 bo'lsa, 10A+B 12 soniga teng bo'ladi. (10A+B)² butun kvadratning maydoni, 100A²- katta ichki kvadratning maydoni, B²- kichik ichki kvadratning maydoni, 10A×B- ikkita to'rtburchakning har birining maydoni. Ta'riflangan raqamlarning maydonlarini qo'shib, siz asl kvadratning maydonini topasiz.

Muhandislik kalkulyatori onlayn

Biz barchaga bepul muhandislik kalkulyatorini taqdim etishdan mamnunmiz. Uning yordami bilan har qanday talaba tez va eng muhimi, har xil turdagi ishlarni oson bajarishi mumkin matematik hisoblar onlayn.

Kalkulyator saytdan olingan - web 2.0 ilmiy kalkulyator

Ko'zga tashlanmaydigan va intuitiv interfeysga ega oddiy va ishlatish uchun qulay muhandislik kalkulyatori haqiqatan ham Internet foydalanuvchilarining keng doirasi uchun foydali bo'ladi. Endi, qachon sizga kalkulyator kerak bo'lsa, bizning veb-saytimizga o'ting va bepul muhandislik kalkulyatoridan foydalaning.

Muhandislik kalkulyatori oddiy arifmetik amallarni ham, juda murakkab matematik hisoblarni ham bajarishi mumkin.

Web20calc - bu juda ko'p funktsiyalarga ega bo'lgan muhandislik kalkulyatori, masalan, barchasini qanday hisoblash mumkin elementar funktsiyalar. Kalkulyator ham qo'llab-quvvatlaydi trigonometrik funktsiyalar, matritsalar, logarifmlar va hatto chizmalar.

Shubhasiz, Web20calc izlayotgan odamlar guruhiga qiziqish uyg'otadi oddiy echimlar qidiruv tizimlarida so'rovni yozing: matematik onlayn kalkulyator. Bepul veb-ilova sizga ba'zi matematik ifodalarning natijasini bir zumda hisoblashda yordam beradi, masalan, ayirish, qo'shish, bo'lish, ildizni ajratib olish, kuchga ko'tarish va hokazo.

Ifodada siz darajaga ko'tarish, qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, foiz va PI doimiysi amallaridan foydalanishingiz mumkin. Uchun murakkab hisob-kitoblar qavslar kiritilishi kerak.

Muhandislik kalkulyatorining xususiyatlari:

1. asosiy arifmetik amallar;
2. standart shakldagi raqamlar bilan ishlash;
3. hisoblash trigonometrik ildizlar, funksiyalar, logarifmlar, darajali ko‘rsatkichlar;
4. statistik hisob-kitoblar: qo'shish, o'rtacha arifmetik yoki standart og'ish;
5. xotira katakchalari va 2 ta o'zgaruvchining maxsus funksiyalaridan foydalanish;
6. radian va gradus o'lchovlarida burchaklar bilan ishlash.

Muhandislik kalkulyatori turli xil matematik funktsiyalardan foydalanishga imkon beradi:

Ildizlarni ajratib olish (kvadrat, kub va n-chi ildiz);
ex (e dan x kuchiga), eksponentsial;
trigonometrik funksiyalar: sinus - sin, kosinus - cos, tangens - tan;
teskari trigonometrik funksiyalar: arksinus - sin-1, arkkosin - cos-1, arktangent - tan-1;
giperbolik funktsiyalar: sinus - sinh, kosinus - kosh, tangens - tan;
logarifmlar: ikki asosga ikkilik logarifm - log2x, o'nlik logarifm o'nga - log, natural logarifm - ln.

Ushbu muhandislik kalkulyatori shuningdek, jismoniy miqdorlarni o'zgartirish qobiliyatiga ega bo'lgan miqdor kalkulyatorini o'z ichiga oladi. turli tizimlar o'lchovlar - kompyuter birliklari, masofa, vazn, vaqt va boshqalar. Ushbu funktsiyadan foydalanib, siz bir zumda millarni kilometrga, funtni kilogrammga, soniyalarni soatlarga va hokazolarga aylantirishingiz mumkin.

Matematik hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun avval tegishli maydonga matematik ifodalar ketma-ketligini kiriting, so'ngra tenglik belgisini bosing va natijani ko'ring. Siz to'g'ridan-to'g'ri klaviaturadan qiymatlarni kiritishingiz mumkin (buning uchun kalkulyator maydoni faol bo'lishi kerak, shuning uchun kursorni kiritish maydoniga joylashtirish foydali bo'ladi). Boshqa narsalar qatorida, ma'lumotlarni kalkulyatorning o'zi tugmalari yordamida kiritish mumkin.

Grafiklarni qurish uchun siz misollar bilan maydonda ko'rsatilgandek funktsiyani kiritish maydoniga yozishingiz yoki buning uchun maxsus mo'ljallangan asboblar panelidan foydalanishingiz kerak (unga o'tish uchun grafik belgisi bo'lgan tugmani bosing). Qiymatlarni aylantirish uchun matritsalar bilan ishlash uchun Unit tugmasini bosing, Matritsani bosing.

Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni ko'rib chiqamiz - 8-sinfdagi eng hayratlanarli mavzulardan biri :)

Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lganligi uchun emas (bu juda murakkab - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar), chunki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday o'rmon orqali aniqlanadiki, faqat darslik mualliflarining o'zlari. bu yozuvni tushunish mumkin. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan :)

Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng malakali ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslashingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va keyin men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.

Lekin birinchi navbatda birini eslang muhim nuqta, bu haqda ko'plab darslik tuzuvchilari negadir "unutishadi":

Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek, barcha turdagi $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (barcha $\sqrt) bo'lishi mumkin. (a)$, $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq darajadagi ildizning ta'rifi juftdan biroz farq qiladi.

Ehtimol, ildizlar bilan bog'liq bo'lgan barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95% bu "biroz boshqacha" da yashiringan. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay tozalaymiz:

Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonining toq ildizi odatda bir xil tenglikka ega boʻlgan har qanday $b$ raqamidir: $((b)^(n))=a$.

Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:

\(a)\]

Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli” kvadrat ildizimizni olamiz (darvoqe, bu juft darajali ildiz), $n=3$ uchun esa kub ildizni (toq daraja) olamiz. masalalar va tenglamalarda ham tez-tez uchraydi.

Misollar. Klassik misollar kvadrat ildizlar:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]

Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.

Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqishning hojati yo'q:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]

Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!

Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.

Nima uchun ildizlar umuman kerak?

Ta'rifni o'qib chiqqandan so'ng, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nima uchun bu ildizlar umuman kerak?

Bu savolga javob berish uchun keling, bir zum orqaga qaytaylik boshlang'ich sinflar. Yodingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yashil va chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshga besh - yigirma besh" kabi bir narsa, bu hammasi. Ammo siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Biroq, bu masala emas. Ayyorlik boshqacha: matematiklar dangasa odamlardir, shuning uchun ular o‘n beshning ko‘payishini shunday yozishda qiynalgan:

Shuning uchun ular ilmiy darajalar bilan kelishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga yuqori chiziq sifatida yozmaslik kerak? Shunga o'xshash narsa:

Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar sezilarli darajada kamayadi va siz 5183 ni yozish uchun bir nechta pergament varaqlari va daftarlarni behuda sarflashingiz shart emas. Bu rekord raqamning kuchi deb ataldi, unda bir nechta xususiyatlar topildi, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.

Darajalar “kashfiyoti” uchun uyushtirilgan dabdabali ziyofatdan so‘ng, ayniqsa qaysar matematik birdan: “Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o‘zi noma’lum bo‘lsa-chi?” deb so‘radi. Haqiqatan ham, agar biz ma'lum bir $b $ soni, aytaylik, 5-darajaga 243 ni berishini bilsak, $b $ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilishimiz mumkin?

Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki ko'pchilik "tayyor" kuchlar uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]

$((b)^(3))=50$ bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, biz ma'lum bir raqamni topishimiz kerak, uni uch marta ko'paytirganda bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin siz nimaga teng ekanligini tushunolmaysiz.

Aynan shuning uchun matematiklar $n$th ildizlarini o'ylab topishgan. Aynan shuning uchun $\sqrt(*)$ radikal belgisi kiritildi. $b $ raqamini belgilash uchun, bu ko'rsatilgan darajada bizga oldindan ma'lum bo'lgan qiymatni beradi

\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]

Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina hisoblab chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz o'zboshimchalik bilan raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan ixtiyoriy darajaning ildizini olishga harakat qilsangiz, siz dahshatli baxtsizlikka duch kelasiz.

Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Masalan:

\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]

Yoki yana bir misol:

\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]

Ammo bu yaxlitlashlarning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; va ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ham ishlashingiz kerak, aks holda siz bir qator noaniq xatolarga duch kelishingiz mumkin (aytmoqchi, taqqoslash va yaxlitlash mahorati Yagona davlat imtihonining profilida tekshirilishi kerak).

Shuning uchun jiddiy matematikada siz ildizlarsiz qilolmaysiz - ular bizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan kasrlar va butun sonlar kabi $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.

Ildizni $\frac(p)(q)$ shaklidagi kasr sifatida ifodalay olmaslik bu ildiz emasligini bildiradi. ratsional son. Bunday raqamlar irratsional deb nomlanadi va ularni aniq ifodalash mumkin emas, faqat buning uchun maxsus mo'ljallangan radikal yoki boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, kuchlar, chegaralar va boshqalar). Ammo bu haqda boshqa safar.

Keling, barcha hisob-kitoblardan keyin irratsional sonlar javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]

Tabiiyki, ko'ra ko'rinish ildiz kasrdan keyin qaysi raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, siz kalkulyatorga ishonishingiz mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori bizga faqat irratsional sonning birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ ko`rinishlarida yozish ancha to`g`riroq.

Aynan shuning uchun ular ixtiro qilingan. Javoblarni qulay tarzda yozib olish uchun.

Nima uchun ikkita ta'rif kerak?

Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Va bu erda kub ildizlari har qanday raqamdan xotirjamlik bilan chiqariladi - bu ijobiy yoki salbiy.

Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:

Jadval kvadratik funktsiya ikki ildiz beradi: ijobiy va salbiy

Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal $y=4$ chiziladi, u parabola bilan ikkita nuqtada kesishadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) )_(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki

Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun ildiz:

Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? To'rttaning bir vaqtning o'zida ikkita ildizi bormi? Axir, agar −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun u holda $\sqrt(4)=-2$ yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday postlarga sizni yemoqchi bo'lgandek qarashadi? :)

Muammo shundaki, agar siz qo'shimcha shartlar qo'ymasangiz, unda to'rtta ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.

Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:

1. To'g'rirog'i, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichli ikkita ildizi bo'ladi;
2. Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.

Shuning uchun ham $n$ juft darajali ildizni ta'riflashda javob manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligi alohida ko'rsatilgan. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.

Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:

Kub parabolasi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin, shuning uchun kub ildizi istalgan raqamdan olinishi mumkin

Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:

1. Kub parabolaning shoxlari oddiydan farqli o'laroq, ikkala yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, biz gorizontal chiziqni qanday balandlikda chizmasak, albatta, bizning grafigimiz bilan kesishadi. Binobarin, kub ildizi har doim mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
2. Bundan tashqari, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun qaysi raqam "to'g'ri" ildiz deb hisoblanishi va qaysi birini e'tiborsiz qoldirish haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarni aniqlash juft darajaga qaraganda oddiyroqdir (salbiy bo'lmasligi shart emas).

Ko‘pchilik darsliklarda bu oddiy narsalar tushuntirilmagani achinarli. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.

Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima ekanligini ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.

Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.

Sizga kerak bo'lgan yagona narsa - juft va toq ko'rsatkichlar o'rtasidagi farqni tushunish. Shuning uchun, keling, yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:

1. Juft darajali ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lib, o'zi hamisha manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
2. Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.

Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Tushunarli? Ha, bu mutlaqo aniq! Endi biz hisob-kitoblar bilan biroz mashq qilamiz.

Asosiy xususiyatlar va cheklovlar

Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida darsda muhokama qilinadi. Shuning uchun, endi biz faqat teng indeksli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "hiyla" ni ko'rib chiqamiz. Bu xususiyatni formula sifatida yozamiz:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz raqamni juft darajaga ko'tarsak va keyin bir xil darajaning ildizini chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu oddiy teorema, buni isbotlash oson (salbiy bo'lmagan $x$ ni alohida ko'rib chiqish kifoya, keyin esa salbiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo bir qarorga kelganda irratsional tenglamalar(ya'ni, radikal belgisi bo'lgan tenglamalar), talabalar bir ovozdan bu formulani unutishadi.

Muammoni batafsil tushunish uchun barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, ikkita raqamni to'g'ridan-to'g'ri hisoblashga harakat qilaylik:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]

Bu juda oddiy misollar. Ko'pchilik birinchi misolni hal qiladi, lekin ko'p odamlar ikkinchisiga yopishib olishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:

1. Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Siz hatto ko'paytirish jadvalida ham topilishi mumkin bo'lgan yangi raqamni olasiz;
2. Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi ildizni olish kerak. Bular. ildizlar va kuchlarning "kamayishi" sodir bo'lmaydi - bu ketma-ket harakatlar.

Birinchi ifodani ko'rib chiqamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:

Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, bu esa uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishni talab qiladi:

\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]

Biz ijobiy raqamni oldik, chunki jami Ishda 4 ta minus bor va ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minus uchun minus plyus beradi). Keyin yana ildizni chiqaramiz:

Aslida, bu qatorni yozish mumkin emas edi, chunki javob bir xil bo'lishi aqlga sig'maydi. Bular. Xuddi shu teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija oddiy moduldan farq qilmaydi:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]

Bu hisob-kitoblar juft darajali ildizning ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy bo'lmaydi va radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sonni o'z ichiga oladi. Aks holda, ildiz aniqlanmagan.

Jarayon haqida eslatma

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantirib, keyin olingan qiymatning kvadrat ildizini olishimizni bildiradi. Shuning uchun, ildiz belgisi ostida har doim manfiy bo'lmagan son mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki har qanday holatda $((a)^(2))\ge 0$;
2. Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonning ildizini olamiz va shundan keyingina natijani kvadratga olamiz. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu majburiy talab, ta'rifga kiritilgan.

Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" mumkin. Chunki agar ildiz manfiy songa ega bo'lsa va uning ko'rsatkichi juft bo'lsa, biz bir qator muammolarni olamiz.

Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.

Ildiz belgisi ostidagi minus belgisini olib tashlash

Tabiiyki, ko'rsatkichlari toq bo'lgan ildizlar ham o'ziga xos xususiyatga ega bo'lib, ular, qoida tariqasida, juftlarda mavjud emas. Aynan:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Muxtasar qilib aytganda, g'alati darajadagi ildizlar belgisi ostidan minusni olib tashlashingiz mumkin. Bu juda foydali mulk, bu sizga barcha salbiy tomonlarni "tashlab yuborish" imkonini beradi:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]

Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostida yashiringan bo'lsa-chi, lekin ildizdagi daraja teng bo'lib chiqdi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda, "klassik" ildizlar holatida bizni olib kelishi kafolatlangan ko'plab shubhali narsalarni qilishlari mumkin. xato.

Va bu erda yana bir ta'rif paydo bo'ladi - xuddi shu ta'rif bilan ko'pchilik maktablar irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydilar. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Biz bilan tanishing!

Arifmetik ildiz

Bir lahzaga faraz qilaylik, ildiz belgisi ostida faqat musbat raqamlar yoki o'ta og'ir holatlarda nol bo'lishi mumkin. Keling, juft/toq ko'rsatkichlarni unutaylik, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflarni unutamiz - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?

Va keyin biz arifmetik ildizga ega bo'lamiz - bu bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman mos keladi, lekin baribir ulardan farq qiladi.

Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.

Ko'rib turganimizdek, endi bizni paritet qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas va ildizning o'zi ham salbiy emas.

Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun biz allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:

Arifmetik ildiz qidirish maydoni - manfiy bo'lmagan raqamlar

Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Manfiy raqamni ildiz ostiga qo'yish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarash kerak emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.

Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga bunday ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"

Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentsiya qoidasi:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Iltimos, diqqat qiling: biz radikal ifodani istalgan kuchga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana misollar:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Xo'sh, nima katta ish? Nega biz buni oldin qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy ifodani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu raqam bizning klassik tushunchamizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Ko'rib turganingizdek, birinchi holatda biz minusni radikal ostidan olib tashladik (bizda barcha huquqlar bor, chunki ko'rsatkich g'alati), ikkinchi holatda biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. Matematik nuqtai nazardan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.

WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan eksponentsiya formulasi salbiy sonlar holatida to'liq bid'atni keltirib chiqara boshlaydi.

Bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun ular o'ylab topdilar arifmetik ildizlar. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Shuning uchun biz hozir ular haqida to'xtalmaymiz - dars juda uzoq bo'lib chiqdi.

Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun

Bu mavzuni alohida paragrafga qo'yamanmi yoki yo'qmi, uzoq o'yladim. Oxir-oqibat, men uni shu erda qoldirishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yanada yaxshiroq tushunishni istaganlar uchun mo'ljallangan - endi o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiada darajasiga yaqin.

Demak: sonning $n$-inchi ildizining “klassik” ta’rifi va unga bog‘liq bo‘lgan juft va toq ko‘rsatkichlarga bo‘linishidan tashqari, paritet va boshqa nozikliklarga umuman bog‘liq bo‘lmagan ko‘proq “kattalar” ta’rifi mavjud. Bu algebraik ildiz deyiladi.

Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun biz tepaga chiziqcha qo'yamiz:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]

Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki, algebraik ildiz aniq son emas, balki to‘plamdir. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlaganimiz sababli, bu to'plam faqat uchta turda bo'ladi:

1. Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish kerak bo'lganda paydo bo'ladi;
2. Bitta elementdan iborat to'plam. Toq darajalarning barcha ildizlari, shuningdek, nolning juft darajalarining ildizlari shu toifaga kiradi;
3. Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya grafigi. Shunga ko'ra, bunday tartibga solish faqat musbat sondan juft darajaning ildizini chiqarganda mumkin.

Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.

Misol. Ifodalarni baholang:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Yechim. Birinchi ifoda oddiy:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]

Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har birining kvadrati to'rtlikni beradi.

\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]

Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildiz ko'rsatkichi g'alati.

Nihoyat, oxirgi ifoda:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Biz bo'sh to'plam oldik. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) darajaga ko'tarilganda bizga -16 manfiy sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.

Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash juda mumkin.

Biroq, zamonaviyda maktab kursi Matematikada murakkab sonlar deyarli uchramaydi. Ular aksariyat darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning rasmiylar mavzuni "tushunish juda qiyin" deb hisoblashadi.

Buni tartibga solish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xususiyatlariga, xususan, har qanday manfiy bo'lmagan b soniga to'g'ri keladigan tenglikka asoslanadi.

Quyida biz ildizlarni birma-bir ajratib olishning asosiy usullarini ko'rib chiqamiz.

Eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. Agar qo'lingizda bo'lmasa, ildizni ajratib olish usulidan foydalanish mantiqan to'g'ri bo'ladi, bu radikal sonni asosiy omillarga ajratishni o'z ichiga oladi.

Toq ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun nima mumkinligini alohida ta'kidlash kerak.

Va nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topishga imkon beradigan usulni ko'rib chiqaylik.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng oddiy hollarda, kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni olish imkonini beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi ma'lum bir qator va ma'lum ustunni tanlash orqali kulrang fonda joylashgan bo'lib, u 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi. Masalan, 8 o'nlik qatorini va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Har bir katak ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o‘nlik qatori va birliklarning 3-ustunining kesishmasida 83 sonining kvadrati bo‘lgan 6889 raqamli katakcha joylashgan.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratlar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni, kub ildizlarini, to'rtinchi ildizlarni va boshqalarni olish imkonini beradi. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ulardan foydalanish tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonining n-chi ildizini ajratib olishimiz kerak, a soni esa n darajali darajalar jadvalida joylashgan. Ushbu jadvaldan foydalanib, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, 19,683 ning kub ildizini olish uchun kub jadvalidan qanday foydalanishni ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ko'rinib turibdiki, n-darajali jadvallar ildizlarni olish uchun juda qulaydir. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularni tuzish biroz vaqt talab etadi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday hollarda siz ildizni olib tashlashning boshqa usullariga murojaat qilishingiz kerak.

Radikal sonni tub omillarga ajratish

Yetarli qulay tarzda, bu natural sondan ildiz ajratib olish imkonini beradi (agar, albatta, ildiz ajratilsa), radikal sonning tub omillarga parchalanishi. Uning gap shu: shundan keyin uni kuch sifatida ifodalash juda oson zarur ko'rsatkich, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik.

a natural sonning n- ildizi olinsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. b raqami har qanday kabi natural son p 1 · p 2 · … · p m ko‘rinishida uning barcha tub omillari p 1 , p 2 , …, p m ko‘paytmasi sifatida ifodalanishi mumkin va bu holda radikal son a (p 1 · p 2) shaklida ifodalanadi. · … · p m) n. Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun radikal a sonning tub omillarga ajralishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko‘rinishga ega bo‘ladi, bu esa ildiz qiymatini hisoblash imkonini beradi. kabi.

E'tibor bering, agar a radikal sonning tub omillarga bo'linishini (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sonning n-chi ildizi to'liq chiqarilmaydi.

Keling, misollarni echishda buni aniqlaylik.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Yechim.

Agar oldingi paragrafda berilgan kvadratchalar jadvaliga qarasangiz, 144 = 12 2 ekanligini aniq ko'rishingiz mumkin, undan 144 ning kvadrat ildizi 12 ekanligi ayon bo'ladi.

Ammo bu fikrni hisobga olgan holda, biz 144 radikal sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanaylik 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2·2·2·2·3·3. Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Demak, .

Darajaning xossalari va ildizlarning xossalaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildizning qiymatini hisoblang.

Yechim.

243 radikal sonining tub koeffitsientlari 243=3 5 ko'rinishga ega. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildiz qiymati butun sonmi?

Yechim.

Bu savolga javob berish uchun keling, radikal sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kubi sifatida ifodalash mumkinligini bilib olaylik.

Bizda 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 bor. Olingan kengayish butun sonning kubi sifatida ifodalanmaydi, chunki daraja asosiy omil 7 soni uchga koʻpaytmasi emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizini to'liq ajratib bo'lmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Ildizni qanday qilib olish kerakligini aniqlash vaqti keldi kasr son. Kasr radikal son p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xususiyatiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasrning ildizini ajratib olish qoidasi: Kasrning ildizi aylanmaning ildiziga boʻlingan qismga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Kvadrat ildiz nima oddiy kasr 25/169 .

Yechim.

Kvadratlar jadvalidan foydalanib, biz asl kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy kasrning ildizini ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi radikal sonlarni oddiy kasrlar bilan almashtirgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 o'nlik kasrning kub ildizini oling.

Yechim.

Keling, asl nusxani tasavvur qilaylik kasr oddiy kasr sifatida: 474,552=474552/1000. Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Chunki 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000 = 10 3, keyin Va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini olish

Salbiy raqamlardan ildizlarni ajratib olish haqida alohida to'xtalib o'tishga arziydi. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildiz ko'rsatkichi toq son bo'lsa, u holda ildiz belgisi ostida manfiy son bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bu yozuvlarga quyidagi maʼnoni berdik: manfiy son −a va 2 n−1 ildizning toq koʻrsatkichi uchun, . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sonning ildizini chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sonning ildizini olib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildizning qiymatini toping.

Yechim.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy son bo'lishi uchun o'zgartiramiz: . Hozir aralash raqam uni oddiy kasr bilan almashtiring: . Oddiy kasrning ildizini olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning numeratori va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Mana bu yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Ildiz qiymatini bitli aniqlash

Umumiy holda, ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda, biron bir sonning n-darajali sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan son mavjud. Ammo bu holda hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha ma'lum bir ildizning ma'nosini bilish zarurati tug'iladi. Bunday holda, ildizni olish uchun siz kerakli raqamning etarli miqdordagi raqamli qiymatlarini ketma-ket olish imkonini beruvchi algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi ildiz qiymatining eng muhim biti nima ekanligini aniqlashdir. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari radikal sondan oshib ketgan son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko'tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n darajasiga ko'targan raqam mos keladigan eng muhim raqamni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. 0, 10, 100, ... raqamlarini oling va 5 dan katta raqam olinmaguncha ularni kvadratga aylantiring. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5, ya'ni eng muhim raqam birlar soni bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, quyi bo'lganlar, ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning kerakli qiymatining keyingi bitlarining qiymatlarini topib, eng yuqorisidan boshlab va eng pastiga o'tish orqali ildiz qiymatini ketma-ket aniqlashtirishga qaratilgan. Misol uchun, birinchi qadamda ildizning qiymati 2, ikkinchisida - 2,2, uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... ga aylanadi. Keling, raqamlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlaylik.

Raqamlar 0, 1, 2, ..., 9 mumkin bo'lgan qiymatlarini qidirish orqali topiladi. Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel hisoblab chiqiladi va ular radikal son bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, u holda oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va agar bu sodir bo'lmasa, ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi; u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, beshning kvadrat ildizini olishning xuddi shu misolidan foydalanib, ushbu fikrlarni tushuntiramiz.

Avval birlik raqamining qiymatini topamiz. Biz 0, 1, 2, ..., 9 qiymatlaridan o'tamiz, mos ravishda 0 2, 1 2, ..., 9 2 ni hisoblab, 5 radikal raqamidan kattaroq qiymatga ega bo'lgunimizcha. Ushbu hisob-kitoblarning barchasini jadval shaklida taqdim etish qulay:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (2 2 dan beri<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, olingan qiymatlarni 5 radikal raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan boshlab<5 , а 2,3 2 >5, u holda o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Beshning ildizining keyingi qiymati shunday topildi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Avval biz eng muhim raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. Biz 2 151 186 dan katta raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaymiz.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, u holda o'nliklarning qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar sonining qiymati 2 ga teng. Keling, o'ndan biriga o'taylik.

Hatto 12,9 3 2 151,186 radikal raqamidan kichik bo'lgani uchun, o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha aniq topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida shuni aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).